O documento aborda a definição e propriedades das integrais duplas e triplas, incluindo aplicações na determinação de áreas e volumes. Ele discute a mudança de variáveis para coordenadas polares, além de apresentar o teorema de Fubini. O texto também fornece exemplos e applets para facilitar a compreensão dos conceitos matemáticos apresentados.

1. AM2
Revis˜es R2
o
Integrais Integrais M´ltiplos
u
duplos
Defini¸˜o
´
ca
Areas e volumes
(Integrais Duplos e Integrais Triplos)
Propriedades
Fubini An´lise Matem´tica 2
a a
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets Sandra Gaspar Martins
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos 2o Semestre 2011/12
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
Vers˜o de 16 de Maio de 2012
a
sandra.martins@adm.isel.pt
1/61

2. AM2
Revis˜es R2
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Revis˜es de R2
Mudan¸a de
c
o
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
2/61

3. AM2
Rectas
2
Revis˜es R
o
Integrais y = mx + b m, b ∈ R
duplos
Defini¸˜o
´
ca
Areas e volumes
m declive
Propriedades
Fubini
b ordenada na origem
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
3/61

4. AM2
Par´bolas
a
2
Revis˜es R
o
Integrais y = ax 2 + bx + c a, b, c ∈ R
duplos √
Defini¸˜o
´
ca
−b ± b 2 − 4ac
Areas e volumes
Propriedades
zeros: x =
Fubini 2a
Aplica¸˜es
co a>0 ∪
Mudan¸a de
c
vari´veis
a a<0 ∩
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
4/61

5. AM2
Circunferˆncias
e
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 a, b, r ∈ R
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades (a, b) centro
Fubini
Aplica¸˜es
co r raio
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
5/61

6. AM2
Elipses
2
Revis˜es R
o
Integrais 2 2
duplos x −a y −b
Defini¸˜o
ca + = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0
´
Areas e volumes c d
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co (a, b) centro
Mudan¸a de
c
vari´veis
a c, d semi-eixos
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
6/61

7. AM2
Hip´rboles
e
2
Revis˜es R
o
2 2
Integrais
duplos
x −a y −b
− = 1 a, b, c, d ∈ R c =0∧d =0
Defini¸˜o
´
ca
Areas e volumes
c d
Propriedades
Fubini (a, b) centro
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
c distˆncia ao centro
a
d
Polares
Applets c abertura dos arcos
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
7/61

8. AM2
x3
Revis˜es R2
o
Integrais y = ax 3 + bx 2 + cx + d a, b, c, d ∈ R
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
8/61

9. AM2
M´dulo
o
2
Revis˜es R
o
Integrais y = |x|
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades x se x ≥0
Fubini |x| =
Aplica¸˜es
co −x se x <0
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
9/61

10. AM2
Raiz
2
Revis˜es R
o
√
Integrais y= x
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
10/61

11. AM2
1
x
Revis˜es R2
o
1
Integrais
duplos
y=
Defini¸˜o
ca
x
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
11/61

12. AM2
Exponenciais
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca y = ax , a ∈ R+
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
a>1 a<1
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
12/61

13. AM2
Logaritmos
2
Revis˜es R
o
Integrais y = loga (x), a ∈ R+
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a a>1 a<1
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
13/61

14. AM2
Seno
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini y = sin(x)
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
14/61

15. AM2
Coseno
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini y = cos(x)
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
15/61

16. AM2
Tangente
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini y = tan(x)
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
16/61

17. AM2
Arco-seno
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades y = arcsin(x)
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c D = [−1, 1] CD = − π , π
2 2
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
17/61

18. AM2
Arco-coseno
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes y = arccos(x)
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co D = [−1, 1]
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
CD = [0, π]
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
18/61

19. AM2
Arco-tangente
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes y = arctan(x)
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co D=R
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
CD = − π , π
2 2
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
19/61

