1) O documento apresenta 5 questões de matemática sobre combinatória, probabilidade, sistemas lineares e razões trigonométricas. 2) A questão 1 trata da combinação de cubos para formar um novo cubo com faces pintadas. 3) A questão 2 envolve razões trigonométricas em um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência. 4) A questão 3 calcula a probabilidade de uma pessoa ter curso superior baseado em dados demográficos. 5) A questão 4 pede para calcular o capital inicial de João

1. COLÉGIO ÓRION
PROF. PC
14/02/08
Análise Combinatória / Combinação
01 - (Fuvest SP/2006)
A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-
se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem
cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O
número de cubos menores que tiveram pelo
menos duas de suas faces pintadas de vermelho
é
Se for sorteada, ao acaso, uma pessoa da
cidade, a probabilidade de esta pessoa ter curso
superior (completo ou incompleto) é
a) 24 a) 6,12%
b) 26 b) 7,27%
c) 28 c) 8,45%
d) 30 d) 9,57%
e) 32 e) 10,23%
Razões Trigon. no Triâng. Retângulo / Relações Sistemas Lineares / Resolução
Trigonométricas em um Ângulo Agudo 04 - (Fuvest SP/2006)
02 - (Fuvest SP/2006) João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$
Na figura abaixo, a reta s passa pelo ponto P e 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por
pelo centro da circunferência de raio R, um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de
interceptando- a no ponto Q, entre P e o centro. creditados seus juros no final desse ano, Antônia
Além disso, a reta t passa por P, é tangente à passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo
circunferência e forma um ângulo α com a reta s. capital de João. No ano seguinte, os três
Se PQ = 2R, então cosα vale reinvestiram seus capitais, ainda com juros de
10% ao ano. Depois de creditados os juros de
cada um no final desse segundo ano, o novo
capital de Antônia era igual à soma dos novos
capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial
de João?
a) R$ 20.000,00
b) R$ 22.000,00
c) R$ 24.000,00
d) R$ 26.000,00
e) R$ 28.000,00
a) 2 /6
b) 2 /3 Operações com Números Inteiros / Múltiplos,
c) 2 /2 Divisores e Sist. Decimal de Numeração
d) 05 - (Fuvest SP/2006)
2 2 /3
Um número natural N tem três algarismos.
e) 3 2 /5 Quando dele subtraímos 396 resulta o número
que é obtido invertendo-se a ordem dos
Probabilidade / Produto de Probabilidades e Prob. algarismos de N. Se, além disso, a soma do
Condicional algarismo das centenas e do algarismo das
03 - (Fuvest SP/2006) unidades de N é igual a 8, então o algarismo das
Um recenseamento revelou as seguintes centenas de N é
características sobre a idade e a escolaridade da a) 4
população de uma cidade. b) 5
c) 6

2. d) 7 área do triângulo ABC e a área do círculo da
e) 8 figura é dado, em função de α, pela expressão:
Progressão Geométrica / Propriedades, termo Geral
e Soma dos n Termos
06 - (Fuvest SP/2006)
Três números positivos, cuja soma é 30, estão
em progressão aritmética. Somando-se,
respectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro,
segundo e terceiro termos dessa progressão
aritmética, obtemos três números em progressão
geométrica. Então, um dos termos da progressão
aritmética é
a) 9
2
b) 11 a) cos 2 α
π
c) 12
d) 13 2
b) sen 2 2α
e) 15 π
2
c) sen 2 2α cos α
Ponto / Distância de Dois Pontos e Ponto Médio π
07 - (Fuvest SP/2006) 2
d) sen α cos 2α
O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano π
que satisfazem t 2 − t − 6 = 0 , onde t =| x − y | , 2
e) sen 2α cos 2 α
consiste de π
a) uma reta.
b) duas retas. Cone / Area e Volume
c) quatro retas. 11 - (Fuvest SP/2006)
d) uma parábola. Um cone circular reto está inscrito em um
e) duas parábolas. paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada,
b
Equações Polinomiais / Teorema de Bolzano e das como mostra a figura. A razão entre as
a
Raízes Racionais 3
08 - (Fuvest SP/2006) dimensões do paralelepípedo é e o volume do
2
O conjunto dos números reais x que satisfazem a cone é π.
inequação log 2 ( 2 x + 5) − log 2 (3x − 1) > 1 é o intervalo: Então, o comprimento g da geratriz do cone é
a) ]−∞, −5/2[
b) ]7/4, ∞[
c) ]−5/2, 0[
d) ]1/3, 7/4[
e) ]0, 1/3[
Areas de Superficies Planas / Triângulos
09 - (Fuvest SP/2006)
Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB =
6. O valor de CD é
a) 5
b) 6
c) 7
d) 10
a) 17/12
e) 11
b) 19/12
c) 23/12
d) 25/12 Análise Combinatória / Combinação
e) 29/12 12 - (Fuvest SP/2006)
Em uma certa comunidade, dois homens sempre
Areas de Superficies Planas / Razão entre Áreas se cumprimentam (na chegada) com um aperto
10 - (Fuvest SP/2006) de mão e se despedem (na saída) com outro
Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na aperto de mão. Um homem e uma mulher se
circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o cumprimentam com um aperto de mão, mas se
despedem com um aceno. Duas mulheres só
lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a
trocam acenos, tanto para se cumprimentarem
BC é α. Nestas condições, o quociente entre a quanto para se despedirem. Em uma
comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram

3. juntas, todos se cumprimentaram e se d) −π / 15
despediram na forma descrita acima. Quantos e) −2π / 15
dos presentes eram mulheres, sabendo que
foram trocados 720 apertos de mão? Funções (Geral) / Domínio, Imagem e Contradomínio
a) 16 17 - (ITA SP/2006)
b) 17 Considere a equação (a x − a − x ) /(a x + a − x ) = m , na
c) 18
variável real x, com 0 < α ≠ 1 . O conjunto de todos
d) 19
os valores de m para os quais esta equação
e) 20
admite solução real é
Circunferência / Ângulos na Circunferência e a) ( −1, 0) ∪ (0, 1)
Potência de Ponto b) ( −∞, − 1) ∪ (1, + ∞)
13 - (ITA SP/2006) c) (−1, 1)
Seja E um ponto externo a uma circunferência. d) (0, ∞)
Os segmentos EA e ED interceptam essa e) ( −∞, + ∞)
circunferência nos pontos B e A, e, C e D,
respectivamente. A corda AF da circunferência Análise Combinatória / Princípio Fundamental da
intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5 Contagem e Arranjos
, BA = 7 , EC = 4 , GD = 3 e AG = 6 , então GF vale 18 - (ITA SP/2006)
a) 1 Considere uma prova com 10 questões de
b) 2 múltipla escolha, cada questão com 5
c) 3 alternativas. Sabendo que cada questão admite
d) 4 uma única alternativa correta, então o número de
e) 5 formas possíveis para que um candidato acerte
somente 7 das 10 questões é
Conjuntos / Problemas a) 4 4 ⋅ 30
14 - (ITA SP/2006) b) 43 ⋅ 60
Seja U um conjunto não vazio com n elementos,
c) 53 ⋅ 60
n ≥ 1 . Seja S um subconjunto de P(U) com a
seguinte propriedade: 7 3
d)  ⋅4
 3
Se A, B ∈ S , então A ⊂ B ou B ⊂ A .  
Então, o número máximo de elementos que S 10 
pode ter é e)  
7
 
a) 2 n −1
b) n/2, se n for par, e ( n + 1) / 2 se n for ímpar Função Logaritmica / Definição e Propriedades
c) n + 1 19 - (ITA SP/2006)
d) 2 n − 1 Considere as seguintes afirmações sobre a
e) 2 n −1 + 1 (
expressão S = ∑1010 log 8 4 k 2 :
k= )
Conjuntos / Operações e Propriedades I. S é a soma dos termos de uma progressão
15 - (ITA SP/2006) geométrica finita.
Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo II. S é a soma dos termos de uma progressão
conjunto X, tais que n ( B A ) , n ( A B) e n ( A ∩ B) aritmética finita de razão 2/3
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética III. S = 3451
de razão r > 0 . Sabendo que n ( B A ) = 4 e
IV. S ≤ 3434 + log 8 2
n (A ∪ B) + r = 64 , então, n ( A B) é igual a
a) 12
Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s)
b) 17
apenas
c) 20
a) I e III
d) 22
b) II e III
e) 24
c) II e IV
d) II
Funções Trigonométricas e suas Inversas / Sen,
e) III
Cos, Tg, Cotg, Sec, Cosec e suas Inversas
16 - (ITA SP/2006)
Números Complexos / Operações na Forma
Seja f :R → R definida por
Algébrica
f ( x ) = 77 sen[5( x + π / 6)] e seja B o conjunto dado 20 - (ITA SP/2006)
por B = {x ∈ R : f ( x ) = 0} . Se m é o maior elemento Se para todo z ∈ C , f ( z) = z e f ( z) − f (1) = z − 1 ,
de B ∩ (−∞, 0) e n é o menor elemento de então, pra todo z ∈ C , f (1)f (z) + f (1)f (z) é igual a
B ∩ (0, + ∞ ) , então m + n é igual a
a) 1
a) 2π / 15 b) 2z
b) π / 15 c) 2Rez
c) −π / 30

