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NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
CERCADO DE ESTATÍSTICAS POR TODOS OS LADOS
Você pode não saber definir Estatística,
mas ao ouvir essa palavra logo pensa em
números, tabelas e gráficos, não é?
A estatística é um ramo da Matemática
especializado em coletar, organizar, representar
e interpretar dados, com o objetivo de estudar
fatos, fenômenos, comportamentos e muito
mais.
Nos mais variados campos ela está
presente para ajudar a solucionar problemas e
determinar rumos de ação.
Você estudou nos módulos anteriores a Educação Fiscal e a Educação
Financeira que está interligada com a Estatística, pois são os gráficos e tabelas
que mostram os dados coletados.
Veja o exemplo:
Se o estudo estatístico da população de um determinado país revela
taxas de analfabetismo crescentes é conveniente que se adotem políticas
educacionais para corrigir esse problema.
A indústria utiliza estatística para avaliar a aceitação de seus produtos no
mercado e a partir daí trocar estratégias de produção e venda desses produtos.
A eficácia de um remédio, o tratamento de uma doença ou os efeitos
colaterais que ele pode provocar, são determinados estatisticamente.
E você, que tal aprender um pouco sobre ela?
A estatística está presente em seu cotidiano: nos jornais, revistas, TV, na
entrevista que você responde sobre seu sabonete preferido, no folheto com
perguntas sobre o serviço de lanchonete que você freqüenta, nas profissões
que você pode vir a exercer.
Esse é o objetivo deste módulo: ensinar noções básicas de estatística
para quem já vive cercado por ela.
Existem empresas especializadas em pesquisas estatísticas (IBOPE,
DATA FOLHA, VOX POPULI, etc). São elas que elaboraram as pesquisas e
apresentam os resultados em forma de gráficos e tabelas para que possamos
estar por dentro das informações.
2
POPULAÇÃO E AMOSTRA
Observe este exemplo:
Em épocas de eleições, é comum vermos pesquisas de intenção de voto
divulgadas pela mídia. Será que eles entrevistam todos os eleitores brasileiros
para obter os dados da pesquisa? Não, isso seria impossível. É por isso que
entrevistam uma quantidade determinada de eleitores (por exemplo, 2000
eleitores). Aí entra o conceito de amostra e população:
População - são todos os eleitores que formam a população do fenômeno que
está sendo estudado. No exemplo que foi dado acima seriam todos os
eleitores do Brasil.
Amostra - é a parcela da população que foi entrevistada. No exemplo acima,
2000 eleitores. É com base nos dados colhidos nessa amostra que a pesquisa
é feita. A escolha da amostra é parte importante na Estatística.
Exemplo: A Cooperativa Agrícola quer saber sobre o consumo de tomate
em Votorantim.
População: 103000 habitantes da cidade de Votorantim.
Amostra: 20 pessoas que moram no mesmo prédio de uma rua de Votorantim.
Pesquisa: consumo de tomate em Votorantim
Pergunta: Você consome tomate?
Das 20 pessoas entrevistadas (100%) da amostra você tem:
Sim = 4 Não = 16
Utilizando a regra de três simples você tem:
20 100
4 X 20 . X = 4 . 100
X =
20
400
X = 20%
Conclusão:
Somente 20% dos habitantes de Votorantim consomem tomate. A
pesquisa não é válida! A população de Votorantim não está sendo
adequadamente representada, pois para uma cidade desse porte, com mais de
100000 habitantes, uma amostra de 20 pessoas não é significativa, isto é, não
é suficiente para demonstrar se o tomate é, ou não consumido pela população.
Os moradores do prédio formam uma amostra muito pequena e particular.
Uma amostra tem que ter uma quantidade suficientemente grande para
representar a população da pesquisa em questão.
3
TABELA
Todos os dados coletados são organizados de tal forma que se reduzem
em uma tabela. Veja o exemplo abaixo:
Algumas pessoas têm dois irmãos ou irmãs, outras têm três; há aquelas
que não têm irmãos e também as que, nas famílias numerosas, têm seis ou
sete irmãos.
Na classe de Ana Lúcia, essa pergunta foi respondida com uma pesquisa
estatística, mas primeiro foi necessário coletar dados.
A mesma pergunta foi sendo respondida por todos os alunos e anotado o
resultado na lousa.
E para organizar os dados coletados foi feita a tabela abaixo.
Ela mostra a quantidade de casos ocorridos com: 0 irmão , 1 irmão, 2
irmãos, etc.
Compare
os dados
acima com
os da tabela
ao lado:
Nº de irmãos Freqüência (quantidade de
ocorrências em cada caso)
0 7
1 11
2 6
3 3
4 0
5 1
4
Os dados da tabela podem ser representados em gráfico, que é a
visualização geométrica desses dados.
GRÁFICOS: A COMUNICAÇÃO DA ATUALIDADE
Quando lemos um jornal, uma revista ou assistimos a um noticiário de
televisão, é muito comum encontrarmos informações sobre diversas situações
representadas por meio de gráficos.
Neste módulo vamos analisar alguns tipos de gráficos e entender melhor
as informações neles contidas.
São eles:
- gráficos de segmento ou linhas;
- gráficos de setores;
- gráficos de barras ou colunas.
Saiba mais sobre cada um deles:
1-) Gráficos de linhas ou segmentos: são usados para mostrar a progressão
de um fenômeno num certo período de tempo.
Veja o exemplo:
A cada 15 dias, um instituto de pesquisa fez uma sondagem eleitoral para
saber qual dos dois principais candidatos tinha chance de ser eleito. Veja o
gráfico a seguir e pense nas questões:
5
0
5
10
15
20
25
30
35
1ª
pesquisa
2ª
pesquisa
3ª
pesquisa
4ª
pesquisa
Candidato A
Candidato B
a) O candidato A é o líder. Na 1ª pesquisa, quantos por cento ele tem a mais
do que o candidato B?
b) O candidato B está atrás, mas dizem que é ele quem vencerá? Por quê?
Analisando o gráfico percebemos que o candidato B sempre se manteve
em alta (linha crescente) o que evidencia a probabilidade de ser o vencedor.
2-) Gráficos de setores: utilizam-se círculos fatiados muito semelhante a uma
pizza cortada em vários pedaços e servem para situações em que se
precisa ter uma visão comparativa entre todas as suas partes e o inteiro.
Veja o exemplo:
Foi feita uma pesquisa no Congresso Nacional e chegou-se ao resultado
apresentado no gráfico abaixo:
PESQUISA NO CONGRESSO BRASILEIRO
52%
30%
18%
Presidencialistas
Parlamentaristas
Indefinidos
6
Variação do Dólar de 1994-2000
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1 2 3 4 5 6 7
variação de 1994-200
Real
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
R
E
A
L
Setores Circulares são formas adequadas para representar fenômenos
que se expressam em termos de porcentagens. Isso porque o círculo todo é
uma excelente representação de 100% desse fenômeno. Para representar os
18% dos congressistas no círculo aplicamos a seguinte regra de três simples.
100% correspondem 360º então
18
100
=
X
360
100  X = 18  360
18% correspondem Xº X =
100
6480
X = 64,8º
O ângulo de aproximadamente 65º corresponde à parte pintada de
amarelo.
