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A coleção consta de
oito volumes:
/Mecânica: Cinemática
Mecânica: Dinâmica
^M ecânica: Estática, Hidrostática e Gravitação
Óptica Geométrica
r
O Termologia
6 Oscilações, Ondas e Acústica
/^Eletricidade: Eletrodinàmica
(3 Eletricidade: Eletrostática e Eletromagnetismo
Cada capítulo apresenta as
seguintes partes:
0. Introdução Teórica
ti. Questões Resolvidas
C Questões Propostas
d. Respostas
CfflïU
LO
1
s
A Física é o ramo da Ciência que, juntamente
com a Matemática, a Biologia e a Química,
procura explicar os fenômenos que ocorrem na
Natureza, tais como os movimentos dos corpos, as
trocas de energia entre sistemas, a
propagação da luz, etc.
Introdução à Mecânica
• Mecânica — Para melhor analisar esses fenômenos, a Física é
dividida em partes. A Mecânica é a parte da Física que estuda os
movimentos dos corpos, bem como suas causas e conseqüências.
Por sua vez, a Mecânica está subdividida em Cinemática. Dinâmica,
Estática, Hidrostática e Gravitação.
10
(1571-1630)
Matemático e astrónomo alemão.
Estabeleceu as leis cinemáticas do
movimento dos planetas ao redor
do Sol. Criou as bases para o
futuro desenvolvimento da Mecânica.
(1564-1642)
Matemático o astrônomo italiano.
Estabeleceu as leis do movimento dos
projéteis e a Lei da Inércia.
Introduziu o método científico na
observação dos fenômenos e
contribuiu decisivamente para o
desenvolvimento da Mecânica.
Fisico e astrónomo inglês Fez a
síntese das idéias de Kepler e
Galileo. estabelecendo as Leis da
Dmâmica e a Lei ca Gravitação
Universal. Seus trabalhos modificaram
a visão humana do Universo.
Unidade
Fundamentalmente. a solução de um problema de Física consiste
em determinar as grandezas nele envolvidas. Medir uma grandeza
é compará-la com outra de mesma espécie denominada unidade.
Ouandc a unidade puder ser representada materialmente, teremos
o padrão.
Sistemas de unidades mecânicas
Para medirmos as grandezas mecânicas, necessitamos de um
conjunto de unidades denominado sistema de unidades mecânicas,
definido pelas unidades das grandezas fundamentais: comprimento,
massa ou força e tempo.
• Sistema Internacional (SI) — No Brasil, a partir de 1963, foi ado­
tado o Sistema Internacional (SI), cujas unidades mecânicas funda­
mentais estão representadas no quadro:
Grandeza Unidade Símbolo
comprimento metro m
massa quilograma kg
tempo segundo s
Devido às iniciais dos símbolos, este sistema de unidades também é
conhecido como MKS.
12
• Sistema CGS — Com unidade® derivada» do Sistoma Interna*
cional, podemos construir outro sistema de unidades mecânicas, o
CGS. cujas unidades estão representadas no quadro:
Grandeza Unidade Símbolo
comprimento centímetro cm
massa grama g
tempo segundo s
• Sistema Técnico — É tradicionalmente utilizado em áreas téc­
nicas Suas unidades fundamentais são apresentadas no quadro:
Grandeza Unidade Símbolo
comprimento metro m
força quilograma-furça kgf
tempo segundo s
Usualmente adotam-se, ainda, as unidades quilômetro (compri­
mento) e hora (tempo), onde:
1 km = 1 000 m
e
1 h = 3 600 s
Intensidade de uma grandeza
O resultado da comparação entre uma grandeza e a unidade é
um número real (positivo ou nulo) denominado valor numérico da
grandeza em relação àquela unidade.
O conjunto formado pelo valor numérico e pela unidade é deno
minado intensidade da grandeza.
Exemplo:
( //////////#>/
-
Ao modlrmON u nlturo do um homom, obtemos 1.70 m.
Nosto cflHo, tomos:
grandeza medida: comprimento (altura):
unidade: metro (m);
valor numérico: 1.70;
intensidade da grandeza: 1,70 m.
Assim, medir uma grandeza é, na realidade, determinar sua in­
tensidade
Ponto material
Quando as dimensões do objeto a ser analisado não interferem
na solução do problema, dizemos que ele é um ponto material.
Um automóvel em viagem numa estrada pode ser considerado como um
ponto material.
Assim, um móvel em translação pode ser estudado como um
ponto material.
Introdução à Cinemática
Movimento de translação de uma carga.
14
Na translação de um corpo, o comportamento de todos os seus
pontos c o mesmo. Basta, então, estudar o comportamento de um
único ponto (ponto material).
Resumindo:
Translação ■►o corpo pode ser considerado ponto material.
Durante uma rotação, as dimensões do objeto interferem na so­
lução co problema. Neste caso, não podemos considerá-lo como ponto
material.
Na rotação de um corpo, cada ponto possui comportamento dis­
tinto dos demais, não podendo ser encarado como ponto material.
Resumindo:
Rotação ■►o corpo não pede ser considerado ponto material.
Observe que a Terra, juntamente com os demais planetas, pode
ser considerada como ponto matéria em relação ao seu movimento
de translação ao redor do Sol.
15
Porém, em relação ao movimento de rotação, em torno do seu
próprio eixo. ela não pode ser considerada como ponto material.
ê$J& r/ac& 2.__________________________________ __________
Embora as dimensões do corpo estudado como ponto material não
sejam consideradas, sua massa deverá ser levada em conta quando
necessário.
Referencial
Os movimentos de um móvel devem ser analisados em relação
a um sistema de referência, também denominado referencial.
O referencial está. em geral, associado a um outro corpo. Assim,
por exemplo, o movimento do passageiro de um carro pode ser estu­
dado em relação ao “ referencial-carro" ou em relação ao “ referencial-
-Terra
Dependendo do problema analisado, os referenciais tomados
poderão ser uni. bi ou tridimensionais.
16
rrp • Aplicações
Referencial unidimensional: a localização de um móvel é feita
através de um único número: Xp (coordenada).
Movimento de um corro numa estrada.
Referencial bidimensional: a localização do móvel é feita através
dc dois números: Xp e Yp(coordenadas).
Referencial tridimensional: a localização do móvel P é feita através
de três números: Xpf Y p e Zy (coordenadas).
Vôo de um pássaro num viveiro.
17
Movimento
Dizemos que um ponto materiai está em movimento em relação
a um referencial quando sua posição se alterar ao longo do tempo
neste referencial. Isso significa que, no mínimo, uma de suas co­
ordenadas varia com o tempo.
Mudança de posiçíío: movimento.
Aplicação
Um passageiro sentado está em movimento,
juntamente com seu veiculo, em relação à Terra
Repouso
Dizemos que um ponto material está em repouso, em relação
a um referencial, quando sua posição não se alterar ao longo do
tempo, neste referencial. Ou seja. quando suas coordenadas neste
referencial não sc alterarem com o tempo.
Posição inalterada: repouso.
18
i* Aplicações
1. Observe que um móvel pode se encontrar em repouso em relação
a um referencial e em movimento em relação a outro.
Na figura abaixo:
• a caixa está em repouso em relação ao caminhão, pois sua po­
sição não varia em relação a ele (referencial B).
• a caixa está em movimento em relação à estrada, pois sua posi­
ção varia em relação a ela (referencial A).
Indica 3xposiçõo da caix3
em relação ao caminhão.
a posição
em
à
estrada.
2. Na figura abaixo representamos a posição de um poste em relação
a um carro. Se a posição do poste varia em relação ao carro, di­
zemos que o poste movimenta-se em relação ao carro.
V ® ®
Conclusão Movimento e repouso são conceitos relativos, depen­
dendo do referencial adotado. Ao descrevermos um movimento, é
conveniente adotarmos um sistema de referência onde a descrição do
fenômeno torne-se a mais simples possível.
& 19
Trajetória «
Denomina-se trajetória de um móvel a sucessão de posições
ocupadas por ele cm re ação ao referencial adotado.
Os sulcos deixados pelo veículo na areia indicam a trajetória do móvel.
trens percorrem uma trajetória previamente traçada.
A trajetória dos aviões a .ato pode ser observada através da fumaça que
se origina da condensação do vapor dos gases liberados.
Geralmente, a trajetória é representada por uma função mate­
mática e sempre depende do referencial adotado.
Exemplo:
C .
Desprezando as influências do ar, a trajetória de uma bomba, que
cai de um avião em vôo horizontal com rapidez constante, será um
arco ce parábola em relação ao solo e um segmento de reta vertical
cm relação ao avião.
A orientação da trajetória e a escolha de uma origem sobre ela
facilitam a análise do movimento, pois permitem a associação de
sinais a algumas grandezas que o caracterizam.
Orientação da trajetória c escolha da origem (O)
Esquema simplificado:
Movimento progressivo
«
O movimento de um móvel é progressivo quando efetuado a
favor (no mesmo sentido) da orientação indicada no referencial.
©
Movimento retrógrado
0 movimento de um móvel é retrógrado quando efetuado contra
(em sentido contrário) a orientação indicada no referencial.
©
Espaço
A posição P ocupada pelo móvel (M) num referencial, num dado
instante t. pode ser determinada através da grandeza espaço.
p
e#>
c/*/
22
0 espaço S é a medida algébrica do arco de trajetória que tem
início na origem do referencial e extremidade na posição ocupada
pelo móvel.
Ou seja: S = OP.
No Sistema Internacional, o espaço é medido em metros: no Sis­
tema CGS, em centímetros, e, no Sistema Técnico, em metros.
toî/zemdJim
Aplicações práticas
Marco quilométrico nas estradas:
Numeração das casas numa rua:
24
ü fó & va flfà L___________________________________________________
J. Ccnliecendo-se o espaço de um móvel não se tem Icéia se ele *vai
“vem", ou simplesmente está em repouso. Se o móvel está no
quilômetro 30. não significa que ele tenha andado 30 km.
i
2. Observe a figura seguinte Nela representamos um referencial associado
à própria estrada, onde se desenvolvem os movimentos dos móveis
A. B C e D. Orientando-se este referencial, teremos as regiões positiva
e negativa.
Podemos, então, escrever: móvel A: SA ——30 km:
móvel B: S „= + 2 0 k m ; móvel C (observador):
Sc = 0 .<
m (origem): móvel D: SD = 0km (origem).
Para a mesma posição, três situações diferentes: o móvel A “vai", o móvel
B ‘ vem’ e o observador C está em repouso.
L
Simpliíicadamente teremos:
í
I
Intervalo de tempo
Entre o início e o fim da análise de um movimento decorre um
intervalo de tempo At definido como a diferença ent-e o instante
final e o instante inicial
11. é sempre maior que tin: então, At será sempro positivo.
Um fenómeno f r  0 fenômeno
físico tem seu W r * seu término
início quando o quando o
cronômetro . i — ! cronômetro
registra 5 s. registra 15 s.
Logo: v Logo:
*»n = 5 S instante finai — tfh. = 15 s
à r
Duração do fenômeno
 i ‘ s
Intérvalo de
tompo At *"
/ I I v
At = tf,„ - t(ll = 15s —5 s Logo |A
> -0 s|
26
Deslocamento escalar
Deslocamento escalar AS de um móvel num dado intervalo de
tempo é a diferença entre o espaço final e o espaço inicial das
posições que ele ocupa nos extremos deste intervalo.
Ou seja: AS — Srm— Sir,
Deslocamento escalar: AS = S,
Esquema simplificado: s .
Vejamos, agora, qual a interpretação física que devemos dar para
os sinais do deslocamento escalar.
1) Se, por exemplo, no instante 4 s um móvel ocupa a posição inicial
determinada por Si„ — 10 m e num instante 12 s ele ocupa a po­
sição final determinada por Sn« —30 m. seu deslocamento escalar
será:
à
I
I
Intervalo de tempo
Deslocamento escalar
A' —tfi„—tj,,
At = 12s 4 s —8 s
AS = Sflll S|M
AS 30 m — 10 m = +20 m
^ Conclusão: Durante o intervalo de tempo de 8 s, o móvel teve um
^ des ocamento escalar de +20 m. ,
O sinal “ mais” significa que, se o móvel manteve sempre o mes­
mo sentido de percurso, seu movimento desenvolveu-se a favor
do sentido do referencial unidimensional adotado.
Assim, nos movimentos progressivos, o deslocamento escalar é
positivo.
2) Se no instante 15 s o móvel ocupa a posição inicial determinada
por $i;, = 35m e no instante 25 s ele ocupa a posição final deter­
minada por Sun — 20 m. seu deslocamento escalar será:
AS = Sm, — Si„ = 20 m — 35 m => AS = —15 m
s n„ - 20 m
Intervalo dc tempo A
* tfin —*
iii
At = 25s — 15s = 10 s
Deslocamento escalar
AS = SflI(- S iu
AS = 20 m —35m = 15 m
Conclusão: Durante o intervalo de tempo de 10 s. o móvel teve um
deslocamento escalar de —15 m.
O sinal "menos" significa que, se o móvel manteve sempre o mes­
mo sentido de percurso, seu movimento desenvolveu-se contra o
sentido do referencial unidimensional adotado.
Assim, nos movimentos retrógrados, o deslocamento escalar é
negativo.
Movimentos progressivos - ► AS > 0
Movimentos retrógrados AS < 0
Ouando o móvel retorna ao ponto de partida ou permanece em repouso,
o deslocamento escalar é nulo.
posição
inicial
Distância percorrida
A distância percorrida por um móvel é a soma dos módulos dos
deslocamentos escalares realizados por ele durante seu movimento,
acrescida da unidade correspondente.
Assim, por exemplo, a distância percorrida por um automóvel
corresponde à quilometragem feita por ele durante uma viagem.
Resumindo:
d = |ASi| + |AS»| + . . . + |ASn|
Exemplo:
Para um móvel que parte da posição A, atinge B e retorna, che­
gando ao ponto C, teremos:
1) AS = So — S a = 0m — 10m —10m
2) d — AB + BC = 10m + 20m = 30 m
O « inholo , S dovo anr entendido como módulo da grandeza AS e
corroapondo ao valor rtumórico da grandeza AS rjue ó um número real
positivo ou nulo.
Exemplo:
AS n -2 m- ► AS| =4-2
Velocidade escalar
Velocidade é a grandeza física que permite medir a rapidez com
que um móvel varia sua posição.
• Velocidade escalar média — Define-se velocidade escalar média
de um móvel como o quociente do deslocamento escalar pelo intervalo
de tempo correspondente.
Como o intervalo de tempo At é sempre positivo a velocidade
escalar media V„, terá o mesmo sinai do deslocamento escalar AS.
Ou seja: Vn
J =
At tfin tin
©
30
• Velocidade escalar instantânea — Ouando o intervale de tempo
At tende a zero. a velocidade escalar média tende à velocidade escalar
instantânea.
Ou seja:
Posições sucessivas do um móvel entre dois instantes muito próximos.
velocidade média do
móvel entre dois instantes
muito próximos
velocidade
instantânea
• Unidades de velocidade
No Sistema Internacional, a velocidade é medida em m/s; no Sis­
tema CGS, em cm/s; no Sistema Técnico, em m/s. e, usualmente,
mede-se também a velocidade em km/h.
Aplicações práticas
Velocidade escalar média: guarda rodoviário controlando o limite
de velocidade de um veículo através de binóculo e cronômetro.
31
• Sinais da velocidade escalar — Nos movimentos progressivos a
velocidade escalar instantânea é sempre positiva.
Nos movimentos retrógrados a velocidade escalar instantânea é
Ouando a velocidade de um móvel é instantaneamente nula, dize­
mos que ele está parado naquele instante.
Isto ocorre, por exemplo, no ponto mais alto do lançamento ver­
tical de uma pedra.
áà v = o
"" No instante em
que atinge o
ponto mais alto da
J sua trajetória, o
| móvel pára Porém,
não permanece
nessa posição com
V. V = 0.
í
Quando a velocidade escalar instantânea de um móvel perma­
nece nula durante um intervalo de tempe At, dizemos que ele está
em repouso naquele intervalo.
i Complementos
• A intensidade da velocidade escalar instantânea pode ser regis­
trada num instrumento denominado tacómetro (velocímetro).
O velocímetro do automóvel registra a intensidade tía velocidade escalar instartãrea
(rapidez do movimento).
• Algumas velocidades significativas:
Velocidade da luz no vácuo ............................................... 300 000 km/s
Velocidade do som no ar à temperatura de 20“ C .. 344 m/s
Velocidade média de translação da Terra ao redor
do Sol .................................................................................... 30 km/s
Importante: A velocidade é grandeza que depende do referencial ado­
tado. Assim, uma pessoa dormindo em sua casa possui velocidade
nula em relação à Terra, mas está dotada de velocidade não-nula em
relação ao Sol.

-
»
I
C
t*
33
Aceleração escalar
Aceleração é o grandeza física que permite medir a rapidez com
que um móvel varia suei velocidade.
• Aceleração escalar média — Num intervalo de tempo M. um
móvel var a sua velocidade escalar de V.n a Vfln.
©
km. h
r 7 s
V
©
'
km.h
Define-se aceleração escalar média do móvel como o quociente
da variação de sua velocidade escalar pelo intervalo de tempo cor­
respondente.
Ou seja:
O sinal da velocidade
só indica o sentido
do movimento.
V,0 - 4C km/h Vf,u 4 85 krn-h
No exemplo:
85 40 45
= ------------= -----
30 - 15 15
34
• Aceleração escalar instantânea — Quando o intervalo de tempo
At tende a zero, a aceleração escalar média tende à aceleração escalar
instantânea. At —o
Ou seja: a =
=lim a
.-„
a:-» ü
• Unidades de aceleração
AV
Lembrando que a,u= -----, então podemos concluir que:
At
unidade de
unidade de velocidade
aceleração unidade de
tempo
Assim, no Sistema Internacional teremos:
unidade de
velocidade
unidade de
tempo
No Sistema
unidade de
velocidade
unidade de
tempo
No Sistema
unidade de
velocidade
unidade de
tempo
km/h
Uma unidade usual é
s
Aplicação prática
Análise do desempenho de um automóvel: a velocidade de um
Corcel GT varia de 0 a 100 km/h num intèrvalo de tempo de 17,15 s:
a velocidade de um Passat TS varia de 0 a 100 km/h num intervalo
de tempo de 15,30s. (Dados extraídos ca revista Quatro Rodas de
junho de 1979.)
• Sinais da aceleração escalar — Analisemos o movimento de um
veículo onde, em cada um dos casos abaixo, o motorista procura
manter a leitura no velocímetro ou permanentemente crescente ou
permanentemente decrescente. Lembre-se de que o velocímetro só
registra as intensidades das velocidades; os sinais serão dispostos
de acordo com o sentido do movimento do móvel.
1} As velocidades do veículo crescem algebricamente:
Instante t«„ - 5s tf n- 10s
Velocidade Vj,, ——5 m/s Vf| „ - 4-15 m/s
A velocidade final é algebricamente maior que a velocidade n ciai.
1 5 - 5
a... -
1 0 - 5
a,, - + 2 m/s*
I
Velocidade Vh: — 15 m/s
A velocidade ^
está
crescendo
algebricamente-.
a ( I ). Instante
A ve ocidade final é algebricamente maior que a velocidade inicia!.
= —
(-15)
10 5
a„ - - 2 m/s
O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento
Conclusão: A aceleração escalar do móvel é positiva sempre que
-- sua velocidade escalar crescer algebricamente.
2) As velocidades do veículo decrescem algebricamente:
A velocidade está
decrescendo
algebricamente: a ( )
Instante ti» - 5 s tr.„ = 10 s
Velocidade V,., - +15 m/s v n. “ +5 m/s
A velocidade final é algebricamente menor que a velocidade inicial.
5 - 1 5
aai = —
2m/s-
Instante t,» “ 5 s Win — 10 s
Velocidade V;1
I - - 5 m/s Vr.i. ™ -15 m/s
A velocidade final 6 algebricamente menor que a velocidade inicial.
-15 - ( - 5 )
am— a„ = —
2m/s-
O sinal da veiocidade só indica o sentido do movimento.
Conclusão: A aceleração escalar do móvel é negativa sempre
que sua velocidade escalar decrescer algebricamente.
%//M /n ã/àn 37
Movimentos acelerado e retardado
Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel cresce
num intervalo de tempo, o movimento é denominado acelerado.
Movimento acelerado
A velocidade aumenta em intensidade.
Corresponde á situação em que as leituras do velocímetro
assumem valores crescentes.
Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel decresce
num intervalo de tempo, o movimento é denominado retardado.
Movimento retardado
A velocidade diminui em intensidade.
Corresponde à situação em que as leituras do veloe metro
assumem valores decrescentes.
Resumo geral — Observe, nas duas pranchas a seguir, que o
sinal da aceleração de um móvel nada tem a ver com o fato de seu
movimento ser acelerado ou retardado. Assim, o fato de a aceleração
38
ser positiva não implica necessariamente que o movimento seja ace­
lerado. bem como o fato de a aceleração ser negativa não implica
necessariamente que o movimento seja retardado.
MOVIMENTO ACELERADO
Cálculo tía aceleração
Entre Os e 5 s:
km/h
Entre 5 s e 10 s:
8 0 - 6 0 km/h
$ 1 0 - 5 s
ACELERAÇÃO POSITIVA
VELOCIDADE POSITIVA
MOVIMENTO ACELERADO
MOVIMENTO ACELERADO
Cálculo da aceleração
Entre Os e 5 s:
- 6 0 - (-40)
a —-----------------
5 - 0
ACELERAÇÃO NEGATIVA
VELOCIDADE NEGATIVA
Entre 5 s e 10 s :.
30 - (—60)
a ------------------
1 0 - 5
MOVIMENTO ACELERADO
O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento.
Movimento acelerado: velocidade c aceleração tém o IVESMO SINAL!
f
Cálculo da aceleração
Entre 0 s e 5s
60 80
a —------ -—
3 - 0
l km/h
Entre 5 s e 10 s:
40 - 60 km/h
s 10- 5 s
ACELERAÇÃO NEGATIVA
VELOCIDADE POSITIVA MOVIMENTO RETARDADO
MOVIMENTO RETARDADO
Cálculo da aceleração
Entre 0 s e 5 s:
-60 - (-80)
a ------------------
5 - 0
km/h
a .. T-4------ -
Entre 5 s e 1Cs:
-40 - (-60) km/h
s 10- 5 s
ACELERAÇAO POSITIVA
VELOCIDADE NEGATIVA MOVIMENTO RETARDADO
O sinal da velocidade só indica o ser*, do do movimento
Movimento retardado: velocidade e aceleração têm SINAIS OPOSTOS!
40
Portanto:
Movimento acelerado
Velocidade e aceleração têm o mesmo sinal.
- v . a > 0
Movimento retardado
Velocidade e aceleração têm sinais opostos.
- V . a < 0
Representação gráfica
A variação de uma grandeza em
visualizada através ce um diagrama.
função do temoo pode ser
Assim, o comportamento das ondas cerebrais de um homem pode
ser estudado através de um eletroencefalograma: um tremor de terra
pode ser analisado através de seu registro num sismógrafo.
'W
ft
Analogamente, podemos analisar as variações do espaçe S. da
velocidade V e da aceleração a através de seus diagramas horários
S X t . V X t e a X t .
A leitura direta de um diagrama horário informa-nos sobre o com­
portamento da grandeza ern estudo ao longo do tempo.
Exemplo:
Da leitura direta do gráfico V X t abaixo, podemos concluir que:
• De Os a 5 s . V > 0 (movimento progressivo) e V cresce (movi­
mento acelerado).
• De 5 s a 10s, V > 0 (movimento progressivo) e V decresce
(movimento retardado).
• De 10 s a 15 s, V < 0 (movimento retrógrado) e jV| cresce (mo­
vimento acelerado).
• De 15 s a 20 s. V < 0 (movimento retrógrado) e V decresce
(movimento retardado).
42
'fln
Gin
G
y<x
! AG
i
~A At 1
/ a ; i
i
/ "■
*fln t
Elementos gráficos
Além da leitura direta, há dois outros elementos de interesse
no estudo de um diagrama horário: o declive da curva e a área sob
o gráfico.
• Declive de uma curva * —
Dado um diagrama horário de
uma grandeza G (S. V ou a), cha­
mamos de declive do gráfico a
tangente trigonométrica do ân­
gulo formado pelo gráfico e o
eixo horizontal, medido no sen­
tido anti-horário a partir do eixo
t. Ou seja: | dec = tgõ~ .
Gráfico retilíneo: dec = tg a =
AG _ Gfln — G|n
At trtn —tln
Gráfico curvilíneo:
• declive médio
deCm — dec^j^p.^ tg &
• declive num ponto
deci» = tg a
Sinais do declive:
• para 0o< a < 90°, dec > 0.
Exemplo:
6 — 3
dec (o»m j»)-----------— “M ,5 —>
2 - 0
dec«)» mi‘») — 4-1.5
• para 90° < a < 180°, dec < 0.
Exemplo:
dec. s-h 7») =
0 - 6
7 - 5
= - 3 = >
dec <5. W7•! = —3
• Para a = 0 dec = 0.
Exemplo:
6 - 6
dec (2«H5•) = 0
_________ 5 — 2
j dec<
2■
h »»i — 0
* Pera maior facllidace. ver Apêndice (Pranchas Matemática») no linal deste livro
Admite-se que a escala de representação da grandeza G e da grandeza t
seja a mesma. f
Exemplo:
eixo da grandeza G (ordenada): 1cm representa 1m/s;
eixo da grandeza t (abscissa): 1cm representa 1s._________________________
• Área sob o gráfico — Mui­
tas vezes a área entre o gráfico
e o eixo dos tempos é numerica­
mente igual a uma certa gran­
deza física G, ou seja, A *?G .
Por outro lado, em muitos
casos, o sinal desta grandeza
está associado ao fato de o grá­
fico estar acima ou abaixo do
eixo dos tempos. Podemos, en­
tão. adotar a seguinte conven­
ção:
• área calculada acima do eixo
dos tempos: G > 0;
• área calculada abaixo do
eixo dos tempos: G < 0.
Exemplos:
8 + 4
D A IO» H 2 «) . 2 —
= 12 — >Ato» h 2») = 12
A ;2«m *h) — 2 . 8 = 16 =
—>A(2«h i >
0= 16
2 . 8
A h «h 6») =•--------= 8 :
==>A « «MA») — 8
Portanto, A(0, h 6*j = 12 +
■
+- 16-h 8 = 36
Sendo A 5 G, vem: |G = -f36
4 .8
2) A(«. mio») 16
Sendo A ^G. vem: | G = —16
1. CESCEA — Um homem, ao inclinar-se sobre a janela do vagão
de um trem que .se move com velocidade constante, deixa cair
seu relógio. A trajetória do relógio, vista pelo homem do trem.
é (despreze a resistência do ar):
a) uma reta.
b) uma parábola.
c) um quarto de circunferência.
d) uma hipérbole.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Embora caia verticalmente, aproximando-se do chão, hori-
zontalmcntc o relógio acompanha o trem, devido ao seu embalo inicial.
Assim, em relação a uni referencial fixo no trem, a trajetória do objeto
será um segmento de reta vertical.
O mesmo ocorre quando um avião, voando horizontalmente com velo­
cidade constante, abandona um objeto que cai livre da resistência do ar.
— O ----

Resposta: alternativa a.
45
2. CESCEA — Na questão anterior, a trajetória vista por uma pessoa
no solo é:
a) uma reta.
b) uma parábola. f
c) uma hipérbole.
d) um quarto de circunferência.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Fm relação a uni referencial fixo no solo, o relógio será
dotado de dois movimentos simultâneos: queda vertical e deslocamento
lateral. A combinação desses movimentos resulta em um arco de pará­
bola, conforme você pode observar no exemplo do avião.