4. d) 2Imz Equações Polinomiais / Teorema das Raízes
e) 2|z|2 Complexas
25 - (ITA SP/2006)
Equações e Inequações Trigonométricas / Em IR Seja p um polinômio com coeficientes reais, de
21 - (ITA SP/2006) grau 7, que admite 1− i como raiz de
( )( )
O Conjunto solução de tg 2 x − 1 1 − cot g 2 x = 4 , multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto
x ≠ kπ / 2 , k ∈ Z , é de todas as raízes de p são, respectivamente, 10
e –40. Sendo afirmado que três raízes de p são
π kπ 
a)  + , k ∈ Z reais e distintas e formam uma progressão
3 4  aritmética, então, tais raízes são
π kπ  a) 3 / 2 − 193 / 6, 3, 3 / 2 + 193 / 6
b)  + , k ∈ Z
4 4 
b) 2 − 4 13 , 2, 2 + 4 13
 π kπ 
c)  + , k ∈ Z c) –4, 2, 8
6 4  d) –2, 3, 8
 π kπ  e) –1, 2, 5
d)  + , k ∈ Z
8 4 
 π kπ  Polinômios / Grau e Valor Numérico
e)  + , k ∈ Z 26 - (ITA SP/2006)
12 4 
Sobre o polinômio p( x ) = x 5 − 5x 3 + 4 x 2 − 3x − 2
Números Complexos / Operações na Forma podemos afirmar que
Trigonométrica a) x = 2 não é raiz de p
22 - (ITA SP/2006) b) p só admite raízes reais, sendo uma delas
Se α ∈ [0; 2π) é o argumento de um número inteira, duas racionais e duas irracionais
complexo z ≠ 0 e n é um número natural tal que c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma
raiz inteira
( z / | z |) n = isen (nα) , então, é verdade que
d) p só admite raízes reais, sendo duas delas
a) 2nα é múltiplo de 2π inteiras
b) 2nα − π é múltiplo de 2π e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma
c) nα − π / 4 é múltiplo de π / 2 delas inteira e duas irracionais
d) 2nα − π é múltiplo não nulo de 2
e) nα − 2π é múltiplo de π Sistemas Lineares / Discussão
27 - (ITA SP/2006)
Sistemas Lineares / Discussão Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a
23 - (ITA SP/2006) e b reais, dado por
A condição para que as constantes reais a e b
tornem incompatível o sistema linear (a − b) x − (a + b) y = 1

(a + b) x + (a − b) y = 1
x + y + 3z = 2

 x + 2 y + 5z = 1 Considere as seguintes afirmações:
2 x + 2 y + az = b

I. O sistema é possível e indeterminado se
a) a−b ≠ 2 a=b=0
b) a + b = 10 II. O sistema é possível e determinado se a e b
c) 4a − 6b = 0 não são simultaneamente nulos
d) a / b = 3/ 2 III. x 2 + y 2 = (a 2 + b 2 ) −1 , se a 2 + b 2 ≠ 0
e) a ⋅ b = 24
Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s)
Determinantes / Propriedades apenas
24 - (ITA SP/2006) a) I
a b c b) II
  c) III
Se det  p q r  = −1 , então o valor do
x y z d) I e II
 
e) II e III
 − 2a − 2b − 2c 
 
det 2p + x 2q + y 2r + z  é igual a Equações Polinomiais / Relaçôes de Girard
 3x
 3y 3z   28 - (ITA SP/2006)
a) 0 Considere o polinômio p( x ) = x 3 − (a + 1) x + a , onde
b) 4 a ∈ Z . O conjunto de todos os valores de a, para
c) 8 os quais o polinômio p(x) só admite raízes
d) 12 inteiras, é
e) 16 a) {2n , n ∈ N}
b) {4n 2 , n ∈ N}

