SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 44
A Modelagem Matemática Uma tendência da Educação Matemática Daniel Sombra Edwillson Filho Josane Martins
Educação Matemática Finalidades 1) Desenvolver, testar e divulgar métodos de ensino.  2) Elaborar e complementar mudanças curriculares. 3) Desenvolver e testar materiais de apoio para o ensino da matemática
Objetivos da Ed. Matemática - Desenvolvimento do poder dos alunos e dos indivíduos em sociedade, quer para ultrapassar barreiras do seu desenvolvimento em termos de educação e emprego, quer no sentido de aumentar a sua auto-determinação e o seu envolvimento críticona cidadania social. - Mudança social em direção a uma sociedade mais justa e mais igualitária. Na prática escolar isto significa o questionamento permanente e sistemático, abrindo espaços de discussão e permitindo o conflito de opiniões e pontos de vista, o questionamento dos temas matemáticos e da sua relevância e a negociação de objetivos partilhados.
Competências do professor no século XXI. ,[object Object]
 Adequar e equipar o aluno frente à velocidade, dinamicidade e fluidez das relações humanas.
 Dar ao aluno a compreensão das consequências das atividades humanas no planeta habitado.
 Auxiliar e guiar o aluno no seu processo de auto-re-construção de si mesmo.
 Auxiliar o aluno a construir uma nova dinâmica social, em conjunto com os demais seres humanos.,[object Object]
 O professor deverá, também, está apto a captar, dentro do contexto das inovações tecnológicas, o que poderá ser útil e aplicável ao processo educacional, tendo sempre em vista a manutenção do aluno em sala de aula.,[object Object]
	Uma nova civilização está emergindo em nossas vidas, e homens cegos, em todos os lugares, estão tentando suprimir isso. Esta nova civilização traz consigo novos estilos de família, mudanças de caminhos no trabalho, amor e vida; uma nova economia; novos conflitos políticos; e além de tudo, uma consciência alterada. Pedaços desta nova civilização existem hoje. Milhares já estão sintonizando suas vidas aos ritmos do amanhã. Outros, amedrontados pelo futuro, estão engajados num vôo desesperador e fútil ao passado e, estão tentando restaurar o mundo morto que deu o nascimento à eles… O amanhecer desta civilização é simplesmente o fator mais explosivo do tempo de nossas vidas. Toffler
A Modelagem Matemática no ensino. 	Tendo como base a teoria construtivista de Jean Piaget, pode-se afirmar que a construção de uma determinada ideia acarretará em uma internalização do conteúdo com êxito muito maior que a mera transmissão em vai única de conteúdos professor-aluno. A Modelagem Matemática entra nesse contexto como propulsora de uma relação mais estável entre os alunos e a Matemática.
A Modelagem Matemática consiste na elaboração de um determinado modelo de atividades que proporcionarão aos alunos diversas dúvidas referentes ao contexto escolhido que para serem respondidas necessitarão de conteúdos matemáticos.  	Para se obter resultados adequados é preciso ter em mente que este é um processo lento, que demanda uma grande quantidade de tempo. O planejamento é a “chave do sucesso”. O docente deverá ter todo o processo esquematizado e estar preparados  para auxiliar o aluno nas mais diversas dificuldades que este encontrar.
Etapas de aplicação da Modelagem Matemática em sala de aula, segundo Biembengut a) Apresentação do processo. 	O professor esquematiza ao aluno como vai proceder em relação às aulas no decorrer de um determinado período letivo. b) Escolha do tema. 	Após a exposição do modelo, o professor sugere que os alunos agrupem-se, incentivando-os na escolha do tema, de acordo com seus interesses e afinidades.
c) Planejamento do trabalho a ser desenvolvido pelos grupos. 	O professor propões que cada grupo: . Levante questões obre os tema; . Faça uma pesquisa a fim de se familiarizar com o tema; . Entreviste um especialista no assunto, em momento adequado e se for conveniente. d) Orientação no processo 	O professor deve tomar este planejamento, bem como os questionamentos , não só para se inteirar do tema escolhido, mas também para orientar cada grupo, em particular, quanto à ordem dos problemas a serem resolvidos.
e) Conteúdo matemático 	A medida em que os alunos forem avançando nas pesquisas para satisfazer os questionamentos  o professor fará explanações necessárias para que os alunos prossigam na busca. f) Apresentação dos modelos matemáticos. 	O professor apresenta modelos prontos, ou expõe os modelos até então desenvolvidos pelos grupos, a fim de aprofundar sua bases teóricas, provocando interação entre os grupos.
g) Validação dos trabalhos apresentados. 	O professor expões em que circunstâncias são válidos os modelos desenvolvidos pela turma, e complementa com outros  modelos.
Esquema da Modelagem Matemática
Onde está a Matemática?
Onde está a Matemática?
Exemplo de modelo proposto por Biembengut e Hein. A forma ótima: Mínima área X Máximo volume. 		Sabemos que ao comprar um produto, não pagamos só por este, mas também por sua embalagem. Atualmente o fabricante além de procurar oferecer um bom produto, com boa aparência, necessita baratear o custo do produto. Na embalagem uma das propostas é estabelecer um formato que utilize quantidade mínima de material e o máximo aproveitamento ou volume. Qual é a forma ideal para uma embalagem? Vamos responder em três etapas.
Primeira etapa de formulação e resolução. 	Primeiro, tomemos uma embalagem de leite. A forma é de prisma de base retangular. Seria a forma ideal? De menor custo? De melhor manuseio? 	Veja agora a embalagem de óleo comestível, na forma de um cilindro e com a mesma capacidade, isto é, capacidade para um litro. Em seguida, calcular a quantidade material – área – necessária para cada uma delas , supondo que o volume (V) seja o mesmo para ambas.
O volume de um sólido geométrico é a medida do espaço ocupado por este. Por exemplo, o volume de um prisma pode ser calculado multiplicando as três medidas correspondentes à altura (h), à largura (a) e ao comprimento (b), ou seja: Volume = altura X largura X comprimento ou V = h . (a . b) Observamos que largura X comprimento = área da base, logo Volume = área da base X altura V =Ab . h
O volume do cilindro também pode ser determinado pelo produto da área da base pela altura. V = Ab . h Como a base do cilindro é circular, então a área da base é dada por π X r², logo:  V = π . r² . h A diferença entre o volume ocupado pela embalagem e a capacidade é que ao determinar o volume (produto entre as medidas externas do sólido) tem-se a medida que o sólido ocupa no espaço; e determinado o volume interno do sólido tem-se a capacidade. A unidade de medida de volume é metro cúbico, para capacidade converte-se em litros.
Supondo que as embalagens tenham o mesmo volume (V) e mesma altura (h), chamando o volume do prisma de V1 e a do cilindro de V2, tem-se: V1 = V2 a . b . h = π . r² . h Cancelando h, obtemos:  a . b = π . r² Onde a e b  são, respectiva medidas dos lados (largura e comprimento). Tomando a = 6 cm, b = 9 cm, temos: π . r² = 54 cm²  e, portanto, r = √ 54 / π cm ≈ 4,15 cm
Com esses valores podemos calcular as áreas das superfícies das duas embalagens. ,[object Object],Área total = At = 2 (16 . 9) + 2 (16 . 6) + 2 (6 . 9) = 588 cm² Área total = 588 cm²
[object Object],Área = c (contorno) X h (altura) A = área lateral + área das bases A = ( 2 . π . r . h) + (2 . π . r²)
Substituindo na expressão os valores: h = 16 cm e r = √54 cm²/π Área total ≈ 524,79 cm² 	Embora as embalagens dadas tenham o mesmo volume e a mesma altura, as áreas não são as mesmas, isto é, uma embalagem na forma retangular utiliza mais material que uma  na forma cilíndrica: 588 cm² > 524,79 cm² A diferença é pequena, porém, quando somamos essa diferença é significativa! Obs.:  Ignorou-se as dobras.
Segunda etapa: generalização do problema O exemplo apresentado mostra que a área total de um prisma é maior que a área total de um cilindro com o mesmo volume e a mesma altura. Vamos verificar agora se esta relação é válida para quaisquer medidas. Temos: Volume do prisma: largura X comprimento X altura V = (a . b) . h Volume do cilindro: área da base X altura V = (π . r²) . h Onde a e b são as respectivas medidas dos lados do prisma (largura e comprimento), r o raio do cilindro, e h a altura do cilindro e do prisma.
Considerando os volumes iguais para os dois sólidos, obtemos: V1 = V2 b. a . h = π . r². h Cancelando h, obtemos: b . a = π . r² Ou ainda Área total de um prisma de base retangular: 2 (ab) + 2 (ah) + 2 (bh) = 2 [ab + h (a + b)] Área total do cilindro é: (2πrh) + (2πr²)
Comparando as duas áreas: Área do prisma = 2 [ab + h (a + b)] Sendo que ab = π . r²e, portanto, a = π . r²/b e b = π . r² /a, substituindo na expressão da página anterior: Área do prisma = 2 [πr²  + h (πr²/b + πr²/a)] = 2πr² + 2πrh (r/b + r/a) Área do prisma > Área do cilindro = 2πr²  +2πrh __________________________________________________________ 	Num raciocínio análogo, considerando um prisma de base retangular e um cilindro, obteremos que o Volume do cilindro é maior que o do prisma.
	A partir deste ponto, com o modelo formal concluído, pode-se propor atividades que o abordem, que partam de sua base estabelecida. ,[object Object],Atividade proposta: Procurar a forma ótima [máximo de aproveitamento de volume] para construir uma caixa a partir de uma folha de papelão em forma quadrada de 20 cm de lado.
Material: ,[object Object]
 01 régua de 30 cm.
 01 lousa [atividade desenvolvida em sala de aula];
 Ao mínimo, 01 pincel atômico;
 Cadernos, lápis ou canetas [por parte dos alunos, que deverão colaborar com os cálculos].Objetivo: 	Finalizar a abordagem da Modelagem, com a aplicaçãp prática do Modelo.
Terceira etapa de formulação e resolução do problema: utilização dos conhecimentos adquiridos em casos gerais. Vamos, então, procurar saber qual a forma “ótima” para um caixa, isto é, a que utiliza um mínimo de material para um máximo aproveitamento. Para isso, vamos  dispor de uma folha de papelão na forma quadrada, medindo 20 cm de lado. ↑ 20 cm ↓   20 cm   Qual deve ser a altura da caixa (quanto dobrar) para que o volume seja máximo?
20 – 2h ? 20 – 2 h h h = ? h
Encontrando a equação que determina o volume da caixa em função da altura. V = área da base X altura Como a base é quadrada, a área da base é (20 – 2h)². Considerando h a medida da altura da caixa, temos: V = (20 – 2h)² . h  0 < h < 10 V = V (h) = (400 – 80h + 4h²) . h Neste momento, podemos apresentar o conceito de função, função polinomial e pontos críticos de uma função. No exemplo, a função V (h) é um polinômio de 3º grau.
Representando essa função no gráfico podemos obter seus pontos críticos . Pelo gráfico, ponto máximo é h = 10/3. Como estamos procurando a medida da altura que permita um máximo volume, a medida h deve ser 10/3 = 3,33 cm.
[object Object]
 Com a primeira folha, se construirá uma caixa com uma altura de 3,33 cm, medindo com a régua.
 Com as outras duas, se construirão duas caixas com alturas aleatórias [de preferência,  uma com altura maior que 3,33 cm e outra com altura menor que 3,33 cm.. O objetivo, ao final, é comprovar que as folhas, com a mesma medida deram origem a caixas com diferentes volumes, e que a altura ótima calculada permitiu a construção cujo capacidade é maior que as demais opções.

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Fundamentos e metodologia do ensino de matemática.pptx
Fundamentos e metodologia do ensino de matemática.pptxFundamentos e metodologia do ensino de matemática.pptx
Fundamentos e metodologia do ensino de matemática.pptxGlacemi Loch
 
Etnomatematica
EtnomatematicaEtnomatematica
EtnomatematicaEtnomatem
 
O Ensino da Álgebra no Ensino Fundamental
O Ensino da Álgebra no Ensino FundamentalO Ensino da Álgebra no Ensino Fundamental
O Ensino da Álgebra no Ensino Fundamentaldebora12
 
Educacao matematica
Educacao matematicaEducacao matematica
Educacao matematicamichaelmelo
 
Seminário de Letramento Matemático
Seminário de Letramento MatemáticoSeminário de Letramento Matemático
Seminário de Letramento MatemáticoAndréa Thees
 
Aula 1 a história e o ensino de matemática
Aula 1   a história e o ensino de matemáticaAula 1   a história e o ensino de matemática
Aula 1 a história e o ensino de matemáticaLidiane Schimitz Lopes
 
Estrutura e funcionamento do ensino
Estrutura e funcionamento do ensino Estrutura e funcionamento do ensino
Estrutura e funcionamento do ensino Darlan Campos
 
A matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: reflexões teóricas e ...
A matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: reflexões teóricas e ...A matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: reflexões teóricas e ...
A matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: reflexões teóricas e ...Ilydio Pereira de Sa
 
Política e Organização da Educação Brasileira
Política e Organização da Educação BrasileiraPolítica e Organização da Educação Brasileira
Política e Organização da Educação BrasileiraEdneide Lima
 
Etnomatematica: uma alternativa Metodológica
Etnomatematica: uma alternativa MetodológicaEtnomatematica: uma alternativa Metodológica
Etnomatematica: uma alternativa MetodológicaEtnomatem
 
A Contribuição da Etnomatemática no Processo ensino Aprendizagem no ensino Fu...
A Contribuição da Etnomatemática no Processo ensino Aprendizagem no ensino Fu...A Contribuição da Etnomatemática no Processo ensino Aprendizagem no ensino Fu...
A Contribuição da Etnomatemática no Processo ensino Aprendizagem no ensino Fu...UFMA e UEMA
 
Sistema de organização educaçao brasileira
Sistema de organização educaçao brasileiraSistema de organização educaçao brasileira
Sistema de organização educaçao brasileiraHerbert Schutzer
 
Projeto político pedagógico ppp
Projeto político pedagógico pppProjeto político pedagógico ppp
Projeto político pedagógico pppgisianevieiraanana
 
EducaçãO+..
EducaçãO+..EducaçãO+..
EducaçãO+..Freiredg
 
Metodos de-alfabetizacao
Metodos de-alfabetizacaoMetodos de-alfabetizacao
Metodos de-alfabetizacaopac virgínia
 
PLANO NACIONAL DE EDUCAÇÃO -PNE
PLANO NACIONAL DE EDUCAÇÃO -PNEPLANO NACIONAL DE EDUCAÇÃO -PNE
PLANO NACIONAL DE EDUCAÇÃO -PNEJulhinha Camara
 
Trabalhando Matemática nos Anos Iniciais
Trabalhando Matemática nos Anos IniciaisTrabalhando Matemática nos Anos Iniciais
Trabalhando Matemática nos Anos Iniciaisluciany-nascimento
 

Mais procurados (20)

Fundamentos e metodologia do ensino de matemática.pptx
Fundamentos e metodologia do ensino de matemática.pptxFundamentos e metodologia do ensino de matemática.pptx
Fundamentos e metodologia do ensino de matemática.pptx
 
Etnomatematica
EtnomatematicaEtnomatematica
Etnomatematica
 
O Ensino da Álgebra no Ensino Fundamental
O Ensino da Álgebra no Ensino FundamentalO Ensino da Álgebra no Ensino Fundamental
O Ensino da Álgebra no Ensino Fundamental
 
Educacao matematica
Educacao matematicaEducacao matematica
Educacao matematica
 
Jogos Matematicos
Jogos MatematicosJogos Matematicos
Jogos Matematicos
 
Seminário de Letramento Matemático
Seminário de Letramento MatemáticoSeminário de Letramento Matemático
Seminário de Letramento Matemático
 
Aula 1 a história e o ensino de matemática
Aula 1   a história e o ensino de matemáticaAula 1   a história e o ensino de matemática
Aula 1 a história e o ensino de matemática
 
Estrutura e funcionamento do ensino
Estrutura e funcionamento do ensino Estrutura e funcionamento do ensino
Estrutura e funcionamento do ensino
 
A matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: reflexões teóricas e ...
A matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: reflexões teóricas e ...A matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: reflexões teóricas e ...
A matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: reflexões teóricas e ...
 
Política e Organização da Educação Brasileira
Política e Organização da Educação BrasileiraPolítica e Organização da Educação Brasileira
Política e Organização da Educação Brasileira
 
Etnomatematica: uma alternativa Metodológica
Etnomatematica: uma alternativa MetodológicaEtnomatematica: uma alternativa Metodológica
Etnomatematica: uma alternativa Metodológica
 
A Contribuição da Etnomatemática no Processo ensino Aprendizagem no ensino Fu...
A Contribuição da Etnomatemática no Processo ensino Aprendizagem no ensino Fu...A Contribuição da Etnomatemática no Processo ensino Aprendizagem no ensino Fu...
A Contribuição da Etnomatemática no Processo ensino Aprendizagem no ensino Fu...
 
Sistema de organização educaçao brasileira
Sistema de organização educaçao brasileiraSistema de organização educaçao brasileira
Sistema de organização educaçao brasileira
 
Educaçao matematica
Educaçao matematicaEducaçao matematica
Educaçao matematica
 
Projeto político pedagógico ppp
Projeto político pedagógico pppProjeto político pedagógico ppp
Projeto político pedagógico ppp
 
Modelagem Pedagogia.ppt
Modelagem Pedagogia.pptModelagem Pedagogia.ppt
Modelagem Pedagogia.ppt
 
EducaçãO+..
EducaçãO+..EducaçãO+..
EducaçãO+..
 
Metodos de-alfabetizacao
Metodos de-alfabetizacaoMetodos de-alfabetizacao
Metodos de-alfabetizacao
 
PLANO NACIONAL DE EDUCAÇÃO -PNE
PLANO NACIONAL DE EDUCAÇÃO -PNEPLANO NACIONAL DE EDUCAÇÃO -PNE
PLANO NACIONAL DE EDUCAÇÃO -PNE
 
Trabalhando Matemática nos Anos Iniciais
Trabalhando Matemática nos Anos IniciaisTrabalhando Matemática nos Anos Iniciais
Trabalhando Matemática nos Anos Iniciais
 

Destaque

Um estudo sobre o uso da modelagem matemática2
Um estudo sobre o uso da modelagem matemática2Um estudo sobre o uso da modelagem matemática2
Um estudo sobre o uso da modelagem matemática2taiane dias
 
Projeto modelagem (trabalho) (2)
Projeto modelagem (trabalho) (2)Projeto modelagem (trabalho) (2)
Projeto modelagem (trabalho) (2)glayse thalyta
 
Modelagem - Aula 1
Modelagem - Aula 1Modelagem - Aula 1
Modelagem - Aula 1Joabe Amaral
 
Pesquisa Operacional 1_Aula 2
Pesquisa Operacional 1_Aula 2Pesquisa Operacional 1_Aula 2
Pesquisa Operacional 1_Aula 2Joabe Amaral
 
III EEMAI - Criando Curta-Metragem para Aulas de Matemática nos Anos Iniciais
III EEMAI - Criando Curta-Metragem para Aulas de Matemática nos Anos IniciaisIII EEMAI - Criando Curta-Metragem para Aulas de Matemática nos Anos Iniciais
III EEMAI - Criando Curta-Metragem para Aulas de Matemática nos Anos IniciaisEveraldo Gomes
 
Formação - PNAIC 2015 - projetos interdisciplinares e sequências didáticas
Formação - PNAIC 2015 - projetos interdisciplinares e sequências didáticasFormação - PNAIC 2015 - projetos interdisciplinares e sequências didáticas
Formação - PNAIC 2015 - projetos interdisciplinares e sequências didáticasEveraldo Gomes
 
Calibração e validação de modelos
Calibração e validação de modelosCalibração e validação de modelos
Calibração e validação de modelosSebastian Krieger
 
Profª Graça:PNAIC-4º ENCONTRO-EDUCAÇÃO INCLUSIVA
Profª Graça:PNAIC-4º ENCONTRO-EDUCAÇÃO INCLUSIVAProfª Graça:PNAIC-4º ENCONTRO-EDUCAÇÃO INCLUSIVA
Profª Graça:PNAIC-4º ENCONTRO-EDUCAÇÃO INCLUSIVAGraça Sousa
 
Poemas problemas adaptado
Poemas problemas adaptadoPoemas problemas adaptado
Poemas problemas adaptadoSimone Dias
 
MINI AULA KARINA ZACCARON - SENAC
MINI AULA KARINA ZACCARON - SENACMINI AULA KARINA ZACCARON - SENAC
MINI AULA KARINA ZACCARON - SENACKarina Z.
 
Família gorgonzola
Família gorgonzolaFamília gorgonzola
Família gorgonzolaFrancismaire
 
Ensinando matemática para deficientes visuais
Ensinando matemática para deficientes visuaisEnsinando matemática para deficientes visuais
Ensinando matemática para deficientes visuaistaiane dias
 
01 modelagem -tecnologia-de-costura-e-modelagem-i
01   modelagem -tecnologia-de-costura-e-modelagem-i01   modelagem -tecnologia-de-costura-e-modelagem-i
01 modelagem -tecnologia-de-costura-e-modelagem-ivmaria03
 

Destaque (20)

Um estudo sobre o uso da modelagem matemática2
Um estudo sobre o uso da modelagem matemática2Um estudo sobre o uso da modelagem matemática2
Um estudo sobre o uso da modelagem matemática2
 
Projeto modelagem (trabalho) (2)
Projeto modelagem (trabalho) (2)Projeto modelagem (trabalho) (2)
Projeto modelagem (trabalho) (2)
 
Modelagem - Aula 1
Modelagem - Aula 1Modelagem - Aula 1
Modelagem - Aula 1
 
Pesquisa Operacional 1_Aula 2
Pesquisa Operacional 1_Aula 2Pesquisa Operacional 1_Aula 2
Pesquisa Operacional 1_Aula 2
 
MATEMATICA
MATEMATICAMATEMATICA
MATEMATICA
 
Mídia social
Mídia socialMídia social
Mídia social
 
III EEMAI - Criando Curta-Metragem para Aulas de Matemática nos Anos Iniciais
III EEMAI - Criando Curta-Metragem para Aulas de Matemática nos Anos IniciaisIII EEMAI - Criando Curta-Metragem para Aulas de Matemática nos Anos Iniciais
III EEMAI - Criando Curta-Metragem para Aulas de Matemática nos Anos Iniciais
 
Formação - PNAIC 2015 - projetos interdisciplinares e sequências didáticas
Formação - PNAIC 2015 - projetos interdisciplinares e sequências didáticasFormação - PNAIC 2015 - projetos interdisciplinares e sequências didáticas
Formação - PNAIC 2015 - projetos interdisciplinares e sequências didáticas
 
Calibração e validação de modelos
Calibração e validação de modelosCalibração e validação de modelos
Calibração e validação de modelos
 
Aula Teste - Senac
Aula Teste - Senac Aula Teste - Senac
Aula Teste - Senac
 
Profª Graça:PNAIC-4º ENCONTRO-EDUCAÇÃO INCLUSIVA
Profª Graça:PNAIC-4º ENCONTRO-EDUCAÇÃO INCLUSIVAProfª Graça:PNAIC-4º ENCONTRO-EDUCAÇÃO INCLUSIVA
Profª Graça:PNAIC-4º ENCONTRO-EDUCAÇÃO INCLUSIVA
 
Apostila completa modelagem
Apostila completa modelagemApostila completa modelagem
Apostila completa modelagem
 
Poemas problemas adaptado
Poemas problemas adaptadoPoemas problemas adaptado
Poemas problemas adaptado
 
MINI AULA KARINA ZACCARON - SENAC
MINI AULA KARINA ZACCARON - SENACMINI AULA KARINA ZACCARON - SENAC
MINI AULA KARINA ZACCARON - SENAC
 
Família gorgonzola
Família gorgonzolaFamília gorgonzola
Família gorgonzola
 
Como Resolver Problemas
Como Resolver ProblemasComo Resolver Problemas
Como Resolver Problemas
 
Onu
OnuOnu
Onu
 
Ensinando matemática para deficientes visuais
Ensinando matemática para deficientes visuaisEnsinando matemática para deficientes visuais
Ensinando matemática para deficientes visuais
 
01 modelagem -tecnologia-de-costura-e-modelagem-i
01   modelagem -tecnologia-de-costura-e-modelagem-i01   modelagem -tecnologia-de-costura-e-modelagem-i
01 modelagem -tecnologia-de-costura-e-modelagem-i
 
Problemas em tiras
Problemas em tirasProblemas em tiras
Problemas em tiras
 

Semelhante a Forma Ótima de Embalagem

ARTIGO - TEOREMA DE PITÁGORAS FERRAMENTA OBJETO POR ANA PAULA JAHN
ARTIGO - TEOREMA DE PITÁGORAS FERRAMENTA OBJETO POR ANA PAULA JAHNARTIGO - TEOREMA DE PITÁGORAS FERRAMENTA OBJETO POR ANA PAULA JAHN
ARTIGO - TEOREMA DE PITÁGORAS FERRAMENTA OBJETO POR ANA PAULA JAHNEASYMATICA
 
Plano de trabalho – Razões trigonométricas
Plano de trabalho – Razões trigonométricasPlano de trabalho – Razões trigonométricas
Plano de trabalho – Razões trigonométricasLuciane Oliveira
 
Perímetro e área
Perímetro e áreaPerímetro e área
Perímetro e áreagibissaco
 
Apresentacao tcc grasciele_centenaro
Apresentacao tcc grasciele_centenaroApresentacao tcc grasciele_centenaro
Apresentacao tcc grasciele_centenarocassianeaguiar
 
MAPA_EF2_6ano_V4_Matematica_PF.pdf
MAPA_EF2_6ano_V4_Matematica_PF.pdfMAPA_EF2_6ano_V4_Matematica_PF.pdf
MAPA_EF2_6ano_V4_Matematica_PF.pdfjuliaMCFernandes
 
Projeto Planejamento - Luis Alberto - 20 out 2012 - VF
Projeto Planejamento - Luis Alberto - 20 out 2012 - VFProjeto Planejamento - Luis Alberto - 20 out 2012 - VF
Projeto Planejamento - Luis Alberto - 20 out 2012 - VFluisadr
 
Plano de aula postado
Plano de aula   postadoPlano de aula   postado
Plano de aula postadoka32190999
 
Plano de trabalho - Teorema de Pitágoras
Plano de trabalho - Teorema de PitágorasPlano de trabalho - Teorema de Pitágoras
Plano de trabalho - Teorema de PitágorasLuciane Oliveira
 
Aula polígonos regulares - soma de seus ângulos internos
Aula   polígonos regulares - soma de seus ângulos internosAula   polígonos regulares - soma de seus ângulos internos
Aula polígonos regulares - soma de seus ângulos internosFrancisco de Assis Rodrigues
 
Matematica 6 semestre
Matematica 6 semestreMatematica 6 semestre
Matematica 6 semestreArleno
 
Projeto,juliana cristina gomes.
Projeto,juliana cristina gomes.Projeto,juliana cristina gomes.
Projeto,juliana cristina gomes.Juliana Cristina
 
Volume sólidos geométricos prismas/ SLIDE DO EDUCOPÉDIA/RJ/ COM SUGESTÕES DE ...
Volume sólidos geométricos prismas/ SLIDE DO EDUCOPÉDIA/RJ/ COM SUGESTÕES DE ...Volume sólidos geométricos prismas/ SLIDE DO EDUCOPÉDIA/RJ/ COM SUGESTÕES DE ...
Volume sólidos geométricos prismas/ SLIDE DO EDUCOPÉDIA/RJ/ COM SUGESTÕES DE ...CIEP 456 - E.M. Milcah de Sousa
 

Semelhante a Forma Ótima de Embalagem (20)

ARTIGO - TEOREMA DE PITÁGORAS FERRAMENTA OBJETO POR ANA PAULA JAHN
ARTIGO - TEOREMA DE PITÁGORAS FERRAMENTA OBJETO POR ANA PAULA JAHNARTIGO - TEOREMA DE PITÁGORAS FERRAMENTA OBJETO POR ANA PAULA JAHN
ARTIGO - TEOREMA DE PITÁGORAS FERRAMENTA OBJETO POR ANA PAULA JAHN
 
Plano de trabalho – Razões trigonométricas
Plano de trabalho – Razões trigonométricasPlano de trabalho – Razões trigonométricas
Plano de trabalho – Razões trigonométricas
 
Perímetro e área
Perímetro e áreaPerímetro e área
Perímetro e área
 
Apresentacao tcc grasciele_centenaro
Apresentacao tcc grasciele_centenaroApresentacao tcc grasciele_centenaro
Apresentacao tcc grasciele_centenaro
 
MAPA_EF2_6ano_V4_Matematica_PF.pdf
MAPA_EF2_6ano_V4_Matematica_PF.pdfMAPA_EF2_6ano_V4_Matematica_PF.pdf
MAPA_EF2_6ano_V4_Matematica_PF.pdf
 
Volume: ATIVIDADES INTERATIVAS COM gabarito
Volume: ATIVIDADES INTERATIVAS COM gabaritoVolume: ATIVIDADES INTERATIVAS COM gabarito
Volume: ATIVIDADES INTERATIVAS COM gabarito
 
Projeto Planejamento - Luis Alberto - 20 out 2012 - VF
Projeto Planejamento - Luis Alberto - 20 out 2012 - VFProjeto Planejamento - Luis Alberto - 20 out 2012 - VF
Projeto Planejamento - Luis Alberto - 20 out 2012 - VF
 
cursoCalculoI-livro.pdf
cursoCalculoI-livro.pdfcursoCalculoI-livro.pdf
cursoCalculoI-livro.pdf
 
cursoCalculoI-livro.pdf
cursoCalculoI-livro.pdfcursoCalculoI-livro.pdf
cursoCalculoI-livro.pdf
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO I
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO IRELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO I
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO I
 
Plano de aula postado
Plano de aula   postadoPlano de aula   postado
Plano de aula postado
 
Plano de trabalho - Teorema de Pitágoras
Plano de trabalho - Teorema de PitágorasPlano de trabalho - Teorema de Pitágoras
Plano de trabalho - Teorema de Pitágoras
 
Aula polígonos regulares - soma de seus ângulos internos
Aula   polígonos regulares - soma de seus ângulos internosAula   polígonos regulares - soma de seus ângulos internos
Aula polígonos regulares - soma de seus ângulos internos
 
Matematica 6 semestre
Matematica 6 semestreMatematica 6 semestre
Matematica 6 semestre
 
Projeto de Informática Educativa : Execução
Projeto de Informática Educativa : ExecuçãoProjeto de Informática Educativa : Execução
Projeto de Informática Educativa : Execução
 
Projeto,juliana cristina gomes.
Projeto,juliana cristina gomes.Projeto,juliana cristina gomes.
Projeto,juliana cristina gomes.
 
Informática II
Informática IIInformática II
Informática II
 
Turma A - Volume.pdf
Turma A - Volume.pdfTurma A - Volume.pdf
Turma A - Volume.pdf
 
Execução
ExecuçãoExecução
Execução
 
Volume sólidos geométricos prismas/ SLIDE DO EDUCOPÉDIA/RJ/ COM SUGESTÕES DE ...
Volume sólidos geométricos prismas/ SLIDE DO EDUCOPÉDIA/RJ/ COM SUGESTÕES DE ...Volume sólidos geométricos prismas/ SLIDE DO EDUCOPÉDIA/RJ/ COM SUGESTÕES DE ...
Volume sólidos geométricos prismas/ SLIDE DO EDUCOPÉDIA/RJ/ COM SUGESTÕES DE ...
 

Último

Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptx
Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptxDoutrina Deus filho e Espírito Santo.pptx
Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptxThye Oliver
 
Geometria 5to Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdf
Geometria  5to Educacion Primaria EDU  Ccesa007.pdfGeometria  5to Educacion Primaria EDU  Ccesa007.pdf
Geometria 5to Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdfDemetrio Ccesa Rayme
 
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdfDIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdfIedaGoethe
 
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...LuizHenriquedeAlmeid6
 
trabalho wanda rocha ditadura
trabalho wanda rocha ditaduratrabalho wanda rocha ditadura
trabalho wanda rocha ditaduraAdryan Luiz
 
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdf
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdfO Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdf
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdfPastor Robson Colaço
 
PLANEJAMENTO anual do 3ANO fundamental 1 MG.pdf
PLANEJAMENTO anual do  3ANO fundamental 1 MG.pdfPLANEJAMENTO anual do  3ANO fundamental 1 MG.pdf
PLANEJAMENTO anual do 3ANO fundamental 1 MG.pdfProfGleide
 
Atividade com a letra da música Meu Abrigo
Atividade com a letra da música Meu AbrigoAtividade com a letra da música Meu Abrigo
Atividade com a letra da música Meu AbrigoMary Alvarenga
 
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdfSimulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdfEditoraEnovus
 
A galinha ruiva sequencia didatica 3 ano
A  galinha ruiva sequencia didatica 3 anoA  galinha ruiva sequencia didatica 3 ano
A galinha ruiva sequencia didatica 3 anoandrealeitetorres
 
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão Linguística
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão LinguísticaA Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão Linguística
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão LinguísticaFernanda Ledesma
 
Bingo da potenciação e radiciação de números inteiros
Bingo da potenciação e radiciação de números inteirosBingo da potenciação e radiciação de números inteiros
Bingo da potenciação e radiciação de números inteirosAntnyoAllysson
 
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamental
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino FundamentalCartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamental
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamentalgeone480617
 
geografia 7 ano - relevo, altitude, topos do mundo
geografia 7 ano - relevo, altitude, topos do mundogeografia 7 ano - relevo, altitude, topos do mundo
geografia 7 ano - relevo, altitude, topos do mundonialb
 
QUIZ DE MATEMATICA SHOW DO MILHÃO PREPARAÇÃO ÇPARA AVALIAÇÕES EXTERNAS
QUIZ DE MATEMATICA SHOW DO MILHÃO PREPARAÇÃO ÇPARA AVALIAÇÕES EXTERNASQUIZ DE MATEMATICA SHOW DO MILHÃO PREPARAÇÃO ÇPARA AVALIAÇÕES EXTERNAS
QUIZ DE MATEMATICA SHOW DO MILHÃO PREPARAÇÃO ÇPARA AVALIAÇÕES EXTERNASEdinardo Aguiar
 
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptxSlides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
 
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 anoAdelmaTorres2
 
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024Jeanoliveira597523
 

Último (20)

Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptx
Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptxDoutrina Deus filho e Espírito Santo.pptx
Doutrina Deus filho e Espírito Santo.pptx
 
Geometria 5to Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdf
Geometria  5to Educacion Primaria EDU  Ccesa007.pdfGeometria  5to Educacion Primaria EDU  Ccesa007.pdf
Geometria 5to Educacion Primaria EDU Ccesa007.pdf
 
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdfDIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
 
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...
Slides Lição 3, Betel, Ordenança para congregar e prestar culto racional, 2Tr...
 
trabalho wanda rocha ditadura
trabalho wanda rocha ditaduratrabalho wanda rocha ditadura
trabalho wanda rocha ditadura
 
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdf
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdfO Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdf
O Universo Cuckold - Compartilhando a Esposas Com Amigo.pdf
 
treinamento brigada incendio 2024 no.ppt
treinamento brigada incendio 2024 no.ppttreinamento brigada incendio 2024 no.ppt
treinamento brigada incendio 2024 no.ppt
 
PLANEJAMENTO anual do 3ANO fundamental 1 MG.pdf
PLANEJAMENTO anual do  3ANO fundamental 1 MG.pdfPLANEJAMENTO anual do  3ANO fundamental 1 MG.pdf
PLANEJAMENTO anual do 3ANO fundamental 1 MG.pdf
 
Atividade com a letra da música Meu Abrigo
Atividade com a letra da música Meu AbrigoAtividade com a letra da música Meu Abrigo
Atividade com a letra da música Meu Abrigo
 
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdfSimulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
Simulado 1 Etapa - 2024 Proximo Passo.pdf
 
A galinha ruiva sequencia didatica 3 ano
A  galinha ruiva sequencia didatica 3 anoA  galinha ruiva sequencia didatica 3 ano
A galinha ruiva sequencia didatica 3 ano
 
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão Linguística
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão LinguísticaA Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão Linguística
A Inteligência Artificial na Educação e a Inclusão Linguística
 
Bingo da potenciação e radiciação de números inteiros
Bingo da potenciação e radiciação de números inteirosBingo da potenciação e radiciação de números inteiros
Bingo da potenciação e radiciação de números inteiros
 
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamental
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino FundamentalCartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamental
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamental
 
XI OLIMPÍADAS DA LÍNGUA PORTUGUESA -
XI OLIMPÍADAS DA LÍNGUA PORTUGUESA      -XI OLIMPÍADAS DA LÍNGUA PORTUGUESA      -
XI OLIMPÍADAS DA LÍNGUA PORTUGUESA -
 
geografia 7 ano - relevo, altitude, topos do mundo
geografia 7 ano - relevo, altitude, topos do mundogeografia 7 ano - relevo, altitude, topos do mundo
geografia 7 ano - relevo, altitude, topos do mundo
 
QUIZ DE MATEMATICA SHOW DO MILHÃO PREPARAÇÃO ÇPARA AVALIAÇÕES EXTERNAS
QUIZ DE MATEMATICA SHOW DO MILHÃO PREPARAÇÃO ÇPARA AVALIAÇÕES EXTERNASQUIZ DE MATEMATICA SHOW DO MILHÃO PREPARAÇÃO ÇPARA AVALIAÇÕES EXTERNAS
QUIZ DE MATEMATICA SHOW DO MILHÃO PREPARAÇÃO ÇPARA AVALIAÇÕES EXTERNAS
 
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptxSlides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptx
Slides Lição 4, CPAD, Como se Conduzir na Caminhada, 2Tr24.pptx
 
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano
637743470-Mapa-Mental-Portugue-s-1.pdf 4 ano
 
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
ABRIL VERDE.pptx Slide sobre abril ver 2024
 

Forma Ótima de Embalagem

  • 1. A Modelagem Matemática Uma tendência da Educação Matemática Daniel Sombra Edwillson Filho Josane Martins
  • 2. Educação Matemática Finalidades 1) Desenvolver, testar e divulgar métodos de ensino.  2) Elaborar e complementar mudanças curriculares. 3) Desenvolver e testar materiais de apoio para o ensino da matemática
  • 3. Objetivos da Ed. Matemática - Desenvolvimento do poder dos alunos e dos indivíduos em sociedade, quer para ultrapassar barreiras do seu desenvolvimento em termos de educação e emprego, quer no sentido de aumentar a sua auto-determinação e o seu envolvimento críticona cidadania social. - Mudança social em direção a uma sociedade mais justa e mais igualitária. Na prática escolar isto significa o questionamento permanente e sistemático, abrindo espaços de discussão e permitindo o conflito de opiniões e pontos de vista, o questionamento dos temas matemáticos e da sua relevância e a negociação de objetivos partilhados.
  • 4.
  • 5. Adequar e equipar o aluno frente à velocidade, dinamicidade e fluidez das relações humanas.
  • 6. Dar ao aluno a compreensão das consequências das atividades humanas no planeta habitado.
  • 7. Auxiliar e guiar o aluno no seu processo de auto-re-construção de si mesmo.
  • 8.
  • 9.
  • 10. Uma nova civilização está emergindo em nossas vidas, e homens cegos, em todos os lugares, estão tentando suprimir isso. Esta nova civilização traz consigo novos estilos de família, mudanças de caminhos no trabalho, amor e vida; uma nova economia; novos conflitos políticos; e além de tudo, uma consciência alterada. Pedaços desta nova civilização existem hoje. Milhares já estão sintonizando suas vidas aos ritmos do amanhã. Outros, amedrontados pelo futuro, estão engajados num vôo desesperador e fútil ao passado e, estão tentando restaurar o mundo morto que deu o nascimento à eles… O amanhecer desta civilização é simplesmente o fator mais explosivo do tempo de nossas vidas. Toffler
  • 11. A Modelagem Matemática no ensino. Tendo como base a teoria construtivista de Jean Piaget, pode-se afirmar que a construção de uma determinada ideia acarretará em uma internalização do conteúdo com êxito muito maior que a mera transmissão em vai única de conteúdos professor-aluno. A Modelagem Matemática entra nesse contexto como propulsora de uma relação mais estável entre os alunos e a Matemática.
  • 12. A Modelagem Matemática consiste na elaboração de um determinado modelo de atividades que proporcionarão aos alunos diversas dúvidas referentes ao contexto escolhido que para serem respondidas necessitarão de conteúdos matemáticos. Para se obter resultados adequados é preciso ter em mente que este é um processo lento, que demanda uma grande quantidade de tempo. O planejamento é a “chave do sucesso”. O docente deverá ter todo o processo esquematizado e estar preparados para auxiliar o aluno nas mais diversas dificuldades que este encontrar.
  • 13. Etapas de aplicação da Modelagem Matemática em sala de aula, segundo Biembengut a) Apresentação do processo. O professor esquematiza ao aluno como vai proceder em relação às aulas no decorrer de um determinado período letivo. b) Escolha do tema. Após a exposição do modelo, o professor sugere que os alunos agrupem-se, incentivando-os na escolha do tema, de acordo com seus interesses e afinidades.
  • 14. c) Planejamento do trabalho a ser desenvolvido pelos grupos. O professor propões que cada grupo: . Levante questões obre os tema; . Faça uma pesquisa a fim de se familiarizar com o tema; . Entreviste um especialista no assunto, em momento adequado e se for conveniente. d) Orientação no processo O professor deve tomar este planejamento, bem como os questionamentos , não só para se inteirar do tema escolhido, mas também para orientar cada grupo, em particular, quanto à ordem dos problemas a serem resolvidos.
  • 15. e) Conteúdo matemático A medida em que os alunos forem avançando nas pesquisas para satisfazer os questionamentos o professor fará explanações necessárias para que os alunos prossigam na busca. f) Apresentação dos modelos matemáticos. O professor apresenta modelos prontos, ou expõe os modelos até então desenvolvidos pelos grupos, a fim de aprofundar sua bases teóricas, provocando interação entre os grupos.
  • 16. g) Validação dos trabalhos apresentados. O professor expões em que circunstâncias são válidos os modelos desenvolvidos pela turma, e complementa com outros modelos.
  • 17. Esquema da Modelagem Matemática
  • 18.
  • 19. Onde está a Matemática?
  • 20. Onde está a Matemática?
  • 21. Exemplo de modelo proposto por Biembengut e Hein. A forma ótima: Mínima área X Máximo volume. Sabemos que ao comprar um produto, não pagamos só por este, mas também por sua embalagem. Atualmente o fabricante além de procurar oferecer um bom produto, com boa aparência, necessita baratear o custo do produto. Na embalagem uma das propostas é estabelecer um formato que utilize quantidade mínima de material e o máximo aproveitamento ou volume. Qual é a forma ideal para uma embalagem? Vamos responder em três etapas.
  • 22. Primeira etapa de formulação e resolução. Primeiro, tomemos uma embalagem de leite. A forma é de prisma de base retangular. Seria a forma ideal? De menor custo? De melhor manuseio? Veja agora a embalagem de óleo comestível, na forma de um cilindro e com a mesma capacidade, isto é, capacidade para um litro. Em seguida, calcular a quantidade material – área – necessária para cada uma delas , supondo que o volume (V) seja o mesmo para ambas.
  • 23. O volume de um sólido geométrico é a medida do espaço ocupado por este. Por exemplo, o volume de um prisma pode ser calculado multiplicando as três medidas correspondentes à altura (h), à largura (a) e ao comprimento (b), ou seja: Volume = altura X largura X comprimento ou V = h . (a . b) Observamos que largura X comprimento = área da base, logo Volume = área da base X altura V =Ab . h
  • 24. O volume do cilindro também pode ser determinado pelo produto da área da base pela altura. V = Ab . h Como a base do cilindro é circular, então a área da base é dada por π X r², logo: V = π . r² . h A diferença entre o volume ocupado pela embalagem e a capacidade é que ao determinar o volume (produto entre as medidas externas do sólido) tem-se a medida que o sólido ocupa no espaço; e determinado o volume interno do sólido tem-se a capacidade. A unidade de medida de volume é metro cúbico, para capacidade converte-se em litros.
  • 25. Supondo que as embalagens tenham o mesmo volume (V) e mesma altura (h), chamando o volume do prisma de V1 e a do cilindro de V2, tem-se: V1 = V2 a . b . h = π . r² . h Cancelando h, obtemos: a . b = π . r² Onde a e b são, respectiva medidas dos lados (largura e comprimento). Tomando a = 6 cm, b = 9 cm, temos: π . r² = 54 cm² e, portanto, r = √ 54 / π cm ≈ 4,15 cm
  • 26.
  • 27.
  • 28. Substituindo na expressão os valores: h = 16 cm e r = √54 cm²/π Área total ≈ 524,79 cm² Embora as embalagens dadas tenham o mesmo volume e a mesma altura, as áreas não são as mesmas, isto é, uma embalagem na forma retangular utiliza mais material que uma na forma cilíndrica: 588 cm² > 524,79 cm² A diferença é pequena, porém, quando somamos essa diferença é significativa! Obs.: Ignorou-se as dobras.
  • 29. Segunda etapa: generalização do problema O exemplo apresentado mostra que a área total de um prisma é maior que a área total de um cilindro com o mesmo volume e a mesma altura. Vamos verificar agora se esta relação é válida para quaisquer medidas. Temos: Volume do prisma: largura X comprimento X altura V = (a . b) . h Volume do cilindro: área da base X altura V = (π . r²) . h Onde a e b são as respectivas medidas dos lados do prisma (largura e comprimento), r o raio do cilindro, e h a altura do cilindro e do prisma.
  • 30. Considerando os volumes iguais para os dois sólidos, obtemos: V1 = V2 b. a . h = π . r². h Cancelando h, obtemos: b . a = π . r² Ou ainda Área total de um prisma de base retangular: 2 (ab) + 2 (ah) + 2 (bh) = 2 [ab + h (a + b)] Área total do cilindro é: (2πrh) + (2πr²)
  • 31. Comparando as duas áreas: Área do prisma = 2 [ab + h (a + b)] Sendo que ab = π . r²e, portanto, a = π . r²/b e b = π . r² /a, substituindo na expressão da página anterior: Área do prisma = 2 [πr² + h (πr²/b + πr²/a)] = 2πr² + 2πrh (r/b + r/a) Área do prisma > Área do cilindro = 2πr² +2πrh __________________________________________________________ Num raciocínio análogo, considerando um prisma de base retangular e um cilindro, obteremos que o Volume do cilindro é maior que o do prisma.
  • 32.
  • 33.
  • 34. 01 régua de 30 cm.
  • 35. 01 lousa [atividade desenvolvida em sala de aula];
  • 36. Ao mínimo, 01 pincel atômico;
  • 37. Cadernos, lápis ou canetas [por parte dos alunos, que deverão colaborar com os cálculos].Objetivo: Finalizar a abordagem da Modelagem, com a aplicaçãp prática do Modelo.
  • 38. Terceira etapa de formulação e resolução do problema: utilização dos conhecimentos adquiridos em casos gerais. Vamos, então, procurar saber qual a forma “ótima” para um caixa, isto é, a que utiliza um mínimo de material para um máximo aproveitamento. Para isso, vamos dispor de uma folha de papelão na forma quadrada, medindo 20 cm de lado. ↑ 20 cm ↓  20 cm  Qual deve ser a altura da caixa (quanto dobrar) para que o volume seja máximo?
  • 39. 20 – 2h ? 20 – 2 h h h = ? h
  • 40. Encontrando a equação que determina o volume da caixa em função da altura. V = área da base X altura Como a base é quadrada, a área da base é (20 – 2h)². Considerando h a medida da altura da caixa, temos: V = (20 – 2h)² . h 0 < h < 10 V = V (h) = (400 – 80h + 4h²) . h Neste momento, podemos apresentar o conceito de função, função polinomial e pontos críticos de uma função. No exemplo, a função V (h) é um polinômio de 3º grau.
  • 41. Representando essa função no gráfico podemos obter seus pontos críticos . Pelo gráfico, ponto máximo é h = 10/3. Como estamos procurando a medida da altura que permita um máximo volume, a medida h deve ser 10/3 = 3,33 cm.
  • 42.
  • 43. Com a primeira folha, se construirá uma caixa com uma altura de 3,33 cm, medindo com a régua.
  • 44. Com as outras duas, se construirão duas caixas com alturas aleatórias [de preferência, uma com altura maior que 3,33 cm e outra com altura menor que 3,33 cm.. O objetivo, ao final, é comprovar que as folhas, com a mesma medida deram origem a caixas com diferentes volumes, e que a altura ótima calculada permitiu a construção cujo capacidade é maior que as demais opções.
  • 45.
  • 46. Analisando a relação entre área e volume dos prismas de mesma altura h, podemos observar que quanto maior o número de lados do polígono da base, isto é, quanto mais o polígono se aproxima de uma circunferência, menor será a área total do prisma. Significa que mantendo a mesma área para prismas e cilindros: br />V (prisma triangular) < V (prisma quadrado) < V (prisma hexagonal) < V (prisma octogonal) < V (cilindro)
  • 47. Esse é somente um dos exemplos de modelos prontos sugeridos por Biembengut, mas não se deve esquecer das recomendações da autora. . Um modelo deve ser apresentado na primeira aula; . Os alunos deverão com as ferramentas e os caminhos fornecidos pelo professor desenvolver seus próprios modelos; . E o modelo inicial [da primeira aula] será trabalhado não em uma aula, mas sim , no decorrer do ano letivo.
  • 48. A Modelagem Matemática é, afinal, a manifestação viva e vibrante de que Piaget tinha razão em afirmar que informações são absorvidas, mas o conhecimento só surge com a Construção. A Educação do século XXI deve estar apta a despertar nos alunos todas as suas qualidades humanas, para que estes possam ser construir a sociedade em que convivem e não sejam meros escravos de uma ordem estabelecida. Se a estrutura informacional é uma realidade que se impõe a todas às instituições humanas, cabe ao professor guiar o aluno no processo de decodificação das máquinas, do “mundo-máquina”, do ambiente hostil à humanidade criado pela própria humanidade. .
  • 49. A Educação do novo século deve ser libertadora, jamais escravizadora. Vivemos em um momento que, como afirma Ruy Moreira, as “velhas representações de mundo” ruíram. A Física Quântica/Relativista, as Geometrias não euclidianas, a arte surrealista e a cultura da periferia se impuseram, provocando indisfarçáveis rupturas na visão tradicional. Durante muito tempo se culpou a Metafísica, o Sobrenatural, a Natureza pelas desgraças dos seres humanos, mas as grandes desgraças foram por nós mesmos provocadas. E a educação, mais do que esclarecer, coube o papel de dissimular. Estariam os Estados Maiores e o Grande Capital interessados no uso legítimo da Matemática, como arma de construção do meio, em seu próprio usufruto? Ou teriam preferido a repetição de meras ferramentas que, dissociadas da realidade em que foram produzidas, nada acrescentarão às massas?
  • 50. A Modelagem Matemática, então, limitada pelas possibilidades da Escola [a serviço do Estado] terá condições de alterar este dramático quadro alienante [que impede aos alunos a visualização da aplicação, de fato, dos conhecimentos matemáticos] auxiliando o aluno na construção do seu conhecimento por si próprio, portanto, tornado-o independente das estruturas opressoras do Estado? Talvez! É certo que temos, na Modelagem Matemática, e em algumas outras tendências da Educação Matemática, fortes armas para a construção e defesa de um educação “subversiva” e “não-alienante”.
  • 51. Esse é o papel da nova concepção de ensino. Libertar ao invés de acorrentar. O que implica em analisar a essência dos processos, o porquê dos fatos e não meras imposições. Máquinas, ferramentas, planos ou mesmo, livros, jamais serão capazes de destronar os seres humanos, pois nós os criamos. Quem está por trás da tecnificação das instituições – como a Escola – são outros atores, os que comandam as máquinas, os artífices do capitalismo. Mas o professor deve ter em mente o seu papel no front de batalha, e não esquivar-se sobre a sombra de seus livros, textos e e planos acabados.
  • 52. E nas palavras de Marlene Macário de Oliveria, citando Paulo Freire: “Caberá apenas uma consciência didático-padagógica do que é o sistema educativo e do que é a sociedade, para servir de fato a eles, isso porque não existe neutralidade na educação, e é sempre possível um trabalho educativo voltado para a liberdade e para a participação política, ou seja, para a cidadania. Resta-nos, agora, que nos apropriemos dessa tarefa para que possamos vivenciar a coerência entre o nosso discurso e a nossa prática, pois como coloca Freire (1994, p. 35): [...] as dificuldades [...] diminuiriam se a escola levasse em consideração a cultura dos oprimidos, sua linguagem, sua forma eficiente de fazer contas, seu saber fragmentário do mundo de onde, afinal, transitam até o sabor mais sistematizado, que cabe a escola trabalhar. Obviamente, esta não é uma tarefa a ser cumprida pela escola da classe dominante, mas tarefa a ser realizada na escola da classe dominante, entre nós, agora, por educadores e educadoras progressistas, que vivem a coerência entre seu discurso e sua prática.”