IESB Logística Empresarial - Métodos Quantitativos - Volume II

INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU EM LOGÍSTICA
EMPRESARIAL
Apostila 02: Testes de hipótese
e
Teoria das Filas
Disciplina: Estatística e modelos de otimização
aplicados à logística
Prof. Rafael José Rorato
Brasília, abril de 08

INSTITUTO DE EDUCAÇÃO DE BRASÍLIA
Pós-graduação Lato Sensu em Logística Empresarial
Módulo: Estatística e modelos de otimização aplicados à logística
2
c2008
Campus Jovanina Rimoli
SGAN Quadra 609 – Módulo D – Avenida L2 Norte
Brasília – DF CEP:70850-090
Este exemplar é de propriedade do Instituto de Educação de Brasília, que poderá incluí-lo em
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trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser fixado,
para ensino, comentários e citações, desde que sem finalidade comercial e que seja feita a
referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor.

3
4
4
4
4
Erro Tipo I
Erro Tipo II
Nível de Significância
5
Unicaudal à Esquerda
Unicaudal à Direita
6
7
8
Estimativa da diferença entre as
médias de duas populações com
amostras Independentes
Inferência sobre a diferença entre as
médias de duas populações com
amostras relacionadas
11
13
13
Clientes
Servidores
13
13
13
13
13
14
FIFO
LIFO
15
16
16
16
17
17
18
Fórmulas específicas para filas M/M/1............
Filas M/M/1/k: População finita e restrição de
capacidade do sistema........................................
Determinação do tamanho da amostra..........
Capacidade do Sistema...................................
Processo de chegada......................................
Disciplina de fila...............................................
Teste bicaudal ou bilateral...............................
Procedimento geral de teste..........................
Testes de Hipótese envolvendo comparações
entre médias................................
Mecanismo de serviço....................................
Características dos Sistemas de Filas...............
População........................................................
Disciplinas de filas.............................................
Notação padrão para sistemas de filas (Kendall
Notation)..............................................
Medidas de desempenho de sistemas de filas..
Sistemas estáveis..............................................
Postulados.......................................................
Fórmulas genéricas.........................................
1) Teste de Hipótese..........................................
Hipótese Nula (H0).........................................
Hipótese Alternativa (Ha)................................
2) Base introdutória em Teoria das Filas...........
Tipos de Erros.................................................
Teste unicaudal ou unilateral...........................
ÍNDICE

4
1) Teste de Hipótese
É inegável nos dias de hoje a importância da Estatística na vida do
cidadão. Para o exercício pleno da cidadania, o indivíduo deve além
de saber ler gráficos e tabelas, saber interpretar e poder avaliar
criticamente, as informações estatísticas constantemente divulgadas
pela mídia no campo da política, da economia, da medicina, da
educação e nos censos. A natureza da Estatística possibilita pessoas
mal intencionadas e não éticas o uso inadequado de seus métodos.
“Todo cidadão precisa saber quando um argumento estatístico está
ou não a ser utilizado com propriedade” (Ponte et al. 2003, p. 91).
(Fonte: PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas
na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003, 151p.)
Teste de Hipótese: Quando o analista logístico apresentar a necessidade de
avaliar os dados de uma amostra ou população comparando-os com algum
padrão pré-estabelecido ou pré-definido, utilizar-se-á de um método da Inferência
Estatística conhecido como teste de hipótese. Com o teste de hipótese podemos
comparar se uma amostra comporta-se semelhante a uma “média” desejada;
também poderemos calcular para amostras de tamanhos diferentes ou iguais se
ambas são iguais ou não. Ex.: Verificando o histórico de movimentação de
contêineres de 20 ou 40 TEUs (exportação e importação) pelo Porto de Santos,
podemos questionar se a distribuição amostral do ano de 2006 é igual a
distribuição amostral de 2007. Podemos questionar estatisticamente se o tempo
médio de atrasos no Aeroporto Internacional de Brasília no último trimestre é
inferior a 1 hora.
Vamos então, para isso ver alguns conceitos pertinentes aos testes de hipótese:
Hipótese Nula (H0): hipótese teoricamente considerada verdadeira no
procedimento de teste de hipótese. É um valor suposto para um parâmetro. Se os
resultados da amostra não forem muito diferentes de H0 ela não poderá ser
rejeitada.
Hipótese Alternativa (Ha): é a hipótese que se conclui ser verdadeira, caso a
hipótese nula for rejeitada. É uma hipótese que contraria a hipótese nula. Ela
somente será aceita se os resultados forem muito diferentes de H0.
Nos testes de hipóteses na tomada de decisão a favor ou contra uma hipótese,
existem dois tipos de erros que podem ser cometidos. Pode-se rejeitar a
hipótese nula quando de fato ela é verdadeira (erro tipo I) ou pode-se falhar em
rejeitar H0 quando de fato ela é falsa (erro tipo II). Existe um balanço entre esses
dois tipos de erros, no sentido de que ao tentar-se minizar a possibilidade de um
tipo, aumenta-se a probabilidade do outro. Freqüentemente denotamos as
probabilidades destes dois erros como α e β respectivamente.

