APOSTILA QOAA 2015

MÓDULO
MATEMÁTICA - QOAA
PROF. MARCO AURELIO COSTA

ÍNDICE
UNIDADE 1.................................................................................................................................................................1
CONJUNTOS.........................................................................................................................................................1
1.1 - Noçoes Fundamentais...............................................................................................................................1
1.2 - Operações ...................................................................................................................................................3
APENDICE 1 - Conjuntos númericos .............................................................................................................6
1.3 - Problemas ..................................................................................................................................................7
UNIDADE 2..............................................................................................................................................................12
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO ..................................................................................................................12
2.1 - Aplicação direta.......................................................................................................................................12
2.2 - Extraindo raizes (exatas e inexatas) ......................................................................................................13
2.3 - Expoente decimal e fracional .................................................................................................................14
2.4 - Propriedades operatórias .......................................................................................................................15
2.5 - Racionalização..........................................................................................................................................16
2.6 - Problemas ................................................................................................................................................16
UNIDADE 3..............................................................................................................................................................17
GEOMETRIA PLANA........................................................................................................................................17
3.1 – Ângulos....................................................................................................................................................17
3.2 - Triângulos.................................................................................................................................................18
3.3 – Pitágoras...................................................................................................................................................19
3.4 – Trigonometria no triângulo retângulo .................................................................................................21
3.5 – Leis de seno e cosseno............................................................................................................................24
3.6 – Áreas e circunferências ..........................................................................................................................25
3.7 - Problemas.................................................................................................................................................28
UNIDADE 4...............................................................................................................................................................30
PROGRESSÃO ARITMÉTICA.........................................................................................................................30
4.1 – Conceito ...................................................................................................................................................30
4.2 - Termo geral ..............................................................................................................................................30
4.3 - Somas ........................................................................................................................................................31
4.4 – Problemas ................................................................................................................................................32
UNIDADE 5..............................................................................................................................................................34
ANÁLISE COMBINATÓRIA .......................................................................................................................34
5.1 – Introdução: ..............................................................................................................................................34
5.2 – Fundamentos: .........................................................................................................................................34
5.3 - Fatorial, arranjo e permutação:.............................................................................................................35
5.4 - Combinação:............................................................................................................................................37
5.5 - Permutação com repetição.....................................................................................................................38

5.6 – Permutação circular ...............................................................................................................................38
5.7 – Problemas gerais....................................................................................................................................38
UNIDADE 6..............................................................................................................................................................41
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ..................................................................................................................41
6.1 – Conceito...................................................................................................................................................41
6.2 – Termo Geral............................................................................................................................................41
6.3 – Soma Infinita..........................................................................................................................................43
6.4 – Soma Finita .............................................................................................................................................43
UNIDADE 7..............................................................................................................................................................46
GEOMETRIA ANALÍTICA...........................................................................................................................46
7.1 – Ponto ........................................................................................................................................................46
7.2 – Distância entre pontos ..........................................................................................................................46
7.3 – Ponto Médio............................................................................................................................................46
7.4 - Reta ...........................................................................................................................................................47
7.5 – Relação entre retas .................................................................................................................................49
7.6 – Relação entre ponto e reta ....................................................................................................................49
7.7 – Áreas de figuras planas.........................................................................................................................49
UNIDADE 8..............................................................................................................................................................54
TRIGONOMETRIA .........................................................................................................................................54
8.1 – Sistemas de medidas angulares...........................................................................................................54
8.2 – Comprimento da circunferência..........................................................................................................54
8.3 – Círculo trigonométrico..........................................................................................................................55
8.4 – Expressões e relações auxiliares: .........................................................................................................56
8.5 – Soma de arcos .........................................................................................................................................57
UNIDADE 9..............................................................................................................................................................62
GEOMETRIA ESPACIAL..............................................................................................................................62
9.1 – Conceitos primitivos .............................................................................................................................62
9.2 – Cilindro....................................................................................................................................................68
9.3 – Cone .........................................................................................................................................................69
9.4 – Pirâmide ..................................................................................................................................................70
9.5 – Esfera........................................................................................................................................................73

CURSO NAUTILUS – QOAA
PROF. MARCO AURELIO COSTA WWW.MARCOAURELIO.MAT.BR
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UNIDADE 1
CONJUNTOS
1.1 - Noçoes Fundamentais
DEFINIÇÃO: Conjunto é a reunião de objetos que tem alguma propriedade em comum. A
cada um desse objetos chamamos de elemento.
Ex1:
Cada conjunto tem seus elementos:
A tem a, e, i, o, u.
N tem 1, 2, 3, 4, 5,…. (infinito)
M tem João, Maria, Jose.
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA: Quando um objeto participa de um dado conjunto dizemos
que ele pertence (2) a este e se não participa dizemos que não pertence (26 ).
Ex2:
a 2 A e 2 A ☺ 26 A
b 26 A i 2 A U 26 A.
NÚMERO DE ELEMENTOS n(A): É a quantidade de objetos que participa de um
conjunto.A
Ex3:
Usando os conjuntos do EX1 Observamos que n(A) = 5; n(M) = 3 e n(N) = ∞.
REPRESENTAÇÃO: Podemos representar um conjuto utilizando:
Diagrama Chaves Definição
A= {a, e, i, o, u} A= {x é letra / x é vogal}
VÁZIO: É aquele conjunto que não possue elementos. Podemos representa-lo { } ou ∅.

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SUBCONJUNTOS: São aqueles formados com os mesmos elentos de um conjunto Base. O
total de subconjuntos de um conjunto é nº Subconjuntos P(A)= 2n
Ex4:
Dado o conjunto B = { m, a, r }, podemos observar que o número de subconjuntos dele é 23 =8.
P(B) = {m, a, r }; {m, a}; {m, r}; {a, r}, {m}; {r}; {a}; { }
INCLUSÃO: Podemos ter Conjuntos que abrangem outros ou são abrangidos. Quando um
conjunto menor “está dentro” de outro ele está contido, caso contrario ele não está contido.
Quando um conjunto maior possui todos os elementos de outro dizemos que o mesmo
contém, caso contrario dizemos que não contém.
Ex5:
{2} ⊂ {1; 2; 3} {2; 3} ⊂ {0; 1; 2} {1; 2; 3; 4} ⊃ {1; 3} {1; 2; 3} {5}
Importante lembrar!!!!
01) Utilize os símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄ , ⊃ ou para completar:
a) 2 ___ {1; 2} b) 3 ___ {1; 2} c) ∅ ___ {1; 2} d) {1; 2} ___ {1; 2; 3}
e) 1 ___ {1; 2} f) {1; 2; 3} ___ {1; 2} g) 1 ___ {1} h) {1; 2} ___ {1; 2; 3}
i) {1} ___ {1; 2} j) {1} ___ {{1}; 2} l) {1, {2}} ___ {1; {2}; 3 } m) 1 ___ {1; 2}
n) 1 ___ {1} o) {1} ___ {1; 2; 3} p) {1} ___ {0, {1}} q) {1} ___ {1;{2}
02) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número máximo de subconjuntos distintos é:
a) 21 b) 128 c) 64 d) 32 e) 256
03) (FEI) Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos
estritamente positivos de 5, menores do que 40, então o valor de n é:
a) 127 b) 125 c) 124 d) 120 e) 110
1) Relações entre conjuntos:
jQEstá contido em
j6 QNão está contido em
kQContém
k6 Q Não contém
2) Relações entre elementos e
conjuntos:
Pertence
Não Pertence

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1.2 - Operações
Diferença BA −
Caracterizado pelo “somente” ou ainda
pelo “apenas”. Nesta operação
RETIRAMOS os elementos em comum
restando os demais no conjunto inicial.
Ex8:
Se A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4; 5} temos
então
A – B ={1} e B – A ={4; 5}
O Complementar de um conjunto em
relação ao universo é
Interseção BA ∩
Caracterizado pelo “e”. Nesta operação
juntamos os elementos que pertencem a
ambos simultaneamente.
Ex7:
Se A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4; 5} temos
então
BA ∩ ={2; 3}
União BAU
Caracterizado pelo “ou”. Nesta operação
juntamos TODOS os elementos, SEM
REPETI-LOS.
Ex6:
Se A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4; 5} temos
então
BAU ={1; 2; 3; 4; 5)

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04) Sendo A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 3; 4}, C = {1, 4} e D = { 0; 2; 5}, calcule:
a) C S D b) A S B S D
c) A T B d) C T D
e) B@ C f) C @ A
g) A @ C h) A T BT C
i) A S C
b c
T B
j) B@ A
` a
T D @ C
` a
05) Dado o diagrama, calcule:
a) A b) B
c) C d) A – B
e) B – A f) A – C
g) C – A h) C – B
i) B – C j)
l) m) A T BT C
n) A T B o)
p) A S C
b c
T B q) B@ A
` a
T D @ C
` a
06) Usando o diagrama, determine:
a) A
b) B
c) C
d) U
e) B – A
f) A – C
g) C – A
h) A S B S D
i) B – C
j) CU
A
l) CU
B
m) CU
C
n) C – A o) C – B p) B – C
q)

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07) Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5 };
B = { 4, 5, 6, 7 }; C – A = { 7, 8, 9 }; C – B = {
3, 8, 9 } e A I B I C = { 4 }, o número de
elementos do conjunto C é:
a) 6 b)7 c) 3 d) 4 e) 5
08) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7},
então o complementar de B em A é:
a. φ b. {8} c. {8, 9, 10}
d. {9, 10, 11 …} e. {1, 5, 8}
09) O diagrama representa o conjunto
A
C B
a)(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
b) (B ∩ C) ∪ (B ∩ A)
c) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
d) B ∪ (A ∩ C)
e) C ∩ (A ∪ B)
10) Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}}
podemos afirmar:
a)B ⊂ A b)A = B c)A ∈ B
d)a = A e){A} ∈ B
11) Supondo que:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∩ B = {4, 5}
A – B = {1, 2, 3}, então B é:
a) {6, 7, 8}
b) {4, 5, 6, 7, 8}
c) {1, 2, 3, 4}
d) {4, 5}
e) ∅
12) Sabendo-se que A e B são
subconjuntos de U, A ∩ B = {c, d} A ∪ B
= {a, b, c, d, e, f} e CU
A
= {e, f, g, h, i},
então:
a) n(A) = 2 e n(B) = 4
b) n(A) = 4 e n(B) = 2
c) n(A) = 3 e n(B) = 3
d) n(A) = 4 e n(B) = 4
e) n(A) = 1 e n(B) = 5
13) Se A = {1}, B = {0, 1} e E = {0, 1, 2} então
)( BA
EC ∩
é o conjunto:
a)φ b){0} c){1} d){0, 2} e){1, 2}
14) Sejam A, B e C três conjuntos não disjuntos. Das figuras abaixo, aquela cuja região
sombreada representa o conjunto (A ∩ B) – C
A
B
C
a.
A
B
C
b.
A
B
C
c.
A
B
C
e.
A
B
C
d.

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APENDICE 1 - Conjuntos númericos
Naturais (N): São os números de contagem, a partir do zero.
N = 0, 1, 2, 3, …
P Q
Inteiros ( Z): São os números de contagem e os seu simétricos (negativos)
Z = …, @ 2, @ 1, 0, 1, 2, …
P Q
Racionais ( Q): São todos os números que podem ser escritos na forma de fração.
Ex:
3
4
ffff
2 Q; @
5
2
fff
2 Q; 4 2 Q; 36p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2 Q; 1,33333 …A2 Q
Irracionais (I): É o conjunto formado por decimais infinitos não periódicos, raízes inexatas, π ,
entre outros.
Ex:
π 2I; 3p
wwwwwwwwwwwwwwwww
2I; @5
3p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2I; 30p
2I; 1,3453136 …A2I
Reais (R): É a união dos conjunto dos naturais, inteiros racionais e irracionais.
Ex:
π 2R; 36p
2I; @ 10
3p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2I; 30p
2I; 2,333 …A2I;
Complexos ( C): É o conjunto onde temos as raízes com índices pares de números negativos.
Ex:
@ 9p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2C; @ 16
4p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2C

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1.3 - Problemas
O segredo da aplicaçao em problemas está em interpretar o texto lembrando que cada
conetivo lógico tem um significado:
OU = União E = Intersesçao APENAS = Diferença
RELAÇÕES QUANTITATIVAS:
Com 2 conjuntos:
n A S B
b c
= n A
` a
+ n B
` a
@ n A T B
b c
Com 3 conjuntos:
n A S B S C
b c
= n A
` a
+ n B
` a
+ n C
` a
@ n A T B
b c
@ n A T C
b c
@ n B T C
b c
+ n A T B T C
b c
15) Num colégio 130 alunos gostam de futebol; 90 alunos gostam de volei. Quantos alunos
gostam apenas de volei, sabendo-se que 50 alunos gostam dos dois esportes?
16) Numa turma de 35 alunos, 27 gostam de futebol, 16 de basquete e 13 gostam dos dois.
Quantos não gostam nem de futebol e nem de basquete?
17) Numa pesquisa , verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150
liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 não liam nenhum dos dois jornais.
Quantas pessoas foram consultadas?
18) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O
produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo.
Quantas pessoas usam o produto A?
19) Numa pesquisa com marujos, foram feitas as seguintes perguntas para que
respondessem sim ou não: Gosta de navegar? Gosta de tirar serviço? Responderam sim à
primeira pergunta 90 marujos; 70 responderam sim à segunda; 25 responderam sim a
ambas; e 40 responderam não a ambas. Quantos marujos foram entrevistados?
20) Um programa de proteção e preservação de tartarugas marinhas, observando dois tipos
de contaminação dos animais, constatou em um de seus postos de pesquisa, que: 88
tartarugas apresentavam sinais de contaminação por óleo mineral, 35 não apresentavam
sinais de contaminação por radioatividade, 77 apresentavam sinais de contaminação tanto
por óleo mineral como por radioatividade e 43 apresentavam sinais de apenas um dos dois
tipos de contaminação. Quantas tartarugas foram observadas?
a) 144 b) 154 c) 156 d) 160 e) 168

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21) Num grupo de 54 pessoas, 20 usam óculos, 25 são homens e 8 são mulheres que usam
óculos. Calcule quantas mulheres não usam óculos.
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
22) Uma pesquisa entre telespectadores mostrou que, em cada 100 pessoas, 60 assistem a
novela A, 50 assistem a novela B, 50 assistem a novela C, 30 assistem as novelas A e B, 20 as
novelas B e C, 30 as novelas A e C, e 10 as três novelas. Quantos não assistem essas novelas?
23) Em uma O.M. Naval são praticados dois esportes, vôlei e basquetebol. Exatamente 80%
dos fuzileiros praticam vôlei e 60% basquetebol. Sabendo que todo fuzileiro é praticante de
pelo menos um dos esportes, determine o percentual de fuzileiros que praticam ambos.
24) Numa competição militar com 60 sargentos do CAP, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou
jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Calcule o número de homens que não jogam
xadrez.
25) Temos 400 militares numa corporação da Marinha, constatou-se que: 160 deles são
oficiais, 130 são homens e 50 são homens oficiais. O número de militares praças mulheres é:
26) Consultados 500 militares sobre as manobras de guerra a que habitualmente participam
obteve-se o seguinte resultado: 280 militares participam da manobra A, 250 participam da
manobra B e 70 participam de outras manobras distintas de A e B. O número de militares
que participam da manobra A e não participam da manobra B é:
27) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado
produto apresentou os seguintes resultados: A 48%, B 45%, C 50%, A e B 18%, A e C 15%, B e
C 25% e nenhuma das três marcas 5%. Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem
uma e apenas uma das três marcas?
28) Um estudo de grupos sanguíneos humanos realizados com 1000 pessoas (sendo 600
homens e 400 mulheres) constatou que 470 pessoas tinham o antígeno A, 230 pessoas tinham
o antígeno B e 450 pessoas não tinham nenhum dos dois. Determine o número de pessoas
que têm os antígenos A e B simultaneamente.
29) Um treinamento militar era constituído de dois exercícios. 300 militares concluíram
somente um dos exercícios, 260 concluíram o segundo, 100 militares concluíram os dois e 210
não concluíram o primeiro. Quantos militares fizeram o treinamento.
30) Temos 400 militares numa corporação da Marinha, constatou-se que: 160 deles são
oficiais, 130 são homens e 50 são homens oficiais. O número de militares praças mulheres é:
31) Num seminário sobre as doenças relacionadas ao fumo reuniram–se 50 pessoas. 32 são
fumantes; 10 são os homens não fumantes e 20 são as mulheres fumantes. Quantas mulheres
não fumantes foram ao seminário.
32) Num avião temos brasileiros, estrangeiros, fumantes e não fumantes. O total de
passageiros é 50. 32 são brasileiros, 8 homens estrangeiros não fumantes, 25 fumantes, 10
mulheres brasileiras não fumantes, 2 homens estrangeiros fumantes, 12 mulheres brasileiras
fumantes, 16 brasileiros fumantes. Determine quantos passageiros não fumantes tem no
avião?

