Fórmulas estatística - medidas - central e dispersão

31.277 visualizações

Publicada em

0 comentários
7 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
31.277
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
12
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
704
Comentários
0
Gostaram
7
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Fórmulas estatística - medidas - central e dispersão

  1. 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVAEQUAÇÕES E FÓRMULAS ALGÉBRICAS DAS MEDIDASDE TENDÊNCIA CENTRAL E DE DISPERSÃO1- ELEMENTOS DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA1.1- Frequência absoluta ou simplesf i n → Somatóriof i → Frequência absoluta ou simplesn → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra1.2- Frequência acumulada simplesFk  f1  f 2  f3...  f kFk → Frequência acumulada simplesf1 → Frequência na primeira ordemf 2 → Frequência na segunda ordemf k → Frequência na última ordem1.3- Frequência relativa fif ri  f if ri → Frequência relativaf i → Frequência absoluta ou simples → Somatório Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  2. 2. 1.4- Frequência acumulada relativa FiFri  f iFri → Frequência acumulada relativaf i → Frequência acumulada → Somatório1.5- Frequência relativa (percentual) fif ri %  .100  fif ri → Frequência relativa em porcentagemf i → Frequência absoluta ou simples → Somatório1.6- Frequência acumulada relativa FiFri %  .100  FiFri → Frequência acumulada relativa em porcentagemf i → Frequência acumulada → Somatório2- AMOSTRA2.1- Dados brutos (não agrupados) ou dados em rol Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  3. 3. 2.1.1- Número de classes (K)K = 5 se n ≤ 25K n se n > 25 ou K = 1 + 3,32 log(n) → Regra de SturgesK → Número de classesn → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra2.1.2- Amplitude de classe Maior  Menorh Kh → Amplitude da classeMaior → Maior número do rol ou da sérieMenor → Menor número do rol ou da sérieK → Número de classes2.1.3- Média aritmética simplesx x i nx → Média aritméticaxi → Valor genérico da observação ou da frequência (rol ou série)n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra2.1.4- Média geométrica simplesxg  n x1.x2 .x3...xnx g → Média geométricax1 → Valor dado qualquer do rol ou da série (primeiro)x2 → Valor dado qualquer do rol ou da série (segundo)xn → Valor dado qualquer (último valor do rol ou da série)n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  4. 4. 2.1.5- Média harmônica simples nxh  1 1 1   ...  x1 x2 xnxh → Média harmônicax1 → Valor dado qualquer do rol ou da série (primeiro)x2 → Valor dado qualquer do rol ou da série (segundo)xn → Valor dado qualquer (último valor do rol ou da série)n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra2.1.6- Média ponderada simplesxp   c .x i i c 1x p → Média ponderadaxi → Valor genérico da observação ou da frequência (rol ou série)ci → Valor do peso da variável2.1.7- Desvio em relação à médiadi  xi  x d i → Desvioxi → Valor genérico da observação ou frequênciax → Média aritmética2.1.8- Desvio médio simplesDM   x  x  i n Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  5. 5. DM → Desvio médioxi → Valor genérico da observação ou frequênciax → Média aritmétican → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório2.1.9- Mediana n 1Md  Quando for ímpar (A mediana divide o rol ou a série em 2duas partes iguais - ordem central do rol ou da série).M d → Medianan → Quantidade de dados do rol ou da série ou a frequência daamostra ou tamanho da amostra n nMd  e M d   1 Quando for par (A medida divide o rol ou a 2 2série em duas partes iguais - duas ordens centrais do rol ou dasérie). A mediana será a média aritmética entre os termos da ordem.M d → Medianan → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra2.1.10- ModaMo Valor com maior número de repetições (classe modal). A moda éo valor que estiver na ordem ou na classe modal (valor modal).M o → ModaObservações: Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  6. 6. Série amodal → não tem valor modalSérie unimodal → um valor modalSérie bimodal → dois valores modaisSérie trimodal → três valores modaisSérie polimodal → quatro ou mais valores modais2.1.11- QuartisQ1 → Mediana da primeira metade dos elementos da sérieQ2 → Mediana de todos os elementos da sérieQ3 → Mediana da segunda metade dos elementos da sérieObservações: Nos quartis a série é dividida em quatro partes iguaiscom o mesmo número de elementos, de tal forma que cada intervalodo quartil contenha 25% dos elementos coletados: 1º quartil separaos primeiros 25% dos elementos da serie; 2º quartil separa osprimeiros 50% dos elementos da serie; 3º quartil separa os primeiros75% dos elementos da serie.2.1.12- Variâncias 2   x  x  i 2 n 1s 2 → Variânciaxi → Valor genérico da observação ou frequênciax → Média aritmétican → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  7. 