5. c) {6n 2 − 4n, n ∈ N} a) 81 3 / 2
d) {n (n + 1), n ∈ N} b) 81 2 / 2
e) N c) 81 / 2
d) 27 3
Progressão Geométrica / Soma e Produto Termos
de uma PG Finita e Infinita e) 27 2
29 - (ITA SP/2006)
Numa circunferência C1 de raio r1 = 3cm está Conjuntos / Operações e Propriedades
inscrito um hexágono regular H1; em H1 está 33 - (ITA SP/2006)
inscrita uma circunferência C2; em C2 está inscrito Considere A um conjunto não vazio com um
um hexágono regular H2 e, assim, número finito de elementos. Dizemos que
sucessivamente. Se Na (em cm2) é a área do F = {A1 , , A m } ⊂ P(A ) é uma partição de A se as
hexágono Hn, então ∑∞=1 A n (em cm2) é igual a seguintes condições são satisfeitas:
n
a) 54 2 I. A i ≠ o, i = 1,  , m
/
b) 54 3 II. A i ∩ A j = o, se i ≠ j, para i, j = 1,  , m
/
c) 36(1 + 3 ) III. A = A1 ∪ A 2 ∪  ∪ A m
d) 27 /( 2 − 3 )
Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k
e) 30(2 + 3 )
se n ( A i ) = k , i = 1 , …, m.
a) As ordens possíveis para uma partição de A.
Circunferência / Problemas de Tangência e Posições
b) O número de partições de A que têm ordem
Relativas
2.
30 - (ITA SP/2006)
Sejam a reta s : 12x − 5 y + 7 = 0 e a circunferência
Funções (Geral) / Classificação
C : x 2 + y 2 + 4x + 2 y = 11 . A reta p, que é 34 - (ITA SP/2006)
perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Seja f : [0, 1) → R definida por
Ou num ponto cuja ordenada pertence ao 2 x , 0 ≤ x < 1/ 2
seguinte intervalo f (x) =  .
2 x − 1, 1/ 2 ≤ x < 1
 91 81 
a)  , 
 12 12  g : (−1 / 2, 1/2) → R
Seja dada por
 81 74 
b) − , −  f ( x + 1 / 2), − 1/ 2 < x < 0
 12 12  g( x ) =  , com f definida
1 − f ( x + 1 / 2), 0 ≤ x < 1/2
 74 30 
c) − ,  acima. Justificando a resposta, determine se g é
 12 12  par, ímpar ou nem par nem ímpar.
 30 74 
d)  , 
 12 12  Binômio de Newton / Números Binomiais, Fatorial
 75 91  eTriângulo de Pascal
e)  ,  35 - (ITA SP/2006)
 12 12 
Determine o coeficiente de x4 no
2 9
Cônicas / Elipse, Hipérbole e Parábola desenvolvimento de (1 + x + x ) .
31 - (ITA SP/2006)
Os focos de uma elipse são F1 (0, − 6) e F2 (0, 6) . Equações e Inequações Trigonométricas / Num
Os pontos A(0, 9) e B(x, 3) , x > 0 , estão na elipse. Intervalo Limitado
A área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é 36 - (ITA SP/2006)
igual a  π π
Determine para quais valores de x ∈  − ,  vale
a) 22 10  2 2
a desigualdade
b) 18 10 2 2
log cos x ( 4sen x − 1) − log cos x (4 − sec x ) > 2 .
c) 15 10
d) 12 10 Equações Polinomiais / Relaçôes de Girard
e) 6 10 37 - (ITA SP/2006)
Considere o polinômio p( x ) = x 3 + ax 2 + x + 1 , com
Pirâmides / Area e Volume raízes reais. O coeficiente a é racionais e a
32 - (ITA SP/2006) diferença entre duas de suas raízes também é
Uma pirâmide regular tem por base um hexágono racional. Nestas condições, analise se a seguinte
cuja diagonal menor mede 3 3cm . As faces afirmação é verdadeira:
“Se uma das raízes de p(x) é racional, então
laterais desta pirâmide formam diedros de 60º
todas as suas raízes são racionais.”
com o plano da base. A área total da pirâmide,
em cm2, é
Cone / Area e Volume

