DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA OS ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA AS EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA A POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO EM RELAÇÃO A PONTOS, RETAS E OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS

1. Geometria
Analítica
CIRCUNFERÊNCIA
DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
OS ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
AS EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA
A POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO EM RELAÇÃO
A PONTOS, RETAS E OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS

2. APRESENTAÇÃO
O
lá aluno (a), seja bem-vindo (a)! Iniciaremos agora mais uma etapa de estudo. Aqui,
você aprenderá conceitos da circunferência e como determinar suas equações. Você
verá que a circunferência possui equações em formas diferentes e entenderá algumas
particularidades desta notável curva plana. Espero que você tenha um ótimo aprendizado,
mas para isso conto com a sua dedicação! Bons estudos!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo você será capaz de:
• Definir matematicamente uma circunferência;
• Reconhecer e determinar os elementos de uma circunferência;
• Determinar as equações da circunferência;
FICHA TÉCNICA
• Analisar a posição da circunferência no plano em relação a pontos, retas e outras
circunferências.
FUMEC VIRTUAL - SETOR DE
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Tâmara Santos Soares
Produção de
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Paulo Roberto Rosa Junior
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
BELO HORIZONTE - 2013
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA
Prof. Fernando Henrique


3. CIRCUNFERÊNCIA
Definição
A circunferência é uma curva plana que, como a reta, também é
formada por um conjunto de infinitos pontos de R2. Sua definição
matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos
devem estar posicionados no plano para que descrevam uma
circunferência é a seguinte:
Circunferência é o conjunto de pontos em um plano, que são
equidistantes de um ponto fixo deste plano.
Este ponto fixo é chamado de centro da circunferência, e a distância constante é seu raio.
O centro e o raio são os principais elementos de uma circunferência.
π
M1
r
P
Mn
Q
c
M3
M2
Figura 1
Na figura 01, temos uma circunferência de centro c e raio r, representada em um plano π.
Os pontos M1, M2, M3, Mn pertencem à circunferência, se a distância de cada um deles
ao centro da circunferência for igual ao raio.
dc M1 = dc M2 = dc M3 = dc Mn = r
IMPORTANTE
A distância do ponto Q ao centro é maior que o raio, portanto, ele não pertence à circunferência, Q é um ponto exterior, assim como o ponto P também não pertence à circunferência,
pois sua distância ao centro é menor que o raio, P é um ponto interior.
dc Q > r e dc Q < r
Circunferência
43

4. EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Para determinar a equação de uma circunferência, é necessário conhecer seu centro e
seu raio. Veja a figura 02, está representando no plano cartesiano uma circunferência de
centro c (h, k) e raio r. Sabemos pela definição de circunferência que a distância de um
ponto qualquer M (x, y) ao centro c (h, k) é igual ao raio r, correto?
M ( x, y )
r
c ( h, k )
Figura 02
Definição matemática: dcM =
r
Então:
(
( x − h)
2
( x − h)
( x − h)
2
r
+(y − k) =
2
2
+(y − k)
2
r
)=
2
2
r2
+(y − k) =
2
Equação da circunferência na forma centro-raio.
Quando a equação de uma circunferência se apresenta na forma centro-raio é relativamente fácil identificar seus principais elementos, ou seja, centro e raio.
2
2

17
Por exemplo, a equação ( x − 3) +  y +  = representa uma circunferência de
5

2

centro  3, −  e raio 17 .
5

2
Exercício resolvido
Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto C(–3,4) e o raio r = 6.
Equação centro-raio
( x − h) 2 + ( y − k ) 2 =
r2
( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 =
36
44
É a equação pedida, através da qual podemos
identificar facilmente o centro e o raio.
Circunferência

5. EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA
A equação de uma circunferência também pode ser
representada de forma geral, como o desenvolvimento
da equação centro-raio. Veja a explicação a seguir:
Seja a equação de centro c (h,k) e raio r
( x − h) 2 + ( y − k ) 2 =
r2
Desenvolvendo temos:
x 2 − 2hx + h 2 + y 2 − 2ky + k 2 =
r2
Colocando em ordem:
x 2 + y 2 − 2kx − 2ky + h 2 + k 2 − r 2 =
0
Fazendo:
−2h =
D