3-) Gráfico de barras ou colunas: apresentam os resultados em forma de
barras horizontais ou verticais (colunas), partindo do plano cartesiano
formado por dois eixos: horizontal e vertical.
Veja o exemplo que mostra a variação do Dólar em Reais no decorrer do
tempo.
7
PLANO CARTESIANO
Aplicando a idéia podemos pensar em um plano dividido por duas retas
perpendiculares formando quatros ângulos retos. Essas retas recebem o nome
de eixos e cada um dos quatro ângulos recebe o nome de quadrante.
Convenciona-se numerar os quadrantes no sentido anti-horário:
Os eixos desse sistema são chamados eixos cartesianos. Convenciona-
se que:
- o eixo horizontal é chamado eixo das abscissas ou eixo x.
- o eixo vertical é chamado eixo das ordenadas ou eixo y.
Esses dois eixos determinam o plano cartesiano onde serão colocados os
valores dos gráficos.
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS
Para você analisar e interpretar um gráfico é necessário observar alguns
de seus elementos tais como:
Título: identifica o assunto que está sendo apresentado.
Legenda: seus itens identificam quais elementos foram pesquisados.
Títulos dos eixos: vertical e horizontal. Determinam os valores usados na
pesquisa.
Os eixos (retas) são divididos em partes iguais. Cada ponto representa
uma unidade de medida. É necessário observar de quanto em quanto foi
dividida a unidade de medida.
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
8
Neste exemplo o gráfico de barras mostra:
a) O assunto tratado nessa pesquisa foi “mortes por doença pulmonar”.
b) O eixo vertical foi graduado ou dividido de 10 em 10 mil pessoas.
c) A legenda identifica a quantidade de cigarros que fumam por dia.
d) Quantas pessoas fumam até 15 cigarros por dia? É a barra de cor rosa
que indica a quantidade.
e) Qual foi o total de amostra pesquisada? O total de pessoas entrevistadas
é a soma das quantidades de todas as barras.
f) Quantos não fumantes morrem de doença pulmonar? Pela legenda é a
coluna de cor azul, que são aproximadamente 5000 mortes.
g) 60 mil pessoas fumam até 15 cigarros por dia, como mostra a coluna
rosa.
h) Para você, qual a relação que existe entre a quantidade de cigarros/dia
fumados e as mortes por doenças pulmonares? Você responde
analisando os dados do eixo horizontal juntamente com o eixo vertical.
MORTES POR DOENÇA PULMONAR
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
milpessoas
não fumantes
fumam até 5
cigarros /dia
fumam até 15
cigarros/dia
fumam até 25
cigarros/dia
fumam mais de
25cigarros/dia
9
EXERCÍCIOS: Copie os gráficos no caderno, faça a análise e responda:
1 ) Observe o gráfico e suponha a situação:
Candidatos fazem uma prova para um concurso em que as notas variam de
0 a 10, de meio em meio ponto. O resultado da avaliação é o que está expresso
no gráfico abaixo e mostra:
 a freqüência que é a quantidade de pessoas que obtiveram cada nota;
 o eixo Y representa a freqüência dessas notas;
 a graduação do eixo Y é de 1 em 1;
 o eixo X representa as notas que variam em 0,5 ponto.
Resultado da avaliação do concurso
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
notas
frequência
10
a) Copie e complete em seu caderno a tabela abaixo:
b) Qual foi a nota que obteve maior freqüência?
c) Qual a freqüência da nota 8,0?
d) Analisando esses resultados pode-se dizer que a prova foi fácil ou difícil?
e) Explique com suas palavras a resposta acima.
2 ) Observando o gráfico a seguir, responda:
a) Qual o assunto tratado nesse gráfico?
b) Quais foram os meses pesquisados?
c) Qual foi a arrecadação do IPVA no mês de janeiro?
d) De janeiro para fevereiro houve uma queda na arrecadação. Qual foi a
diferença apresentada? Lembre-se, diferença é o resultado da subtração.
e) Usando valores aproximados, quais os meses em que a arrecadação
permaneceu constante (não há ou houve pouca variação)?
NOTAS 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
FREQ. 0 11 5
11
3 ) A legenda refere-se à faixa etária (intervalo de anos de nascimento) dos
alunos do CEESVO. Analise o gráfico e complete as afirmações:
10%
12%
21%
18%
25%
14%
1985 à 1981
1980 à 1976
1975 à 1971
1970 à 1966
1965 à 1960
antes de 1960
a) A faixa etária correspondente a 25% dos alunos é de ___________.
b) Os alunos mais novos correspondem a porcentagem de ________.
c) Se os mais velhos correspondem a 14% dos alunos, a idade mínima em
relação a 2007 é de __________.
d) Os nascidos entre 1975 a 1985 correspondem a um total de _____% dos
alunos.
e) Um aluno que em 2007 tem 40 anos está dentro da faixa etária que
corresponde a ______%.
4 ) Quanto ao gráfico abaixo, responda as perguntas da página seguinte:
Receita Tributária do Estado de SP de
janeiro a julho 2007
1%
5%
9%
85%
ICMS
IPVA
TAXAS
ITCMD*
* ITCMD = Imposto sobre Transmissão “Causa Mortis” (herança) e Doação
12
a) De onde vem a maior parte do dinheiro que compõe a receita tributária?
b) Qual a porcentagem que cabe a esse imposto?
c) A menor arrecadação vem do ITCMD. Qual é o valor dessa porcentagem?
d) Qual o significado de ITCMD?
e) Qual o imposto relativo a 9% da arrecadação de São Paulo?
5 ) De 1500 alunos de uma escola estadual regular foram entrevistados 180
alunos conforme mostra o gráfico abaixo:
a) Qual o assunto tratado nesse gráfico?
b) A população dessa pesquisa foi de ...............alunos
c) De quanto foi a amostra?
d) Quantas vezes, 5 alunos fazem a higiene bucal (escovação dos dentes)
por dia?
e) A maioria (86 alunos) faz a escovação dos dentes............ vezes por dia.
f) Você acha suficiente para ter uma boca sadia?
g) Na sua opinião, para que todos os alunos dessa escola tenham uma boa
higiene bucal eles terão que fazer...............escovações diárias.
6) Uma parte da arrecadação de impostos do Estado de São Paulo é distribuída
entre as suas cidades. Veja o gráfico da página seguinte para saber a
arrecadação dos tributos de Votorantim.
Higiene Bucal
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
nenhuma vez
uma vez
duas vezes
três vezes
mais do que 3
freqüência (nº de alunos)
13
a) Quanto Votorantim arrecadou de janeiro a outubro? Use os números que
correspondem as colunas que representam o total com os valores
marcados de cada mês para fazer o cálculo usando apenas as unidades
dos milhões e milhares. Ex.: janeiro = 3 460 000, fevereiro = 2 378 000 etc.
b) Quais os meses em que a arrecadação do IPVA foi menor do que
R$50000,00?
c) Entre os meses de setembro e outubro houve uma diminuição de
arrecadação do ICMS. De quanto foi essa diferença (aproximadamente)?
d) Nos meses de janeiro e setembro as arrecadações do ICMS foram
aproximadamente iguais. De quanto foi essa arrecadação?
