geometria

1. A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de
amplitude 900
, 1800
, 2700
e 3600
.
A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de
amplitude 900
, 1800
, 2700
e 3600
.
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 900
.
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 1800
.
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 2700
.
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 3600
.
Simetria de rotação
Ox
Ox Ox Ox Ox

2. Isometrias são aplicações que transformam uma figura
geométrica numa outra figura congruente.
Isometrias são aplicações que transformam uma figura
geométrica numa outra figura congruente.
É uma isometria. Não é uma isometria.
Isometria

3. TRANSLAÇÃOTRANSLAÇÃO
u
REFLEXÃOREFLEXÃO
r
ROTAÇÃOROTAÇÃO
x
o
90º
REFLEXÃOREFLEXÃO
DESLIZANTEDESLIZANTE
s
u

4. P
u

Translação
P’P’

5. Propriedades da translação
•Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo e com o
mesmo comprimento.
•Uma reta ou uma semirreta é transformada numa reta ou
numa semirreta paralelas, respetivamente.
•Um ângulo é transformado num ângulo geometricamente igual e com o
mesmo sentido.
•Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo e com o
mesmo comprimento.
•Uma reta ou uma semirreta é transformada numa reta ou
numa semirreta paralelas, respetivamente.
•Um ângulo é transformado num ângulo geometricamente igual e com o
mesmo sentido.
P
P’
u


6. Dada uma reta r (eixo de reflexão), dá-se o nome de reflexão de eixo r à
isometria que transforma os pontos de r em si próprios e que, a cada
ponto P não pertencente a r , faz corresponder um ponto P’ tal que o
eixo r é a mediatriz de [PP’].
Dada uma reta r (eixo de reflexão), dá-se o nome de reflexão de eixo r à
isometria que transforma os pontos de r em si próprios e que, a cada
ponto P não pertencente a r , faz corresponder um ponto P’ tal que o
eixo r é a mediatriz de [PP’].
O
r
d d
Q
RS
T
O’P’
Q’
R’ S’
T’
P
Reflexão

7. • Um segmento de reta é transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento.
• Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa semirreta respetivamente.
• Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com
sentido inverso.
• Qualquer ponto do eixo de reflexão transforma-se em si próprio.
• A distância de um ponto original ao eixo de reflexão é igual à distância da imagem desse ponto ao
eixo.
• Um segmento de reta é transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento.
• Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa semirreta respetivamente.
• Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com
sentido inverso.
• Qualquer ponto do eixo de reflexão transforma-se em si próprio.
• A distância de um ponto original ao eixo de reflexão é igual à distância da imagem desse ponto ao
eixo.
Propriedades das reflexões
O
r
d d
Q
RS
T
O’P’
Q’
R’ S’
T’
P

8. P
P’
O
α
Desenhar a figura transformada da
figura dada por uma rotação de centro
O e amplitude 900
.
1.o
Desenham-se [OA], [OB], e [OC] .
3.o
Com a ajuda do transferidor
medem-se os ângulos de modo que :
A’ÔA=900
; B’ÔB=900
; C’ÔC=900
.
4.o
Desenhar o triângulo [A’B’C’].
A B
C
Ox
B’x
A’x
C’x
Rotação de centro O e ângulo α é a isometria do plano que
transforma qualquer ponto P no ponto P’, tal que OP = OP’ e PÔP = α ,
sendo O o centro de rotação e α o ângulo de rotação.
O ângulo de rotação é um ângulo orientado:
Sentido positivo(sentido antihorário) ou sentido negativo(sentido
horário).
A rotação assim definida representa-se por RO , α .
Rotação de centro O e ângulo α é a isometria do plano que
transforma qualquer ponto P no ponto P’, tal que OP = OP’ e PÔP = α ,
sendo O o centro de rotação e α o ângulo de rotação.
O ângulo de rotação é um ângulo orientado:
Sentido positivo(sentido antihorário) ou sentido negativo(sentido
horário).
A rotação assim definida representa-se por RO , α .

9. • Um segmento de reta é
transformado num segmento de
reta com o mesmo comprimento.
• Um ângulo é transformado num
ângulo com a mesma amplitude e
com o mesmo sentido.
• Uma reta ou uma semirreta são
transformadas numa recta ou numa
semirreta respetivamente.
• O centro de rotação é o único ponto
que se mantém fixo se o ângulo da
rotação não for um múltiplo de 360o
B’x
A’X
xC’
AX XB
CX
Ox
Propriedades da rotação

10. Reflexão deslizante é uma isometria resultante da composição de uma
reflexão de eixo e com uma translação cujo vetor (não nulo) é paralelo
a e.
u