20. AM2
Revis˜es R2
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
3
Integrais Duplos
Revis˜es R
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
20/61

21. AM2
Revis˜o de integrais simples
a
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
b n
f (t) dt = lim f (xi )∆xi
a n→+∞
i=1
21/61

22. AM2
Integral duplo de Riemann
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e 1
Applets
n m
f (x, y ) dx dy = lim f (xi , yj )∆xi ∆yj
R n,m→+∞
i=1 j=1
1
http://www.santarosa.edu/~gsturr/StewartAnimations/movies/
Sec15-1fig8.html 22/61

23. AM2
´
Areas e volumes usando integrais
Revis˜es R2
o duplos
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co Seja V = (x, y , z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ f (x, y ), (x, y ) ∈ D
Mudan¸a de
c
vari´veis
a ent˜o
a
Polares
Applets
volume de V = f dA
Revis˜es R3
o D
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Seja D uma regi˜o limitada de R2 ent˜o
a a
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
´rea de D =
a 1 dA
D
23/61

24. AM2
Propriedades
2
Revis˜es R
o
Sejam D1 e D2 duas regi˜es de R2 : int(D1 ) ∩ int(D2 ) = ∅
o
Integrais
duplos e D = D1 ∪ D2 ent˜o
a
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades f dA = f dA + f dA
Fubini
Aplica¸˜es
co D D1 D2
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Se f (x, y ) ≤ g (x, y ), ∀(x, y ) ∈ D ent˜o
a
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
f dA ≤ g dA
Resumo 2 D D
Integrais
triplos Se f (x, y ) ≥ 0, ∀(x, y ) ∈ D ent˜o
a D f dA ≥ 0
Volume
Cil´
ındricas Seja λ ∈ R ent˜o a
Esf´ricas
e
Applets
f + λg dA = f dA + λ g dA
D D D
f dA ≤ |f | dA
D D
24/61

25. AM2 Teorema de Fubini: 2
Suponhamos que f uma fun¸˜o que admite descontinuidades
ca
de 1 a esp´cie num conjunto de ´rea nula em D.
e a
Revis˜es R2
o
Integrais
Se
duplos
Defini¸˜o
´
ca
Areas e volumes
D = (x, y ) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
ent˜o
a
Mudan¸a de
c
vari´veis
a b g2 (x)
Polares
Applets f (x, y )dxdy = f (x, y )dy dx.
Revis˜es R3
o D a g1 (x)
Resumo 1
Resumo 2 Se
Integrais
D = (x, y ) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d,
triplos
Volume h1 (y ) ≤ x ≤ h2 (y )
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets ent˜o
a
d h2 (x)
f (x, y )dxdy = f (x, y )dxdy .
D c h1 (x)
2
http://www.santarosa.edu/~gsturr/StewartAnimations/movies/
Sec15.2.1-2.html
25/61

26. AM2
Aplica¸oes
c˜
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Sendo ρ(x, y ) a fun¸˜o que indica a densidade em cada ponto
ca
Defini¸˜o
´
ca
Areas e volumes
de uma placa com a forma da regi˜o R.
a
Propriedades
Fubini A massa de uma placa com a forma da regi˜o R ´ dada
a e
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c por
vari´veis
a
Polares
Applets ρ(x, y ) dA
Revis˜es R
o 3 R
Resumo 1
Resumo 2 O centro de massa de uma regi˜o R ´ (x, y ) onde
a e
Integrais
triplos
Rxρ(x, y ) dA
Volume
Cil´
ındricas
x=
Esf´ricas
e R ρ(x, y ) dA
Applets
Ry ρ(x, y ) dA
y=
R ρ(x, y ) dA
26/61