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33) Numa prova de 3 questões, 4 alunos erraram todas as questões; 5 acertaram só a
primeira; 6 acertaram só a segunda; 7 acertaram só a terceira; 9 acertaram a primeira e a
segunda; 10 acertaram a primeira e a terceira; 7 acertaram a segunda e a terceira e 6
acertaram todas as questoes. Quantos alunos possui a turma?
34) Após uma briga de n malucos em um hospício, verificou-se que:
- 50 malucos perderam os olhos - 48 malucos perderam os braços
- 40 malucos perderam as pernas - 28 malucos perderam os olhos e os braços
- 22 malucos perderam os olhos e as pernas
- 24 malucos perderam os braços e as pernas
- 10 malucos perderam braços, olhos e pernas
Pergunta-se:
(1) Quantos malucos brigaram
(2) Quantos malucos perderam somente as pernas.
(3) Quantos malucos tiveram pelo menos duas perdas
A)74; 12; 18 B)100; 4; 74 C)74; 4; 54 D)80; 54; 6 E)100; 2;30
35) Em uma pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas
preferências em relação a três produtos: A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:
210 pessoas compram o produto A, 210 pessoas compram o produto B,
250 pessoas compram o produto C, 20 pessoas compram os três produtos,
100 pessoas não compram nenhum dos três produtos,
60 pessoas compram os produtos A e B,
70 pessoas compram os produtos A e C,
50 pessoas compram os produtos B e C,
Quantas pessoas foram entrevistadas?
a) 670 b) 970 c) 870 d) 610 e) 510
36) Em uma pequena cidade, todos os 200 habitantes masculinos gostam de praticar pelo
menos um dos três esportes: xadrez, futebol e voleibol. Sabe-se que do total:
100 gostam de xadrez 100 gostam de futebol 100 gostam de voleibol
20 gostam de xadrez e voleibol 50 gostam de xadrez e futebol
50 gostam de futebol e voleibol
Quantos habitantes masculinos gostam de praticar futebol e voleibol e não gostam praticar
xadrez?
a) 22 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30
(FADESP) Utilize os conjuntos A={s,ã,o}, B={f,e,l,i,x}, C={d,o} e D={x,i,n,g,u} para as
próximas duas questões.
37) Quantos elementos possui o conjunto resultante da união dos conjuntos A, B, C e D?
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12
38) O conjunto diferença D – B é:
a) vazio. b) {x, i}. c) {n, g, u}. d) {f, e, l}.
39) Considerando os conjuntos A = {1,2,{2}}, B = {2}, C = {∅, 3} e D = {1, 2, 3}, assinale a opção
INCORRETA.
a) 2 ∈ A b) {2} ∈ A c) ∅ ∈ C d) ∅ ⊂ C e) C ⊂ D

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40) O número de subconjuntos X que satisfazem à equação {1,3,5} ⊂ X ⊂ {1,2,3,4,5,6} é:
xa) 8. b) 10. c) 12. d) 16. e) 64.
41) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y,
por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2
elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual
a:
a) 4 b) 6 c) 8 d) vazio e) 1
42) (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que
habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270
pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros
canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi:
a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e)600
43) (UF - Uberlândia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês
e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos
que estudam ambas as línguas é:
a) 25% b) 50% c) 15% d) 33% e)30%
44) (VUNESP) Uma população utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita uma
pesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo:
Marcas A B C A e B A e C B e C A, B e C
Nenhuma
delas
Número de
Consumidores
109 203 162 25 28 41 5 115
Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é:
a) 99 b) 94 c) 90 d) 84 e) 79
45) (QOA) Para cumprir pelo menos uma de duas missões, A e B, 80% das praças de uma
determinada Base Naval se apresentaram como voluntários. Se 60% desses voluntários
querem cumprir a missão A e 55% desses voluntários querem cumprir a missão B, qual é o
percentual das praças da referida Base Naval que são voluntários para ambas as missões A e
B?
a)15% b)12% c)10% d)8% e)6%
46) (QOA) De um certo grupo de 180 Oficiais da Marinha do Brasil, 122 pertencem ao
conjunto T dos Tenentes, 108 pertencem ao conjunto A de Oficiais da Armada e 75
pertencem aos dois conjuntos. Quantos são os Oficiais desse grupo que não pertencem ao
conjunto T nem ao conjunto A?
a) 155 b) 100 c) 75 d) 55 e) 25
47) (QOA) A e B são subconjuntos de U. Se A' e B' são os seus respectivos complementares
em U, então A T B
b c
S A T B.
b c
é igual a
a) A' b) B’ c) A d) B e) A' – B’

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48) (QOA) Sejam P e Q conjuntos que possuem um único elemento em comum. Se o número
de subconjuntos de P é igual ao dobro do número de subconjuntos de Q, o número de
elementos do conjunto P união Q é o
a) Triplo do número de elementos de P.
b) Triplo do número de elementos de Q.
c) Quádruplo do número de elementos de P.
d) Dobro do número de elementos de P.
e) Dobro do número de elementos de Q.
49) (QOA) Dados os conjuntos A B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A B = {2, 3, 8}, A C =
{2, 7}, B C = {2, 5, 6} e A B= {1,2,3,4, 5, 6, 7, 8}. Qual e o conjunto C – B?
a) {7, 9, 10} b) {7, 8,10} c) {5, 7, 8} d) {5, 7, 9} e) {8, 9, 10}
50) (QOA) Um banco promoveu uma seleção de pessoal para o quadro de estagiarios.
Exigia-se que os candidatos fossem estudantes universitarios. Concluida a seleção, foi feito
um levantamento sobre as carreiras que os estagiarios selecionados estavam cursando. O
levantamento apontou que:
I. 60% dos selecionados cursavam Economia ou Administração de Empresas;
II. 30% dos selecionados cursavam Administração de Empresas;
III. 25% dos selecionados que cursavam Economia tambem cursavam Administração de
empresas.
De acordo com as informações apresentadas acima, é correto afirmar que a porcentagem de
selecionados que cursavam Economia a igual a:
a) 10% b) 30% c) 37,5% d) 40% e) 55%
51) (Unesp) Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam de Matemática e 20 de História. O
número de alunos desta classe que gostam de Matemática e de História é:
a) exatamente 16 b) exatamente 10 c) no máximo 6
d)no mínimo 6 e) exatamente 18
52) Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
1) choveu 8 vezes, de manhã ou à tarde;
2) quando chove de manhã não chove à tarde;
3) houve 5 tardes sem chuva;
4) houve 7 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a) 7 b) 8 c) 9 d)10 e)11

Página 12
UNIDADE 2
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
2.1 - Aplicação direta
Onde a é o que chamamos
de base e n é o expoente.
Importante:
1) 2) 3)
Ex1:
a) 5
2
= 5.5 = 25 b) @5
` a2
= @5
` a
A @5
` a
= 25 c)
@5
` a3
= @5
` a
A @5
` a
A @5
` a
= 125 d) @ 5
` a@ 2
=
1
@ 5
` a2
fffffffffffffffffff
=
1
@ 5
` a
A @ 5
` a
fffffffffffffffffffffffffffffffffffff
=
1
25
ffffffff
e)
2
3
ffff
h
j
i
k
@ 2
=
3
2
ffff
h
j
i
k
2
=
9
4
ffff
01) Calcular:
a) 32 b) -32 c) 3-2
d) -3-2 e) (-3)2 f) (-3)-2
02) Calcular:
a) 23 b) -23 c) 2-3
d) -2-3 e) (-2)3 f) (-2)-3
03) Efetue, observando as definições e
propriedades:
a) (-2)3 b) (-3)4 c) 0,23
d)150 e)151 f)7001
g) 02 h) 050 i) 0,53
04) Calcular:
a) b) -(-2)3 c)
d) e) f)
05) Calcular:
a) (-1)0 + (-6) : (-2) – 24
b) 20 @ @45
` a
: @3
` a2
+ @2
` a
A @1
` a5

Página 13
c) 23 – (-2)2 + 20 d) 4
@ 1
@3
@ 1
b c@ 1
e)
3
@ 1
@2
2
+ @ 2
` a@ 1
2
2
@2
@ 2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
f)
3
@ 1
+ 3
@ 2
2
@ 2
@2
@ 3
fffffffffffffffffffffffffffffff
2.2 - Extraindo raizes (exatas e inexatas)
1) anp
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= b, Tal que b
n
= a, n é o indice, a o radicando e b a raíz.
2) Radicais semelhantes são aqueles de mesmo indice e radicando.
3) Em TODAS as raizes podemos fatorar os números pelos fatores
primos, agrupar conforme o indice e assim teremos a raíz.
Ex2: Calculando
Pegamos o 196 e fatoramos pelos primos, em seguida
agrupamos conforme o indice (neste caso o 2) temos assim o
2 e o 7 agrupados o que nos leva a raíz que será 2x7 = 14
Logo = 14
06) Simplifique as raizes:
a) 784p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
b) 216
3p
c) 2500p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
d) 1024B243
5p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
e)
54
24
ffffffff
vu
u
t
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
07) Simplifique ao maximo:
a) 2 726p
b) 3 375
3p
c) 5 245p
d) 256
3p
e) 2 720p
08) Efetue:
a)
@ @2
` a2
@ 27
3p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
@3 + 5
` a0
@2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
b)
1
2 +
1
2 +
1
2
fffff
f g@ 1
ffffffffffffffffffffffffffff
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
c)
4 8
3p
wwwwwwwwwwwwww
@3 32
5p
2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
d)
2
@ 1
+ 3
@ 1
1 + 5.4
@ 1q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
e)
3
@ 1
+ 6
@ 1
1 + 9.16
@ 1q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Página 14
2.3 - Expoente decimal e fracional
1) Todo radical pode ser transformado em exponte fracional
2) Numeros decimais simples são transformados em frações quando
retiramos a virgula, e colocamos nele um denominador 10…0 (n zeros) ,
onde n é o número de casas decimais.
Ex3: 1,2 =
12
10
fffffff
0,324 =
324
1000
ffffffffffffff
0,0003 =
3
10000
ffffffffffffffffff
3) Podemos transformar dízimas periodicas em frações, colocando no
denominador o periodo e no numerador o número de casas dele.
Ex4: 0,222 …=
2
9
ffff
0,2323 …=
23
99
fffffff
0,030303 …=
3
99
fffffff
=
1
33
fffffff
09) Transforme em fraçoes irredutiveis:
a) 0,24 b) 1,8
c) 1,16 d) 0,75
e) 0,111… f) 0,666…
g) 0,88… h) 0,57575….
i) 2,333… j) 1,777…
l) 2,777… m) 1,272727…
10) Efetue:
a) 25
1
2
ffff
b) 144
1
2
ffff
c) 0,64
@
1
2
ffff
d) 160,5
e) 80,666… f) @ 8
` a@
2
3
ffff
g) 1,777 …
b c0,5
h) 17
0,3333…
@9
0,5
11) Desenvolva:
a) @ 8
3p
wwwwwwwwwwwwwwwww
+ 16
1
4
fff
@ @2
` a
+ 27
1
3
ffff
b) @ 8
3p
wwwwwwwwwwwwwwwww
+ 16
1
4
fff
@ @2
` a
+ 27
1
3
ffff
c) 4B 0,5
b c2
+ 0,25q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
+ 8
@
2
3
ffff
d) @
8
27
fffffffff
h
j
i
k
@
2
3
ffff
@ @
2
3
fffff
h
j
i
k
@ 3
B @
1
27
fffffffff
h
j
i
k
@
1
3
ffff

Página 15
2.4 - Propriedades operatórias
EXPOENTES
I) ax
Aay
= ax + y
II)
ax
ay
fffffff
= ax@ y
III) ax
` ay
= axAy
IV)
a
b
ffff
f gx
=
ax
b
x
fffffff
V) a A b
` ax
= ax
Ab
x
VI) a@ x
=
1
ax
fffffff
ou
a
b
ffff
f g@ x
=
b
a
ffff
f gx
RADICAIS
I) a
x
y
fffff
= axy
p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
II) a A b
np
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= anp
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
A b
np
III)
a
b
ffffns
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=
anp
b
np
fffffffffff
IV) axnp
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= ax Akn Akq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
V) a
y
p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwxq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= a
x Ay
p
12) Efetue:
a) 2
1
A2
5
A2
@ 2
b)
10
7
10
4
ffffffffffff
c)
64
5
32
4
fffffffffffff
d) 20
4
B5
4
e) 8
3
B5
7
13) Desenvolva
a)
256B4
9
8
7
fffffffffffffffffffffffffffff
b)
9
3
B27
4
B3
@ 7
1
3
ffff
B243
2
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
c)
125
6
B25
@ 3
5
2
b c@ 3
3B25
7
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
d)
12B10
@ 3
B10
@ 4
B10
9
3B10
@ 1
B10
4
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
e)
3,2B4000B0,0008
25,6B0,002
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
14) Desenvolva:
a)
3
x + 2
@3
x + 1
3
x
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
b)
5
x @ 3
@5
x
+ 5
x @ 2
5
x @ 1
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
c) 3
5
+ 3
5
+ 3
5q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
d)
2
20
+ 2
19
2
18
ffffffffffffffffffffffffffff
15) Opere:
a) 3
205q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
b) 2
5q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
c)
x4
Ay12
z20
fffffffffffffffffffffff4
vu
u
t
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
d) x 6
Ay123q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
e) a5
Bb
4
Bc7q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
f) x 7
Ay 3
Az6q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
15) Simplifique a um único radical:
a) 2p
wwwwwwwwwwwwww5q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
b) 2
3p
wwwwwwwwwwwwww
q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
c) 2 2
3q
r
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
d) 2
4p
wwwwwwwwwwwwww
q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
3r
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
16) Opere:
a) 2p
wwwwwwwwwwwwww
B 6
3p
wwwwwwwwwwwwww
b) 2p
wwwwwwwwwwwwww
B 5
3p
wwwwwwwwwwwwww
B 3p
wwwwwwwwwwwwww
c)
2p
wwwwwwwwwwwwww
2
3p
wwwwwwwwwwwwww
ffffffffffff
d)
2
3q
B 2
3p
wwwwwwwwwwwwww
2
56q
fffffffffffffffffffffffffffffffffff
17) Efetue:
a) 5 2p
wwwwwwwwwwwwww
@ 3 2p
wwwwwwwwwwwwww
+ 2 2p
wwwwwwwwwwwwww
@ 2p
wwwwwwwwwwwwww
b) 45p
@ 20p
c) 2 48p
+ 3 27p
d) 50p
@ 98p
e) 75p
@ 108p

Página 16
2.5 - Racionalização
18) Racionalização
a) b) c) d)
19) Contine racionalizando agora usando o simetrico do denominador:
a) b) c) d) e)
20) Desenvolva:
a) b) c)
2.6 - Problemas
21) Sex + x@ 1
= 5, qual o valor dex2
+ x@ 2
?
22) SeA =
1
2p
wwwwwwwwwwwwww
fffffffffff
+
1
2p
wwwwwwwwwwwwww
+ 1
fffffffffffffffffffffff
+
1
2p
wwwwwwwwwwwwww
@1
fffffffffffffffffffffff
, qual o valor de
1
A
fffff
?
23) (FUVEST) =
+3
3028
10
22
a)
5
28
b)
5
29
c) 28 d) 29 e)
1/358
10
2






24) (MACK) O número de algarismos do
produto
515. 46 é:
a) 21 b) 15 c) 18 d) 17 e) 23
25) (FUVEST) Qual é o valor da expressão
13
13
13
13
+
−
+
−
+
?
a) 3 b) 4 c) 3 d) 2 e) 2
26) (UECE) A expressão numérica
33
163545 − é igual a:
a) 3
1458 b) 3
729 c) 3
702 d) 2
3
38
27) (QOA) 8
3p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww@ 4
é igual a:
a) 1/16 b) 1/8 c) 1/6 d) 6
e)16
28) (QOA) A média geométrica de n números
positivos é dada pela raiz enésima do produto
desses n números. Considere os conjuntos
A={3,3,5,7},B={2,3,5,7,11}, C = {2,3,5,7,11,13}.
Após a determinação do produto dos
elementos de cada conjunto e, usando-se
apenas as teclas e/ou de uma
calculadora, pode-se obter a média geométrica
dos elementos do conjunto
a) A, mas não do B nem do C.
b) A e do B, mas não do C.
c) A e do C, mas não do B.
d) B e do C, mas não do A.
e) A, do B e do C.
29) (QOA) Entre 5 e 5.000, tem-se k números
da forma 2n, onde n é um número natural.
Qual é o valor de k?
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
30) (CN) O valor da expressão
é: a) – 10 b) – 9 c) 1/9
d) 9 e) 10
3

Página 17
UNIDADE 3
GEOMETRIA PLANA
3.1 – Ângulos
Ângulo é a região compreendida formada na abertura entre dois segmentos de reta.
Complementares são aqueles angulos que somam 90° .
Suplementares são aqueles que somam 180°.
01) Calcule x nas figuras:
a)
b)
c)
d)
e)
02)Qual o complemento dos seguintes
ângulos:
a) 25° b) 34°
c) 60° d) 45 °
03) Qual o suplemento dos seguintes
ângulos:
a) 105° b) 15°
c) 135° d) 60°

Página 18
3.2 - Triângulos
Triângulo: Figura geometria formada por três segmentos de reta.
Soma angular: Em todo triângulo a soma de seus angulos internos é de 180°.
Classificação:
I) Quanto aos lados:
Escaleno: Nenhum dos lados congruentes entre
si.
Isósceles: Apenas dois de seus lados
congruentes entre si.
Equilatero: Todos os lados congruentes entre si.
II) Quanto aos ângulos:
Acutângulo: Todos os angulos menores qua 90°.
Retângulo: Exatamente um angulo medindo
90°.
Obtusângulo: Um de seus ângulos maior que
90° .
04) Calcule x,( ou y) nas figuras:
a) b) c)
d) e)
f)

Página 19
g)
05) Sabendo que os triângulos abaixo são isosceles de base BC, calcule o valor de x em cada
caso:
a) b)
c) d)
e) f)
3.3 – Pitágoras
I) Teorema de Pitágoras
(Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2

Página 20
II) Sintese de Claraut
06) Reconheça a natureza de um triângulo cujos lados:
a) medem 6, 12 e 13;
b) medem 6, 10 e 12;
c) medem 5, 12 e 13;
07) Calcule x nas figuras abaixo:
a) b) c)
d) e) f)
08) Determine o valor de x nos casos::

Página 21
09) (Unifor/CE/Julho) Na figura abaixo têm-se os triângulos retângulos ABC, BCD e BDE.
2 cm
1 cm
1 cm
1 cm
A B
C
E
D
Se os lados têm as medidas indicadas, então a medida do lado BE, em centímetros, é
a) 7 b) 6 c) 5 d)2 e) 3
3.4 – Trigonometria no triângulo retângulo
Definições:
Seno α =
CATETO OPOSTO
Hipotenusa
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Cosenoα =
CATETO ADJACENTE
Hipotenusa
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Tangente α =
CATETO OPOSTO
CATETO ADJACENTE
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
10) Determine seno de α nos casos:
11) Determine Cosseno de α nos casos:
12) Obtenha tangente de α nos caos:
13) Um avião levanta voô em um ângulo de 30° em
relação a pista. Qual será a altura do avião quando
estiver percorrendo 4000m em linha reta?
14) Qual a altura do prédio? (use 7,13 = )

