1. Aula 6
Esbo»ando gr¶¯cos: primeiros passos
c a
Existe o processo simples de esbo»ar-se o gr¶¯co de uma fun»~o cont¶
c a ca ³nua ligando-se
um n¶mero ¯nito de pontos P1 = (x1 ; f (x1 )); : : : ; Pn = (xn ; f(xn )), de seu gr¶¯co, no
u a
plano xy. Mas este procedimento nem sempre revela as nuances do gr¶¯co. a
Nesta aula veremos como as derivadas s~o ferramentas auxiliares no esbo»o desses
a c
gr¶¯cos, provendo informa»~es qualitativas que n~o podem ser descobertas atrav¶s de
a co a e
uma simples plotagem de pontos.
6.1 Crescimento e decrescimento
y
f(x2)
f(x)
f(x) cresce
f(x1)
0 x1 x x2 x
quando x cresce
Figura 6.1. f ¶ crescente em um certo intervalo I.
e
De¯ni»~o 6.1
ca
1. A fun»~o f(x) ¶ crescente no intervalo I (I ½ R) se, nesse intervalo, quando x
ca e
aumenta de valor, f (x) tamb¶m aumenta de valor.
e
Em outras palavras, f ¶ crescente se vale a implica»~o
e ca
x1 < x2 ) f(x1 ) < f (x2 )
47

2. ¶
Esbocando graficos: primeiros passos
» 48
para quaisquer x1 ; x2 2 I.
2. A fun»~o f (x) ¶ decrescente no intervalo I (I ½ R) se, nesse intervalo, quando
ca e
x cresce em valor, f(x) decresce.
Em outras palavras, f ¶ decrescente se vale a implica»~o
e ca
x1 < x2 ) f(x1 ) > f (x2 )
para quaisquer x1 ; x2 2 I.
y
f(x1)
f(x) decresce f(x) y=f(x)
f(x2)
0 x1 x x2 x
quando x cresce
Figura 6.2. f ¶ decrescente em um certo intervalo I.
e
Teorema 6.1 Suponhamos que f ¶ cont¶e ³nua no intervalo fechado [a; b] e tem derivada
nos pontos do intervalo aberto ]a; b[.
1. Se f 0 (x) > 0 nos pontos do intervalo aberto ]a; b[, ent~o f ¶ crescente no
a e
intervalo [a; b].
2. Se f 0 (x) < 0 nos pontos do intervalo aberto ]a; b[, ent~o f ¶ decrescente no
a e
intervalo [a; b].
N~o iremos demonstrar o teorema 6.1 aqui. Iremos apenas ilustrar geometricamente o
a
fato de que esse teorema ¶ bastante plaus¶
e ³vel.
Na ¯gura 6.3, em que f ¶ crescente em um certo intervalo [a; b], todas as retas
e
tangentes ao gr¶¯co de f, no intervalo ]a; b[, s~o inclinadas para a direita. Da¶ os
a a ³
coe¯cientes angulares dessas retas s~o todos positivos. Como o coe¯ciente angular em
a
um ponto P = (c; f (c)) ¶ f 0 (c), temos f 0 (c) > 0 para cada c 2]a; b[.
e
O comportamento de f 0 (x) nos extremos do intervalo n~o precisa ser levado em
a
0 0
considera»~o. Na ¯gura 6.3, temos f (a) = 0 e f (b) = +1 (a reta tangente em
ca
(b; f (b)) ¶ vertical, lim f 0 (x) = +1).
e ¡
x!b
Na ¯gura 6.4, em que f ¶ decrescente em um certo intervalo [a; b], todas as retas
e
tangentes ao gr¶¯co de f, no intervalo ]a; b[, s~o inclinadas para a esquerda. Da¶ os
a a ³

3. ¶
Esbocando graficos: primeiros passos
» 49
a b
Figura 6.3. Os coe¯cientes angulares, das retas tangentes, sempre positivos, ¶ indicativo
e
de fun»~o crescente.