7. 2.1.13- Desvio-padrãos  s2s → Desvio-padrãos 2 → Variância2.2- Dados agrupados sem intervalos de classes2.2-1. Média aritmética simples x .f x .fx ou x  f i i n i i Observação: n f i ix → Média aritméticaxi → Valor genérico da observação ou frequênciaf i → Frequência absoluta ou simplesn → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório2.2-2. Mediana n 1Md  Quando for ímpar (A mediana divide o rol ou a série em 2duas partes iguais, mas a ordem central do rol ou da série).M d → Medianan → Quantidade de dados do rol ou da série ou a frequência daamostra ou tamanho da amostra n nMd  e M d   1 Quando for par (A medida divide o rol ou a 2 2série em duas partes iguais - duas ordens centrais do rol ou dasérie). A mediana será a média aritmética entre os termos da ordem. Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  8. 8. M d → Medianan → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra2.2-3. ModaMo Valor com maior número de repetições ou maior frequência(classe modal). A moda é o valor que estiver na ordem ou na classe.M o → ModaObservação: 1º- Localizar a classe modal (classe que contém o maiorvalor de frequência); 2º- Verificar o valor da variável contido naclasse modal.2.2-4. QuartisQ1 →k=1Q2 →k=2Q3 →k=3Qk → É o valor da variável que corresponde à classe desse quartilconsiderado.1º- Calcular a posição do quartil para estabelecer em que classe selocaliza o quartil considerado k.nQk  4Qk → É o valor da variável que corresponde à classe desse quartilconsiderado.k → Número do quartil consideradon → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  9. 9. Observação: 1º- Localizar esse valor na coluna da frequênciaacumulada para conhecer qual é a classe que corresponde a essaposição (classe do quartil k); 2º- Verificar na coluna da variável emestudo qual o valor da variável localizada na classe do quartilconsiderado.2.2-5. Variância  x  2  x  2 i n is2  n 1s 2 → Variânciaxi → Valor genérico da observação ou frequênciax → Média aritmétican → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório2.2-6. Desvio-padrãos  s2s → Desvio-padrãos 2 → Variância2.3- Dados agrupados com intervalos de classes2.3.1- Amplitude de classe Rh  Li  li h ou kh → Amplitude da classe h → Amplitude da classeLi → Limite superior da classe R → Amplitude Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  10. 10. li → Limite inferior da classe k → Número de classes2.3.2- Amplitude total da distribuiçãoAT  Lmáx  lmínAT → Amplitude total da distribuiçãoLmáx → Limite superior da distribuiçãolmín → Limite inferior da distribuição2.3.3- Amplitude amostralAA  xmáx  xmínAA → Amplitude amostralxmáx → Limite máximo da amostraxmín → Limite mínimo da amostra2.3.4- Ponto médio de classe li  LiPM  2PM → Ponto Médioli → Limite inferior da classeLi → Limite superior da classe2.3.5- Média aritmética ponderadax x .f i i f ix → Média aritmética ponderadaxi → Valor do ponto médio do intervalo de classe Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  11. 11. f i → Frequência absoluta ou simples → Somatório2.3.6- Ponto médio de classe linf  Lsupxi  2xi → Valor genérico da observação ou frequêncialinf → Limite inferior da classeLsup → Limite superior da classe2.3.7- Desvio em relação à médiadi  xi  x d i → Desvioxi → Valor genérico da observação ou frequênciax → Média aritmética2.3.8- Desvio médio simplesDM   x  x  i nDM → Desvio médioxi → Valor genérico da observação ou frequênciax → Média aritmétican → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório2.3.9- Desvio médio absoluto Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  12. 12. DM A  x i x Observação: O desvio médio, em geral, é naproximadamente igual a 0,8 vezes o desvio-padrão.DM A → Desvio médioxi → Valor genérico da observação ou frequênciax → Média aritmétican → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório2.3.10- MedianaCritérios para determinação da mediana:1º- f i n 2 ou 2 → Somatóriof i → Frequência absoluta ou simplesn → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra2º- A menor frequência acumulada que superar o valor da frequênciaacumulada da classe mediana3º-   fi  n    Fant .h   Fant .hMd  2    M d  lMd    2M d  linf  fi ou f MdM d → Medianalinf → Limite inferior do intervalo de classe medianaf i → Frequência absoluta ou simples da classe medianaFant → Frequência acumulada da classe anterior à classe medianah → Amplitude do intervalo de classe mediana Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  13. 