1. Terceira Lista de Exercícios – Diferencial Total e Derivada de Funções Compostas
1) Calcule o valor aproximado do número N = 0,994, 01 .
π 3 3
2) Calcule um valor aproximado para R = sen 29o cos 61o . Dados: ≈ 0,015 , cos 30o = sen60o = e
360 2
1
sen30o = cos 60o = .
2
3) As diagonais de um losango mediram 8 e 6m com erros de 0,02 e 0,03m, respectivamente. Calcule o
erro percentual cometido na sua área.
4) Na medida da distância entre os pontos A e B, em virtude de um obstáculo, foi necessário medir as
distâncias perpendiculares AC = 300m e CB = 400m , com erros de 1% e 2%, respectivamente.
Determine o erro absoluto na medida de AB.
5) Em uma indústria madeireira, a área utilizada para reflorestamento se aproxima de um retângulo. Em
uma primeira medida, suas dimensões foram de 300m e 500m, com erro de no máximo 1% em cada
medida. Aproxime o erro máximo percentual que poderia ocorrer se estes valores fossem utilizados para
calcular a área de reflorestamento.
6) Uma indústria de processamento de metais produz ligas de Ferro-Alumínio (f) e Cobre-Alumínio (c),
utilizadas na fabricação de produtos metálicos, sobretudo em pastilhas endurecedoras. Suponha que o
lucro mensal desta empresa seja dado por: L(f , c) = −100000 + 5000 f + 10000 c − 50 f 2 − 100 c 2 + 10 fc ,
dado em milhares de reais e onde (f) e (c) são unidades de produto. Qual o lucro da indústria quando 100
unidades de ligas de Ferro-Alumínio e 50 ligas de Cobre-Alumínio são produzidas? Utilize a diferencial
total para aproximar o efeito do aumento de uma unidade da liga tipo (f) e duas do tipo (c).
7) Uma importante função renal é a remoção de uréia (um produto final nitrogenado da decomposição
protéica) do sangue. Uma medida clínica padrão da saúde dos rins é a denominada taxa de filtração
UV
máxima, na qual a uréia é removida do sangue T = , onde T é expresso em milímetros de sangue
S
purificado por minuto, U é a concentração de uréia na urina (em mg / 100 ml ), S e a concentração de uréia
no sangue (em mg / 100 ml ) e V é o volume de urina excretada por minuto ( ml / min ). Suponha que o
1

2. equipamento de uma UTI conectado a um paciente, forneça ao médico um valor de T = 50 ml / min , para
leitura das medidas de U = 200 , V = 3,00 e S = 12,0 . O equipamento também deve informar ao médico
o valor do erro associado à T para uma margem de erro de leitura das medidas de até 1%. Para este
paciente, calcule o erro que o equipamento deve indicar.
dy
8) Calcule as derivadas para as funções abaixo:
dt
a) y = e x para x = t 2 + 3t + 3 b) y = senx para x = 3t 3 + 2t c) y = 2x 3 para x = ( t + 3) 2
∂u ∂u
9) Calcule e para as funções abaixo:
∂x ∂y
a) u = z e z para z = x 2 + 3xy b) u = 4 senz para z = 5y3 + 2 x 2 c) u = (z + 1)3 para z = ( x + y) 2
d) u = e z para z = x 2 + 3xy e) u = 2 z 3 para z = ( x + y) 2 f) u = senz para z = y 2 + x 2
Respostas:
1) ≈ 0,96
2) ≈ 0,235
3) Erro = 0,75%
4) Erro = 8,2 m
5) Erro = 2%
6) Uma redução de 2500 reais no lucro.
7) ≈ 0,5 ml / min
dy dy dy
= e t +3t +3 (2t + 3) = (9 t 2 + 2) sen (3t 3 + 2t ) = 12 ( t + 3)5
2
8) a) b) c)
dt dt dt
∂u ∂u
= e x +3 xy (2x + 3y) ( x 2 + 3xy + 1) e = e x +3xy (3x ) ( x 2 + 3xy + 1)
2 2
9) a)
∂x ∂y
∂u ∂u
b) = 16x cos (5y 3 + 2x 2 ) e = 60 y 2 cos (5y3 + 2x 2 )
∂x ∂y
∂u ∂u
c) = 6 ( x + y) ( x + y + 1) 2 e = 6 ( x + y) ( x + y + 1) 2
∂x ∂y
∂u ∂u
= e x +3 xy (2x + 3y) = 3x e x +3 xy
2 2
d) e
∂x ∂y
∂u ∂u
e) = 12 ( x + y)5 e = 12 ( x + y)5
∂x ∂y
2