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APOSTILA DE EXERCÍCIOS
PIRÂMIDES
PIRÂMIDES
1
01. (Efomm 2020) Seja a esfera de raio R inscrita na pirâmide quadrangular regular de aresta base 2 cm e aresta
lateral 38 cm. Sabendo-se que a esfera tangencia todas as faces da pirâmide, o valor de R, em cm, é
a)
37 1
6
+
b)
39 1
38
−
c)
6 38 12
17
+
d)
37 1
6
−
e)
6 38 12
17
−
02. (Ime 2019) Em um tetraedro ABCD, os ângulos ˆ
ABC e ˆ
ACB são idênticos e a aresta AD é ortogonal à BC. A
área do ABC
∆ é igual à área do ACD,
∆ e o ângulo ˆ
MAD é igual ao ângulo ˆ
MDA, onde M é ponto médio de BC.
Calcule a área total do tetraedro ABCD, em 2
cm , sabendo que BC 2 cm,
= e que o ângulo ˆ
BAC é igual a 30 .
°
a) (2 3)
−
b) (2 3)
+
c) 4(2 3)
−
d) 4(2 3)
+
e) 4
03. (Ita 2018) Considere a classificação: dois vértices de um paralelepípedo são não adjacentes quando não pertencem
à mesma aresta. Um tetraedro é formado por vértices não adjacentes de um paralelepípedo de arestas 3 cm, 4 cm e
5 cm. Se o tetraedro tem suas arestas opostas de mesmo comprimento, então o volume do tetraedro é, em 3
cm :
a) 10.
b) 12.
c) 15.
d) 20.
e) 30.
PIRÂMIDES
2
04. (Epcar 2018) Com a intenção de padronizar as barracas dos vendedores ambulantes, a prefeitura da cidade de
Eulerópolis solicitou a uma empresa especializada no ramo que fizesse um orçamento do material a ser empregado e
do custo para finalização das barracas. Segue um esboço do que foi apresentado pela empresa:
O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a base hexagonal regular da barraca. Considere: 7 2,6
= e
2 1
,4.
= No modelo apresentado, a parte hachurada indica onde existe tecido, ou seja, no telhado e na parte de baixo
da lateral, ao custo de R$ 2,00 o metro quadrado. Além disso, em cada aresta está uma barra de alumínio ao custo
de R$ 4,00 o metro linear. Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equivalente a 30% do custo de todo o
material gasto, então é correto afirmar que o custo total de uma barraca padrão, em reais, é um número
compreendido entre
a) 390 e 400
b) 401 e 410
c) 411 e 420
d) 421 e 430
05. (Ita 2018) Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm lado comum AB. Seja M o ponto médio de AB e N o ponto
médio de CD. Se MN CN 2 cm,
= = então a altura relativa ao lado CD. do triângulo ACD mede, em cm,
a)
60
.
3
b)
50
.
3
c)
40
.
3
d)
30
.
3
e)
2 6
.
3
PIRÂMIDES
3
06. (Ime 2017) Um tronco de pirâmide regular possui 12 vértices. A soma dos perímetros das bases é 36 cm, a soma
das áreas das bases é 2
30 3 cm e sua altura mede 3 cm. Calcule o volume do tronco de pirâmide.
a) 3
50 cm
b) 3
3
42 cm
3
c) 3
3
43 cm
2
d) 3
43 2 cm
e) 3
42 3 cm
07. (Esc. Naval 2017) Sejam A, B, C, D e X pontos do 3
.
 Considere o tetraedro ABCD e a função real f, dada por
3
x 1
f(x) .
x 4
−
=
−
Sabendo que o número real m é o valor para que
AB AD
X A m AC
3 2
 
= + − +
 
 
 