13.  → SomatórioM d → Medianal Md → Limite inferior da classe que contém a medianan → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra ounúmero de elementos do conjunto de dadosf Md → Frequência absoluta ou simples da classe que contém amedianaFant → Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana ousoma das frequências simples anteriores à classe que contém amedidahMd → Amplitude do intervalo da classe que contém a mediana2.3.11- Moda  d M o  linf   1 .h d d   1 2Mo → Modalinf → Limite inferior da classe modald1 → Frequência absoluta ou simples menos frequência absoluta ousimples anterior à classe modal (diferença entre a frequência daclasse modal e a da classe imediatamente anterior)d 2 → Frequência absoluta ou simples menos frequência absoluta ousimples posterior à classe modal (diferença entre a frequência daclasse modal e a da classe imediatamente posterior - seguinte)h → Amplitude de intervalo da classe modalObservação: 1º- Localizar a classe modal (classe que contém o maiorvalor de frequência); 2º- A moda é um valor contido no intervalo de Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  14. 14. classe modal; 3º - Cálculo da moda pela Regra de Czuber com basenos valores da classe modal.hMo  LMo  lMohMo → Amplitude de intervalo da classe modalLMo → Limite Superior da classe modall Mo → Limite inferior da classe modald1  f Mo  f antd1 → Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência daclasse anterior à classe modalf Mo → Frequência da classe modalf ant → Frequência da classe anterior à classe modald 2  f Mo  f postd 2 → Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência daclasse posterior à classe modalf Mo → Frequência da classe modalf post → Frequência da classe posterior à classe modalObservação: Moda bruta é o valor do ponto médio da classe modal.2.3.12- Quartis  k .n    Fant Q k  lQk  4 .hQk  f Qk   Qk → Quartilk → Quartil consideradolQk → Limite inferior do intervalo de classe do quartil considerado Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  15. 15. n → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra ounúmero de elementos do conjunto de dadosf Qk → Frequência absoluta ou simples da classe do quartil consideradoFant → Frequência acumulada da classe anterior à classe do quartilconsideradohQk → Amplitude do intervalo de classe do quartil consideradohQk  LQk  lQkhQk → Amplitude do intervalo de classe do quartil consideradoLQk → Limite Superior da classe do quartil consideradolQk → Limite inferior da classe do quartil considerado2.3.13- Relação empírica entre média, mediana e modax  M o  3x  M d x → Média aritméticaMo → ModaM d → Mediana2.3.14- Amplitude totalR  xmáx  xmínR → Amplitude totalxmáx → Limite máximo e xmín → Limite mínimo2.3.15- Variância  x . f  2 x .f 2 i i  i n is  2 n 1s 2 → Variância Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  16. 16. xi → Valor genérico da observação ou frequênciaf i → Frequência absoluta ou simplesn → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra → Somatório2.3.16- Desvio-padrãos  s2s → Desvio-padrãos 2 → Variância2.3.17- Erro padrão ssx  ns x → Erro padrãos → Desvio-padrãon → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra2.3.18- Relação empírica entre o desvio-padrão e a amplitudeR R <s<6 3R → Amplitudes → Desvio-padrão2.3.19- Coeficiente de variação sCV  .100 Observação: CV é dado em percentual x Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  17. 17. CV → Coeficiente de variaçãos → Desvio-padrãox → Média aritméticaAnálise do coeficiente de variaçãoCV≥ 30% → Dispersão alta (elevada, intensa)15%<CV<30% → Dispersão média (central, mediana)CV≤ 15% → Dispersão baixa (mínima, pequena)2.3.20- Momentos de uma distribuição de frequências2.3.19.1- Dados em ordem ou rol ou sérieMt  x t i Observação: momento de ordem t de um conjunto nde dadosM t → Momento de ordem txi → Valor genérico da observação ou frequêncian → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra  x  a tM t a  i Observação: momento de ordem t em nrelação a uma constante aM ta → Momento de ordem t em relação a constante axi → Valor genérico da observação ou frequênciaa → Constanten → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra  x  x tMt  i Observação: momento de ordem t centrado nem relação à média Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  18. 