Página 22
15) Calcule x e y:
16) Quanto vale x?
17) Calcule a altura do balão de gás, considerando
18)Para determinar a altura de um edificio um
observador coloca-se a 30m de distância e assim o
observa segundo um ângulo de 30°, conforme mostra
a figura. Calcule a altura do edificio a partir do solo.
Considere 7,13 =
19) Qual era a altura desse pinheiro?
20) (FCC) Uma escada apoiada em uma parede, num
ponto que dista 4m do sol forma com essa parede um
ângulo de 60°. O comprimento da escada, em metros,
é:
a) 2 b) 4 c) 8 d)
18
21) Uma pessoa está distante 80 m da base de um
prédio e vê o ponto mais alto do do prédio sob um
ângulo de de 16° em relação ao eixo horizontal qual era
a altura do prédio? (Dados sen 16° = 0,27; cos 16° = 0,96
e tg 16° = 0,28)
22) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um
ângulo constante de 15° com uma horizontal. A que
altura estará igual à distância percorrida quando
alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2
km do ponto de partida? (Dados: sen 15° = 0,25; cos 15°
= 0,96 e tg 15° = 0,26)
23) Uma torre vertical de altura 12 m é vista sob um
ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra a uma
distância x da sua base eles e cujos olhos estão no

Página 23
mesmo plano vertical horizontal dessa base.
Determinar a distância x.
24) Um guarda florestal, postado numa torre de 20 m
no topo de uma colina de 500 m de altura, vê o início de
um incêndio numa direção do que forma com a
horizontal um ângulo de 17°. A que distância
aproximada da colina está o fogo?
25) Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz
ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que
sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros
verticalmente?
26) O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m
da base de uma encosta, ao topo da encosta é de 60 °.
Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore
ao topo da encosta?
27) Do alto da torre de uma plataforma marítima de
petróleo, de 45 m de altura, o ângulo de pressão em
relação proa de um barco é de 60°. A que distância o
barco está da plataforma?
28) Um navio, situado exatamente a leste de um ponto
A, está distante 10 milhas desse ponto. Um observador,
situado exatamente o sul do navio vê o ponto A sob um
ângulo de 40°. Calcule a distância entre o observador e
o navio. (Dados: sen 40° = 0,64; cos 40º = 0,76 e tg 40° =
0,83)
29) Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10° em
relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de
comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva,
verticalmente, após percorrer toda a rampa? (Dados:
sen 10° = 0,17; cos 10° = 0,98 e tg 10° = 0,18)
30) Para determinar a altura de uma torre, um
topógrafo coloca o teodolito a 100 m da base e obtém
um ângulo de 30°, conforme mostra a figura. Sabendo
que a luneta do teodolito está a 1,7 m do solo, qual é
aproximadamente a altura da torre? (Dados sen 30° =
0,5; cos 30° = 0,87 e tg 30° = 0,58)
31) Em um exercício de tiro, o alvo se encontra numa
parede e sua base está situada a 20 m do atirador.
Sabendo que o atirador vê o alvo sob um ângulo de 10 °
em relação ao horizontal, calcule a que distância a
mosca do alvo se encontra do chão. (Dados: sen 10° =
0,17; cos 10 ° = 0,98 e tg 10 ° = 0,18).
32) Do alto de uma torre de 50 m de altura, localizada
em uma ilha, avista-se um ponto da praia sob um
ângulo de depressão de 30°. Qual é a distância da torre
até esse ponto?
33) Um avião levanta vôo em A e sobe fazendo um
ângulo constante de 15 ° com a horizontal. A que era
altura estará e qual a distância percorrida quando
sobrevoar uma torre situada a 2 km do ponto de
partida? (Dados: sen 15° = 0,26; cos 15° = 0,97 e tg 15° =
0,27)
34) (Cesesp-PE) do alto de uma torre de 50 m de altura,
localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo
de 45° em relação ao plano horizontal. Para transportar
material da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$ 0,20
por metro navegado. Quanto ele recebe em cada
transporte que faz?
35) Do ponto mais alto de uma torre é esticado um
cabide de aço de 30 m que forma com o solo um ângulo
de 60°. Qual é a altura dessa torre?
36) Uma escada de 2,8 m de comprimento está apoiada
no topo de um muro, formando com este um ângulo de
60°. Qual é a altura do muro?
37) Uma torre vertical, construída sobre um plano
horizontal, tem 25 m de altura. Um cabo de aço,
esticado, liga o topo da torre até o plano, fazendo
com o mesmo um ângulo de 60 °. O comprimento
do cabo de aço é:
38) (Unificado) Uma escada de 2 metros de
comprimento está apoiado no chão e em uma
parede vertical. Se a faz 30° com horizontal, a
distância do topo da escada ao chão é de:
a) 0,5 m b) 1 m c) 1,5 m
d) 1,7 m e) 2m
39) (Unesp SP) Três cidades, A, B e C, são
interligadas por estradas, conforme mostra a figura.
A
B
C
As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CB é
de terra e será asfaltada. Sabendo-se que AC tem 30
km, que o ângulo entre AC e AB é de 30º, e que o
triângulo ABC é retângulo em C, a quantidade de
quilômetros da estrada que será asfaltada é
a) 330 b) 310 c) 3
310
d) 38 e) 2
33
40) (FAAP)Um arame de 18 metor de comprimento
é esticado do nivel do solo(suposto horizontal) ao
topo de um poste vertical. Sabendo que o ângulo
formado pelo arame com o solo é de 30°, calcule a
altura do poste.

Página 24
a) 9m b) 18m c)3,6m d) 4,5m
41) Na figura abaixo o seno do ângulo B vale:
42) (PUC) Em uma rua plana, uma torre AT é vista
por dois observadores X e Y sob ângulos de 30º e 60º
com a horizontal, como mostra a figura abaixo:
60º
T
A X Y
30º
Se a distância entre os observadores é de 40m, qual
é aproximadamente a altura da torre? (Se
necessário, utilize 4,12 = e 7,13 = ).
a)30m b)32m c)34m d)36m e)38m
3.5 – Leis de seno e cosseno
I) Lei dos Senos:
a
SenA
ffffffffffffffff
=
b
SenB
ffffffffffffffff
=
c
Sen C
ffffffffffffffffff
II) Lei dos Cossenos:
x2
=a2
+ b
2
@2A aA bA Cosα
43) Sabendo que Sen(180 – x) = Sen(x) e Cos(180 – x) = - Cos(x)
a) Sen 120° b) Cos 150° c) Cos 150° d) Sen 150° e) Sen 135° f) Cos 120°
44) Determine o valor de x nos casos: (Lei dos Senos)
45) Determine o valor de x nos casos: (lei dos cossenos)

Página 25
46) Nas figuras abaixo calcule o valor de x:
a) b)
3.6 – Áreas e circunferências
Principais fórmulas:
I) Retângulo e paralelograma:
A = B A h
II) Quadrado
A =l
2
III) Trapézio
A =
B + b
` a
A h
2
fffffffffffffffffffffffff
IV) Triângulo:
a) A =
B A h
2
ffffffffffff
b)
A =
l 1Al 2A senα
2
ffffffffffffffffffffffffffffff
c) A = p A p @ a
` a
A p @ b
b c
A p @ c
` a
r
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
V) Circunferência:
C = 2πr C = πr 2

Página 26
47) Calcule a área das figuras abaixo:
a) b)
c)
d) e) f)
g) h) i)
j) l) m)

Página 27
n) o)
p)
q) r) s)
t) u)

Página 28
3.7 - Problemas
48) (Furg RS) Analise a ilustração e responda à
questão abaixo.
A área do triângulo é igual a:
a)
2
2
33
cm
+
b)
2
2
31
cm
+
c)
2
)32( cm+ d)
2
)33( cm+ e)
2
2
3
cm
49) (UFRGS) Numa esquina cujas ruas se cruzam,
formando um ângulo de 120º, está situado um
terreno triangular com frentes de 20m e 45m para
essas ruas, conforme representado na figura abaixo.
A área desse terreno, em m2, é
a)225b) 2225 c) 3225 d) 2450 e) 3450
50) (FCC) Considerando o triângulo ABC com as
dimensões a = 7,5 m, b = 4,5 m e c = 6 m, calcular o
valor da tg x.
C
B
x
c
a
b
A
51) (Mackenzie) Num retângulo de lados 1 cm e 3
cm, o seno do menor ângulo formado pelas
diagonais é:
a)
5
4
b)
5
3
c)
5
1
d)
3
1
e)
3
2
52) (Fuvest) Calcular x indicando na figura.
30° 60°
x
100 m
53) (Mackenzie) Três ilhas A, B e C aparecem num
mapa, em escala 1:10 000, como na figura. Das
alternativas, a que melhor aproxima a distância
entre as ilhas A e B é:
a)2,3 k b)2,1 km c)1,9 km d)1,4 km e)1,7km
54) (Unificado/RJ) Uma escada de 2m de
comprimento está apoiada no chão e em uma
parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal,
a distância do topo da escada ao chão é de :
a)0,5m b)1m c)1,5m d)1,7m e)
2m
55) (UEL PR) Um topógrafo que necessitava medir a
largura de um rio, sem atravessá-lo, procedeu da
seguinte forma: de um ponto X, situado na beira do
rio, avistou o topo de uma árvore na beira da
margem oposta, sob um ângulo de 45° com a
horizontal. Recuando 30 m, até o ponto Y, visou
novamente o topo da mesma árvore, registrando 30°
com a horizontal. Desconsiderando a altura do
topógrafo e sabendo que a árvore e os pontos X e Y
estão alinhados perpendicularmente ao rio, é
correto afirmar que a largura aproximada do rio, em
metros, é:
a) 36 + b) ( )1215 −

Página 29
c) 215 d) ( )3630 +
e) ( )1230 +
56) (UFU) Um observador em uma planície vê o
topo de uma montanha segundo um ângulo de 15º.
Após caminhar uma distância d em direção à
montanha, ele passa a vê-lo segundo um ângulo de
30º. Qual é a altura H da montanha?
d
H
15º 30º
a) d2
3
b)d c) d2 d) 2
d
e) d2
2
57) (QOA) Deseja- se construir uma rampa reta
para se acessar uma plataforma que tem quatro
metros de altura. Qual deverá ser o comprimento,
em metros, dessa rampa, a fim de que forme com
o solo um ângulo de 30º?
a) 4√ 6 b) 8 c) 4√3 d) 4√2 e)
4,5
58) (QOA) Qual deve ser o raio mínimo, expresso
em metros por um número inteiro, de uma pista
circular, para que nela se possa percorrer 200 metros
sem ser necessário caminhar mais do que uma volta
?
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
59) (QOA) Para se determinar a distância de um
ponto P, situado na margem esquerda de um rio, até
um ponto A, situado na margem direita desse
mesmo rio, uma pessoa caminhou em linha reta 10
metros do ponto A até um ponto E, nessa mesma
margem. Depois mediu os ângulos PÂE = 35° e AÊP
= 85°. Logo, a distância a ser determinada é o
resultado de:
a) b)
c) d)
e)
60) (QOA)
Âng. Seno Cosseno Tangente
10° 0,1736 0,9848 0,1763
20° 0,3420 0,9397 0,3640
30° 0,5000 0,8660 0,5774
40° 0,6428 0,7660 0,8339
Um candidato ao Corpo de Fuzileiros Navais tentou
atirar em um alvo que está 100 metros à sua frente,
mas acertou em um ponto localizado 52 metros à
esquerda desse alvo. Sendo x o ângulo de desvio
para a esquerda do alvo, com base na tabela acima,
pode-se afirmar que
a) x < 10° b) 10° < x < 20° c) 20° < x < 30°
c) 30° < x < 40° e) x > 40°
61) (QOA) Qual é a área do triangulo acutângulo,
de menor perímetro, cujos lados são expressos por
números inteiros consecutivos?
a) b) c)
d) e)
62) (QOA) No momento em que a incidência dos
raios solares ocorre segundo um ângulo de 30°, a
partir da linha do horizonte, a sombra projetada no
solo (horizontal) por um poste tem comprimento x.
No momento em que a incidência ocorre segundo
um ângulo de 60°, o comprimento da sombra é y.
Qual é a altura do poste, sabendo-se que x - y= 2?
Use, se necessário, raiz quadrada de 3 igual a 1,7.
a) 1,7 b) 2 c) 3,4 d) 4 e) 5,1
63) (QOA) Num triangulo isósceles ABC, cujo os
lados iguais AB e AC medem cm cada um,
sabe-se que a altura relativa ao vértice A vale 3/2
do lado BC . Qual será a área desse triangulo em
cm2?
a) 198cm2 b) 168cm2 c) 148cm2
d) 128cm2 e) 108cm2
64) (QOA) Na instalação de 3 lâmpadas em uma
praça, uma equipe tecnica necessitou calcular
corretamente a distancia entre elas, e para isso
esboçou um triângulo colocando as lampadas nos
vertices A, B e C desse triângulo. Sabe-se que o
ângulo A mede 135° e o ângulo B mede 30°. Se a
lampada A esta a 50 metros da lampada C, a
distância correta entre as lampadas B e C será:
a) m b) m c) m
d) m e) m
10sen85º
sen60°
fffffffffffffffffffffffffffffffffffff 10sen85º
sen35°
10sen35º
sen60°
fffffffffffffffffffffffffffffffffffff 10sen60º
sen85°
10sen35º
sen85°
15 7p
wwwwwwwwwwwwwwwww
4
ffffffffffffffffffff 15 5p
wwwwwwwwwwwwwwwww
4
wwwwwwwwwwwwwwwww
4
ffffffffffffffffffff
13 7p
wwwwwwwwwwwwwwwww
4
wwwwwwwwwwwwwwwww
4
ffffffffffffffffffff
6 10p

Página 30
UNIDADE 4
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
4.1 – Conceito
Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são
iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
Ex1:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)
4.2 - Termo geral
Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão
r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
Conluimos então que:
an = a1 + (n-1)r
e tambem:
aw = ak + (w – k)r
01) Determine a razão de cada uma das seguintes
progressões aritméticas:
a) (34, 41, 48, 55, 62) b) (78, 83, 88, 93, 98)
c) (19, 17, 15, 13, 11) d) (-30, -27, -24, -21)
02) Determine o Termo indicado em cada uma das
seguintes progressões aritméticas:
a) a6 = 2, r = 2, a20 = ? b) a10 = 15, r = 3, a30 = ?
c) a8 = 100, r = 5, a18 = ? d) a20 = 40, r = -10, a100 = ?
03) Determine o primeiro termo das progressões
aritméticas em cada caso:
a) a10 = 190 e r = 8 b) a15 = 580 e r = 10
c) a20 = 120 e r = 5 d) a8 = 70 e r = 7
e) a10 = -30 e r = -3 f) a8 = 0 e r = -5
04) Determine a Razão de cada P. A. seguinte:
a) a1 = 5 e a11 = 85 b) a1 = 10 e a26 = 135
c) a1 = 100 e a16 = 40 d) a10 = 105 e a25 = 135
e) a20 = 200 e a100 = 240 f) a45 = 300 e a100 = 190
05) Determine o número de termos de cada uma das
progressões aritméticas seguintes:
a) (1, 7, 13, ..., 121) b) (74, 95, ..., 200)
c) (-3, 0, ..., 39) d) (108, 117, ..., 999)
e) (1, 3, 5, ..., 99)
06) Sabendo que os três primeiros termos de uma
P.A. são, respectivamente, x – 1, x + 5 e 4x – 4,
encontre o valor numérico do quarto termo.

Página 31
07) Calcular x de modo que 3x – 1, x + 3, x + 9 sejam
termos consecutivos de uma P.A. na ordem
enunciada
08) Qual o 15° termo da P.A. (-5, -2, 1, 4, ...)?
09) Qual é a razão da P.A. cujo primeiro termo é 7 e o
décimo termo é 70?
10) Interpole quatro meios aritméticos entre 1 e 21.
11) Numa P.A. o quinto e o décimo-segundo termos
são, respectivamente, 10 e 80. O primeiro termo,
então, é:
12) Determine o número de termos de uma P.A. em
que o primeiro termo é 2, o último termo é 22 e a
razão é igual ao número de termos.
14) Numa P.A, o décimo termo é 72 e o termo
precedente é 65. Calcule o primeiro termo.
15) A soma de três números em P.A é 18, e o produto
dos termos extremos é 32. Determine os números.
16) Determine o termo de ordem cem de uma P.A.
finita, de primeiro termo – 20 e razão 7.
4.3 - Somas
Em toda progressão aritmetica podemos calcular a soma direta de seus termos utilizando a
fórmula:
Sn =
a1 + an
` a
n
2
ffffffffffffffffffffffff
17) Determine o valor da soma dos 100 primeiros
números inteiros positivos.
números impares positivos
termos da sucessão (10, 13, 16, 19, ...)
20) Determine o valor da soma de todos os múltiplos
de 7 compreendidos entre 10 e 100
21) Determine o número de termos de uma P.A. finita,
de primeiro termo 5 e razão 6, sabendo que a soma de
seus termos é 320.
22) Determine o número de múltiplos de 9
compreendidos entre 100 e 10.000.
23) Determine a soma de todos os múltiplos de 7 que
são maiores do que 100 e menores do que 1000.
24) Numa P.A., a soma dos sete primeiros termos é 7 e
a soma dos doze primeiros termos é 102. Determine o
primeiro termo e a razão.
25) Numa P.A., a soma do terceiro e oitavo termos é
27, e a soma do quinto e nono termos é 18. Calcule a
soma dos dez primeiros termos.
26) Numa P.A., a soma dos cinco primeiros termos é
30 e o terceiro termo é igual à soma dos primeiros
dois. Escreva os cinco termos da P.A.
27) Numa P.A. de onze termos, o primeiro excede o
último em 50. O sexto termo é 36. Calcule a soma dos
seis primeiros termos.
28) Somando o terceiro termo de uma P.A. com o
nono obtemos 44 e somando o sexto com o décimo-
segundo, 62. Determine o centésimo termo dessa P.A.
29) Calcule a soma dos 20 primeiros termos da
sucessão (10, 13, 16, ...).
30) O primeiro termo de uma P.A. é – 10 e a soma dos
oito primeiros termos é 60. A razão dessa P.A. é:
31) Determine o valor de x na soma x + 2x + 3x + ... +
39 x + 40x = 4100.
32) Uma P.A. tem vinte elementos. Seu 1° termo é 1 e a
soma de seus termos é 590. Determine o 15° elemento.
33) P.A. de razão 13 satisfaz a condição de positivo e
menor ou igual a 10. Se um dos termos da progressão
é 35, o valor de a é:
34) Em uma P.A., a soma do terceiro com o sétimo
termo vale 30, e a soma dos doze primeiros termos
vale 216. A razão dessa P.A. é:
35) Um fuzileiro naval corre sempre 500 metros a mais
do que no dia anterior. Sabendo-se que ao final de 15
dias ele correu um total de 67.500 metros, o número
de metros percorridos no 3° dia foi:

Página 32
36) Um pára-quedista em queda livre percorre 3 m no
primeiro segundo, 12 m no segundo, 21 m no terceiro
segundo, e assim por diante. Continuando nessa
seqüência, quantos metros terá percorrido após 10
segundos?
37) As medidas dos lados de um triângulo são
expressas por x + 1, 2x e x² - 5 e estão em P.A, nessa
ordem. Calcule o perímetro do triângulo.
38) Numa progressão aritmética com 51 termos, o 26°
termo é 2. A soma dos termos dessa progressão é:
39) Ao efetuar a soma de cinqüenta parcelas da P.A.
(202, 206, 210, ...), por distração não foi somada a 35ª
parcela. Qual foi a soma encontrada?
40) Quantos são os inteiros positivos múltiplos de 7 e
11 e menores do que 10.000?
41) A média aritmética de 20 números em progressão
aritmética é 60. Retirados os primeiro e último termos
da progressão, a média aritmética dos termos
restantes será:
4.4 – Problemas
42) Um capitão de corveta dispõe seu regimento num triângulo completo, colocando um militar na primeira
linha, dois na segunda, três na terceira e assim por diante. Forma assim um triângulo com 171 militares. Qual é o
número de linhas?
43) (MACK-SP) O trigésimo primeiro termo de uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão 3 é:
a) 63 b) 65 c) 92 d) 95 e) 98
44) (FEI-SP) A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é –12, vale:
a) -5 b) -9 c) -6 d) -7 e) 0
45) O termo geral de uma PA é dado por an = 2n – 1. Então o terceiro termo da PA vale:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 4
46) (UFPA) Numa progressão aritmética, temos a7 = 5 e a15 = 61. Então, a razão pertence ao intervalo:
a) [8,10] b) [6,8[ c) [4,6[ d) [2,4[ e) [0,2[
47) (MACK-SP) O produto das raízes da equação x² + 2x – 3 = 0 é a razão de uma PA de primeiro termo 7. O 100º
termo dessa PA é:
a) -200 b) -304 c) -290 d) -205 e) -191
48) (UFRS) O número de múltiplos de 7 entre 50 e 1206 é:
a) 53 b) 87 c) 100 d) 165 e) 203
49) A razão de uma PA, na qual a3 + a5 = 20 e a4 + a7= 29, vale:
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
50) (CATANDUVA-SP) Se numa PA de 3 termos a soma dos extremos é 12, o termo médio é:
a) 5 b) -5 c) 6 d) -6 e) 0
51) Sabendo que a seqüência ( x, 3x+1, 2x+11 ) é uma PA, a razão dessa PA será:
a) 6 b) 4 c) 9 d) 5 e) 7
52) (PUC - SP) Os lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule-os:
a) 3, 6, 9 b) 6, 9, 12 c) 12, 15, 18 d) 9, 12, 15 e) n.d.a
53) Numa PA de 3 termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440, o primeiro termo pode ser:
a) 5 ou 8 b) 8 ou 11 c) 5 ou 11 d) 4 ou 5 e) 10 ou 11

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54) (UFPR) O perímetro de um triângulo retângulo é 48 cm e seus lados estão em PA. As medidas desses lados
em cm são:
a) 20, 16, 12 b) 18, 16, 14 c) 13, 16, 19 d) 10, 16, 22 e) 26, 16, 6
55) (FGV) A soma dos 50 primeiros termos de uma PA, na qual a6 + a45 = 160, vale:
a) 3480 b) 4000 c) 4320 d) 4200 e) 4500
56) (PUC - RS) Um teatro têm 18 poltronas na primeira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assim na mesma
seqüência , até a vigésima fila que é a última .O número de poltronas desse teatro é:
a) 92 b) 150 c) 1500 d) 132 e) 1320
57) (QOA) Dada a progressão aritmética (a1, a2, a3, ..., a14, a15, a16) onde a8 = 4. Qual o valor de a1 + a15?
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
58) (QOA) Seja (a1, a2, a3, a4, a5, a6) uma progressão aritmética. Qual é o valor de a1, se a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 =126 e
a6 - a1 = 20?
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11
59) (QOA) Uma fragata recem construida foi lançada ao mar obedecendo a um determinado programa de testes
durante 20 dias. No primeiro dia no mar deveria navegar uma certa distancia x; no segundo dia navegar o dobro
do que navegou no primeiro dia; no terceiro dia navegar o triplo do 1° dia; e assim sucessivamente. Ao final de 20
dias, o total navegado nos testes atingiu a marca de 6300 nós. Quantos nós foram navegados no 1° dia de testes?
a) 35 b) 30 c) 25 d) 20 e) 15
60) (QOA) Uma carga de 930 quilogramas de suprimentos deve ser desembarcada da seguinte forma: no primeiro
dia, 50 quilogramas; no segundo dia, 55 quilogramas; no terceiro dia, 60 quilogramas; e assim sucessivamente,
isto é, a cada dia, 5 quilogramas a mais do que no dia anterior. Desta forma, em exatamente quantos dias essa
carga de suprimentos deverá ser desembarcada?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
61) (QOA) Na compra a prazo de um produto, o total pago por urna pessoa foi de R$ 672,00. A entrada teve valor
correspondente a um sexto do total, e o restante foi pago em quatro parcelas, cujos valores formam uma
progressão aritmética crescente de razão R$ 40,00. Qual foi o valor da última prestação?
a) R$ 200,00 b) R$ 205,00 c) R$ 210,00 d) R$ 215,00 e) R$ 220,00
62) (QOA) Em uma progressão aritmética de 37 termos, o décimo nono vale 126. Qual e a soma de todos os seus
termos de ordem impar?
a) 2205 b) 2231 c) 2268 d) 2394 e) 2457

Página 34
UNIDADE 5
ANÁLISE COMBINATÓRIA
5.1 – Introdução:
Análise combinatória é o conjunto de técnicas utilizadas para facilitar grandes cálculos,
técnicas de contagem indiretas de resultados ou ocorrências ou ainda acontecimentos. O
objetivo central deste assunto é aprender como em determinadas vezes podemos prever e
calcular a quantidades de situações finais possíveis sob determinadas condições.
5.2 – Fundamentos:
a) Possibilidades e Escolhas:
Quando temos de realizar escolhas, devemos observar que necessariamente, essas escolhas
podem ser supridas de diversas maneiras, efetuamos as mesmas entre algumas
possibilidades, tendo uma quantidade numérica que representa essas possibilidades.
Ex1:
Observamos que para efetuar a
escolha de viagem nas férias temos
alguns possíveis destinos, mas
vamos pensar quantitativamente
#Viagens = 4
Ex2: #Carros = 6
Observe que quando efetuamos uma escolha de um total de
possibilidades o número total de ocorrências é igual ao número de
possibilidades.
Viajar nas
Férias
Cabo Frio
Angra dos
Reis
Teresópolis
Vassouras
Comprar um carro 0 km entre
R$ 30.000,00 e R$ 40.000,00
Sandero 207 GOL J3 Uno Voyage

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b) Princípio aditivo: #Total = #E1 + #E2
Quando temos Escolhas substitutivas, elas são caracterizadas pelo elemento textual “OU”.
Ex3: Num quartel devemos escolher entre os praças um responsável por uma seção, se temos
10 cabos e 15 sargentos habilitados para tal função, de quantas maneiras podemos escolher 1
cabo ou 1 sargento?
#RESPONSÁVEIS = #CABOS + #SARGENTOS = 10 +15 = 25 POSSÍVEIS RESPONSÁVEIS.
c) Princípio multiplicativo: #Total = #E1 . #E2
Quando temos Escolhas complementares, elas são caracterizadas pelo elemento textual “E”.
Ex4: Num quartel devemos escolher entre os praças uma dupla responsável por uma seção,
se temos 10 cabos e 15 sargentos habilitados para tal função, de quantas maneiras podemos
escolher 1 cabo e 1 sargento para tal função?
#RESPONSÁVEIS = #CABOS x #SARGENTOS = 10.15 = 150 POSSÍVEIS RESPONSÁVEIS.
OBS: Na nossa etapa inicial de estudos a maior parte das situações propostas recairá no
principio multiplicativo.
EXERCÍCIOS
01) Um homem vai a um restaurante disposto a
comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O
cardápio oferece oito pratos de carnes e cinco pratos
diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o
homem fazer a sua refeição?
02) Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas
formas ela pode vestir uma blusa e uma saia?
03) Um homem possui 10 ternos 12 camisas e 5
pares de sapatos. De quantas formas poderá vestir
um terno uma camisa e um par de sapatos?
04) Quantos anagramas podemos formar, batendo
ao acaso em 6 teclas escolhidas em um teclado
alfabético?
05) Quantos números de 3 algarismos podemos
formar com os dígitos 1, 2, 3, 7, e 8?
06) Temos um conjunto de 10 nomes e outro de 20
sobrenomes. Quantas pessoas podem receber um
nome e um sobrenome, com esses elementos?
07) Em um campeonato e futebol, participam 20
times. Quantos resultados são possíveis para os três
primeiros lugares?
08) Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos
tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo
deve assinalar a estação de partida e de chegada
respectivamente?
09) Um cofre possui um disco marcado com os
dígitos 0, 1, 2, ...., 9. O segredo do cofre é composto
por uma seqüência de 3 dígitos distintos Se uma
pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas
deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?
10) Quantos anagramas da palavra PASTEL
começam e terminam por consoante?
11) O grêmio estudantil de uma escola realiza
eleições para preenchimento das vagas de sua
diretoria. Para presidente apresentam-se cinco
candidatos; para vice-presidente, oito candidatos; e
para secretário, seis candidatos. Quantas chapas
podem formar?
5.3 - Fatorial, arranjo e permutação:
a) Fatorial
Produto regressivo de inteiros até a unidade.

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݊! ൌ ݊ ൈ ሺ݊ െ 1ሻ ൈ ሺ݊ െ 2ሻ ൈ … .ൈ 1 Ex5: 6!= 6.5.4.3.2.1 = 720
b) Permutação
Quando as possibilidades vão alternando, mas todos são utilizados. Muito utilizado no
cálculo de anagramas simples.
ܲ௡ ൌ ݊ ൈ ሺ݊ െ 1ሻ ൈ ሺ݊ െ 2ሻ ൈ … .ൈ 1 Ex6: Para 4 pessoas em fila: 4! = 24
c) Arranjo
Formação de seqüências sem repetições.
‫ܣ‬௡,௣ୀ
೙!
ሺ೙ష೛ሻ!
Arranjos de n tomados p a p. Ex7: ‫ܣ‬ହ,ଶ ୀ
ఱ!
ሺఱషమሻ!
ୀ
ఱ!
య!
ୀ ଶ଴
EXERCÍCIOS
12) Calcule:
a) 6! b) 4! c) 8! d) 5! + 3! e)5!.3!
f) ‫ܣ‬ହ,ଶ g) ‫ܣ‬଻,ଷ h) ‫ܣ‬ଵ଴,ଷ
13) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 quantos
números de três algarismos DISTINTOS
existem?
14) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 quantos
números pares de 3 algarismos distintos
podemos formar?
15) Quantos anagramas da palavra FILTRO
começam por consoantes?
16) Quantas palavras distintas podemos
formar com a palavra PERNAMBUCO?
Quantos começam com a silaba PER?
17) Quantos são os anagramas da palavra
BRASIL?
18) Em quantos anagramas da palavra
CAVALO as letras A estão juntas?
19) Usando apenas os algarismos 0, 1, 4, 6 e 8,
Determine a quantidade de números que
podem ser formados?
a) com 3 algarismos?
b) com 4 algarismos distintos?
20) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são
formados números de 4 algarismos distintos.
Dentre eles quantos são divisíveis por 5?
21) Quantos são os números de quatro
algarismos formados somente por algarismos
ímpares?
22) Sabendo que um salão tem cinco portas,
determine o número de maneiras distintas de
entrar nele e sair dele sem usar a mesma porta.
23) Quantos veículos podem ser emplacados
num sistema em que cada placa é formada por
3 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0
a 9)?
24) O número de maneiras através das quais 5
livros distintos podem ser dispostos em uma
estante é:
25) Num ônibus há cinco lugares. Duas
pessoas entram no ônibus. De quantas
maneiras diferentes elas podem se sentar?
26) Dez pessoas, entre elas Antonio e beatriz,
devem ficar em fila. De quantas formas isso
pode ser feito se Antonio e Beatriz devem ficar
sempre juntos?

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5.4 - Combinação:
Usado na formação de subgrupos a partir de um grupo maior.
‫ܥ‬௡,௣ୀ‫ܥ‬௣
௡
ൌ ቀ
௡
௣
ቁ ൌ
௡!
௣!ሺ௡ି௣ሻ!
Combinação de n tomados p a p.
EXERCÍCIOS
27) Efetue:
a) ‫ܥ‬ହ,ଶ b) ‫ܥ‬଼,ସ
c) ‫ܥ‬ଵ଴,ଶ d) ‫ܥ‬ଵ଴,଻
e) ‫ܥ‬ଵହ,ଵଶ f) ‫ܥ‬ଶହ,ଶଶ
28) Quantas duplas de tênis podem ser
formadas a partir de um grupo de 6 pessoas?
29) De quantas maneiras pode-se formar uma
comissão de 3 pessoas escolhidas a partir de
um grupo de 8 pessoas?
30) Com 5 pessoas, quantas comissões
constituídas de 3 pessoas podem ser
formadas?
31) Quantas comissões de quatro membros
podem ser formadas com um conjunto de nove
pessoas?
32) Quantos subconjuntos com 3 elementos
cada um, tem um conjunto com 8 elementos?
33) Tomam-se dez pontos sobre uma
circunferência. Quantos triângulos podemos
construir com vértice nesses pontos?
34) Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças.
Quantos grupos podemos formar, tendo 2
rapazes e 3 moças?
35) Com um grupo de 5 economistas e 6
administradores, quantas comissões de 2
economistas e 3 administradores podem ser
formados?
36) A diretoria de uma firma é constituída por
7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas
comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem
ser formadas?
37) Em um grupo de 15 pessoas existem 5
médicos, 7 engenheiros e 3 advogados.
Quantas comissões de 5 pessoas podemos
formar, cada qual constituída de 2 médicos, 2
engenheiros e 1 advogado?
38) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e
sobre uma reta, paralela à primeira, marcam-se
5 pontos. Quantos triângulos obteremos,
unindo 3 quaisquer desses pontos?
39) Com seis pontos distintos sobre uma reta e
um ponto fora dela, quantos triângulos podem
ser formados?
40) João e Maria fazem parte de um grupo de
15 pessoas. De quantas maneiras é possível
formar um grupo com 5 pessoas, Se João e
Maria devem necessariamente fazer parte
dele?
41) João e Maria fazem parte de um grupo de
15 pessoas. De quantas maneiras é possível

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formar um grupo com 5 pessoas, De modo que
João e Maria NÃO façam parte dele?
5.5 - Permutação com repetição
Usada para formar anagramas a partir de palavras com repetições de letras.
ܲ௡
௔,௕,௖,…
ୀ
௡!
௔!௕!௖!…
5.6 – Permutação circular
Usada para colocar filas em formação circular.
ܲ‫ܥ‬௡ ൌ ሺ݊ െ 1ሻ!
EXERCÍCIOS
42) Quantos são os anagramas da palavras abaixo:
a) CASA b) ARARA
c) NAVAL d) MISSISSIPI
43) De quantas maneiras podem se sentar 4 pessoas
em uma mesa circular?
44) De quantas maneiras podemos formar uma roda
com 10 crianças?
5.7 – Problemas gerais
45) Com os algarismos 0, 1, 2, 4, 5, sem os
repetir, quantos números compreendidos entre
200 e 1000 podemos formar?
46) A diretoria de ensino da Marinha é
composta por 10 almirantes, que podem
ocupar a função de comandante, diretor e
coordenador pedagógico. De quantas maneiras
podemos formar, com os 10 membros, as
posições mencionadas acima?
47) Quer-se escolher um presidente, um
secretário e um tesoureiro para a
administração do clube naval, entre doze
militares igualmente qualificados. De quantas
maneiras a escolha pode ser feita?
48) São dados 12 pontos em um plano, dos
quais cinco e somente cinco estão alinhados.
Quantos triângulos distintos podem ser
formados com vértices em três quaisquer dos
12 pontos?
49) Cinco sargentos e uma oficial pretendem
utilizar um banco de cinco lugares. De quantas
maneiras diferentes podem sentar-se, nunca
ficando em pé a oficial?
50) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e
sobre uma outra reta, paralela à primeira,
marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos
obteremos unindo três quaisquer desses
pontos?
51) Em uma reunião social, cada pessoa
cumprimentou todas as outras havendo ao
todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas havia
na reunião?