27. AM2
Mudan¸a de vari´veis
c a
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos Para mudar das coordenadas (x, y ) para (u, v ), usando a
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes fun¸˜o bijectivaϕ : R2 −→ R2 ,
ca
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
(x, y ) = ϕ(u, v ) = (ϕ1 (u, v ), ϕ2 (u, v ))
vari´veis
a
Polares
Applets
para a qual enquanto (x, y ) percorre D, (u, v ) percorre T , ou
Revis˜es R3
o
Resumo 1 seja, T = ϕ−1 (D).
Resumo 2 2
Integrais
Supondo que ϕ ∈ C 1 (T ) ; o Jacobiano de ϕ: J = 0; e f ´ e
triplos integr´vel em D, ent˜o a fun¸˜o f ◦ ϕ ´ integr´vel em T ,
a a ca e a
Volume
Cil´
ındricas tendo-se
Esf´ricas
e
Applets
f (x, y ) dx dy = f (ϕ1 (u, v ), ϕ2 (u, v )). |J| du dv
D T
27/61

28. AM2
Coordenadas polares
2
Revis˜es R
o
Teorema (Coordenadas polares R2 −→ R2 )
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas (x, y )
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
e polares (ρ, θ)
Fubini
Aplica¸˜es
co
x = ρ cos(θ)
, θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
y = ρ sin(θ)
Revis˜es R3
o
Resumo 1 J=ρ
Resumo 2
Integrais
triplos ρ = x2 + y2
Volume
Cil´
ındricas
θ = arctan y
x
Esf´ricas
e
Applets
28/61

29. AM2
Coordenadas polares generalizadas
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
Teorema (Coordenadas polares generalizadas R2 −→ R2 )
´
Areas e volumes
Propriedades Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas (x, y )
ca
Fubini
Aplica¸˜es
co e polares generalizadas (ρ, θ)
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares x−a
Applets = ρ cos(θ)
3
c
y −b , θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+ .
Revis˜es R
o
Resumo 1 d = ρ sin(θ)
Resumo 2
Integrais J = cdρ
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e

2
Applets  x−a 2 y −b
 ρ= c + d
 θ = arctan
 (y −b)c
(x−a)d
29/61

30. AM2
Revis˜es R2
o
Integrais Confirme os seus resultados usando os applets:
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/
Mudan¸a de
c
vari´veis
a doubint/double_integrals.html
Polares
Applets (ao introduzir um integral duplo mostra a regi˜o de integra¸˜o)
a ca
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=
Volume f5f3cbf14f4f5d6d2085bf2d0fb76e8a#fb
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e (calcula o valor de um integral duplo)
Applets
30/61

31. AM2
Revis˜es R2
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Revis˜es de R3
Mudan¸a de
c
o
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
31/61

32. AM2
Paraboloide
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
´
ca
Areas e volumes
x2 + y2 = z
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
32/61

33. AM2
Superf´ C´nica - Cone
ıcie o
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos x2 + y2 = z2
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
33/61

34. AM2
Superf´ cil´
ıcie ındrica - Cilindro
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos x 2 + y 2 = R 2, R∈R
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
34/61

35. AM2
Hiperboloide de 1 folha
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos x 2 + y 2 = z 2 + A, A ∈ R+
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
35/61

36. AM2
Hiperboloide de 2 folhas
2
Revis˜es R
o
Integrais x 2 + y 2 = z 2 − A, A ∈ R+
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
36/61

37. AM2
Esfera
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
´
ca
Areas e volumes
x2 + y 2 + z2 = R2
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
37/61

38. AM2
Resumo
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c x2 + y 2 = z paraboloide
vari´veis
a
Polares x2 + y 2 = z 2 cone
Applets
Revis˜es R3
o
x2 + y 2 = R 2 cilindro
Resumo 1 x2 + y 2 = z 2 + A hiperboloide de 1 folha
Resumo 2
Integrais
x2 + y 2 = z 2 − A hiperboloide de 2 folhas
triplos
Volume
x2 + y 2 + z 2 = R 2 esfera
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
38/61