14
MÉDIAS, MODA e MEDIANA
Você já viu que a Estatística é um ramo da Matemática que trabalha com
dados comparativos, pesquisas de opinião, pesquisas de mercado e projeções
futuras.
Os dados numéricos obtidos por intermédio das pesquisas são mais
facilmente observados quando organizados numa tabela ou por representações
gráficas. No entanto, se uma tabela contém um número muito grande de dados,
essa observação pode se tornar confusa. Nesses casos, é mais interessante
observar os dados da tabela determinando-se a média desses valores.
Costumamos calcular várias médias na vida diária: a média de horas
trabalhadas diariamente, a velocidade média, o salário médio de uma empresa,
a média de produção mensal de uma indústria, a despesa média mensal, a
estatura média das pessoas, o consumo médio de gasolina, etc. Ignorando as
variações, a média representa situações regulares, supõe que todos os valores
de uma tabela são iguais.
PRODUÇÃO DE VEÍCULOS
Mês/Ano Nº de veículos
Jan/95 97800
Fev/95 130800
Mar/95 151800
Abr/95 131200
Na tabela acima, está indicado o número de veículos produzidos no
Brasil, no período de janeiro a abril de 1995. Nesse período, qual foi a produção
média mensal de veículos?
Para responder à pergunta, você deve calcular a média aritmética dos
números apresentados na tabela. Essa média é calculada somando-se os
valores dados e dividindo-se o resultado pelo número de valores. Então:
Ma = 97800 + 130800 + 151800 + 131200 = 511600 = 127900
4 4
Isso significa que a produção média mensal de veículos no período de
janeiro a abril de 1995 foi de 127900 veículos? Não. Significa que, se numa
situação imaginária, a produção mensal de veículos fosse sempre a mesma, o
número de veículos produzidos seria de 127900 por mês.
15
VELOCIDADE MÉDIA
Quando você faz uma viagem e diz que seu carro desenvolve uma
velocidade média de 80 Km/h, isso não significa que o carro andou com essa
velocidade o tempo todo da viagem, isto é quase impossível de acontecer.
Mostra que em determinadas horas o carro ultrapassou 80Km/h e em outras
ficou abaixo dessa velocidade. Caso, numa situação imaginária, o carro fizer a
viagem com uma mesma velocidade, gastando o mesmo tempo, essa
velocidade seria de 80 Km/h.
Exemplo:
Vamos calcular a velocidade média de um trem que fez uma viagem de
800 km em 10 horas:
Vm = 800 km = 80 km/h
10 h
Veja que basta dividir a distância percorrida pelo tempo gasto para percorrê-la.
EXERCÍCIO:
7 ) Um carro fez uma viagem de 480 Km em 8 horas. Qual foi sua velocidade
média?
MÉDIA DE HORAS DIÁRIAS DE TRABALHO
Os números de horas diárias trabalhadas por um professor, durante uma
semana, estão assinaladas na tabela. Vamos calcular a média diária de horas
trabalhadas.
Ma = 7+6+10+11+6 = 40 = 8 horas
5 5
O total de horas que o professor trabalhou abaixo da média (2ª, 3ª e 6ª
feira) foi de 5 horas; e o total de horas trabalhadas acima da média (4ª e 5ª
feira) também foram 5 horas.
Dias
da semana
Nº de horas
de trabalho
2ª feira 7h
3ª feira 6h
4ª feira 10h
5ª feira 11h
6ª feira 6h
16
Verifique: horas abaixo da média: horas acima da média:
2ª feira: 8 – 7 = 1 4ª feira: 10 – 8 = 2
3ª feira: 8 – 6 = 2 5ª feira: 11 – 8 = 3
6ª feira: 8 – 6 = 2 total = 5h
total= 5h
Portanto, o número de horas trabalhadas a menos é igual ao número de
horas trabalhadas a mais.
Costumamos dizer que, em relação à média, os excessos compensam
as faltas. Você pode visualizar bem essa situação, usando um gráfico de
barras:
Horas trabalhadas na semana
0
2
4
6
8
10
12
2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira
horas
Veja outro exemplo para ilustrar a idéia da média:
O peso máximo permitido dentro de um elevador de prédio residencial em
geral é de 420 Kg ou 6 pessoas, o que dá uma média de 70 Kg por pessoa
(420 : 6 = 70).
Supondo que 5 pessoas, cujos pesos estão na tabela abaixo, entram no
elevador. Qual deve ser, no máximo, o peso de uma 6ª pessoa que deseja
entrar no mesmo elevador? (Os pesos na tabela foram arredondados para
facilitar os cálculos).
Pessoas Pesos
1ª 54Kg
2ª 68Kg
3ª 75Kg
4ª 58Kg
5ª 72Kg
6ª ?
Você pode resolver de duas formas:
1) Somando os pesos das cinco pessoas que
estão no elevador, encontramos 327Kg.
Como o máximo permitido é 420Kg, o peso
da 6ª pessoa pode ser até:
420 – 327 = 93 Kg.
A média está
representada pela
semi-reta vermelha.
Observe que os
excessos (5 horas)
compensam as
faltas (5 horas).
17
2) Esse mesmo problema pode ser resolvido usando a equação do 1º
grau e o conceito (idéia) de média aritmética.
Você já sabe que Media Aritmética é a soma de todos os elementos
dividido pela quantidade. Partindo desse raciocínio e usando a variável x como
o 6º elemento, você forma a equação:
54 + 68 + 75+ 58 + 72 + x = 70
6
327 + x = 70  327 + x = 6  70
6 x = 420 - 327
x = 93 (peso da 6ª pessoa)
A média aritmética que você já estudou é chamada média aritmética
simples. Você vai estudar agora a média aritmética ponderada (ponderar
significa atribuir um peso), muito usada quando se torna necessário valorizar,
dar um peso a um ou mais valores que entrarão no cálculo da média.
CÁLCULO DA MÉDIA PONDERADA
Veja o exemplo:
Numa escola, o critério para o cálculo da média de um aluno em cada
disciplina, é o seguinte:
Notas de matemática
1º bimestre: peso 1 10
2º bimestre: peso 2 8,5
3º bimestre: peso 3 7
4º bimestre: peso 4 5,5
Para determinar a média aritmética ponderada de um aluno que obteve
em Matemática, notas 10 ; 8,5 ; 7 e 5,5 nos respectivos bimestres você deve
ponderar (multiplicar) cada nota pelo seu peso correspondente, somar todos
os resultados obtidos nas multiplicações e dividir essa soma pelo total dos
pesos.
Mp = 10  1 + 8,5  2 + 7  3 + 5,5  4 = 70,0 = 7
1 + 2 + 3 + 4 10
A média desse aluno em Matemática é 7.
(multiplica)
18
A média ponderada pode facilitar o cálculo de médias quando aparecem
uma ou mais parcelas repetidas várias vezes. Nesse caso, multiplicamos as
parcelas pelo número de vezes em que elas aparecem.
Veja o exemplo:
Em uma empresa, 25 empregados ganham R$ 1500,00; 10 ganham R$
2200,00 e 5 ganham R$ 2800,00. Qual é o salário médio que essa empresa
paga?
Mp=25  1500 + 10  2200 + 5  2800 = 37500+ 22000+14000 =73500 = 1837,50
25 + 10 + 5 40 40
O salário médio dos empregados dessa empresa é de R$ 1837,50.