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Verdade Aceitar H0 Rejeitar H0
Tempo Médio Atraso em BSB < 1h Atrasos inferiores a 1h Erro Tipo II
Tempo Médio Atraso em BSB > 1h Erro Tipo I Atrasos superiores a 1h
Conclusão H0 Verdadeiro Ha Verdadeira
Aceitar H0 Conclusão Correta Erro Tipo II (β)
Rejeitar H0 Erro Tipo I (α) Conclusão Correta
O poder de um teste é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando esta é
de fato falsa. Isto é igual a 1- β. Em geral, quanto maior o tamanho da amostra,
maior o poder do teste. É desejável decidir sobre um tamanho de amostra
conveniente antes de conduzir um estudo de forma que os resultados do teste de
hipótese terão poder suficiente para responder a questão científica de interesse.
Podemos verificar os erros de estimativas do teste de hipóteses conforme o
exemplo citado anteriormente.
A criação de um teste de hipótese consiste na elaboração do conjunto H0 e Ha
segundo a estimativa do parâmetro de comparação e como é o critério dessa
comparação. Para tal, temos os testes unicaudais e bicaudais.
A probabilidade α de cometer um erro do tipo I é um valor especificado pela
pessoa que conduz o teste de hipótese, e defini-se como Nível de Significância
para o teste. Os valores mais comuns utilizados para o nível de significância são
0,05 (5% dos valores da amostra ou população serão considerados com hipótese
nula verdadeira quando o correto será a hipótese alternativa) e 0,01 (1% dos
valores da amostra ou população serão considerados com hipótese nula
verdadeira quando o correto será a hipótese alternativa)
Teste unicaudal ou unilateral: teste de hipótese no qual a rejeição da hipótese
nula ocorre para valores da estatística do teste em uma cauda da distribuição
amostral, contendo σ (desvio padrão) conhecido. Elas podem ser:
Unicaudal à Esquerda:
Ex.:
H0: µ = 50
Ha: µ > 50
µ = 50
Neste exemplo questiona-se como hipótese alternativa que a média de uma
determinada variável apresenta um valor superior ao valor de 50. Assim o teste do
score z normal é maior que o zα, tal que:
H0: µ = µ0
Ha: µ > µ0
Rejeitar H0 se z > zα

6
Unicaudal à Direita:
Ex.:
H0: µ = 50
Ha: µ < 50
µ = 50
Neste exemplo questiona-se como hipótese alternativa que a média de uma
determinada variável apresenta um valor inferior ao valor de 50. Assim o teste do
score -zα é maior que o z normal, tal que:
H0: µ = µ0
Ha: µ < µ0
Rejeitar H0 se z < -zα
Teste bicaudal ou bilateral: teste de hipótese no qual a rejeição da hipótese nula
ocorre para valores da estatística do teste em ambas as caudas da distribuição.
Ex.:
H0: µ = 50
Ha: µ ≠ 50
µ = 50
Nesse caso afirmamos que a hipótese alternativa é estatisticamente diferente da
média da hipótese nula. Dizemos que o valor da nova média é totalmente
diferente de 50. Assim o critério de rejeição da hipótese nula dar-se-á quando o
módulo do score normal z for maior que o score calculado zα/2.
H0: µ = µ0
Ha: µ ≠ µ0
Rejeitar H0 se |z| > zα/2
Para ilustrar a rejeição ou aceitação de um teste bicaudal temos a figura a seguir:

7
Procedimento geral de teste
1. Estabeleça a hipótese nula, H0 e a hipótese alternativa Ha;
2. Decida qual o teste a ser usado, checando se este é válido para o seu
problema;
3. Especificar o nível de significância α do teste;
4. Calcule a estatística de teste:
• z: teste de média com σ conhecido;
N
x
z
σ
µ0−
=
Sendo:
=x média da população (comparado)
µ0 = média do teste de hipótese (com o que se compara)
σ = desvio padrão da população
N = número de registros ou tamanho da população
• t: teste de média com σ desconhecido.
n
s
x
tz n
0
1
µ−
== −
Sendo:
=x média da amostra (comparado)
µ0 = média do teste de hipótese (com o que se compara)
s = desvio padrão da amostra
n = número de registros ou tamanho da amostra
*********
Nem sempre conseguimos saber qual é o desvio-padrão de uma população. Se
dispusermos somente de uma amostra de n elementos de uma população, com
base na qual iremos realizar o teste, devemos então usar essa mesma amostra
para estimar o desvio-padrão σ da população. Ao substituir σ por s na fórmula da
equação do escore z, a variável resultante terá uma distribuição t de Student com
n-1 graus de liberdade.
Assim, os testes unicaudais e bicaudal apresentarão rejeição de hipótese nula
com:
Unicaudal à esquerda Unicaudal à direita Bicaudal
H0: µ = µ0
Ha: µ > µ0
Rejeitar H0 se tn-1 > tn-1, α
H0: µ = µ0
Ha: µ < µ0
Rejeitar H0 se tn-1 < -tn-1, α
H0: µ = µ0
Ha: µ ≠ µ0
Rejeitar H0 se |tn-1| > tn-1,α/2
*********

8
5. Encontre a probabilidade (p-valor) de observar um valor tão extremo ou
maior do que t se a hipótese nula é de fato verdadeira. Você precisará se
referir aos valores críticos nas tabelas estatísticas as quais fornecem p-
valores correspondendo aos valores das estatística de teste.
6. Avalie a força da evidência contra H0.(Quanto menor p-valor, tanto mais
evidência contra a hipótese nula.) Se necessário, decida se esta é
evidência suficiente para rejeitar (ou não rejeitar) a hipótese nula.
7. Estabeleça as conclusões e interpretação dos resultados.
O p-valor é a probabilidade de observar dados tão extremos quanto os obtidos se
a hipótese nula é verdadeira. Note as seguintes interpretações de p-valores:
Esteja ciente da diferença entre significância estatística e significância prática. Um
efeito pode ser estatisticamente significante mas não ter qualquer importância
prática e vice-versa. Por exemplo, um estudo muito grande pode estimar a
diferença entre a média de peso SKU como sendo 0.0001 gramas e concluir que
a diferença é estatisticamente significativa (p<0.05). Contudo, na prática, esta
diferença é negligível e provavelmente de pouca importância prática.
Testes de Hipótese envolvendo comparações entre médias: quando se deseja
investigar o comportamento entre duas populações ou amostras perante o quanto
se diferenciam entre si (não se confundirem com os conceitos de covariância e
correlação em Estatística Descritiva) temos os seguintes métodos:
1. Estimativa da diferença entre as médias de duas populações com amostras
Independentes
2. Inferência sobre a diferença entre as médias de duas populações com
Estimativa da diferença entre as médias de duas populações com amostras
Independentes
Possibilita trabalhar com populações e amostras aleatórias de tamanhos
diferentes, cujas fontes de geração dessas variáveis quantitativas sejam
independentes entre si. (Ex.: comparar Terminal A com Terminal B, Dados da
Avon com Dados da Natura, etc)

