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A ESPIRAL DE TESLA
- 1. Autor: Jonas FloripeGinani Filho SLIDES PRODUZIDOS PARA O BLOG: jfgf2011.blogspot.com
- 2. 3. Resumo biográficode Tesla 4. O que é espiral de Tesla 5. O que mostra a espiral de Tesla 6. A espiral modificada com 12 setores 7. A espiral modificada com 6 setores 8. Como se distribuem os números nas circunferências 9. A sequência de trincas nos setores 10. Os primos, semiprimos e primos gêmeos 11. Os múltiplos de 2 12. Os múltiplos de 3 13. Os múltiplos de 4 14. Os múltiplos de 5 15. Os múltiplos de 6 e 12 16. Os múltiplos de 7 17. Os múltiplos de 8 18. Os múltiplos de 9 19. Os múltiplos de 10, 11 e 13 20. Algumas considerações 21. Dados finais LISTA DE SLIDES
- 3. Tesla nasceu naaldeia de Smiljan no território hoje pertencente à Croácia, em 10/07/1856. Faleceu em 07/01/1943 em Nova York/EUA. Iniciou seus estudos universitários no Instituto Politécnico em Graz, na Áustria e na Universidade de Praga quando ficou fascinado com eletricidade. A partir daí, iniciou sua carreira como engenheiro eletricista e inventor brilhante na área da eletricidade. Trabalhou para Thomas Edison, inventor da lâmpada, de quem divergiu sobre corrente contínua e corrente alternada. Acabou vencendo a disputa, pois a corrente alternada, sua criação, era muito melhor. Apesar de ser famoso pelas suas invenções no campo da eletricidade, como gênio, trabalhou também em outras áreas. A espiral que leva seu nome é um estudo na área da Teoria dos Números, mas que pode ter aplicabilidade em outros campos. 3
- 4. A ESPIRAL DETESLA: Mapa atribuído a Nikola Tesla, encontrado (2015?) numa loja de antiguidades em Fênix, Estados Unidos. A Espiral oferece um entendimento visual de como todos os números são auto-organizáveis em 12 posições e, a partir desta disposição, permite ver os números como padrões, a formação dos compostos, primos, múltiplos, divisores, formação de séries (progressões aritméticas) entre outras particularidades. 4
- 5. PRIMOS E SEMIPRIMOS EPRIMOS GÊMEOS 2X e 10X 3X e 9X 4X e 8X 6X e 12X Obs.: 5X, 7X, 11X e 13X mostrados em outros slides. Original de Tesla 5
- 6. PRIMOS, SEMIPRIMOS E PRIMOSGÊMEOS 2X e 10X Tabuada do 2 e 10 3X e 9X Tabuada do 3 e 9 4X e 8X Tabuada do 4 e 8 6X e 12X Tabuada do 6 e 12 6 A disposição na forma de circunferências concêntricas foi aplicada nesta apresentação para facilitar a compreensão das propriedades observadas e explicadas nos slides seguintes. Os raios das circunferências formarão a série: 12, 24, 36, 48, ... Esta série também origina a famosa trinca de Tesla: 3(1+2), 6(2+4), 9(3+6), 3(4+8=12=1+2), ... Outros múltiplos, além dos mostrados ao lado, serão apresentados na sequência.