EXERCÍCIOS:
8 ) Num concurso constavam provas de Português, Matemática e Ciências. As
notas de Português e Matemática tinham peso 2 e Ciências peso 1.
Calcule a média ponderada de um candidato que tirou as seguintes notas:
9 ) Calcule a média aritmética das alturas de uma equipe de basquete que
estão indicadas na tabela abaixo:
10) A média aritmética de cinco números é 12. Quatro desses números são
6,7,8 e 11. Qual é o 5º número? Use o X para representar o 5º número.
JOGADOR ALTURA(m)
1º 1,80
2º 1,84
3º 1,90
4º 1,88
5º 1,86
Português : 6,0
Matemática: 7,0
Ciências: 5,0
19
Salário
(x)
Freqüência
(f )
Dinheiro (R$)
x  f
800,00 4 3200,00
1100,00 2 2200,00
1400,00 1 1400,00
3800,00 2 7600,00
5200,00 1 5200,00
Total 10 19600,00
11) Uma construtora encomendou tábuas de pinho a 4 fornecedores diferentes.
O primeiro entregou tábuas com 225 cm de comprimento; o segundo com
236, o terceiro com 230 cm e o quarto com......cm. O mestre de obras
calculou que a média dos comprimentos das tábuas era de 231 cm.
Qual foi o comprimento das tábuas entregues pelo quarto fornecedor ?
Sugestão : Represente por X o comprimento das tábuas do quarto fornecedor
e calcule a média dos quatro comprimentos.
COMPARANDO MÉDIA, MODA E MEDIANA
A tabela abaixo apresenta dados sobre os salários dos funcionários de
uma pequena empresa.
A média aritmética dos salários dos 10 funcionários da empresa é:
R$19600,00 : 10 = R$1960,00
(salário de cada funcionário se o dinheiro fosse distribuído igualmente).
A MODA é um elemento importante na análise de uma tabela ou gráfico.
É ela que mostra o dado numérico de maior freqüência. Neste exemplo a moda
é igual a R$800,00 que é o salário mais comum (de 4 funcionários).
Comparando o valor da Média (R$1960,00) com o valor da Moda
(R$800,00) observamos que há uma diferença muita grande entre eles. Para ter
uma visão melhor a respeito dos salários dos funcionários usamos a Mediana.
20
Salário
(x)
Freqüência
(f )
Freqüência
acumulada
Dinheiro
(R$)
x  f
800,00 4 4 3200,00
1100,00 2 4+2=6 2200,00
1400,00 1 6+1=7 1400,00
3800,00 2 7+2=9 7600,00
5200,00 1 9+1=10 5200,00
TOTAL 10 19600,00
MEDIANA de uma distribuição por freqüência é o valor que divide a
distribuição em duas partes com o mesmo número de dados. Se o total da
freqüência for ímpar, o valor da mediana é o número central. Se o total da
freqüência for par, o valor da mediana é a media aritmética dos dois valores
centrais.
Veja como calcular a mediana do exemplo:
Colocamos em ordem crescente os valores dos salários dos 10
funcionários:
800 800 800 800 1100 1100 1400 3800 3800 5200
Os dois salários centrais estão em vermelho, calculando a média
aritmética dos dois temos:
2
11001100
=
2
2200
= R$1100,00 (mediana)
Outra forma de calcular a mediana de forma mais prática é calcular a
freqüência acumulada.
Veja o exemplo:
É comum usar a expressão “média” para qualquer desses valores. E
você viu que cada valor tem o seu significado. Muitas vezes, os dados são
manipulados dando origem a interpretação falsa sobre determinado
acontecimento. Veja como algumas pessoas, dependendo do cargo que
ocupam, podem usar a expressão “média” da forma como convém.
Média Aritmética
10
19600
 =R$1960,00
A mediana tem o valor encontrado
na linha vermelha, pois a
freqüência acumulada (6) é maior
do que a metade do total da
freqüência (10). Logo o valor da
mediana é R$1100,00.
A moda = R$800,00 (tem a maior
freqüência).
21
CONCLUSÃO: Usa-se o valor que representa a:
MODA: quando desejamos obter rapidamente o valor mais freqüente
numa distribuição;
MEDIANA: quando desejamos obter o valor que divide a distribuição em
duas partes iguais;
MÉDIA ARITMÉTICA: quando desejamos obter um valor que seja o
resultado de uma distribuição eqüitativa.
Observe o gráfico abaixo e a tabela ao lado:
Horas trabalhadas na semana
0
2
4
6
8
10
12
2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira
horas
A média aritmética é
5
40
= 8 horas diária.
A moda é de 6 horas diária (maior freqüência)
A mediana é 7 horas diária: ordem crescente: 6 6 7 10 11
GERENTE
O salário médio é
de R$1960,00 SINDICALISTA
O salário médio
é de R$800,00
FUNCIONÁRIO
O salário médio
é de R$1100,00
Dias da
semana
Horas
trabalhadas
2ª feira 7
3ª feira 6
4ª feira 10
5ª feira 11
6ª feira 6
Total 40
22
EXERCÍCIO:
12 ) Calcule a média aritmética das idades, a moda (a idade com maior
freqüência) e a mediana da tabela abaixo que mostra uma pesquisa feita
em uma sala de aula. Complete os espaços em branco.
IDADE DOS ALUNOS DE UMA CLASSE
IDADE Freqüência Freq. acumulada Freq.  idade
13 4 13  4 = 52
14 8 14  8 = 112
15 6 15  6 = 90
16 2 16  2 = 32
Total
GABARITO:
1) a)
NOTA
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10
FREQ. 0 1 2 4 6 11 12 16 18 14 12 10 8 7 6 6 5 4 2 0 0
b) nota 4 c) freq. 5
d) foi difícil, pois a soma das freqüências das notas menores do que 5 é
maior do que a soma das freqüências das notas maiores do que 5.
e) pessoal
2) a) Arrecadação do IPVA no Estado de São Paulo em 2007
b) Janeiro a Junho de 2007
c) R$ 2 443 000 000,00 – aproximadamente 2,4 bilhões
d) R$ 1 295 000 000,00 – aproximadamente 1,2 bilhão
e) Abril e junho
23
3) a) 1965 a 1960 b) 10% c) 48 anos d) 43% e) 18%
4) a) ICMS
b) 85%
c) 1%
d) Imposto sobre Transmissão “Causa Mortis” (Herança) e Doação
e) IPVA
5) a) Higiene Bucal b) 1500 alunos
c) 180 alunos d) Mais do que 3 vezes por dia
e) 1 vez por dia
g) pessoal
6) a) R$ 18 697 000,00 b) Setembro e Outubro
c) R$ 1 522 000,00 d) R$ 1 783 000,00
7) 60 Km/h
8) Média Ponderada = 6,0
9) Média Aritmética = 1,85m
10) x = 28
11) x = 233cm
12) Média Aritmética = 14 anos
Moda = 14 anos
Mediana = 14 anos
24
Bibliografia:
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz
Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.
GUELLI, Oscar. EJA Educação de Jovens e Adultos Matemática 4º ciclo. 1ª
Edição. Editora Ática. 2007.
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série
São Paulo. Editora Scipione. 1999.
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo,Jakubo. Editora Atual. 2ª Edição.