ca
coe¯cientes angulares dessas retas s~o todos negativos. Como o coe¯ciente angular em
a
um ponto P = (c; f (c)) ¶ f (c), temos f 0 (c) < 0 para cada c 2]a; b[.
e 0
O comportamento de f 0 (x) nos extremos do intervalo n~o precisa ser levado em
a
0 0
considera»~o. Na ¯gura 6.4, temos f (a) = 0 e f (b) = ¡1 (a reta tangente em
ca
(b; f (b)) ¶ vertical, lim f 0 (x) = ¡1).
e ¡
x!b
b
a
Figura 6.4. Os coe¯cientes angulares, das retas tangentes, sempre negativos, ¶ indicativo
e
de fun»~o decrescente.
ca
De¯ni»~o 6.2 (Pontos de m¶ximo e pontos de m¶
ca a ³nimo locais)
Um ponto x0 , no dom¶ da fun»~o f , ¶ um ponto de m¶
³nio ca e ³nimo local de f se existe um
intervalo [a; b] contido no dom¶ de f , com a < x0 < b, tal que f (x) ¸ f (x0 ) para
³nio
todo x em [a; b].
Isto ocorre, por exemplo, no caso em que existem intervalos [a; x0 ] e [x0 ; b] contidos
em D(f ) tais que f ¶ decrescente em [a; x0 ] e ¶ crescente em [x0 ; b]. Veja ¯gura 6.5.
e e
Se, ao contr¶rio, f(x) · f (x0 ), para todo x em [a; b], x0 ¶ um ponto de m¶ximo local
a e a
de f .
Isto se d¶, por exemplo, quando existem intervalos [a; x0 ] e [x0 ; b] contidos em D(f )
a
tais que f ¶ crescente em [a; x0 ] e decrescente em [x0 ; b]. Veja ¯gura 6.6.
e

4. ¶
Esbocando graficos: primeiros passos
» 50
f(x0)
a x0 b
Figura 6.5. x0 ¶ um ponto de m¶
e ³nimo local. Note que f 0 (x0 ) = 0 se f tem derivada em
x0 pois, em um ponto de m¶ ³nimo local, a reta tangente ao gr¶¯co deve ser horizontal.
a
f(x0)
a x0 b
Figura 6.6. x0 ¶ um ponto de m¶ximo local. Note que f 0 (x0 ) = 0 se f tem derivada em
e a
x0 pois, em um ponto de m¶ximo local, a reta tangente ao gr¶¯co deve ser horizontal.
a a
6.2 Derivadas de ordem superior e concavidades do
gr¶¯co
a
Sendo f uma fun»~o, de¯nimos f 0 como sendo a fun»~o derivada de f , e f 00 (l^-se f
ca ca e
duas linhas") como sendo a derivada da derivada de f , ou seja
00 f 0 (x + ¢x) ¡ f 0 (x)
0 0
f (x) = (f (x)) = lim
¢x!0 ¢x
E costume denotar tamb¶m, sendo y = f(x),
¶ e
µ ¶
00 (2) d2 y d dy
f (x) = f (x) = 2 =
dx dx dx
d2 y
A nota»~o
ca dx2
¶ lida de dois y de x dois".
e
Analogamente, de¯nem-se
µ ¶
000 (3) d3 y d
00 0 d2 y
f (x) = f (x) = (f (x)) = 3 =
dx dx dx2
e para cada n ¸ 2
µ ¶
(n) (n¡1) dn y
0 d dn¡1 y
f (x) = (f (x)) = n =
dx dx dxn¡1

5. ¶
Esbocando graficos: primeiros passos
» 51
De¯ni»~o 6.3
ca
1. O gr¶¯co de y = f (x) ¶ c^ncavo para cima (ou tem concavidade voltada para
a e o
cima) no intervalo aberto I se, exceto pelos pontos de tang^ncia, a curva y =
e
f (x) est¶, nesse intervalo, sempre no semi-plano acima de cada reta tangente a
a
ela nesse intervalo (veja ¯gura 6.7).