 

pertença ao plano BCD,
calcule f '( m)
− e assinale a opção correta.
a)
1
2
b)
1
3
c)
1
4
d)
1
5
e)
1
6
08. (Espcex 2017) Determine o volume (em 3
cm ) de uma pirâmide retangular de altura "a" e lados da base "b" e "c"
(a, b e c em centímetros), sabendo que a b c 36
+ + = e "a", "b" e "c" são, respectivamente, números diretamente
proporcionais a 6, 4 e 2.
a) 16
b) 36
c) 108
d) 432
e) 648
09. (Esc. Naval 2017) Uma pirâmide triangular tem como base um triângulo de lados 13 cm,14 cm e 15 cm; as outras
arestas medem .
 Sabendo que o volume da pirâmide é de 3
105 22 cm , o valor de ,
 em cm, é igual a
a)
155
8
b)
335
11
c)
275
9
d)
205
8
e)
95
8
PIRÂMIDES
4
10. (Epcar 2017) Se uma pirâmide hexagonal regular está inscrita num cone equilátero cujo volume é igual a
3
10 3
cm ,
7
π então o volume dessa pirâmide, em 3
cm , é igual a
a)
45
7
b)
15 3
7
c)
30 3
7
d)
135
7
11. (Esc. Naval 2016) A equação
2 2
2
sen x 1 sec x
31
1 cos x 0 ,
16
1 0 1
= − com x 0, ,
2
π
 
∈  
 
possui como solução o volume de
uma pirâmide com base hexagonal de lado  e altura h 3.
= Sendo assim, é correto afirmar que o valor de  é igual
a
a)
2
2
9
π
b)
18
π
c)
8
9
π
d)
32
9
π
e)
4
π
12. (Ime 2015) Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e um octaedro inscrito no tetraedro, com seus vértices
posicionados nos pontos médios das arestas do tetraedro. Obtenha a área da seção do octaedro formada pelo plano
horizontal paralelo à base do tetraedro BCD, distando desta base de um quarto da altura do tetraedro.
a) 2
3
a
192
b) 2
3
a
96
c) 2
3 3
a
32
d) 2
3 3
a
64
e) 2
9 3
a
64
PIRÂMIDES
5
13. (Esc. Naval 2015) Em um polígono regular, cujos vértices A,B e C são consecutivos, a diagonal AC forma com o
lado BC um ângulo de 30 .
° Se o lado do polígono mede  unidades de comprimento, o volume da pirâmide, cuja
base é esse polígono e cuja altura vale o triplo da medida do lado, é igual a
a)
3
3 3
2

b)
2
3 3
2

c)
3
3
2

d)
3 3
4

e)
3
3 3
3

14. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura e volume tem como base um polígono convexo de
lados. A partir de um dos vértices do polígono traçam-se diagonais que o decompõem em triângulos cujas
áreas constituem uma progressão aritmética na qual e Então é igual
a
a) 22
b) 24
c) 26
d) 28
e) 32
15. (Ime 2014) Seja SABCD uma pirâmide, cuja base é um quadrilátero convexo ABCD. A aresta SD é a altura da
pirâmide. Sabe-se que AB BC 5,
= = AD DC 2,
= = AC 2
= e SA SB 7.
+ =
O volume da pirâmide é
a) 5
b) 7
c) 11
d) 13
e) 17
16. (Epcar 2014) Considere uma pirâmide regular ABCDV de base ABCD. Sendo 2 2 cm a medida da aresta da
base e 2 3 cm a medida da altura dessa pirâmide, a distância, em cm, de A à aresta lateral VC é
a) 2 2
b) 2 3
c) 4
d) 3
h 1cm
= 3
V 50 cm
= n
n 3
− n 2
−
i
S , i 1, 2, ..., n 2,
= − 2
3
3
S cm
2
= 2
6
S 3 cm .
= n
PIRÂMIDES
6
17. (Ita 2013) Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo
ABC cujos lados medem, respectivamente, 10, 17 e 5 cm. O volume, em cm3
, do sólido VABC é
a) 2
b) 4
c) 17.
d) 6
e) 5 10.
18. (Epcar 2013) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular ABC, é tal, que sua aresta lateral AV mede 3 cm.
Sendo 5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a
a)
30
2
b) 7
c)
26
2
d) 2 2
19. (Ime 2012) Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta a. As faces laterais fazem um ângulo
de 15° com o plano da base. Determine o volume desta pirâmide em função de a.
a)
3
a 3 2
2 2 - 3
+
b)
3
a 3 2
2 2 3
−
+
c) 3 3 2
a
2 3
+
−
d) 3 3 2
a
2 3
−
+
e) 3 2 3
a
3 2
−
+
PIRÂMIDES
7
20. (Epcar 2012) Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide hexagonal regular de altura 6 cm foi
colada à base de uma pirâmide reta de base retangular e altura 3 cm, de forma que 4 dos 6 vértices da base da
primeira coincidam com os vértices da base da segunda, conforme figura.
Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da base da pirâmide hexagonal mede 5 cm, então, o volume do
sólido obtido, em 3
cm , é igual a
a) 15 3
b) 20 3
c) 25 3
d) 30 3
21. (Ime 2011) A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que duas de suas faces laterais são
perpendiculares ao plano da base. As outras duas faces formam ângulos de 30° e 60° com a base. O volume da pirâmide
é
a)
S S
3
b)
S S
6
c)
2S S
3
d)
2S S
5
e)
2
2S
3
PIRÂMIDES
8
22. (Espcex 2011) Na figura abaixo, está representado um sólido geométrico de faces, obtido a partir de um cubo e
uma pirâmide.
Sabendo que todas as arestas desse sólido têm medida , então as medidas da altura (distância do ponto à face
) e da superfície total desse sólido são, respectivamente,
a) e
b) e
c) e
d) e
e) e
23. (Ita 2011) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base
mede
10
3cm.
3
. Então o raio da esfera, em cm, é igual a
a)
10
3.
3
b)
13
.
3
c)
15
.
4
d) 2 3.
e)
10
.
3
9
 V
ABCD
 
