1. 1

Hipotenusa
º37
Ângulos
90 180 360º
Agudo Recto Raso Giro
Oposto
Adjacente
Exercício 1:
Calcula o valor de x , y e  .
5 
x
y
Completa:
sen cos tg
Exercício 2:
Qual o ângulo que uma escada de 4 m deve fazer com o chão para que o topo da escada fique
a uma altura de 3,5 m?
Exercício 3:
Observa atentamente a figura e calcula a distância entre o poste eléctrico e a escola.
hipotenusa
oposto
sen 
hipotenusa
adjacente
cos
adjacente
oposto
tg 



cos
sen
tg 

2. 2
A
80m 40º
30º
Exercício 4:
Um avião levanta voo fazendo com a horizontal um ângulo de 10º. A que altura se encontra
depois de ter percorrido 1 km?
1km
Exercício 5:
Calcula a área de cada um dos triângulos da figura.
1 1 1
2
2 2
Exercício 6:
Um candeeiro produz um cone de luz em que a amplitude do ângulo mede 110º. O candeeiro
provoca no chão uma área iluminada em forma de círculo.
Qual é a área iluminada no chão se o candeeiro estiver a 3 metros de altura?
3m
Exercício 7:
Duas aldeias, A e B estão situadas nas margens de um lago. Para determinar a distância
entre elas, tomou-se como referencia o edifício C que dista 10 km da aldeia B e mediram-se os
ângulos internos do triângulo [ABC].
110º
40º 80º
140º

3. 3
1º Quadrante2º Quadrante
B 10 km C
Qual a distância entre as duas aldeias?
Graus ---- Radianos
360º 2 180º 
90º
2

45º
4

60º ? 30º ?
? 1 rad
Exercício 8:
Qual a amplitude, em radianos, de um arco de 10º? E de arco de 25º?
Ângulo num referencial:
y
70º
65º
45º

4. 4
4

3º Quadrante 4º Quadrante


6
º30

 
pertence ao 4º Quadrante

6

x
6
º30

 
Exercício 9:
Represente num referencial e indique a que quadrante pertence cada um dos ângulos
seguintes:
a) 150º
b) rad
4
3
 h)13
c) -1,5 rad i) -20,3 rad
d) 120º j)
6
7
e) -120º k)
6
11

f)
4

 rad
Exercício 10:
1
1
Exercício 11:

4

sen 
4
cos


4

tg

3

sen 
3
cos


3

tg
pertence ao 1º Quadrante
º0
Não pertence a nenhum quadrante

5. 5
3

A
B
12 cm
A
B
2 2
Exercício 10:
1 1
Agora já podemos completar o quadro para as razões trigonométricas para os ângulos mais
importantes:
0º 30º ou
6

45º ou
4

60º ou
3

90º ou
2

cos
sin
tg
Relação entre arcos e ângulos numa circunferência.
Comprimento da circunferência radianos
em centímetros
102 2
12 
Exercício 12:
Determine o comprimento do arco AB se:
12.1 cmAB 5 e rad1
12.2 cmAB 11 e rad5,4

6

sen 
6
cos


6

tg
O
 ?
r =10cm
rad2,1
10
12
102
122







O
r


6. 6
h
Exercício 13:
O comprimento do diâmetro das rodas de um carro é 100cm. Quanto avança o carro se um
dos raios da roda gira 42º?
Quantas voltas completas deve dar a roda para que o carro avance 200 metros?
Exercício 14:
Calcule a área da parte colorida da figura seguinte, sabendo que:
cmOC 2
cmCA 1
rad8,0
Exercício 15:
Das seguintes afirmações, diga justificando, quais são falsas:
(A) Com duas casas decimais 20º = 0,34 rad.
(B) O ângulo de amplitude 1012º pertence ao 1º Quadrante.
(C) O ângulo de amplitude -3013º pertence ao 4º Quadrante.
(D) O ângulo de amplitude 1,3 radianos pertence ao 3º Quadrante.
(E) O ângulo de amplitude 3,1 radianos pertence ao 3º quadrante.
(F) Um ângulo que mede 1,6 radianos tem uma amplitude superior à de um ângulo recto.
Ângulos complementares
B
A
B
C

 e  são complementares.
º90     º90
Tem-se que:
h
b
sen  ;
h
b
cos

7. 7
a
b
C A
Para o ângulo  , tem-se:
Fórmula fundamental da trigonometria
Fórmulas secundárias
e
Exercício 16:
16.1 Determine o cos sabendo que  é um ângulo agudo e que:
a)
3
1
sen
b)
2
5
tg
16.2 Determine o sen sabendo que  é um ângulo agudo e que:
a) 8,0cos 
b)
2
35
tg
Exercício 17:
Mostre que:
17.1  cos21)cos( 2
sensen 

)
2
cos()º90cos( 

 sen
)
2
()º90(cos 

  sensen
1cos22
 sen
 22
11
1
sentg


 2
2
cos
1
1 tg

8. 8
1-1
-1
0
17.2 

 2
2
22
22
cos
)(cos)cos(
tg
sensen





 
17.3


 tgsen
tg
1
1
1
cos
1













Exercício 18:
Determine  , sabendo que  é agudo e que:
18.1 05,05,12
  sensen
18.2 006,0cos1,0cos2
 
Exercício 19:
Determine  2
cos3sen , sabendo que  é um ângulo agudo e que:
0651 2
  tgtg
Circulo Trigonométrico
Portanto temos:
 no 1º Quadrante  no 2º Quadrante
Recordar:
02
 cbxax
a
acbb
x
2
42



1

1
Cateto oposto = 

sen
sen

1
Cateto adjacente = 

cos
1
cos





cos
sen
cos
sen

9. 9
 no 3º Quadrante  no 4º Quadrante
Preenche a tabela:
Ângulo 0
2


2
3
2
sen
cos
Podemos concluir que:
Exercício 20:
Representa no círculo trigonométrico:
Conclusão:
Eixo cos
Eixo sen
11  sen 1cos1  

10. 10
a) Os ângulos  e  , tal que os seus senos é 0,3
b) Os ângulos  e  , tal que os seus co-senos é
3
1
Exercício 21:
Para cada figura, completa os espaços em branco:
a)
b)
c)
Tangente

2
3
●
A

sen
,
2
3
(A ) pertence ao ___ Quadrante
tg

2
1 
sen
(B , ) pertence ao ___ Quadrante
tg●
B
C
 
cos
(C , ) pertence ao ___ Quadrante
tg
●
2
2


1
oposto
tg  =oposto
Colocando o triângulo no interior do
círculo trigonométrico
tg

11. 11
Para obter a tangente de um ângulo no círculo trigonométrico, prolonga-se o lado extremidade
do ângulo até intersectar o eixo das tangentes. Essa medida é a tangente.
Preenche a tabela:
Ângulo 0
4

2

4
3

2
3
2
tg
Tem-se então:
sen cos tg
1ºQ ┼ ┼ ┼
2ºQ ┼
3ºQ ┼
4ºQ ┼
Exercício 22:
O ângulo  é um ângulo agudo.
Diga justificando, quais das seguintes afirmações são falsas:
Eixo das tangentes
1

tg
 tg 
tg

12. 12
A. A tangente do ângulo  não pode ser maior do que 1.
B. O seno do ângulo  pode ser um número qualquer desde que seja positivo.
C. Conhecendo o co-seno do ângulo  pode-se determinar o seno do ângulo (90º- ).
D. 1cos0   .
Exercício 23:
Quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
A. 0º45cosº45 sen
B. º30º45 tgtg 
C.  22
cos1sen
D.



sen
tg
cos

E. 

2
2
1
cos
1
tg
Exercício 24:
A partir dos valores exactos já conhecidos de
3

sen ,
3
cos

e da representação no círculo
trigonométrico, determina os valores do seno e do co-seno de cada um dos seguintes ângulos:
a.
3
2
b.
3
4
c.
3
5
d.
3

 e.
3
2

Exercício 25:
Representa se possível, no círculo trigonométrico:
a. Um ângulo  , do 2º Quadrante, cujo
5
2
sen
b. Um ângulo  , do 3º Quadrante, cujo 4,0sen
c. Um ângulo  , do 4º Quadrante, cujo
5
2
cos 
d. Um ângulo  , do 2º Quadrante, cujo
5
2
cos 
e. Um ângulo  , do 3º Quadrante, cujo
5
6
sen
Exercício 26:
A partir dos valores exactos já conhecidos de
6

tg ,
3

tg e da representação no círculo
trigonométrico, determina os valores do seno e do co-seno de cada um dos seguintes ângulos:
F.
2
3
º60 sen
G. º30º60cos sen
H.
2
3
º30 tg
I.   0º90cos  sen

13. 13
a.
6
5
b.
3
4
c.
6
7
d.
6

 e.
3
2

Exercício 27:
Representa se possível, no círculo trigonométrico:
a. Um ângulo  , do 2º Quadrante, cujo 2tg
b. Um ângulo  , do 3º Quadrante, cujo 4,0tg
c. Um ângulo  , do 4º Quadrante, cujo
5
2
tg
d. Um ângulo  , do 2º Quadrante, cujo
5
2
tg
e. Um ângulo  , do 3º Quadrante, cujo
5
6
tg
Exercício 28:
Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões:
a)
6
5
3
4
3
5
cos3
6
2

tgsensen 
b) 

















3
4
3
7
cos.
3
5 
sentg
c) 

















4
7
6
5
cos
3
4 
tgsen
Exercício 29:
Calcule o valor da expressão tgxsenx .2.3  , sabendo que 2tgx e Qx º2 .
Exercício 30:
Observe a figura que representa um prisma triangular recto.
Função Seno
Para ângulos muito pequenos, o seno está muito perto de zero.
À medida que o ângulo vai aumentando, o seno também aumenta, mas é sempre menor que 1.
A B
CD
E
F
5,3m
2,1m
3,2m
Determine:
;ˆCBE CAE ˆ e .ˆCFB

14. 14
No segundo quadrante, o ângulo continua a aumentar, mas o seno está a diminuir e a tomar os
mesmos valores que tomou no 1º Quadrante.
Continuando a utilizar o círculo trigonométrico entre  e
2
3
o seno é negativo decrescente.
Entre
2
3
e 2 o seno é negativo crescente.
xsin

●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
●
●
2

2
 
2
 
2
3
1
-1
x