Dizemos que o intervalo I ¶ aberto quando I tem uma das formas: ]a; b[, ]a; +1[,
e
]¡ 1; b[.
2. O gr¶¯co de y = f (x) ¶ c^ncavo para baixo (ou tem concavidade voltada para
a e o
baixo) no intervalo aberto I se, exceto pelos pontos de tang^ncia, a curva y =
e
f (x) est¶, nesse intervalo, sempre no semi-plano abaixo de cada reta tangente
a
a ela (veja ¯gura 6.8).
x
Figura 6.7. Neste gr¶¯co a curva y = f (x) ¶ c^ncava para cima, para valores de x em
a e o
um certo intervalo aberto I. Isto quer dizer que, exceto pelos pontos de tang^ncia, a
e
curva y = f (x) (para x 2 I) est¶ sempre no semi-plano acima de cada reta tangente
a
a ela. Neste caso, µ medida em que x cresce, cresce tamb¶m o coe¯ciente angular da
a e
reta tangente µ curva no ponto (x; f (x)), na ¯gura passando de negativo a positivo.
a
x
Figura 6.8. Neste gr¶¯co a curva y = f (x) ¶ c^ncava para baixo, para valores de x em
a e o
um certo intervalo aberto I. Isto quer dizer que, exceto pelos pontos de tang^ncia, a
e
curva y = f(x) (para x 2 I) est¶ sempre no semi-plano abaixo de cada reta tangente
a
a ela. Neste caso, µ medida em que x cresce, decresce o coe¯ciente angular da reta
a
tangente µ curva no ponto (x; f (x)), na ¯gura passando de positivo a negativo.
a

6. ¶
Esbocando graficos: primeiros passos
» 52
Teorema 6.2 Sendo f (x) deriv¶vel duas vezes nos pontos do intervalo aberto I,
a
1. se f 00 (x) > 0 para todo x 2 I, ent~o a curva y = f (x) ¶ c^ncava para cima em
a e o
I;
2. se f 00 (x) < 0 para todo x 2 I, ent~o a curva y = f (x) ¶ c^ncava para baixo em
a e o
I.
N~o demonstraremos o teorema 6.2 aqui, mas faremos a seguinte observa»~o.
a ca
Se f 00 (x) > 0 nos pontos x 2 I ent~o, pelo teorema 6.1, a fun»~o f 0 (x) ¶ crescente
a ca e
em I. Assim, f 0 (x) cresce µ medida em que x cresce, como na ¯gura 6.7. Desse modo,
a
temos a curva y = f (x) c^ncava para cima em I.
o
Se f 00 (x) < 0 nos pontos x 2 I ent~o, pelo teorema 6.1, a fun»~o f 0 (x) ¶
a ca e
0
decrescente em I. Assim, f (x) decresce µ medida em que x cresce, como na ¯gura 6.8.
a
Desse modo, temos a curva y = f(x) c^ncava para baixo em I.
o
De¯ni»~o 6.4 (Pontos de in°ex~o da curva y = f (x))
ca a
O ponto P = (x0 ; f (x0 )) ¶ um ponto de in°ex~o da curva y = f (x) se esta curva ¶
e a e
c^ncava para cima (ou para baixo) em um intervalo ]®; x0 [ (® real ou ¡1) e c^ncava
o o
para baixo (respectivamente, para cima) em um intervalo ]x0 ; ¯[ (¯ real ou +1).