Resposta: alternativa b.
3. ITA — Um homem sobe uma escada que se apóia contra um edi­
fício. A escada tem seu topo a 8 m do solo e a base está a 6 m
do edifício, conforme figura abaixo. Ele sobe ao topo em 4 s e.
daí, cai ao ponto B no próximo segundo. A velocidade escalar
média entre A e B é de:
Cv a) 3.2 m/s.
b) 1.2 m/s.
c) 3,6 m/s.
d) 5.25 m/s.
Bl_______________- N .a e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Do enunciado da questão, temos:
CB = 8 m, AB = 6m , AtA
C= 4 s e Atou = 1 s
C
Por Pitágoras, podemos escrever:
(AB)2 + (CB)2= (AC)2
(6)2 -4- (8)2t= (AC)2
(AC)2 = 1 0 0 = > AC = 10 m
Lembrando a definição dc velocidade escalar média, vem:
.. AS AC + CB 10-f-8 18
" 6
■ât AtA
C-j- AtfB 4 -f- 1 5
Logo: Vrn= 3,6m /s
Resposta: alternativa c.
46
4. MACKENZIE — Sejam M e N dois pontos de uma reta e P o ponto
médio de MN. Um homem percorre MP com veloc dade constante
de 4,0 m/s e PN com velocidade constante de 6,0 m/s. A velo­
cidade média do homem entre M e N é de:
a) 4,8 m/s.
b) 5,0 m/s.
c) 5.2 m/s.
d) 4.6 m/s.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Quando um móvel mantém sua velocidade constante, as
velocidades media e instantânea tem o mesmo valor.
y © g © a
At, At,
Ou seja:
velocidade
constante
V = V,
Assim, para o trecho MH podemos escrever:
AS, AS
Vm, = 4 m/s = > --------- = 4 = > At, = ------
* At, 4
Para o trecho PN, teremos:
AS2
Vrn = 6 m/ s = > ---------= 6 =>
Ata
A velocidade media total será:
ASp AS, -{- ASa
V — —
At? At, -}- Ato
Ata
ASa
6
(UI)
Substituindo-sc
AS,
AS,
(I) e (II) em (III), vem:
-I- AS. _ AS, + AS*
ASo ~ 3AS, + 2ASa
(D
(II)
12(AS, + AS-.)
3AS, -f- 2ASo
4 6 12
47
Pelo enunciado, sendo P o ponto niédio do trecho MN, então MP — PN
ou AS, - AS,.
Portanto:
12(AS, + AS,) 2 4 # ,
~~ '
V«
24
3AS, -f 2AS,
Conclusão:
4,8
VmT — 4,8 m/s
Resposta: alternativa a.
5. MAPOFEI — Um automóvel percorre a distância entre São Paulo
e São José des Campos (90 km) com a velocidade média de
60 km/h; a distância entre São José dos Campos e Cruzeiro
(100 km) é percorrida com a velocidade média de 100 km/h e entre
Cruzeiro e Rio de Janeiro (210 km) com a velocidade média de
60 km/h. Calcule a velocidade média do automóvel entre São
Paulo e Rio de Janeiro.
Resolução: Para o trecho (1) (São Paulo—São José dos Campos):
AS, AS, 90
Vm = ------ = > At, = -----— = > A t, = ------= 5
1 At, V». 60
At, = 1,5 h
Para o trecho (2) (São José dos Campos—Cruzeiro):
AS2 AS2 100
V„, = ----i = > Ata = ---- — => At. = ---------= >
Ato 100
Ato = 1,0 h
Para o trecho (3) (Cruzeiro—Rio de Janeiro):
AS» AS3 4 210
At3 —---------—^ At:, —
V« = -
1 At: 60
At:, = 3,5 h
Assim, o intervalo de tempo total para ir de São Paulo ao Rio de
Janeiro será: _________
At = At, 4 Ato 4- At:, = 1,5 4- 1,0 4 3,5 = > At = 6,0 h
48
O deslocamento total do automóvel será:
áS = AS, 4 AS. 4 AS3= 90 4 100 4 210 =>
Portanto:
AS = 400 km
V,
400
6
Vm— 66,6" km/h
Resposta: A velocidade média do automóvel em todo o trecho foi de
66,67 km/h.
6. CESGRANRIO — Numa avenida longa, os sinais são sincronizados
de tal forma que os carros, trafegando a uma determinada velo­
cidade, encontram sempre os sinais abertos (onda verde). Sa­
bendo que a distância entre sinais sucessivos (cruzamentos) é
de 200 m e que o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal
e o seguinte c de 12 s. com que velocidade os carros devem
trafegar para encontrarem os sinais abertos?
a) 30 km/h
b) 40 km/h
c) 60 km/h
d) 80 km/h
e) 100 km/h
Resolução: Suponhamos que um carro esteja chegando num sinal
vermelho.
Quando o sinal abrir, ele terá 12 s para percorrer 200 m até o próximo
sinal, que deverá estar passando do vermelho para o verde.
At
Calculemos, então, com que velocidade média o carro deverá fazer
este percurso.
Sendo AS = 200 m c At = 12 s, vem:
AS 200 50
V ... —
— ■
■■ ■ v m=
50
At 12 3
Lembrando que I m/s = 3,6 km/h, ternos:
50
m/s
V,„ = . 3,6 km/h V
'n
-, = 60 km/h
Resposta: alternativa c.
49
% /s/£ m d /ü r/ '
7. UNIVERSIDADE DE TAUBATé — Uma bicicleta move-se sobre
uma estrada curvilínea com velocidade escalar instantânea igual
a —4 rn./s. O sinal negativo indica que:
a) a bicicleta tem velocidade decrescente.
b) a bicicleta se move em marcpa a ré.
c) o movimento tem sentido contrário ao da orientação positiva
da trajetória.
d) é impossível tal situação; não há significado físico para velo­
cidade negativa.
Resolução: A velocidade escalar negativa indica que o objeto se move
contra a orientação do referencial.
Assim, diremos que o movimento da bicicleta é retrógrado.
)
Resposta: alternativa c.
8. UNIVERSIDADE DA BAHIA — O maquinista aciona os freios de
um trem, reduzindo sua velocidade de 80 km/h para 6C km/h, no
intervalo de 1 min. Neste intervale, a aceleração do trem foi de:
a) 20 km/h-’.
b) —20 km/h2.
c) —0.3 km/h2.
d) 1.2 . 103km/h-.
e) —1.2 . 103km/h2.
Resolução: Lembrando que a„,
AV Vfla — V|n
At At
podemos es-
crcver:
&
B
) —
Logo:
3iu — —
60 km/h — 80 km/h
1min
20 km/h km/h
1 min
a» = -2 0
mm
50
Ou seja, o trem reduz sua velocidade, cm média, de 20km/h em cada
minuto.
Como 1min = ------h, entào:
60
am= -2 0 . 60 km — => am= —1 200 km/h2
h
Assim:
a,3 : 1.2 . 103km/h2|
O sinal menos (—) significa que a velocidade escalar do móvel diminui
algebricamente.
Resposta: alternativa e.
9. MEDICIMA DE LONDRINA — A tabela abaixo dá a velocidade es­
calar (V) de um corpo em função do tempo (t):
t(s) 0 2 4 6 8
V(cm's) -3 4 1
1 18 25
A pa-tir destes dados, assinale o gráfico que melhor representa
am«
o*ih 2(| = ---------------- — H
--------- — -f-3,5 cm/ s
2 - 0 2
B in <2 « H <*1 = ------------------ = H------------— - j- 3 , 5 c m / s - '
4 - 2 2
|-------= -f 3,5 cm/s*
. 2
a.-ii<
4aH 6sl —
6 - 4
51
3m(uHM8*) — ---------------- — H
--------- — +3,5 cm/s2
8 - 6 2
Portanto, a aceleração media é constante c sua representação gráfica
é uma reta paralela ao eixo dos tempos (eixo horizontal).
Resposta: alternativa a.
10. ITA — No estudo do movimento de um móvel (em trajetória reti­
línea), medindo-se a velocidade a cada segundo a partir de um
instante t — 0 s e de um ponto x0 ob:eve-se a seguinte tabela:
V(m/s) 1.0 2.0 6.0 8.0 9.0 10.0 12.0 13.0 14.0 15.0 15,0 15.0 14.0 10,0 5.0 2.0
t(s) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 80 9.0 10.0 110 12.0 130 14,0 15.0
As acelerações médias do móvel entre es instantes 4 s h 5 s ,
10s m 11s e 13 s m 14 s foram, respectivamente (em m/s2):
a) 1.0: 0.0 e 4.0.
b) 4.0; 0,5 e -4 .0 .
c) 2.0; 2.0 e -2 .0 .
d) 2.0; 0.0 e -4 ,0 .
e) 1.0; 0.0 e —4.0.
n . . » ^ fin ^ :n
Resolução: Como am—--------------- , temos:
tíin — tin
(4,0»H’»
.O*) —
1 0 ,0 -9 ,0
5,0 - 4,0
am(4«HG«) — 1,0 m/S-
am:10.0&
H 11,0-
a
»—
15,0 — 15,0
1,0
1,0
0,0
— 1,0 m/s2
3.H113.01 H14,0s) —
11,0 -1 0,0 1,0
am(to «HM«) = 0,0 m/s*
6,0— 10,0 -4 ,0
= 0,0 m/s*
14,0— 13,0 *1,0
— —4,0 m/s*
amíl3sHHj) — —4,0 m/s*
Resposta: alternativa c.
11. MEDICINA DE SANTOS — Um ponto material desloca-sc com uma
certa velocidade segundo um eixo orientado, adquirindo, na ori­
gem deste, uma aceleração constante de —15 cm/s2. Após 6,0 s
sua velocidade é de 30 cm/s, dirigida segundo o sentido negativo
do eixo. A velocidade do ponto material no instante cm que lhe
foi comunicada a aceleração é de:
52
a) 15 cm/s.
b) 30 cm/s.
c) 45 cm/s.
d) 60 cm/s.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Do enunciado, temos a informação:
Vfu = —30 cm /s (velocidade contrária à orientação do referencial).
VfIn— V,0
Lembrando que aw
t = 0,0s V,„ = ?
t = 6,0s
'fii>
At
•©
■©
vem:
-1 5
-3 0 - V,
- 9 0 = -3 0 - V,B
= > Vla = 9 0 - 3 0 =>
Viu = 00 cm/s
Resposta: alternativa d.
12. FEI — O gráfico da velocidade de um ponto material em função
do tempo é o que se vê na figura abaixo. Pode-se dizer que:
a) o movimento é acelerado durante todo o tempo.
b) o movimento é retardado nos trechos AB, CD e DE.
c) o movimento só é retardado no trecho AB.
d) o movimento é retardado nos trechos AB e CD.
e) nenhuma das afirmações anteriores está correta.
53
Resolução: As grandezas físicas escalares podem ter suas variações
com o tempo ilustradas através de uma representação gráfica. A leitura
de um gráfico nos permite tirar conclusões a respeito do movimento
do móvel.
No caso cm questão, o gráfico V X t nos informa que:
Trecho AB: V| decresce = > movimento c retardado.
Trecho BC: velocidade se mantem constante.
Trecho CD: V| decresce = > movimento c retardado.
Trecho DE: V cresce => movimento é acelerado.
Resposta: alternativa d.
13. MEDICINA DA SANTA CASA — O gráfico abaixo representa o
espaço S de um móvel em função do tempo t. Pode-se dizer que
a velocidade média no intervalo de Os a 7 s foi igual a:
c) 23 m/s.
d) 6,6 m/s.
e) 0 m/s.
«j, __^
Resolução: Lembrando que Vm—-------------, através da leitura direta
t f In t jn
do diagrama horário S X t podemos concluir que S()— 0 m e S7= 0 m.
Portanto:
Va
i(0 *
H7 s
)
Sv- So
7 - 0
0 - 0 0
------- = ------= 0 =>
7 7
—
^ ^a
i:o
*h T
«
>—0 m
; S
Observe que o fato dc a velocidade média ser nula não implica que o
móvel esteja cm repouso. No caso em questão, a velocidade média é
nula porque o móvel ocupa a mesma posição nos instantes inicial e final.
Resposta: alternativa e.
54
14. MEDICINA DO ABC — O gráfico abaixo representa a velocidade
escalar em função do tempo de um veículo que se movimenta
sobre uma trajetória retilínea.
O módulo da aceleração escalar média, no intervalo de 0 s a 10.0 s.
b) 2.0.
c) 2.5.
d) 5.0.
e) 10.0.
Resolução: Lendo o gráfico, concluímos que:
para t = 0,0 s, Vrt — 20 m/s
para t = I0,0s, V10= Om/s
c . AV V|0 — V„
benao a*. = ------= ---------------- , vem:
At At
0 — 20
âjiMOHHio*.)----------------. . am
(o,sH»'»*) ——2,0 m/s*
1 0 - 0
A velocidade final é aleebricamcnte menor que a velocidade inicial.
Logo, em m/s2:
Resposta: alternativa b.
<
<f s H 10 *1
- 2.0
55
1. MEDICINA DE 1TAJUBÁ — Um menino parado numa estação deixa
cair uma pedra. Um observador, situado num trem que se desloca com
movimento retilíneo para a esquerda, vê a pedra seguindo qual das traje­
tórias abaixo?
2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — lodo movimento é relativo. Então,
podc-sc dizer que, cm relação a um mesmo sistema de referência:
I) Sc A está em movimento em relação a B e B está em movimento em
relação a C, então A está em movimento em relação a C.
II) Se A está parado em relação a B c B está parado em relação a C, então
A está parado em relação a C.
Responder mediante o seguinte código:
a) I está certa e II está errada.
b) I está errada e II está certa. d) I e II estão erradas.
c) I c II estão corretas. c) Nada se pode afirmar.
3. MEDICINA DO ABC — A velocidade escalar média de um móvel é me­
lhor definida como sendo:
a) a média das velocidades escalares do móvel, ao longo do movimento.
b) o resultado da divisão do espaço percorrido pelo móvel pelo intervalo
de tempo empregado em percorrer esse espaço.
c) o produto da aceleração pelo tempo.
d) o quociente da aceleração pelo tempo.
c) a media aritmética das velocidades inicial c final, relativas ao mesmo
percurso.
56
4. ENGENHARIA DF. UBERLÂNDIA — Um passageiro dc ônibus verifi­
cou que o mesmo andou 10 km nos 10 primeiros minutos de observação c
8 km nos 10 minutos seguintes. A velocidade média do ônibus foi:
a) pouco menor que 60 km/h.
b) igual a 60 km/h.
c) pouco maior que 60 km/h.
d) igual a 120 km/h.
c) impossível dc ser calculada.
5. PUC (CAMPINAS) Lm carro move-se com velocidade de 2 m/s durante
10s (l.a marcha): cm seguida, com 5 m/s durante 10 s (2.a marcha) e, de­
pois, com II m/s durante 10s (3.a marcha). Desprcza-se a duração das
mudanças de marcha.
a) A velocidade média do carro c dc 6 m/s.
b) A aceleração do carro é sempre nula.
c) A aceleração media do carro na duração do fenômeno é de 0,45 m/s-.
d) Nenhum dos resultados anteriores.
6. MEDICINA DF. CATANDUVA — Um automóvel percorre um trecho
retilíneo dc estrada, indoda cidade A ate a cidade B,distante 150 km da
primeira. Saindo às 10:00 h dcA.pára às ll:00h emumrestaurante situa­
do no ponto médio do trecho AB, onde o motorista gasta exatamente uma
hora para almoçar. A seguir, prossegue viagem e gasta mais uma hora
para chegar à cidade B. A velocidade media do automóvel no trecho AB
foi dc:
a) 75 km/h. d) 60 km/h.
b) 50 km/h. c) 90 km/h.
c) 150 km/h.
7. ITA — Um motorista deseja perfa?er a distância de 20 km com a veloci­
dade média de 80 km/h. Se viajar durante os primeiros 15 minutos com a
velocidade de 40 km/h, com que velocidade média deverá fazer o percurso
restante?
a) 120 km/h.
b) 160 km/h.
c) É impossível estabelecer a velocidade mcd:a desejada nas circunstâncias
apresentadas.
d) Nula.
e) Nenhuma das afirmações c correta.
8. UNESP — Um ônibus dirige-sc dc São Paulo ao Rio dc Janeiro.
0) Ao passar pelo marco quilométrico A dc espaço 150 km, um passa­
geiro lê cm seu relógio o tempo 15 horas. Com esses dados, a veloci­
dade é calculada cm 10 km/h.
(2) Às 17 horas, o veículo passa por um marco B no qual se lê 50 km.
Entro A e B o percurso é —100 km. a duração é dc 2 horas e a velo­
cidade média é dc —50 km/h.
*
4
k
*
‘4
(3) O sinal negativo na velocidade do item (2), suposto correto, indica que
o veículo faz marcha à ré.
a) Somente (1) c correta.
b) Somente (2) é correta.
c) Somente (3) c correta.
d) Há mais de uma afirmativa correta.
e) Não há nenhuma afirmativa correta.
9. UNIVERSIDADE DE SÂO CARLOS — Um móvel se desloca de um
ponto A até um ponte B. a uma velocidade constante igual a 80,0 km/h.
Depois, se desloca do ponto B ate um ponto C, a uma velocidade constante
igual a 30,0 km/h. Se a trajetória é retilínea desde o ponto A até o ponto
C. c as distâncias de A até B c de B até C são iguais, podemos dizer que
a velocidade escalar média do móvel é de:
a) 55,0 km/h. d) 50,2 km/h
b) 43,6 km/h. e) 71.7 km/h.
c) 60.8 km/h.
10. PUC (RIO GRANDE DO SUL) — A velocidade média de um automóvel
na primeira metade de um determinado percurso é de 10 km/h c. na se­
gunda metade desse mesmo percurso, é de 30 km/h. Pode-se afirmar que
a velocidade média desse automóvel cm todo o percurso vale:
a) 15 km/h. d) 30 km/h.
b) 20 km/h. e) 40 km/h.
c) 25 km/h.
11. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA — Um ponto material move-se em
linha reta. percorrendo dois trechos consecutivos MN c NP O trecho MN
c percorrido com uma velocidade media igual a 20 km/h, e o trecho NP
com uma velocidade média igual a 60 km/h. O trecho NP é o dobro do
trecho MN. Pode-se afirmar que a velocidade média no trecho MP foi de:
a) 36 km/h. d) 42 km/h.
b) 40 km/h. e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 37,3 km/h.
12. MEDICINA DE ITAJUBÁ Um trem viaja durante 2h a 50,0 km/h;
depois, passa a viajar a 60,0 km/h durante 1,5 h e, finalmcntc. passa a
80,0 km/h durante 0,5 h. Sua velocidade média, neste trajeto, será de:
a) 80.0km/h. d) 57,5 km/h.
c) 63,3 km/h.
13. MEDICINA DE SANTOS — Um móvel, descrevendo um movimento pro­
gressivo, certamcnte está em:
b) 65,0 km/h. e) 47,5 km/h.
a) rotação.
b) oscilação.
c) movimento retilíneo.
d) movimento uniforme.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
58
14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Medindo-se, no sistema CGS dc
unidades, a velocidade de um corpo, obteve-se o vaíor de 12,3 cm/s. Que
valor expressa esta mesma velocidade no sistema de unidades MKS?
a) 1,23 . 10-3m/s d) 1,23 . 10*m/s
b) 1,23 . 10-* m/s e) 1,23 . IO3m/s
c) 1,23 . 10-» m/s
15. PUC (CAMPINAS) — A aceleração escalar média de um automóvel que
aumenta sua velocidade de 36 km/h para 108 km/h em 10s c de:
a) 7,2 m/s2. d) 4,2 m/s2.
b) 72 m/s2. e) 3,0 m/s2.
c) 2,0 m/s2.
16. UNIVERSIDADE DE SÄO CARLOS Um carro, movendo-se no sen­
tido positivo do eixo x com velocidade de 100 km/h. freia de modo que
após 1.0 min sua velocidade passa a ser dc 40 km/h. A aceleração média
do carro será dc:
a) —1,0 km/min2. d) —
0,66 km/min2.
b) 1.0 km/min2. c) 0.66 km/s2.
c) 1,0 m/s2.
17. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O quociente entre velocidade c ace­
leração c uma grandeza que pode ser medida em:
a) cm/s2. d) s.
b) cm/s3. e) s-1.
c) cm2/s3.
18. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O gráfico abaixo representa o espaço
S de um ponto em função do tempo t de percurso. A maior velocidade
média, relativa a um intervalo de tempo igual a um segundo, é obtida
entre:
•
I
a) 0 s e Is.
b) I s e 2 s.
c) 3 s e 4 s.
d) 4 s e 5 s.
e) 5 s e 6 s.
59
v i& n d á a z &
19. MEDICINA DE TAUBATÉ O gráfico S X t de um móvel c desenhado
abaixo. Esse móvel tem um movimento:
t
a) aederado. d) retrógrado.
b) retardado. e) ü móvel está parado.
c) progressivo.
20. MEDICINA DE SANTOS O diagrama abaixo representa a velocidade
escalar de um ponto material em função do tempo.
Podemos afirmar que:
a) entre os instantes 0 s e 5 s o movimento c progressivo c retardado.
b) entre os instantes 15 se 20s a aceleração escalar é negativa.
c) entre os instantes 5 se 10s o movimento c progressivo retardado.
d) no instante 15 s a aceleração é nula.
c) nos instantes 10 s c 20 s a aceleração atinge seus valores máximos.
S I
21. CESCEA — Dois corpos, distantes entre si 100 m. partem simultaneamente
um em direção ao outro, ao longo ca reta que os une. O gráfico abaixo
marca a posição de cada um dos corpos no decorrer do tempo; (1) rcfcre-se
ao primeiro e (2) ao segundo corpo.
Considere as proposições:
I) Os corpos seencontram noinstante t = 4 s.
II) Os espaçospercorridos pelo corpo (1) e pelo corpo (2) desde o mo­
mento da partida até o instante de encontro são. respectivamente.
—
f>
()m c 40 m.
III) A velocidade média do corpo (1), em módulo, durante os primeiros
6 s. é maior que a do corpo (2).
São corretas as proposições:
a) I e II. d) Todas são verdadeiras.
b) I c III. c) Todas são falsas.
c) II e III.
22. CESGRANRIO — Um mau motorista percorre uma avenida onde os su­
cessivos sinais dc tráfego são eqüidistantes e estão sincronizados para que
um bom motorista possa cruzar todos os sinais no verde, dirigindo com
uma determinada velocidade constante.
No entanto, o mau motorista não aproveita essa chamada "onda verde .
Ele arranca subitamente, “queimando borracha", na abertura de um sinal,
acelera a fundo e depois freia violentamente de modo a parar no sinal
seguinte, onde aguarda a abertura, c assim por diante.
Qual dos seguintes gráficos posição x tempo melhor representa o movimento
do carro desse mau motorista? <
Tempo
Posição
Tempo
62
23. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTE — Ao fa^er uma
viagem de carro entre duas cidades, um motorista observa que sua velo­
cidade escalar média foi de 70 km/h, e que, em média, seu carro consu­
miu 1,0 litro de gasolina a cada 10 km. Se. durante a viagem, o motorista
gastou 35 litros de gasolina, quantas horas demorou a viagem entre as
duas cidades?
a) 3 h d) 4 h e 30 min
b) 3 h c 30 min e) 5 h
c) 4 h
2. I) Imagino um observador A dotado dc velocidade V em relação a uma
escada rolante B, que sobe também com velocidade V. em reiação à Terra
(C). Se A subir a escada B. a velocidade de A com relaçáo a C será 2V
(movimento).
Se A descer a escada B. a velocidade de A em relação a C será zero
(repouso).
Conclusão: I está errada
II) Estando A oarado em relação a B. então A c B estão permanentemente
unidos, podendo ou não o conjunto estar em movimento.
Sc B está parado em relação a C, então B e C estão permanentemente
unidos.
Então, A. B e C estão formando um único sistema rígido (um triângulo,
por exemplo), onde cada um dos pontos está em repeuse em relação
aos outros.
Conclusão: II está certa.
Rosposta: b.
3. b (Por espaço percorrido entenda-se deslocamento escalar AS.)
4. a (Vm:= 54 km/h)
5. a 6. b 7. c 8. b 9. b 10. a 11. a 12. d
13. e (Movimento progressivo^- movimento descrito a favor da orientação dc
referencial.)
14. c 15. c 16. a 17. d 18. b 19. d
20. c (Importante: não se define aceleração quando há formação de “bico"
no gráfico V x t. Isto. por exemplo, ocorre nos instantes t = 5s e
t = 15 s.)
21. a 22. b 23. c
Definição de movimento uniforme
O movimento de um móvel é uniforme quando sua velocidade
escalar é constante e não-nula.
Assim, um automóvel dotado de movimento uniforme terá seu
velocímetro indicando sempre o mesmo valor:
Movimento
uniforme
• Rap dez constante em qualquer trajetória.
• Sentdo do movimento sempre constante
• A indicação do velocímetro é sempre a mesma.
Movimento uniforme em trajetória curvilinea.
RAPIDEZ CONSTANTE
Resumindo: MU V constante e não-nula
• Conseqüências da definição — Como conseqüência dessa defi­
nição. podemos concluir que. no movimento uniforme, a aceleração
escalar é constante e nula.
Ou seja: MU => aceleração escalar é nula
Como a velocidade escalar é constante, o valor da velocidade
escalar instantânea, no movimento uniforme, coincide com o da velo­
cidade escalar média.
Isto é: MU •=> V = V™
66
Instante qualquer (t)
Instante inicial (t 0)
Função horária do movimento uniforme
A expressão matemática que relaciona os espaços S de um móvel
(indicativos de suas posições) e os correspondentes instantes t é
denominada função horária do movimento, sendo representada gene­
ricamente por S = f(t).
S indica a posição do nevei num instante
t quaiquer.
§o mdica a posição do móvel para trrO .
e . w w AS S - S „ S - S .
Sendo V — Vm— -----= ----------- , então: V = --------
At t - 0 t
=> S = S »-f Vt (função horária do movimento).
Conclusão: A função horária do movimento uniforme é do 1.° grau
na variável t, sendo expressa por: S — So 4- Vt
i S0 (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel n
onde ' instante inicial do movimento (instante zero)-.
! V é a velocidade escalar constante e não-nula.
Exem plos:
S = 6 + 2t (SI)
S = - 3 - 8t (SI)
í Sm= +6 m
[V = +2 m/s (movimento progressivo]
í Sm= —3 m
[ V — —8 m/s (movimento retrógrado)
S — 5t (SI)
(wô0VO(tft%L____
S<
i = 0
V = 5 m/s (movimento progressivo]
1. A funçãc horária informa sobre o tipo de movimento desenvolvido pelo
móvel mas nada informa a respeito da trajetória seguida pelo corpo.
2. É importante o conhecimento das posições ocupadas pelo móvel ao longo
do tempo. Onde estará o móvel nos instantes t = 10 s. t = 20 s e t = 30 &?
A função horária respondo a esta pergunta!
68
3. Observo que o espaço S de um móve pode obedecer a uma corta função
horária, porém em trajetórias diferentes. A função horária ntíica como
o móvel caminha e não onde o movei caminha Com apenas a função
horária não podemos prever a trajetória co movei.
S
Diagramas do movimento uniforme
• Diagrama S X t — A representação gráfica da função horária do
movimento uniforme é uma reta inclinada em relação ao eixo hori­
zontal, pois é uma função matemática do 1.° grau em t.
g __g(
Lembrando que S = S.. 4 Vt. então V = -------- — (1).
t
Observando-se o diagrama S X t seguinte, podemos escrever:
S - Sn
dec = tg a
t
( 2).
Comparando (1) e (2), concluímos: o declive do gráfico S X t no
movimento uniforme é numericamente igual à velocidade escalar do
móvel.