Projeto Escola e Cidadania. Editora do Brasil.
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª
Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997.
Secretaria da Fazenda do Estado de São Paulo - www.fazenda.sp.gov.br
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:
- Elisa Rocha Pinto de Castro
- Francisco Carlos Vieira dos Santos
- Josué Elias Latance
- Rosy Ana Vectirans
DIREÇÃO:
- Elisabete Marinoni Gomes
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper
COORDENAÇÃO:
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes
APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim

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Noções Básicas de Estatística

  • 1. 1 NOÇÕES DE ESTATÍSTICA CERCADO DE ESTATÍSTICAS POR TODOS OS LADOS Você pode não saber definir Estatística, mas ao ouvir essa palavra logo pensa em números, tabelas e gráficos, não é? A estatística é um ramo da Matemática especializado em coletar, organizar, representar e interpretar dados, com o objetivo de estudar fatos, fenômenos, comportamentos e muito mais. Nos mais variados campos ela está presente para ajudar a solucionar problemas e determinar rumos de ação. Você estudou nos módulos anteriores a Educação Fiscal e a Educação Financeira que está interligada com a Estatística, pois são os gráficos e tabelas que mostram os dados coletados. Veja o exemplo: Se o estudo estatístico da população de um determinado país revela taxas de analfabetismo crescentes é conveniente que se adotem políticas educacionais para corrigir esse problema. A indústria utiliza estatística para avaliar a aceitação de seus produtos no mercado e a partir daí trocar estratégias de produção e venda desses produtos. A eficácia de um remédio, o tratamento de uma doença ou os efeitos colaterais que ele pode provocar, são determinados estatisticamente. E você, que tal aprender um pouco sobre ela? A estatística está presente em seu cotidiano: nos jornais, revistas, TV, na entrevista que você responde sobre seu sabonete preferido, no folheto com perguntas sobre o serviço de lanchonete que você freqüenta, nas profissões que você pode vir a exercer. Esse é o objetivo deste módulo: ensinar noções básicas de estatística para quem já vive cercado por ela. Existem empresas especializadas em pesquisas estatísticas (IBOPE, DATA FOLHA, VOX POPULI, etc). São elas que elaboraram as pesquisas e apresentam os resultados em forma de gráficos e tabelas para que possamos estar por dentro das informações.
  • 2. 2 POPULAÇÃO E AMOSTRA Observe este exemplo: Em épocas de eleições, é comum vermos pesquisas de intenção de voto divulgadas pela mídia. Será que eles entrevistam todos os eleitores brasileiros para obter os dados da pesquisa? Não, isso seria impossível. É por isso que entrevistam uma quantidade determinada de eleitores (por exemplo, 2000 eleitores). Aí entra o conceito de amostra e população: População - são todos os eleitores que formam a população do fenômeno que está sendo estudado. No exemplo que foi dado acima seriam todos os eleitores do Brasil. Amostra - é a parcela da população que foi entrevistada. No exemplo acima, 2000 eleitores. É com base nos dados colhidos nessa amostra que a pesquisa é feita. A escolha da amostra é parte importante na Estatística. Exemplo: A Cooperativa Agrícola quer saber sobre o consumo de tomate em Votorantim. População: 103000 habitantes da cidade de Votorantim. Amostra: 20 pessoas que moram no mesmo prédio de uma rua de Votorantim. Pesquisa: consumo de tomate em Votorantim Pergunta: Você consome tomate? Das 20 pessoas entrevistadas (100%) da amostra você tem: Sim = 4 Não = 16 Utilizando a regra de três simples você tem: 20 100 4 X 20 . X = 4 . 100 X = 20 400 X = 20% Conclusão: Somente 20% dos habitantes de Votorantim consomem tomate. A pesquisa não é válida! A população de Votorantim não está sendo adequadamente representada, pois para uma cidade desse porte, com mais de 100000 habitantes, uma amostra de 20 pessoas não é significativa, isto é, não é suficiente para demonstrar se o tomate é, ou não consumido pela população. Os moradores do prédio formam uma amostra muito pequena e particular. Uma amostra tem que ter uma quantidade suficientemente grande para representar a população da pesquisa em questão.
  • 3. 3 TABELA Todos os dados coletados são organizados de tal forma que se reduzem em uma tabela. Veja o exemplo abaixo: Algumas pessoas têm dois irmãos ou irmãs, outras têm três; há aquelas que não têm irmãos e também as que, nas famílias numerosas, têm seis ou sete irmãos. Na classe de Ana Lúcia, essa pergunta foi respondida com uma pesquisa estatística, mas primeiro foi necessário coletar dados. A mesma pergunta foi sendo respondida por todos os alunos e anotado o resultado na lousa. E para organizar os dados coletados foi feita a tabela abaixo. Ela mostra a quantidade de casos ocorridos com: 0 irmão , 1 irmão, 2 irmãos, etc. Compare os dados acima com os da tabela ao lado: Nº de irmãos Freqüência (quantidade de ocorrências em cada caso) 0 7 1 11 2 6 3 3 4 0 5 1
  • 4. 4 Os dados da tabela podem ser representados em gráfico, que é a visualização geométrica desses dados. GRÁFICOS: A COMUNICAÇÃO DA ATUALIDADE Quando lemos um jornal, uma revista ou assistimos a um noticiário de televisão, é muito comum encontrarmos informações sobre diversas situações representadas por meio de gráficos. Neste módulo vamos analisar alguns tipos de gráficos e entender melhor as informações neles contidas. São eles: - gráficos de segmento ou linhas; - gráficos de setores; - gráficos de barras ou colunas. Saiba mais sobre cada um deles: 1-) Gráficos de linhas ou segmentos: são usados para mostrar a progressão de um fenômeno num certo período de tempo. Veja o exemplo: A cada 15 dias, um instituto de pesquisa fez uma sondagem eleitoral para saber qual dos dois principais candidatos tinha chance de ser eleito. Veja o gráfico a seguir e pense nas questões:
  • 5. 5 0 5 10 15 20 25 30 35 1ª pesquisa 2ª pesquisa 3ª pesquisa 4ª pesquisa Candidato A Candidato B a) O candidato A é o líder. Na 1ª pesquisa, quantos por cento ele tem a mais do que o candidato B? b) O candidato B está atrás, mas dizem que é ele quem vencerá? Por quê? Analisando o gráfico percebemos que o candidato B sempre se manteve em alta (linha crescente) o que evidencia a probabilidade de ser o vencedor. 2-) Gráficos de setores: utilizam-se círculos fatiados muito semelhante a uma pizza cortada em vários pedaços e servem para situações em que se precisa ter uma visão comparativa entre todas as suas partes e o inteiro. Veja o exemplo: Foi feita uma pesquisa no Congresso Nacional e chegou-se ao resultado apresentado no gráfico abaixo: PESQUISA NO CONGRESSO BRASILEIRO 52% 30% 18% Presidencialistas Parlamentaristas Indefinidos
  • 6. 6 Variação do Dólar de 1994-2000 0 0,5 1 1,5 2 2,5 1 2 3 4 5 6 7 variação de 1994-200 Real 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 R E A L Setores Circulares são formas adequadas para representar fenômenos que se expressam em termos de porcentagens. Isso porque o círculo todo é uma excelente representação de 100% desse fenômeno. Para representar os 18% dos congressistas no círculo aplicamos a seguinte regra de três simples. 100% correspondem 360º então 18 100 = X 360 100  X = 18  360 18% correspondem Xº X = 100 6480 X = 64,8º O ângulo de aproximadamente 65º corresponde à parte pintada de amarelo. 3-) Gráfico de barras ou colunas: apresentam os resultados em forma de barras horizontais ou verticais (colunas), partindo do plano cartesiano formado por dois eixos: horizontal e vertical. Veja o exemplo que mostra a variação do Dólar em Reais no decorrer do tempo.