Isto quer dizer que o ponto P = (x0 ; f (x0 )) ¶ um ponto de mudan»a do sentido de
e c
concavidade do gr¶¯co de f . Veja ¯gura 6.9.
a
P
x0 x
Figura 6.9. P ¶ um ponto de in°ex~o do gr¶¯co de f .
e a a
Tendo em vista o resultado do teorema 6.2, se f 00 (x) ¶ cont¶
e ³nua, os candidatos a
pontos de in°ex~o s~o os pontos (x; f (x)) para os quais f 00 (x) = 0.
a a
Exemplo 6.1 Consideremos a fun»~o f (x) = x2 ¡ 3x.
ca
Temos f 0 (x) = 2x ¡ 3 e f 00 (x) = 2. Assim, f e suas derivadas f 0 e f 00 s~o todas
a
³nuas em R.
cont¶
Analisando a varia»~o de sinal de f 0 (x), deduzimos:
ca
f 0 (x) > 0 , 2x ¡ 3 > 0 , x > 3=2
Assim, f (x) ¶ crescente no intervalo x ¸ 3=2 (ou seja, no intervalo [3=2; +1[).
e
Por outro lado, f (x) ¶ decrescente no intervalo ]¡ 1; 3=2].
e
Desse modo, em x0 = 3=2, temos um ponto m¶ ³nimo local, que acontece ser o
0
³nimo de f(x). Note que f (3=2) = 0, pois se x0 ¶ um ponto de m¶ximo ou
ponto de m¶ e a

7. ¶
Esbocando graficos: primeiros passos
» 53
m¶³nimo local, de uma fun»~o deriv¶vel, a reta tangente ao gr¶¯co em (x0 ; f(x0 )) deve
ca a a
ser horizontal.
Como f 00 (x) = 2 > 0 para todo x, o gr¶¯co de f tem a concavidade sempre
a
voltada para cima.
Com os elementos deduzidos acima, notando que f (3=2) = ¡9=4, e que 0 e 3 s~o
a
as ra¶ de f (solu»~es da equa»~o f (x) = 0), temos o esbo»o da curva y = x2 ¡ 3x
³zes co ca c
na ¯gura 6.10.
y
3/2
0 1 2 3 x
-1
-2
-9/4
Figura 6.10.
Aqui levamos em conta tamb¶m que lim f (x) = +1 e lim f (x) = +1.
e
x!+1 x!¡1
Exemplo 6.2 Consideremos a fun»~o f (x) = x3 ¡ 3x2 .
ca
Temos f 0 (x) = 3x2 ¡ 6x e f 00 (x) = 6x ¡ 6. Assim, f e suas derivadas f 0 e f 00 s~o todas
a
³nuas em R.
cont¶
Analisando a varia»~o de sinal de f 0 (x), deduzimos:
ca
f 0 (x) = 3x(x ¡ 2) > 0 , x < 0 ou x > 2
Assim, f (x) ¶ crescente no intervalo ]¡ 1; 0] e tamb¶m ¶ crescente no intervalo
e e e
[2; +1[, sendo decrescente no intervalo [0; 2]. Desse modo 0 ¶ ponto de m¶ximo local
e a
0
de f e 2 ¶ ponto de m¶
e ³nimo local. Repare que 0 e 2 s~o ra¶ de f (x). Assim, nos
a ³zes
pontos (0; f (0)) = (0; 0) e (2; f (2)) = (2; ¡4) as retas tangentes ao gr¶¯co de f s~o
a a
horizontais.
Analisando a varia»~o de sinal de f 00 (x), temos
ca
f 00 (x) = 6x ¡ 6 > 0 , x > 1
Assim, a curva y = x3 ¡ 3x2 , gr¶¯co de f , tem concavidade voltada para cima quando
a
x > 1, e para baixo quando x < 1. O ponto P = (1; f(1)) = (1; ¡2) ¶ ponto de
e
in°ex~o do gr¶¯co.
a a

8. ¶
Esbocando graficos: primeiros passos
» 54
y
0 1 2 3
x
-1
-2
-4
Figura 6.11.