Ou seja: dec ( S X t ) N
=V
v i
rapidez constante
STZ I j
• Diagrama V X t — O diagrama V X t referente ao movimento
uniforme será representado por uma reto paralela ao eixo dos tempos,
já que a velocidade escalar neste movimento é constante e não-nula.
Neste gráfico, calculando a área sob a reta, podemos escrever:
A 3 V t (1).
Como S = So + Vt, então S — So = Vt => AS = Vt (2).
Comparando (1) e (2). concluímos: a área sob o gráfico V X t
no movimento uniforme é numericamente igual ao deslocamento
escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.
Ou seja:
(M terrxjfâú-___
A (V X t) 2 AS
Como no movimento uniformo a aceleração escalar ó constantemente nula.
o diagrama a X t será representado por uma reta coincidente com o eixo
dos tempos.
70
Exemplo:
Seja a função horária S -
— 2 + 1 .5 t, no SI:
para t — 0 s, S,. — 2 m;
para t — 4 s. Sí _ 8 m.
Podemos, então, construir o
diagrama S X t.
Nesse gráfico, notamos que
dec
8 - 2
(«» H « «> —
4 — 0
= 1,5 => dec = 1,5
Da função horária, temos
V - 1,5 m/s
Logo. o declive do gráfico
S X t é numericamente igual à
velocidade escalar do móvel.
Neste gráfico, notamos que
A(o«h íh »— 4 . 1,5 = 6 —>
L
(0»H
-»«
>= 6
Da função horária, temos
S4— 8 m e So — 2 m.
Logo: ASm«h i »i — —
- So = 8 - 2 = 6 =>
AS :oRh t •) — 6 m
0 1 2 3 4 tis)
Portanto, a área sob o gráfico V X t é numericamente igual ao
deslocamento escalar do móvel.
Como a aceleração escalar é constantemente nula. o gráfico a X t
será uma reta coincidente com o eixo dos tempos.
Encontro de móveis
Quando dois móveis percorrem a mesma trajetória orientada,
poderá ocorrer encontro entre eles. Isto acontecerá quando suas
posições coincidirem, ou seja, quando seus espaços forem iguais,
desde que referidos à mesma origem.
Instante
inicial
Instante cm que ocorre
encontro dos móveis
71

Encontro
de móveis
• üs móveis ocupam a mesma posição
no referencial.
• Ocupar a mesma posição não
quer dizer que tenham realizado
o mesmo deslocamento.
Graficamente, o encontro de dois móveis corresponde è inter-
secção das retas representativas das funções horárias:
72
Apêndice
A propriedade referente à área do diagrama V X t pode ser
generalizada para qualquer tipo de movimento. Todavia, a demons­
tração desta propriedade envolve uma matemática mais refinada que
será desenvolvida no volume referente à Dinâmica.
Resumindo, para qualquer tipo de movimento: A {V X t ) ? A S
1. UNIVERSIDADE DO PARANÁ
— Três móveis A. B e C par­
tem, simultaneamente, em
movimento uniforme e reti­
líneo, dos pontos a, b e c.
com velocidades constantes,
respectivarnente iguais a V* = 15 m/s, VB = 4,5 m/s e
Vc = 7.5 m/s. Pede-se o instante em que o móvel A estará entre
os móveis B e C e a gual distância de ambos.
Resolução: Lembrando que no movimento uniforme S = S„ -|- Vt, no
instante inicial, adotando o ponto A como origem dos espaços e orien­
tando a trajetória conforme a figura, temos:
Situaçãc inicial
Situação final
L
a
Sd
a = ü m
VA= 15 m/s => SA= 151
B
S,)](= 20 m
= > Sr - 20 -f- 4,5t
C
V» — 4,5 m/s
Soc = 40 m
Sc- = 40 + 7,5t
V0 = 7,5 m/s
Nas condições do enunciado, podemos cscrcvcr: S.v— Sn = Sc — SA
.
Logo, 2S.v — Sii -|- So.
Substituindo as funções horárias dos móveis, teremos:
2(15 t) = (20 -f 4,51) -f (40 + 7,5t) = > 30t = 60 + 12t =>
=> I8t = 60 = > L= ------=>
18
Resposta: O móvel A estará equidistante de B e C ------s após o início
da contagem dos tempos.
2. AMAN — Para passar uma ponte de 50 m de comprimento, um
trem de 200 m, a 60 km/h, leva:
a) 0,35 s.
b) 1.5 s.
c) 11,0 s.
d) 15,0 s.
e) 30,0 s.
Resolução: Adotando o início da ponte como origem do referencial,
orientando-o no sentido do movimento e observando o esquema abaixo,
podemos escrever, para a dianteira do trem:
74
Instante zero
So = 0 m
V = 60
km
Portanto, S = S„ | Vt
h
S =
60 m
3,6 s
60
3,6
. t.
Completada a travessia, teremos S = L —d = 200 -|- 50 = 250 m.
Assim: 250 =
60
. t t =.-
25 . 3,6
3,6
t = 25 . 0,6
t = 15 s
Resposta: alternativa d.
3. MEDICINA DE VASSOURAS Um móvel A com movimento reti­
líneo uniforme parte do ponto a cm direção a b, com velocidade
de 90 km/h. No mesmo instante, sai de b um móvel B, também
com MRU. A distância retilínea ab é de IG km. A velocidade do
móvel B, para que ambos sc cruzem a 6 km de a. deve ser igual a:
a) 80 km/h.
b) 16.67 m/s.
c) 37.5 m/s.
d) 25 m/s.
e) 22,22 m/s.
Resolução: Adotando como origem dos espaços o ponto a c orientando
a trajetória conforme o esquema a seguir, notamos que:
Móvel A: SoA= 0 k m
V A=: 90 km/h
Móvel B: SoH= 10 km
T o w ém O fà a 75
Assim, podemos escrever:
SA= SoA-f VA
t = > SA= 901 (1)
S„ = Son + V„t = > SB= 10 + V„t (2)
Condição de encontro: SA= SB= 6 km.
Logo, substituindo em (1),
6
6 - 901 = > t = ------= >
90
Voltando cm (2), temos:
vem:
I
t = ------h
15
(instante de encontro)
6 = 1 0 - * VB Y'u — 60km/h
O sinal menos (—) indica que o movimento é retrógrado.
Então:
km J 000 m
V„! = 60-----= 60 . ----------- = í 6,67 m/s =>
h 3 600 s
Conclusão: o móvel B deverá ter velocidade escalar de intensidade
16,67 m/s.
Resposta: alternativa b.
|VB| = 16,67 m/s
4. MEDICINA DE ITAJUBA — O
gráfico ao lado descreve o
movimento retilíneo de 2
carros A e B que viajam na
mesma direção. Podemos
afirmar com certeza que:
a) o carro A está perdendo
velocidade enquanto o
carro B ganha velocidade.
b) o carro A parou no ins­
tante t = 100 s.
c) os dois carros estão ro­
dando na mesma d reção
e em sentidos contrários.
d) o carro A está mais ace-
lerado que o carro B.
e) no instante t = 50 s os
dois carros têm a mesma
velocidade.
Resolução: Lembrando que o declive do gráfico S — f(t) é numerica­
mente igual à velocidade escalar do móvel, observamos que tanto o
76
carro A como o B possuem velocidades constantes e nâo-nulas (uma
reta tem declive constante). Podemos, então, escrever:
1) carro A: 90« < a < 180° decA < 0 => VA< 0
(movimento retrógrado)
2) carro B: 0° < j3 < 90° decB > 0 VB > 0
(movimento progressivo)
Note que, no instante t = 60 s, os
móveis ocupam a mesma posição,
e que, no instante t = 100 s, o mó­
vel A está na origem do referencial
(S = 0 m).
Resposta: alternativa c.
5. IMS — Uma partícula percorre, durante 10 segundos, uma tra­
jetória "etilínea com uma velocidade que varia com o tempo se­
gundo o gráfico abaixo. Pode-se afirmar que a velocidade média
da partícula nesses 10 segundos é. em m/s, igual a:
V(m/s)
10]
8
6
-
i
i
i
i
i
2
1 1 1
0 2 4 6 8 10
a) 6.
b) 5.6. d) 0.8.
c) 1.3. e) 0.4.
Resolução: Como no gráfico V - í(t) a área sob a curva é numerica­
mente igual ao deslocamento escalar do móvel, podemos escrever:
A(0-m i ,> = 4 . 8 = 32 —r ASm»h •
» ~ 32 m _
A(4 hm i<
>
s) = 6 . 4 = 24 >AS(.j.. m io »i = 24 m
—
—
^ AS,0ü ioi) — 3z -f- 24 = 56 m
AS((| 10M
l
) --
( O f lH lO i)
56
Sendo V„ vem:
At(0 » H 10 *í
V..
(0•w 10 M
) 10
V,„ — 5,6 m/s
lO*H 1
0“
Resposta: alternativa b.
1. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — Um móvel percorre o
segmento de reta AC com velocidade constante, onde AB ^ BC. Se t, c t»
são os tempos gastos, respectivamente, nos percursos AB e BC, é verda­
deira a seguinte relação:
A E C
a) AB/t, = BC/to d) AC = AB/t, + BC/t2
b) AB/BC = t2/t, e) AC = (AB + BC)t,to
c) AB/BC = (ta/t,)2
2. I-El A luz demora 10 min para vir do .Sol à Terra. Sua velocidade é
3 . 103km/s. Qual a distância entre o Sol e a Terra?
3. FAAP — Qual c a distância da Terra a uma estrela cuja luz é recebida
após 5 anos?
4. FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTA — O tempo gasto por
um trem de 100 m para atravessar um túnel de 200 m. deslocando-se com
uma velocidade escalar constante dc 72 krn/h, é de:
a) 5 s. d) 15 s.
b) 15 h. e) 20 s.
c) 10 s.
5. CTA (COMPUTAÇÃO) — Um móvel descreve uma trajetória retilínea com
velocidade constante dc 2 m/s. Nessas condições, o gráfico cartesiano de
sua velocidade em função do tempo será:
a) uma reta paralela ao eixo dos tempos.
b) uma reta paralela ao eixo das velocidades.
c) uma reta que passa pela origem.
d) uma reta com coeficiente angular 2 e coeficiente linear 4.
e) Nenhuma das respostas anteriores está correta.
78
6. CESGRANRIO — Analisando-se c movimento de um automóvel, obteve-se
a tabela seguinte, onde se lê a posição do automóvel em vários instantes
do movimento:
posição
(m)
0 60 120 180 240
tempo
(»1
0 3 6 9 12
Qual dos gráficos a seguir representa a velocidade do automóvel (ordenada)
em função da posição (abscissa) para o trecho analisado?
d) e)
7. CESGRANRIO — Ainda na questão anterior, qual dos gráficos propostos
a seguir representa a posição cio automóvel (ordenada) em função do tempo
(abscissa)?
d) c)
8. FEI — O gráfico dos espaços para um móvel é dado pela figura:
O gráfico das velocidades correspondente é o dado por:
9. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Um móvel desloca-se ern linha reta
de um ponto X a um ponto Z, passando pelos pontos Y c S. A distância
entre cada ponto é a mesma e o movimento ó assim descrito: de X para Y
6 gasta 1h, à velocidade constante; de Y para S o móvel desloca-se com
metade da velocidade do trecho XY e de S para Z com o quádruplo da
velocidade do trecho YS. 0 tempo total gasto no percurso c dc:
a) 4 h. c) 3 h 30 min.
b) 6 h. d) Nenhuma dessas.
80
10. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Na questão anterior, se o trecho XY
tem 70 km, a velocidade média no percurso de X a Z é de:
a) 35 km/h. c) 60km/h.
b) 52,5 km/h. d) 70 km/h.
11. CESCEA — O gráfico representa, cm forma aproximada, o movimento de
um carro durante certo percurso.
A velocidade média do carro
nesse percurso é de:
a) 20 km/h.
b) 30 km/h.
c) 32km/h.
d) 40 km/h.
c) Não há dados suficientes para
o cálculo.
12. CESCEA Um cachorro encontra-se entre seu esconderijo e o laçador,
a 50 m do primeiro e a 100 m do segundo, numa mesma reta. Inicia-se a
perseguição, o cão com velocidade constante de 3 m/s, dirigindo-se ao
- esconderijo, o homem, com velocidade, também constante, de 8 m/s, no
encalço do cão.
a) O laçador alcançará o cão 15 m antes do esconderijo.
b) O laçador alcançará o cão 1s antes do esconderijo.
c) O laçador está a 15 mdo cão quando este alcanÇa o esconderijo.
d) O laçador alcançaria o cão até o esconderijo se sua velocidade fosse, no
mínimo, três vezes a do cão.
e) O laçador alcançaria o cão sc dispusesse de mais 1s antes de o cão entrar
no esconderijo.
13. MEDICINA DO ABC Dois foguetes espaciais são enviados, a partir da
Terra, com 48 h de intervalo. O primeiro a scr enviado tem velocidade
constante dc 30 000 km/h c o segundo, de 40 000 km/h. Ambas as velo­
cidades têm o mesmo sinal. O sistema de referência é a Terra.
Para que o primeiro foguete seja ultrapassado pelo segundo, este último
deverá voar durante o seguinte número de horas:
a) 96. d) 192.
b) 144. c) 288.
c) 168.
14. FUVEST — Numa estrada, andando de caminhão, com velocidade cons­
tante, você leva 4 s para ultrapassar um outro caminhão, cuja velocidade
é também, constante. Sendo de 10 m o comprimento dc cada caminhão, a
diferença entre sua velocidade e a do caminhão que você ultrapassa c, apro­
ximadamente, igual a:
a) 0,2 m/s. d) 5.0 m/s.
b) 0.4 m/s. c) 10m/s.
c) 2,5 m/s.
fâ s im id / im
15. PUC (SAO PAULO) — l)o;s automóveis partem, no mesmo instante, das
cidades A e B. percorrendo uma estrada retilínea AB com velocidades de
50km/h e XOkm/h. um em direção ao outro. Ao fim de 2h eles estão a
uma distância dc 40 km um do outro. A distância AB vale:
a) 200 km. d) 160 km.
b) 300 km. e) 240 km.
c) 400 km.
16. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Dois trens (A c B) movem sc em tri­
lhos paralelos, deslocando-se em sentidos opostos. As velocidades escalares
dos trens são constantes e iguais a 30km/h. Cada trem mede 100 in dc
comprimento. Quando os trens se cruzam, durante quanto tempo um obser­
vador no trem B vê passar o trem A?
a) 96 s d) 12s
b) 48 s e) 6,0 s
c) 24 s
17. FAAP — Dois ciclistas distanciados de 60 m um do outro possuem funções
horárias S, = 20 + 2t e S2 ——
40 + 3t, em relação a um mesmo referen­
cial. Verificar quando e onde os dois ciclistas se encontrarão. (Considerar
S| e Sa em metros e t em segundos.)
18. FUNDAÇAO CARLOS CHAGAS — A distância entre dois automóveis
é de 225 km. Se eles andam, um ao encontro do outro, com 60km/h e
90 km/h. ao fim de quantas horas sc encontrarão?
a) Uma hora.
b) Uma hora c quinze minutos.
c) Uma hora c meia.
d) Uma hora c cinquenta minutos,
c) Duas horas c meia.
19. PUC (SÂO PAULO) — Duas partículas cncontram-se inicialmente nas posi­
ções x, = 10cm, y, = 0 cm. x
._
. = Ocm c y2 = 20 cm. com velocidades
V, — 4 . 10‘ cm/s segundo x c Va dirigida ao longo dc y. conforme in­
dica a figura. O valor da velocidade Va para que elas colidam deve ser:
c) -8 . 1
0
**cm/s.
82
20. CESCEA — Dois corpos deslocam-sc ortogonalmente entre si, com veloci­
dades uniformes V, 1.5 m/s e V2 2.0 m/s. No instante t = 0s eles
se encontram na origem de um sistema de referencia xOy. Considerando
que o corpo (I) se desloca ao longo do eixo x c o corpo (2) ao longo do
eixo y. qual a distância que os separa no instante t 2 s?
a) 7.0m d) 1.0 m
b) 5,0 m e) 0,5 m
c) 3.5 m
21. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um pouco de tinta é colocado na
banda de rodagem do pneu de um carro. Quando o carro se movimenta,
a mancha de tinta deixa marcas no chão. Se estas marcas tiverem a dispo­
sição abaixo, o que se pode concluir sobre a velocidade e a aceleração do
carro?
0 2 4 6 8 10 12 I
a) A velocidade é constante e a aceleração é nula.
b) A velocidade é crescente e a aceleração é constante.
c) A velocidade é decrescente e a aceleração é constante.
d) A velocidade e a aceleração são variáveis.
e) Nada se pode concluir, porque os dados são insuficientes.
9. c 10. c 11. c 12. d 13. b 14. d 15. b 16. e
17- = 140 m: t,#walfo = 60 s.
18. c 19. c 20. b
21. e (Observe que. qualquer oue seja o movimento do carro, as marcas
deixadas no châo soráo sempre as mesmas.)
cmïuD
3
M
ovim
ento
Uniform
em
enteVariado
04
Instante inicial (t - 0)
velocidade escalar co móvel
para t = 0.
velocidade escalar do móve!
num instante t qualquer
Definição de movimento uniformemente variado
O movimento de um móvel é uniformemente variado quando sua
aceleração escalar é constante e não-nula.
Instante qualquer (t)
Ou seja: escalar é constante e não-njla
III
• Consequência da definição — Como conseqüência dessa defi­
nição, podemos concluir que, no movimento uniformemente variado,
o valor da aceleração escalar instantânea coincide com o da acele­
ração escalar média.
Isto é: MUV a - a„
Funções horárias do movimento
uniformemente variado
*
Y
k
• Função velocidade
y
É importante o conhecimento da rapidez e do sentido do movimento em
cada instante A função velocidade da essas duas informações.
A intensidade da velocidade indica a leitura do velocímetro.
O sinal de velocidade indica o sentido do movimento
Seja um móvel cujo movimento é uniformemente variado de tal
forma que V0 é sua velocidade inicial (instante zero), Vé sua velo­
cidade no instante t e a é sua aceleração escalar constante.
V = Vo -h at (função horária da velocidade)
Ç g ; Conclusão: A função veloci­
dade do MUV é dada pela ex­
pressão
v
V — Vo H
” at
A representação gráfica da
função velocidade desse movi­
mento será uma reta inclinada
em relação ao eixo horizontal,
pois é uma função horária do
1.° grau em t.
V — Vo
.Neste gráfico, pocemos escrever dec = tg a = ---------- (1).
V - Vo
Como V — Vo -r at, então a = ---------- (2).
Comparando (1) e (2), concluímos: o declive do gráfico V X t
no movimento uniformemente variado é numericamente igual à ace­
leração escalar do movimento.
Ou seja: dec(V X t)1 a
• Função horária — Lembrando que a área sob o gráfico V X t é
numericamente igual ao deslocamento escalar efetuado por um móvel,
podemos escrever:
A(V X t)s AS, onde AS = S - So.
sendo
í So o espaço inicial do móvel (instante zero).
[ S o espaço do móvel no instante t.
Assim, temos A(V X t ) = S - S<
. (1).
87
• No instante inicia t = 0. o espaço inicial e a velocidade inicial do
móvel são. respectivamente. S0 e Vo
• Num instante qualquer t. o espaço e a velocidade do móvel são.
respectivamente. S e V
• No intervalo de tempo lAt —t - 0). AS é o deslocamento escalar da móvel.
Observando-se o gráfico acima, concluímos:
V + Vo _
A ( V X t ) = ---------- 1 (2).
Comparando (1) c (2). vem:
V • Vo V - f V o
----- - — t = S - S o = > S = So + ----------- t
Sendo V = Vo ■
+
■
at, decorre:
s = s ,1+ ^ ± ü ± ^ t ^ s = s0+ ^ l± ^
S = So + Vot-f----— at2 (função horária do movimento)
2
Conclusão: A função horária do movimento uniformemente
variado é do 2.° grau na variável t. sendo expressa por
S - S., f V.,t |------ at-
2
88
onde
So (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel no
instante inicial do movimento (instante zero).
Vo (velocidade inicial) é a velocidade do móvel no instante
I inicial do movimento (instante zero).
{ a é a aceleração escalar constante e não-nula.
Exemplos:
S = 10 — 8t -f- 9t2(SI)
Logo. V = —8 -f 18t
S = —2 + 6t — t2 (SI)
Logo, V — 6 — 2t
S = 5ta (SI)
Logo. V = iOt
So = -HO m
<Vo = - 8 m/s
l a = -f 18 m/s2
So = —2 m
Vo = +6 m/s
a = —2 m/s2
So = 0 m
V., = 0 m/s
a = 4-10 m/s2
Equação de Torricelli
Extraindo o valor de t na função velocidade (V = Vo -f at) e subs­
tituindo-o na função horária ( S —So 4- Vot 4------ at2) cotemos a
expressão Va — V: 4- 2aAS .denominada equação de Torricelli.
Diagramas horários do movimento
uniformemente variado (MUV)
A representação gráfica da função horária do MUV é uma pará­
bola cuja concavidade é voltada para cima (se a > 0) ou para baixo
(se a < 0).
Conforme já fo visto, o diagrama V X t será representado por
uma reta inclinada em relação ao eixo t.
Como a aceleração escalar é constante e não-nula, o diagrama
a X t será representado por uma reta paralela ao eixo dos tempos.
Observando-se a área sob o gráfico a X t, podemos escrever
A = at (1).
Como V = V,. 4- at, então V - Vo = at => AV = at (2).
Comparando (1) e (2). concluímos: a área sob o gráfico a X t
é numericamente igual à variação da velocicade do móvel, no inter­
valo de tempo considerado.
Ou seja: A(a X t ) U V
,1
<
t
t
1
*
i
Diagramas horários do MUV
____________________________________t t
o
aceleracào escalar constante
90
Exemplo:
Seja S — 4 — 5t -f- t2 (SI) a
função horária dc um móvel:
para t = 0 s, Sn = 4 m:
para t = 1 s. Si = 0 m (raiz):
para t = 4 s, Si = 0 m (raiz).
Podemos, então, construir o
gráfico S X t.
Observe que quando t = 2,5 s
a parábola atinge seu vértice,
instante em que o móvel muda
o sentido de seu percurso.
Da função S = 4 — 5t + t2
concluímos que. Vo = —5 m/s e
a = -f 2 m/s2.
Logo. V = —5 -f- 2t.
Para t = 0 s, Vo = —5 m/s;
para t = 4 s. V, = 3 m/s.
Podemos, então, construir o
gráfico V X t.
Nesse gráfico notamos que. para t — 2,5 s, V — 0 m/s, instante
correspondente ao vértice do gráfico S X t.
Examinemos, agora, o. declive do gráfico V X t.
3 - ( - 5 ) _ 8
4 - 0 4
Temos: deCi.. h ^ i = — = > dec<o»M4»i — 2
Assim, observamos que tíecfV X O i a
Como a aceleração escalar é constante, o gráfico a X t será uma
reta paralela ao eixo dos tempos.
Esta reta cortará o eixo das acelerações cm a ~ 2 m/s*.
Observando a área sob o gráfico, concluímos:
A<o«h 4» — 4 . 2 = 8 —^ Ao >
1M
-»*
>= 8
Sabemos que V* = 3 m/s e V.» = —5 m/s.
Logo:
AV<
0sm '• — 8 m/s
AV,;om
h *») — Vi - V o = 3 - (—5) = 8 ==
Assim, a área sob o gráfico a X t é numericamente igual à va­
riação da velocidade escalar do móvel.
91
Velocidade média no MUV
Lembrando que A(V X t ) í AS, no gráfico V X t abaixo temos:
A = . V3 + V~ At => AS = V- + V' A t ^ A ! _ =
2
V ■
+ Vi
At
Conclusão: No MUV. a velocidade média de um móvel é igual
à media aritmética das velocidades escalares instantâneas inicial e
final, no intervalo de tempo considerado.
92
1. ENGENHARIA DE SANTOS — Um ponto material realiza um mo­
vimento sobre uma trajetória retilínea que obedece à função ho­
rária S = t2— 6t + 8. em que S é o espaço dado em metros e
t é o tempo dado em segundos. Podemos afirmar que, a partir
do instante t = 0 s:
a) o movimento é sempre acelerado.
b) o movimento muda de sentido no instante t = 3 s.
c) o ponto material passa pela origem dos espaços apenas no
instante t = 2 s.
d) a aceleração do movimento tem intensidade igual a 4 m/s*.
e) a velocidade do ponto material no instante t — 7 s tem inten­
sidade igual a 9 m/s.
Resolução: Do enunciado, podemos escrever S = 8 — 6 t -f 1 . t2.
Da teoria, sabemos que S S., -f V0t -f----at2.
Assim, concluímos: S.;i = 8 m; V„ = 6 m/s; a = 2 m/s2.
Podemos, então, determinar a função velocidade deste móvel:
V = V„ -f at => fv _ - 6 f 2~t|-
Construindo os gráficos S X t e V X t. chegamos às seguintes con­
clusões:
• O móvel possui movimento ini­
cialmente retrógrado (0 s a 3 s),
parando no instante 3 s para, em
seguida, iniciar movimento pro­
gressivo.
• O móvel passa pela origem nos
instantes t = 2 s c t = 4 s.
• O movimento é inicialmente
retardado (0 s a 3 s) c, em seguida,
acelerado.
Resposta: alternativa b.
I
2. MEDICINA DE CATANDUVA — Um automóvel desloca-se com a
velocidade de 20 m/s. A partir do instante t = 0 s, seu motorista
aplica os freios até o carro parar. Admitindo uma aceleração
constante igual a 4 m/s2, a distância percorrida desde a aplicação
dos freios até a parada do carro é de:
a) 50 m.
b) 5 m.
c) 75 m.
d) 90 m.
e) 25 m.
Resolução: Vamos orientar o referencial associado à trajetória no
sentido do movimento do automóvel.
Neste caso, a distância percorrida ( d ) tem o mesmo valor do desloca­
mento escalar (AS).
Assim: d - A S
Como a velocidade do móvel está diminuindo algebricamente, sua ace
leração será negativa, ou seja. a = 4 m/s2.
Pela equação de Torricelli,' vem:
V/In= V?« + 2aAS = > AS =
2a
AS =
0 =- 2 0 -
2 . ( - 4 )
4(X)
AS — -------
8
= > AS = 50 m : d — 50 m
Resposta: alternativa a.
3. MEDICINA DE SANTOS —
Ao longo de um eixo orien­
tado. um ponto se movimenta
segundo o gráfico ao lado.
Sendo sua velocidade no
instante t — 0 s de 4 m/s, no
sentido positivo do eixo. de­
terminar a distância percor­
rida pelo ponto entre os ins­
tantes t = 0 s c t — 8 s.
Resolução:
• Intervalo 0s h 2 s (MUV)
V2 = V„ + at = »
= 4 + 2 .2 = »
Vo =
Vo = 8 m/s
intervalo 2 s m 4 s (MUV)
V, = Vo + at => V« = 8 4
+ 4 . 2=> |V 4 = 16 m/s
• Intervalo 4 sm 6 s (MU)
Vc = V, = > Vç = 16 m/s
• Intervalo 6 sm 8 s (MUV)
V* = Ve + at =>
= 16 — 2 . 2 = >
Podemos, então, construir o gráfico
V X t, onde A ^ AS.
V„ =
V« = 12 m/s
Logo, Afosi_i $si — A ((», H 3,| + A.o
+ A<t(li-!»*) — 12 + 24 + 32 + 28 :—) A
Assim, AS<„,h 8 » = Aio«mh,, -—
) AS
= 9
6
íOi Mb ' __ 96 m
Resposta: A distância percorrida d coincide, neste caso, com o deslo­
camento escalar AS. Portanto, d = 96 m.
