1. A distância entre os pontos D e E no quadrado ABCD é igual a 5 cm, pois C é o ponto médio de AE e a diagonal de um quadrado de lado 1 cm mede 2 cm. 2. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo com lados de 7 m, 5,5 m e x m, encontra-se que x é igual a 13 m. 3. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo com progressão aritmética de lados e ângulo de 120°, encontra-se que o perímetro é igual a 7

1. LEI DOS COSSENOS
01. Considere que o quadrado ABCD, representado
na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1cm,
e que C é o ponto médio do segmento AE.
Consequentemente, a distância entre os pontos D e
E será igual a
a) 3 cm. b) 2 cm. c) 5 cm. d) 6 cm.
02. Se as medidas de dois dos lados de um triângulo
são respectivamente 7 m e 5 2 m⋅ e se a medida do
ângulo entre esses lados é 135 graus, então, a
medida, em metros, do terceiro lado é
a) 12.
b) 15.
c) 13.
d) 14.
03. As medidas, em metro, dos comprimentos dos
lados de um triângulo formam uma progressão
aritmética cuja razão é igual a 1. Se a medida de um
dos ângulos internos deste triângulo é 120 ,° então,
seu perímetro é
a) 5,5.
b) 6,5.
c) 7,5.
d) 8,5.
04. O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH,
representado na figura, tem medida dos lados
AB 4, BC 2= = e BF 2.=
O seno do ângulo 𝐻𝐻𝐴𝐴̂ 𝐹𝐹 é igual a
a)
1
2 5
b)
1
5
c)
2
10
d)
2
5
e)
3
10
05. Considere o triângulo retângulo ABD exibido na
figura abaixo, em que AB 2 cm,= BC 1cm= e
CD 5 cm.= Então, o ângulo θ é igual a
a) 15 .°
b) 30 .°
c) 45 .°
d) 60 .°
06. Um triângulo possui lados iguais a 6, 9 e 11. O
cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é
a)
11
.
15
b)
1
.
27
− c)
26
.
33
d)
2
.
27
− e) 1.−
07. João está procurando cercar um terreno triangular
que ele comprou no campo. Ele sabe que dois lados
desse terreno medem, respectivamente, 10 m e 6 m
e formam entre si um ângulo de 120 .° O terreno será
cercado com três voltas de arame farpado. Se o preço
do metro do arame custa R$ 5,00, qual será o valor
gasto por João com a compra do arame?
a) R$ 300,00
b) R$ 420,00
c) R$ 450,00
d) R$ 500,00
e) R$ 520,00

2. LEI DOS COSSENOS
08. A medida do cosseno do maior dos ângulos
internos do triângulo cujas medidas dos lados são
respectivamente 8 m, 10 m e 15 m é igual a
a) 0,38125.−
b) 0,42112.−
c) 0,43713.−
d) 0,46812.−
09. A figura a seguir exibe um pentágono com todos
os lados de mesmo comprimento.
A medida do ângulo θ é igual a
a) 105 .°
b) 120 .°
c) 135 .°
d) 150 .°
10. Em certa cidade, a igreja está localiza no ponto A,
a prefeitura no ponto B, e a livraria no ponto C,
como mostra os pontos a seguir.
Sabendo-se que a distância da igreja à prefeitura é de
10 metros, a distância da prefeitura à livraria
corresponde a 15 metros, e que o ângulo formado
por essas duas direções é 60 ,° a distância da livraria à
igreja é
a) 17 5 m
b) 5 7 m
c) 25 7 m
d) 7 5 m
11. A base de um triângulo isósceles mede 3 3 cm e
o ângulo oposto à base mede 120°. A medida dos
lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é
a) 3 b) 2 c) 3. d) 1 3.+ e) 2 3.−
12. Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O
primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um
curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário.
O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um
curso de 105° em relação ao norte, também no
sentido horário. Após uma hora de viagem, a que
distância se encontrarão separados os navios,
supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e
velocidade desde que deixaram o porto?
a) 10 km
b) 14 km
c) 15 km
d) 17 km
e) 22 km
13. Um professor de geografia forneceu a seus alunos
um mapa do estado de São Paulo, que informava que
as distâncias aproximadas em linha reta entre os
pontos que representam as cidades de São Paulo e
Campinas e entre os pontos que representam as
cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram,
respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos
observou, então, que as distâncias em linha reta entre
os pontos que representam as cidades de São Paulo,
Campinas e Sorocaba formavam um triângulo
equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias
em linha reta entre os pontos que representam as
cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas
formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o
mapa.
Com essas informações, os alunos determinaram que
a distância em linha reta entre os pontos que
representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba,
em km, é próxima de
a) 80 2 5 3⋅ + ⋅ b) 80 5 2 3⋅ + ⋅ c) 80 6⋅
d) 80 5 3 2⋅ + ⋅ e) 80 7 3⋅ ⋅