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52) Dispomos de 5 cores queremos pintar uma
faixa decorativa com 3 listas, cada uma de uma
cor. De quantas maneiras isso podes ser feito
Se não podemos repetir a mesma cor em
posições adjacentes?
53) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3),
que podemos obter com vértices nos 9 pontos
de uma circunferência, são em número de:
a) 83 b) 84 c) 85 d) 168 e) 169
54) A partir de um grupo de oito pessoas,
quer-se formar uma comissão constituída de
quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se
Arthur e Felipe, que, sabe-se, não se
relacionam um com o outro. Portanto, para
evitar problemas, decidiu-se que esses dois,
juntos, não deveriam participar da comissão a
ser formada. Nessas condições, de quantas
maneiras distintas se podem formar essa
comissão?
a) 70 b) 35 c) 55 d) 45 e) 40
55) (UERJ) Numa cidade, os números
telefônicos não podem começar por zero e têm
oito algarismos, dos quais os quatro primeiros
constituem o prefixo. Considere que os quatro
últimos dígitos de todas as farmácias são 0000
e que o prefixo da farmácia VIVAVIDA é
formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos
e não necessariamente nesta ordem. O número
máximo de tentativas a serem feitas para
identificar o número telefônico completo dessa
farmácia equivale a:
a) 6 b) 24 c) 64 d) 168 e) NDA
56) (UFMG) A partir de um grupo de 8
pessoas, quer se formar uma comissão
constituída de 4 integrantes. Nesse grupo,
incluem-se Gustavo e Danilo que, sabe-se, não
se relacionam um com o outro. Portanto, para
evitar problemas, decidiu-se que esses dois,
juntos, não deveriam participar da comissão a
ser formada.
Nessas condições, de quantas maneiras
distintas se pode formar esta comissão?
a) 70 b) 35 c) 45 d) 55 e) NDA
57) (UNESP) Um certo tipo de código usa
apenas dois símbolos, o número zero (0) e o
número um (1) e, considerando esses símbolos
como letras, podem-se formar palavras. Por
exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas
palavras de uma, duas e três letras desse
código. O número máximo de palavras, com
cinco letras ou menos, que podem ser
formadas com esse código é:
a) 120 b) 62 c) 60 e) 20 f) 10
58) As antigas placas para automóveis, com
duas letras seguidas de quatro algarismos,
foram substituídas por novas com três letras
seguidas de quatro algarismos. Nestas placas,
bem como nas antigas, são utilizadas as 23
letras do alfabeto português, mais as letras K,
W, Y. Quantos carros a mais puderam ser
emplacados com o novo sistema?
59) (FUVEST) Considere todas as trinta e duas
seqüências, com cinco elementos cada uma,
que podem ser formadas com os algarismos 0 e
1. Quantas dessas seqüências possuem pelo
menos três zeros em posições consecutivas?
a) 3 b) 5 c) 8 d) 12 e) 16
60) (MACK) Dentre os anagramas distintos
que podemos formar com n letras, das quais
duas são iguais, 120 apresentam estas duas
letras iguais juntas. O valor de n é:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 122
61) (UFV) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos
de vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja

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combinar 3 desses nutrientes para obter um
composto químico. O número de compostos
que poderão ser preparados usando-se, no
máximo, 2 tipos de sais minerais é:
a) 32 b) 28 c) 34 d) 26 e) 30
62) A figura mostra a planta de um bairro de
uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do
ponto A ao ponto B por um dos percursos mais
curtos. Assim, ela caminhará sempre nos
sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda
para a direita”. O número de percursos
diferentes que essa pessoa poderá fazer de A
até B é:
a) 95 040. b) 40 635. c) 924
d) 792. e) 35.
63) (QOAM) Quantos códigos distintos de cinco
alinhados, pode- se formar utilizando um ou dois
dos sinais: # e § ?
a) 10 b) 20 c) 25 d) 32
e) 40
64) (QOAM) Um cozinheiro dispõe de dois
tipos de arroz, três tipos de feijão, quatro tipos
de carne e cinco tipos de salada. Quantas
opções diferentes tem para fazer uma refeição
em que deverá usar um tipo de arroz , dois
tipos de feijão, dois tipos de carne e três tipos
de salada?
a) 12 b) 120 c) 144 d) 360 e) 1440
65) (QOAM) Um Departamento de uma
determinada OM tem sete Oficiais. De quantas
maneiras distintas pode-se formar uma
representação composta por três desses
Oficiais?
a) 35 b) 70 c) 105 d) 175 e) 210
66) (QOAM) Quantos são os anagramas da
palavra MARINHA?
a) 504 b) 603 c) 840 d) 1260 e) 2520
67) (QOAM) Em uma determinada
organização da Marinha, doze Oficiais
concorrem à tabela de Serviço na Sala de
Estado. Sabendo-se que cada Serviço é tirado
por uma equipe formada por três desses
Oficiais, quantas opções de equipes distintas
podem ser formadas para esse Serviço?
a) 1320 b) 660 c) 132 d) 36 e) 4
68) (QOAM) Em determinada situação,
empregaram-se sinais luminosos para
transmitir o código Morse. Esse código só
emprega dois sinais: ponto e traço. Na situação
mencionada, as palavras transmitidas tinham
de uma a seis letras. Quantas palavras distintas
poderiam ser utilizadas neste caso?
a) 15 b) 30 c) 64 d) 126 e) 720
69) (QOAM) Uma pessoa vai trabalhar usando
cinto e gravata de cores diferentes. Para que
ela possa trabalhar 30 dias com conjuntos

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diferentes, qual e o numero mínimo de pecas
(numero de cintos mais numero de gravatas)
de que precisa?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 17 e) 31
70) (QOAM)Em um congresso cientifico ha 6
físicos e 5 químicos. Quantas comissões de 7
cientistas é possível formar entre eles, de modo
que em cada comissão haja 2 químicos?
a) 440 b) 325 c) 288 d) 120 e) 60
UNIDADE 6
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
6.1 – Conceito
Chama-se de Progressão Geometrica – PG – a toda sequência numérica cujos termos a partir
do segundo, são iguais ao termo anterior multiplicado por uma constante denomindada
razão.
‫ݍ‬ ൌ
ܽ௡
ܽ௡ିଵ
Ex1:
(1, 2, 4, 8, ….) Razão = q = 2 (-2, 6, -12, …) Razão = q = -2 (1, ½, ¼, …) Razão = q =
1/2
6.2 – Termo Geral
Seja uma PG genérica de razão q. De
acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 . q
a3 = a1 . q2
a4 = a1 . q3
Concluimos então que:
ܽ௡ ൌ ܽଵ. ‫ݍ‬௡ିଵ
E tambem:
ܽ௪ ൌ ܽ௞. ‫ݍ‬௪ି௞
EXERCÍCIOS
01) Determine a razão de cada uma das
seguintes Progressões Geométricas:
a) 3, 6, 12, … b) 24, 12, 6, …
c) ½, -1 , 2, …
d) 6, 6√2, 12, 12√2, …
e) 3, 3√2
య
, 3√4
య
, … f) √2, √2
య
, √2
ల
, …
g) √2 െ 1, √2 ൅ 1, 3 ൅ 2√2, …
h) √3 ൅ √2, 3 ൅ √6, 3√3 ൅ 3√2, …

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02) Calcule o que é pedido em cada PG:
a) a3 = 10, q = 2 e a8 = ?
b) a3 = 8, q = √3 e a10 = ?
c) a6 = 12500, q = - 5 e a1 = ?
d) a12 = 5/8, q = ½ e a1 = ?
e) a1 = 6, a6 = 192 e q = ?
f) a3 = 8, a7 = 5000 e q = ?
03) Determine o número de termos da PG
indicada:
a) (2/3, 2, 6, ... ,486) b) (1/9, 1/3, ...,
729)
c) (100, 20, ... , 0,0064) d) (2, 8, 32, ... ,
2048)
e) (1, 5, ... ,3125) f) (0,125; 0,5; ... ;
128)
04) Qual o nono termo da P.G. (1, 2, 4, ...)?
05) A soma de três números em P.G. é 14 e
o produto 64. Determine esses números.
06) Determinar a razão de uma P.G. em
que o primeiro termo é ¼ e o quarto termo
é 2/27.
07) Numa P.G., o sexto termo é 162 e o
quarto termo é 18. Determine o primeiro
termo e a razão.
08) Numa P.G., o sétimo termo é 3/32 e a
razão é ½. Determine o primeiro termo.
09) Quantos termos tem uma P.G. cujo
primeiro termo é ½, a razão é 2 e o último
termo é 128?
10) Numa P.G., a soma dos segundo e
terceiro termos é 96, e a dos primeiro e
terceiro é 80. Determine o quinto termo.
11) Três números positivos estão em P.G.,
e sua soma é 126. Sabendo que o maior
excede a soma dos outros dois de 66,
determine os números.
12) Numa P.G. de termos positivos, a
soma dos dois primeiros é 9 e a soma dos
dois seguintes é 36. Escreva os quatro
termos da P.G.
13) A soma de três números em P.G.
crescente é 26 e o termo do meio é 6. Qual
o maior desses números?
14) Sabendo que, numa P.G. de cinco
termos, o 1° termo é 4 e o último é 324,
determine a razão dessa P.G.
15) Numa P.G., o 5° termo é igual a 243.
Calcule o seu 1° termo, sabendo que ele é
igual à razão.
16) Quantos meios geométricos devemos
inserir entre 2 e 1024 de modo que a razão
de interpolação seja 2?
17) Se numa Progressão Geométrica, de
termos positivos, o terceiro termo é igual à
metade da razão, o produto dos três
primeiros termos é igual a:
18) Num programa de condicionamento
físico, um atleta nada sempre o dobro do
dia anterior. Se no 1° dia ele nadou 25m,
quanto ele nadará no 6° dia?3
19) Quantos termos tem a P.G. ሺ3√2,
3, … , 3√2
16
ൗ ሻ?

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20) Sabendo que a sucessão (x – 1, x + 1, x +
4, ...) é uma P.G., calcule o seu quarto
termo.
21) Se a seqüência (x, 3x + 2, 10x + 12) é
uma P.G., calcule o valor de x.
22) Determine x, sabendo que (x – 4, x – 1,
2x – 2) é uma P.G.
23) Qual é o número que se deve
acrescentar aos termos da seqüência (-1, 3,
15) para se obter uma P.G.?
6.3 – Soma Infinita
Tambem conhecida como soma
convergente ocorre quando 0 < q < 1 e
݊ ൌ ∞.
ܵஶ ൌ
ܽଵ
1 െ ‫ݍ‬
6.4 – Soma Finita
Cálculo da soma dos termos de uma PG
finita qualquer.
ܵ௡ ൌ
ܽଵ. ሺ‫ݍ‬௡
െ 1ሻ
‫ݍ‬ െ 1
EXERCÍCIOS
24) Calcule a soma da série infinita 2/3 + 2/9 +
2/27 + ...
25) Resolva a equação x + x/2 + x/4 + x/8 + ... = 48
26) No primeiro teste da Loto apostei R$ 2,00 e,
sem acertar, fui sempre dobrando as apostas
nos testes seguintes. Qual o meu prejuízo total
após o décimo teste? R.: R$ 2.046,00
27) Resolva a equação x/8 + x/4 + ... + 32 x =
511/2.
28) Sendo x + x/3 + x/9 + ... = 3 e y + 2y + 3y + ...
+ 39y + 40y = 4100. Quanto vale a razão y/x³?
29) A soma dos “infinitos” termos de uma P.G.
é 4 e a soma dos dois primeiros termos da P.G.
é 15/4. Determine os três primeiros termos da
P.G.
30) Sabendo que, numa P.G., o primeiro termo
é 1/20 e que a razão vale 2, Qual a soma dos
oito primeiros termos?
31) Considere uma P.G. em que o 3° termo é 40
e o 6° é – 320. Sabendo que a razão é negativa,
determine a soma dos oito primeiros termos.
32) O 7° termo de uma P.G. é 8 e a razão é – 2.
Determine a soma dos três primeiros termos
dessa progressão.
33) Considere a P.G. (3, 12, ...). Se somarmos os
n primeiros termos dessa P.G., encontraremos
4.095. Determine n.
34) Quantos termos devemos tomar na P.G. (3,
6, 12, ...) para que a soma seja 381?
35) Qual o primeiro termo de uma P.G. de 7
termos, razão 2 e soma dos termos 508?
36) Um vazamento em um tanque de óleo de
uma corveta provocou a perda de 2 litros no 1°
dia. Como o orifício responsável pelas perdas foi
aumentando, no dia seguinte o vazamento foi o
dobro do dia anterior. Se essa perda foi dobrando
a cada dia, quantos litros de óleo foram
desperdiçados no total, após o 10° dia?

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37) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro
ao solo, de uma altura h. Cada vez que bate no
solo, ela sobe até a metade da altura de que caiu.
Determine a distância total percorrida pela bola
em sua trajetória, até atingir o repouso.
38) Determinar a soma dos termos da P.G. (1, 4,
16, ..., 1024).
39) Hoje a Marinha do Brasil qualifica
anualmente 20.000 militares e, a cada ano, deve
qualificar 30% a mais do que no ano anterior,
como meta para os próximos 5 anos. Quantos
militares serão qualificados no quinto ano para
atender a meta?
40) (MACK) Sabendo-se que x, x + 9 e x+45 estão
em P.G. determine o valor de x.
41)A soma de três números em P.G. é 21 e o
produto é 216. Escreva a P.G.
42) (ITA) Suponha que os números 2, x, y, 1458
estão em PG, nessa ordem. O valor de x + y é: a)
90 b) 100 c) 180 d) 360 e) 1460
43) (UFPR) Calcular a razão de uma PG,
sabendo-se que o seu 1º termo é o dobro da razão
e que a soma dos dois primeiros termos é 24
a)4 ou –3 b)–4 ou 3 c)5 ou 3 d)–5 ou 3 e) n. d. a.
44)Numa PG, a soma do 3º com o 5º termo é 60 e
a soma do 7º com o 9º termo é 960. O 1º termo da
PG vale:
a) 3 ou –3 b) 2 c) 2 ou –2 d) 3 e) n. d. a.
45) (UFPR) A soma de três números reais é 5 e
seu produto é 1. Calcular esses números, sabendo
que eles são termos consecutivos em progressão
geométrica.
46) Calcule o valor de x na expressão x + 3x + 9x
+ ......+ 729x = 5465.
47) (UFV) Uma bactéria de determinada espécie
divide-se em duas a cada duas horas. Depois de
24 horas, qual será o número de bactérias
originadas de uma bactéria?
a) 1024 b) 2 c) 4096 d) 12 e) 16777216 4
48) (Unifor-CE) Um turista anotou diariamente,
por 5 dias, seus gastos na compra de artesanato e
percebeu que essas quantias formavam uma
progressão geométrica de razão 2. Se o gasto total
foi de R$ 465,00, a maior quantia gasta em um dia
na compra de artesanato foi:
a) R$ 202,00 b) R$ 208,00 c) R$ 210,00
d) R$ 225,00 e) R$ 240,00
49) (UCDB-DF) Na segunda-feira, uma garota
conta um segredo a três amigas. Na terça feira,
cada uma dessas amigas conta esse segredo a três
outras amigas. E assim, a cada dia, no decorrer
da semana, as garotas que ouviram o segredo no
dia anterior, contam-no a três outras amigas. No
final da sexta-feira dessa semana, o número de
garotas que conhecem o segredo é igual a:
a) 82 b) 121 c) 244 d) 364 e) 1090
50) (PUC-SP) O 3° e o 7° termos de uma PG
valem, respectivamente, 10 e 18. O 5° termo dessa
PG é: a)14 b) 30 c) 27 d) 65 e) 30
51) (ANGLO) Numa progressão geométrica de
termos positivos, o limite da soma dos infinitos
termos é igual ao triplo do primeiro termo. A
razão é igual a:
a)1/2 b)1/3 c)1/4 d)2/3 e) 3/4
52) (FUVEST) O quinto e o sétimo termo de uma
P.G. de razão positiva valem respectivamente 10
e 16. O sexto termo desta P.G. é:
a)13 b) 10 c) 4 d) 41 e) 400
53) (QOAM) Um oficial , que comanda três mil
homens, recebe uma mensagem e a transmite a
dois de seus homens, que por sua vez a
transmitem a dois outros homens cada um e
assim sucessivamente, isto é, cada um que recebe

Página 45
a mensagem, a transmite para outros dois.
Considerando que o tempo gasto por cada um
para passar a mensagem para os outros dois é de
um minuto, em quantos minutos todos estarão
cientes da mensagem?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
54) (QOAM) A Marinha de um determinado país
tem, em estoque, 1.024.000 peças de reposição da
marca X para um certo equipamento. Decidiu-se
que, a cada seis meses, 75% do estoque do
período anterior seria substituído por peças da
marca Y do mesmo tipo, sendo que mais
modernas, até que das 1.024.000 de peças da
marca X só restassem 1.000 peças. Quantos anos
esse processo de substituição levará?
a) 4 b) 3,5 c) 3 d) 2,5 e) 2
55) (QOAM) Qual é o décimo termo da
progressão geométrica ( 2
6p
wwwwwwwwwwwwwwwww
, 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
, . . . .) ?
a) 2 2
6p
wwwwwwwwwwwwwwwww
b) 4 2
6p
wwwwwwwwwwwwwwwww
c) 8 2
6p
wwwwwwwwwwwwwwwww
d) 16 2
6p
wwwwwwwwwwwwwwwww
e) 32 2
6p
wwwwwwwwwwwwwwwww
56) (QOAM) Sabe-se que , , e
x são, nessa ordem, três termos consecutivos de
uma progressão geometrica, logo x é igual a:
a) b) c)
d) e)

Página 46
UNIDADE 7
GEOMETRIA ANALÍTICA
7.1 – Ponto
Tem duas projeções: uma no eixo “x”(abscissa) e outra
no eixo “y”(ordenada), juntos formam a coordenada
do ponto: A (xA; yA).
7.2 – Distância entre pontos
A distância que liga dois pontos pode ser calculada pela fórmula:
‫ܦ‬஺஻ ൌ ඥሺ‫ݔ‬஺ െ ‫ݔ‬஻ሻଶ ൅ ሺ‫ݕ‬஺ െ ‫ݕ‬஻ሻଶ
7.3 – Ponto Médio
É aquele de divide um segmento
qualquer em duas partes iguais.
‫ݔ‬ெ ൌ
‫ݔ‬஺ ൅ ‫ݔ‬஻
2
‫ݕ‬ெ ൌ
‫ݕ‬஺ ൅ ‫ݕ‬஻
2

Página 47
7.4 - Reta
O próximo elemento da geometria é a reta, que a principio ligamos a equação de duas
variáveis.
Equação geral: ܽ‫ݔ‬ ൅ ܾ‫ݕ‬ ൅ ܿ ൌ 0 Equação reduzida: ‫ݕ‬ ൌ ݉‫ݔ‬ ൅ ݊
Lembrando que ݉ ൌ
∆೤
∆ೣ
ൌ
௬ି௬ು
௫ି௫ು
EXERCÍCIOS
01) Represente os pontos no sistema cartesiano abaixo representado:

Página 48
A(3; 5) B(-2; 3) C(-3; -3) D(7; 2) E(6; -3) F(2; -2) G(-2; 3)
H(-2; 0) I(0; -3) J(0; 0) L(0; 6) M(4; 0) N(0; -3) O(-3/2; 2)
02) Calcule a distância entre os pontos:
a) A 6, 3
b c
e B 4, 4
b c
b) C @ 2, 3
b c
e D 2, @ 1
b c
c) P 0, 1
b c
e Q 6, @1
b c
03) Determine os valores de x para os quais a
distância entre os pontos A x + 2 , 3
b c
e
B 3, x @3
b c
é 5.
04) Calcule o perímetro do triangulo ABC,
Sendo A @2, 4
b c
, B @5, 1
b c
e C @6, 5
b c
verificando a natureza do triangulo.
05) Os pontos A 1, 3
b c
e C 6, @2
b c
são
extremidades de uma diagonal de um
quadrado. Calcule:
a) O lado do quadrado b) A área do
quadrado
06) Os pontos A 3, 4
b c
e B 1, @2
b c
são
eqüidistantes de P(0, y). Determine y.
07) Calcule em cada caso as coordenadas do
ponto médio em cada caso:
a) A 4, 3
b c
e B 8, 11
b c
b) A @4, @7
b c
e B 4, @ 4
b c
c) A 6, 1
b c
e B @6, 1
b c
d) A
3
2
fffff
, @2
h
j
i
ke B 7,
1
2
fffff
h
j
i
k
08) Seja o segmento AB, cujo ponto médio P
tem abscissa 6 e ordenada 3. Sendo
B @ 1 , @ 2
b c
, encontre as coordenadas de A.
09) Num paralelogramo ABCD tem-se que
A @3, 5
b c
, B 1, 7
b c
e C 5, @1
b c
. Determine o
ponto D.