4. FFCLUSP — Dois pontos mater ais Pi e P? movem-se sobre a mes­
ma reta, obedecendo às segu ntes expressões:
S, = —10t + St2 e S_- = 30 + 5t - lOt2.
Os símbolos Si e S„* representam os espaços em centímetros a
partir de uma origem comum; o tempo t é medido em segundos.
Pedem-se:
a) o instante em que os dois móveis se encontram.
b) as velocidades e acelerações de ambos nesse instante.
c) a posição do ponto de encontro.
Resolução:
 a) Condição de encontro: S, = S>.
Logo: - I0 t -I- 5t2= 30 4- 5t — 1()t2=> 15t2- 15t - 30 = 0 =>
=> t2— t — 2 = 0
(D
- L
O
O
I-
tt) (2 )
Resolvendo esta equação, obteremos t —2 s e t = —1 s. Portanto,
ocorreram dois encontros: o primeiro, 1 s antes de iniciar a con­
tagem dos tempos, e o segundo, 2 s depois de iniciada essa contagem.
Consideraremos como resposta “oficial” o encontro ocorrido no
instante t _ 2 s, pois o estudo dos movimentos é realizado a partir
de t = 0 s.
b) Das funções horárias dadas.podemos concluir:
{
S0l = 0 cm
V, ) 1 = — 1 0 cm/s
ai = 1 0 cm/s2
Logo, V, = V0j -f a,t => V, = —10 + 10t.
| So2 = 30 cm
So = 30 -f- 5t — 10t- I V0;!= 5 cm/s
. a2 = — 2 0 cm/s2
Logo, V2 = Vd 2 -J-a31 => V , — 5 — 20t.
Para t = 2s, vem:
V, = —10+ 10 . 2= > V, — -f 10 cm/s e at = 10 cm/s2
V2 = 5 - 20 . 2 = > V 2 — —35 cm/s c aa = —20 cm/s2
96
c) Sendo Si — —10t -f- 5t2, no instante do encontro (t - 2 s) vem:
St = - 10 . 2 -f 5 . 22=> St = - 20 + 20 => St - 0 cm
St = 2 0 • 2 0 =
Assim, o encontro ocorre na origem do referencial.
Diagramas
horários
Resposta: Os dois móveis se encontram no instante t = 2 s. na origem
do referencial, com velocidades de + 10 cm/s e —35 cm/s c com ace­
lerações iguais a 1 0 cm/s2 e — 2 0 cm/s2.
5. PUC (CAMPINAS) — Dois carros A e B movem-se no mesmo sen­
tido com velocidades V3 e Vb, respectivamente. Quando o carro
A está à distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa no
freio, o que causa uma desaceleração constante a. Para não haver
colisão entre os carros é necessário que:
а) V„ - Vb = Í2 ã S .
б) V, - Vb> V 2ad .
c) V* — Vb < V 2ad .
d) V . - Vb= 2ad.
e) Vt — Vb = 0.
Resolução: Adotaremos a origem dos espaços no ponto em que o carro
A se encontra quando o motorista começa a frear, e orientaremos a
trajetória no sentido dos movimentos.
B
J »
©
I
O carro B possui movimento uniforme. Logo, sua função horária será
S» = Son -f- Vjjt, onde S«B= d e V# = VV
Assim, Sn — d -f- Vbt.
O carro A é dotado de movimento uniformemente retardado, cuja fun­
ção horária será SA= S„A-f- V0v------— at2, onde S„A= 0 c V0a = V„.
Assim, SA_ V.t - at-.
A distância D entre os móveis será dada por D = S v — SA
.
Logo, D = d -j- Vb
t — V„t -j----L at2= >
2
= > D = d -f (Vb — Va)t H
-----— at2.
2
Para que não haja encontro, 1) não poderá se anular, ou seja, a equa­
ção d -f (Vb — V.)t — at* = 0 não deverá ter solução real.
Assim, o delta (discriminante) da equação deverá ser negativo.
Portanto:
1
(Vb- Va)2 - 4 . ---- ad < 0 = > (Vb— V.)2 - 2ad < 0 = ;
2
= > (Vb - V.)2 < 2ad = > (V. - Vb)2 < 2ad
Resposta: alternativa c.
v , . Vb < v-^ãa
6. PUC (SÀO PAULO) — A velocidade de um carro é. no instante
em que o motorista nota que o sinal fechou. 72 km/h. O tempo
de reação do motorista é de 0.75 s (tempo de reação: tempo de­
corrido entre o instante em que o motorista vê o sinal fechar até
aquele em que aplica os freios) e os freios aplicam ao carro um
retardamento uniforme de 5 m/s*. A distância percorrida pelo
carro desde o instante em que o motorista nota que o sinal fechou
até que o carro pare é de:
a) 54 m.
b) 20 m.
c) 14 m.
d) 10 m.
e) 44 m.
Resolução: Do enunciado, temos:
72
V0 = 72 km/h => V0= ----- m/s => V,> = 20 m/s
‘ 6
98
Durante 0,7 s o movimento do móvel é uniforme, mantendo velocidade
constante dc 20 m/s.
Em seguida, o móvel adquire movimento uniformemente retardado, com
aceleração —5 m/s2.
20
Assim, V = V0 + at = > 0 = 20 — 5t = > t = ------=>
5
Portanto, podemos construir o gráfico V x t referente ao comporta­
mento do veículo.
Lembrando que a área sob o gráfico V x t é numericamente igual ao
deslocamento escalar AS, vem:
4,7 _j_o,7 5 , 4
AS ä A = — — :— -— . 20 = — . 20 = 10 . 5,4 - 54 =>
2 2
= > | AS — 54~m~
No caso, o deslocamento escalar é igual à distância percorrida.
Logo, ;d —54 m.j
Resposta: alternativa a.
7. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — Um ciclista A inicia
uma corrida a partir do repouso com uma aceleração constante
de 0,5 m /s2. Nesse mesmo instante, um outro ciclista B passa
por ele com velocidade constante de 3 m/s e no mesmo sentido
que o ciclista A. Os dois ciclistas irão se emparelhar novamente
depois de um tempo igual a:
a) 2 s.
b) 5 s.
c) 8 s.
d) 10 s.
e) 12 s.
ir
h
& 99
I
Resolução: Adotando como origem dos espaços o ponto onde A 6
ultrapassado por B. como início da contagem dos tempos o instante
em que isto ocorre c orientando as trajetórias no sentido dos movi­
mentos, teremos:
Sa = S„ -f- V0 t -f- — aA
t2, onde
A A 2
S,. =: 0 m
V
,> 0 m/s
A
aA= 0,5 m/s2 = ---- m/s2
2
Logo, SA= — . — t2 = > SA= — t2 (1)
2 2 4
S,>ti - Dm
ü
Móvel B: movimento uniforme.
Sii = S„i{-f- Vj,t f onde
vV» = 3 m/s
Logo, S„ = 3t (2)
Os dois ciclistas irão se emparelhar novamente quando SA= S».
De (I) e (2), vem:
I) t = 0 s (instante inicial)
1 / 1  1
t2 = 3t = > t I ---- t - 3 ) = 0 = > ID — t - 3 = 0 = >
4 V 4 / 4 .
= > |t = 12 s
Resposta: alternativa e.
100
8. MAPOFEI — O diagrama abaixo representa, em função do tempo,
a velocidade de um objeto.
Trace o diagrama da aceleração em função do tempo.
Resolução: Neste caso, temos uma combinação de movimentos unifor­
memente variados. Como o gráfico apresentado c composto por seg­
mentos de reta oblíquos, as correspondentes funções horárias da velo­
cidade representadas são do l.° grau (movimentos uniformemente va­
riados).
Portanto:
1) Intervalo OswlOs:
Levantando-se o gráfico da aceleração em função do tempo, teremos
a seguinte representação:
V(m/s)
4 - 1 0
20 aím/s2)
0 10
-20
¥
' ----------------------
9. MAPOFEI — Retomar o enunciado do exercício precedente. De­
terminar o percurso total do objeto.
Resolução: Lembrando que A(V X O = ^ S , temos:
2 0 .2 0
1) A(o*h aok ) —------------ —200
fr 2
Logo, ASfuR
H 2ô*) = 200 m
2) A !2ú )
—
|:ím«I—
10 . 20
= 100
Logo, AS(aoh(_^som— —100 m
V
Assim sendo, o deslocamento escalar total no intervalo de Os a 30 s
vale:
AS,0,1H 3üs) =: AS(0 , _j 2o “f- AS 120»m :10«I
A S ,0 »H .10»> = (2 0 0 ) -j- ( — 100)
ASii) ,h 3u») — 100 tu
Entretanto, por percurso total entendemos distância percorrida pelo
móvel no referido intervalo, ou seja:
d = |AS,o, H2on) “j- AS(2o•h só*ií — 200 -f- 100
d = 300 m
Resposta: C) percurso total do objeto é de 300 m.
1. CESCEA — Observando-se o movimento retilíneo de um corpo, fazem-se
medidas de seu deslocamento, velocidade e aceleração para sucessivos va­
lores do tempo, o que é mostrado na tabela abaixo:
Tempo(s) Dcslocamento(m) Velocidadcfm/s) Acclcraçãolnvs'-’)
0 1 2 2
1 4 4 2
2 9 6 2
3 16 8 2
4 25 1 0 2
A partir dessa tabela, podemos concluir que a equação horária que descrevo
o movimento entre os instantes t = 0 s e t = 4 s tem a forma algébrica:
a) y = t2 - 3t + 1. d) y = -2 t2 + 2.
b) y = t2 + 2 t - 2 . e) y = t2 + 2 t + 1 .
c) y = 2 l2 -+
- 2 t -f 2 .
2. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO SUL — Numa experiência para
analisar o movimento de um móvel, i.m aluno identificou as três posições
(O. P e S) indicadas na figura, obtidas em intervalos de tempo iguais.
-f-
O
H
--- *
---- h
X Y 2
X
As distâncias entre os pontos identificados por letras consecutivas são iguais
e o móvel partiu do repouso em O. Considerando que as três posições
caracterizam o movimento, qual será a posição do móvel no f:m de um
mesmo intervalo dc tempo seguinte, contado a partir do instante cm que
o móvel estava em S?
a) U
b) V
c) X
d) Y
c) Z
103
3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura seguinte estão assinaladas
as posições (1,2, 3, 4, 5 e 6 ) de um corpo que está em movimento unifor-
mcmentc acelerado sobre uma mesa horizontal. O intervalo de tempo entre
duas posições sucessivas quaisquer é de 1,0s. Na posição I, a velocidade
escalar do corpo é nula.
i r
1'z 3
4 5 ■
I
1,0 m
Qual é o valor da aceleração escalar do corpo?
a) 5.0 m/s2 d) 2,0 m/s2
b) 4,0 m/s2 e) 1,0 m/s2
c) 3,0 m/s2
4. MEDICINA DA SANTA CASA — Uma partícula descreve o movimento
cujo gráfico horário, parabólico, e dado a seguir, mostrando que para
t = 1 s, x 6 máximo.
Os valores da abscissa x são medidos a partir dc um ponto O, ponto dc
origem da reta orientada sobre a qual a partícula se movimenta.
A função horária é:
a) x = 15 + 2t + t2. d) x = 15 + 2t - t2.
b) x = 15 - 2t - t2. 1
c) x = 15 - t + t2. e) x = 15 —2t + — t2.
5. MEDICINA DA SANTA CASA — Em relação à questão anterior, a velo­
cidade da partícula obedece à equação:
a) V = 2 - t.
b) V = - 2 + t.
c) V = 2 - 2t.
d) V = 2 + 2t.
c) V = 1 - 2t.
104
6. MEDICINA DA SANTA CASA — Ainda cm relação à questão n.°
para t = 5 s a aceleração da partícula, em m/s2, é de:
a) zero. d) -f-2.
b) -2 . e) +1.
c) -1 .
7. CESCEA Um ciclista pedala com velocidade constante de 9 km/h du­
rante 2 min; acelera, então, uniformemente, durante 50 s, até alcançar
18 km/h, desacelerando, a seguir, também uniformemente, até parar, em
50 s. O espaço percorrido nesse tempo foi de:
a) 818,5 m. d)612,5 m.
b) 780,5 m. e)575,5 m.
c) 487,5 m.
8. UNIVERSIDADE DE VIÇOSA — Um corpo desloca-se, segundo uma
trajetória retilínea, com velocidade inicial de 20,0 m/s e é acelerado a
8.0 m/s2 durante 5,0 s. O seu deslocamento durante o quinto segundo é,
em intensidade:
a) 56 m. d) 1,56 . 102m.
b) 1,44 . IO2m. c) nulo.
c) 2.00 . 102m.
9. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS No instante t = 0s. um carro viaja
a 20,0 km/h. Dois segundos mais tarde (t = 2 s), a intensidade de sua
velocidade é de 23,0 km/h e, depois de outros dois segundos (t = 4 s), é
de 26,0 km/h. Com estes dados, pode-se construir a seguinte tabela:
Tempo(s) 0 2 4
Velocidade(km/hJ 20,0 23,0 26.0
Admitindo que a aceleração seja constante, inclusive antes de t —0 s, qual
foi o módulo da velocidade do carro, cm km/h, no instante t — —
3 s, isto
é, ires segundos antes de atingir a velocidade de 20.0 km/h?
a) 14,0 d) 15,5
b) 14,5 e) 17,0
c) 15.0
10. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES O gráfico abaixo repre­
senta um movimento retilíneo de aceleração constante:
0 1.0 2,0
Se x c medido em metros e t cm segundos, então a aceleração do movimento
é de:
a) 1m/s2. d) 4 m/s2.
b) 2 m/s2. e) 5 m/s2.
c) 3 m/s2.
11. MEDICINA DA SANTA CASA Uma partícula subatômica, deslocan-
do-sc com velocidade constante igual a 6 . 10#m/s, penetra num campo
elétrico onde sofre uma desaceleração constante de 1,2 . IO1
3
14m/s2.
A distância em linha reta que a partícula caminha antes de parar, em cen­
tímetros. é de:
a) 5 . 10-«. d) 15.
b) 30 . 10--'. c) 15 . 10-2.
c) 2.
12. MEDICINA DA SANTA CASA
— O movimento de um móvel,
em trajetória retilínea, c repre­
sentado segundo o gráfico ao
lado. sendo S dado em metros c
t em segundos. Podemos afirmar
que a velocidade media c a ace­
leração escalar entre os instantes
2 s e 4 s valem, respectivamente:
a) Vul = 5 m/s ea = 0 m/s2.
b) Vm= 30 m/s e a = 0 m/s2.
c) Vm= 5 m/s e a = 5 m/s2.
d) Vm= 30 m/s e a = 10 m/s2.
c) Vm= 2,5 m/s e a = 10 m/s2.
13. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Uma partícula efetua um movimento re­
tilíneo de acordo com o gráfico abaixo. A distância percorrida a partir do
repouso até o instante t = 12 s é :gual a:
a) 93 m.
b) 96 m.
c) 98 m.
d) 241 m.
e) 100 m.
106
14. MEDICINA DE BRAGANÇA — Para o gráfico indicado, a sequên­
cia dos movimentos será:
a) movimento uniforme progressivo, movimento nulo e movimento acele­
rado retrógrado.
b) movimento nulo. movimento uniforme progressivo e movimento acelera­
do progressivo.
c) movimento uniforme progressivo, movimento nulo e movimento retardado
progressivo.
d) movimento nulo, movimento uniforme progressivo e movimento retardado
retrógrado.
e) Nenhuma das anteriores é correta.
15. CESGRANRIO — Arguido sobre as relações entre posição (S), velocidade
(V) e tempo (t) no movimento uniformemente acelerado (com velocidade
inicial nula), um aluno escreveu no quadre-negro o que se lê abaixo:
Porem, eu sei que
Já que S = ---- at2 (1),
2 s
2S
V = ---- (b)
t
t2
de modo que, de
Mas a = (3).
t
(5) e (6),
Logo, dc (2) e (3), S 28 (7)
t t
V 2S
---- = — <4)
t t2 ou, ainda:
ou, ainda: 1
1 =21
V = — (5). (?)
t
A conclusão final c obviamente falsa, embora o início do raciocínio
equação (1) — esteja correto.
Qual a relação em que o aluno desviou-se do raciocínio certo?
a) Na relação (2). d) Na relação (5).
b) Na relação (3). e) Na relação (6).
c) Na relação (4).
16. MEDICINA DE SANTOS — Um móvel parte do repouso em movimento
uniformemente acelerado. Percorre 100 m e 120m em segundos sucessivos.
Calcular sua aceleração.
a) 20 m/s2 d) 10 m/s2
b) 40 m/s2 e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 80 m/s2
17. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Num movimento retilíneo de aceleração
constante, podemos dizer que a velocidade média é igual à:
a) velocidade final menos a velocidade iniciai.
b) velocidade final menos a velocidade inicial, dividido por dois.
c) velocidade final mais a velocidade inicial, dividido por dois.
d) velocidade final vezes a velocidade inicial.
e) velocidade final vezes a velocidade inicial, dividido por dois.
18. MEDICINA DA SANTA CASA — Um trem tem velocidade de 72 km/h.
Ao frear, é aplicada a desaceleração de 0,4 m/s2. O intervalo de tempo que
o trem demora até parar é, cm segundos, igual a:
a) 5. d) 10.
b) 50. e) 100.
c) 500.
19. MEDICINA DA SANTA CASA — O mesmo trem da questão anterior,
entre o início da freada c a parada final, percorreu a d:stância, cm metros,
igual a:
a) 200. d) 500.
b) 750. e) I 000.
c) 1500.
20. MAPOFEI — Uma composição de metrô parte de uma estação e percorre
I00m com aceleração constante, atingindo 20 m/s. Determinar a acele­
ração a c a duração t dc processo.
21. MACKENZIE — No diagrama
a = f(t), onde a representa a
aceleração dc um móvel c t o
tempo relativo a essa aceleração,
a área A da figura c numerica­
mente igual:
a) à velocidade média do móvel, relativa ao intervalo de tempo ( t , , t a ) .
b) ao deslocamento do móvel, relativo ao intervalo de tempo ( t l t t a ).
c) à variação da velocidade do móvel, relativa ao intervalo de tempo ( t , . t a ).
d) à velocidade inicial do móvel.
c) Nenhuma das respostas anteriores.
108
22. ENGENHARIA MAUA — Um
ponto material descreve uma tra­
jetória retilínea, referida a um
e:xo de abscissas Ox, de tal mo­
do que sua velocidade, ern fun­
ção do tempo, c dada pelo dia­
grama cartesiano ao lado.
a) Desenhe o diagrama da aceleração do ponto, em função do tempo.
b) Determine a distância entre os pontos inicial (para t = 0 s) e final (para
t = 70 s).
23. MAPOFEI — Um móvel realiza um movimento retilíneo com velocidade
dada pela equação V = 1,0 —0,lt (SI). Tomando como origem de coorde­
nadas o ponto em que o móvel se encontra no instante t = 0s, calcule a
aceleração do movimento e o instante t em que o móvel estará mais afastado
da origem.
24. MEDICINA DO ABC O gráfico abaixo representa a velocidade escalar,
em função do tempo, dc um veículo que se movimenta sobre uma trajetória
retilínea. A aceleração escalar instantânea no instante t —10,0s é, cm
m/s2. igual a:
c) 5,0.
25. MAPOFEI Um vagão ferroviário, deslocando-se com velocidade V —
—30 m/s, é desacelerado até o repouso com aceleração constante. O vagão
percorre 100 m antes de parar. Qual a aceleração do vagão?
26. FAAP — Um motorista de automóvel, viajando a 80 km/h, vê um obstáculo
a 500 m. Verificar qual a aeeleração que deve introduzir nos freios para que
possa parar a tempo.
27. FUVEST Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acele­
rando 0,50 m/s2. Nesse instante, passa por ele um outro ciclista B, com
velocidade constante de 5,0 m/s e no mesmo sentido que o ciclista A. Per-
gunta-se:
a) Depois de quanto tempo, após a largada, o ciclista A alcança o ciclista B?
b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B?
28. ENGENHARIA TAUBÀTÊ — De uma cidade A parte para uma cida­
de B um automóvel com aceleração constante dc 5,0km/h2. Simultanea­
mente, de B parte para A um outro automóvel com velocidade constante dc
50km/h. A distância entre as duas cidades é dc 180 km. Depois de quanto
tempo os dois carros se encontram?
29. ENGENHARIA MAUÁ — A maior aceleração (ou retardamento) tolerá­
vel pelos passageiros de um trem urbano é de 1.5 m/s2. Sabe-se que a dis­
tância entre as estações c de 600 m e que o trem estaciona durante 20 s
cm cada estação.
a) Determine a maior velocidade que pode ser atingida pelo trem.
b) Calcule a máxima velocidade média do trem, numa viagem.
30. ENGENHARIA MAUÁ — Um ponto material descreve uma trajetória
retilínea segundo a equação horária S = 4.0 —5,0t -f 2,5t2 (SI).
a) Trace uma linha reta. marcando sobre c!a os seguintes pontos, com suas
distâncias relativas:
• origem O das abscissas;
• ponto T, onde está o móvel no instante inicial;
• ponto N, onde o móvel tem velocidade nula.
b) Esboce os diagramas cartesianos do espaço, velocidade c aceleração em
função do tempo.
31. ENGENHARIA TAUBATÊ — Um carro scíre uma aceleração constante
de 2 m/s2. Num percurso de A a B, de 4 m. ele sofre uma variação dc
velocidade de 1,5 m/s. Em que instante dc tempo o carro passa no ponto B?
32. ITA — Um móvel A parte da origem O. com velocidade inicial nula. no
instante t0= 0 s, e percorre o eixo Ox com aceleração constante a. Após
um intervalo de tempo At. contado a partir da saída de A. um segundo mó­
vel B parte dc O com uma aceleração igual a na. sendo n > 1. B alcançará
A no instante:
110
33. PUC (CAMPINAS) Um motorista espera o sinal de trânsito abrir.
Quando a luz verde acende, o carro é acelerado uniformemente durante
6 s, na razão de 2 m/s2, após o que ele passa a ter velocidade constante.
No instante em que o carro começa a se mover, ele foi ultrapassado por
um caminhão que vinha no mesmo sentido, com velocidade uniforme de
lOtn/s. Após quanto tempo e a que distância da posição de partida
do carro os dois veículos se encontrarão novamente?
a) 18s c 180 m. d) 19s e 128 m.
b) 15 s e 150 m. c) Nenhum dos resultados anteriores.
c) 12s e 120 m.
34. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Dois carros A e B, deslocando-se
ambos no mesmo sentido, em uma estrada, passam num certo instante por
um mesmo ponto: o carro A, partindo do repouso desse ponto e desenvol­
vendo uma aceleração constante de 4 m/s2, c o carro B com velocidade
constante de 20m/s. Um passará novamente pelo outro após:
a) 80 s. d) 5 s.
b) 10s. e) Um não passará mais pelo outro.
c) 20 s.
35. PUC (SÁO PAULO) — Um carro de corrida A tem velocidade constante
VA= 54 m/s. Ao passar' pelo box de um concorrente B. este parte com
aceleração aB= 4 m/s2, que permanece constante até atingir a velocidade
VB= 60 m/s, que é mantida.
O tempo empregado por B para alcançar A é de:
a) 75 s. d) 15s.
b) 60 s. c) 10 s.
c) 20 s.
36. FEI — Um móvel parte de um certo ponto com um movimento que obe­
dece à seguinte lei horária: S = 4t2, válida no SI. S é a abscissa do móvel
c t o tempo. Um segundo depois, parte um outro móvel do mesmo ponto
do primeiro, com movimento uniforme c seguindo a mesma trajetória. Qual
a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a fim de encontrar
o primeiro?
37. FAAP — Dado o gráfico da variação das velocidades de dois móveis em
função do tempo, e sabendo que até o instante tx o móvel A já havia per­
corrido 10 m, calcular:
111
a) o espaço percorrido pelo móvel B até o instante t,.
b) o instante t2, até o qual os dois móveis terão percorrido espaços iguais.
38. ENGENHARIA MAUÁ — Um móvel parte do repouso de um ponto A
executando um movimento retilíneo, uniformemente acelerado, sobre uma
reta AB. No mesmo instante, parte do ponto B. rumo a A, um outro móvel
que percorre a reta AB com velocidade constante. A distância entre os
pontos A c B c d 50 m. Depois de 10 s da partida, os móveis se cruzam
exatamente no meio da distância entre A e B. Determine:
a) a velocidade do móvel que partiu de B.
b) a velocidade com que o móvel que partiu dc A irá chegar em B.
1. o 2. d 3. d 4. d 5. c 6. b 7. d 8. a 9. d 10. b 11. d 12. d
13. a 14. a 15. e 16. a 17. c 18. b 19. d
20. a = 2m/s2; t = 10s.
21. c
22. o) *aCm/s~)
0 5 10 15 20 2Í5 30 35 40 4^ 50 55 60 65 70 t(s)
-0.4
b ) d = 0 m
23. a ——O.f m/s2; t = 10 s.
24. b
25. a = —4,5 m/s2
26. a a —0.5 m/s2
27. a) t = 20s;
b ) Vv = 10m/s.
28. t * 3,1 h (Após a partida dos móveis.)
29. a) 30 m/s;
b) 10m/s.
112
30. a) 0 1 2 3 4
1
---1---1---1---*
—i---*
--- *
---*-
O N T
S(m)
31. 0,75 s após ter passado por A.
32. e 33. a 34. b 35. a
36. Vm
Jn = 16 m/s
37. a) ASU = 15 m;
b) to = 2 s.
38. a) Vj, = 2.5 m/s:
b ) v a — V50 m/s = 7,1m/s.
Generalização das propriedades
dos gráficos horários
Todas as propriedades dos diagramas S X t, V X t e a X t. ex­
traídas em condições particulares (movimentos uniforme e unifor­
memente variado), podem ser generalizadas para quaisquer tipos de
movimento.
• Diagrama S X t
O declive do gráfico S X t é numericamente igual à velocidade
escalar instantânea do móvel.
Ou seja: dec(S X t) - tg a NV
• Diagrama V X t
fâ / tfm á â à i
O ceclive do gráfico V X t c numericamente igual à aceleração
escalar instantânea do móvel.
Ou seja: dec(V X t) —tg a ? o
A área sob o gráfico V X t c numericamente igual ao desloca­
mento escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.
Ou seja: A(V X t) ? áS
116
• Diagrama a X t
A área sob o gráfico a X t é numericamente igual à variação da
velocidade escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.
Ou seja: A(a X t) I AV
Resumindo:
Gráficos
Operação
S X t V X t a x t
Leitura
direta
espaço:S
deslocamento
escalar: AS
velocidade
média: V,,,
velocidade: V
variação da
velocidade: AV
aceleração
média: am
aceleração: a
Declive
velocidade
instantânea: V
aceleração
instantânea: a
Não tem
significado
físico.
Área
Não tem
significado
físico.
deslocamento
escalar: AS
velocidade
média: Vin
variação da
velocidade: AV
aceleração
média: am
1. UNESP — No gráfico abaixo, o arco de parábola representa a fun­
ção horária dos espaços de um movimento retilíneo.
i
Resolução: Lembrando que dec(S
concluir:
Julgue as afirmativas:
(1) Entre os instantes 0 e ti
o movimento é retar­
dado.
(2) Entre os instantes ti e t*
o movimento é acele­
rado.
(3) Entre os instantes 0 e t>
a aceleração c negativa.
t) £ V e que dec = tg a, podemos
1) Algebricamente:
dec,? > dec,j > dectj > dec,;, > dec,.,
= » V „ > V t, > V C
j > V,. > V,
Ou seja: algcbricainente (considerando os sinais), a velocidade es­
calar diminui em todo o intervalo de tempo considerado.