+
 
 
 

2 2
2
+
2
( 3 4)
 
+
 
 
 

2 2
2
+
2
( 3 5)
 
+
 
 
 

3 2
2
 
+
 
 
 
2 3
5
4
 
 
 
 

2
2
+
2
( 3 5)
 
 
 
 

3
2
 
+
 
 
 
2 3
4
4
PIRÂMIDES
9
24. (Ita 2010) Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm. Se M e o ponto médio
do segmento AB e N e o ponto médio do segmento CD , então a área do triangulo MND, em cm2
, e igual a
a)
2
.
6
b)
2
.
8
c)
3
.
8
d)
3
.
8
e)
3
.
9
25. (Ita 2006) Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 3 3 cm. As faces laterais
desta pirâmide formam diedros de 60°
com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm2
, é
a) 81
3
2
b) 81
2
2
c)
81
2
d)
27
3
e)
27
2
GABARITO
1 - D 2 - D 3 - D 4 - B 5 - A
6 - E 7 - C 8 - D 9 - A 10 - A
11 - B 12 - C 13 - A 14 - C 15 - B
16 - B 17 - A 18 - A 19 - A 20 - B
21 - A 22 - B 23 - E 24 - B 25 - A

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  • 2. PIRÂMIDES 1 01. (Efomm 2020) Seja a esfera de raio R inscrita na pirâmide quadrangular regular de aresta base 2 cm e aresta lateral 38 cm. Sabendo-se que a esfera tangencia todas as faces da pirâmide, o valor de R, em cm, é a) 37 1 6 + b) 39 1 38 − c) 6 38 12 17 + d) 37 1 6 − e) 6 38 12 17 − 02. (Ime 2019) Em um tetraedro ABCD, os ângulos ˆ ABC e ˆ ACB são idênticos e a aresta AD é ortogonal à BC. A área do ABC ∆ é igual à área do ACD, ∆ e o ângulo ˆ MAD é igual ao ângulo ˆ MDA, onde M é ponto médio de BC. Calcule a área total do tetraedro ABCD, em 2 cm , sabendo que BC 2 cm, = e que o ângulo ˆ BAC é igual a 30 . ° a) (2 3) − b) (2 3) + c) 4(2 3) − d) 4(2 3) + e) 4 03. (Ita 2018) Considere a classificação: dois vértices de um paralelepípedo são não adjacentes quando não pertencem à mesma aresta. Um tetraedro é formado por vértices não adjacentes de um paralelepípedo de arestas 3 cm, 4 cm e 5 cm. Se o tetraedro tem suas arestas opostas de mesmo comprimento, então o volume do tetraedro é, em 3 cm : a) 10. b) 12. c) 15. d) 20. e) 30.
  • 3. PIRÂMIDES 2 04. (Epcar 2018) Com a intenção de padronizar as barracas dos vendedores ambulantes, a prefeitura da cidade de Eulerópolis solicitou a uma empresa especializada no ramo que fizesse um orçamento do material a ser empregado e do custo para finalização das barracas. Segue um esboço do que foi apresentado pela empresa: O ponto O é a projeção ortogonal do ponto V sobre a base hexagonal regular da barraca. Considere: 7 2,6 = e 2 1 ,4. = No modelo apresentado, a parte hachurada indica onde existe tecido, ou seja, no telhado e na parte de baixo da lateral, ao custo de R$ 2,00 o metro quadrado. Além disso, em cada aresta está uma barra de alumínio ao custo de R$ 4,00 o metro linear. Se a empresa cobra uma taxa de mão de obra equivalente a 30% do custo de todo o material gasto, então é correto afirmar que o custo total de uma barraca padrão, em reais, é um número compreendido entre a) 390 e 400 b) 401 e 410 c) 411 e 420 d) 421 e 430 05. (Ita 2018) Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm lado comum AB. Seja M o ponto médio de AB e N o ponto médio de CD. Se MN CN 2 cm, = = então a altura relativa ao lado CD. do triângulo ACD mede, em cm, a) 60 . 3 b) 50 . 3 c) 40 . 3 d) 30 . 3 e) 2 6 . 3