- 7. 7 14 8 2 17 11 5 Na disposição decircunferências concêntricas com razão de crescimento do raio 6, também se verificam as mesmas propriedades, apenas se modificam as figuras traçadas pelos múltiplos. As estrelas que representam os múltiplos de 5 e 7, por exemplo, passam a ser espirais e os sentidos trocados. Para seguir a linha da espiral de 12, a apresentação trabalhará com circunferências com 12 números. Os raios das circunferências formarão a série: 6, 12, 24, 36, ... Esta sequência de crescimento dos raios continuam dando a trinca: 6, 3(1+2), 6(2+4), 9(3+6), 3, ... 6X 1,7,4,... 2,8,5,... 3,9,6,...4,1,7,... 5,2,8,... 6,3,9,... 5X 7X PRIMOS, SEMIPRIMOS E GÊMEOS 2X 3X e 9X 4X, 8X e 10X 5X – Todos setores 7X – Todos setores 12X 11X e 13X – Todos setores
- 8. Cálculo da sequênciade termos dos setores que constituem uma Progressão Aritmética (PA) de razão 12: Setor do 12:12; 12+12=24; 24+12=36;... Setor do 11: 11; 11+12=23; 23+12=35;... Setor do 10: 10; 10+12=22; 22+12=34;... Setor do 9: 9; 9+12=21; 21+12=33; ... Setor do 8: 8; 8+12=20; 20+12=32; ... ... Setor do 1: 1; 1+12=13; 13+12=25; ... Para saber a localização de qualquer número natural basta dividi-lo por 12 e o resto indicará o setor em que estará. A fórmula do termo geral de uma PA dará a posição e circunferência em que o número se colocará. (*) Para o 55 temos como resto 7 o que o coloca no setor (seta) do 7. Para saber sua posição na sequência temos que: an=a1+(n-1).r => 55=7+(n- 1).12 o que dá a posição e circunferência (n) = 5 Para o 65538 temos como resto 6 colocando-o no setor 6. Sua posição na sequência é: an=a1+(n-1).r => 65538=6+(n- 1).12 o que dá a posição e circunferência (n) = 5462 (*) 1 2 3 4 5 Cinco circunferências traçadas: 1, 2, 3, 4 e 5 8
- 9. 5,8,2, 5,... (*) 7,1,4,7,... 3,6,9,3,... 2,5,8,2,... (*) 1,4,7,1,... 6,9,3,6,... 3,6,9,3,... 4,7,1,4,...8,2,5,8,... 9,3,6,9,... 1,4,7,1,... 2,5,8,2,... Cálculo dasequência de trincas dos setores: Setor do 12: 12=1+2=3; 24=2+4=6; 36=3+6=9; ... Setor do 11: 11=1+1=2; 23=2+3=5; 35=3+5=8; ... Setor do 10: 10=1+0=1; 22=2+2=4; 34=3+4=7; ... Setor do 9: 9; 21=2+1=3; 33=3+3=6; ... Setor do 8: 8; 20=2+0=2; 32=3+2=5; ... Setor do 7: 7; 19=1+9=10=1+0=1; 31=3+1=4; ... Setor do 6: 6; 18=1+8=9; 30=3+0=3; ... Setor do 5: 5; 17=1+7=8; 29=2+9=11 11=1+1=2; ... Setor do 4: 4; 16=1+6=7; 28=2+8=10 10=1+0=1; ... Setor do 3: 3; 15=1+5=6; 27=2+7=9; ... Setor do 2: 2; 14=1+4=5; 26=2+6=8; ... Setor do 1: 1; 13=1+3=4; 25=2+5=7; ... (**) (**) (*): Cada setor (seta) tem o oposto formado pela mesma sequência de trincas alterando apenas a ordem dos algarismos que a formam. Ex.: setor do 1: 1,4,7,1,4,7,... setor do 7: 7,1,4,7,1,4,... (**) A sequência de trincas se mantêm mesmo quando se subdivide os setores em partes menores. Por exemplo se entre os setores tivéssemos subdivisões em 10 partes colocando números decimais. Assim, ao invés de setores 1 e 2 teríamos setores: 1,0; 1,1; 1,2; 1,3;...; 1,9; 2,0; ... As trincas quando têm seus algarismos somados, originam sempre os valores 3, 6 e 9. Trinca (1, 4, 7): 1+4+7=12=1+2=3 Trinca (2,5,8): 2+5+8=15=1+5=6 Trinca (3,6,9): 3+6+9=18=1+8=9 "Se você conhecesse apenas a magnificência do 3, 6 e 9, então você teria a chave para o universo“. Nikola Tesla 9