Podemos, então, concluir que a aceleração escalar do móvel é nega­
tiva em todo o intervalo de tempo.
118
2) Km módulo:
• jdecol > dec^ | > jdcct( | = > V (,| > V .^ > |V t i[
Ou seja: de 0 a ti o movimento será retardado (intensidade da velo­
cidade diminui).
• |dectJ < jdcct.2 ! < |dcctJ => |Vtj < |Vt/ < V J
Ou seja: de tt a t2 o movimento será acelerado (intensidade da velo­
cidade aumenta).
Resposta: Todas as afirmativas são corretas.
2. FEI — Um móvel desloca-se de forma qje sua velocidade escalar
em função do tempo segue a lei representada no gráfico:
a) Determinar a velocidade escalar média do móvel entre os ins­
tantes t = 1 s e t = 4 s.
b) Representar graficamente a aceleração do móvel em função
do tempo.
Resolução:
a) Lembrando que A(V x t) - AS, vem:
A (i ,i m;i „,
A(í *h i *)
2 ~r 1
2
1 . 10
2
. 10= 15 = > AS.i ,H3,i = 15 m
I
= 5 => AS(SsH-*o
» 5 m / área abaixo 
 do eixo t /
Sendo AS(i „w*»
>— ASti sM:i -T AS<3»h-
i
temos AS,i *H., s) — 10 m.
AS 10 10
Como Vm—------, então Vm = --------- = —
At 4 — 1 3
10 m
v n, ------ — 3,33 m/s
•1«H4(| 3 s
Portanto:
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  • 1.
  • 2. A coleção consta de oito volumes: /Mecânica: Cinemática Mecânica: Dinâmica ^M ecânica: Estática, Hidrostática e Gravitação Óptica Geométrica r O Termologia 6 Oscilações, Ondas e Acústica /^Eletricidade: Eletrodinàmica (3 Eletricidade: Eletrostática e Eletromagnetismo Cada capítulo apresenta as seguintes partes: 0. Introdução Teórica ti. Questões Resolvidas C Questões Propostas d. Respostas
  • 3.
  • 4.
  • 6. s A Física é o ramo da Ciência que, juntamente com a Matemática, a Biologia e a Química, procura explicar os fenômenos que ocorrem na Natureza, tais como os movimentos dos corpos, as trocas de energia entre sistemas, a propagação da luz, etc. Introdução à Mecânica • Mecânica — Para melhor analisar esses fenômenos, a Física é dividida em partes. A Mecânica é a parte da Física que estuda os movimentos dos corpos, bem como suas causas e conseqüências. Por sua vez, a Mecânica está subdividida em Cinemática. Dinâmica, Estática, Hidrostática e Gravitação.
  • 7.
  • 8. 10 (1571-1630) Matemático e astrónomo alemão. Estabeleceu as leis cinemáticas do movimento dos planetas ao redor do Sol. Criou as bases para o futuro desenvolvimento da Mecânica. (1564-1642) Matemático o astrônomo italiano. Estabeleceu as leis do movimento dos projéteis e a Lei da Inércia. Introduziu o método científico na observação dos fenômenos e contribuiu decisivamente para o desenvolvimento da Mecânica. Fisico e astrónomo inglês Fez a síntese das idéias de Kepler e Galileo. estabelecendo as Leis da Dmâmica e a Lei ca Gravitação Universal. Seus trabalhos modificaram a visão humana do Universo.
  • 9. Unidade Fundamentalmente. a solução de um problema de Física consiste em determinar as grandezas nele envolvidas. Medir uma grandeza é compará-la com outra de mesma espécie denominada unidade. Ouandc a unidade puder ser representada materialmente, teremos o padrão. Sistemas de unidades mecânicas Para medirmos as grandezas mecânicas, necessitamos de um conjunto de unidades denominado sistema de unidades mecânicas, definido pelas unidades das grandezas fundamentais: comprimento, massa ou força e tempo. • Sistema Internacional (SI) — No Brasil, a partir de 1963, foi ado­ tado o Sistema Internacional (SI), cujas unidades mecânicas funda­ mentais estão representadas no quadro: Grandeza Unidade Símbolo comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s Devido às iniciais dos símbolos, este sistema de unidades também é conhecido como MKS.
  • 10. 12 • Sistema CGS — Com unidade® derivada» do Sistoma Interna* cional, podemos construir outro sistema de unidades mecânicas, o CGS. cujas unidades estão representadas no quadro: Grandeza Unidade Símbolo comprimento centímetro cm massa grama g tempo segundo s • Sistema Técnico — É tradicionalmente utilizado em áreas téc­ nicas Suas unidades fundamentais são apresentadas no quadro: Grandeza Unidade Símbolo comprimento metro m força quilograma-furça kgf tempo segundo s Usualmente adotam-se, ainda, as unidades quilômetro (compri­ mento) e hora (tempo), onde: 1 km = 1 000 m e 1 h = 3 600 s Intensidade de uma grandeza O resultado da comparação entre uma grandeza e a unidade é um número real (positivo ou nulo) denominado valor numérico da grandeza em relação àquela unidade. O conjunto formado pelo valor numérico e pela unidade é deno minado intensidade da grandeza. Exemplo:
  • 11. ( //////////#>/ - Ao modlrmON u nlturo do um homom, obtemos 1.70 m. Nosto cflHo, tomos: grandeza medida: comprimento (altura): unidade: metro (m); valor numérico: 1.70; intensidade da grandeza: 1,70 m. Assim, medir uma grandeza é, na realidade, determinar sua in­ tensidade Ponto material Quando as dimensões do objeto a ser analisado não interferem na solução do problema, dizemos que ele é um ponto material. Um automóvel em viagem numa estrada pode ser considerado como um ponto material. Assim, um móvel em translação pode ser estudado como um ponto material. Introdução à Cinemática Movimento de translação de uma carga.
  • 12. 14 Na translação de um corpo, o comportamento de todos os seus pontos c o mesmo. Basta, então, estudar o comportamento de um único ponto (ponto material). Resumindo: Translação ■►o corpo pode ser considerado ponto material. Durante uma rotação, as dimensões do objeto interferem na so­ lução co problema. Neste caso, não podemos considerá-lo como ponto material. Na rotação de um corpo, cada ponto possui comportamento dis­ tinto dos demais, não podendo ser encarado como ponto material. Resumindo: Rotação ■►o corpo não pede ser considerado ponto material. Observe que a Terra, juntamente com os demais planetas, pode ser considerada como ponto matéria em relação ao seu movimento de translação ao redor do Sol.
  • 13. 15 Porém, em relação ao movimento de rotação, em torno do seu próprio eixo. ela não pode ser considerada como ponto material. ê$J& r/ac& 2.__________________________________ __________ Embora as dimensões do corpo estudado como ponto material não sejam consideradas, sua massa deverá ser levada em conta quando necessário. Referencial Os movimentos de um móvel devem ser analisados em relação a um sistema de referência, também denominado referencial. O referencial está. em geral, associado a um outro corpo. Assim, por exemplo, o movimento do passageiro de um carro pode ser estu­ dado em relação ao “ referencial-carro" ou em relação ao “ referencial- -Terra Dependendo do problema analisado, os referenciais tomados poderão ser uni. bi ou tridimensionais.
  • 14. 16 rrp • Aplicações Referencial unidimensional: a localização de um móvel é feita através de um único número: Xp (coordenada). Movimento de um corro numa estrada. Referencial bidimensional: a localização do móvel é feita através dc dois números: Xp e Yp(coordenadas). Referencial tridimensional: a localização do móvel P é feita através de três números: Xpf Y p e Zy (coordenadas). Vôo de um pássaro num viveiro.
  • 15. 17 Movimento Dizemos que um ponto materiai está em movimento em relação a um referencial quando sua posição se alterar ao longo do tempo neste referencial. Isso significa que, no mínimo, uma de suas co­ ordenadas varia com o tempo. Mudança de posiçíío: movimento. Aplicação Um passageiro sentado está em movimento, juntamente com seu veiculo, em relação à Terra Repouso Dizemos que um ponto material está em repouso, em relação a um referencial, quando sua posição não se alterar ao longo do tempo, neste referencial. Ou seja. quando suas coordenadas neste referencial não sc alterarem com o tempo. Posição inalterada: repouso.
  • 16. 18 i* Aplicações 1. Observe que um móvel pode se encontrar em repouso em relação a um referencial e em movimento em relação a outro. Na figura abaixo: • a caixa está em repouso em relação ao caminhão, pois sua po­ sição não varia em relação a ele (referencial B). • a caixa está em movimento em relação à estrada, pois sua posi­ ção varia em relação a ela (referencial A). Indica 3xposiçõo da caix3 em relação ao caminhão. a posição em à estrada. 2. Na figura abaixo representamos a posição de um poste em relação a um carro. Se a posição do poste varia em relação ao carro, di­ zemos que o poste movimenta-se em relação ao carro. V ® ® Conclusão Movimento e repouso são conceitos relativos, depen­ dendo do referencial adotado. Ao descrevermos um movimento, é conveniente adotarmos um sistema de referência onde a descrição do fenômeno torne-se a mais simples possível.
  • 17. & 19 Trajetória « Denomina-se trajetória de um móvel a sucessão de posições ocupadas por ele cm re ação ao referencial adotado. Os sulcos deixados pelo veículo na areia indicam a trajetória do móvel. trens percorrem uma trajetória previamente traçada. A trajetória dos aviões a .ato pode ser observada através da fumaça que se origina da condensação do vapor dos gases liberados.
  • 18. Geralmente, a trajetória é representada por uma função mate­ mática e sempre depende do referencial adotado. Exemplo: C . Desprezando as influências do ar, a trajetória de uma bomba, que cai de um avião em vôo horizontal com rapidez constante, será um arco ce parábola em relação ao solo e um segmento de reta vertical cm relação ao avião. A orientação da trajetória e a escolha de uma origem sobre ela facilitam a análise do movimento, pois permitem a associação de sinais a algumas grandezas que o caracterizam. Orientação da trajetória c escolha da origem (O) Esquema simplificado:
  • 19. Movimento progressivo « O movimento de um móvel é progressivo quando efetuado a favor (no mesmo sentido) da orientação indicada no referencial. © Movimento retrógrado 0 movimento de um móvel é retrógrado quando efetuado contra (em sentido contrário) a orientação indicada no referencial. © Espaço A posição P ocupada pelo móvel (M) num referencial, num dado instante t. pode ser determinada através da grandeza espaço. p
  • 20. e#> c/*/ 22 0 espaço S é a medida algébrica do arco de trajetória que tem início na origem do referencial e extremidade na posição ocupada pelo móvel. Ou seja: S = OP. No Sistema Internacional, o espaço é medido em metros: no Sis­ tema CGS, em centímetros, e, no Sistema Técnico, em metros.
  • 21. toî/zemdJim Aplicações práticas Marco quilométrico nas estradas: Numeração das casas numa rua:
  • 22. 24 ü fó & va flfà L___________________________________________________ J. Ccnliecendo-se o espaço de um móvel não se tem Icéia se ele *vai “vem", ou simplesmente está em repouso. Se o móvel está no quilômetro 30. não significa que ele tenha andado 30 km. i 2. Observe a figura seguinte Nela representamos um referencial associado à própria estrada, onde se desenvolvem os movimentos dos móveis A. B C e D. Orientando-se este referencial, teremos as regiões positiva e negativa. Podemos, então, escrever: móvel A: SA ——30 km: móvel B: S „= + 2 0 k m ; móvel C (observador): Sc = 0 .< m (origem): móvel D: SD = 0km (origem). Para a mesma posição, três situações diferentes: o móvel A “vai", o móvel B ‘ vem’ e o observador C está em repouso. L
  • 23. Simpliíicadamente teremos: í I Intervalo de tempo Entre o início e o fim da análise de um movimento decorre um intervalo de tempo At definido como a diferença ent-e o instante final e o instante inicial 11. é sempre maior que tin: então, At será sempro positivo. Um fenómeno f r 0 fenômeno físico tem seu W r * seu término início quando o quando o cronômetro . i — ! cronômetro registra 5 s. registra 15 s. Logo: v Logo: *»n = 5 S instante finai — tfh. = 15 s à r Duração do fenômeno i ‘ s Intérvalo de tompo At *" / I I v At = tf,„ - t(ll = 15s —5 s Logo |A > -0 s|
  • 24. 26 Deslocamento escalar Deslocamento escalar AS de um móvel num dado intervalo de tempo é a diferença entre o espaço final e o espaço inicial das posições que ele ocupa nos extremos deste intervalo. Ou seja: AS — Srm— Sir, Deslocamento escalar: AS = S, Esquema simplificado: s . Vejamos, agora, qual a interpretação física que devemos dar para os sinais do deslocamento escalar. 1) Se, por exemplo, no instante 4 s um móvel ocupa a posição inicial determinada por Si„ — 10 m e num instante 12 s ele ocupa a po­ sição final determinada por Sn« —30 m. seu deslocamento escalar será: à I I Intervalo de tempo Deslocamento escalar A' —tfi„—tj,, At = 12s 4 s —8 s AS = Sflll S|M AS 30 m — 10 m = +20 m
  • 25. ^ Conclusão: Durante o intervalo de tempo de 8 s, o móvel teve um ^ des ocamento escalar de +20 m. , O sinal “ mais” significa que, se o móvel manteve sempre o mes­ mo sentido de percurso, seu movimento desenvolveu-se a favor do sentido do referencial unidimensional adotado. Assim, nos movimentos progressivos, o deslocamento escalar é positivo. 2) Se no instante 15 s o móvel ocupa a posição inicial determinada por $i;, = 35m e no instante 25 s ele ocupa a posição final deter­ minada por Sun — 20 m. seu deslocamento escalar será: AS = Sm, — Si„ = 20 m — 35 m => AS = —15 m s n„ - 20 m Intervalo dc tempo A * tfin —* iii At = 25s — 15s = 10 s Deslocamento escalar AS = SflI(- S iu AS = 20 m —35m = 15 m Conclusão: Durante o intervalo de tempo de 10 s. o móvel teve um deslocamento escalar de —15 m. O sinal "menos" significa que, se o móvel manteve sempre o mes­ mo sentido de percurso, seu movimento desenvolveu-se contra o sentido do referencial unidimensional adotado. Assim, nos movimentos retrógrados, o deslocamento escalar é negativo. Movimentos progressivos - ► AS > 0 Movimentos retrógrados AS < 0
  • 26. Ouando o móvel retorna ao ponto de partida ou permanece em repouso, o deslocamento escalar é nulo. posição inicial Distância percorrida A distância percorrida por um móvel é a soma dos módulos dos deslocamentos escalares realizados por ele durante seu movimento, acrescida da unidade correspondente. Assim, por exemplo, a distância percorrida por um automóvel corresponde à quilometragem feita por ele durante uma viagem. Resumindo: d = |ASi| + |AS»| + . . . + |ASn| Exemplo: Para um móvel que parte da posição A, atinge B e retorna, che­ gando ao ponto C, teremos: 1) AS = So — S a = 0m — 10m —10m 2) d — AB + BC = 10m + 20m = 30 m
  • 27. O « inholo , S dovo anr entendido como módulo da grandeza AS e corroapondo ao valor rtumórico da grandeza AS rjue ó um número real positivo ou nulo. Exemplo: AS n -2 m- ► AS| =4-2 Velocidade escalar Velocidade é a grandeza física que permite medir a rapidez com que um móvel varia sua posição. • Velocidade escalar média — Define-se velocidade escalar média de um móvel como o quociente do deslocamento escalar pelo intervalo de tempo correspondente. Como o intervalo de tempo At é sempre positivo a velocidade escalar media V„, terá o mesmo sinai do deslocamento escalar AS. Ou seja: Vn J = At tfin tin ©
  • 28. 30 • Velocidade escalar instantânea — Ouando o intervale de tempo At tende a zero. a velocidade escalar média tende à velocidade escalar instantânea. Ou seja: Posições sucessivas do um móvel entre dois instantes muito próximos. velocidade média do móvel entre dois instantes muito próximos velocidade instantânea • Unidades de velocidade No Sistema Internacional, a velocidade é medida em m/s; no Sis­ tema CGS, em cm/s; no Sistema Técnico, em m/s. e, usualmente, mede-se também a velocidade em km/h. Aplicações práticas Velocidade escalar média: guarda rodoviário controlando o limite de velocidade de um veículo através de binóculo e cronômetro.
  • 29. 31 • Sinais da velocidade escalar — Nos movimentos progressivos a velocidade escalar instantânea é sempre positiva. Nos movimentos retrógrados a velocidade escalar instantânea é Ouando a velocidade de um móvel é instantaneamente nula, dize­ mos que ele está parado naquele instante. Isto ocorre, por exemplo, no ponto mais alto do lançamento ver­ tical de uma pedra. áà v = o "" No instante em que atinge o ponto mais alto da J sua trajetória, o | móvel pára Porém, não permanece nessa posição com V. V = 0.
  • 30. í Quando a velocidade escalar instantânea de um móvel perma­ nece nula durante um intervalo de tempe At, dizemos que ele está em repouso naquele intervalo. i Complementos • A intensidade da velocidade escalar instantânea pode ser regis­ trada num instrumento denominado tacómetro (velocímetro). O velocímetro do automóvel registra a intensidade tía velocidade escalar instartãrea (rapidez do movimento). • Algumas velocidades significativas: Velocidade da luz no vácuo ............................................... 300 000 km/s Velocidade do som no ar à temperatura de 20“ C .. 344 m/s Velocidade média de translação da Terra ao redor do Sol .................................................................................... 30 km/s Importante: A velocidade é grandeza que depende do referencial ado­ tado. Assim, uma pessoa dormindo em sua casa possui velocidade nula em relação à Terra, mas está dotada de velocidade não-nula em relação ao Sol. - » I C t*
  • 31. 33 Aceleração escalar Aceleração é o grandeza física que permite medir a rapidez com que um móvel varia suei velocidade. • Aceleração escalar média — Num intervalo de tempo M. um móvel var a sua velocidade escalar de V.n a Vfln. © km. h r 7 s V © ' km.h Define-se aceleração escalar média do móvel como o quociente da variação de sua velocidade escalar pelo intervalo de tempo cor­ respondente. Ou seja: O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento. V,0 - 4C km/h Vf,u 4 85 krn-h No exemplo: 85 40 45 = ------------= ----- 30 - 15 15
  • 32. 34 • Aceleração escalar instantânea — Quando o intervalo de tempo At tende a zero, a aceleração escalar média tende à aceleração escalar instantânea. At —o Ou seja: a = =lim a .-„ a:-» ü • Unidades de aceleração AV Lembrando que a,u= -----, então podemos concluir que: At unidade de unidade de velocidade aceleração unidade de tempo Assim, no Sistema Internacional teremos: unidade de velocidade unidade de tempo No Sistema unidade de velocidade unidade de tempo No Sistema unidade de velocidade unidade de tempo km/h Uma unidade usual é s
  • 33. Aplicação prática Análise do desempenho de um automóvel: a velocidade de um Corcel GT varia de 0 a 100 km/h num intèrvalo de tempo de 17,15 s: a velocidade de um Passat TS varia de 0 a 100 km/h num intervalo de tempo de 15,30s. (Dados extraídos ca revista Quatro Rodas de junho de 1979.) • Sinais da aceleração escalar — Analisemos o movimento de um veículo onde, em cada um dos casos abaixo, o motorista procura manter a leitura no velocímetro ou permanentemente crescente ou permanentemente decrescente. Lembre-se de que o velocímetro só registra as intensidades das velocidades; os sinais serão dispostos de acordo com o sentido do movimento do móvel. 1} As velocidades do veículo crescem algebricamente: Instante t«„ - 5s tf n- 10s Velocidade Vj,, ——5 m/s Vf| „ - 4-15 m/s A velocidade final é algebricamente maior que a velocidade n ciai. 1 5 - 5 a... - 1 0 - 5 a,, - + 2 m/s* I Velocidade Vh: — 15 m/s A velocidade ^ está crescendo algebricamente-. a ( I ). Instante A ve ocidade final é algebricamente maior que a velocidade inicia!. = — (-15) 10 5 a„ - - 2 m/s O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento
  • 34. Conclusão: A aceleração escalar do móvel é positiva sempre que -- sua velocidade escalar crescer algebricamente. 2) As velocidades do veículo decrescem algebricamente: A velocidade está decrescendo algebricamente: a ( ) Instante ti» - 5 s tr.„ = 10 s Velocidade V,., - +15 m/s v n. “ +5 m/s A velocidade final é algebricamente menor que a velocidade inicial. 5 - 1 5 aai = — 2m/s- Instante t,» “ 5 s Win — 10 s Velocidade V;1 I - - 5 m/s Vr.i. ™ -15 m/s A velocidade final 6 algebricamente menor que a velocidade inicial. -15 - ( - 5 ) am— a„ = — 2m/s- O sinal da veiocidade só indica o sentido do movimento. Conclusão: A aceleração escalar do móvel é negativa sempre que sua velocidade escalar decrescer algebricamente.
  • 35. %//M /n ã/àn 37 Movimentos acelerado e retardado Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel cresce num intervalo de tempo, o movimento é denominado acelerado. Movimento acelerado A velocidade aumenta em intensidade. Corresponde á situação em que as leituras do velocímetro assumem valores crescentes. Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel decresce num intervalo de tempo, o movimento é denominado retardado. Movimento retardado A velocidade diminui em intensidade. Corresponde à situação em que as leituras do veloe metro assumem valores decrescentes. Resumo geral — Observe, nas duas pranchas a seguir, que o sinal da aceleração de um móvel nada tem a ver com o fato de seu movimento ser acelerado ou retardado. Assim, o fato de a aceleração
  • 36. 38 ser positiva não implica necessariamente que o movimento seja ace­ lerado. bem como o fato de a aceleração ser negativa não implica necessariamente que o movimento seja retardado. MOVIMENTO ACELERADO Cálculo tía aceleração Entre Os e 5 s: km/h Entre 5 s e 10 s: 8 0 - 6 0 km/h $ 1 0 - 5 s ACELERAÇÃO POSITIVA VELOCIDADE POSITIVA MOVIMENTO ACELERADO MOVIMENTO ACELERADO Cálculo da aceleração Entre Os e 5 s: - 6 0 - (-40) a —----------------- 5 - 0 ACELERAÇÃO NEGATIVA VELOCIDADE NEGATIVA Entre 5 s e 10 s :. 30 - (—60) a ------------------ 1 0 - 5 MOVIMENTO ACELERADO O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento. Movimento acelerado: velocidade c aceleração tém o IVESMO SINAL!
  • 37. f Cálculo da aceleração Entre 0 s e 5s 60 80 a —------ -— 3 - 0 l km/h Entre 5 s e 10 s: 40 - 60 km/h s 10- 5 s ACELERAÇÃO NEGATIVA VELOCIDADE POSITIVA MOVIMENTO RETARDADO MOVIMENTO RETARDADO Cálculo da aceleração Entre 0 s e 5 s: -60 - (-80) a ------------------ 5 - 0 km/h a .. T-4------ - Entre 5 s e 1Cs: -40 - (-60) km/h s 10- 5 s ACELERAÇAO POSITIVA VELOCIDADE NEGATIVA MOVIMENTO RETARDADO O sinal da velocidade só indica o ser*, do do movimento Movimento retardado: velocidade e aceleração têm SINAIS OPOSTOS!
  • 38. 40 Portanto: Movimento acelerado Velocidade e aceleração têm o mesmo sinal. - v . a > 0 Movimento retardado Velocidade e aceleração têm sinais opostos. - V . a < 0 Representação gráfica A variação de uma grandeza em visualizada através ce um diagrama. função do temoo pode ser Assim, o comportamento das ondas cerebrais de um homem pode ser estudado através de um eletroencefalograma: um tremor de terra pode ser analisado através de seu registro num sismógrafo.
  • 39. 'W ft Analogamente, podemos analisar as variações do espaçe S. da velocidade V e da aceleração a através de seus diagramas horários S X t . V X t e a X t . A leitura direta de um diagrama horário informa-nos sobre o com­ portamento da grandeza ern estudo ao longo do tempo. Exemplo: Da leitura direta do gráfico V X t abaixo, podemos concluir que: • De Os a 5 s . V > 0 (movimento progressivo) e V cresce (movi­ mento acelerado). • De 5 s a 10s, V > 0 (movimento progressivo) e V decresce (movimento retardado). • De 10 s a 15 s, V < 0 (movimento retrógrado) e jV| cresce (mo­ vimento acelerado). • De 15 s a 20 s. V < 0 (movimento retrógrado) e V decresce (movimento retardado).
  • 40. 42 'fln Gin G y<x ! AG i ~A At 1 / a ; i i / "■ *fln t Elementos gráficos Além da leitura direta, há dois outros elementos de interesse no estudo de um diagrama horário: o declive da curva e a área sob o gráfico. • Declive de uma curva * — Dado um diagrama horário de uma grandeza G (S. V ou a), cha­ mamos de declive do gráfico a tangente trigonométrica do ân­ gulo formado pelo gráfico e o eixo horizontal, medido no sen­ tido anti-horário a partir do eixo t. Ou seja: | dec = tgõ~ . Gráfico retilíneo: dec = tg a = AG _ Gfln — G|n At trtn —tln Gráfico curvilíneo: • declive médio deCm — dec^j^p.^ tg & • declive num ponto deci» = tg a Sinais do declive: • para 0o< a < 90°, dec > 0. Exemplo: 6 — 3 dec (o»m j»)-----------— “M ,5 —> 2 - 0 dec«)» mi‘») — 4-1.5 • para 90° < a < 180°, dec < 0. Exemplo: dec. s-h 7») = 0 - 6 7 - 5 = - 3 = > dec <5. W7•! = —3 • Para a = 0 dec = 0. Exemplo: 6 - 6 dec (2«H5•) = 0 _________ 5 — 2 j dec< 2■ h »»i — 0 * Pera maior facllidace. ver Apêndice (Pranchas Matemática») no linal deste livro
  • 41. Admite-se que a escala de representação da grandeza G e da grandeza t seja a mesma. f Exemplo: eixo da grandeza G (ordenada): 1cm representa 1m/s; eixo da grandeza t (abscissa): 1cm representa 1s._________________________ • Área sob o gráfico — Mui­ tas vezes a área entre o gráfico e o eixo dos tempos é numerica­ mente igual a uma certa gran­ deza física G, ou seja, A *?G . Por outro lado, em muitos casos, o sinal desta grandeza está associado ao fato de o grá­ fico estar acima ou abaixo do eixo dos tempos. Podemos, en­ tão. adotar a seguinte conven­ ção: • área calculada acima do eixo dos tempos: G > 0; • área calculada abaixo do eixo dos tempos: G < 0. Exemplos: 8 + 4 D A IO» H 2 «) . 2 — = 12 — >Ato» h 2») = 12 A ;2«m *h) — 2 . 8 = 16 = —>A(2«h i > 0= 16 2 . 8 A h «h 6») =•--------= 8 : ==>A « «MA») — 8 Portanto, A(0, h 6*j = 12 + ■ +- 16-h 8 = 36 Sendo A 5 G, vem: |G = -f36 4 .8 2) A(«. mio») 16 Sendo A ^G. vem: | G = —16
  • 42. 1. CESCEA — Um homem, ao inclinar-se sobre a janela do vagão de um trem que .se move com velocidade constante, deixa cair seu relógio. A trajetória do relógio, vista pelo homem do trem. é (despreze a resistência do ar): a) uma reta. b) uma parábola. c) um quarto de circunferência. d) uma hipérbole. e) Nenhuma das anteriores. Resolução: Embora caia verticalmente, aproximando-se do chão, hori- zontalmcntc o relógio acompanha o trem, devido ao seu embalo inicial. Assim, em relação a uni referencial fixo no trem, a trajetória do objeto será um segmento de reta vertical. O mesmo ocorre quando um avião, voando horizontalmente com velo­ cidade constante, abandona um objeto que cai livre da resistência do ar. — O ---- Resposta: alternativa a.