6. 38 - (ITA SP/2006) Adaptado de: Sumário Estatístico da Circulação
As medidas, em metros, do raio da base, da em Campinas 2002-2003.
altura e da geratriz de um cone circular reto Campinas, EMDEC, 2004, p. 12.
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética
de razão 2 metros. Calcule a área total deste a) Calcule o número total de acidentes de
cone em m2. trânsito ocorridos em Campinas em 2003.
b) Calcule o número de acidentes com vítimas
Matrizes / Matriz Inversa ocorridos em Campinas em 2002.
39 - (ITA SP/2006)
Sejam as matrizes Problemas / Montagem e Resolução de Equações
44 - (Unicamp SP/2006)
1 0 1 / 2 −1  1 3 −1 / 2 1 Uma empresa possui 500 toneladas de grãos em
    seu armazém e precisa transportá-las ao porto de
−2 5 2 − 3 1 −2 −2 3
A= e B= Santos, que fica a 300 km de distância. O
 1 −1 2 1 − 1 1 1 1
    transporte pode ser feito por caminhões ou por

 − 5 1 3/ 2 0   
 5 − 1 1/ 2 5
 trem. Para cada caminhão utilizado paga-se R$
125,00 de custo fixo, além de R$ 0,50 por
Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B) −1 . quilômetro rodado. Cada caminhão tem
capacidade para transportar 20 toneladas de
Progressão Geométrica / Propriedades, termo Geral grãos. Para cada tonelada transportada por trem
e Soma dos n Termos paga-se R$ 8,00 de custo fixo, além de R$ 0,015
40 - (ITA SP/2006) por quilômetro rodado. Com base nesses dados,
Seja (a 1 , a 2 , a 3 ,  , a n , ) uma progressão pergunta-se:
a) Qual o custo de transporte das 500 toneladas
geométrica infinita de razão positiva r, em que
de grãos por caminhões e por trem?
a1 = a é um número real não nulo. Sabendo que a
b) Para as mesmas 500 toneladas de grãos,
soma de todos os termos de índices pares desta qual a distância mínima do armazém ao porto
progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de Santos para que o transporte por trem
de todos os termos de índices múltiplos de 3 é seja mais vantajoso que o transporte por
16/13, determine o valor de a + r . caminhões?
Cônicas / Elipse, Hipérbole e Parábola 45 - (Unicamp SP/2006)
41 - (ITA SP/2006) Um carro irá participar de uma corrida em que
Sabendo que 9 y 2 − 16 x 2 − 144 y + 224 x − 352 = 0 é a terá que percorrer 70 voltas em uma pista com
equação de uma hipérbole, calcule sua distância 4,4 km de extensão. Como o carro tem um
focal. rendimento médio de 1,6 km/l e seu tanque só
comporta 60 litros, o piloto terá que parar para
Areas de Superficies Planas / Polígonos reabastecer durante a corrida.
42 - (ITA SP/2006) a) Supondo que o carro iniciará a corrida com o
Considere um losango ABCD cujo perímetro tanque cheio, quantas voltas completas ele
mede 100cm e cuja maior diagonal mede 40cm. poderá percorrer antes de parar para o
Calcule a área, em cm2, do círculo inscrito neste primeiro reabastecimento?
losango. b) Qual é o volume total de combustível que
será gasto por esse carro na corrida?
Matemática Financeira / Porcentagem
43 - (Unicamp SP/2006) Probabilidade / Produto de Probabilidades e Prob.
O gráfico a seguir mostra o total de acidentes de Condicional
trânsito na cidade de Campinas e o total de 46 - (Unicamp SP/2006)
acidentes sem vítimas, por 10.000 veículos, no Uma empresa tem 5000 funcionários. Desses,
período entre 1997 e 2003. Sabe-se que a frota 48% têm mais de 30 anos, 36% são
da cidade de Campinas era composta por especializados e 1400 têm mais de 30 anos e
500.000 veículos em 2003 e era 4% menor em são especializados. Com base nesses dados,
2002. pergunta-se:
a) Quantos funcionários têm até 30 anos e não
são especializados?
b) Escolhendo um funcionário ao acaso, qual a
probabilidade de ele ter até 30 anos e ser
especializado?
Prismas / Paralelepipedo e Cubos
47 - (Unicamp SP/2006)
Um cidadão precavido foi fazer uma retirada de
dinheiro em um banco. Para tanto, levou sua
mala executiva, cujo interior tem 56 cm de
comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de altura.