3. LEI DOS COSSENOS
14. A caminhada é uma das atividades físicas que,
quando realizada com frequência, torna-se eficaz na
prevenção de doenças crônicas e na melhora da
qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada,
uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e
retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na
figura.
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer
todo o trajeto?
a) 2,29
b) 2,33
c) 3,16
d) 3,50
e) 4,80
15. No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido
por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala
Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360
km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de
Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida
pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que
cos 0,934α ≅ , onde α é o ângulo Epicentro-Tóquio-
Sendai, e que 8 2
2 3 93,4 215 100⋅ ⋅ ≅ , a velocidade
média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami
atingiu até a cidade de Sendai foi de:
a) 10 b) 50 c) 100 d) 250 e) 600
16. Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre
os comprimentos dos segmentos AC e AB é igual a:
a) 2
b)
3
2
c)
1 5
2
+
d) 3
e) 2
17. Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A,
B e C, que são ligadas por estradas em linha reta.
Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância
entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km,
entre B e C é igual a
a) 8 17.
b) 12 19.
c) 12 23.
d) 20 15.
e) 20 13.

4. LEI DOS COSSENOS
Resposta da questão 1:
[C]
Se o lado do quadrado ABCD mede 1cm, então sua
diagonal mede 2 cm. Daí, como C é ponto médio
de AE, vem CE 2 cm.= Ademais, sendo ˆACD 45 ,= °
temos ˆDCE 135= ° e, portanto, pela Lei dos Cossenos,
encontramos
2 22 2
DE 1 ( 2) 2 1 2 cos135 DE 5
DE 5 cm.
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇔ =
⇒ =
Resposta da questão 2:
[C]
Seja x a medida do terceiro lado. Logo, pela Lei dos
Cossenos, encontramos
2 2 2
2
2
x 7 (5 2) 2 7 5 2 cos135
2
x 49 50 2 35 2
2
x 169
x 13.
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒
 
= + − ⋅ ⋅ − ⇒ 
 
= ⇒
=
Resposta da questão 3:
[C]
Sabemos que o maior lado de um triângulo é oposto
ao seu maior ângulo. Podemos, então aplicar o
teorema dos cossenos no triângulo considerado no
enunciado:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
(x 1) x (x 1) 2 x (x 1) cos120
1
x 2x 1 x x 2x 1 2 x (x 1)
2
x 2x 1 x x 2x 1 x x
5
2x 5x 0 x 0 (não convém) ou x
2
+ = + − − ⋅ ⋅ − ⋅ °
 
+ + = + − + − ⋅ ⋅ − ⋅ − 
 
+ + = + − + + −
− = ⇒ = =
Portanto, o perímetro P do triângulo será dado por:
5
P x x 1 x 1 3x 3 7,5.
2
= + − + + = = ⋅ =
Resposta da questão 4:
[E]
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
ABF y 4 2 y 20 y 2 5
EHF z 4 2 z 20 z 2 5
EHA x 2 2 x 8 x 2 2
Lei dos Cossenos :
z x y 2xy cosa 20 8 20 2 2 2 2 5 cosa
1
8 10 cosa 8 cosa
10
1 391sen a cos a 1 sen a 1 sen a 1 sen a
10 1010 10
∆ → = + → = → =
∆ → = + → = → =
∆ → = + → = → =
= + − ⋅ → =+ − ⋅ ⋅ ⋅
⋅ =→ =
 
+ =→ + =→ =− = → = 
 
Resposta da questão 5:
[C]
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 22
AC 2 1 AC 5
AD 2 6 AD 40
5 5 40 2 5 40 cos 2 200 cos 20
10 2
cos cos 45
210 2
θ θ
θ θ θ
= + → =
= + → =
= + − ⋅ ⋅ ⋅ → ⋅ =
= → = → = °
Resposta da questão 6:
[B]
Note que um triangulo com tais lados não forma um
triangulo retângulo, para comprovar basta aplicar o
Teorema de Pitágoras.
2 2 2
2 2 2
hip cat cat
11 6 9
121 36 81
= +
= +
≠ +
Nesse sentido, para obter o valor do cosseno
desejado, basta aplicar a lei dos cossenos sobre os
três lados. Seja θ o ângulo relativo ao lado de maior
medida e a, b, c os lados do triângulo. Logo:
2 2 2
2 2 2
a b c 2 b c cos( )
11 9 6 2 9 6 cos( )
121 117 108 cos( )
1
cos( )
27
θ
θ
θ
θ
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅
−
=