9
O procedimento associado com o teste da diferença entre duas medias é
semelhante ao utilizado no teste de um valor hipotético da media populacional,
exceto que se utiliza o erro padrão da diferença entre medias como base para se
determinar o valor da estatística de teste associada com os resultados das
amostras.
A hipótese nula (H0) usualmente testada é a de que as duas amostras tenham
sido obtidas de populações com médias iguais e a hipótese alternativa (Ha)
sugere que as amostras foram obtidas de populações com médias diferentes, ou
seja:
H0: µ1 – µ2 ≤ 0
Ha: µ1 – µ2 > 0
Rejeitar H0 se:
z > 1,65
α = 0,05
H0: µ1 – µ2 ≥ 0
Ha: µ1 – µ2 < 0
Rejeitar H0 se:
z < -1,65
α = 0,05
H0: µ1 – µ2 = 0
Ha: µ1 – µ2 ≠ 0
Rejeitar H0 se:
z < -1,96 ou z > 1,96
α = 0,05/2
Para o score z,
( ) ( )
2
2
2
1
2
1
2121
nn
xx
z
σσ
µµ
+
−−−
=
Sendo:
=21 xex média da amostra 1 e 2
µ1 e µ2 = média da população 1 e 2
=2
2
2
1 σσ e variância da população 1 e 2
n1 e n2 = número de registros ou tamanho da amostra
Para o caso de pequenas amostras utilizar-se do score t de Student:
( ) ( )






+
−−−
=
21
2
2121
11
nn
s
xx
t
µµ Sendo:
=21 xex média da amostra 1 e 2
µ1 e µ2 = média da população 1 e 2
s = variância da amostra
n1 e n2 = número de registros ou tamanho da amostra
H0: µ1 – µ2 ≤ 0
Ha: µ1 – µ2 > 0
Rejeitar H0 se:
z > 1,71
α = 0,05
H0: µ1 – µ2 ≥ 0
Ha: µ1 – µ2 < 0
Rejeitar H0 se:
z < -1,71
α = 0,05
H0: µ1 – µ2 = 0
Ha: µ1 – µ2 ≠ 0
Rejeitar H0 se:
z < -2,07 ou z > 2,07
α = 0,05/2

10
Sem filtro particulado Com filtro particulado
1 351 151 200 2693.61
2 374 350 24 51938.41
3 336 117 219 1082.41
4 588 297 291 1528.81
5 463 284 179 5314.41
6 423 191 232 396.01
7 388 36 352 10020.01
8 460 170 290 1451.61
9 436 77 359 11470.41
10 445 55 390 19071.61
11 426 277 149 10588.41
12 560 248 312 3612.01
13 331 301 30 49239.61
14 404 204 200 2693.61
15 564 84 480 52029.61
16 322 269 53 39561.21
17 447 150 297 2034.01
18 510 177 333 6577.21
19 484 242 242 98.01
20 465 59 406 23746.81
Média (dbarra): 251.9 295147.8
(di - dbarra)2
Particulado Sólido (ppm) Diferença nas
emissõesVeículo
Inferência sobre a diferença entre as médias de duas populações com
Conhecida também como amostras emparelhadas, isto é, compara-se amostras
aleatórias de populações distintas, de mesmo tamanho n. Indicado para comparar
técnicas ou processos. (ex.: em uma frota de ônibus de uma empresa de
transporte público composta de 20 veículos estudou-se o nível de emissão de
CO2 e de Particulados Sólidos em duas situações: a) frota somente com filtro
catalítico e b) frota com filtro particulado instalado após o filtro catalítico)
H0: µd = 0 Ha: µd ≠ 0
Calculando-se,
n
d
d
i∑= Média dos valores da diferença entre as populações
( )
1
2
−
−
=
∑
n
dd
s
i
d Desvio-padrão das amostras relacionadas
n
s
d
t
d
dµ−
= Teste t Student para amostras relacionadas
Para ilustrarmos um exemplo temos:

11
63.124
19
8.295147
==ds 4519.0
20
63.124
09.251
=
−
=t
Como o teste é bicaudal e considerando o Nível de Significância α = 0,05 e n – 1
= 19 graus de liberdade tem-se na tabela de Distribuição t (encontrado nos livros
de estatística) que t0,025 = 2,093.
A regra de rejeição para o teste bicaudal ficaria:
Rejeitar H0 se t < -2,093 ou se t > 2,093 0.4519 < -2,093 (falso!)
0.4519 > 2,093 (falso!)
H0: µd = 0 e Ha: µd ≠ 0
Resposta: Hipótese Nula não é descartada. Segundo este teste da média dos
valores da diferença para a população a redução da emissão dos particulados
não é significativo.
H0: µd = 0
Ha: µd > 0
Rejeitar H0 se tn-1 > tn-1, α
H0: µd = 0
Ha: µd < 0
Rejeitar H0 se tn-1 < -tn-1, α
H0: µd = 0
Ha: µd ≠ 0
Rejeitar H0 se |tn-1| > tn-1,α/2
*********
Determinação do tamanho da amostra: no caso de grandes amostras (n>30)
caso o desvio-padrão populacional (σ) for conhecido podemos fazer uma
declaração sobre o erro da estimativa de amostragem, sempre que a média da
amostra for usada para fornecer a estimativa pontual da média da população:
Há uma probabilidade de 1 – α de que o valor da média da amostra
fornecerá um erro de amostra de xz σα ×2 [lê-se: probabilidade normal z de
nível de significância α/2 (bicaudal) multiplicado pelo desvio-padrão da
média x ] ou menos.
Sendo que:
n
x
σ
σ =
Há uma probabilidade de 1 – α de que o valor da média da amostra
fornecerá um erro de amostra ( )nz σα ×2 ou menos.
A quantidade ( )nz σα ×2 é a margem de erro. Dessas declarações sabemos que
os valores de σα ,2z e o tamanho da amostra n se combinam para determinar a
margem de erro. Uma vez selecionado pelo elaborador do dimensionamento o

12
coeficiente de confiança ou probabilidade de 1 – α, 2αz (tirado de uma tabela
normal) pode ser determinado. Dando-se os valores de σα ,2z podemos
determinar o tamanho da amostra n necessária para fornecer qualquer margem
de erro desejada. O desenvolvimento da fórmula usada para calcular o tamanho
solicitado da amostra n desenvolve-se com o seguinte raciocínio:
Seja E = a margem de erro desejada, temos:
E
z
n
n
zE
σσ α
α
×
=∴×= 2/
2/
Temos então que a fórmula para obter o tamanho de uma Amostra para uma
Estimativa por Intervalo de uma Média da População é:
( )
2
22
2/
E
z
n
σα ×
=
Nessa fórmula, o valor de E é a margem de erro que o usuário está apto a aceitar
no nível de confiança dão e o valor de 2αz decorre diretamente do nível de
confiança a se usado no desenvolvimento da estimativa por intervalo. Embora a
preferência do usuário deva ser considerada, o valor de confiança de 95% é o
mais freqüente escolhido, sendo assim o valor de z0,025 = 1,96.
Também nessa equação vimos que ocorre a necessidade do uso do desvio-
padrão da população (σ) ou mais precisamente, a variância (σ2
). Em muitos dos
casos nos deparamos em não sabermos qual é o desvio-padrão da população.
No entanto, podemos utilizar um “valor planejado” para σ. Na prática podemos
escolher entre os seguintes procedimentos:
a) Usar o desvio-padrão da amostra (s) a partir de uma amostra prévia de
mesmas unidades ou de unidades similares.
b) Usar de um estudo piloto para selecionar uma amostra preliminar. O
desvio-padrão da amostra a partir da amostra preliminar pode ser usado
como o valor planejado para σ.
c) Use o julgamento ou o melhor palpite para o valor de σ. Por exemplo,
podemos começar estimando o maior valor e o menor valor que uma
estimativa por intervalo para os dados nos fornece. Finalmente, o intervalo
dividido por quatro é sugerido como uma aproximação grosseira do desvio-
padrão e portanto, um valor aceitável de σ.
Fonte: ANDERSON, D. R., SWEENEY, D.J. & WILLIAMS, T.A. (2002). Estatística Aplicada à Administração e
Economia, 2ª. Edição, Ed. Pioneira, São Paulo
Nota: Para maiores informações sobre dimensionamento de amostra consultar bibliografia recomendada para
o curso. Também, sugere-se, como curiosidade ler sobre o conceito e técnica de Planejamento de
Experimentos (DOE: Design of Experiments) que contempla a determinação de amostragem para realização
de pesquisas de campo para obtenção de dados qualitativos e quantitativos.
*********