7. O cidadão só pretende carregar notas de R$ como instante inicial — ou seja, aquele em
50,00. Cada nota tem 140 mm de comprimento, que t = 0 — o ano de 2004, no qual foi
65 mm de largura, 0,2 mm de espessura e observada uma concentração de 377,4 ppm
densidade igual a 0,75 g/cm3. de CO2 na atmosfera.
a) Qual é a máxima quantia, em reais, que o b) Determine aproximadamente em que ano a
cidadão poderá colocar na mala? concentração de CO2 na atmosfera será 50%
b) Se a mala vazia pesa 2,6 kg, qual será o superior àquela observada em 2004.
peso da mala cheia de dinheiro? Se necessário, use log10 2 ≅ 0,3010 ,
log10 2,01 ≅ 0,3032 e log10 3 ≅ 0,4771
Probabilidade / Produto de Probabilidades e Prob.
Condicional Troncos / Cilindro, Pirâmide, Cone e Sólidos de
48 - (Unicamp SP/2006) Revolução
Seja S o conjunto dos números naturais cuja 51 - (Unicamp SP/2006)
representação decimal é formada apenas pelos Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de
algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. cone circular reto, com bases paralelas. As
a) Seja um número de dez aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de
algarismos pertencente a S, cujos dois diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede 30
últimos algarismos têm igual probabilidade de cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se
assumir qualquer valor inteiro de 0 a 4. Qual substituí-lo.
a probabilidade de que x seja divisível por a) Determine os raios dos arcos que devem ser
15? demarcados sobre um novo tecido para que
b) Quantos números menores que um bilhão e se possa cortar um revestimento igual àquele
múltiplos de quatro pertencem ao conjunto que foi danifi cado.
S? b) Calcule a área da região a ser demarcada
sobre o tecido que revestirá o abajur.
Problemas / Montagem e Resolução de Equações
49 - (Unicamp SP/2006) Triângulos / Relações Angulares
Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma 52 - (Unicamp SP/2006)
escada na parede de sua casa, de forma que o De uma praia, um topógrafo observa uma
topo da escada ficou a uma altura de pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na
aproximadamente 14 m . Enquanto Roberto vertical, uma régua de 2m de comprimento.
subia os degraus, a base da escada escorregou Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que
por 1 m, indo tocar o muro paralelo à parede, o ângulo formado entre a reta vertical que passa
conforme ilustração ao lado. Refeito do susto, pelo teodolito e o segmento de reta que une o
Roberto reparou que, após deslizar, a escada teodolito ao topo da régua é de 60º, enquanto o
passou a fazer um ângulo de 45º com a ângulo formado entre a mesma reta vertical e o
horizontal. Pergunta-se: segmento que une o teodolito à base da régua é
de 75º. Sabendo que o teodolito está a uma
altura de 1,6m do nível da base da escarpa,
responda às questões abaixo.
a) Qual é a distância entre a parede da casa e o
muro?
a) Qual a distância horizontal entre a reta
b) Qual é o comprimento da escada de
vertical que passa pelo teodolito e a régua
Roberto?
sobre a escarpa?
b) Qual a altura da escarpa?
Função Exponencial / Funções Exponenciais
50 - (Unicamp SP/2006)
Determinantes / Cálculo de Determinantes
A concentração de CO2 na atmosfera vem sendo
53 - (Unicamp SP/2006)
medida, desde 1958, pelo Observatório de
Mauna Loa, no Havaí. Os dados coletados  x − 1 x − 1 x − 1
 
mostram que, nos últimos anos, essa Sejam dados: a matriz A =  x − 1 1 2 , o
 x −1 1 −2 
concentração aumentou, em média, 0,5% por  
ano. É razoável supor que essa taxa anual de m  y1 
crescimento da concentração de CO2 irá se    
manter constante nos próximos anos. vetor b =  3  e o vetor y =  y 2  .
5 y 
a) Escreva uma função C(t) que represente a    3
concentração de CO2 na atmosfera em a) Encontre o conjunto solução da equação
relação ao tempo t, dado em anos. Considere det(A ) = 0 .