Página 49
10) Determine Calcule a medida da mediana
relativa ao vértice A do triangulo ABC.
Dados A(0, 1),B(2, 9) e C(6, -1)
11) Verifique se a reta r
` a
=3x @4y@2 =0 passa
pelos pontos:
a) O (0, 0) b) P (-1, 0) c) Q (4, 5/2)
12) Ache em cada caso as equações gerais e
reduzidas das retas que passam pelos pontos:
a) (1, 3) e (2, 5) b) (0, 0) e (-2, 4)
c) (-1, 0) e (0, -2) d) (1, 2) e (7, 6)
7.5 – Relação entre retas
Duas retas podem se relacionar sendo:
a) Coincidentes: Quando as
duas ilustram a uma mesma
reta.
ܽଵ
ܽଶ
ൌ
ܾଵ
ܾଶ
ൌ
ܿଵ
ܿଶ
b) Paralelas: Quando nunca
se encontram.
ܽଵ
ܽଶ
ൌ
ܾଵ
ܾଶ
്
ܿଵ
ܿଶ
c) Concorrentes: Se
encontram em um ponto.
ܽଵ
ܽଶ
്
ܾଵ
ܾଶ
OBS: Existe uma situação especial, se as retas são perpendiculares: ܽଵ. ܽଶ ൅ ܾଵ. ܾଶ ൌ 0
7.6 – Relação entre ponto e reta
Se um ponto pertence a reta as suas coordenadas são soluções de sua equação, caso contrario
ele esta fora desta reta e dista um valor que pode ser calculado.
݀ ൌ ฬ
ܽ‫ݔ‬௉ ൅ ܾ‫ݕ‬௉ ൅ ܿ
√ܽଶ ൅ ܾଶ
ฬ
7.7 – Áreas de figuras planas
Região interna de uma figura qualquer.
Á‫ܽ݁ݎ‬ ൌ
ቚ
‫ݔ‬ଵ ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଵ ‫ݔ‬ଶ
…
‫ݔ‬௡ ‫ݔ‬ଵ
‫ݕ‬௡ ‫ݕ‬ଵ
ቚ
2

Página 50
7.8 – Ângulo entre retas ࢚ࢇ࢔ࣂ ൌ ቚ
ࢇ૚࢈૛ିࢇ૛࢈૚
ࢇ૚ࢇ૛ା࢈૚࢈૛
ቚ
EXERCÍCIOS
13) Determine o ponto de interseção de r e s nos
casos:
a)
x + y + 7 =0
2x@y + 2 =0
X

Z
b)
3x@y + 5 =0
2x + 3y@2 =0
X

Z
14) Verifique se as retas r e s são coincidentes,
concorrentes ou paralelas em cada caso:
a)
r
` a
3x@y@2 =0
s
` a
6x@2y@4 =0
X

Z
b)
r
` a
2x + 3y + 5 =0
s
` a
4x + 6y + 15 =0
X

Z
c)
r
` a
x + 4y@4 =0
s
` a
2x + 6y@11 =0
X

Z
d)
r
` a
4x + 8y + 9 =0
s
` a
3x + 6y + 7 =0
X

Z
15) Determine a equação geral da reta que passa
por P e tem coeficiente angular m em cada caso:
a) P(2, 3) e m = -1/2
b) P(5, -2) e m = 2
16) Obter a reta paralela a (r) passando pelo
ponto P em cada caso:
a) r
` a
3x + 4y + 5 =0 e P @1, @2
b c
b) r
` a
7x + 2y + 1 =0 e P 3, @2
b c
c) r
` a x
2
fffff
+
y
3
fffff
=1 e P
1
2
fffff
, 0
h
j
i
k
d) r
` a
x + 4y + 50 =0 e P 3, 7
b c
17) Obter a reta perpendicular a (r) passando
pelo ponto P em cada caso:
a) r
` a
3x + 4y + 5 =0 e P @1, @2
b c
b) r
` a
7x@2y + 5 =0 e P 2, 0
b c
18) Calcule a distancia entre P e (r) em cada caso:
a) r
` a
4x + 3y + 10 = 0 e P 5, @ 5
b c
b) r
` a
6x@8y@13 =0 e P 4, 2
b c
c) r
` a
2x + y =0 e P 3, @1
b c
d) r
` a
2x + 3y =1 e P @ 6, 0
b c
19) Determine a área do triangulo que os eixos
coordenados formam com a reta 4x + 5y@80 =0.
20) Verifique em cada caso se os pontos estão
alinhados:
a) A 3, @3
b c
, B 8, 11
b c
e C 2, @6
b c
b) A 1, @1
b c
, B 4, @12
b c
e C @1, 5
b c
21) Calcule a áreas dos triângulos cujos vértices
são dados abaixo:
a) A 0, 0
b c
, B 5, 4
b c
e C 3,8
b c
b) A @3, @2
b c
, B 5, 4
b c
e C 2,7
b c
22) Dados A(2 , 2), B(6 , 2) e C(4 , 5), qual a
medida da altura relativa ao vértice C do
triângulo ABC?
23) Calcule a área do triângulo de vértices A(0 ,
0), B(2 , 2) e C(4 , 1).
24) O triângulo de vértices A(1 , 3), B(x , 2) e C( 4
, 1) têm 2 cm² de área. Determine x.
25) Calcule a área do quadrilátero de vértices A(1
, 0), B(5 , 0), C(4 , 2) e D(0 , 3).
26) A área do pentágono de vértices (0 , 0), (2 , 0),
(2 , 2), (1 , 3) e (0 , 2) vale:
27) Quais os pontos de interseção da reta 2x – 3y
– 6 = 0 com os eixos Ox e Oy?
28) Encontrar a reta que passa interseção das
retas 2x + y –2=0, x = 5y + 23 e pelo ponto médio
do segmento de extremidades (5 , -6) e (-1 , -4).

Página 51
29) Determine o coeficiente angular da reta que
passa pelos pontos A(4 , 1) e B(1 , 4).
30) Determine o coeficiente angular da reta, cuja
equação geral é 3x – 4y – 7 = 0.
31) Qual a equação da reta com coeficiente
angular -4/5 que passa pelo ponto P(2 , -5)?
32) Obtenha a equação geral da reta r que passa
por P(-3 , 5) e é paralela à reta s: 3x + y – 1 = 0.
33) Determine a equação da reta que passa pela
origem e é paralela à reta, cuja a equação é 2x –
3y + 7 = 0.
34) Determine k para que as retas r: 3x + y – 3 = 0
e s: kx + y + 5 = 0 sejam paralelas:
35) Encontre m para que as retas r: 2x + my – 2 =
0 e s: x + y + 7 = 0 sejam paralelas.
36) Determine a equação da reta r que passa por
A(-2 , 2) e é perpendicular a s: x + 3y – 5 = 0.
37) Determine m de modo que as retas r: mx + y
– 3 = 0 e s: x – y + 1 = 0 sejam perpendiculares.
38) Encontre a equação da reta r perpendicular a
s: 3x + 2y – 5 = 0 e que passa por P(1 , -1).
39) Calcule a distância da origem à reta r: 4x + 3y
– 5 = 0.
40) Determine a distância entre as retas paralelas
r: 4x – 3y + 1 = 0 e s: 4x – 3y + 11 = 0.
41) Qual o ângulo agudo formado pelas retas 2x –
y + 2 = 0 e 3x + y + 1 = 0 ?
42) Se os pontos A(2 , -1), B(x , 4) e C(4 , 9)
pertencem a uma mesma reta, determine x.
43) Se um triângulo tem como vértices os pontos
A(2 , 3), B(4 , 1) e C(6 , 7), determine uma equação
geral da reta suporte da mediana relativa ao lado
BC.
44) Calcule a área do triângulo de vértices A(0 ,
0), B(2 , 2) e C(4 , 1).
45) A equação da mediatriz de AB, sendo A(1 , -
2) e B(3 , 5), é:
46) Calcule a área do quadrilátero de vértices A(1
, 0), B(5 , 0), C(4 , 2) e D(0 , 3).
47) Os pontos (2 , 3) e (6 , 7) são os extremos da
diagonal de um quadrado. A reta suporte da
outra diagonal é:
48) (FEI) As retas 2x - y = 3 e 2x + ay = 5 são
perpendiculares. Então:
a) a = -1 b) a = 1 c) a = -4
d) a = 4 e) n.d.a.
49) Determinar a reta perpendicular a 2x - 5y - 3 =
0 pelo ponto P(-2; 3).
50) (USP) A equação da reta que passa pelo
ponto (3 ; 4) e é paralela à bissetriz do 2°
quadrante é:
a) y = z – 1 b) x + y - 7 = 0 c) y = x + 7
d) 3x + 6y = 3 e) n.d.a.
51) As retas (r) 2x + 7y = 3 e (s) 3x - 2y = -8 se
cortam num ponto P. Achar a equação da reta
perpendicular a r pelo ponto P.
52) As retas 3x + 2y - 1 = 0 e -4x + 6y - 10 = 0 são:
a) paralelas b) coincidentes c) perpendiculares
d) concorrentes e não perpendiculares e) n.d.a.
53) Determinar a reta perpendicular à reta de
equação x + 2y - 3 = 0 no seu ponto de abscissa
igual a 5.

Página 52
54) (USP) A equação da reta passando pela
origem e paralela à reta determinada pelos
pontos A(2; 3) e B(1; -4) é:
a) y = x b) y = 3x – 4 c) x = 7y
d) y = 7 e) n.d.a
55) Determinar a equação da mediatriz do
segmento de extremos A(-3; 1) e B(5; 7).
56) O perímetro do triângulo ABC dados A (-1,
1), B (4, 13) e C (-1, 13) é:
a) 30 b) 15 c) 17 d) 25 e) 22
57) O valor real de x para que o triângulo
formado pelos pontos A (-1, 1), B (2, 5) e C (x, 2)
seja retângulo em B é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e)-4
58) A distância do ponto A(-1,2) ao ponto B(2,6)
é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7p
wwwwwwwwwwwwwwwww
59) (PUC - SP) Sendo A (3, 1) B (4, -4) e C (-2, 2)
vértices de um triângulo, então esse triângulo é:
a) retângulo e não isósceles
b) retângulo e isósceles
c) eqüilátero
d) isósceles e não retângulo
e) escaleno e não retângulo
60) A soma das coordenadas do ponto médio do
segmento de extremidades ( -1, 4 ) e ( 3, 10 ) é:
a) 16 b) 18 c) 10 d) 8 e) 6
61) A equação da reta que passa pela origem e
pelo ponto A ( 2, 5 ) é :
a) y = 2x b) y = 5x/2 c) y = x/2
d) y = x/5 e) y + x = 0
62) A reta que passa pelos pontos A (1, 2) e B (-1,
6) intercepta o eixo das abscissas no ponto:
a) ( 1, 0 ) b) ( 2, 0 ) c) ( 0, 2 ) d) ( -2, 0 ) e) ( -1, 0 )
63) Dados os ponto A (1, 1) , B (3, 0) e C (-1, 2)
podemos afirmar que :
a) Os pontos estão alinhados
b) os pontos formam um triângulo retângulo
c) os pontos formam um triângulo de área igual a 6
d) os pontos pertencem a uma reta de coeficientes
angular -2
e) os pontos formam um triângulo isósceles.
64) O valor de m para que a reta de equação m.x
+ y - 2 = 0 passe pelo ponto A ( 1, -8 ) é:
a) 10 b) -10 c) 6 d) -6 e) -1/8
65) ( PUC - SP ) As retas 2x + 3y = 11 e x - 3y = 1
passam pelo ponto ( a, b ). Então a + b vale:
a) 4 b) 5 c) 6 d) -4 e) 3
66) O valor de y, para qual e distância do ponto
A (1, 0) ao ponto B ( 5, y ) seja 5 é:
a) 3 b) 4 c)3 d) 2 e) -1
67) (QOAM) Um oficial recebeu uma carta
geográfica assinalada com os quatro vértices
onde estão colocados os marcos que delimitam
um território quadrangular sob a
responsabilidade da sua unidade. Sabendo- se
que as coordenadas desses vértices são
respectivamente: (1, 2); (3, 9); (10, 10); (12, 3) e
que cada unidade de área da carta geográfica
corresponde a 10 metros quadrados, qual é a
área, em metros quadrados, desse território?
a) 1450 b) 1300 c) 1260
d) 660 e) 630
68) (QOAM) Deseja- se esticar um cabo de aço
de um ponto R até um ponto S, ambos de um
mesmo terreno. De acordo com o referencial
estabelecido em um mapa, os pontos R e S têm,
respectivamente, as coordenadas (-7, 4) e (5, 9).
Qual é a medida em metros desse cabo, sem
considerar o necessário para as amarrações,
sabendo- se que cada unidade do referencial
corresponde a dois metros no terreno?
a) 26 b) 17 c) 13 d) 8,5 e) 6,5
69) (QOAM) Os pontos de coordenadas (1, 2) e
(9,8) faziam parte da trajetória retilínea de um

Página 53
navio, que foi afundado por um torpedo lançado
do ponto de coordenadas (15, 5). Sabendo-se que
o torpedo percorreu a menor distância possível,
conclui-se que tal distância,na mesma unidade
das coordenadas, é igual a
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6
70) (QOAM) Num mapa estão assinaladas três
ilhas A, B e C, cujas coordenadas são
respectivamente iguais a (3;-5), (3;3) e (9;-5).
Quais são as coordenadas do ponto P, desse
mapa, no qual se deve situar um navio patrulha,
de modo que a distância desse ponto P para cada
uma dessas ilhas A, B e C seja a mesma?
a) (6, -1) b) (5, -7/3) c) (6, -7/3)
d) (5, -1) e) (3,4)
71) (QOAM) Uma coluna de Fuzileiros Navais
deve ir de um ponto A de coordenadas (2, 5) para
um ponto B coordenadas (5, 11). Para que essa
coluna realize um percurso AMB em linha reta,
as coordenadas do ponto M podem ser:
a) (3, 7) b) (3, 9) c) (4, 7) d) (4, 8) e) (4, 10)
72) (QOAM) Em um mapa, as extremidades de
um túnel reto são os pontos de coordenadas (-3,
2) e (5, -4). Se cada unidade do mapa corresponde
a 30 metros no terreno, qual é a extensão, em
metros, desse túnel?
a) 480 b) 420 c) 360 d) 300 e) 240
73) (QOAM) A rota de um navio A é dada pela
reta r: 2x + 2y = 3 e a de um navio B pela reta s: 2x
+ y = 6. É correto afirmar que, no mapa, essas
rotas:
a) Se cruzam num ponto do 1º quadrante.
b) Se cruzam num ponto do 2º quadrante.
c) Se cruzam num ponto do 3º quadrante.
d) Se cruzam num ponto do 4º quadrante.
e) Nunca se cruzam.
74)(QOAM) As retas x + ky – 3 = 0 e 2x – y + 5 = 0
são paralelas, se k for igual a
a) -2 b) -0,5 c) 0,5 d) 2 e) 8
75) (QOAM) Os pontos (0, 8), (3, 1) e (1, y) do
plano são colineares. Qual é o valor de y?
a) 5 b) 5,3 c) 5,5 d) 5,666... e) 6
76) (QOAM) Qual o valor de m para que as retas
2x + 5y – 10 = 0 e 3x + my - 11 = 0 sejam paralelas?
a) 2/15 b) 5/3 c) 5/2 d) 15/4 e) 15/2
77) (QOAM) A reta r : 3x + 4y - 12 = 0 do plano
cartesiano forma com os eixos coordenados um
triângulo cuja area, em unidades de área, vale:
a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e)12

Página 54
UNIDADE 8
TRIGONOMETRIA
8.1 – Sistemas de medidas angulares
Ângulo: por definição entendemos como sendo a região formada na abertura entre dois
segmentos de retas.
Sistemas de medidas:
Sexagesimal: uma volta tem 360° (graus)
Radianos: uma volta tem 2ߨ rad (radianos)
Grados: uma volta tem 200 g (grados)
EXERCÍCIOS
01) Passe para graus:
a) ߨ
4ൗ rad
b) 2ߨ
3ൗ rad
c) 50 g
d) 150 g
02) Passe para radianos:
a) 30°
b) 135°
c) 15 g
d) 80 g
03) Passe grados:
a) 5ߨ
4ൗ rad
b) 5ߨ
3ൗ rad
c) 60°
d) 135°
8.2 – Comprimento da circunferência
Circunferência é a linha que tem a propriedade de equidistar do centro.
Arco é um “pedaço” dessa circunferencia.
‫ܥ‬ ൌ 2. ߨ. ‫ݎ‬
‫ܥ‬௔௥௖௢ ൌ
ଶ.గ.௥.ఈ
ଷ଺଴
com ∝ em graus. ‫ܥ‬௔௥௖௢ ൌ ߠ. ܴ com ߠ em radianos.
EXERCÍCIOS
04) Calcule o comprimento:
a) De uma circunferencia de raio 12 cm.
b) De um arco de 120° de uma circunferência de de raio 15 cm.
c) De uma roda de raio 40 cm.
d) De um pneu cujo diametro é de 60cm.
e) De uma curva com formato de arco medindo 30° e raio 60m.
f) De um arco que mede 4 raidaons e cujo raio é de 15 metros.