Com os elementos deduzidos acima, notando que 0 e 3 s~o as ra¶ de f (solu»oes
a ³zes c~
3 2
da equa»~o f (x) = 0), temos o esbo»o da curva y = x ¡ 3x na ¯gura 6.11.
ca c
Aqui levamos em conta tamb¶m que lim f (x) = +1 e lim f (x) = ¡1.
e
x!+1 x!¡1
6.3 Problemas
Cada uma das fun»~es f (x) dadas abaixo tem como dom¶ todo o conjunto R. Para
co ³nio
cada uma delas,
(a) Calcule f 0 (x) e determine os intervalos em que f ¶ crescente e aqueles em que f
e
¶ decrescente;
e
³nimo locais de f , bem
(b) Determine os pontos de m¶ximo locais e os pontos de m¶
a
como os valores de f (x) nesses pontos;
(c) Calcule f 00 (x) e determine os intervalos em que a curva y = f (x) ¶ c^ncava para
e o
cima e aqueles em que ela ¶ c^ncava para baixo;
e o
(d) Determine os pontos de in°ex~o da curva y = f(x);
a
(e) Calcule as ra¶ de f (solu»~es da equa»~o f(x) = 0), quando isto n~o for dif¶
³zes co ca a ³cil;
(f) Calcule os limites lim f(x) e lim f (x).
x!+1 x!¡1
(g) A partir dos dados coletados acima, fa»a um esbo»o bonito do gr¶¯co de f .
c c a
1. f (x) = ¡x2 + 2x + 1

9. ¶
Esbocando graficos: primeiros passos
» 55
2. f (x) = x3 ¡ 6x2 + 9x
3. f (x) = 3x4 ¡ 4x3 ¡ 12x2 + 8
x2 + 3
4. f (x) =
x2 + 1
5. f (x) = 2x3 ¡ 9x2 + 12x ¡ 6
4x
6. f (x) =
x2+1
6.3.1 Respostas e sugest~es
o
1. (a) f 0 (x) = ¡2x + 2. f % (¶ crescente) em ]¡ 1; 1], e & (¶ decrescente) em [1; +1[.
e e
(b) 1 ¶ ponto de m¶ximo local de f . f (1) = 2. (c) f
e a 00 (x) = ¡2. A curva y = f (x)
¶ sempre c^ncava para baixo. (d) A curva y = f (x) n~o tem pontos de in°ex~o.
e o p p a a
(e) As ra¶ ³zes de f s~o 1 ¡ 2 ¼ ¡0; 6 e 1 + 2 ¼ 2; 4. (f) lim f (x) = ¡1,
a
x!+1
lim f (x) = ¡1.
x!¡1
2. (a) f 0 (x) = 3x2 ¡ 12x + 9. f % em ]¡ 1; 1], & em [1; 3], e % novamente em [3; +1[.
(b) 1 ¶ ponto de m¶ximo local de f , 3 ¶ ponto de m¶
e a e ³nimo local. f (1) = 4, f (3) = 0.
(c) f 00 (x) = ¡6x ¡ 12. A curva y = f (x) ¶ _ (c^ncava para baixo) em ]¡ 1; 2[ e ^
e o
(c^ncava para cima) em ]2; +1[. (d) P = (2; 2) ¶ o unico ponto de in°ex~o do gr¶¯co
o e ¶ a a
de f . (e) As ra¶ de f s~o 0 e 3. (f) lim f (x) = +1, lim f (x) = ¡1.
³zes a
x!+1 x!¡1
3. (a) f 0 (x) = 12x3 ¡ 12x2 ¡ 24x = 12(x3 ¡ x2 ¡ 2x). f & em ]¡ 1; ¡1], % em [1; 0],
& em [0; 2] e % em [2; +1[. (b) ¡1 e 2 s~o pontos de m¶
a ³nimo locais de f , 0 ¶ ponto
e
de m¶ximo local. f (¡1) = 3, f (0) = 8, f (2) = ¡24. (c) f 00 (x) = 36x2 ¡ 24x ¡ 24 =
a
12(3x2 ¡ 2x ¡ 2). A curva y = f (x) ¶ ^ em ] ¡ 1; x1 [ e em ]x2 ; +1[, e ¶ _ em
p e p e
]x1 ; x2 [, sendo x1 = (1 ¡ 7)=3 ¼ ¡0; 5 e x2 = (1 + 7)=2 ¼ 1; 2. (d) Os pontos
de in°ex~o do gr¶¯co s~o (x1 ; f (x1 )) e (x2 ; f (x2 )). (e) As ra¶ de f n~o podem ser
a a a ³zes a
determinadas com facilidade. Gra¯camente, poderemos notar que f tem uma raiz entre
0 e 1, e uma outra entre 2 e 3. (f) lim f (x) = +1, lim f (x) = +1.