  • 7. 7 PLANO CARTESIANO Aplicando a idéia podemos pensar em um plano dividido por duas retas perpendiculares formando quatros ângulos retos. Essas retas recebem o nome de eixos e cada um dos quatro ângulos recebe o nome de quadrante. Convenciona-se numerar os quadrantes no sentido anti-horário: Os eixos desse sistema são chamados eixos cartesianos. Convenciona- se que: - o eixo horizontal é chamado eixo das abscissas ou eixo x. - o eixo vertical é chamado eixo das ordenadas ou eixo y. Esses dois eixos determinam o plano cartesiano onde serão colocados os valores dos gráficos. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS Para você analisar e interpretar um gráfico é necessário observar alguns de seus elementos tais como: Título: identifica o assunto que está sendo apresentado. Legenda: seus itens identificam quais elementos foram pesquisados. Títulos dos eixos: vertical e horizontal. Determinam os valores usados na pesquisa. Os eixos (retas) são divididos em partes iguais. Cada ponto representa uma unidade de medida. É necessário observar de quanto em quanto foi dividida a unidade de medida. 1º quadrante2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante
  • 8. 8 Neste exemplo o gráfico de barras mostra: a) O assunto tratado nessa pesquisa foi “mortes por doença pulmonar”. b) O eixo vertical foi graduado ou dividido de 10 em 10 mil pessoas. c) A legenda identifica a quantidade de cigarros que fumam por dia. d) Quantas pessoas fumam até 15 cigarros por dia? É a barra de cor rosa que indica a quantidade. e) Qual foi o total de amostra pesquisada? O total de pessoas entrevistadas é a soma das quantidades de todas as barras. f) Quantos não fumantes morrem de doença pulmonar? Pela legenda é a coluna de cor azul, que são aproximadamente 5000 mortes. g) 60 mil pessoas fumam até 15 cigarros por dia, como mostra a coluna rosa. h) Para você, qual a relação que existe entre a quantidade de cigarros/dia fumados e as mortes por doenças pulmonares? Você responde analisando os dados do eixo horizontal juntamente com o eixo vertical. MORTES POR DOENÇA PULMONAR 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 milpessoas não fumantes fumam até 5 cigarros /dia fumam até 15 cigarros/dia fumam até 25 cigarros/dia fumam mais de 25cigarros/dia
  • 9. 9 EXERCÍCIOS: Copie os gráficos no caderno, faça a análise e responda: 1 ) Observe o gráfico e suponha a situação: Candidatos fazem uma prova para um concurso em que as notas variam de 0 a 10, de meio em meio ponto. O resultado da avaliação é o que está expresso no gráfico abaixo e mostra:  a freqüência que é a quantidade de pessoas que obtiveram cada nota;  o eixo Y representa a freqüência dessas notas;  a graduação do eixo Y é de 1 em 1;  o eixo X representa as notas que variam em 0,5 ponto. Resultado da avaliação do concurso 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 notas frequência
  • 10. 10 a) Copie e complete em seu caderno a tabela abaixo: b) Qual foi a nota que obteve maior freqüência? c) Qual a freqüência da nota 8,0? d) Analisando esses resultados pode-se dizer que a prova foi fácil ou difícil? e) Explique com suas palavras a resposta acima. 2 ) Observando o gráfico a seguir, responda: a) Qual o assunto tratado nesse gráfico? b) Quais foram os meses pesquisados? c) Qual foi a arrecadação do IPVA no mês de janeiro? d) De janeiro para fevereiro houve uma queda na arrecadação. Qual foi a diferença apresentada? Lembre-se, diferença é o resultado da subtração. e) Usando valores aproximados, quais os meses em que a arrecadação permaneceu constante (não há ou houve pouca variação)? NOTAS 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 FREQ. 0 11 5
  • 11. 11 3 ) A legenda refere-se à faixa etária (intervalo de anos de nascimento) dos alunos do CEESVO. Analise o gráfico e complete as afirmações: 10% 12% 21% 18% 25% 14% 1985 à 1981 1980 à 1976 1975 à 1971 1970 à 1966 1965 à 1960 antes de 1960 a) A faixa etária correspondente a 25% dos alunos é de ___________. b) Os alunos mais novos correspondem a porcentagem de ________. c) Se os mais velhos correspondem a 14% dos alunos, a idade mínima em relação a 2007 é de __________. d) Os nascidos entre 1975 a 1985 correspondem a um total de _____% dos alunos. e) Um aluno que em 2007 tem 40 anos está dentro da faixa etária que corresponde a ______%. 4 ) Quanto ao gráfico abaixo, responda as perguntas da página seguinte: Receita Tributária do Estado de SP de janeiro a julho 2007 1% 5% 9% 85% ICMS IPVA TAXAS ITCMD* * ITCMD = Imposto sobre Transmissão “Causa Mortis” (herança) e Doação
  • 12. 12 a) De onde vem a maior parte do dinheiro que compõe a receita tributária? b) Qual a porcentagem que cabe a esse imposto? c) A menor arrecadação vem do ITCMD. Qual é o valor dessa porcentagem? d) Qual o significado de ITCMD? e) Qual o imposto relativo a 9% da arrecadação de São Paulo? 5 ) De 1500 alunos de uma escola estadual regular foram entrevistados 180 alunos conforme mostra o gráfico abaixo: a) Qual o assunto tratado nesse gráfico? b) A população dessa pesquisa foi de ...............alunos c) De quanto foi a amostra? d) Quantas vezes, 5 alunos fazem a higiene bucal (escovação dos dentes) por dia? e) A maioria (86 alunos) faz a escovação dos dentes............ vezes por dia. f) Você acha suficiente para ter uma boca sadia? g) Na sua opinião, para que todos os alunos dessa escola tenham uma boa higiene bucal eles terão que fazer...............escovações diárias. 6) Uma parte da arrecadação de impostos do Estado de São Paulo é distribuída entre as suas cidades. Veja o gráfico da página seguinte para saber a arrecadação dos tributos de Votorantim. Higiene Bucal 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 nenhuma vez uma vez duas vezes três vezes mais do que 3 freqüência (nº de alunos)
  • 13. 13 a) Quanto Votorantim arrecadou de janeiro a outubro? Use os números que correspondem as colunas que representam o total com os valores marcados de cada mês para fazer o cálculo usando apenas as unidades dos milhões e milhares. Ex.: janeiro = 3 460 000, fevereiro = 2 378 000 etc. b) Quais os meses em que a arrecadação do IPVA foi menor do que R$50000,00? c) Entre os meses de setembro e outubro houve uma diminuição de arrecadação do ICMS. De quanto foi essa diferença (aproximadamente)? d) Nos meses de janeiro e setembro as arrecadações do ICMS foram aproximadamente iguais. De quanto foi essa arrecadação?