18. M t → Momento de ordem txi → Valor genérico da observação ou frequênciax → Média aritmétican → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra2.3.19.2- Dados agrupados em classes de frequênciasMt  x .ft i i Observação: momento de ordem t de um nconjunto de dadosM t → Momento de ordem txi → Valor genérico da observação ou frequênciaf i → Frequência absoluta ou simplesn → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra  x  a  . fi tM t a  i Observação: momento de ordem t em nrelação a uma constante aM ta → Momento de ordem t em relação a constante axi → Valor genérico da observação ou frequênciaa → Constantef i → Frequência absoluta ou simplesn → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra  x  x  . fi tMt  i Observação: momento de ordem t ncentrado em relação à médiaM t → Momento de ordem txi → Valor genérico da observação ou frequênciax → Média aritmética Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  19. 19. f i → Frequência absoluta ou simplesn → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra2.3.19.3- Momentos em ordensM1  x e m1  0M 1 → Momento de ordem 1x → Média aritmética n 1 2m2  .s nm2 → Momento de ordem 2s 2 → Variâncian → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra2.3.19.4- Momentos centrados de 3ª e 4ª ordem em rol ousériem3  x 3 i  3x. x 2 i  2x 3 n nm3 → Momento de ordem 3x → Média aritmétican → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostram4  x 4 i  4 x. x 3 i  6x 2 . x 2 i  3x 4 n n nm4 → Momento de ordem 4x → Média aritmétican → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  20. 20. 2.3.19.5- Momentos centrados de 3ª e 4ª ordem em classesm3  x 3 i . fi  3x. x 2 i . fi  2x 3 n nm3 → Momento de ordem 3f i → Frequência absoluta ou simplesx → Média aritmétican → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostram4  x 4 i . fi  4 x. x 3 i . fi  6x 2 . x 2 i . fi  3x 4 n n nm4 → Momento de ordem 4f i → Frequência absoluta ou simplesx → Média aritmétican → Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra h 2 .s 2 2m4   .h 4 2 240 Observação: Correção de Sheppard(subtração) para dados agrupados em classesm4 → Momento de ordem 4h → Amplitude da classes 2 → Variância2.3.21- Escore padronizado xi  xzi  Observação: xi  x afastamento do valor da sobservação em relação a media com a divisão pelo Desvio-padrãocomo unidade de medidaz i → Escore padronizado Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  21. 21. xi → Valor genérico da observação ou frequênciax → Média aritméticas → Desvio-padrãoz>1 → Anormalz<1 → Normal2.3.22- Assimetria 3 x  md AS  Observação: assimetria situa-se entre -3 e 3 sAS → Assimetriax → Média aritméticaM d → Medianas → Desvio-padrãoAnálise da assimetriaAS > 1 → Assimetria ModeradaAS > 0 → Assimetria positivaAS < 0 → Assimetria negativa2.3.23- Medidas de assimetria (coeficiente de assimetria) m3a3  Observação: momento de 3ª ordem dividido pelo cubo do s3desvio-padrão (indica o sentido da assimetria)a3 → Coeficiente de assimetria de ordem 3m3 → Momento de ordem 3s → Desvio-padrão2.3.24- Índice de assimetria de Pearson x  moA sx Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  22. 22. A → Coeficiente de assimetria de ordem 3x → Média aritméticaMo → Modas → Desvio-padrãoAnálise da assimetria|A| < 0,15 → praticamente a distribuição é simétrica0,15 < |A| < 1 → Assimetria moderada|A| > 1 → Assimetria forte2.3.25- Medidas de achatamento ou curtose m4a4  2 s2a4 → Coeficiente de curtosem4 → Momento de ordem 4s 2 → VariânciaObservação: Coeficiente de curtose é o quociente do momento de 4ªordem pelo quadrado da variânciaAnálise da assimetriaAdimensional < 3 para as distribuições platicúrticasAdimensional = 3 para as distribuições mesocúrticasAdimensional > 3 para as distribuições leptocúrticasObservação: Distribuição normal é mesocúrtica; Distribuiçõesachatadas: platicúrtica e leptocúrtica.Coeficiente de excesso: a4  3 para fixar o zero como referênciamesocúrtica.Observação especial: Os tamanhos da população e da amostrapermitem estabelecer duas relações importantes: Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG
  23. 23. nFração de amostragem = Nn → Tamanho da amostraN → Tamanho da população NFator de expansão ou Intervalo de Seleção = nN → Tamanho da populaçãon → Tamanho da amostra Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG

×