x!+1 x!¡1
¡4x
4. (a) f 0 (x) = . f % em ] ¡ 1; 0], e & em [0; +1[. (b) 0 ¶ ponto de
e
(x2
+ 1)2
4(3x2 ¡ 1)
m¶ximo local de f . f (0) = 3. (c) f 00 (x) =
a . A curva y = f (x) ¶ ^ em
e
p p (x2 + 1)3
p p
] ¡ 1; ¡ 3=3[ e em ] 3=3; +1[, e ¶ _ em ] ¡ 3=3; 3=3[. (d) Os pontos de in°ex~o
p p e p a
do gr¶¯co s~o (¡ 3=3; 5=2) e ( 3=3; 5=2), sendo 3=3 ¼ 0; 6. (e) f n~o tem ra¶
a a a ³zes:
f (x) > 0 para todo x real. (f) lim f (x) = 1, lim f (x) = 1.
x!+1 x!¡1
5. (a) f 0 (x) = 6x2 ¡ 18x + 12 = 6(x2 ¡ 3x + 2). f % em ]¡ 1; 1], & em [1; 2], e % em
[2; +1[. (b) 1 ¶ ponto de m¶ximo local de f , 2 ¶ ponto de m¶
e a e ³nimo local. f (1) = ¡1,
f (2) = ¡2. (c) f 00 (x) = 12x ¡ 18 = 6(2x ¡ 3). A curva y = f (x) ¶ ^ em ]3=2; +1[
e
e ¶ _ em ] ¡ 1; 3=2[. (d) O ponto de in°ex~o do gr¶¯co ¶ (3=2; ¡3=2). (e) As ra¶
e a a e ³zes

10. ¶
Esbocando graficos: primeiros passos
» 56
de f n~o podem ser determinadas com facilidade. Gra¯camente, poderemos notar que
a
f tem uma raiz entre 2 e 3 (f) lim f (x) = +1, lim f (x) = ¡1.
x!+1 x!¡1
4(1 ¡ x2 )
6. (a) f 0 (x) = . f & em ]¡ 1; ¡1], % em [¡1; 1], e & em [1; +1[. (b) ¡1
(1 + x2 )2
¶ ponto de m¶
e ³nimo local de f , 1 ¶ ponto de m¶ximo local. f (¡1) = 2, f (1) = 2. (c)
e a
8x(x 2 ¡ 3) p p
f 00 (x) = 2 3
. A curva y = f (x) ¶ _ em ]¡ 1; ¡ 3[, ^ em ]¡ 3; 0[, _
e
p (1 + x ) p p p
em ]0; 3[ e p em 3; +1[. (d) Os pontos de in°ex~o do gr¶¯co s~o (¡ 3; ¡ 3),
p ^ a a a
(0; 0) e ( 3; 3) (e) A unica ra¶ de f ¶ 0. (f) lim f (x) = 0, lim f (x) = 0.
¶ ³z e
x!+1 x!¡1
Esbo»os dos gr¶¯cos:
c a
1. 2.
y y
2 4
2
-1 0 1 2 3 x
-2
0 x
1 2 3
3. 4.
y y
3
10
8
(-1,3)
1 2 3 2
0
-2 -1 x
-10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-20
(2,-24)
5. 6.
y y
4 2
2
1 2 3
0 x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-2
-4 -2
-6