Página 55
8.3 – Círculo trigonométrico
Através dele podemos determinar o seno e o cosseno de diversos angulos.
a) Relações principais: Localização e sinal do seno e cosseno.
1º Quadrante 2º Quadrante
+=)(xsen +=)(xsen
+=)cos(x −=)cos(x
3º Quadrante 4º Quadrante
−=)(xsen −=)(xsen
−=)cos(x +=)cos(x
b) Redução ao primeiro quadrante: Dividindo o ângulo por 360 descobrimos seu “ponto de
parada”. Para isso basta seguir as 4 relações de equivalencia acima apresentadas.
c) Redução a primeira volta: Todo ângulo pode ser representado na primeira volta.

Página 56
EXERCÍCIOS
05) Determine o valor de:
a) Sen 120° =
b) Sen 210° =
c) Sen 315° =
d) ܵ݁݊ 150° =
e) ܵ݁݊ 150° =
f) Cos 135° =
g) Cos 240° =
h) Cos 330° =
i) ܵ݁݊ ߨ
6ൗ =
j) ܵ݁݊ 3ߨ
4ൗ =
l) ܵ݁݊ െ 150° =
m) ‫ݏ݋ܥ‬ െ 300° =
n) Sen 0° =
o) Cos 0° =
p) Sen 90° =
q) Cos 90° =
r) Sen 180° =
s) Cos 180° =
t) Sen 270° =
u) Cos 270 =
v) Sen 360° =
x) Cos 360° =
z) Sen 510° =
8.4 – Expressões e relações auxiliares:
Relação fundamental da trigonometria ܵ݁݊ଶሺ‫ݔ‬ሻ ൅ ‫ݏ݋ܥ‬ଶሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 1
Relações importantes:
Tangente
)cos(
)(
)tan(
x
xsen
x =
Secante
)cos(
1
)sec(
x
x =
Cossecante
)(
1
)sec(cos
xsen
x =
Cotangente
)(
)cos(
)(cot
xsen
x
xan =
EXERCÍCIOS
06) Se x está no terceiro quadrante e tan(x)=3/4, calcular o valor de cossec(x).
07) Determine o valor de sec(4290°)
08) Determine o valor de cossec(9ߨ/4).
09) Sendo Cos(x) = 4/ 5 e x pertencendo ao 4° quadrante, calcule Sen(x).
10) Sendo Sen(x) = -1/3, com ߨ ൏ ‫ݔ‬ ൏
ଷగ
ଶ
, ache Cos(x).
11) Sendo Tg(x) = -3, com x no 2° quadrante , Calcule as demais relações trigonometricas.
12) Encontre o seno, a secante, e a cotangente do arco x do segundo quadrante cujo cosseno
vale –

Página 57
0,6.
13) Sendo cossec(x) = -5/3, com x no terceiro quadrante, calcule tg(x).
8.5 – Soma de arcos
)cos()()cos()()( absenbasenbasen +=+
)cos()()cos()()( absenbasenbasen −=−
)()()cos()cos()cos( bsenasenbaba −=+
)()()cos()cos()cos( bsenasenbaba +=−
)tan().tan(1
)tan()tan(
)tan(
ba
ba
ba
−
+
=+
)tan().tan(1
)tan()tan(
)tan(
ba
ba
ba
+
−
=−
Arcos duplos
)cos()(2)2( aasenasen =
)()(cos)2cos( 22
asenaa −=
)(tan1
)tan(.2
)tan( 2
a
a
ba
−
=+
EXERCÍCIOS
14) Calcular:
a) Sen 15° = b) Cos 15° = c) Tan 15° =
d) Sen 75° = e) Cos 75° = f) Tan 75° =
g) Sen 105° = h) Cos 105° = i) Tan 105° =
________________________________________________________________________________

Página 58
15) Se cos(a)= -3/5 e sen(b) = 1/3, com a
pertencente ao 3° quadrante e b
pertencente ao 2° quadrante, calcular:
a) Sen(a+b) = b) Sen(a-b) =
c) Cos(a+b) = d) Cos(a-b) =
d) Tan(a+b) = e) Tan(a-b) =
f) Sen(2a) = g) Cos(2b) =
h) Tan(a-b) = i) Tan(a+b)
16) Sendo 6/5)( =xsen e 0)cos( <x ,
obtenha )2( xsen .
17) Dada 2/5)sec(cos =x e 0)cos( <x ,
obtenha )2cos( x .
18) (UEMG) Deseja-se plantar árvores em volta
de uma praça circular com 68 metros de raio.
As árvores deverão estar a uma distância
aproximada de 7 metros uma da outra. O
número máximo de árvores a serem plantadas
nesta praça é igual a
a) 61 b) 45 c) 72 d) 80
19) (Fatec) Em um motor há duas polias
ligadas por uma correia, de acordo com o
esquema abaixo.
Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância
entre seus centros é 30 cm, qual das medidas
abaixo mais se aproxima do comprimento da
correia? a) 122,8cm b) 102,4cm
c) 92,8cm d) 50cm e) 32,4 cm
20) (UFPB) Enquanto conversavam sobre
matemática, Vicente perguntou ao Ronaldo:
“Se meu carro tem rodas de 0,35m de raio,
quantas voltas dará uma delas num percurso
de 70π m?”. A resposta correta será:
a) 100 b) 101 c) 112 d) 125 e) 198
21) (UFMG) A medida em graus, de um
ângulo que mede 4,5 radianos é:
a)
π
4,5
b) 4,5π c)
π
810
d) 810 e) 810π
22) (Fuvest) O ângulo agudo formado pelos
ponteiros de um relógio à 1 hora e 12 minutos
é: a) 27° b) 30° c) 36° d) 42° e) 72°
23) (CPCAR) O diâmetro dos pneus das rodas
de um carro mede, aproximadamente, 50 cm.
O número de voltas dadas pelas rodas desse
carro, ao percorrer uma estrada de 300 km,
está mais próximo de Dado: π = 3,14
a) 2 . 103 b) 2 . 105 c) 2 . 107 d) 2 . 109
24) (Mack) O segmento OA descreve um
ângulo de 30° em torno da origem. Adotando
π = 3, a distância percorrida pelo ponto A é:
a) 2,5 b) 5,5 c) 1,7 d) 3,4 e) 4,5
25) (UFPA) Qual a medida em radianos de um
arco de 135º ?
a)
4
π
b)
2
π
c)
4
3π
d) π e)
4
5π
26) (Fuvest) Um arco de circunferência mede
300º, e seu comprimento é 2km. Qual é o
número inteiro mais próximo da medida do
raio, em metros?
a) 157 b) 284 c) 382 d) 628 e) 764
27) Um arco de medida 3 radianos em um
círculo de raio 6 metros mede:
a) 2 metros b) 2π metros c) 9 metros
d) 9π metros e) 18 metros
28) (FAZU) Um ciclista de uma prova de resistência
deve percorrer 628 km sobre uma pista circular de

Página 59
200m de raio. O número aproximado de voltas que
ele deve dar é (use π = 3,14)
a) 450 b) 500 c) 314 d) 400 e) 628
29) (UFPB) Os senos de 210º, -45º e 120º, são
respectivamente:
a)
2
1
,
2
2
, -
2
3
b) -
2
1
, -
2
2
,
2
3
c)
2
1
,
2
2
,
2
3
d) -
2
1
, -
2
2
, -
2
3
e) -
2
1
,
2
2
, -
2
3
30) (UEL) Se y = cos 2280o então y é igual a
a)-cos12° b)-cos30° c)-cos60o d)cos12o e) cos 60o
31) Calcule o valor de
A = sen 2π + cos
2
3π
+
3
2
cos
6
7
sen
4
7
sencos
ππ
π
π
+
+
32) Dado tgx =
3
7
e π < x <
2
3π
, obtenha
senx e cosx.
33) (UEL) O valor da expressão
6
13
tg
cos5-
3
8
sen
π
π
π
é:
a)
2
32+3
b)
2
32+23
c) 3 + 2 3
d) 3 2 + 2 3 e) 3( 2 + 3 )
34) (UEL) O valor expressão
cos 2π/3 + sen 3π/2 + tg 5π/4 é:
a)
2
32 −
b) −1/2 c) 0 d) 1/2 e)
2
3
35) (FEI) Sabendo que tg(x) = 12/5 e que π < x <
3π/2, podemos afirmar que:
a) cotg(x) = −5/12 b) sec(x) = 13/5
c) cos(x) = −5/13 d) sen(x) = 12/13
e) nenhuma anterior é correta
36)(UFPB)Se sen(x)=
7
102
e x está no
segundo quadrante, então:
a) tgx =
7
106
b) tgx =
49
106
c) tgx =
3
102
−
d) tgx =
2
103
− e) nenhuma das relações
anteriores é verdadeira
37) (UFPB) Se tg θ = -3 e θ é um arco do 4º
quadrante, então:
a) senθ=
4
23
b) cosθ=
4
2
c) cotg θ =
3
1
d)secθ=-2 2 e)n.r.a.
38) (Unaerp) Sendo sen x =
2
1
; x ∈ 1º Q, o
valor da expressão cos2x.sec2x+2senx é:
a) zero b) 1 c)
2
3
d) 2 e) 3
39) (Uneb) Se x pertence ao intervalo [0;π/2) e
tg x = 2, então cos x vale:
a)
2
3
b)
2
2
c)
2
1
d)
5
5
e)
5
3
40) (UEL) A igualdade senx =
3
a2 −
é
verdadeira para todo x real se, e somente se,
a) -5 ≤ a ≤ 1 b) a ≤ -5 ou a≥ 1 c) -1≤ a ≤ 5
d) a ≤ -1 ou a ≥ 5 e) a ≠ -1 ou a ≠ 5
41) (Fuvest) O menor valor de
cosx3
1
−
com x
real, é: a) 1/6. b) 1/4. c) 1/2. d) 1. e) 3.
42) (UFPB) Se cos θ = 0,6 e θ ∈ [0,
2
π
], calcular
o valor de 10sen θ.

Página 60
43) (UFRN) A expressão (secx - tgx)(secx + tgx)
é equivalente a:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
44) (UECE) Para valores de x tais que cosx ≠ 0,
a expressão sec2x – tg2x é igual a:
a) 0 b) 1 c) sen2x d) cos2x
44) (UFPA) Qual das expressões abaixo é
idêntica a
cotgx.senx
xsen1 2
−
?
a) senx b) cosx c) tgx d) cossecx e)
cotgx
45) (Mack) Com relação ao
ângulo α da figura, podemos
afirmar que tg2α vale:
a)
2
3
− b) 1 c) - 3
d) 2 3 e)
3
3
−
46) (FATEC) Em uma região plana de um
parque estadual, um guarda ﬂorestal trabalha
no alto de uma torre cilíndrica de madeira de
10m de altura. Em um dado momento, o
guarda, em pé no centro de seu posto de
observação, vê um foco de incêndio próximo à
torre, no plano do chão, sob um ângulo de 15°
em relação à horizontal. Se a altura do guarda
é 1,70m, a distância do foco ao centro da base
da torre, em metros, é aproximadamente (Obs:
use 3 =1,7)
a) 31 b) 33 c) 35 d) 37 e) 39
47) (Mack) No triângulo da
figura, cos2θ vale:
a)
9
2
b)
9
1
c) -
9
7
d) -
9
8
e)
9
5
48) (Fuvest) O valor de (sen22°30’ + cos 22°30’)2
é:
a)
2
3
b)
2
32 +
c)
2
22 +
d) 1 e)
2
49) (FEI) Se cosx = 0,8 e 0 < x <
2
π
então o valor
de sen2x é:
a) 0,6 b) 0,8 c) 0,96 d) 0,36 e) 0,49
50) (Mack) Se secx = 4, com 0 ≤ x <
2
π
, então
tg(2x) é igual a
a)-
5
154
b)
4
15
c)
7
152
− d)
16
15
e)
7
15
−
51) (Mack) Se sen x = 4/5 e tg x < 0, então tg 2x
vale:
a) 24/7. b) -24/7. c) -8/3. d) 8/3. e) -4/3.
52) (Cesgranrio) Se senx - cosx =
2
1
, o valor de
senx.cosx é igual a:
a) -
16
3
b) -
8
3
c)
8
3
d)
4
3
e)
2
3
53) (Mack) Se tg = 2, então cos2αé igual a:
a) -
5
3
b) -
5
2
c) -
5
1
d)
5
1
e)
5
2
54) (UNIFESP) Se x é a medida de um arco do
primeiro quadrante e se senx = 3cosx, então
sen(2x) é igual a
a)
5
5
b)
5
3
c)
5
51+
d)
5
4
e)
2
3
55) (Fuvest) A tangente de um ângulo 2x é
dada em função da tangente de x pela seguinte
fórmula:
xtg1
2.tgx
tg2x 2
−
=
Calcule um valor aproximado para a tangente
do ângulo 22°30’.
a) 0,22 b) 0,41 c) 0,50 d) 0,72 e) 1,00
56) (QOAM) Dispondo- se de uma tabela,
onde estão relacionados os senos dos arcos
expressos em graus por números inteiros de

Página 61
zero a quarenta e cinco, pode- se determinar tg
67º através do cálculo da expressão
a)
1@sen2
23°
b c
r
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
sen23°
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
b)
1 + sen2
23°
sen23°
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
c)
1@sen2
33°
sen33°
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
d)
sen 23°
1@sen2
33°
e)
sen 33°
1@sen2
33°
57) (QOAM) Se cos(x) = 0,8 e 0 < x< π 2+ ,qual é
o valor de sen(2x)?
a) 0,36 b) 0,49 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,96
58) (QOAM) Sabendo que x – y = 30°, qual o
valor de (senx+cosy)2 + (cosx-seny)2 ?
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 1
59) (QOAM) A extremidade final do arco de 10
radianos pertence
a) a um dos eixos coordenados.
b) ao primeiro quadrante.
c) ao segundo quadrante
d) ao terceiro quadrante.
e) ao quarto quadrante.
60) (QOAM) Sendo 0< x<
π
2
fffff
, o valor da
expressão
2@sen2
x
cos2
x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
@tg
2
x é:
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e)-2

Página 62
UNIDADE 9
GEOMETRIA ESPACIAL
9.1 – Conceitos primitivos
São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de
pontos, retas e planos. Habitualmente, usamos a seguinte notação:
Pontos: letras maiúsculas do
nosso alfabeto
Retas: letras minúsculas do
nosso alfabeto
Planos: letras minúsculas do
alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração
e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.
Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos.

Página 63
Postulados sobre pontos e retas
P1)A reta é infinita, ou seja, contém
infinitos
pontos.
P2)Por um ponto podem ser traçadas
infinitas retas.
P3) Por dois pontos distintos passa uma
única reta.
P4) Um ponto qualquer de uma reta
divide-a em duas semi-retas.
Postulados sobre o plano e o espaço
P5) Por três pontos não-colineares passa
um único plano.
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
P7) Por uma reta pode ser traçada uma
infinidade de planos.

Página 64
P8) Toda reta pertencente a um plano
divide-o em duas regiões chamadas
semiplanos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em
duas regiões chamadas semi-espaços.
Posições relativas de duas retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:
Temos que considerar dois casos particulares:
Retas perpendiculares:
Retas ortogonais:
Determinação de um plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-
colineares, um plano também pode ser determinado por:

Página 65
a) Uma reta e um ponto não-
pertencente a essa reta:
b) Duas retas distintas
concorrentes:
c) Duas retas paralelas distintas:
Posições relativas de reta e plano
Vamos considerar as seguintes situações:
a) Reta contida no plano
Se uma reta r tem dois pontos distintos
num plano , então r está contida
nesse plano:
b) Reta concorrente ou incidente ao
plano
Dizemos que a reta r "fura" o plano
ou que r e são concorrentes em P
quando .
Observação: A reta r é reversa a todas as
retas do plano que não passam pelo
ponto P.
c) reta paralela ao plano
Se uma reta r e um plano não têm
ponto em comum, então a reta r é
paralela a uma reta t contida no plano
; portanto, r //
Em existem infinitas retas paralelas,
reversas ou ortogonais a r.
P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por
uma única reta que passa por esse ponto.

Página 66
Posições relativas de dois planos
Consideramos as seguintes situações:
a) Planos coincidentes ou iguais
b) Planos concorrentes ou
secantes
Dois planos, , são
concorrentes quando sua
intersecção é uma única reta:
c) Planos paralelos
Dois planos, , são
paralelos quando sua
intersecção é vazia:
Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a
reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:
EXERCÍCIOS
01) (UFSC) A ÚNICA proposição CORRETA, é:
01. Dois planos que possuem 3 pontos em comum
são coincidentes.
02. Se duas retas r e s, no espaço, são ambas
perpendiculares a uma reta t, então r e s são
paralelas.
04. Duas retas concorrentes determinam um único
plano.
08. Se dois planos A e B são ambos perpendiculares
a um outro plano C, então A e B são planos
paralelos.
16. Se duas retas r e s são paralelas a um plano A,
então r e s são paralelas.
Assinale como resposta a soma das alternativas
corretas.