- 10. PRIMOS, SEMIPRIMOS E PRIMOSGÊMEOS Número primo é um número natural que só possui dois divisores: ele próprio e um. Semiprimo é um número natural que é o produto de dois números primos, não necessariamente distintos. Ex.: 35 = 3.5 e 25 = 5.5 Primos são denominados gêmeos quando a diferença entre eles é de duas unidades. Ex.: 5 e 7 Obs.: Definições válidas para o conjunto dos Naturais. O maior número primo de Fermat (Fn = 22^𝑛 +1 ) conhecido é F4 = 65.537 (n=4). Sua divisão por 12 dá resto 5 o que o coloca no setor (seta) 5 dos primos e a soma dos seus dígitos é 8. Para saber sua colocação no setor usa-se a fórmula do termo geral de uma PA: an=a1+(n-1).r => 65537=5+(n-1).12 o que dá a posição (n) = 5462 no setor, que também é a circunferência a que pertence. Setores onde se localizam os primos com exceção do 2 e 3. O 1, embora esteja no setor dos primos, não é primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. 10
- 11. Os múltiplos de2 formam um hexágono não fechado com crescimento no sentido horário (espiral). 2X Tabuada do 2 11
- 12. Os múltiplos de3 formam um quadrado não fechado com crescimento no sentido horário (espiral).3X Tabuada do 3 12
- 13. Os múltiplos de4 formam um triângulo não fechado com crescimento no sentido horário (espiral). 4X Tabuada do 4 13
- 14. Os múltiplos de5 formam uma estrela irregular não fechada com crescimento no sentido horário. 5X Tabuada do 5 14 Espiral com sentido anti-horário formada com circunferências concêntricas de seis setores.
- 15. 6X E 12X Tabuadado 6 e do 12 Os múltiplos de 6 se encontram nos setores do 6 e 12 e formam uma espiral com crescimento no sentido horário ligando os valores. (*) O setor (seta) do 12 também é onde se encontram todos os seus múltiplos (12X). (*) 15
- 16. 7X Tabuada do 7 Osmúltiplos de 7 formam uma estrela irregular não fechada com crescimento no sentido anti-horário. 16 Espiral com sentido horário formada com circunferências concêntricas de seis setores.
- 17. 8X Tabuada do 8 Ossetores dos múltiplos de 8 são os mesmos do 4, mas os valores saltam um termo na série em cada setor (seta). Formam um triângulo não fechado com crescimento no sentido anti-horário (espiral). 17
- 18. 9X Tabuada do 963 Os múltiplos de 9 estão nos mesmos setores dos múltiplos de 3, mas saltam dois valores em cada série do setor. Formam também um quadrado não fechado com crescimento no sentido anti-horário (espiral). 18
- 19. 66 65 10X, Tabuada do 10 11X Tabuadado 11 13X Tabuada do 13 Os múltiplos de 10 e 11 formam espirais que crescem no sentido anti-horário. Os múltiplos de 13 formam espiral que cresce no sentido horário. 19
- 20. 20 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES: Esta apresentaçãode slides não esgotou tudo o que a Espiral de Tesla pode apresentar, tem muito mais conteúdo para ser estudado e aprofundado. O objetivo aqui foi apenas despertar a curiosidade para a Teoria dos Números, principalmente dos alunos do ensino médio. É possível mais aprofundamentos no estudo da Espiral de Tesla, usando o artifício das circunferências concêntricas ou não, inclusive utilizando ângulos e coordenadas polares. Uma segunda parte deste trabalho poderá ser apresentada com este conteúdo complementar futuramente.
- 21. 21 SLIDES PRODUZIDOS PARA OBLOG: jfgf2011.blogspot.com O blog aborda assuntos de Matemática, Astronomia, Natureza, Humor, História e Esportes, além de trabalhos e projetos realizados nas escolas em que atuei e atuo. É mais um canal aberto de comunicação com os alunos e demais visitantes que queiram se inteirar de outras experiências realizadas em escolas públicas. Prof. Jonas NATAL/RN/BR MAIO DE 2018 FIM