  • 4. PIRÂMIDES 3 06. (Ime 2017) Um tronco de pirâmide regular possui 12 vértices. A soma dos perímetros das bases é 36 cm, a soma das áreas das bases é 2 30 3 cm e sua altura mede 3 cm. Calcule o volume do tronco de pirâmide. a) 3 50 cm b) 3 3 42 cm 3 c) 3 3 43 cm 2 d) 3 43 2 cm e) 3 42 3 cm 07. (Esc. Naval 2017) Sejam A, B, C, D e X pontos do 3 .  Considere o tetraedro ABCD e a função real f, dada por 3 x 1 f(x) . x 4 − = − Sabendo que o número real m é o valor para que AB AD X A m AC 3 2   = + − +           pertença ao plano BCD, calcule f '( m) − e assinale a opção correta. a) 1 2 b) 1 3 c) 1 4 d) 1 5 e) 1 6 08. (Espcex 2017) Determine o volume (em 3 cm ) de uma pirâmide retangular de altura "a" e lados da base "b" e "c" (a, b e c em centímetros), sabendo que a b c 36 + + = e "a", "b" e "c" são, respectivamente, números diretamente proporcionais a 6, 4 e 2. a) 16 b) 36 c) 108 d) 432 e) 648 09. (Esc. Naval 2017) Uma pirâmide triangular tem como base um triângulo de lados 13 cm,14 cm e 15 cm; as outras arestas medem .  Sabendo que o volume da pirâmide é de 3 105 22 cm , o valor de ,  em cm, é igual a a) 155 8 b) 335 11 c) 275 9 d) 205 8 e) 95 8
  • 5. PIRÂMIDES 4 10. (Epcar 2017) Se uma pirâmide hexagonal regular está inscrita num cone equilátero cujo volume é igual a 3 10 3 cm , 7 π então o volume dessa pirâmide, em 3 cm , é igual a a) 45 7 b) 15 3 7 c) 30 3 7 d) 135 7 11. (Esc. Naval 2016) A equação 2 2 2 sen x 1 sec x 31 1 cos x 0 , 16 1 0 1 = − com x 0, , 2 π   ∈     possui como solução o volume de uma pirâmide com base hexagonal de lado  e altura h 3. = Sendo assim, é correto afirmar que o valor de  é igual a a) 2 2 9 π b) 18 π c) 8 9 π d) 32 9 π e) 4 π 12. (Ime 2015) Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e um octaedro inscrito no tetraedro, com seus vértices posicionados nos pontos médios das arestas do tetraedro. Obtenha a área da seção do octaedro formada pelo plano horizontal paralelo à base do tetraedro BCD, distando desta base de um quarto da altura do tetraedro. a) 2 3 a 192 b) 2 3 a 96 c) 2 3 3 a 32 d) 2 3 3 a 64 e) 2 9 3 a 64
  • 6. PIRÂMIDES 5 13. (Esc. Naval 2015) Em um polígono regular, cujos vértices A,B e C são consecutivos, a diagonal AC forma com o lado BC um ângulo de 30 . ° Se o lado do polígono mede  unidades de comprimento, o volume da pirâmide, cuja base é esse polígono e cuja altura vale o triplo da medida do lado, é igual a a) 3 3 3 2  b) 2 3 3 2  c) 3 3 2  d) 3 3 4  e) 3 3 3 3  14. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura e volume tem como base um polígono convexo de lados. A partir de um dos vértices do polígono traçam-se diagonais que o decompõem em triângulos cujas áreas constituem uma progressão aritmética na qual e Então é igual a a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 32 15. (Ime 2014) Seja SABCD uma pirâmide, cuja base é um quadrilátero convexo ABCD. A aresta SD é a altura da pirâmide. Sabe-se que AB BC 5, = = AD DC 2, = = AC 2 = e SA SB 7. + = O volume da pirâmide é a) 5 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17 16. (Epcar 2014) Considere uma pirâmide regular ABCDV de base ABCD. Sendo 2 2 cm a medida da aresta da base e 2 3 cm a medida da altura dessa pirâmide, a distância, em cm, de A à aresta lateral VC é a) 2 2 b) 2 3 c) 4 d) 3 h 1cm = 3 V 50 cm = n n 3 − n 2 − i S , i 1, 2, ..., n 2, = − 2 3 3 S cm 2 = 2 6 S 3 cm . = n