Página 67
02) (UFRN) Na cadeira representada na figura
abaixo, o encosto é perpendicular ao assento e este é
paralelo ao chão. Sendo assim,
a) Os planos EFN e FGJ são paralelos.
b) HG é um segmento de reta comum aos planos
EFN e EFH.
c) Os planos HIJ e EGN são paralelos.
d) EF é um segmento de reta comum aos planos
EFN e EHG.
03) (Faap) Duas retas são reversas quando:
a) não existe plano que contém ambas.
b) existe um único plano que as contém.
c) não se interceptam.
d) não são paralelas.
e) são paralelas, mas pertencem a planos distintos.
04) (AFA) Quatro pontos não-coplanares
determinam, exatamente, quantos planos?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
05) (Vunesp) Considere o cubo da figura adiante.
Das alternativas a seguir, aquela correspondente a
pares de vértices que determinam três retas, duas a
duas reversas, é:
a) (A,D); (C,G); (E,H).
b) (A,E); (H,G); (B,F).
c) (A,H); (C,F); (F,H).
d) (A,E); (B,C); (D,H).
e) (A,D); (C,G); (E,F).
06) (UEL) O sólido representado na figura a seguir é
formado por um cubo de aresta de medida x/2 que
se apóia sobre um cubo de aresta de medida x.
A intersecção do plano EGC com o plano ABC é:
a) vazia. b) a reta AC. c) o segmento de reta AC.
d) o ponto C. e) o triângulo AGC.
07) (Unifesp) Dois segmentos dizem-se reversos
quando não são coplanares. Neste caso, o número
de pares de arestas reversas num tetraedro, como o
da figura, é
a) 6. b) 3. c) 2.
d) 1. e) 0.

Página 68
9.2 – Cilindro
Em Matemática, um cilindro é o objeto
tridimensional gerado pela superfície de
revolução de um retângulo em torno de um
de seus lados. De maneira mais prática, o
cilindro é um corpo alongado e de aspecto
roliço, com o mesmo diâmetro ao longo de
todo o comprimento.
Áreas
Num cilindro, consideramos
as seguintes áreas:
a) Área lateral AL = 2. ߨ. ܴ. ‫ܪ‬
b) Área das bases AB = ߨ. ܴଶ
c) Área total AT = AL + 2AB
Volume
Todo cilindro tem uma espaço interno tridimensional a
este chamamos de volume.
ܸ ൌ ߨ. ܴଶ
. ‫ܪ‬
Cilindro eqüilátero
É aquele em que o diametro da base tem medida igual a da altura. 2R = H
EXERCÍCIOS
08) O diâmetro da base de um cilindro reto é
12 cm e a altura é 5 cm. Calcule sua área total e
seu volume.
09) Quantos litros comportam,
aproximadamente, uma caixa-d’água cilíndrica
com 2m de diâmetro e 70 cm de altura?
10) Um reservatório para álcool tem a forma de
um cilindro reto com 16m de altura e 8m de
diâmetro da base. Qual a capacidade, em litros,
do reservatório?
11) Deseja-se construir uma caixa-d’água em
forma de cilindro reto, de 1,6m de raio e cuja

Página 69
capacidade seja de 20000 litros. Qual deve ser
aproximadamente a altura dessa caixa-d’água?
12) Calcule a área lateral e a área total de um
cilindro equilátero de 20m de raio.
13) Um retângulo de 1m e 2m de dimensões
gira em torno do seu menor lado. Determine o
volume do sólido gerado.
14) Quantos metros cúbicos de terra foram
escavados para a construção de um poço que
tem 10m de diâmetro e 15m de profundidade?
15) Um vaso cilíndrico tem 30 dm de diâmetro
interior e 70 dm de profundidade. Quantos
litros de água pode conter?
16) O raio interior de uma torre circular é de
120 cm, a espessura 50 cm e o volume do
material utilizado na construção é 145 m3.
Qual é a altura da torre?
17) O desenvolvimento de uma superfície
cilíndrica de revolução, é um retângulo de 4
cm de altura e 7 cm de diagonal. Calcule a área
lateral do cilindro.
9.3 – Cone
Um cone é um sólido geométrico formado por todos os
segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V
(vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto
qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma
curva suave, a base).
Elementos do cone circular
• Altura: distância h do vértice V ao plano da base.
• Geratriz (g):segmento com uma extremidade no
ponto V e outra num ponto da circunferência
• Raio da base: raio R do círculo
ܴଶ
൅ ݄ଶ
ൌ ݃ଶ
Áreas
Num cone consideramos as
seguintes áreas:
a) Área lateral AL = ߨ. ܴ. ݃
b) Área da base AB = ߨ. ܴଶ
c) Área total AT = AL + AB

Página 70
Volume
Todo cone tem uma espaço interno tridimensional a este chamamos de volume.
ܸ ൌ
ߨ. ܴଶ
. ‫ܪ‬
3
Cone eqüilátero
É aquele em que o diametro da base tem medida igual a da geratriz. 2R = g
EXERCÍCIOS
18) Se o raio da base de um cone reto é 6 cm e a
altura do cone é 8 cm, qual é a medida de sua
geratriz?
19) Se o raio da base de um cone é 5 cm e sua
altura é 12 cm, calcule seu volume.
20) Calcule a área total de um cone reto de 4
cm de
altura e 15π cm2 de área lateral.
21) A área total de um cone reto de 5 cm de
raio da base é de 100π cm2. Calcular a altura do
cone.
22) Calcule a área da base de um cone reto de 6
cm de altura e 10 cm de geratriz.
23) Calcule o raio da base de um cone reto cuja
geratriz mede 13 cm e cuja área total é de
90πcm2.
24) Determinar a medida da altura de um cone
cuja geratriz mede 10 cm sendo 12 cm o
diâmetro de sua base.
25) Calcule a altura do cone circular reto cuja
geratriz mede 25cm e o
diâmetro da base mede
14cm.
26) Calcule a área da
secção meridiana do
cone equilátero cuja base tem área π24 cm2.
27) Calcule a área total e o volume de um cone
equilátero de altura medindo 30cm.
28) Um cone reto está inscrito num cubo cuja
aresta mede 6 cm.
Calcule:
a) a área da base do cone.
b) volume do cone.
c) área lateral do cone.
9.4 – Pirâmide
Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as
faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une
todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide.

Página 71
Elementos da pirâmide
Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes
elementos:
• Base: o polígono convexo R.
• Arestas da base: os lados AB, BC, CD, DE, EA. do
polígono.
• Arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC VD, VE.
• Faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE,
VEA.
• Altura: distância h do ponto V ao plano
Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do
polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela
pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente,
um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.
Veja:
Áreas
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) Área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais

Página 72
b) Área da base ( AB): área do polígono convexo (base da pirâmide)
c) Área total (AT): união da área lateral com a área da base AT = AL +AB
Volume
Em Toda piramide temos seu espaço interno e a este chamamos de volume.
ܸ ൌ
Á‫ܽ݁ݎ‬஻௔௦௘. ‫ܪ‬
3
EXERCÍCIOS
29) Uma pirâmide quadrangular regular tem
4m de altura e a aresta da base mede 6m.
Calcule seu volume e a área total.
30) Calcular a área da base, área lateral, área
total e o volume da pirâmide quadrangular
regular de apótema 5cm e apótema da base
2cm.
31) Uma pirâmide triangular regular tem 5cm
de altura e o apótema da base mede 4cm.
Calcule o volume da pirâmide.
32) Uma pirâmide hexagonal regular de 21 cm
de altura tem o apótema da base medindo 20
cm. Calcule a medida do apótema da
pirâmide.
33) Uma pirâmide de base quadrada tem 15 cm
de altura e 17 cm de apótema. Calcule o
perímetro da base.
34) Uma pirâmide quadrangular regular tem
3 m de altura e 8 m de aresta da base. Calcule
a área total e o volume desta pirâmide.
35) A aresta lateral de uma pirâmide regular
quadrangular mede 13 cm e a aresta da base, 5
2 cm. Calcule seu volume.
36) O volume de uma pirâmide quadrangular
é 144 m3 e a altura é o dobro da aresta da base.
Calcule a altura dessa pirâmide.
37) Uma pirâmide tem por base um triângulo
eqüilátero de lado 12 cm. As faces laterais
formam com o plano da base ângulos de 60º.
Calcule a altura e a aresta lateral.
38) A aresta da base de uma pirâmide regular
hexagonal mede 4 cm. Sabendo que a área
lateral é o quíntuplo da área da base, calcule
seu volume.
39) O volume de uma pirâmide triangular
regular é 27 3 m3. Calcule a aresta da base,
sabendo que a altura é igual ao semiperímetro
da base.
40) Calcule o volume de uma pirâmide
hexagonal regular de área da base
2
3288 m e
apótema 13m.
41) Um prisma de base pentagonal possui
360m3 de volume. Qual o volume de uma
pirâmide com mesma base e mesma altura?
42) Numa pirâmide regular de base triangular,
a aresta da base mede cm32 e a altura mede
4cm. Calcule o apótema da base, o apótema da
pirâmide e a aresta lateral.
43) Determine a área total e o volume de um
tetraedro regular cuja aresta mede 2m.

Página 73
9.5 – Esfera
Consideramos a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido
gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os
pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
Área
Numa esfera consideramos apenas a sua superfície externa:
‫ܣ‬ ൌ 4. ߨ. ܴଶ
Volume
Espaço interno tridimensional.
ܸ ൌ
4ߨ. ܴଷ
3
EXERCÍCIOS
44) Qual o volume de uma esfera de 30 cm de
raio?
45) Uma esfera está inscrita num cubo cuja
aresta mede 20 cm. Calcule a área da superfície
esférica.
46) Tomando o raio da Terra 6400 km, calcule a
área do “Globo” terrestre, em km2.
47) Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e
outra de 6 cm de raio, fundem-se e formam
outra esfera. Calcule o raio dessa nova esfera.
48) Calcule o volume de uma esfera de 100π
cm2 de área.
49) Determine a área de uma esfera, sendo
2304π cm3 o seu volume.
50) Uma esfera tem 25π cm2 de superfície. Em
quanto devemos aumentar o raio para que a
área passe a ser 64π cm2?
51) Determine o volume de uma esfera cuja
superfície tem uma área de 324πcm2.
52) Calcule o volume de uma esfera cuja
superfície tem uma área de 144πcm2.
53) Determinar a área e o volume de uma
esfera de 58 cm de diâmetro.
54) O que ocorre com o volume de uma esfera
quando duplicamos a medida de seu raio? E
quando triplicamos a medida do seu raio?
55) Determinar o raio de uma esfera sendo
288πcm3 o seu volume.

Página 74
56) Determine o raio de uma esfera de superfície 36π cm2.
57) A secção meridiana de um cilindro
equilátero tem perímetro igual a 16cm.
Determine a área lateral, a área total e o
volume do cilindro.
58) (FEI SP) Um cilindro reto tem volume igual
a 3
m32π . Sabendo que a medida de sua altura
é o dobro da medida de seu raio, podemos
afirmar que o seu raio mede:
a) m2 b) m22 c) m16 d) m223
e) m4
59) (FGV) Em certa loja, as panelas são
anunciadas de acordo com sua capacidade.
Uma panela dessa loja, com a etiqueta "4
litros", tem 20cm de diâmetro. A altura dessa
panela é aproximadamente:
a)7cm b)9cm c)11cm d)13cm e) 15cm
60) (UEG) Uma caixa d’água com capacidade
para 1.000 litros tem a forma de um cilindro
circular reto de raio da base r e altura h.
Aumentando o raio da base em 10% e
diminuindo a altura também em 10%, quantos
litros caberão nessa nova caixa d’água?
61)(UFMG) Dois cilindros têm áreas iguais. O
raio do primeiro é igual a um terço do raio do
segundo. O volume do primeiro é V1 e o
volume do segundo é V2. Portanto V2 é igual
a:
a) 1
3
1
V b) 1V c) 1
3
2
V d) 12V e) 13V
62) (UFRN) Se um cilindro eqüilátero mede 12
m de altura, então o seu volume em m3 vale:
a) π144 b) π200 c) π432
d) π480 e) π600
63) Calcule o volume do sólido representado
pela figura.
4 cm
8 cm
6 cm
64) Um copo de papel, em forma de cone, é
formado enrolando-se um semicírculo que tem
um raio de 12 cm. O volume do copo é de,
aproximadamente:
a) 390 cm3 b) 350 cm3 c) 300 cm3
d) 260 cm3 e) 230 cm3
65) (EEAER) A geratriz de um cone de
revolução mede 6cm e o ângulo da geratriz
com a altura do cone é de 30º.O volume, em
cm3, é
π9)a b) 33π c) 39π d) 327π
66) (UESC-BA) Um cone circular reto possui
raio da base e altura iguais a 3cm e 4cm,
respectivamente.É correto afirmar que a área
lateral, em cm2, de um cilindro circular reto de
raio da base igual à terça parte do raio da base
do cone e que comporta o mesmo volume do
cone é igual a:
a) π24 b) π14 c) π12 d) 24 e) 12

Página 75
67) Uma pirâmide regular triangular tem 5cm
de altura e o apótema da base mede 4cm.
Calcule o volume da pirâmide.
68) Uma pirâmide hexagonal regular tem 4m
de altura e a aresta da base mede 3m. Calcule a
área da base, a área lateral e o volume da
pirâmide.
69) Determine a área lateral e o volume de uma
pirâmide quadrangular regular cujo apótema
mede 10cm, sabendo que a aresta da base
mede 12cm.
70) Calcule o volume da pirâmide
quadrangular na qual todas as arestas valem
2cm.
71) (FAZU) Calcule o volume de uma pirâmide
reta de 10m de altura, cuja base é um triângulo
de lados 4cm, 6cm e 8cm.
a) 12 15 cm3 b) 8 5 cm3 c) 10 15 cm3
d) 10 3 cm3 e) 20 3 cm3
72) (UECE) Numa pirâmide quadrangular
regular, uma aresta da base mede 2 2 cm e
uma aresta lateral mede 22 cm. O volume
dessa pirâmide, em cm3, é:
a) 7 2 b) 8 2 c) 9 2 d) 10 2
73) (Vunesp) O prefeito de uma cidade
pretende colocar em frente à prefeitura um
mastro com uma bandeira, que será apoiado
sobre uma pirâmide de base quadrada feita de
concreto maciço, como mostra a figura.
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide
terá 3m e que a altura da pirâmide será de 4m,
o volume de concreto (em m3) necessário para
a construção da pirâmide será
a) 36. b) 27. c) 18. d) 12. e) 4.
74) (UEMG) Deseja-se projetar uma lata
cilíndrica que tenha um volume de 192 π cm3.
Se a altura da lata cilíndrica é igual a 12 cm, a
medida do raio deverá ser de
a) 6 cm. b) 2 cm. c) 8 cm. d) 4 cm.
75) (FEI) No projeto de um prédio foi
inicialmente prevista a construção de um
reservatório de água com formato cilíndrico,
cujas medidas seriam: raio da base igual a 2m e
altura igual a 3m. Depois foi constatado que o
volume do reservatório havia sido
subestimado, sendo necessário, na verdade, o
dobro do volume inicialmente previsto. Qual
deverá ser a medida do raio da base, sabendo
que a altura do reservatório não poderá ser
alterada?
a) 4 m b) 3 m c) 2 2 m d) 2 m e) 6 m
76) (Vunesp) Se quadruplicarmos o raio da
base de um cilindro, mantendo a sua altura, o
volume do cilindro fica multiplicado por
a) 16 b) 12 c) 8 d) 4 e) 4pi
77) (Faap) Um tanque de petróleo tem a forma
de um cilindro circular reto, cujo volume é
dado por: V=πR2×H. Sabendo-se que o raio
da base e a altura medem 10m, podemos
afirmar que:
O volume exato desse cilindro (em m3) é:
a) 1.000π b) 100π c) 1.000π/3
d) 100π/3 e) 200π

Página 76
78) (Faap) Um fabricante de caixas d'água pré-
moldadas, deseja fabricá-las na forma
cilíndrica com 2 metros de altura interna com
capacidade de 2.000 litros. Então, o raio da
base da caixa d'água é, em metros, igual a:
a) 2 π b)
π
1
c)
π
10
d) π e)
π
10
79) (Fatec) A altura de um cone circular reto
mede o triplo da medida do raio da base. Se o
comprimento da circunferência dessa base é 8p
cm, então o volume do cone, em centímetros
cúbicos, é:
a) 64π b) 48π c) 32π d) 16π e) 8π
80) (UEL) Um cone circular reto tem altura de
8cm e raio da base medindo 6cm. Qual é, em
centímetros quadrados, sua área lateral?
a) 20π b) 30π c) 40π d) 50π e) 60π
81) (QOAM) Para se encher um reservatório
com trezentos mil litros de água, dispõe- se
apenas de um caminhão que transporta um
tanque cilíndrico que tem cinco metros de
comprimento e dois metros de diâmetro de
seção circular. Usando- se (pi = 3), quantas
viagens completas de ida e volta esse
caminhão deverá dar para encher o
reservatório?
a) 40 b) 20 c) 15 d) 10 e) 5
82) (QOAM) A fim de se calcular o gasto de
tinta para se pintar um sinalizador em forma
de cone, com raio da base 5 e altura 12, é
necessário o conhecimento da sua superfície
lateral S. Qual é o valor de S?
a) 60π b) 65π c) 120π d) 130π e) 180π
83) (QOAM) Um determinado líquido, no seu
processo de resfriamento entre 4°C e 0°C,
aumenta o seu volume em até 15%. Numa
viagem para a Antártica será levado um
recipiente plástico cilíndrico, de diâmetro
interno da base igual a 1,6 metros e 1,5 metros
de altura, contendo um volume V inteiro de
litros desse líquido. Para que não haja, em
função da dilatação do líquido, qualquer
deformação ou rompimento do recipiente, pois
será submetido ao intervalo de temperatura
dado anteriormente, qual deverá ser o valor
máximo de V, em litros, sabendo-se que é
desprezível a variação do volume do
recipiente? (Usar π = 3,14)
a) 2562 b) 2564 c) 2621
d) 2623 e) 2722
84) A razão, em cm, entre o volume, em cm3 ,
de uma esfera de raio 3cm e a sua superfície,
em cm2 , é
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9
85) A base de uma pirâmide reta é um
quadrado cujo lado mede 8 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
cm. Se as
arestas laterais da pirâmide medem 17cm, o
seu volume, em centímetro cúbicos, é igual a
a) 520 b) 640 c) 680 d) 750 e) 780
86) Uma esfera oca tem 1 dm de raio exterior e
4 cm de espessura. Qual o volume da parte oca
da esfera em cm3?
a) 288πcm3 b) 346πcm3 c) 416πcm3
d) 634πcm3 e) 864πcm3
87) Um cone circular reto tem a altura
medindo 5cm e a geratriz medindo 13cm. Qual
e a medida, em cm3, do volume desse cone?
a) 124π b) 280π c) 240π
d) 128π e) 160π

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