  • 14. 14 MÉDIAS, MODA e MEDIANA Você já viu que a Estatística é um ramo da Matemática que trabalha com dados comparativos, pesquisas de opinião, pesquisas de mercado e projeções futuras. Os dados numéricos obtidos por intermédio das pesquisas são mais facilmente observados quando organizados numa tabela ou por representações gráficas. No entanto, se uma tabela contém um número muito grande de dados, essa observação pode se tornar confusa. Nesses casos, é mais interessante observar os dados da tabela determinando-se a média desses valores. Costumamos calcular várias médias na vida diária: a média de horas trabalhadas diariamente, a velocidade média, o salário médio de uma empresa, a média de produção mensal de uma indústria, a despesa média mensal, a estatura média das pessoas, o consumo médio de gasolina, etc. Ignorando as variações, a média representa situações regulares, supõe que todos os valores de uma tabela são iguais. PRODUÇÃO DE VEÍCULOS Mês/Ano Nº de veículos Jan/95 97800 Fev/95 130800 Mar/95 151800 Abr/95 131200 Na tabela acima, está indicado o número de veículos produzidos no Brasil, no período de janeiro a abril de 1995. Nesse período, qual foi a produção média mensal de veículos? Para responder à pergunta, você deve calcular a média aritmética dos números apresentados na tabela. Essa média é calculada somando-se os valores dados e dividindo-se o resultado pelo número de valores. Então: Ma = 97800 + 130800 + 151800 + 131200 = 511600 = 127900 4 4 Isso significa que a produção média mensal de veículos no período de janeiro a abril de 1995 foi de 127900 veículos? Não. Significa que, se numa situação imaginária, a produção mensal de veículos fosse sempre a mesma, o número de veículos produzidos seria de 127900 por mês.
  • 15. 15 VELOCIDADE MÉDIA Quando você faz uma viagem e diz que seu carro desenvolve uma velocidade média de 80 Km/h, isso não significa que o carro andou com essa velocidade o tempo todo da viagem, isto é quase impossível de acontecer. Mostra que em determinadas horas o carro ultrapassou 80Km/h e em outras ficou abaixo dessa velocidade. Caso, numa situação imaginária, o carro fizer a viagem com uma mesma velocidade, gastando o mesmo tempo, essa velocidade seria de 80 Km/h. Exemplo: Vamos calcular a velocidade média de um trem que fez uma viagem de 800 km em 10 horas: Vm = 800 km = 80 km/h 10 h Veja que basta dividir a distância percorrida pelo tempo gasto para percorrê-la. EXERCÍCIO: 7 ) Um carro fez uma viagem de 480 Km em 8 horas. Qual foi sua velocidade média? MÉDIA DE HORAS DIÁRIAS DE TRABALHO Os números de horas diárias trabalhadas por um professor, durante uma semana, estão assinaladas na tabela. Vamos calcular a média diária de horas trabalhadas. Ma = 7+6+10+11+6 = 40 = 8 horas 5 5 O total de horas que o professor trabalhou abaixo da média (2ª, 3ª e 6ª feira) foi de 5 horas; e o total de horas trabalhadas acima da média (4ª e 5ª feira) também foram 5 horas. Dias da semana Nº de horas de trabalho 2ª feira 7h 3ª feira 6h 4ª feira 10h 5ª feira 11h 6ª feira 6h
  • 16. 16 Verifique: horas abaixo da média: horas acima da média: 2ª feira: 8 – 7 = 1 4ª feira: 10 – 8 = 2 3ª feira: 8 – 6 = 2 5ª feira: 11 – 8 = 3 6ª feira: 8 – 6 = 2 total = 5h total= 5h Portanto, o número de horas trabalhadas a menos é igual ao número de horas trabalhadas a mais. Costumamos dizer que, em relação à média, os excessos compensam as faltas. Você pode visualizar bem essa situação, usando um gráfico de barras: Horas trabalhadas na semana 0 2 4 6 8 10 12 2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira horas Veja outro exemplo para ilustrar a idéia da média: O peso máximo permitido dentro de um elevador de prédio residencial em geral é de 420 Kg ou 6 pessoas, o que dá uma média de 70 Kg por pessoa (420 : 6 = 70). Supondo que 5 pessoas, cujos pesos estão na tabela abaixo, entram no elevador. Qual deve ser, no máximo, o peso de uma 6ª pessoa que deseja entrar no mesmo elevador? (Os pesos na tabela foram arredondados para facilitar os cálculos). Pessoas Pesos 1ª 54Kg 2ª 68Kg 3ª 75Kg 4ª 58Kg 5ª 72Kg 6ª ? Você pode resolver de duas formas: 1) Somando os pesos das cinco pessoas que estão no elevador, encontramos 327Kg. Como o máximo permitido é 420Kg, o peso da 6ª pessoa pode ser até: 420 – 327 = 93 Kg. A média está representada pela semi-reta vermelha. Observe que os excessos (5 horas) compensam as faltas (5 horas).
  • 17. 17 2) Esse mesmo problema pode ser resolvido usando a equação do 1º grau e o conceito (idéia) de média aritmética. Você já sabe que Media Aritmética é a soma de todos os elementos dividido pela quantidade. Partindo desse raciocínio e usando a variável x como o 6º elemento, você forma a equação: 54 + 68 + 75+ 58 + 72 + x = 70 6 327 + x = 70  327 + x = 6  70 6 x = 420 - 327 x = 93 (peso da 6ª pessoa) A média aritmética que você já estudou é chamada média aritmética simples. Você vai estudar agora a média aritmética ponderada (ponderar significa atribuir um peso), muito usada quando se torna necessário valorizar, dar um peso a um ou mais valores que entrarão no cálculo da média. CÁLCULO DA MÉDIA PONDERADA Veja o exemplo: Numa escola, o critério para o cálculo da média de um aluno em cada disciplina, é o seguinte: Notas de matemática 1º bimestre: peso 1 10 2º bimestre: peso 2 8,5 3º bimestre: peso 3 7 4º bimestre: peso 4 5,5 Para determinar a média aritmética ponderada de um aluno que obteve em Matemática, notas 10 ; 8,5 ; 7 e 5,5 nos respectivos bimestres você deve ponderar (multiplicar) cada nota pelo seu peso correspondente, somar todos os resultados obtidos nas multiplicações e dividir essa soma pelo total dos pesos. Mp = 10  1 + 8,5  2 + 7  3 + 5,5  4 = 70,0 = 7 1 + 2 + 3 + 4 10 A média desse aluno em Matemática é 7. (multiplica)