O
r
d d
Q
RS
T
O’’P’’
Q’’
R’’ S’’
T’’
P
O’P’
R’ S’
T’Q’
u


11. • Não existem pontos invariantes, pois mesmo os pontos do que
pertencem ao eixo de reflexão continuam a pertencer-lhe mas são
deslocados pelo vetor.
• Um segmento de reta é transformado noutro segmento de reta,
reflectido pelo eixo e deslocado pelo vetor.
• Um ângulos orientado é transformado num ângulo orientado com a
mesma amplitude mas com sentido inverso.
• Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa
semirreta respetivamente.
• A distância de um ponto ao eixo é igual à distância da imagem desse
ponto ao eixo.
• Não existem pontos invariantes, pois mesmo os pontos do que
pertencem ao eixo de reflexão continuam a pertencer-lhe mas são
deslocados pelo vetor.
• Um segmento de reta é transformado noutro segmento de reta,
reflectido pelo eixo e deslocado pelo vetor.
• Um ângulos orientado é transformado num ângulo orientado com a
mesma amplitude mas com sentido inverso.
• Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa
semirreta respetivamente.
• A distância de um ponto ao eixo é igual à distância da imagem desse
ponto ao eixo.
Propriedades da reflexão deslizante

12. Em qualquer isometria:
• Uma isometria do plano é
necessariamente uma translação, uma
reflexão, uma rotação ou uma reflexão
deslizante
• Uma reta é transformada numa reta.
• Uma semirreta é transformada numa
semirreta.
• Um segmento de reta é transformado
num segmento de reta com o mesmo
comprimento.
• Um ângulo é transformado num ângulo
com a mesma amplitude.
Em qualquer isometria:
• Uma isometria do plano é
necessariamente uma translação, uma
reflexão, uma rotação ou uma reflexão
deslizante
• Uma reta é transformada numa reta.
• Uma semirreta é transformada numa
semirreta.
• Um segmento de reta é transformado
num segmento de reta com o mesmo
comprimento.
• Um ângulo é transformado num ângulo
com a mesma amplitude.
Propriedades das isometrias

13. Desta forma uma figura pode ter:
Simetria de reflexão
 Simetria de rotação
Simetria de translação
Simetria de reflexão deslizante
Quando a imagem dessa figura, através de uma
isometria diferente da identidade, coincide com a figura
original, então a figura tem simetria.
Quando a imagem dessa figura, através de uma
isometria diferente da identidade, coincide com a figura
original, então a figura tem simetria.
Simetria

14. Uma figura tem simetria de reflexão se a sua
transformada por uma reflexão é a própria figura.
Uma figura tem simetria de reflexão se a sua
transformada por uma reflexão é a própria figura.
Esta figura tem seis
simetrias de reflexão.
Esta figura tem seis
simetrias de reflexão.
Simetria de reflexão
e1
e2
e3
e4
e5
e6

15. Uma figura tem uma simetria de rotação se a sua
transformada por uma rotação, distinta da identidade, é a
própria figura.
Uma figura tem uma simetria de rotação se a sua
transformada por uma rotação, distinta da identidade, é a
própria figura.
Simetria de rotação
A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de
amplitude 900
, 1800
, 2700
e 3600
.
A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de
amplitude 900
, 1800
, 2700
e 3600
.
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 900
.
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 1800
.
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 2700
.
Rotação de centro
O e medida de
amplitude 3600
.
Ox
Ox Ox Ox Ox

16. Simetria de translação
… …
u

u

u

u


17. Uma figura tem uma simetria de reflexão deslizante se o transformado da
figura por uma dada reflexão deslizante é a própria figura.
Uma figura tem uma simetria de reflexão deslizante se o transformado da
figura por uma dada reflexão deslizante é a própria figura.
Simetria de reflexão deslizante
… …

18. Uma rosácea é uma figura plana com as seguintes características:
– Possui um número finito de simetrias de rotação ou de reflexão.
– Todas as rotações que deixam a figura invariante estão centradas num
mesmo ponto O.
– Todas as simetrias de reflexão estão associadas a uma reta que contém
o ponto O.
Uma rosácea é uma figura plana com as seguintes características:
– Possui um número finito de simetrias de rotação ou de reflexão.
– Todas as rotações que deixam a figura invariante estão centradas num
mesmo ponto O.
– Todas as simetrias de reflexão estão associadas a uma reta que contém
o ponto O.
Rosáceas
Ox

19. 4 simetrias de rotação
4 simetrias de reflexão
16 simetrias de rotação
0 simetrias de reflexão
5 simetrias de rotação
5 simetrias de reflexão
6 simetrias de rotação
6 simetrias de reflexão
8 simetrias de rotação
8 simetrias de reflexão
3 simetrias de rotação
0 simetrias de reflexão
Simetrias de rotação e simetrias de reflexão

20. Frisos
… …

21. Os 7 tipos de Frisos

24. Um padrão e uma figura plana que possui uma infinidade de
simetrias de translação em mais do que uma direção.
Nota: Para além de translações, um padrão pode ser invariante por
reflexões, rotações e reflexões deslizantes.
Um padrão e uma figura plana que possui uma infinidade de
simetrias de translação em mais do que uma direção.
Nota: Para além de translações, um padrão pode ser invariante por
reflexões, rotações e reflexões deslizantes.
Padrão

26. Uma reflexão sobre as provas
nacionais
Augusta Neves
geral@augusta-neves.net