39. AM2
Descentradas
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca Todas estas superf´
ıcies podem ser descentradas, ou seja, n˜o
a
´
Areas e volumes
Propriedades terem o centro na origem:
Fubini
Aplica¸˜es
co
(x − a)2 + (y − b)2 = z
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
(x − a)2 + (y − b)2 = z 2
Resumo 1
Resumo 2 (x − a)2 + (y − b)2 = R 2
Integrais
triplos
Volume
(x − a)2 + (y − b)2 = z 2 + A
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
(x − a)2 + (y − b)2 = z 2 − A
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R 2
39/61

40. AM2
El´
ıpticas
2
Revis˜es R
o
Integrais Todas estas superf´
ıcies podem ser el´
ıpticas em vez de circulares:
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes x 2 y 2
Propriedades + =z
Fubini c d
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c x 2 y 2
vari´veis
a
+ = z2
Polares
Applets
c d
Revis˜es R3
o x 2 y 2
Resumo 1 + = R2
Resumo 2 c d
Integrais
x 2 y 2
triplos
Volume
+ = z2 + A
Cil´
ındricas c d
Esf´ricas
e
x 2 y 2
= z2 − A
Applets
+
c d
x 2 y 2 z 2
+ + = R2
c d e
40/61

41. AM2
Outro eixo
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co Todas estas superf´ıcies podem ser ao longo de outro eixo, por
Mudan¸a de
c
vari´veis
a exemplo o eixo dos xx’s:
Polares
Applets z 2 + y 2 = x paraboloide
Revis˜es R3
o
Resumo 1
z2 + y 2 = x 2 cone
Resumo 2 z2 + y 2 = R 2 cilindro
Integrais
triplos z2 + y 2 = x 2 + A hiperboloide de 1 folha
Volume
Cil´
ındricas
z2 + y 2 = x 2 − A hiperboloide de 2 folhas
Esf´ricas
e
Applets
41/61

42. AM2
Resumo generalizadas
2
Revis˜es R
o
2 2
Integrais y −a z −b
duplos + =x
Defini¸˜o
ca c d
´
Areas e volumes
Propriedades 2 2
Fubini y −a z −b
Aplica¸˜es
co + = x2
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
c d
Polares
2 2
Applets
y −a z −b
Revis˜es R3
o + = R2
Resumo 1 c d
Resumo 2
2 2
Integrais
y −a z −b
triplos
+ = x2 + A
Volume
Cil´
ındricas
c d
Esf´ricas
e
2 2
Applets
y −a z −b
+ = x2 − A
c d
2 2 2
y −a z −b x −e
+ + = R2
c d f
42/61

43. AM2
Cilindro parab´lico
o
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
z = x2
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
43/61

44. AM2
Cilindro hiperb´lico
o
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
x2 − y 2 = R2
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
44/61

45. AM2
Paraboloide hiperb´lico
o
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
x2 − y2 = z
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
45/61

46. AM2
outras...
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
z = sin(x)
Mudan¸a de
c √
vari´veis
a
Polares
y= x
Applets
Revis˜es R3
o y =x
Resumo 1
Resumo 2
z = −x
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
...
46/61

47. AM2
Rectas em R3
Revis˜es R2
o Sejam A e B dois pontos da recta:
Integrais A = (x1 , x2 , x3 )
duplos
Defini¸˜o
ca B = (y1 , y2 , y3 )
´
Areas e volumes
Propriedades P = (x, y , z) pertence ` recta sse
a
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c AP = λAB
vari´veis
a
Polares
Applets P − A = λAB
3
Revis˜es R
o
Resumo 1
P = A + λAB, λ∈R
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Equa¸˜o vectorial da recta:
ca
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
(x,y,z)=(x1 , y1 , z1 ) + λ(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ), λ∈R
Equa¸˜o param´trica da recta:
ca e

 x=x1 + λ(x2 − x1 )
y=y1 + λ(y2 − y1 )
z=z1 + λ(z2 − z1 )