13
2) Base introdutória em Teoria das Filas
Um sistema de filas (queueing system) consiste de um ou mais servidores que
fornecem um tipo de serviço para clientes. Clientes que chegam ao sistema e
encontram todos servidores ocupados podem geralmente entrar em uma ou mais
filas (ou linhas) , daí o nome de sistema de filas.
Historicamente, uma grande porção de todos os estudos de simulações discretas
orientadas a eventos desenvolvidos até hoje envolveu a modelagem de sistemas
de filas do mundo real, ou então pelo menos um componente do sistema simulado
era um sistema de filas.
Características dos Sistemas de Filas
Os elementos chave de um sistema de filas são os clientes e os servidores. O
termo clientes pode se referir a pessoas, partes, máquinas, aviões, processos de
computador, entre outros. Servidores são caixas de banco, operadores de
máquinas, controladores de tráfego, operadores de computador, etc.
Alguns conceitos importantes para Teria das Filas são:
População: conjunto potencial de clientes; pode ser finito ou infinito.
Capacidade do Sistema: o limite do número de clientes que o sistema pode
acomodar em um dado instante de tempo.
Processo de chegada: as chegadas podem ocorrer em tempos programados ou
em tempos aleatórios, sendo que no segundo caso normalmente assume-se
alguma distribuição de probabilidade. A distribuição Poisson é a mais comum.
Disciplina de fila: o comportamento da fila em reação ao seu estado atual ou a
maneira como a fila é organizada pelo servidor.
Mecanismo de serviço (atendimento): o tempo de atendimento (service time)
pode ser constante ou ter uma duração randômica . O atendimento pode se dar
através de um só canal (mono-canal) ou através de múltiplos canais.
Observações importantes:
Uma variável importante do processo de chegada é a taxa de chegada (λλλλ) dos
clientes no sistema de filas. Esta taxa especifica que, por exemplo, 10 clientes por
segundo vão chegar ao sistema (e possivelmente serão atendidos ou então
podem entrar em uma ou mais filas).

14
Layout típico de um sistema de filas:
As disciplinas de filas se referem as regras que o servidor vai empregar para
decidir qual será o próximo cliente da fila a ser atendido. As disciplinas mais
comuns são:
FIFO - First-In, First-Out: Também é conhecida como FCFS (First-come-
First-served). Nesta disciplina de fila, consiste que a ordem do
processamento do cliente pelo servidor dá-se pela ordem de chegada na
fila. Os processos FIFO podem apresentar um ou vários canais de serviço,
apresentando as variações com filas paralelas (uma fila para cada canal de
atendimento) ou o processo de fila única (única fila para vários canais de
processamento).
LIFO - Last-In, First-Out: Essa disciplina de fila apresenta um
comportamento de pilha. O cliente atendido será sempre o último cliente do
período em que o servidor tornou-se liberado ao processamento do
atendimento.
População de clientes
fila
Servidor
1
Servidor
2
Servidor
n

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Notação padrão para sistemas de filas (Kendall Notation)
A/B/c/K/m/Z
Sendo:
A: distribuição do tempo entre-chegadas (inter-arrival time)
B: distribuição do tempo de atendimento (service time)
c: número de servidores (paralelos)
K: capacidade das filas
m: número de clientes na fonte (tamanho da população)
Z: disciplina da fila
Por exemplo, um sistema de filas M/M/1/∞/∞ temos:
M / M / 1 / ∞∞∞∞ / ∞∞∞∞
Este sistema de fila é usualmente abreviado como M/M/1. A ausência das duas
últimas letras (K , m) indicam o uso dos valores padrão para infinito.
Observações:
O M é usado para denotar distribuição exponencial por causa da propriedade
Markoviana de não ser influenciado por estados anteriores (memoryless)
O Z é considerado FIFO por default, não sendo obrigatória a presença neste
caso.
Tempo entre-chegadas distribuído exponencialmente
População de tamanho infinito
Fila de capacidade ilimitada
1 servidor
Tempo de atendimento distribuído exponencialmente

16
Medidas de desempenho de sistemas de filas
As seguintes variáveis são empregadas na definição e no cálculo do desempenho
de um sistema de filas:
C : número de servidores do sistema
λλλλ : taxa média de chegada de clientes
µµµµ : taxa média de atendimento (serviço) por servidor
a : número de servidores necessários para o serviço
ρρρρ : taxa de utilização do servidor; é uma medida de congestionamento do servidor
se ρρρρ < 1 então não há congestionamento
se ρρρρ = 1 então sistema está em equilíbrio
se ρρρρ > 1 então há congestionamento
Wq : descreve o tempo gasto por um cliente na fila
Ws : descreve o tempo gasto por um cliente durante atendimento (serviço)
W: descreve o tempo total de um cliente no servidor (fila + atendimento)
Lq : descreve o número de clientes na fila
Ls : descreve o número de clientes em atendimento (serviço)
L: descreve o número total de clientes
Sistemas estáveis: Sistema estável é aquele em que a taxa média de chagada
de clientes (λλλλ) e a taxa média de atendimento do servidor (µµµµ) se mantêm
constantes ao longo do tempo. Se λλλλ e µµµµ não são estáveis, a análise do
comportamento do sistema pela teoria das filas só é possível se retalharmos o
período de tempo, o que torna a análise muito mais complexa.
Postulados: os postulados básicos do processo de teoria de filas são:
Em qualquer sistema estável, o fluxo que entra é igual ao fluxo que sai.
Em um sistema estável, o fluxo de entrada se mantém nas diversas seções
do sistema.
Em um sistema estável, a junção de fluxos equivale às suas somas.
Um sistema estável, o fluxo se desdobra aritmeticamente.

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Fórmulas genéricas:
Número de servidores:
sW
a
λ
=
Taxa de utilização do servidor:
c
a
=ρ ou
µ
λ
ρ
×
=
c
Tempo total do cliente: sq WWW +=
Número total de clientes: sq LLL += ou WL ×= λ
Número de clientes na fila: qq WL ×= λ
Número de clientes em atendimento ss WL ×= λ
Fórmulas específicas para filas M/M/1:
Taxa de utilização do servidor sW×= λρ
Tempo total do cliente:
( )ρ−
=
1
sW
W
Tempo de um cliente na fila: WWq ×= ρ
Número total de clientes: WL ×= λ ou
ρ
ρ
−
=
1
L
Número de clientes na fila: qq WL ×= λ ou
ρ
ρ
−
=
1
2
qL
P[L = n] = (1-ρ) x ρ x n probabilidade do sistema ter n clientes
P[L ≥ n] = ρ x n probabilidade do sistema ter n ou + clientes
*********
Exemplo:
Suponhamos um pedágio onde há somente uma caixa fazendo o atendimento; os
carros chegam a uma taxa de 2 carros por minuto e o tempo médio de
atendimento de cada carro por parte da caixa é de 10 segundos.
Logo temos:

18
c = 1 número de servidores (só há uma caixa, logo c=1)
λ = 2 / 60 = 0,0333 2 carros a cada 60 segundos
Ws = 10 segundos (tempo de atendimento ou serviço)
µ = 1/10 = 0,1 é a taxa média de serviço; a cada segundo são
atendidos 0,1 carros
a = 0,0333 x 10 = 0,333 servidores são necessários para o atendimento
ρ = 0,0333 x 10 = 0,333 taxa de utilização = 33,3 % (há subutilização do
servidor)
Este é um caso M/M/1, portanto:
W = 10 / (1 - 0,333) = 10 / 0,66667 = 14,99 ≅ 15 segundos (é o tempo de
permanência de cada cliente no sistema ⇒ fila + atendimento )
Wq = 0,333 x 14,99 = 4,99 ≅ 5 seg. (é o tempo médio de permanência na fila)
L = 0,0333 x 14,99 = 0,499 ≅ 0,5 clientes (é o número médio de clientes no
sistema)
Lq = 0,0333 x 4,99 = 0,16 clientes ( é o número médio de clientes na fila)
Ls = 0,0333 x 10 = 0,333 clientes (é o número médio de clientes sendo
atendidos)
Qual a probabilidade da fila ter 0,5 clientes?
P[L = 1,5] = (1 – 0,333) x 0,333 x 1,5 = 0,128
E qual a chance de ter 0,5 ou mais clientes?
P[L ≥ 1,5] = 0,333 x1,5 = 0,192
*********
Filas M/M/1/k: População finita e restrição de capacidade do sistema
Número de clientes na fila: ( )PkLq −×
+
−= 1
λ
µλ
Número total de clientes: ( )
µ
λ
λ
µλ
+−×
+
−= PkL 1
Tempo de um cliente na fila:
( )( )
2
1
λ
µλ
λ
Pk
Wq
−+
−=

19
Tempo total do cliente:
( )( )
µλ
µλ
λ
11
2
+
−+
−=
Pk
W
Probabilidade do sistema ter n clientes
( ) ∑=
−






×−






=
k
j
j
nk
j
nk
P
0 !
!
λ
µ
λ
µ

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