8. b) Utilizando o maior valor de x que você 11) Gab: D
encontrou no item (a), determine o valor de
m para que o sistema linear Ay = b tenha 12) Gab: B
infinitas soluções.
13) Gab: D
Reta / Intersecção e Bissetriz
54 - (Unicamp SP/2006) 14) Gab: C
Sabe-se que a reta r ( x ) = mx + 2 intercepta o
gráfico da função y =| x | em dois pontos distintos, 15) Gab: B
A e B.
a) Determine os possíveis valores para m. 16) Gab: E
b) Se O é a origem dos eixos cartesianos,
encontre o valor de m que faz com que a 17) Gab: C
área do triângulo OAB seja mínima.
18) Gab: A
Polígonos / Regulares, Nº de Diagonais e Relações
Angulares 19) Gab:
55 - (Unicamp SP/2006)
101
( ) 101
( )
S = ∑ log 8 4 k ⋅ 2 = ∑ log 2 3 2 2 k ⋅ 21 / 2 =
Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal k =0 k =0
que AC = 6cm , AB = 8cm e BC = 10cm . Os 101  2 k + 1  101
  1  1
segmentos AC , AB e BC também são lados de = ∑ log 2 3 2 2  = ∑ ⋅  2k +  =
k =0   k =0 3  2
quadrados construídos externamente ao triângulo  
ABC. Seja O o centro da circunferência que 101  1 2
= ∑  + k ⋅  , portanto S é a soma dos termos
circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os k =0 6 3
centros dos quadrados com lados BC , AC e AB , 2
de uma progressão aritmética finita de razão ,
respectivamente. 3
a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO 1
cujo 1º termo é igual a e último termo é igual a
, EO e FO . 6
b) Calcule os comprimentos dos lados do  1 405 
1 2 405  + 
triângulo de vértices D, E e F. + 101 ⋅ = . Assim, 6 6  ,
6 3 6 S=  ⋅ 102 = 3451
2
Equações Polinomiais / Relaçôes de Girard 1
56 - (Unicamp SP/2006) resultado superior a 3434 + log8 2 = 3434 + .
6
As três raízes da equação x 3 − 3x 2 + 12x − q = 0 ,
Além disso, a progressão geométrica (1, x, x 2 ) ,
onde q é um parâmetro real, formam uma
progressão aritmética. sendo x uma das raízes reais de 1 + x + x 2 = 3451 ,
a) Determine q. tem soma igual a S.
b) Utilizando o valor de q determinado no item Logo as afirmações I, II e III são verdadeiras e a
(a), encontre as raízes (reais e complexas) afirmação IV é falsa.
da equação. Obs.: com relação à afirmação I, temos que,
dado qualquer real S, podemos encontrar uma
GABARITO: progressão geométrica com n termos cuja soma
S S S
é S: basta tomar, por exemplo,  ; ; ;  .
1) Gab: A n n n
Pode-se provar que, mesmo se fixarmos q ≠ −1 , é
2) Gab: D possível obter uma progressão geométrica de
razão q e n termos cuja soma é S: basta tomar
3) Gab: B S(q − 1)
a1 = .
qn −1
4) Gab: A
5) Gab: C 20) Gab: C
6) Gab: C 21) Gab: D
7) Gab: B 22) Gab: B
8) Gab: D 23) Gab: A
9) Gab: E 24) Gab: D
10) Gab: E 25) Gab: E
26) Gab: E