47/61

48. AM2
Revis˜es R2
o donde
Integrais

 λ= x − x1
duplos
x2 − x1



Defini¸˜o
´
ca
Areas e volumes
 y − y1
Propriedades λ=
Fubini  y2 − y1
Aplica¸˜es
co


 λ=
 z − z1
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
z2 − z1
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Equa¸˜o cartesiana ou normal da recta:
ca
Integrais
triplos x − x1 y − y1 z − z1
Volume = =
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1
Applets
48/61

49. AM2 Notas:
(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) ´ o vector director da recta.
e
Revis˜es R
o 2
Se uma das coordenadas do vector director ´ nula, por
e
Integrais exemplo, x2 − x1 = 0, a equa¸˜o normal da recta ´
ca e
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes y − y1 z − z1
Propriedades x = x1 =
Fubini
Aplica¸˜es
co
y2 − y1 z2 − z1
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares Se duas coordenadas do vector director forem nulas, por
Applets
exemplo, x2 − x1 = z2 − z1 = 0 ent˜o a equa¸˜o normal
a ca
Revis˜es R3
o
Resumo 1 da recta ´
e
Resumo 2
Integrais
x = x1 ∧ z = z1
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
49/61

50. AM2
Planos
Revis˜es R
o 2
Sejam A, B e C trˆs pontos do plano:
e
Integrais A = (x1 , x2 , x3 )
duplos
Defini¸˜o
ca B = (y1 , y2 , y3 )
´
Areas e volumes
Propriedades C = (z1 , z2 , z3 )
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
P = (x, y , z) pertence ao plano sse
Applets
Revis˜es R3
o
AP = λAB + µAC
Resumo 1
Resumo 2 P − A = λAB + µAC
Integrais
triplos P = A + λAB + µAC , λ, µ ∈ R
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
Equa¸˜o vectorial do plano:
ca
(x, y , z) = (x1 , y1 , z1 ) + λ(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )+
+µ(x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 )
onde A ´ um ponto do plano, λ, µ ∈ R, AB e AC s˜o dois
e a
vectores n˜o colineares (linearmente independentes) do plano.
a 50/61

51. AM2
Equa¸˜o param´trica do plano:
 ca e
Revis˜es R2
o
Integrais
 x=x1 + λ(x2 − x1 ) + µ(x3 − x1 )
duplos y=y1 + λ(y2 − y1 ) + µ(y3 − y1 )
Defini¸˜o
ca
z=z1 + λ(z2 − z1 ) + µ(z3 − z1 ) λ, µ ∈ R
´

Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co Equa¸˜o geral ou cartesiana do plano:
ca
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets Ax+By+Cz+D=0
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos ax+by+cz=1
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
onde (A, B, C ) e (a, b, c) s˜o vectores normais
a
(perpendiculares) ao plano;
Se D = 0 o plano cont´m a origem.
e
51/61

52. AM2
Revis˜es R2
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
3
Integrais Triplos
Revis˜es R
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
52/61

53. AM2
Integral triplo de Riemann
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
f (x, y , z) dx dy dz =
Revis˜es R3
o
R
Resumo 1
Resumo 2 n m p
limn,m,p→+∞ i=1 j=1 k=1 f (xi , yj , zk )∆xi ∆yj ∆zk
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
53/61

54. AM2
Volume
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Seja V uma regi˜o limitada de R3 ent˜o
a a
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1 volume de V = 1 dV
Resumo 2 V
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
54/61

55. AM2
Coordenadas cil´
ındricas
2
Revis˜es R
o
Integrais
duplos
ındricas R3 −→ R3 )
Teorema (Coordenadas cil´
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas
ca
Propriedades
Fubini (x, y , z) e cil´
ındricas (ρ, θ, z)
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c 
vari´veis
a
Polares  x = ρ cos(θ)
y = ρ sin(θ) , θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+
Applets
Revis˜es R3
o
z =z

Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos J=ρ
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e Para cada ponto P:
Applets
(ρ, θ) ´ a representa¸˜o em coordenadas polares da
e ca
projec¸˜o de P no plano-xy.
ca
z ´ a cota do ponto P.
e
55/61

56. AM2
Coordenadas cil´
ındricas
Revis˜es R
o 2
generalizadas
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
Teorema (Coordenadas cil´
ındricas generalizadas
´
Areas e volumes
Propriedades
R3 −→ R3 )
Fubini
Aplica¸˜es
co Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas
ca
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
(x, y , z) e cil´
ındricas generalizadas (ρ, θ, z)
Applets
 x−a
Revis˜es R3
o  c = ρ cos(θ)
Resumo 1 y −b
Resumo 2 = ρ sin(θ) , θ ∈ [0, 2π[, ρ ∈ R+
 d
Integrais
triplos
z =z
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e J = cdρ
Applets
Para cada ponto P:
(ρ, θ) ´ a representa¸˜o em coordenadas polares
e ca
generalizadas da projec¸˜o de P no plano-xy.
ca
z ´ a cota do ponto P.
e
56/61

57. AM2
Coordenadas esf´ricas
e
2
Revis˜es R
o
Teorema (Coordenadas esf´ricas R3 −→ R3 )
e
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
(x, y , z) e esf´ricas (ρ, θ, ϕ)
e
Fubini
Aplica¸˜es
co

Mudan¸a de
c
vari´veis
a
 x = ρ cos(θ) sin(ϕ)
Polares y = ρ sin(θ) sin(ϕ) , θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+
Applets
z = ρ cos(ϕ)

Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
J = ρ2 sinφ
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Para cada ponto P:
Esf´ricas
e
Applets
ρ ´ a distˆncia de P ` origem.
e a a
θ ´ o ˆngulo entre o eixo positivo do x e o raio que ´
e a e
formado entre a projec¸˜o de P no plano-xy e a origem.
ca
ϕ ´ o ˆngulo entre o eixo positivo do z e o raio entre a
e a
origem e P.
57/61

58. AM2
Revis˜es R2
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais
triplos
Volume
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
3
3
http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/coords/
shilmay23fin.html
58/61

59. AM2
Coordenadas esf´ricas
e
Revis˜es R
o 2
generalizadas
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
Teorema (Coordenadas esf´ricas generalizadas R3 −→ R3 )
e
vari´veis
a
Polares Tem-se a seguinte rela¸˜o entre coordenadas cartesianas
ca
Applets
Revis˜es R3
o
(x, y , z) e esf´ricas generalizadas (ρ, θ, ϕ)
e
Resumo 1
Resumo 2
 x−a
Integrais
 d = ρ cos(θ) sin(ϕ)
y −b
triplos
e = ρ sin(θ) sin(ϕ)
, θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+
Volume  z−c
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
f = ρ cos(φ)
Applets
J = def ρ2 sin(ϕ)
59/61

60. AM2
Revis˜es R2
o
Integrais
duplos Confirme os seus resultados usando os applets:
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/
vari´veis
a
Polares (v´rios applets: coordenadas esf´ricas, superf´
a e ıcies em 3D, etc.)
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=
Integrais
triplos bf8679a50a63113b582ed22679363a4
Volume
Cil´
ındricas (calcula o valor de um integral triplo)
Esf´ricas
e
Applets
60/61

61. AM2
Revis˜es R2
o
Integrais
duplos
Defini¸˜o
ca
´
Areas e volumes
Propriedades
Fubini
Aplica¸˜es
co
Mudan¸a de
c
vari´veis
a
Polares
Applets
Revis˜es R3
o
Resumo 1
Resumo 2
Integrais Autora:
triplos
Volume
Sandra Gaspar Martins
Cil´
ındricas
Esf´ricas
e
Applets
Com base no trabalho de:
Nuno David Lopes
e
Cristina Janu´rio
a
61/61