  • 43. 45 2. CESCEA — Na questão anterior, a trajetória vista por uma pessoa no solo é: a) uma reta. b) uma parábola. f c) uma hipérbole. d) um quarto de circunferência. e) Nenhuma das anteriores. Resolução: Fm relação a uni referencial fixo no solo, o relógio será dotado de dois movimentos simultâneos: queda vertical e deslocamento lateral. A combinação desses movimentos resulta em um arco de pará­ bola, conforme você pode observar no exemplo do avião. Resposta: alternativa b. 3. ITA — Um homem sobe uma escada que se apóia contra um edi­ fício. A escada tem seu topo a 8 m do solo e a base está a 6 m do edifício, conforme figura abaixo. Ele sobe ao topo em 4 s e. daí, cai ao ponto B no próximo segundo. A velocidade escalar média entre A e B é de: Cv a) 3.2 m/s. b) 1.2 m/s. c) 3,6 m/s. d) 5.25 m/s. Bl_______________- N .a e) Nenhuma das respostas anteriores. Resolução: Do enunciado da questão, temos: CB = 8 m, AB = 6m , AtA C= 4 s e Atou = 1 s C Por Pitágoras, podemos escrever: (AB)2 + (CB)2= (AC)2 (6)2 -4- (8)2t= (AC)2 (AC)2 = 1 0 0 = > AC = 10 m Lembrando a definição dc velocidade escalar média, vem: .. AS AC + CB 10-f-8 18 " 6 ■ât AtA C-j- AtfB 4 -f- 1 5 Logo: Vrn= 3,6m /s Resposta: alternativa c.
  • 44. 46 4. MACKENZIE — Sejam M e N dois pontos de uma reta e P o ponto médio de MN. Um homem percorre MP com veloc dade constante de 4,0 m/s e PN com velocidade constante de 6,0 m/s. A velo­ cidade média do homem entre M e N é de: a) 4,8 m/s. b) 5,0 m/s. c) 5.2 m/s. d) 4.6 m/s. e) Nenhuma das anteriores. Resolução: Quando um móvel mantém sua velocidade constante, as velocidades media e instantânea tem o mesmo valor. y © g © a At, At, Ou seja: velocidade constante V = V, Assim, para o trecho MH podemos escrever: AS, AS Vm, = 4 m/s = > --------- = 4 = > At, = ------ * At, 4 Para o trecho PN, teremos: AS2 Vrn = 6 m/ s = > ---------= 6 => Ata A velocidade media total será: ASp AS, -{- ASa V — — At? At, -}- Ato Ata ASa 6 (UI) Substituindo-sc AS, AS, (I) e (II) em (III), vem: -I- AS. _ AS, + AS* ASo ~ 3AS, + 2ASa (D (II) 12(AS, + AS-.) 3AS, -f- 2ASo 4 6 12
  • 45. 47 Pelo enunciado, sendo P o ponto niédio do trecho MN, então MP — PN ou AS, - AS,. Portanto: 12(AS, + AS,) 2 4 # , ~~ ' V« 24 3AS, -f 2AS, Conclusão: 4,8 VmT — 4,8 m/s Resposta: alternativa a. 5. MAPOFEI — Um automóvel percorre a distância entre São Paulo e São José des Campos (90 km) com a velocidade média de 60 km/h; a distância entre São José dos Campos e Cruzeiro (100 km) é percorrida com a velocidade média de 100 km/h e entre Cruzeiro e Rio de Janeiro (210 km) com a velocidade média de 60 km/h. Calcule a velocidade média do automóvel entre São Paulo e Rio de Janeiro. Resolução: Para o trecho (1) (São Paulo—São José dos Campos): AS, AS, 90 Vm = ------ = > At, = -----— = > A t, = ------= 5 1 At, V». 60 At, = 1,5 h Para o trecho (2) (São José dos Campos—Cruzeiro): AS2 AS2 100 V„, = ----i = > Ata = ---- — => At. = ---------= > Ato 100 Ato = 1,0 h Para o trecho (3) (Cruzeiro—Rio de Janeiro): AS» AS3 4 210 At3 —---------—^ At:, — V« = - 1 At: 60 At:, = 3,5 h Assim, o intervalo de tempo total para ir de São Paulo ao Rio de Janeiro será: _________ At = At, 4 Ato 4- At:, = 1,5 4- 1,0 4 3,5 = > At = 6,0 h
  • 46. 48 O deslocamento total do automóvel será: áS = AS, 4 AS. 4 AS3= 90 4 100 4 210 => Portanto: AS = 400 km V, 400 6 Vm— 66,6" km/h Resposta: A velocidade média do automóvel em todo o trecho foi de 66,67 km/h. 6. CESGRANRIO — Numa avenida longa, os sinais são sincronizados de tal forma que os carros, trafegando a uma determinada velo­ cidade, encontram sempre os sinais abertos (onda verde). Sa­ bendo que a distância entre sinais sucessivos (cruzamentos) é de 200 m e que o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal e o seguinte c de 12 s. com que velocidade os carros devem trafegar para encontrarem os sinais abertos? a) 30 km/h b) 40 km/h c) 60 km/h d) 80 km/h e) 100 km/h Resolução: Suponhamos que um carro esteja chegando num sinal vermelho. Quando o sinal abrir, ele terá 12 s para percorrer 200 m até o próximo sinal, que deverá estar passando do vermelho para o verde. At Calculemos, então, com que velocidade média o carro deverá fazer este percurso. Sendo AS = 200 m c At = 12 s, vem: AS 200 50 V ... — — ■ ■■ ■ v m= 50 At 12 3 Lembrando que I m/s = 3,6 km/h, ternos: 50 m/s V,„ = . 3,6 km/h V 'n -, = 60 km/h Resposta: alternativa c.
  • 47. 49 % /s/£ m d /ü r/ ' 7. UNIVERSIDADE DE TAUBATé — Uma bicicleta move-se sobre uma estrada curvilínea com velocidade escalar instantânea igual a —4 rn./s. O sinal negativo indica que: a) a bicicleta tem velocidade decrescente. b) a bicicleta se move em marcpa a ré. c) o movimento tem sentido contrário ao da orientação positiva da trajetória. d) é impossível tal situação; não há significado físico para velo­ cidade negativa. Resolução: A velocidade escalar negativa indica que o objeto se move contra a orientação do referencial. Assim, diremos que o movimento da bicicleta é retrógrado. ) Resposta: alternativa c. 8. UNIVERSIDADE DA BAHIA — O maquinista aciona os freios de um trem, reduzindo sua velocidade de 80 km/h para 6C km/h, no intervalo de 1 min. Neste intervale, a aceleração do trem foi de: a) 20 km/h-’. b) —20 km/h2. c) —0.3 km/h2. d) 1.2 . 103km/h-. e) —1.2 . 103km/h2. Resolução: Lembrando que a„, AV Vfla — V|n At At podemos es- crcver: & B ) — Logo: 3iu — — 60 km/h — 80 km/h 1min 20 km/h km/h 1 min a» = -2 0 mm
  • 48. 50 Ou seja, o trem reduz sua velocidade, cm média, de 20km/h em cada minuto. Como 1min = ------h, entào: 60 am= -2 0 . 60 km — => am= —1 200 km/h2 h Assim: a,3 : 1.2 . 103km/h2| O sinal menos (—) significa que a velocidade escalar do móvel diminui algebricamente. Resposta: alternativa e. 9. MEDICIMA DE LONDRINA — A tabela abaixo dá a velocidade es­ calar (V) de um corpo em função do tempo (t): t(s) 0 2 4 6 8 V(cm's) -3 4 1 1 18 25 A pa-tir destes dados, assinale o gráfico que melhor representa am« o*ih 2(| = ---------------- — H --------- — -f-3,5 cm/ s 2 - 0 2 B in <2 « H <*1 = ------------------ = H------------— - j- 3 , 5 c m / s - ' 4 - 2 2 |-------= -f 3,5 cm/s* . 2 a.-ii< 4aH 6sl — 6 - 4
  • 49. 51 3m(uHM8*) — ---------------- — H --------- — +3,5 cm/s2 8 - 6 2 Portanto, a aceleração media é constante c sua representação gráfica é uma reta paralela ao eixo dos tempos (eixo horizontal). Resposta: alternativa a. 10. ITA — No estudo do movimento de um móvel (em trajetória reti­ línea), medindo-se a velocidade a cada segundo a partir de um instante t — 0 s e de um ponto x0 ob:eve-se a seguinte tabela: V(m/s) 1.0 2.0 6.0 8.0 9.0 10.0 12.0 13.0 14.0 15.0 15,0 15.0 14.0 10,0 5.0 2.0 t(s) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 80 9.0 10.0 110 12.0 130 14,0 15.0 As acelerações médias do móvel entre es instantes 4 s h 5 s , 10s m 11s e 13 s m 14 s foram, respectivamente (em m/s2): a) 1.0: 0.0 e 4.0. b) 4.0; 0,5 e -4 .0 . c) 2.0; 2.0 e -2 .0 . d) 2.0; 0.0 e -4 ,0 . e) 1.0; 0.0 e —4.0. n . . » ^ fin ^ :n Resolução: Como am—--------------- , temos: tíin — tin (4,0»H’» .O*) — 1 0 ,0 -9 ,0 5,0 - 4,0 am(4«HG«) — 1,0 m/S- am:10.0& H 11,0- a »— 15,0 — 15,0 1,0 1,0 0,0 — 1,0 m/s2 3.H113.01 H14,0s) — 11,0 -1 0,0 1,0 am(to «HM«) = 0,0 m/s* 6,0— 10,0 -4 ,0 = 0,0 m/s* 14,0— 13,0 *1,0 — —4,0 m/s* amíl3sHHj) — —4,0 m/s* Resposta: alternativa c. 11. MEDICINA DE SANTOS — Um ponto material desloca-sc com uma certa velocidade segundo um eixo orientado, adquirindo, na ori­ gem deste, uma aceleração constante de —15 cm/s2. Após 6,0 s sua velocidade é de 30 cm/s, dirigida segundo o sentido negativo do eixo. A velocidade do ponto material no instante cm que lhe foi comunicada a aceleração é de:
  • 50. 52 a) 15 cm/s. b) 30 cm/s. c) 45 cm/s. d) 60 cm/s. e) Nenhuma das anteriores. Resolução: Do enunciado, temos a informação: Vfu = —30 cm /s (velocidade contrária à orientação do referencial). VfIn— V,0 Lembrando que aw t = 0,0s V,„ = ? t = 6,0s 'fii> At •© ■© vem: -1 5 -3 0 - V, - 9 0 = -3 0 - V,B = > Vla = 9 0 - 3 0 => Viu = 00 cm/s Resposta: alternativa d. 12. FEI — O gráfico da velocidade de um ponto material em função do tempo é o que se vê na figura abaixo. Pode-se dizer que: a) o movimento é acelerado durante todo o tempo. b) o movimento é retardado nos trechos AB, CD e DE. c) o movimento só é retardado no trecho AB. d) o movimento é retardado nos trechos AB e CD. e) nenhuma das afirmações anteriores está correta.
  • 51. 53 Resolução: As grandezas físicas escalares podem ter suas variações com o tempo ilustradas através de uma representação gráfica. A leitura de um gráfico nos permite tirar conclusões a respeito do movimento do móvel. No caso cm questão, o gráfico V X t nos informa que: Trecho AB: V| decresce = > movimento c retardado. Trecho BC: velocidade se mantem constante. Trecho CD: V| decresce = > movimento c retardado. Trecho DE: V cresce => movimento é acelerado. Resposta: alternativa d. 13. MEDICINA DA SANTA CASA — O gráfico abaixo representa o espaço S de um móvel em função do tempo t. Pode-se dizer que a velocidade média no intervalo de Os a 7 s foi igual a: c) 23 m/s. d) 6,6 m/s. e) 0 m/s. «j, __^ Resolução: Lembrando que Vm—-------------, através da leitura direta t f In t jn do diagrama horário S X t podemos concluir que S()— 0 m e S7= 0 m. Portanto: Va i(0 * H7 s ) Sv- So 7 - 0 0 - 0 0 ------- = ------= 0 => 7 7 — ^ ^a i:o *h T « >—0 m ; S Observe que o fato dc a velocidade média ser nula não implica que o móvel esteja cm repouso. No caso em questão, a velocidade média é nula porque o móvel ocupa a mesma posição nos instantes inicial e final. Resposta: alternativa e.
  • 52. 54 14. MEDICINA DO ABC — O gráfico abaixo representa a velocidade escalar em função do tempo de um veículo que se movimenta sobre uma trajetória retilínea. O módulo da aceleração escalar média, no intervalo de 0 s a 10.0 s. b) 2.0. c) 2.5. d) 5.0. e) 10.0. Resolução: Lendo o gráfico, concluímos que: para t = 0,0 s, Vrt — 20 m/s para t = I0,0s, V10= Om/s c . AV V|0 — V„ benao a*. = ------= ---------------- , vem: At At 0 — 20 âjiMOHHio*.)----------------. . am (o,sH»'»*) ——2,0 m/s* 1 0 - 0 A velocidade final é aleebricamcnte menor que a velocidade inicial. Logo, em m/s2: Resposta: alternativa b. < <f s H 10 *1 - 2.0
  • 53. 55 1. MEDICINA DE 1TAJUBÁ — Um menino parado numa estação deixa cair uma pedra. Um observador, situado num trem que se desloca com movimento retilíneo para a esquerda, vê a pedra seguindo qual das traje­ tórias abaixo? 2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — lodo movimento é relativo. Então, podc-sc dizer que, cm relação a um mesmo sistema de referência: I) Sc A está em movimento em relação a B e B está em movimento em relação a C, então A está em movimento em relação a C. II) Se A está parado em relação a B c B está parado em relação a C, então A está parado em relação a C. Responder mediante o seguinte código: a) I está certa e II está errada. b) I está errada e II está certa. d) I e II estão erradas. c) I c II estão corretas. c) Nada se pode afirmar. 3. MEDICINA DO ABC — A velocidade escalar média de um móvel é me­ lhor definida como sendo: a) a média das velocidades escalares do móvel, ao longo do movimento. b) o resultado da divisão do espaço percorrido pelo móvel pelo intervalo de tempo empregado em percorrer esse espaço. c) o produto da aceleração pelo tempo. d) o quociente da aceleração pelo tempo. c) a media aritmética das velocidades inicial c final, relativas ao mesmo percurso.
  • 54. 56 4. ENGENHARIA DF. UBERLÂNDIA — Um passageiro dc ônibus verifi­ cou que o mesmo andou 10 km nos 10 primeiros minutos de observação c 8 km nos 10 minutos seguintes. A velocidade média do ônibus foi: a) pouco menor que 60 km/h. b) igual a 60 km/h. c) pouco maior que 60 km/h. d) igual a 120 km/h. c) impossível dc ser calculada. 5. PUC (CAMPINAS) Lm carro move-se com velocidade de 2 m/s durante 10s (l.a marcha): cm seguida, com 5 m/s durante 10 s (2.a marcha) e, de­ pois, com II m/s durante 10s (3.a marcha). Desprcza-se a duração das mudanças de marcha. a) A velocidade média do carro c dc 6 m/s. b) A aceleração do carro é sempre nula. c) A aceleração media do carro na duração do fenômeno é de 0,45 m/s-. d) Nenhum dos resultados anteriores. 6. MEDICINA DF. CATANDUVA — Um automóvel percorre um trecho retilíneo dc estrada, indoda cidade A ate a cidade B,distante 150 km da primeira. Saindo às 10:00 h dcA.pára às ll:00h emumrestaurante situa­ do no ponto médio do trecho AB, onde o motorista gasta exatamente uma hora para almoçar. A seguir, prossegue viagem e gasta mais uma hora para chegar à cidade B. A velocidade media do automóvel no trecho AB foi dc: a) 75 km/h. d) 60 km/h. b) 50 km/h. c) 90 km/h. c) 150 km/h. 7. ITA — Um motorista deseja perfa?er a distância de 20 km com a veloci­ dade média de 80 km/h. Se viajar durante os primeiros 15 minutos com a velocidade de 40 km/h, com que velocidade média deverá fazer o percurso restante? a) 120 km/h. b) 160 km/h. c) É impossível estabelecer a velocidade mcd:a desejada nas circunstâncias apresentadas. d) Nula. e) Nenhuma das afirmações c correta. 8. UNESP — Um ônibus dirige-sc dc São Paulo ao Rio dc Janeiro. 0) Ao passar pelo marco quilométrico A dc espaço 150 km, um passa­ geiro lê cm seu relógio o tempo 15 horas. Com esses dados, a veloci­ dade é calculada cm 10 km/h. (2) Às 17 horas, o veículo passa por um marco B no qual se lê 50 km. Entro A e B o percurso é —100 km. a duração é dc 2 horas e a velo­ cidade média é dc —50 km/h. * 4 k * ‘4
  • 55. (3) O sinal negativo na velocidade do item (2), suposto correto, indica que o veículo faz marcha à ré. a) Somente (1) c correta. b) Somente (2) é correta. c) Somente (3) c correta. d) Há mais de uma afirmativa correta. e) Não há nenhuma afirmativa correta. 9. UNIVERSIDADE DE SÂO CARLOS — Um móvel se desloca de um ponto A até um ponte B. a uma velocidade constante igual a 80,0 km/h. Depois, se desloca do ponto B ate um ponto C, a uma velocidade constante igual a 30,0 km/h. Se a trajetória é retilínea desde o ponto A até o ponto C. c as distâncias de A até B c de B até C são iguais, podemos dizer que a velocidade escalar média do móvel é de: a) 55,0 km/h. d) 50,2 km/h b) 43,6 km/h. e) 71.7 km/h. c) 60.8 km/h. 10. PUC (RIO GRANDE DO SUL) — A velocidade média de um automóvel na primeira metade de um determinado percurso é de 10 km/h c. na se­ gunda metade desse mesmo percurso, é de 30 km/h. Pode-se afirmar que a velocidade média desse automóvel cm todo o percurso vale: a) 15 km/h. d) 30 km/h. b) 20 km/h. e) 40 km/h. c) 25 km/h. 11. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA — Um ponto material move-se em linha reta. percorrendo dois trechos consecutivos MN c NP O trecho MN c percorrido com uma velocidade media igual a 20 km/h, e o trecho NP com uma velocidade média igual a 60 km/h. O trecho NP é o dobro do trecho MN. Pode-se afirmar que a velocidade média no trecho MP foi de: a) 36 km/h. d) 42 km/h. b) 40 km/h. e) Nenhuma das respostas anteriores. c) 37,3 km/h. 12. MEDICINA DE ITAJUBÁ Um trem viaja durante 2h a 50,0 km/h; depois, passa a viajar a 60,0 km/h durante 1,5 h e, finalmcntc. passa a 80,0 km/h durante 0,5 h. Sua velocidade média, neste trajeto, será de: a) 80.0km/h. d) 57,5 km/h. c) 63,3 km/h. 13. MEDICINA DE SANTOS — Um móvel, descrevendo um movimento pro­ gressivo, certamcnte está em: b) 65,0 km/h. e) 47,5 km/h. a) rotação. b) oscilação. c) movimento retilíneo. d) movimento uniforme. e) Nenhuma das respostas anteriores.
  • 56. 58 14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Medindo-se, no sistema CGS dc unidades, a velocidade de um corpo, obteve-se o vaíor de 12,3 cm/s. Que valor expressa esta mesma velocidade no sistema de unidades MKS? a) 1,23 . 10-3m/s d) 1,23 . 10*m/s b) 1,23 . 10-* m/s e) 1,23 . IO3m/s c) 1,23 . 10-» m/s 15. PUC (CAMPINAS) — A aceleração escalar média de um automóvel que aumenta sua velocidade de 36 km/h para 108 km/h em 10s c de: a) 7,2 m/s2. d) 4,2 m/s2. b) 72 m/s2. e) 3,0 m/s2. c) 2,0 m/s2. 16. UNIVERSIDADE DE SÄO CARLOS Um carro, movendo-se no sen­ tido positivo do eixo x com velocidade de 100 km/h. freia de modo que após 1.0 min sua velocidade passa a ser dc 40 km/h. A aceleração média do carro será dc: a) —1,0 km/min2. d) — 0,66 km/min2. b) 1.0 km/min2. c) 0.66 km/s2. c) 1,0 m/s2. 17. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O quociente entre velocidade c ace­ leração c uma grandeza que pode ser medida em: a) cm/s2. d) s. b) cm/s3. e) s-1. c) cm2/s3. 18. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O gráfico abaixo representa o espaço S de um ponto em função do tempo t de percurso. A maior velocidade média, relativa a um intervalo de tempo igual a um segundo, é obtida entre: • I a) 0 s e Is. b) I s e 2 s. c) 3 s e 4 s. d) 4 s e 5 s. e) 5 s e 6 s.
  • 57. 59 v i& n d á a z & 19. MEDICINA DE TAUBATÉ O gráfico S X t de um móvel c desenhado abaixo. Esse móvel tem um movimento: t a) aederado. d) retrógrado. b) retardado. e) ü móvel está parado. c) progressivo. 20. MEDICINA DE SANTOS O diagrama abaixo representa a velocidade escalar de um ponto material em função do tempo. Podemos afirmar que: a) entre os instantes 0 s e 5 s o movimento c progressivo c retardado. b) entre os instantes 15 se 20s a aceleração escalar é negativa. c) entre os instantes 5 se 10s o movimento c progressivo retardado. d) no instante 15 s a aceleração é nula. c) nos instantes 10 s c 20 s a aceleração atinge seus valores máximos.
  • 58. S I 21. CESCEA — Dois corpos, distantes entre si 100 m. partem simultaneamente um em direção ao outro, ao longo ca reta que os une. O gráfico abaixo marca a posição de cada um dos corpos no decorrer do tempo; (1) rcfcre-se ao primeiro e (2) ao segundo corpo. Considere as proposições: I) Os corpos seencontram noinstante t = 4 s. II) Os espaçospercorridos pelo corpo (1) e pelo corpo (2) desde o mo­ mento da partida até o instante de encontro são. respectivamente. — f> ()m c 40 m. III) A velocidade média do corpo (1), em módulo, durante os primeiros 6 s. é maior que a do corpo (2). São corretas as proposições: a) I e II. d) Todas são verdadeiras. b) I c III. c) Todas são falsas. c) II e III. 22. CESGRANRIO — Um mau motorista percorre uma avenida onde os su­ cessivos sinais dc tráfego são eqüidistantes e estão sincronizados para que um bom motorista possa cruzar todos os sinais no verde, dirigindo com uma determinada velocidade constante.
  • 59. No entanto, o mau motorista não aproveita essa chamada "onda verde . Ele arranca subitamente, “queimando borracha", na abertura de um sinal, acelera a fundo e depois freia violentamente de modo a parar no sinal seguinte, onde aguarda a abertura, c assim por diante. Qual dos seguintes gráficos posição x tempo melhor representa o movimento do carro desse mau motorista? < Tempo Posição Tempo
  • 60. 62 23. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTE — Ao fa^er uma viagem de carro entre duas cidades, um motorista observa que sua velo­ cidade escalar média foi de 70 km/h, e que, em média, seu carro consu­ miu 1,0 litro de gasolina a cada 10 km. Se. durante a viagem, o motorista gastou 35 litros de gasolina, quantas horas demorou a viagem entre as duas cidades? a) 3 h d) 4 h e 30 min b) 3 h c 30 min e) 5 h c) 4 h 2. I) Imagino um observador A dotado dc velocidade V em relação a uma escada rolante B, que sobe também com velocidade V. em reiação à Terra (C). Se A subir a escada B. a velocidade de A com relaçáo a C será 2V (movimento). Se A descer a escada B. a velocidade de A em relação a C será zero (repouso). Conclusão: I está errada II) Estando A oarado em relação a B. então A c B estão permanentemente unidos, podendo ou não o conjunto estar em movimento. Sc B está parado em relação a C, então B e C estão permanentemente unidos. Então, A. B e C estão formando um único sistema rígido (um triângulo, por exemplo), onde cada um dos pontos está em repeuse em relação aos outros. Conclusão: II está certa. Rosposta: b. 3. b (Por espaço percorrido entenda-se deslocamento escalar AS.) 4. a (Vm:= 54 km/h) 5. a 6. b 7. c 8. b 9. b 10. a 11. a 12. d 13. e (Movimento progressivo^- movimento descrito a favor da orientação dc referencial.) 14. c 15. c 16. a 17. d 18. b 19. d 20. c (Importante: não se define aceleração quando há formação de “bico" no gráfico V x t. Isto. por exemplo, ocorre nos instantes t = 5s e t = 15 s.) 21. a 22. b 23. c
  • 61.
  • 62. Definição de movimento uniforme O movimento de um móvel é uniforme quando sua velocidade escalar é constante e não-nula. Assim, um automóvel dotado de movimento uniforme terá seu velocímetro indicando sempre o mesmo valor: Movimento uniforme • Rap dez constante em qualquer trajetória. • Sentdo do movimento sempre constante • A indicação do velocímetro é sempre a mesma.
  • 63. Movimento uniforme em trajetória curvilinea. RAPIDEZ CONSTANTE Resumindo: MU V constante e não-nula • Conseqüências da definição — Como conseqüência dessa defi­ nição. podemos concluir que. no movimento uniforme, a aceleração escalar é constante e nula. Ou seja: MU => aceleração escalar é nula Como a velocidade escalar é constante, o valor da velocidade escalar instantânea, no movimento uniforme, coincide com o da velo­ cidade escalar média. Isto é: MU •=> V = V™
  • 64. 66 Instante qualquer (t) Instante inicial (t 0) Função horária do movimento uniforme A expressão matemática que relaciona os espaços S de um móvel (indicativos de suas posições) e os correspondentes instantes t é denominada função horária do movimento, sendo representada gene­ ricamente por S = f(t). S indica a posição do nevei num instante t quaiquer. §o mdica a posição do móvel para trrO . e . w w AS S - S „ S - S . Sendo V — Vm— -----= ----------- , então: V = -------- At t - 0 t => S = S »-f Vt (função horária do movimento). Conclusão: A função horária do movimento uniforme é do 1.° grau na variável t, sendo expressa por: S — So 4- Vt i S0 (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel n onde ' instante inicial do movimento (instante zero)-. ! V é a velocidade escalar constante e não-nula.
  • 65. Exem plos: S = 6 + 2t (SI) S = - 3 - 8t (SI) í Sm= +6 m [V = +2 m/s (movimento progressivo] í Sm= —3 m [ V — —8 m/s (movimento retrógrado) S — 5t (SI) (wô0VO(tft%L____ S< i = 0 V = 5 m/s (movimento progressivo] 1. A funçãc horária informa sobre o tipo de movimento desenvolvido pelo móvel mas nada informa a respeito da trajetória seguida pelo corpo. 2. É importante o conhecimento das posições ocupadas pelo móvel ao longo do tempo. Onde estará o móvel nos instantes t = 10 s. t = 20 s e t = 30 &? A função horária respondo a esta pergunta!
  • 66. 68 3. Observo que o espaço S de um móve pode obedecer a uma corta função horária, porém em trajetórias diferentes. A função horária ntíica como o móvel caminha e não onde o movei caminha Com apenas a função horária não podemos prever a trajetória co movei. S Diagramas do movimento uniforme • Diagrama S X t — A representação gráfica da função horária do movimento uniforme é uma reta inclinada em relação ao eixo hori­ zontal, pois é uma função matemática do 1.° grau em t. g __g( Lembrando que S = S.. 4 Vt. então V = -------- — (1). t Observando-se o diagrama S X t seguinte, podemos escrever: S - Sn dec = tg a t ( 2).