9. interpretações para o custo do transporte por
27) Gab: E trem:
Primeira interpretação: o custo por tonelada é
28) Gab: D 8 + 0,015 ⋅ 300 = 12,50 reais. Logo o custo de
transporte das 500 toneladas de grãos por
29) Gab: B trem é 500 ⋅12,5 = R $6.250,00 .
Segunda interpretação: o custo fixo do
30) Gab: C transporte por trem é 500 ⋅ 8 = 4000 reais.
Logo, como o custo por quilômetro rodado é
31) Gab: D R$ 0,015, o custo do transporte por trem é
4000 + 0,015 ⋅ 300 = R $4.004,50 .
32) Gab: A b) Seja n a distância, em quilômetros, do
armazém ao porto de Santos. Então o custo
33) Gab: de transporte das 500 toneladas por
a) 1, 2, 4 e 8
caminhões é 25(125 + 0,50 ⋅ n ) reais.
b) 105
Faremos os cálculos para ambas as
interpretações do item a.
34) Gab:
1 1
Primeira interpretação: o custo de transporte
Para − < x < 0 ⇔ 0 < − x < , temos g ( x ) = g ( − x ) e, por trem é 500(8 + 0,015 ⋅ n ) .
2 2
Para que o transporte por trem seja mais
portanto, g é uma função par. Porém, g(0) = 1 ≠ 0 .
vantajoso que o transporte por caminhões,
Logo g não é ímpar. devemos ter
500(8 + 0,015 ⋅ n ) < 25(125 + 0,50 ⋅ n ) ⇔
35) Gab: 414
⇔ 0,2n > 35 ⇔ n > 175km
Segunda interpretação: o custo de transporte
 π π π π
36) Gab: V =  − ;−  ∪  ;  por trem é 4000 + 0,015 ⋅ n reais. Devemos ter
 4 6 6 4
4000 + 0,015 ⋅ n < 25(125 + 0,50 ⋅ n ) ⇔
⇔ 12,485 ⋅ n > 875 ⇔ n > 70,08 km
37) Gab:
Suponha que uma das raízes de p(x) é racional. Observação: a primeira interpretação, que é
Sejam α , β e γ as raízes de p(x), com α − β análoga à do cálculo com caminhões, deve
racional. Pelas relações entre coeficientes e ser a pretendida pela banca. Entretanto, a
a
segunda interpretação também é cabível.
raízes, α + β + γ = − = −a .
1
45) Gab:
Se um dos números α ou β é racional, o outro a) O carro poderá percorrer 21 voltas completas
também é e, portanto, γ = −a − α − β é racional. Se antes de reabastecer.
γ é racional, α − β e α + β = −a − γ são racionais e, b) O carro irá gastar 192,5 litros de combustível
consequentemente, α e β são também na corrida.
racionais. Em qualquer caso, todas raízes de p(x)
são racionais. 46) Gab:
Logo a afirmação do enunciado é verdadeira. a) A empresa possui 2200 funcionários não
especializados com até 30 anos.
38) Gab: 96πm 2 b) a probabilidade é de 0,08 ou 8%
2
47) Gab:
39) Gab: − a) Pode-se colocar, no máximo, R$600.000,00
11
na mala
b) A mala cheia pesa 18,98kg
40) Gab: 11
48) Gab:
41) Gab: 10 a) A probabilidade é de 1/25, ou 0,04, ou, ainda,
4%
42) Gab: 144πcm 2 b) O conjunto S possui 625.000 números
múltiplos de 4
43) Gab:
a) 14.800 acidentes 49) Gab:
b) 2.880 acidentes a) A parede da casa está a 3 metros do muro.
b) A escada possui 3 2 metros.
44) Gab:
a) Por caminhão é R$ 6.875,00 50) Gab:
Devido a uma ambigüidade na frase "Para a) A função é C(t) = 377,4.(1,005)t
cada tonelada transportada por trem paga-se b) A concentração de CO2 na atmosfera será
R$ 8,00 de custo fixo, além de R$ 0,015 por 50% superior àquela observada em 2004 por
quilômetro rodado", cabem duas volta do ano de 2084.

10. 51) Gab:
a) O raio interno tem 30cm e o raio externo tem
60cm
b) A área de tecido necessária para cobrir o
abajur é igual a 1125πcm 2
52) Gab:
a) A régua está a uma distância horizontal de
3 + 2 3 ≅ 6,46 metros do teodolito.
b) A escarpa está a uma altura de 1,6 + 3 ≅ 3,33
metros
53) Gab:
a) As soluções da equação são x1 = 1 e x 2 = 1
b) Para que o sistema tenha infinitas soluções,
é preciso que m = 7 / 2
54) Gab:
a) Para que haja intersecção em dois pontos
distintos, é preciso que −1 < m < 1
b) A área do triângulo será mínima para m = 0
55) Gab:
a) DO = 5cm , EO = 7cm e FO = 7cm
b) FE = 7 2cm , DE = 2 29 cm e DF = 130cm
56) Gab:
a) q = 10
b) x1 = 1 − 3i , x 2 = 1 e x 3 = 1 + 3i