5. LEI DOS COSSENOS
Resposta da questão 7:
[C]
Pela lei dos cossenos:
2 2 2 2 21
a 10 6 2 10 6 cos 120 a 136 120 a 196 a 14
2
Perímetro 10 6 14 30 m
3 voltas 90 m custo 5 90 450 reais
 
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒ = − ⋅ − ⇒ = → = 
 
= + + =
= ⇒ = ⋅ =
Resposta da questão 8:
[A]
O maior ângulo se opõe sempre ao maior lado. Assim,
pela Lei dos Cossenos, tem-se:
2 2 2 61
15 8 10 2 8 10 cos cos 0,38125
160
α α= + − ⋅ ⋅ ⋅ → =− =−
Resposta da questão 9:
[B]
Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado 
da figura.
É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com
CD ED.= Sabendo que 𝐵𝐵𝐴𝐴̂ 𝐸𝐸 = 90°, tem-se que o
triângulo ABE é retângulo isósceles, com BE 2.= 
Em consequência, sendo ABC 135 ,= ° concluímos que
o triângulo ABC é retângulo em B. Agora, pelo
Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE,
encontramos CE 3.=  Finalmente, aplicando a Lei
dos Cossenos no triângulo CDE, vem
2 2 2 1
( 3) 2 cos cos
2
120 .
θ θ
θ
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ =−
⇒ = °
    
Resposta da questão 10:
[B]
Aplicando-se a Lei dos Cossenos, tem-se que a
distância “a” entre os pontos A e C será:
2 2 2
2 2 2
2 2
a b c 2 b c cosA
a 10 15 2 10 15 cos60
a 325 300 0,5 a 175
a 175 5 7 m
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
= − ⋅ → =
= =
Resposta da questão 11:
[A]
( )
2 2 2
2 2
2
2
3 3 x x 2 x x cos120
1
27 2x 2x
2
27 3x
x 9
x 3
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
 
= − ⋅ − 
 
=
=
= ±
Resposta da questão 12:
[B]
Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá
percorrido 16 km e o navio 2 (N2) terá percorrido 6
km. Temos, então, a seguinte figura:
2 2 2
2
2
d 16 6 2 16 6 cos60
1
d 256 36 192
2
d 196
d 14km
= + − ⋅ ⋅ ⋅
 
= + − ⋅ 
 
=
=


6. LEI DOS COSSENOS
Resposta da questão 13:
[B]
Sejam S,P, G e C, respectivamente, os pontos que
representam as cidades de Sorocaba, São Paulo,
Guaratinguetá e Campinas. Sabendo que SPC 60= ° e
CPG 90 ,= ° vem SPG 150 .= ° Logo, aplicando a Lei dos
Cossenos no triângulo SPG, encontramos
2 2 2
2 2
SG SP PG 2 SP PG cosSPG
80 160 2 80 160 cos150
3
6400 25600 2 12800
2
6400 (5 2 3)
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
 
 = + − ⋅ ⋅ −
 
 
= ⋅ + ⋅
Portanto, SG 80 5 2 3 km.= ⋅ + ⋅
Resposta da questão 14:
[D]
2 2 2
2 2
BC AC AB 2 AC AB cosBAC
(0,8) 1 2 0,8 1 cos150
3
0,64 1 2 0,8
2
1,64 0,8 1,7
3.
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
 
 = + − ⋅ ⋅ −
 
≅ + ⋅
≅
Logo, BC 1,7≅ e, portanto, o resultado é
1 0,8 1,7 3,5.+ + =
Resposta da questão 15:
[E]
Sabendo que ET 360km,= ST 320km,=
cos 0,934α ≅ e que 8 2
2 3 93,4 215100,⋅ ⋅ ≅ pela Lei
dos Cossenos, vem
2 2 2
2 2 2
2 2 2 5
2 8 2
2
ES ET ST 2 ET ST cos
ES 360 320 2 360 320 0,934
ES 129600 102400 2 2 3 2 93,4
ES 232000 2 3 93,4
ES 232000 215100
ES 16900 ES 130km.
= + − ⋅ ⋅ ⋅ α ⇒
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇔
= − ⋅ ⋅ ⇒
= − ⇒
= ⇔ =
Portanto, como
13
13min h,
60
= temos que a
velocidade média pedida é dada por
130
600km h.
13
60
=
Resposta da questão 16:
[D]
2 2 2
AC a a 2 a a cos120 AC a 3= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° ⇒ =
Logo,
AC a 3
3.
AB a
= =
Resposta da questão 17:
[B]
Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos
2 2 2
2 2 2
2
BC AB AC 2 AB AC cosBAC
1
BC 36 24 2 36 24
2
BC 1296 576 864
BC 2736 12 19 km.
= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔
 
= + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⇔ 
 
= + + ⇒
= =