E
−2h =
 2
2
2
F
h + k − r =
Temos:
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =
0
Esta é a Equação Geral da circunferência.
IMPORTANTE
É importante observar que toda equação geral de circunferência possui os dois termos do 2º
grau e seus coeficientes devem ser obrigatoriamente iguais.
Vamos desenvolver a equação do exercício anterior? Então, vamos lá!
Temos:
( x + 3) 2 + ( y − 4) 2 =
36
x 2 + 6 x + 9 + y 2 − 8 y + 16 − 36 =
0
x 2 + y 2 + 6 x − 8 y − 11 =
0
Esta equação está na forma Geral, não podemos identificar
facilmente o centro e o raio ao olhar.
Circunferência
45

6. Identificando o Centro e o Raio na
Equação Geral da Circunferência
λ
i
Ra
o
Centro
Se não podemos identificar
facilmente o centro e o raio,
então teremos de calcular, pois
são os principais elementos
da circunferência. Podemos
fazer isso de duas maneiras:
1º MODO
Seja a equação geral: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =
0
Para identificar o centro e o raio na equação apresentada utilizaremos os coeficientes D,
E e F.
Centro: c (h,k)
D=
−2h
⇒
−2
E =k
⇒
D
h=
−
2
E
−
k=
2
∴
 D E
C − ,− 
2
 2
Raio: r
F = h2 + k 2 − r 2
2
2
 D  E
r = −  +−  − F
 2  2
D2 E 2
+
−F
r2 =
4
4
2
r2
=
46
D2 + E 2 − 4F
r
=
∴
4
D2 + E 2 − 4F
2
Circunferência

7. Obs:
(
se ( D
se ( D
)
− 4F ) = a circunferência é apenas um ponto
0 ⇒
− 4F ) > 0 ⇒ a circunferência é real
se D 2 + E 2 − 4F < 0 ⇒ ∃ circunferência (conjunto vazio)
⁄
2
+ E2
2
+ E2
Confira agora o exercício resolvido referente a este 1º modo de identificar o centro e o
raio da circunferência. Veja como é fácil!
Exercício resolvido
Dada a equação da circunferência, x 2 + y 2 − 3 x + 6 y − 7 = , identifique o centro e o raio.
0
 D E
C − ,− 
2
 2
 −3 6 
C − ,− 
2
 2
3

C  , −3 
2


D2 + E 2 − 4F
2
9 + 36 − 4 × (−7)
r=
2
9 + 36 + 28
r=
2
73
r=
2
r=
2º MODO
Podemos identificar o centro e o raio na equação geral de uma circunferência utilizando a
técnica de “completar quadrados”. Isso equivale a, simplesmente, transformar a equação
da forma geral para a forma centro-raio.
Quer um exemplo? Então pense em um quadrado perfeito, cuja expressão da
2
forma a 2 + 2ab + b 2 pode ser reduzida para a forma ( a + b) , isto quer dizer que,
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 . Vou usar a equação x 2 + y 2 + 4 x − 6 y − 3 = para exempli0
ficar esse processo.
Podemos reescrever a equação acima dessa forma:
x 2 + 4 x + ⋅⋅⋅ + y 2 − 6 y + ⋅⋅⋅ = 3
ATENÇÃO
Nos espaços pontilhados devemos inserir números com o objetivo de transformar o lado
esquerdo da equação em uma soma de “quadrados perfeitos”, no caso desse nosso exemplo,
esses números são 4 e 9 respectivamente.
A equação então ficará assim: x 2 + 4 x + 4 + y 2 − 6 y + 9 = 3 + 4 + 9 , note que ao somar
4 e 9 do lado esquerdo da equação tivemos que somar 4 e 9 também do lado direito,
fizemos isto para não alterar o valor da equação.
2
2
2
2
Feito isso podemos concluir que x + 4 x + 4 = ( x + 2) e que y − 6 y + 9 = ( y − 3)
e ainda que 3 + 4 + 9 = 16. Então, a equação pode ser escrita na forma centro-raio
( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = , onde podemos identificar facilmente que o centro é o ponto
16
(–2, 3) e o raio é 4.
Circunferência
47

8. POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO
Posição relativa em relação a um ponto
Um ponto P do plano em relação a uma circunferência pode ser:
• Interior à circunferência, quando a distancia de P ao centro C da circunferência for
menor que o raio r, ou seja, dPC < r ;
• Pertencer à circunferência, quando a distância de
igual ao raio r, isto quer dizer que, dPC = r ;
• Exterior à circunferência, quando a distância de
r, assim, dPC > r .
P ao centro C for exatamente
P ao centro C for maior que o raio
Para verificar a posição relativa de um ponto P em relação a uma
circunferência, ou seja, verificar se o ponto P é interior, pertence,
ou é exterior à circunferência, basta calcular a distância de P ao
centro da circunferência. Você se lembra da fórmula para calcular
a distância entre dois pontos?
Então, para gravar, se a distância entre o ponto P e o centro C
da circunferência der um valor menor que o raio, o ponto será
interior: dPC < r. Agora, se a distância de P ao centro C for
exatamente igual ao raio, o ponto pertencerá à circunferência:
dPC = r . E, se a distância de P ao centro C for um número maior
que o raio o ponto será exterior à circunferência: dPC > r. Para
fixar estas informações vamos ver o exercício resolvido a seguir.
Exercício resolvido
Verificar a posição relativa entre a circunferência x 2 + y 2 + 2 x + 2 y − 7 = e os pontos
0
A(–2,2), B(1,1) e D(–4,–1).
48
Circunferência

9. Antes de mais nada, usando as fórmulas que já vimos, podemos concluir que o centro da
circunferência é o ponto C(–1,–1) e seu raio é 3. Então, vamos calcular a distância do
ponto A ao centro C:
dAC =
( −2 − ( −1) ) + ( 2 − ( −1)) =
2
2
( −1)
2
+ 32 =
10 > 3
Portanto, você pode verificar que o ponto A é exterior à circunferência.
Agora vamos calcular a distância do ponto B ao centro C:
dBC
=
(1 − ( −1) ) + (1 − ( −1)) =
2
2
22 + 22=
8 >3
Note que neste caso o ponto B é interior à circunferência.
E finalmente calcularemos a distância do ponto D ao centro C:
dDC =
( −4 − ( −1) ) + ( −1 − ( −1)) =
2
2
( −3)
2
+ 02 =
9= 3
Com base nesses cálculos veja que o ponto D pertence à circunferência.
Posição relativa em relação a uma reta
Uma reta r do plano em relação a uma circunferência pode ser:
• Secante à circunferência, quando a distância do centro C da circunferência à reta r
for menor que o raio, ou seja, dC , reta < r ;
• Tangente à circunferência, quando a distância do centro C da circunferência à reta
for exatamente igual ao raio, ou seja, dC , reta = r ;
• Exterior à circunferência, quando a distância do centro C da circunferência à reta for
maior que o raio, ou seja, dC , reta > r .
Circunferência
49

10. Para verificar a posição relativa de uma reta r em relação a uma
circunferência, ou seja, verificar se a reta r é secante, tangente,
ou é exterior à circunferência, basta calcular a distância do centro
C da circunferência à reta. Agora eu pergunto a você, qual é a
fórmula utilizada para calcular a distância entre ponto e reta?
Então, para gravar, se a distância entre o centro C da circunferência e a
reta r der um valor menor que o raio, a reta será secante: dC, reta < r .
Mas, se a distância do centro C à reta for exatamente igual ao raio, a
reta será tangente à circunferência: dC, reta = r. Agora, se a distância
do centro C à reta for um número maior que o raio a reta será
exterior à circunferência: dC, reta > r . Para fixar estas informações
vamos ver o exercício resolvido a seguir.
Exercício resolvido
Vamos verificar a posição relativa entre a circunferência x 2 + y 2 − 2 x + 6 y = cada
0 em
uma das retas:
3x + y – 10 = 0
b) 3x + 4y – 6 = 0
c) 3x – 4y + 5 = 0
a)
Acompanhe as resoluções, lembrando que o centro da circunferência é o ponto
e o raio é
C (1,–3)
10 . A distância do centro da circunferência e a reta pode ser calculada com
a fórmula, dPR =
Letra a: dC, reta
=
ax0 + by0 + c
a 2 + b2
.
3 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( −3) − 10
=
9 +1
10
=
10
=
10
10 ( raio )
Portanto a reta é tangente à circunferência.
Letra b: dC, reta=
3 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( −3) − 6
9 + 16
=
15
= 3 < 10 ( raio )
5
Portanto a reta é secante à circunferência.
Letra c: dC, reta=
3 ⋅ 1 − 4 ⋅ ( −3) + 5
9 + 16
=
20
= 4 > 10 ( raio )
5
Portanto a reta é exterior à circunferência.
Bom, caro(a) aluno(a), existe outra maneira de verificar a
posição relativa entre uma circunferência e uma reta que
vale a pena ser vista.
50
Circunferência
a

11. Quando uma reta é secante a uma circunferência, significa que a reta intercepta a circunferência em dois pontos, ou seja, existirão dois pontos de interseção entre a reta e a
circunferência:
Quando uma reta é tangente a uma circunferência, só haverá um ponto em comum entre
as duas curvas, ou seja, apenas um ponto de interseção:
E quando a reta é exterior à circunferência não existirão pontos de interseção:
Sabendo disso, podemos determinar a posição entre as duas curvas, resolvendo
um sistema com as equações de ambas, pois a solução de um sistema de
equações nos fornece os pontos em comum às duas curvas. Encontrando
duas soluções para o sistema, ou seja, dois pontos de interseção, a reta será
secante à circunferência. Encontrando apenas uma solução para o sistema, a
reta será tangente, com um ponto de interseção, e caso o sistema não tenha
solução a reta será exterior à circunferência, e isto significa que não há ponto de
interseção. Acompanhe mais um exercício resolvido e veja a determinação dos
pontos de interseção dos exemplos a seguir.
Exercício resolvido
Para determinar os pontos de interseção da reta x + y − 5 = com a circunferência
0
x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 1 = . Montamos o sistema com as equações das duas curvas:
0
0
x + y − 5 =
 2
2
0
x + y − 2x − 4 y + 1 =
Explicitando o
y na equação da reta e substituindo-o na equação da circunferência tere-
2
0
mos x 2 + (5 − x) 2 − 2 x − 4(5 − x) + 1 = , e após simplificar será assim x + 4 x + 3 =,
0
lembrando que esta é uma equação do 2º grau.
Circunferência
51

12. Calculando o discriminante “delta” desta equação, podemos finalmente saber a posição da reta em relação à circunferência, então:
∆ b 2 − 4ac
=
∆= 4 > 0
Se ∆ > 0 a reta é secante à circunferência, pois a equação
do 2º terá duas raízes e, consequentemente, o sistema terá
duas soluções (dois pontos de interseção).
OBSERVAÇÃO
Caso encontremos ∆ = 0 concluiremos que reta é tangente à circunferência (uma solução),
mas caso encontremos ∆ < 0 concluiremos que a reta é exterior à circunferência (sistema
sem solução).
CIRCUNFERÊNCIA QUE PASSA POR
TRÊS PONTOS NÃO COLINEARES
Caro(a) aluno(a), você sabia que por
três pontos quaisquer, não colineares
(que não pertencem à mesma reta)
sempre passa uma circunferência?
Em outras palavras, sempre será
possível determinar a equação de
uma circunferência que passa por
três pontos de um plano, desde que
eles não sejam colineares.
Vou mostrar aqui três maneiras diferentes de determinar a equação de uma circunferência
que passa por três pontos não colineares.
1ª maneira
Observe a figura:
P
Q
R
52
Circunferência