  • 67. Comparando (1) e (2), concluímos: o declive do gráfico S X t no movimento uniforme é numericamente igual à velocidade escalar do móvel. Ou seja: dec ( S X t ) N =V v i rapidez constante STZ I j • Diagrama V X t — O diagrama V X t referente ao movimento uniforme será representado por uma reto paralela ao eixo dos tempos, já que a velocidade escalar neste movimento é constante e não-nula. Neste gráfico, calculando a área sob a reta, podemos escrever: A 3 V t (1). Como S = So + Vt, então S — So = Vt => AS = Vt (2). Comparando (1) e (2). concluímos: a área sob o gráfico V X t no movimento uniforme é numericamente igual ao deslocamento escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado. Ou seja: (M terrxjfâú-___ A (V X t) 2 AS Como no movimento uniformo a aceleração escalar ó constantemente nula. o diagrama a X t será representado por uma reta coincidente com o eixo dos tempos.
  • 68. 70 Exemplo: Seja a função horária S - — 2 + 1 .5 t, no SI: para t — 0 s, S,. — 2 m; para t — 4 s. Sí _ 8 m. Podemos, então, construir o diagrama S X t. Nesse gráfico, notamos que dec 8 - 2 («» H « «> — 4 — 0 = 1,5 => dec = 1,5 Da função horária, temos V - 1,5 m/s Logo. o declive do gráfico S X t é numericamente igual à velocidade escalar do móvel. Neste gráfico, notamos que A(o«h íh »— 4 . 1,5 = 6 —> L (0»H -»« >= 6 Da função horária, temos S4— 8 m e So — 2 m. Logo: ASm«h i »i — — - So = 8 - 2 = 6 => AS :oRh t •) — 6 m 0 1 2 3 4 tis) Portanto, a área sob o gráfico V X t é numericamente igual ao deslocamento escalar do móvel. Como a aceleração escalar é constantemente nula. o gráfico a X t será uma reta coincidente com o eixo dos tempos. Encontro de móveis Quando dois móveis percorrem a mesma trajetória orientada, poderá ocorrer encontro entre eles. Isto acontecerá quando suas posições coincidirem, ou seja, quando seus espaços forem iguais, desde que referidos à mesma origem.
  • 69. Instante inicial Instante cm que ocorre encontro dos móveis 71 Encontro de móveis • üs móveis ocupam a mesma posição no referencial. • Ocupar a mesma posição não quer dizer que tenham realizado o mesmo deslocamento. Graficamente, o encontro de dois móveis corresponde è inter- secção das retas representativas das funções horárias:
  • 70. 72 Apêndice A propriedade referente à área do diagrama V X t pode ser generalizada para qualquer tipo de movimento. Todavia, a demons­ tração desta propriedade envolve uma matemática mais refinada que será desenvolvida no volume referente à Dinâmica. Resumindo, para qualquer tipo de movimento: A {V X t ) ? A S 1. UNIVERSIDADE DO PARANÁ — Três móveis A. B e C par­ tem, simultaneamente, em movimento uniforme e reti­ líneo, dos pontos a, b e c. com velocidades constantes, respectivarnente iguais a V* = 15 m/s, VB = 4,5 m/s e Vc = 7.5 m/s. Pede-se o instante em que o móvel A estará entre os móveis B e C e a gual distância de ambos. Resolução: Lembrando que no movimento uniforme S = S„ -|- Vt, no instante inicial, adotando o ponto A como origem dos espaços e orien­ tando a trajetória conforme a figura, temos: Situaçãc inicial Situação final
  • 71. L a Sd a = ü m VA= 15 m/s => SA= 151 B S,)](= 20 m = > Sr - 20 -f- 4,5t C V» — 4,5 m/s Soc = 40 m Sc- = 40 + 7,5t V0 = 7,5 m/s Nas condições do enunciado, podemos cscrcvcr: S.v— Sn = Sc — SA . Logo, 2S.v — Sii -|- So. Substituindo as funções horárias dos móveis, teremos: 2(15 t) = (20 -f 4,51) -f (40 + 7,5t) = > 30t = 60 + 12t => => I8t = 60 = > L= ------=> 18 Resposta: O móvel A estará equidistante de B e C ------s após o início da contagem dos tempos. 2. AMAN — Para passar uma ponte de 50 m de comprimento, um trem de 200 m, a 60 km/h, leva: a) 0,35 s. b) 1.5 s. c) 11,0 s. d) 15,0 s. e) 30,0 s. Resolução: Adotando o início da ponte como origem do referencial, orientando-o no sentido do movimento e observando o esquema abaixo, podemos escrever, para a dianteira do trem:
  • 72. 74 Instante zero So = 0 m V = 60 km Portanto, S = S„ | Vt h S = 60 m 3,6 s 60 3,6 . t. Completada a travessia, teremos S = L —d = 200 -|- 50 = 250 m. Assim: 250 = 60 . t t =.- 25 . 3,6 3,6 t = 25 . 0,6 t = 15 s Resposta: alternativa d. 3. MEDICINA DE VASSOURAS Um móvel A com movimento reti­ líneo uniforme parte do ponto a cm direção a b, com velocidade de 90 km/h. No mesmo instante, sai de b um móvel B, também com MRU. A distância retilínea ab é de IG km. A velocidade do móvel B, para que ambos sc cruzem a 6 km de a. deve ser igual a: a) 80 km/h. b) 16.67 m/s. c) 37.5 m/s. d) 25 m/s. e) 22,22 m/s. Resolução: Adotando como origem dos espaços o ponto a c orientando a trajetória conforme o esquema a seguir, notamos que: Móvel A: SoA= 0 k m V A=: 90 km/h Móvel B: SoH= 10 km
  • 73. T o w ém O fà a 75 Assim, podemos escrever: SA= SoA-f VA t = > SA= 901 (1) S„ = Son + V„t = > SB= 10 + V„t (2) Condição de encontro: SA= SB= 6 km. Logo, substituindo em (1), 6 6 - 901 = > t = ------= > 90 Voltando cm (2), temos: vem: I t = ------h 15 (instante de encontro) 6 = 1 0 - * VB Y'u — 60km/h O sinal menos (—) indica que o movimento é retrógrado. Então: km J 000 m V„! = 60-----= 60 . ----------- = í 6,67 m/s => h 3 600 s Conclusão: o móvel B deverá ter velocidade escalar de intensidade 16,67 m/s. Resposta: alternativa b. |VB| = 16,67 m/s 4. MEDICINA DE ITAJUBA — O gráfico ao lado descreve o movimento retilíneo de 2 carros A e B que viajam na mesma direção. Podemos afirmar com certeza que: a) o carro A está perdendo velocidade enquanto o carro B ganha velocidade. b) o carro A parou no ins­ tante t = 100 s. c) os dois carros estão ro­ dando na mesma d reção e em sentidos contrários. d) o carro A está mais ace- lerado que o carro B. e) no instante t = 50 s os dois carros têm a mesma velocidade. Resolução: Lembrando que o declive do gráfico S — f(t) é numerica­ mente igual à velocidade escalar do móvel, observamos que tanto o
  • 74. 76 carro A como o B possuem velocidades constantes e nâo-nulas (uma reta tem declive constante). Podemos, então, escrever: 1) carro A: 90« < a < 180° decA < 0 => VA< 0 (movimento retrógrado) 2) carro B: 0° < j3 < 90° decB > 0 VB > 0 (movimento progressivo) Note que, no instante t = 60 s, os móveis ocupam a mesma posição, e que, no instante t = 100 s, o mó­ vel A está na origem do referencial (S = 0 m). Resposta: alternativa c. 5. IMS — Uma partícula percorre, durante 10 segundos, uma tra­ jetória "etilínea com uma velocidade que varia com o tempo se­ gundo o gráfico abaixo. Pode-se afirmar que a velocidade média da partícula nesses 10 segundos é. em m/s, igual a: V(m/s) 10] 8 6 - i i i i i 2 1 1 1 0 2 4 6 8 10 a) 6. b) 5.6. d) 0.8. c) 1.3. e) 0.4. Resolução: Como no gráfico V - í(t) a área sob a curva é numerica­ mente igual ao deslocamento escalar do móvel, podemos escrever: A(0-m i ,> = 4 . 8 = 32 —r ASm»h • » ~ 32 m _ A(4 hm i< > s) = 6 . 4 = 24 >AS(.j.. m io »i = 24 m — — ^ AS,0ü ioi) — 3z -f- 24 = 56 m AS((| 10M l ) -- ( O f lH lO i) 56 Sendo V„ vem: At(0 » H 10 *í V.. (0•w 10 M ) 10 V,„ — 5,6 m/s lO*H 1 0“ Resposta: alternativa b.
  • 75. 1. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — Um móvel percorre o segmento de reta AC com velocidade constante, onde AB ^ BC. Se t, c t» são os tempos gastos, respectivamente, nos percursos AB e BC, é verda­ deira a seguinte relação: A E C a) AB/t, = BC/to d) AC = AB/t, + BC/t2 b) AB/BC = t2/t, e) AC = (AB + BC)t,to c) AB/BC = (ta/t,)2 2. I-El A luz demora 10 min para vir do .Sol à Terra. Sua velocidade é 3 . 103km/s. Qual a distância entre o Sol e a Terra? 3. FAAP — Qual c a distância da Terra a uma estrela cuja luz é recebida após 5 anos? 4. FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTA — O tempo gasto por um trem de 100 m para atravessar um túnel de 200 m. deslocando-se com uma velocidade escalar constante dc 72 krn/h, é de: a) 5 s. d) 15 s. b) 15 h. e) 20 s. c) 10 s. 5. CTA (COMPUTAÇÃO) — Um móvel descreve uma trajetória retilínea com velocidade constante dc 2 m/s. Nessas condições, o gráfico cartesiano de sua velocidade em função do tempo será: a) uma reta paralela ao eixo dos tempos. b) uma reta paralela ao eixo das velocidades. c) uma reta que passa pela origem. d) uma reta com coeficiente angular 2 e coeficiente linear 4. e) Nenhuma das respostas anteriores está correta.
  • 76. 78 6. CESGRANRIO — Analisando-se c movimento de um automóvel, obteve-se a tabela seguinte, onde se lê a posição do automóvel em vários instantes do movimento: posição (m) 0 60 120 180 240 tempo (»1 0 3 6 9 12 Qual dos gráficos a seguir representa a velocidade do automóvel (ordenada) em função da posição (abscissa) para o trecho analisado? d) e) 7. CESGRANRIO — Ainda na questão anterior, qual dos gráficos propostos a seguir representa a posição cio automóvel (ordenada) em função do tempo (abscissa)? d) c)
  • 77. 8. FEI — O gráfico dos espaços para um móvel é dado pela figura: O gráfico das velocidades correspondente é o dado por: 9. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Um móvel desloca-se ern linha reta de um ponto X a um ponto Z, passando pelos pontos Y c S. A distância entre cada ponto é a mesma e o movimento ó assim descrito: de X para Y 6 gasta 1h, à velocidade constante; de Y para S o móvel desloca-se com metade da velocidade do trecho XY e de S para Z com o quádruplo da velocidade do trecho YS. 0 tempo total gasto no percurso c dc: a) 4 h. c) 3 h 30 min. b) 6 h. d) Nenhuma dessas.
  • 78. 80 10. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Na questão anterior, se o trecho XY tem 70 km, a velocidade média no percurso de X a Z é de: a) 35 km/h. c) 60km/h. b) 52,5 km/h. d) 70 km/h. 11. CESCEA — O gráfico representa, cm forma aproximada, o movimento de um carro durante certo percurso. A velocidade média do carro nesse percurso é de: a) 20 km/h. b) 30 km/h. c) 32km/h. d) 40 km/h. c) Não há dados suficientes para o cálculo. 12. CESCEA Um cachorro encontra-se entre seu esconderijo e o laçador, a 50 m do primeiro e a 100 m do segundo, numa mesma reta. Inicia-se a perseguição, o cão com velocidade constante de 3 m/s, dirigindo-se ao - esconderijo, o homem, com velocidade, também constante, de 8 m/s, no encalço do cão. a) O laçador alcançará o cão 15 m antes do esconderijo. b) O laçador alcançará o cão 1s antes do esconderijo. c) O laçador está a 15 mdo cão quando este alcanÇa o esconderijo. d) O laçador alcançaria o cão até o esconderijo se sua velocidade fosse, no mínimo, três vezes a do cão. e) O laçador alcançaria o cão sc dispusesse de mais 1s antes de o cão entrar no esconderijo. 13. MEDICINA DO ABC Dois foguetes espaciais são enviados, a partir da Terra, com 48 h de intervalo. O primeiro a scr enviado tem velocidade constante dc 30 000 km/h c o segundo, de 40 000 km/h. Ambas as velo­ cidades têm o mesmo sinal. O sistema de referência é a Terra. Para que o primeiro foguete seja ultrapassado pelo segundo, este último deverá voar durante o seguinte número de horas: a) 96. d) 192. b) 144. c) 288. c) 168. 14. FUVEST — Numa estrada, andando de caminhão, com velocidade cons­ tante, você leva 4 s para ultrapassar um outro caminhão, cuja velocidade é também, constante. Sendo de 10 m o comprimento dc cada caminhão, a diferença entre sua velocidade e a do caminhão que você ultrapassa c, apro­ ximadamente, igual a: a) 0,2 m/s. d) 5.0 m/s. b) 0.4 m/s. c) 10m/s. c) 2,5 m/s.
  • 79. fâ s im id / im 15. PUC (SAO PAULO) — l)o;s automóveis partem, no mesmo instante, das cidades A e B. percorrendo uma estrada retilínea AB com velocidades de 50km/h e XOkm/h. um em direção ao outro. Ao fim de 2h eles estão a uma distância dc 40 km um do outro. A distância AB vale: a) 200 km. d) 160 km. b) 300 km. e) 240 km. c) 400 km. 16. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Dois trens (A c B) movem sc em tri­ lhos paralelos, deslocando-se em sentidos opostos. As velocidades escalares dos trens são constantes e iguais a 30km/h. Cada trem mede 100 in dc comprimento. Quando os trens se cruzam, durante quanto tempo um obser­ vador no trem B vê passar o trem A? a) 96 s d) 12s b) 48 s e) 6,0 s c) 24 s 17. FAAP — Dois ciclistas distanciados de 60 m um do outro possuem funções horárias S, = 20 + 2t e S2 —— 40 + 3t, em relação a um mesmo referen­ cial. Verificar quando e onde os dois ciclistas se encontrarão. (Considerar S| e Sa em metros e t em segundos.) 18. FUNDAÇAO CARLOS CHAGAS — A distância entre dois automóveis é de 225 km. Se eles andam, um ao encontro do outro, com 60km/h e 90 km/h. ao fim de quantas horas sc encontrarão? a) Uma hora. b) Uma hora c quinze minutos. c) Uma hora c meia. d) Uma hora c cinquenta minutos, c) Duas horas c meia. 19. PUC (SÂO PAULO) — Duas partículas cncontram-se inicialmente nas posi­ ções x, = 10cm, y, = 0 cm. x ._ . = Ocm c y2 = 20 cm. com velocidades V, — 4 . 10‘ cm/s segundo x c Va dirigida ao longo dc y. conforme in­ dica a figura. O valor da velocidade Va para que elas colidam deve ser: c) -8 . 1 0 **cm/s.
  • 80. 82 20. CESCEA — Dois corpos deslocam-sc ortogonalmente entre si, com veloci­ dades uniformes V, 1.5 m/s e V2 2.0 m/s. No instante t = 0s eles se encontram na origem de um sistema de referencia xOy. Considerando que o corpo (I) se desloca ao longo do eixo x c o corpo (2) ao longo do eixo y. qual a distância que os separa no instante t 2 s? a) 7.0m d) 1.0 m b) 5,0 m e) 0,5 m c) 3.5 m 21. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um pouco de tinta é colocado na banda de rodagem do pneu de um carro. Quando o carro se movimenta, a mancha de tinta deixa marcas no chão. Se estas marcas tiverem a dispo­ sição abaixo, o que se pode concluir sobre a velocidade e a aceleração do carro? 0 2 4 6 8 10 12 I a) A velocidade é constante e a aceleração é nula. b) A velocidade é crescente e a aceleração é constante. c) A velocidade é decrescente e a aceleração é constante. d) A velocidade e a aceleração são variáveis. e) Nada se pode concluir, porque os dados são insuficientes. 9. c 10. c 11. c 12. d 13. b 14. d 15. b 16. e 17- = 140 m: t,#walfo = 60 s. 18. c 19. c 20. b 21. e (Observe que. qualquer oue seja o movimento do carro, as marcas deixadas no châo soráo sempre as mesmas.)
  • 82. 04 Instante inicial (t - 0) velocidade escalar co móvel para t = 0. velocidade escalar do móve! num instante t qualquer Definição de movimento uniformemente variado O movimento de um móvel é uniformemente variado quando sua aceleração escalar é constante e não-nula. Instante qualquer (t) Ou seja: escalar é constante e não-njla
  • 83. III • Consequência da definição — Como conseqüência dessa defi­ nição, podemos concluir que, no movimento uniformemente variado, o valor da aceleração escalar instantânea coincide com o da acele­ ração escalar média. Isto é: MUV a - a„ Funções horárias do movimento uniformemente variado * Y k • Função velocidade y É importante o conhecimento da rapidez e do sentido do movimento em cada instante A função velocidade da essas duas informações. A intensidade da velocidade indica a leitura do velocímetro. O sinal de velocidade indica o sentido do movimento Seja um móvel cujo movimento é uniformemente variado de tal forma que V0 é sua velocidade inicial (instante zero), Vé sua velo­ cidade no instante t e a é sua aceleração escalar constante.
  • 84. V = Vo -h at (função horária da velocidade) Ç g ; Conclusão: A função veloci­ dade do MUV é dada pela ex­ pressão v V — Vo H ” at A representação gráfica da função velocidade desse movi­ mento será uma reta inclinada em relação ao eixo horizontal, pois é uma função horária do 1.° grau em t. V — Vo .Neste gráfico, pocemos escrever dec = tg a = ---------- (1). V - Vo Como V — Vo -r at, então a = ---------- (2). Comparando (1) e (2), concluímos: o declive do gráfico V X t no movimento uniformemente variado é numericamente igual à ace­ leração escalar do movimento. Ou seja: dec(V X t)1 a • Função horária — Lembrando que a área sob o gráfico V X t é numericamente igual ao deslocamento escalar efetuado por um móvel, podemos escrever: A(V X t)s AS, onde AS = S - So. sendo í So o espaço inicial do móvel (instante zero). [ S o espaço do móvel no instante t. Assim, temos A(V X t ) = S - S< . (1).
  • 85. 87 • No instante inicia t = 0. o espaço inicial e a velocidade inicial do móvel são. respectivamente. S0 e Vo • Num instante qualquer t. o espaço e a velocidade do móvel são. respectivamente. S e V • No intervalo de tempo lAt —t - 0). AS é o deslocamento escalar da móvel. Observando-se o gráfico acima, concluímos: V + Vo _ A ( V X t ) = ---------- 1 (2). Comparando (1) c (2). vem: V • Vo V - f V o ----- - — t = S - S o = > S = So + ----------- t Sendo V = Vo ■ + ■ at, decorre: s = s ,1+ ^ ± ü ± ^ t ^ s = s0+ ^ l± ^ S = So + Vot-f----— at2 (função horária do movimento) 2 Conclusão: A função horária do movimento uniformemente variado é do 2.° grau na variável t. sendo expressa por S - S., f V.,t |------ at- 2
  • 86. 88 onde So (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel no instante inicial do movimento (instante zero). Vo (velocidade inicial) é a velocidade do móvel no instante I inicial do movimento (instante zero). { a é a aceleração escalar constante e não-nula. Exemplos: S = 10 — 8t -f- 9t2(SI) Logo. V = —8 -f 18t S = —2 + 6t — t2 (SI) Logo, V — 6 — 2t S = 5ta (SI) Logo. V = iOt So = -HO m <Vo = - 8 m/s l a = -f 18 m/s2 So = —2 m Vo = +6 m/s a = —2 m/s2 So = 0 m V., = 0 m/s a = 4-10 m/s2 Equação de Torricelli Extraindo o valor de t na função velocidade (V = Vo -f at) e subs­ tituindo-o na função horária ( S —So 4- Vot 4------ at2) cotemos a expressão Va — V: 4- 2aAS .denominada equação de Torricelli. Diagramas horários do movimento uniformemente variado (MUV) A representação gráfica da função horária do MUV é uma pará­ bola cuja concavidade é voltada para cima (se a > 0) ou para baixo (se a < 0). Conforme já fo visto, o diagrama V X t será representado por uma reta inclinada em relação ao eixo t. Como a aceleração escalar é constante e não-nula, o diagrama a X t será representado por uma reta paralela ao eixo dos tempos. Observando-se a área sob o gráfico a X t, podemos escrever A = at (1). Como V = V,. 4- at, então V - Vo = at => AV = at (2). Comparando (1) e (2). concluímos: a área sob o gráfico a X t é numericamente igual à variação da velocicade do móvel, no inter­ valo de tempo considerado. Ou seja: A(a X t ) U V
  • 87. ,1 < t t 1 * i Diagramas horários do MUV ____________________________________t t o aceleracào escalar constante
  • 88. 90 Exemplo: Seja S — 4 — 5t -f- t2 (SI) a função horária dc um móvel: para t = 0 s, Sn = 4 m: para t = 1 s. Si = 0 m (raiz): para t = 4 s, Si = 0 m (raiz). Podemos, então, construir o gráfico S X t. Observe que quando t = 2,5 s a parábola atinge seu vértice, instante em que o móvel muda o sentido de seu percurso. Da função S = 4 — 5t + t2 concluímos que. Vo = —5 m/s e a = -f 2 m/s2. Logo. V = —5 -f- 2t. Para t = 0 s, Vo = —5 m/s; para t = 4 s. V, = 3 m/s. Podemos, então, construir o gráfico V X t. Nesse gráfico notamos que. para t — 2,5 s, V — 0 m/s, instante correspondente ao vértice do gráfico S X t. Examinemos, agora, o. declive do gráfico V X t. 3 - ( - 5 ) _ 8 4 - 0 4 Temos: deCi.. h ^ i = — = > dec<o»M4»i — 2 Assim, observamos que tíecfV X O i a Como a aceleração escalar é constante, o gráfico a X t será uma reta paralela ao eixo dos tempos. Esta reta cortará o eixo das acelerações cm a ~ 2 m/s*. Observando a área sob o gráfico, concluímos: A<o«h 4» — 4 . 2 = 8 —^ Ao > 1M -»* >= 8 Sabemos que V* = 3 m/s e V.» = —5 m/s. Logo: AV< 0sm '• — 8 m/s AV,;om h *») — Vi - V o = 3 - (—5) = 8 == Assim, a área sob o gráfico a X t é numericamente igual à va­ riação da velocidade escalar do móvel.
  • 89. 91 Velocidade média no MUV Lembrando que A(V X t ) í AS, no gráfico V X t abaixo temos: A = . V3 + V~ At => AS = V- + V' A t ^ A ! _ = 2 V ■ + Vi At Conclusão: No MUV. a velocidade média de um móvel é igual à media aritmética das velocidades escalares instantâneas inicial e final, no intervalo de tempo considerado.
  • 90. 92 1. ENGENHARIA DE SANTOS — Um ponto material realiza um mo­ vimento sobre uma trajetória retilínea que obedece à função ho­ rária S = t2— 6t + 8. em que S é o espaço dado em metros e t é o tempo dado em segundos. Podemos afirmar que, a partir do instante t = 0 s: a) o movimento é sempre acelerado. b) o movimento muda de sentido no instante t = 3 s. c) o ponto material passa pela origem dos espaços apenas no instante t = 2 s. d) a aceleração do movimento tem intensidade igual a 4 m/s*. e) a velocidade do ponto material no instante t — 7 s tem inten­ sidade igual a 9 m/s. Resolução: Do enunciado, podemos escrever S = 8 — 6 t -f 1 . t2. Da teoria, sabemos que S S., -f V0t -f----at2. Assim, concluímos: S.;i = 8 m; V„ = 6 m/s; a = 2 m/s2. Podemos, então, determinar a função velocidade deste móvel: V = V„ -f at => fv _ - 6 f 2~t|- Construindo os gráficos S X t e V X t. chegamos às seguintes con­ clusões: • O móvel possui movimento ini­ cialmente retrógrado (0 s a 3 s), parando no instante 3 s para, em seguida, iniciar movimento pro­ gressivo. • O móvel passa pela origem nos instantes t = 2 s c t = 4 s. • O movimento é inicialmente retardado (0 s a 3 s) c, em seguida, acelerado. Resposta: alternativa b. I
  • 91. 2. MEDICINA DE CATANDUVA — Um automóvel desloca-se com a velocidade de 20 m/s. A partir do instante t = 0 s, seu motorista aplica os freios até o carro parar. Admitindo uma aceleração constante igual a 4 m/s2, a distância percorrida desde a aplicação dos freios até a parada do carro é de: a) 50 m. b) 5 m. c) 75 m. d) 90 m. e) 25 m. Resolução: Vamos orientar o referencial associado à trajetória no sentido do movimento do automóvel. Neste caso, a distância percorrida ( d ) tem o mesmo valor do desloca­ mento escalar (AS). Assim: d - A S Como a velocidade do móvel está diminuindo algebricamente, sua ace leração será negativa, ou seja. a = 4 m/s2. Pela equação de Torricelli,' vem: V/In= V?« + 2aAS = > AS = 2a AS = 0 =- 2 0 - 2 . ( - 4 ) 4(X) AS — ------- 8 = > AS = 50 m : d — 50 m Resposta: alternativa a.
  • 92. 3. MEDICINA DE SANTOS — Ao longo de um eixo orien­ tado. um ponto se movimenta segundo o gráfico ao lado. Sendo sua velocidade no instante t — 0 s de 4 m/s, no sentido positivo do eixo. de­ terminar a distância percor­ rida pelo ponto entre os ins­ tantes t = 0 s c t — 8 s. Resolução: • Intervalo 0s h 2 s (MUV) V2 = V„ + at = » = 4 + 2 .2 = » Vo = Vo = 8 m/s intervalo 2 s m 4 s (MUV) V, = Vo + at => V« = 8 4 + 4 . 2=> |V 4 = 16 m/s • Intervalo 4 sm 6 s (MU) Vc = V, = > Vç = 16 m/s • Intervalo 6 sm 8 s (MUV) V* = Ve + at => = 16 — 2 . 2 = > Podemos, então, construir o gráfico V X t, onde A ^ AS. V„ = V« = 12 m/s Logo, Afosi_i $si — A ((», H 3,| + A.o + A<t(li-!»*) — 12 + 24 + 32 + 28 :—) A Assim, AS<„,h 8 » = Aio«mh,, -— ) AS = 9 6 íOi Mb ' __ 96 m Resposta: A distância percorrida d coincide, neste caso, com o deslo­ camento escalar AS. Portanto, d = 96 m. 4. FFCLUSP — Dois pontos mater ais Pi e P? movem-se sobre a mes­ ma reta, obedecendo às segu ntes expressões: S, = —10t + St2 e S_- = 30 + 5t - lOt2. Os símbolos Si e S„* representam os espaços em centímetros a partir de uma origem comum; o tempo t é medido em segundos.
  • 93. Pedem-se: a) o instante em que os dois móveis se encontram. b) as velocidades e acelerações de ambos nesse instante. c) a posição do ponto de encontro. Resolução: a) Condição de encontro: S, = S>. Logo: - I0 t -I- 5t2= 30 4- 5t — 1()t2=> 15t2- 15t - 30 = 0 => => t2— t — 2 = 0 (D - L O O I- tt) (2 ) Resolvendo esta equação, obteremos t —2 s e t = —1 s. Portanto, ocorreram dois encontros: o primeiro, 1 s antes de iniciar a con­ tagem dos tempos, e o segundo, 2 s depois de iniciada essa contagem. Consideraremos como resposta “oficial” o encontro ocorrido no instante t _ 2 s, pois o estudo dos movimentos é realizado a partir de t = 0 s. b) Das funções horárias dadas.podemos concluir: { S0l = 0 cm V, ) 1 = — 1 0 cm/s ai = 1 0 cm/s2 Logo, V, = V0j -f a,t => V, = —10 + 10t. | So2 = 30 cm So = 30 -f- 5t — 10t- I V0;!= 5 cm/s . a2 = — 2 0 cm/s2 Logo, V2 = Vd 2 -J-a31 => V , — 5 — 20t. Para t = 2s, vem: V, = —10+ 10 . 2= > V, — -f 10 cm/s e at = 10 cm/s2 V2 = 5 - 20 . 2 = > V 2 — —35 cm/s c aa = —20 cm/s2
  • 94. 96 c) Sendo Si — —10t -f- 5t2, no instante do encontro (t - 2 s) vem: St = - 10 . 2 -f 5 . 22=> St = - 20 + 20 => St - 0 cm St = 2 0 • 2 0 = Assim, o encontro ocorre na origem do referencial. Diagramas horários Resposta: Os dois móveis se encontram no instante t = 2 s. na origem do referencial, com velocidades de + 10 cm/s e —35 cm/s c com ace­ lerações iguais a 1 0 cm/s2 e — 2 0 cm/s2. 5. PUC (CAMPINAS) — Dois carros A e B movem-se no mesmo sen­ tido com velocidades V3 e Vb, respectivamente. Quando o carro A está à distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa no freio, o que causa uma desaceleração constante a. Para não haver colisão entre os carros é necessário que: а) V„ - Vb = Í2 ã S . б) V, - Vb> V 2ad . c) V* — Vb < V 2ad . d) V . - Vb= 2ad. e) Vt — Vb = 0. Resolução: Adotaremos a origem dos espaços no ponto em que o carro A se encontra quando o motorista começa a frear, e orientaremos a trajetória no sentido dos movimentos. B J » © I
  • 95. O carro B possui movimento uniforme. Logo, sua função horária será S» = Son -f- Vjjt, onde S«B= d e V# = VV Assim, Sn — d -f- Vbt. O carro A é dotado de movimento uniformemente retardado, cuja fun­ ção horária será SA= S„A-f- V0v------— at2, onde S„A= 0 c V0a = V„. Assim, SA_ V.t - at-. A distância D entre os móveis será dada por D = S v — SA . Logo, D = d -j- Vb t — V„t -j----L at2= > 2 = > D = d -f (Vb — Va)t H -----— at2. 2 Para que não haja encontro, 1) não poderá se anular, ou seja, a equa­ ção d -f (Vb — V.)t — at* = 0 não deverá ter solução real. Assim, o delta (discriminante) da equação deverá ser negativo. Portanto: 1 (Vb- Va)2 - 4 . ---- ad < 0 = > (Vb— V.)2 - 2ad < 0 = ; 2 = > (Vb - V.)2 < 2ad = > (V. - Vb)2 < 2ad Resposta: alternativa c. v , . Vb < v-^ãa 6. PUC (SÀO PAULO) — A velocidade de um carro é. no instante em que o motorista nota que o sinal fechou. 72 km/h. O tempo de reação do motorista é de 0.75 s (tempo de reação: tempo de­ corrido entre o instante em que o motorista vê o sinal fechar até aquele em que aplica os freios) e os freios aplicam ao carro um retardamento uniforme de 5 m/s*. A distância percorrida pelo carro desde o instante em que o motorista nota que o sinal fechou até que o carro pare é de: a) 54 m. b) 20 m. c) 14 m. d) 10 m. e) 44 m. Resolução: Do enunciado, temos: 72 V0 = 72 km/h => V0= ----- m/s => V,> = 20 m/s ‘ 6
  • 96. 98 Durante 0,7 s o movimento do móvel é uniforme, mantendo velocidade constante dc 20 m/s. Em seguida, o móvel adquire movimento uniformemente retardado, com aceleração —5 m/s2. 20 Assim, V = V0 + at = > 0 = 20 — 5t = > t = ------=> 5 Portanto, podemos construir o gráfico V x t referente ao comporta­ mento do veículo. Lembrando que a área sob o gráfico V x t é numericamente igual ao deslocamento escalar AS, vem: 4,7 _j_o,7 5 , 4 AS ä A = — — :— -— . 20 = — . 20 = 10 . 5,4 - 54 => 2 2 = > | AS — 54~m~ No caso, o deslocamento escalar é igual à distância percorrida. Logo, ;d —54 m.j Resposta: alternativa a. 7. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso com uma aceleração constante de 0,5 m /s2. Nesse mesmo instante, um outro ciclista B passa por ele com velocidade constante de 3 m/s e no mesmo sentido que o ciclista A. Os dois ciclistas irão se emparelhar novamente depois de um tempo igual a: a) 2 s. b) 5 s. c) 8 s. d) 10 s. e) 12 s.
  • 97. ir h & 99 I Resolução: Adotando como origem dos espaços o ponto onde A 6 ultrapassado por B. como início da contagem dos tempos o instante em que isto ocorre c orientando as trajetórias no sentido dos movi­ mentos, teremos: Sa = S„ -f- V0 t -f- — aA t2, onde A A 2 S,. =: 0 m V ,> 0 m/s A aA= 0,5 m/s2 = ---- m/s2 2 Logo, SA= — . — t2 = > SA= — t2 (1) 2 2 4 S,>ti - Dm ü Móvel B: movimento uniforme. Sii = S„i{-f- Vj,t f onde vV» = 3 m/s Logo, S„ = 3t (2) Os dois ciclistas irão se emparelhar novamente quando SA= S». De (I) e (2), vem: I) t = 0 s (instante inicial) 1 / 1 1 t2 = 3t = > t I ---- t - 3 ) = 0 = > ID — t - 3 = 0 = > 4 V 4 / 4 . = > |t = 12 s Resposta: alternativa e.
  • 98. 100 8. MAPOFEI — O diagrama abaixo representa, em função do tempo, a velocidade de um objeto. Trace o diagrama da aceleração em função do tempo. Resolução: Neste caso, temos uma combinação de movimentos unifor­ memente variados. Como o gráfico apresentado c composto por seg­ mentos de reta oblíquos, as correspondentes funções horárias da velo­ cidade representadas são do l.° grau (movimentos uniformemente va­ riados). Portanto: 1) Intervalo OswlOs: Levantando-se o gráfico da aceleração em função do tempo, teremos a seguinte representação: V(m/s) 4 - 1 0 20 aím/s2) 0 10 -20
  • 99. ¥ ' ---------------------- 9. MAPOFEI — Retomar o enunciado do exercício precedente. De­ terminar o percurso total do objeto. Resolução: Lembrando que A(V X O = ^ S , temos: 2 0 .2 0 1) A(o*h aok ) —------------ —200 fr 2 Logo, ASfuR H 2ô*) = 200 m 2) A !2ú ) — |:ím«I— 10 . 20 = 100 Logo, AS(aoh(_^som— —100 m V Assim sendo, o deslocamento escalar total no intervalo de Os a 30 s vale: AS,0,1H 3üs) =: AS(0 , _j 2o “f- AS 120»m :10«I A S ,0 »H .10»> = (2 0 0 ) -j- ( — 100) ASii) ,h 3u») — 100 tu Entretanto, por percurso total entendemos distância percorrida pelo móvel no referido intervalo, ou seja: d = |AS,o, H2on) “j- AS(2o•h só*ií — 200 -f- 100 d = 300 m Resposta: C) percurso total do objeto é de 300 m.
  • 100. 1. CESCEA — Observando-se o movimento retilíneo de um corpo, fazem-se medidas de seu deslocamento, velocidade e aceleração para sucessivos va­ lores do tempo, o que é mostrado na tabela abaixo: Tempo(s) Dcslocamento(m) Velocidadcfm/s) Acclcraçãolnvs'-’) 0 1 2 2 1 4 4 2 2 9 6 2 3 16 8 2 4 25 1 0 2 A partir dessa tabela, podemos concluir que a equação horária que descrevo o movimento entre os instantes t = 0 s e t = 4 s tem a forma algébrica: a) y = t2 - 3t + 1. d) y = -2 t2 + 2. b) y = t2 + 2 t - 2 . e) y = t2 + 2 t + 1 . c) y = 2 l2 -+ - 2 t -f 2 . 2. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO SUL — Numa experiência para analisar o movimento de um móvel, i.m aluno identificou as três posições (O. P e S) indicadas na figura, obtidas em intervalos de tempo iguais. -f- O H --- * ---- h X Y 2 X As distâncias entre os pontos identificados por letras consecutivas são iguais e o móvel partiu do repouso em O. Considerando que as três posições caracterizam o movimento, qual será a posição do móvel no f:m de um mesmo intervalo dc tempo seguinte, contado a partir do instante cm que o móvel estava em S? a) U b) V c) X d) Y c) Z
  • 101. 103 3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura seguinte estão assinaladas as posições (1,2, 3, 4, 5 e 6 ) de um corpo que está em movimento unifor- mcmentc acelerado sobre uma mesa horizontal. O intervalo de tempo entre duas posições sucessivas quaisquer é de 1,0s. Na posição I, a velocidade escalar do corpo é nula. i r 1'z 3 4 5 ■ I 1,0 m Qual é o valor da aceleração escalar do corpo? a) 5.0 m/s2 d) 2,0 m/s2 b) 4,0 m/s2 e) 1,0 m/s2 c) 3,0 m/s2 4. MEDICINA DA SANTA CASA — Uma partícula descreve o movimento cujo gráfico horário, parabólico, e dado a seguir, mostrando que para t = 1 s, x 6 máximo. Os valores da abscissa x são medidos a partir dc um ponto O, ponto dc origem da reta orientada sobre a qual a partícula se movimenta. A função horária é: a) x = 15 + 2t + t2. d) x = 15 + 2t - t2. b) x = 15 - 2t - t2. 1 c) x = 15 - t + t2. e) x = 15 —2t + — t2. 5. MEDICINA DA SANTA CASA — Em relação à questão anterior, a velo­ cidade da partícula obedece à equação: a) V = 2 - t. b) V = - 2 + t. c) V = 2 - 2t. d) V = 2 + 2t. c) V = 1 - 2t.
  • 102. 104 6. MEDICINA DA SANTA CASA — Ainda cm relação à questão n.° para t = 5 s a aceleração da partícula, em m/s2, é de: a) zero. d) -f-2. b) -2 . e) +1. c) -1 . 7. CESCEA Um ciclista pedala com velocidade constante de 9 km/h du­ rante 2 min; acelera, então, uniformemente, durante 50 s, até alcançar 18 km/h, desacelerando, a seguir, também uniformemente, até parar, em 50 s. O espaço percorrido nesse tempo foi de: a) 818,5 m. d)612,5 m. b) 780,5 m. e)575,5 m. c) 487,5 m. 8. UNIVERSIDADE DE VIÇOSA — Um corpo desloca-se, segundo uma trajetória retilínea, com velocidade inicial de 20,0 m/s e é acelerado a 8.0 m/s2 durante 5,0 s. O seu deslocamento durante o quinto segundo é, em intensidade: a) 56 m. d) 1,56 . 102m. b) 1,44 . IO2m. c) nulo. c) 2.00 . 102m. 9. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS No instante t = 0s. um carro viaja a 20,0 km/h. Dois segundos mais tarde (t = 2 s), a intensidade de sua velocidade é de 23,0 km/h e, depois de outros dois segundos (t = 4 s), é de 26,0 km/h. Com estes dados, pode-se construir a seguinte tabela: Tempo(s) 0 2 4 Velocidade(km/hJ 20,0 23,0 26.0 Admitindo que a aceleração seja constante, inclusive antes de t —0 s, qual foi o módulo da velocidade do carro, cm km/h, no instante t — — 3 s, isto é, ires segundos antes de atingir a velocidade de 20.0 km/h? a) 14,0 d) 15,5 b) 14,5 e) 17,0 c) 15.0 10. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES O gráfico abaixo repre­ senta um movimento retilíneo de aceleração constante: 0 1.0 2,0
  • 103. Se x c medido em metros e t cm segundos, então a aceleração do movimento é de: a) 1m/s2. d) 4 m/s2. b) 2 m/s2. e) 5 m/s2. c) 3 m/s2. 11. MEDICINA DA SANTA CASA Uma partícula subatômica, deslocan- do-sc com velocidade constante igual a 6 . 10#m/s, penetra num campo elétrico onde sofre uma desaceleração constante de 1,2 . IO1 3 14m/s2. A distância em linha reta que a partícula caminha antes de parar, em cen­ tímetros. é de: a) 5 . 10-«. d) 15. b) 30 . 10--'. c) 15 . 10-2. c) 2. 12. MEDICINA DA SANTA CASA — O movimento de um móvel, em trajetória retilínea, c repre­ sentado segundo o gráfico ao lado. sendo S dado em metros c t em segundos. Podemos afirmar que a velocidade media c a ace­ leração escalar entre os instantes 2 s e 4 s valem, respectivamente: a) Vul = 5 m/s ea = 0 m/s2. b) Vm= 30 m/s e a = 0 m/s2. c) Vm= 5 m/s e a = 5 m/s2. d) Vm= 30 m/s e a = 10 m/s2. c) Vm= 2,5 m/s e a = 10 m/s2. 13. UNIVERSIDADE DO PARÁ — Uma partícula efetua um movimento re­ tilíneo de acordo com o gráfico abaixo. A distância percorrida a partir do repouso até o instante t = 12 s é :gual a: a) 93 m. b) 96 m. c) 98 m. d) 241 m. e) 100 m.
  • 104. 106 14. MEDICINA DE BRAGANÇA — Para o gráfico indicado, a sequên­ cia dos movimentos será: a) movimento uniforme progressivo, movimento nulo e movimento acele­ rado retrógrado. b) movimento nulo. movimento uniforme progressivo e movimento acelera­ do progressivo. c) movimento uniforme progressivo, movimento nulo e movimento retardado progressivo. d) movimento nulo, movimento uniforme progressivo e movimento retardado retrógrado. e) Nenhuma das anteriores é correta. 15. CESGRANRIO — Arguido sobre as relações entre posição (S), velocidade (V) e tempo (t) no movimento uniformemente acelerado (com velocidade inicial nula), um aluno escreveu no quadre-negro o que se lê abaixo: Porem, eu sei que Já que S = ---- at2 (1), 2 s 2S V = ---- (b) t t2 de modo que, de Mas a = (3). t (5) e (6), Logo, dc (2) e (3), S 28 (7) t t V 2S ---- = — <4) t t2 ou, ainda: ou, ainda: 1 1 =21 V = — (5). (?) t
  • 105. A conclusão final c obviamente falsa, embora o início do raciocínio equação (1) — esteja correto. Qual a relação em que o aluno desviou-se do raciocínio certo? a) Na relação (2). d) Na relação (5). b) Na relação (3). e) Na relação (6). c) Na relação (4). 16. MEDICINA DE SANTOS — Um móvel parte do repouso em movimento uniformemente acelerado. Percorre 100 m e 120m em segundos sucessivos. Calcular sua aceleração. a) 20 m/s2 d) 10 m/s2 b) 40 m/s2 e) Nenhuma das respostas anteriores. c) 80 m/s2 17. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Num movimento retilíneo de aceleração constante, podemos dizer que a velocidade média é igual à: a) velocidade final menos a velocidade iniciai. b) velocidade final menos a velocidade inicial, dividido por dois. c) velocidade final mais a velocidade inicial, dividido por dois. d) velocidade final vezes a velocidade inicial. e) velocidade final vezes a velocidade inicial, dividido por dois. 18. MEDICINA DA SANTA CASA — Um trem tem velocidade de 72 km/h. Ao frear, é aplicada a desaceleração de 0,4 m/s2. O intervalo de tempo que o trem demora até parar é, cm segundos, igual a: a) 5. d) 10. b) 50. e) 100. c) 500. 19. MEDICINA DA SANTA CASA — O mesmo trem da questão anterior, entre o início da freada c a parada final, percorreu a d:stância, cm metros, igual a: a) 200. d) 500. b) 750. e) I 000. c) 1500. 20. MAPOFEI — Uma composição de metrô parte de uma estação e percorre I00m com aceleração constante, atingindo 20 m/s. Determinar a acele­ ração a c a duração t dc processo. 21. MACKENZIE — No diagrama a = f(t), onde a representa a aceleração dc um móvel c t o tempo relativo a essa aceleração, a área A da figura c numerica­ mente igual: a) à velocidade média do móvel, relativa ao intervalo de tempo ( t , , t a ) . b) ao deslocamento do móvel, relativo ao intervalo de tempo ( t l t t a ). c) à variação da velocidade do móvel, relativa ao intervalo de tempo ( t , . t a ). d) à velocidade inicial do móvel. c) Nenhuma das respostas anteriores.
  • 106. 108 22. ENGENHARIA MAUA — Um ponto material descreve uma tra­ jetória retilínea, referida a um e:xo de abscissas Ox, de tal mo­ do que sua velocidade, ern fun­ ção do tempo, c dada pelo dia­ grama cartesiano ao lado. a) Desenhe o diagrama da aceleração do ponto, em função do tempo. b) Determine a distância entre os pontos inicial (para t = 0 s) e final (para t = 70 s). 23. MAPOFEI — Um móvel realiza um movimento retilíneo com velocidade dada pela equação V = 1,0 —0,lt (SI). Tomando como origem de coorde­ nadas o ponto em que o móvel se encontra no instante t = 0s, calcule a aceleração do movimento e o instante t em que o móvel estará mais afastado da origem. 24. MEDICINA DO ABC O gráfico abaixo representa a velocidade escalar, em função do tempo, dc um veículo que se movimenta sobre uma trajetória retilínea. A aceleração escalar instantânea no instante t —10,0s é, cm m/s2. igual a: c) 5,0. 25. MAPOFEI Um vagão ferroviário, deslocando-se com velocidade V — —30 m/s, é desacelerado até o repouso com aceleração constante. O vagão percorre 100 m antes de parar. Qual a aceleração do vagão? 26. FAAP — Um motorista de automóvel, viajando a 80 km/h, vê um obstáculo a 500 m. Verificar qual a aeeleração que deve introduzir nos freios para que possa parar a tempo. 27. FUVEST Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acele­ rando 0,50 m/s2. Nesse instante, passa por ele um outro ciclista B, com velocidade constante de 5,0 m/s e no mesmo sentido que o ciclista A. Per- gunta-se: a) Depois de quanto tempo, após a largada, o ciclista A alcança o ciclista B? b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B?
  • 107. 28. ENGENHARIA TAUBÀTÊ — De uma cidade A parte para uma cida­ de B um automóvel com aceleração constante dc 5,0km/h2. Simultanea­ mente, de B parte para A um outro automóvel com velocidade constante dc 50km/h. A distância entre as duas cidades é dc 180 km. Depois de quanto tempo os dois carros se encontram? 29. ENGENHARIA MAUÁ — A maior aceleração (ou retardamento) tolerá­ vel pelos passageiros de um trem urbano é de 1.5 m/s2. Sabe-se que a dis­ tância entre as estações c de 600 m e que o trem estaciona durante 20 s cm cada estação. a) Determine a maior velocidade que pode ser atingida pelo trem. b) Calcule a máxima velocidade média do trem, numa viagem. 30. ENGENHARIA MAUÁ — Um ponto material descreve uma trajetória retilínea segundo a equação horária S = 4.0 —5,0t -f 2,5t2 (SI). a) Trace uma linha reta. marcando sobre c!a os seguintes pontos, com suas distâncias relativas: • origem O das abscissas; • ponto T, onde está o móvel no instante inicial; • ponto N, onde o móvel tem velocidade nula. b) Esboce os diagramas cartesianos do espaço, velocidade c aceleração em função do tempo. 31. ENGENHARIA TAUBATÊ — Um carro scíre uma aceleração constante de 2 m/s2. Num percurso de A a B, de 4 m. ele sofre uma variação dc velocidade de 1,5 m/s. Em que instante dc tempo o carro passa no ponto B? 32. ITA — Um móvel A parte da origem O. com velocidade inicial nula. no instante t0= 0 s, e percorre o eixo Ox com aceleração constante a. Após um intervalo de tempo At. contado a partir da saída de A. um segundo mó­ vel B parte dc O com uma aceleração igual a na. sendo n > 1. B alcançará A no instante:
  • 108. 110 33. PUC (CAMPINAS) Um motorista espera o sinal de trânsito abrir. Quando a luz verde acende, o carro é acelerado uniformemente durante 6 s, na razão de 2 m/s2, após o que ele passa a ter velocidade constante. No instante em que o carro começa a se mover, ele foi ultrapassado por um caminhão que vinha no mesmo sentido, com velocidade uniforme de lOtn/s. Após quanto tempo e a que distância da posição de partida do carro os dois veículos se encontrarão novamente? a) 18s c 180 m. d) 19s e 128 m. b) 15 s e 150 m. c) Nenhum dos resultados anteriores. c) 12s e 120 m. 34. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Dois carros A e B, deslocando-se ambos no mesmo sentido, em uma estrada, passam num certo instante por um mesmo ponto: o carro A, partindo do repouso desse ponto e desenvol­ vendo uma aceleração constante de 4 m/s2, c o carro B com velocidade constante de 20m/s. Um passará novamente pelo outro após: a) 80 s. d) 5 s. b) 10s. e) Um não passará mais pelo outro. c) 20 s. 35. PUC (SÁO PAULO) — Um carro de corrida A tem velocidade constante VA= 54 m/s. Ao passar' pelo box de um concorrente B. este parte com aceleração aB= 4 m/s2, que permanece constante até atingir a velocidade VB= 60 m/s, que é mantida. O tempo empregado por B para alcançar A é de: a) 75 s. d) 15s. b) 60 s. c) 10 s. c) 20 s. 36. FEI — Um móvel parte de um certo ponto com um movimento que obe­ dece à seguinte lei horária: S = 4t2, válida no SI. S é a abscissa do móvel c t o tempo. Um segundo depois, parte um outro móvel do mesmo ponto do primeiro, com movimento uniforme c seguindo a mesma trajetória. Qual a menor velocidade que deverá ter esse segundo móvel, a fim de encontrar o primeiro? 37. FAAP — Dado o gráfico da variação das velocidades de dois móveis em função do tempo, e sabendo que até o instante tx o móvel A já havia per­ corrido 10 m, calcular:
  • 109. 111 a) o espaço percorrido pelo móvel B até o instante t,. b) o instante t2, até o qual os dois móveis terão percorrido espaços iguais. 38. ENGENHARIA MAUÁ — Um móvel parte do repouso de um ponto A executando um movimento retilíneo, uniformemente acelerado, sobre uma reta AB. No mesmo instante, parte do ponto B. rumo a A, um outro móvel que percorre a reta AB com velocidade constante. A distância entre os pontos A c B c d 50 m. Depois de 10 s da partida, os móveis se cruzam exatamente no meio da distância entre A e B. Determine: a) a velocidade do móvel que partiu de B. b) a velocidade com que o móvel que partiu dc A irá chegar em B. 1. o 2. d 3. d 4. d 5. c 6. b 7. d 8. a 9. d 10. b 11. d 12. d 13. a 14. a 15. e 16. a 17. c 18. b 19. d 20. a = 2m/s2; t = 10s. 21. c 22. o) *aCm/s~) 0 5 10 15 20 2Í5 30 35 40 4^ 50 55 60 65 70 t(s) -0.4 b ) d = 0 m 23. a ——O.f m/s2; t = 10 s. 24. b 25. a = —4,5 m/s2 26. a a —0.5 m/s2 27. a) t = 20s; b ) Vv = 10m/s. 28. t * 3,1 h (Após a partida dos móveis.) 29. a) 30 m/s; b) 10m/s.
  • 110. 112 30. a) 0 1 2 3 4 1 ---1---1---1---* —i---* --- * ---*- O N T S(m) 31. 0,75 s após ter passado por A. 32. e 33. a 34. b 35. a 36. Vm Jn = 16 m/s 37. a) ASU = 15 m; b) to = 2 s. 38. a) Vj, = 2.5 m/s: b ) v a — V50 m/s = 7,1m/s.
  • 111.
  • 112. Generalização das propriedades dos gráficos horários Todas as propriedades dos diagramas S X t, V X t e a X t. ex­ traídas em condições particulares (movimentos uniforme e unifor­ memente variado), podem ser generalizadas para quaisquer tipos de movimento. • Diagrama S X t O declive do gráfico S X t é numericamente igual à velocidade escalar instantânea do móvel. Ou seja: dec(S X t) - tg a NV
  • 113. • Diagrama V X t fâ / tfm á â à i O ceclive do gráfico V X t c numericamente igual à aceleração escalar instantânea do móvel. Ou seja: dec(V X t) —tg a ? o A área sob o gráfico V X t c numericamente igual ao desloca­ mento escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado. Ou seja: A(V X t) ? áS
  • 114. 116 • Diagrama a X t A área sob o gráfico a X t é numericamente igual à variação da velocidade escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado. Ou seja: A(a X t) I AV Resumindo: Gráficos Operação S X t V X t a x t Leitura direta espaço:S deslocamento escalar: AS velocidade média: V,,, velocidade: V variação da velocidade: AV aceleração média: am aceleração: a Declive velocidade instantânea: V aceleração instantânea: a Não tem significado físico. Área Não tem significado físico. deslocamento escalar: AS velocidade média: Vin variação da velocidade: AV aceleração média: am
  • 115. 1. UNESP — No gráfico abaixo, o arco de parábola representa a fun­ ção horária dos espaços de um movimento retilíneo. i Resolução: Lembrando que dec(S concluir: Julgue as afirmativas: (1) Entre os instantes 0 e ti o movimento é retar­ dado. (2) Entre os instantes ti e t* o movimento é acele­ rado. (3) Entre os instantes 0 e t> a aceleração c negativa. t) £ V e que dec = tg a, podemos 1) Algebricamente: dec,? > dec,j > dectj > dec,;, > dec,., = » V „ > V t, > V C j > V,. > V, Ou seja: algcbricainente (considerando os sinais), a velocidade es­ calar diminui em todo o intervalo de tempo considerado. Podemos, então, concluir que a aceleração escalar do móvel é nega­ tiva em todo o intervalo de tempo.
  • 116. 118 2) Km módulo: • jdecol > dec^ | > jdcct( | = > V (,| > V .^ > |V t i[ Ou seja: de 0 a ti o movimento será retardado (intensidade da velo­ cidade diminui). • |dectJ < jdcct.2 ! < |dcctJ => |Vtj < |Vt/ < V J Ou seja: de tt a t2 o movimento será acelerado (intensidade da velo­ cidade aumenta). Resposta: Todas as afirmativas são corretas. 2. FEI — Um móvel desloca-se de forma qje sua velocidade escalar em função do tempo segue a lei representada no gráfico: a) Determinar a velocidade escalar média do móvel entre os ins­ tantes t = 1 s e t = 4 s. b) Representar graficamente a aceleração do móvel em função do tempo. Resolução: a) Lembrando que A(V x t) - AS, vem: A (i ,i m;i „, A(í *h i *) 2 ~r 1 2 1 . 10 2 . 10= 15 = > AS.i ,H3,i = 15 m I = 5 => AS(SsH-*o » 5 m / área abaixo do eixo t / Sendo AS(i „w*» >— ASti sM:i -T AS<3»h- i temos AS,i *H., s) — 10 m. AS 10 10 Como Vm—------, então Vm = --------- = — At 4 — 1 3 10 m v n, ------ — 3,33 m/s •1«H4(| 3 s Portanto: