1. O documento discute os números cardinais e funções bijetivas, que definem quando dois conjuntos têm o mesmo número de elementos. 2. Explica que um conjunto é finito se puder ser estabelecida uma correspondência bijetiva entre ele e um conjunto de números naturais de 1 a n. 3. Afirma que o conjunto dos números naturais é infinito porque nenhuma correspondência bijetiva pode ser definida entre ele e conjuntos finitos.

1. MA12 - Unidade 2
N´meros Cardinais
u
Paulo Cezar Pinto Carvalho
PROFMAT - SBM
February 25, 2013

2. Introdu¸˜o
ca
A importˆncia dos n´meros naturais prov´m do fato de que
a
u
e
eles constituem o modelo matem´tico que torna poss´ o
a
ıvel
processo de contagem.
Para contar os elementos de um conjunto ´ necess´rio usar a
e
a
no¸˜o de correspondˆncia biun´
ca
e
ıvoca, ou bije¸˜o, que ´ um
ca
e
caso particular do conceito de fun¸˜o.
ca
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3. Fun¸˜es
co
Dados os conjuntos X , Y , uma fun¸˜o f : X → Y (lˆ-se
ca
e
“uma fun¸˜o de X em Y ”) ´ uma regra (ou conjunto de
ca
e
instru¸˜es) que diz como associar a cada elemento x ∈ X um
co
elemento y = f (x) ∈ Y .
O conjunto X chama-se o dom´
ınio e Y ´ o contra-dom´
e
ınio da
fun¸˜o f .
ca
Para cada x ∈ X , o elemento f (x) ∈ Y chama-se a imagem
de x pela fun¸˜o f , ou o valor assumido pela fun¸˜o f no
ca
ca
ponto x ∈ X . Escreve-se x → f (x) para indicar que f
transforma (ou leva) x em f (x)
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4. Exemplos
Sejam X o conjunto dos triˆngulos do plano Π e R o conjunto
a
dos n´meros reais (que abordaremos logo mais). Se, a cada
u
t ∈ X , fizermos corresponder o n´mero real f (t) = ´rea do
u
a
triˆngulo t, obteremos uma fun¸˜o f : X → R.
a
ca
Sejam S o conjunto dos segmentos de reta do plano Π e ∆ o
conjunto das retas desse mesmo plano. A regra que associa a
cada segmento AB ∈ S sua mediatriz g (AB) define uma
fun¸˜o g : S → ∆.
ca
A correspondˆncia que associa a cada n´mero natural n seu
e
u
sucessor n + 1 define uma fun¸˜o s : N → N, com
ca
s(n) = n + 1.
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5. Fun¸˜es Injetivas
co
Uma fun¸˜o f : X → Y chama-se injetiva quando elementos
ca
diferentes em X s˜o transformados por f em elementos
a
diferentes em Y . Ou seja, f ´ injetiva quando x = x em
e
X ⇒ f (x) = f (x ).
Esta condi¸˜o pode tamb´m ser expressa em sua forma
ca
e
contrapositiva:
f (x) = f (x ) ⇒ x = x .
Nos trˆs exemplos dados anteriormente, apenas o terceiro ´ de
e
e
uma fun¸˜o injetiva. (Dois triˆngulos diferentes podem ter a
ca
a
mesma ´rea e dois segmentos distintos podem ter a mesma
a
mediatriz mas n´meros naturais diferentes tˆm sucessores
u
e
diferentes.)
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6. Fun¸˜es Sobrejetivas
co
Diz-se que uma fun¸˜o f : X → Y ´ sobrejetiva quando, para
ca
e
qualquer elemento y ∈ Y , pode-se encontrar (pelo menos) um
elemento x ∈ X tal que f (x) = y .
Nos trˆs exemplos dados anteriormente, apenas o segundo
e
apresenta uma fun¸˜o sobrejetiva. (Toda reta do plano ´
ca
e
mediatriz de algum segmento mas apenas os n´meros reais
u
positivos podem ser ´reas de triˆngulos e o n´mero 1 n˜o ´
a
a
u
a e
sucessor de n´mero natural algum.)
u
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7. Bije¸˜es
co
Uma fun¸˜o f : X → Y chama-se uma bije¸˜o, ou uma
ca
ca
correspondˆncia biun´
e
ıvoca entre X e Y quando ´ ao mesmo
e
tempo injetiva e sobrejetiva.
Exemplo. Sejam X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {2, 4, 6, 8, 10}.
Definindo f : X → Y pela regra f (n) = 2n, temos uma
correspondˆncia biun´
e
ıvoca, onde f (1) = 2, f (2) = 4,
f (3) = 6, f (4) = 8 e f (5) = 10.
Exemplo. Seja P o conjunto dos n´meros naturais pares
u
(P = {2, 4, 6, . . . , 2n, . . .}). Obt´m-se uma correspondˆncia
e
e
biun´
ıvoca f : N → P pondo-se f (n) = 2n para todo n ∈ N. O
interessante deste exemplo ´ que P ´ um subconjunto pr´prio
e
e
o
de N.
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8. N´meros Cardinais
u
Diz-se que dois conjuntos X e Y tem o mesmo n´mero
u
cardinal quando se pode definir uma correspondˆncia
e
biun´
ıvoca f : X → Y .
Nos dois exemplos do slide anterior, os conjuntos tˆm o
e
mesmo n´mero cardinal.
u
Exemplo Sejam X = {1} e Y = {1, 2}. Evidentemente
n˜o pode existir uma correspondˆncia biun´
a
e
ıvoca f : X → Y ,
portanto X e Y n˜o tˆm o mesmo n´mero cardinal.
a e
u
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9. Conjuntos Finitos
Seja X um conjunto. Diz-se que X ´ finito, e que X tem n
e
elementos quando se pode estabelecer uma correspondˆncia
e
biun´
ıvoca f : In → X , onde In o conjunto dos n´meros
u
naturais de 1 at´ n.
e
O n´mero natural n chama-se ent˜o o n´mero cardinal do
u
a
u
conjunto X ou, simplesmente, o n´mero de elementos de X .
u
A correspondˆncia f : In → X chama-se uma contagem dos
e
elementos de X .
A fim de evitar exce¸˜es, admite-se ainda incluir o conjunto
co
vazio ∅ entre os conjuntos finitos e diz-se que ∅ tem zero
elementos.
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10. Conjuntos Infinitos
Diz-se que um conjunto X ´ infinito quando ele n˜o ´ finito.
e
a e
Isto quer dizer que X n˜o ´ vazio e que, n˜o importa qual seja
a e
a
n ∈ N , n˜o existe correspondˆncia biun´
a
e
ıvoca f : In → X .
O conjunto N dos n´meros naturais ´ infinito. Com efeito,
u
e
dada qualquer fun¸˜o f : In → N , n˜o importa qual n se
ca
a
fixou, pomos k = f (1) + f (2) + · · · + f (n) e vemos que, para
todo x ∈ In , tem-se f (x) < k, logo n˜o existe x ∈ In tal que
a
f (x) = k. Assim, ´ imposs´ cumprir a condi¸˜o de
e
ıvel
ca
sobrejetividade na defini¸˜o de correspondˆncia biun´
ca
e
ıvoca.
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11. Propriedades dos n´meros cardinais
u
1
2
3
4
O n´mero de elementos de um conjunto finito ´ o mesmo,
u
e
seja qual for a contagem que se adote. Isto significa que se
f : Im → X e g : In → X s˜o correspondˆncias biun´
a
e
ıvocas
ent˜o m = n.
a
Todo subconjunto Y de um conjunto finito X ´ finito e
e
n(Y ) ≤ n(X ). Tem-se n(Y ) = n(X ) somente quando Y = X .
Se X e Y s˜o finitos ent˜o X ∪ Y ´ finito e tem-se
a
a
e
n(X ∪ Y ) = n(X ) + n(Y ) − n(X ∩ Y ) .
Sejam X , Y conjuntos finitos. Se n(X ) > n(Y ), nenhuma
fun¸˜o f : X → Y ´ injetiva e nenhuma fun¸˜o g : Y → X ´
ca
e
ca
e
sobrejetiva.
A primeira parte da propriedade 4 ´ conhecida como o
e
princ´ das casas de pombos: se h´ mais pombos do que
ıpio
a
casas num pombal, qualquer modo de alojar os pombos
dever´ colocar pelo menos dois deles na mesma casa.
a
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12. Uma Aplica¸˜o do Princ´
ca
ıpio da Casa dos Pombos
Provar que, numa reuni˜o com n pessoas (n ≥ 2), h´ sempre
a
a
duas pessoas (pelo menos) que tˆm o mesmo n´mero de
e
u
amigos naquele grupo.
Imaginemos n caixas, numeradas com 0, 1, . . . , n − 1. A cada
uma das n pessoas entregamos um cart˜o que pedimos para
a
depositar na caixa correspondente ao n´mero de amigos que
u
ela tem naquele grupo. As caixas de n´meros 0 e n − 1 n˜o
u
a
podem ambas receber cart˜es pois se houver algu´m que n˜o
o
e
a
tem amigos ali, nenhum dos presentes pode ser amigo de
todos, e vice-versa. Portanto temos, na realidade, n cart˜es
o
para serem depositados em n − 1 caixas. Pelo princ´ das
ıpio
gavetas, pelo menos uma das caixas vai receber dois ou mais
cart˜es. Isto significa que duas ou mais pessoas ali tˆm o
o
e
mesmo n´mero de amigos entre os presentes.
u
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