  • 7. PIRÂMIDES 6 17. (Ita 2013) Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, 10, 17 e 5 cm. O volume, em cm3 , do sólido VABC é a) 2 b) 4 c) 17. d) 6 e) 5 10. 18. (Epcar 2013) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular ABC, é tal, que sua aresta lateral AV mede 3 cm. Sendo 5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a a) 30 2 b) 7 c) 26 2 d) 2 2 19. (Ime 2012) Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta a. As faces laterais fazem um ângulo de 15° com o plano da base. Determine o volume desta pirâmide em função de a. a) 3 a 3 2 2 2 - 3 + b) 3 a 3 2 2 2 3 − + c) 3 3 2 a 2 3 + − d) 3 3 2 a 2 3 − + e) 3 2 3 a 3 2 − +
  • 8. PIRÂMIDES 7 20. (Epcar 2012) Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide hexagonal regular de altura 6 cm foi colada à base de uma pirâmide reta de base retangular e altura 3 cm, de forma que 4 dos 6 vértices da base da primeira coincidam com os vértices da base da segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da base da pirâmide hexagonal mede 5 cm, então, o volume do sólido obtido, em 3 cm , é igual a a) 15 3 b) 20 3 c) 25 3 d) 30 3 21. (Ime 2011) A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que duas de suas faces laterais são perpendiculares ao plano da base. As outras duas faces formam ângulos de 30° e 60° com a base. O volume da pirâmide é a) S S 3 b) S S 6 c) 2S S 3 d) 2S S 5 e) 2 2S 3
  • 9. PIRÂMIDES 8 22. (Espcex 2011) Na figura abaixo, está representado um sólido geométrico de faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido têm medida , então as medidas da altura (distância do ponto à face ) e da superfície total desse sólido são, respectivamente, a) e b) e c) e d) e e) e 23. (Ita 2011) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base mede 10 3cm. 3 . Então o raio da esfera, em cm, é igual a a) 10 3. 3 b) 13 . 3 c) 15 . 4 d) 2 3. e) 10 . 3 9  V ABCD   +        2 2 2 + 2 ( 3 4)   +        2 2 2 + 2 ( 3 5)   +        3 2 2   +       2 3 5 4          2 2 + 2 ( 3 5)          3 2   +       2 3 4 4
  • 10. PIRÂMIDES 9 24. (Ita 2010) Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem 1 cm. Se M e o ponto médio do segmento AB e N e o ponto médio do segmento CD , então a área do triangulo MND, em cm2 , e igual a a) 2 . 6 b) 2 . 8 c) 3 . 8 d) 3 . 8 e) 3 . 9 25. (Ita 2006) Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 3 3 cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60° com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm2 , é a) 81 3 2 b) 81 2 2 c) 81 2 d) 27 3 e) 27 2 GABARITO 1 - D 2 - D 3 - D 4 - B 5 - A 6 - E 7 - C 8 - D 9 - A 10 - A 11 - B 12 - C 13 - A 14 - C 15 - B 16 - B 17 - A 18 - A 19 - A 20 - B 21 - A 22 - B 23 - E 24 - B 25 - A