O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas propriedades, incluindo: (1) Os conjuntos naturais, inteiros, racionais e reais, assim como suas definições matemáticas; (2) A história dos conjuntos numéricos desde a Antiguidade e o papel fundamental de Cantor na teoria dos conjuntos no século XIX; (3) Conceitos básicos da teoria dos conjuntos como pertinência, igualdade, subconjuntos, conjunto potência e operações entre conjuntos.

1. Conjuntos
numéricos
A história nos mostra que desde muito tempo o homem
sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros
numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos
ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a
natureza por meio de processos de determinação de
quantidades.
E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental
para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos
numéricos

2. Naturais (N)
N = {0,1,2,3,4,...}
Problemas do conjunto:
- Subtração: 3 – 4 = ?
- Divisão: 1 : 2 = ?
Como o zero originou-se depois dos outros números e
possui algumas propriedades próprias, algumas vezes
teremos a necessidade de representar o conjunto dos
números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido
que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo
do conjunto, iria representar a ausência do zero.Veja o
exemplo abaixo:

3. Inteiros (Z)
Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Problema no conjunto:
Divisão: 1 : 2 = ?
Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar
todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada
para os NATURAIS.
Inteiros não negativos sem o zero
Inteiros não positivos sem o zero

4. Racionais (Q).
Q = {a/b | a, b  Z e b  0}.
Todo número que pode ser escrito em forma de
fração.
Exemplos:
- Decimais finitos;
- Dízimas periódicas;
- Raízes exatas;
Problema no Conjunto:
Como escrever  em forma de fração?

5. 3,14159265...
Este não é um número Racional, pois possui infinitos
algarismos após a vírgula (representados pelas
reticências)
2,252
Este é um número Racional, pois possui finitos
algarismos após a vírgula.
2,252525...
Este número possui infinitos números após a vírgula,
mas é racional, é chamado de dízima periódica.
Reconhecemos um número destes quando, após a
vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).
= {Todos os racionais sem o zero}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}

6. Irracionais (I).
O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os números que,
ao contrário dos racionais, NÃO podem ser
representados por uma fração de números inteiros. São
eles:
 Raízes inexatas;
 Decimais infinitos
e não periódicos;
  = 3,14...;
 e = 2,72...

7. Reais (R).
o conjunto dos números Reais é formado por
todos os números Racionais junto com os
números Irracionais, portanto:
Q  I = R.

8. Conjuntos
Zenão de Eléia (filósofo grego) , viveu entre 490 e 430 a.
C., já estudava e se preocupava com o conceito de
conjuntos e a sua imensidão.
Em 1872 Georg Cantor (1845 – 1918), definiu
e classificou os conjuntos através da “Teoria
dos conjuntos”.
Além da definição e de muitas outras
contribuições, a teoria dos conjuntos unificou a
linguagem em todos os ramos da matemática.

9. Definição
Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente
representado por letras maiúsculas;
Ex: A = {1, 2, 3}, “está entre chaves”
Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto,
geralmente representado por letras minúsculas.
Ex: 1, 2, 3 “não tem chaves”

10. Pertinências
 Pertence ou não pertence (
)
É usado entre elemento e conjunto.
 Contido ou não contido (
)
É usado entre subconjunto e conjunto.
 Contém e não contém (
)
É
usado
entre
conjunto
e
subconjunto.

11. Igualdade de
conjuntos
 Dois
conjuntos são iguais quando possuem
os mesmos elementos.
Ex: {1, 2} = {1, 1, 1, 2, 2, 2}
OBS:
A quantidade de vezes que os elementos
dos conjuntos aparem não importa.

12. Conjuntos vazio
unitário e Universo
Conjunto vazio ( {
} ou Ø )
É o conjunto que não possui elementos.
Conjunto Unitário ( { a }, { Ø } )
É conjunto formado por um elemento.
Conjunto Universo ( U )
É conjunto formado por todos
elementos de um assunto trabalhado.
os

13. Subconjuntos e a
relação de inclusão
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de
outro conjunto B quando todos os elementos de
A também pertencem a B. Por exemplo:
A = { 1,2,3 } e B = { 1,2,3,4,5,6 }
 Nesse caso A é subconjunto de B, (
).
 O conjunto B é subconjunto de si mesmo, pois
todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
 OBS: O conjunto vazio, { } ou Ø, é um
subconjunto de todos os conjuntos.


14. Conjunto das partes
ou potência
Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, P(A) , como o conjunto
que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio
conjunto A).
Uma maneira prática de determinar P(A) é pensar em todos os subconjuntos com um
e
l
e
m
e
n
t
o
,
d
e
p
o
i
s
t
o
d
o
s
o
s
s
u
b
c
o
n
j
u
n
t
o
s
c
o
m
d
o
i
s
e
l
e
m
e
n
t
o
s
,
e
a
s
s
i
m
p
o
r
d
i
a
n
t
e
.
Exemplo:
S
e
A
=
{
1
,
2
,
3
}
,
e
n
t
ã
o
P
(
A
)
=
{
, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.
Observação:
S
e
o
c
o
n
j
u
n
t
o
A tem n elementos, o conjunto P(A) terá 2n elementos. Ou seja:
n
P(A) = 2

15. Complementar de um
conjunto
Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o
conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a
A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja
subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a
A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo .
Matematicamente:
Exemplo:
Dados U = {1, 2, 3,4} e A = {1, 2} determine
:
={3, 4}

16. Operações entre
conjuntos
União ou reunião
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o
conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses
conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:
Exemplos:


{1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
{n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}

17. Intersecção
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos
eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições
de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois
candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos
elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto
nos leva à seguinte definição geral.
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B
(ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
Exemplos:
 OBS:Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento
comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras,
dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao
conjunto vazio.

18. Diferença
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos
eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições
de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em
Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o
conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
Exemplos:



{a, b, c} - {a, c, d, e, f} = {b}
{a, b} - {e, f, g, h, i} = {a, b}
{a, b} - {a, b, c, d, e} = Ø

19. Número de elementos
da reunião de
conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o
número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com
cardinal do conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o
número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a
seguinte fórmula:
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B)