13. Com os pontos P e Q definimos uma corda na circunferência, então o segmento PQ será
uma corda, e com os pontos QR definimos outra corda QR.
Q
P
R
Após desenhar as cordas PQ e QR encontramos os pontos médios das mesmas MPQ e MQR.
Q
P
M PQ
M QR
R
Traçamos então as retas mediatrizes dos segmentos PQ e PR.
Determinamos as equações dessas retas mediatrizes usando o ponto médio dos
segmentos. Para determinar o coeficiente angular da mediatriz do segmento PQ,
basta calcular o coeficiente angular de PQ e aplicar a regra do perpendicularismo,
isto é, inverter e trocar o sinal. Idem para o coeficiente angular da mediatriz de QR.
Mediatriz
É a reta que é perpendicular
a um segmento traçada
pelo seu ponto médio.
mediatriz de PQ
Q
P
mediatriz de PQ
R
As mediatrizes dos segmentos PQ e PR se interceptarão exatamente no centro C da
circunferência. Então, para determinar o centro C da circunferência, resolvemos um sistema com as equações das mediatrizes.
Q
P
r
C
R
Circunferência
53

14. IMPORTANTE
Determinando o centro, podemos calcular a distância deste centro C a qualquer ponto da
circunferência que teremos o raio, por exemplo, o raio será a distância do centro C ao ponto P.
Com o centro e o raio podemos, finalmente, determinar a equação da circunferência utilizando
a fórmula que já deduzimos.
2ª maneira
Podemos determinar a equação de uma circunferência quando conhecemos o centro e
o raio, então, é possível afirmar que quando conhecemos três pontos que pertencem à
circunferência, é possível encontrar o centro da mesma resolvendo um sistema de equações? É isto que você verá a seguir.
Q ( c, d )
P ( a, b )
C ( x, y )
R ( e, f )
Sabemos por definição que, a distância do centro C ao ponto P é igual à distância do
centro C ao ponto Q, dCP = dCQ , e que a distância do centro C ao ponto P é igual à
distância do centro C ao ponto R, dCP = dCR . Assim, podemos determinar as coordenadas do centro C resolvendo o sistema:
dCP = dCQ

dCP = dCR
Encontrado o centro podemos calcular a distância do mesmo a qualquer ponto e teremos
o raio r, por exemplo, r = dCP . Com o centro e o raio podemos finalmente determinar
a equação da circunferência utilizando a fórmula que já deduzimos.
3ª maneira
Sabemos que a equação geral da circunferência é: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =. Desta
0
forma, se conhecemos três pontos que pertencem à circunferência, por exemplo, A(a1, a2 ),
B(b1, b2 ) e C(c1, c2 ), podemos substituir cada um deles na equação geral acima e resolver
um sistema de três equações para determinar os números D, E e F, assim, obteremos a
equação da circunferência que contém os pontos A, B e C. Vejamos:
2
a12 + a2 + a1 D + a2 E + F =
0
 2
2
0
b1 + b2 + b1 D + b2 E + F =
 2
2
0
c1 + c2 + c1 D + c2 E + F =
Então aluno(a), chegamos ao final de mais um módulo. Há alguma
dúvida sobre os elementos da circunferência e suas equações?
Minha dica é que você pesquise um pouco mais sobre esse assunto
na internet ou na bibliografia de referência. Que tal também estudar
sobre as características reflexivas destas curvas e das curvas
cônicas? São conceitos importantes para o estudo da Geometria
Analítica. Bons estudos!
54
Circunferência

15. Síntese
Neste módulo você aprendeu a definição de uma circunferência no plano, viu que para
determinar a equação de uma circunferência é necessário conhecer seu centro e seu raio.
Você também compreendeu quais são os tipos de equações da circunferência e estudou
sua posição no plano em relação a pontos e a retas.
Referências
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática – Campinas: Editora da Unicamp, 1997.
JÚDICE, Edson Durão. Elementos de Geometria Analítica – Belo Horizonte: Sistema Pitágoras de Ensino, 1976,
2ª edição.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica – São Paulo: Mc Graw-Hill, 1987.
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica – São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 2000.
55