  • 18. 18 A média ponderada pode facilitar o cálculo de médias quando aparecem uma ou mais parcelas repetidas várias vezes. Nesse caso, multiplicamos as parcelas pelo número de vezes em que elas aparecem. Veja o exemplo: Em uma empresa, 25 empregados ganham R$ 1500,00; 10 ganham R$ 2200,00 e 5 ganham R$ 2800,00. Qual é o salário médio que essa empresa paga? Mp=25  1500 + 10  2200 + 5  2800 = 37500+ 22000+14000 =73500 = 1837,50 25 + 10 + 5 40 40 O salário médio dos empregados dessa empresa é de R$ 1837,50. EXERCÍCIOS: 8 ) Num concurso constavam provas de Português, Matemática e Ciências. As notas de Português e Matemática tinham peso 2 e Ciências peso 1. Calcule a média ponderada de um candidato que tirou as seguintes notas: 9 ) Calcule a média aritmética das alturas de uma equipe de basquete que estão indicadas na tabela abaixo: 10) A média aritmética de cinco números é 12. Quatro desses números são 6,7,8 e 11. Qual é o 5º número? Use o X para representar o 5º número. JOGADOR ALTURA(m) 1º 1,80 2º 1,84 3º 1,90 4º 1,88 5º 1,86 Português : 6,0 Matemática: 7,0 Ciências: 5,0
  • 19. 19 Salário (x) Freqüência (f ) Dinheiro (R$) x  f 800,00 4 3200,00 1100,00 2 2200,00 1400,00 1 1400,00 3800,00 2 7600,00 5200,00 1 5200,00 Total 10 19600,00 11) Uma construtora encomendou tábuas de pinho a 4 fornecedores diferentes. O primeiro entregou tábuas com 225 cm de comprimento; o segundo com 236, o terceiro com 230 cm e o quarto com......cm. O mestre de obras calculou que a média dos comprimentos das tábuas era de 231 cm. Qual foi o comprimento das tábuas entregues pelo quarto fornecedor ? Sugestão : Represente por X o comprimento das tábuas do quarto fornecedor e calcule a média dos quatro comprimentos. COMPARANDO MÉDIA, MODA E MEDIANA A tabela abaixo apresenta dados sobre os salários dos funcionários de uma pequena empresa. A média aritmética dos salários dos 10 funcionários da empresa é: R$19600,00 : 10 = R$1960,00 (salário de cada funcionário se o dinheiro fosse distribuído igualmente). A MODA é um elemento importante na análise de uma tabela ou gráfico. É ela que mostra o dado numérico de maior freqüência. Neste exemplo a moda é igual a R$800,00 que é o salário mais comum (de 4 funcionários). Comparando o valor da Média (R$1960,00) com o valor da Moda (R$800,00) observamos que há uma diferença muita grande entre eles. Para ter uma visão melhor a respeito dos salários dos funcionários usamos a Mediana.
  • 20. 20 Salário (x) Freqüência (f ) Freqüência acumulada Dinheiro (R$) x  f 800,00 4 4 3200,00 1100,00 2 4+2=6 2200,00 1400,00 1 6+1=7 1400,00 3800,00 2 7+2=9 7600,00 5200,00 1 9+1=10 5200,00 TOTAL 10 19600,00 MEDIANA de uma distribuição por freqüência é o valor que divide a distribuição em duas partes com o mesmo número de dados. Se o total da freqüência for ímpar, o valor da mediana é o número central. Se o total da freqüência for par, o valor da mediana é a media aritmética dos dois valores centrais. Veja como calcular a mediana do exemplo: Colocamos em ordem crescente os valores dos salários dos 10 funcionários: 800 800 800 800 1100 1100 1400 3800 3800 5200 Os dois salários centrais estão em vermelho, calculando a média aritmética dos dois temos: 2 11001100 = 2 2200 = R$1100,00 (mediana) Outra forma de calcular a mediana de forma mais prática é calcular a freqüência acumulada. Veja o exemplo: É comum usar a expressão “média” para qualquer desses valores. E você viu que cada valor tem o seu significado. Muitas vezes, os dados são manipulados dando origem a interpretação falsa sobre determinado acontecimento. Veja como algumas pessoas, dependendo do cargo que ocupam, podem usar a expressão “média” da forma como convém. Média Aritmética 10 19600  =R$1960,00 A mediana tem o valor encontrado na linha vermelha, pois a freqüência acumulada (6) é maior do que a metade do total da freqüência (10). Logo o valor da mediana é R$1100,00. A moda = R$800,00 (tem a maior freqüência).
  • 21. 21 CONCLUSÃO: Usa-se o valor que representa a: MODA: quando desejamos obter rapidamente o valor mais freqüente numa distribuição; MEDIANA: quando desejamos obter o valor que divide a distribuição em duas partes iguais; MÉDIA ARITMÉTICA: quando desejamos obter um valor que seja o resultado de uma distribuição eqüitativa. Observe o gráfico abaixo e a tabela ao lado: Horas trabalhadas na semana 0 2 4 6 8 10 12 2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira horas A média aritmética é 5 40 = 8 horas diária. A moda é de 6 horas diária (maior freqüência) A mediana é 7 horas diária: ordem crescente: 6 6 7 10 11 GERENTE O salário médio é de R$1960,00 SINDICALISTA O salário médio é de R$800,00 FUNCIONÁRIO O salário médio é de R$1100,00 Dias da semana Horas trabalhadas 2ª feira 7 3ª feira 6 4ª feira 10 5ª feira 11 6ª feira 6 Total 40
  • 22. 22 EXERCÍCIO: 12 ) Calcule a média aritmética das idades, a moda (a idade com maior freqüência) e a mediana da tabela abaixo que mostra uma pesquisa feita em uma sala de aula. Complete os espaços em branco. IDADE DOS ALUNOS DE UMA CLASSE IDADE Freqüência Freq. acumulada Freq.  idade 13 4 13  4 = 52 14 8 14  8 = 112 15 6 15  6 = 90 16 2 16  2 = 32 Total GABARITO: 1) a) NOTA 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 FREQ. 0 1 2 4 6 11 12 16 18 14 12 10 8 7 6 6 5 4 2 0 0 b) nota 4 c) freq. 5 d) foi difícil, pois a soma das freqüências das notas menores do que 5 é maior do que a soma das freqüências das notas maiores do que 5. e) pessoal 2) a) Arrecadação do IPVA no Estado de São Paulo em 2007 b) Janeiro a Junho de 2007 c) R$ 2 443 000 000,00 – aproximadamente 2,4 bilhões d) R$ 1 295 000 000,00 – aproximadamente 1,2 bilhão e) Abril e junho
  • 23. 23 3) a) 1965 a 1960 b) 10% c) 48 anos d) 43% e) 18% 4) a) ICMS b) 85% c) 1% d) Imposto sobre Transmissão “Causa Mortis” (Herança) e Doação e) IPVA 5) a) Higiene Bucal b) 1500 alunos c) 180 alunos d) Mais do que 3 vezes por dia e) 1 vez por dia g) pessoal 6) a) R$ 18 697 000,00 b) Setembro e Outubro c) R$ 1 522 000,00 d) R$ 1 783 000,00 7) 60 Km/h 8) Média Ponderada = 6,0 9) Média Aritmética = 1,85m 10) x = 28 11) x = 233cm 12) Média Aritmética = 14 anos Moda = 14 anos Mediana = 14 anos
  • 24. 24 Bibliografia: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. GUELLI, Oscar. EJA Educação de Jovens e Adultos Matemática 4º ciclo. 1ª Edição. Editora Ática. 2007. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo,Jakubo. Editora Atual. 2ª Edição. Projeto Escola e Cidadania. Editora do Brasil. SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997. Secretaria da Fazenda do Estado de São Paulo - www.fazenda.sp.gov.br ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim