TÍTULO DO TRABALHO: O PAPEL DA ATIVIDADE DE ENSINO NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA

V CONGRESO INTERNACIONAL SOBRE EL PROFESORADO PRINCIPIANTE Y LA
INDUCCIÓN ALADOCENCIA
Eixo temático: Práticas de ensino
TIPO DE APRESENTAÇÃO: RELATOS DE INVESTIGAÇÃO
TÍTULO DO TRABALHO: O PAPEL DA ATIVIDADE DE ENSINO NA FORMAÇÃO
INICIAL DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Sousa, Maria do Carmo de
mdcsousa@ufscar.br
Universidade Federal de São Carlos – SP – Brasil
Moura, Manoel Oriosvaldo de
modmoura@usp.br
Universidade de São Paulo – SP – Brasil
Resumo: Esta comunicação apresenta uma pesquisa teórica que tem como objetivo
analisar historiografias da Matemática e suas relações com o lógico-histórico
(Kopnin,1978), considerando-se que, esse par dialético pode se configurar enquanto
perspectiva didática para o ensino de Matemática, a partir do desenvolvimento de
práticas educativas que considerem os elementos teóricos e metodológicos da atividade
de ensino (Leontiev, 1983). As análises teóricas, fundamentadas na teoria histórico-
cultural são feitas a partir de três tipos de estudos: 1) o do movimento lógico-histórico de
conceitos matemáticos, presentes em diversas historiografias; 2) o das situações
desencadeadoras de ensino que são elaboradas por pesquisadores e professores, a
partir do movimento lógico-histórico de conceitos matemáticos presentes em
historiografias e 3) o dos conceitos de atividade de ensino e de atividade orientadora de
ensino. Os primeiros resultados, decorrentes dessas análises permitiram-nos construir
categorias que representam o papel que pode ser desempenhado pelas linguagens
presentes nos três estudos, dentre elas, o papel que as atividades de ensino podem
desempenhar na formação inicial de professores, uma vez que, tem-se como
pressuposto que, os professores que ensinam Matemática, ao vivenciarem, em contextos
de formação, práticas educativas que considerem os pressupostos da atividade de ensino
podem passar a conceber o ensino de Matemática como instrumento de leitura e de
compreensão da realidade.
Palavras-chave: Historiografia da Matemática, Teoria Histórico-Cultural, Nexos
conceituais, História da Matemática, Movimento lógico-histórico.
Apresentação

Iniciamos a escrita deste texto, a partir de reflexões sobre a formação inicial de
professores, considerando-se que, o objeto de estudo da pesquisa teórica que estamos
desenvolvendo está relacionado a uma proposta que considera a necessidade de se
inserir, em contextos de formação de professores, vivências de práticas educativas
fundamentadas, teórica e metodologicamente, nos pressupostos da atividade de ensino
(Leontiev, 1983).
Nesse sentido, há de se considerar que, já faz algum tempo que, tanto os pesquisadores,
quanto o governo brasileiro vêm mostrando preocupações relacionadas à formação inicial
de professores. Assim, concordamos com Gatti (2011, p. 89) quando afirma que: “o ponto
de referência que tomamos para olhar as políticas de formação inicial de professores é o
papel da escola nas sociedades contemporâneas e, em decorrência, o papel dos
professores neste contexto. Estamos assumindo que o papel da escola e dos professores
é o de ensinar, ao mesmo tempo formando e propiciando o desenvolvimento de crianças
e jovens, uma vez que postulamos que, sem conhecimentos básicos para a interpretação
do mundo, não há verdadeira condição de formação de valores e de exercício de
cidadania, com autonomia e responsabilidade social. Nesse sentido, a formação inicial de
professores tem importância ímpar, uma vez que cria as bases sobre as quais esse
profissional vem a ter condições de exercer a atividade educativa na escola com as
crianças e os jovens que aí adentram, como também, as bases de sua profissionalidade
e da constituição de sua profissionalização”.
Não é a toa que, desde 2002, foram instituídas as Diretrizes Curriculares Nacionais
(DCN) para a formação de professores da Educação Básica em nível superior, curso de
licenciatura, de graduação plena.
No Art. 7º, inciso I, a Resolução CNE/CP nº1 determina que “a formação deverá ser
realizada em processo autônomo, em curso de licenciatura plena, numa estrutura com
identidade própria”; e o inciso IV, diz que “as instituições de formação trabalharão em
interação sistemática com as escolas de educação básica, desenvolvendo projetos de
formação partilhados” (BRASIL, 2002, p. 03).
A Resolução CNE/CP nº2 define que: Art. 1º. a carga horária dos cursos de Formação de
Professores da Educação Básica, em nível superior, em curso de licenciatura, de
graduação plena, será efetivada mediante a integralização de, no mínimo, 2800 (duas mil
e oitocentas) horas, nas quais a articulação teoria-prática garanta, nos termos dos seus
projetos pedagógicos, as seguintes dimensões dos componentes comuns: “I – 400
(quatrocentas) horas de prática como componente curricular, vivenciadas ao longo do
curso; II – 400 (quatrocentas) horas de Estágio Curricular a partir do início da segunda
metade do curso; III – 1800 (mil e oitocentas) horas de aulas para os conteúdos
curriculares de natureza científica-cultural; IV – 200 (duzentas) horas para outras formas
de atividades acadêmico-científico-culturais” (BRASIL, 2002, p. 01). .
No que diz respeito às práticas, a Resolução CNE/CP nº1, de 18 de fevereiro de 2002,
Art. 12 e 13, afirma que: “Art. 12. Os cursos de formação de professores em nível
superior terão a sua duração definida pelo Conselho Pleno, em parecer e resolução
específica sobre sua carga horária. § 1º A prática, na matriz curricular, não poderá ficar
reduzida a um espaço isolado, que a restrinja ao estágio, desarticulado do restante do
curso. § 2º A prática deverá estar presente desde o início do curso e permear toda a
formação do professor. § 3º No interior das áreas ou das disciplinas que constituem os
componentes curriculares de formação, e não apenas nas disciplinas pedagógicas, todas
terão a sua dimensão prática. Art. 13. Em tempo e espaço curricular específico, a
coordenação da dimensão prática transcenderá o estágio e terá como finalidade

promover a articulação das diferentes práticas, numa perspectiva interdisciplinar. § 1º A
prática será desenvolvida com ênfase nos procedimentos de observação e reflexão,
visando à atuação em situações contextualizadas, com o registro dessas observações
realizadas e a resolução de situações-problema. § 2º A presença da prática profissional
na formação do professor, que não prescinde da observação e ação direta, poderá ser
enriquecida com tecnologias da informação, incluídos o computador e o vídeo, narrativas
orais e escritas de professores, produções de alunos, situações simuladoras e estudo de
casos. § 3º O estágio curricular supervisionado, definido por lei, a ser realizado em escola
de educação básica, e respeitado o regime de colaboração entre os sistemas de ensino,
deve ser desenvolvido a partir do início da segunda metade do curso e ser avaliado
conjuntamente pela escola formadora e a escola campo de estágio” (Brasil, 2002, p. 04).
Constatamos que, nas DCN, a dimensão da prática foi proposta como fundamental na
construção da identidade profissional do professor, uma vez que, por meio do contato
que o licenciando tem com a prática profissional, ou ainda, com as diferentes práticas
educativas, a partir de instrumentos diversificados de participação, registro e análise dos
acontecimentos observados e vivenciados no campo da prática, as questões referentes à
profissão podem ser reelaboradas, continuamente, compreendendo, assim, os contextos
que configuram as identidades docentes.
Se, analisarmos as práticas de professores que atuarão na Educação Básica, do ponto
de vista de Zabala (1998), há de se considerar que, estas, sempre estarão diretamente,
associadas ao como ensinar. Isso porque, enquanto ensinam os professores e porque
não dizer, os futuros professores, se desenvolvem profissionalmente e, constatam,
diariamente, quando estão inseridos nas escolas que, “na sala de aula acontecem muitas
coisas ao mesmo tempo, rapidamente e de forma imprevista” dificultando assim, as
várias tentativas que fazem no sentido “de encontrar referências ou modelos para
racionalizar” (Zabala, 1998, p. 14).
Para o autor, amparado nos estudos de Elliot (1993) há pelo menos duas formas distintas
de desenvolver e refletir sobre práticas educativas, considerando-se que, neste contexto,
há o professor que: A) [...] empreende uma pesquisa sobre um problema prático,
mudando sobre esta base algum aspecto de sua prática docente. Neste caso o
desenvolvimento da compreensão precede a decisão de mudar as estratégias docentes.
B) [...] modifica algum aspecto de sua prática docente como resposta a algum problema
prático, depois de comprovar sua eficácia para resolvê-lo. Através da avaliação, a
compreensão inicial do professor sobre o problema se transforma. Portanto, a decisão de
adotar uma estratégia de mudança precede o desenvolvimento da compreensão. A ação
inicia a reflexão (Elliot apud Zabala, 1998, p. 14-15).
Desse ponto de vista, para que se localize algum tipo de mudança nas práticas
educativas quer seja, dos professores experientes ou dos futuros professores, faz-se
necessário que estas sejam compreendidas como reflexivas e dinâmicas, uma vez que,
não se restringem, unicamente, ao desenvolvimento das aulas. Aqui, a prática educativa
é um processo que envolve idas e vindas que estão extremamente relacionadas ao
“planejamento, a aplicação e a avaliação”, portanto, é um processo que explicita a
compreensão dos professores e dos futuros professores sobre os referenciais teóricos
que fundamentam suas aulas e seus discursos. No entanto, para conhecer tanto a prática
dos professores experientes, quanto a prática dos futuros professores, faz-se necessário
analisar “[...] uma das unidades mais elementares que constitui os processos de
ensino/aprendizagem e que ao mesmo tempo possui em seu conjunto todas as variáveis
que incidem nestes processos, [...] que se trata do que se denomina atividade ou tarefa”.
Outra “unidade preferencial para a análise da prática, que permitirá o estudo e a

avaliação sob uma perspectiva processual, que inclua as fases de planejamento,
aplicação e a avaliação” são “as sequências de atividades ou sequências didáticas”
(Zabala, 1998, p. 17 - 18) utilizadas tanto pelos professores experientes, quanto pelos
futuros professores.
É por este motivo que, a pesquisa teórica que estamos desenvolvendo tem como
pressuposto que, ao analisar, estudar e desenvolver situações desencadeadoras de
aprendizagem, que se fundamentem nos pressupostos da atividade de ensino (AE) com
os futuros professores, durante a sua formação inicial, nos cursos de licenciatura,
podemos compreender melhor o que vem a ser prática educativa no contexto da
Educação Básica, bem como, a unidade dialética que pode ser estabelecida entre teoria
e prática, uma vez que, a AE pode compor harmoniosamente conteúdos, objetivos e
métodos, por sua vez, dimensionados pelas interações que desencadeiam entre os três
elementos fundamentais do ensino: o objeto do conhecimento, o professor e o estudante.
Em última instância, a rede que conecta todos esses elementos e tece a coerência entre
eles é alimentada pela visão de homem, de mundo, de sociedade e de conhecimento que
os professores constroem, continuamente, enquanto desenvolvem-se, profissionalmente.
Ao tentarmos compreender a prática educativa empreendida tanto pelos professores
experientes, quanto pelos futuros professores, há de se levar em conta que, a atividade
do professor não está isenta da relação ação-reflexão-ação, portanto, compreender as
reflexões que os futuros professores fazem sobre suas práticas educativas, enquanto
estudam e elaboram situações desencadeadoras de ensino (Moura, 2010) significa
compreender as ações que os mobilizam para organizar o ensino que já ministram
quando estão inseridos nas escolas, durante os Estágios, por exemplo.
Dessa forma, este texto apresentará a pesquisa teórica que estamos desenvolvendo e
que tem como objetivo analisar historiografias da Matemática e suas relações com o
lógico-histórico (Kopnin,1978), considerando-se que, esse par dialético pode se
configurar enquanto perspectiva didática para o ensino de Matemática, a partir do
desenvolvimento de práticas educativas que considerem os elementos teóricos e
metodológicos da atividade de ensino (Leontiev, 1983).
Nos próximos itens, apresentaremos: 1) os fundamentos teóricos e metodológicos da
pesquisa teórica; 2) algumas historiografias feitas por Karlson (1961); Eves (1997) e
Caraça (1998) sobre o conceito de função e 3) um exemplo de situação desencadeadora
de ensino que foi elaborada, a partir da historiografia de Karlson (1961).
Fundamentos teóricos e metodológicos da investigação
Conforme apontamos em parágrafos anteriores, as universidades brasileiras, juntamente
com o governo federal e os pesquisadores, têm se esforçado para realizarem mudanças
significativas nos cursos de licenciaturas, de forma a enfatizar as práticas educativas que
serão realizadas no âmbito da Educação Básica, pelos futuros professores. Há uma
busca incessante em criar projetos políticos pedagógicos que aproximem as teorias
estudadas nas universidades das práticas educativas que devem ser desenvolvida nas
escolas da Educação Básica.
Nesse sentido, quando analisamos os cursos de licenciaturas em Matemática, no Brasil,
podemos constatar, a partir dos estudos de Moreira e Ferreira (2013) que, tais
modificações não são simples de realizar, considerando-se que: “por algum tempo, a
preparação para o trabalho de professor de matemática na escola foi concebida em
termos de uma soma de conhecimento da matéria (i.e., matemática) com conhecimento
acerca do ensino, visto como transmissão de conhecimentos a outros. Nessa

perspectiva, a licenciatura (curso que forma e licencia para o exercício da docência
escolar) oferecia, fundamentalmente, ao futuro professor, conhecimentos relativos à
disciplina (matemática) e conhecimentos relativos às técnicas gerais de ensino (didática).
[...]. Estávamos no período em que a formação do professor de matemática era composta
essencialmente de três anos de matemática mais um ano de didática. Em outras
palavras, valia basicamente a fórmula Licenciatura = Bacharelado + Didática. [...].
Remetendo-nos ao âmbito um pouco mais restrito da prática do professor, aquele que se
refere à instituição em que essa prática se desenvolve, é preciso considerar que o futuro
professor de matemática, de modo geral, vai trabalhar na escola, não num banco, numa
penitenciária ou numa universidade. [...]. Enfim, o trabalho nessa instituição específica,
demanda conhecimentos específicos sobre ela, o que ocupa mais algum lugar no
processo de formação na licenciatura. [...]. Assim, em princípio, é consensual a
necessidade de um lugar importante na licenciatura em matemática onde se analisem e
se vivenciem práticas de formação que envolvam os saberes específicos associados a
docência escolar em matemática” (Moreira e Ferreira, 2013, p. 983-986).
Concordamos com os autores supracitados sobre a necessidade de se ter espaços, nos
cursos de licenciatura, onde se possa estudar, analisar e vivenciar práticas educativas
que envolvam saberes específicos relacionados ao como ensinar e com Zabala (1998)
sobre a importância e a necessidade de, ao estudarmos os diferentes tipos de práticas
educativas com os futuros professores, considerarmos a atividade como unidade básica
que relaciona ensino e aprendizagem, bem como, as sequências de atividades ou
sequências didáticas eu podem ser organizadas por eles.
Para aprofundarmos as questões que, por ora, apresentamos, estamos desenvolvendo
uma pesquisa teórica intitulada: “Atividade de ensino na formação de professores:
unidade dialética entre teoria e prática”. Essa pesquisa é financiada pelo CNPQ e se
fundamenta nos pressupostos da teoria histórico-cultural. Tem como objetivo analisar
historiografias da Matemática e suas relações com o lógico-histórico (Kopnin,1978),
considerando-se que, esse par dialético pode se configurar enquanto perspectiva didática
para o ensino de Matemática, a partir do desenvolvimento de práticas educativas que
considerem os elementos teóricos e metodológicos da AE (Leontiev, 1983). Está sendo
conduzida pelas seguintes questões: Que relações pode haver entre a história dos
conceitos matemáticos e a historiografia da Matemática? Como o movimento lógico-
histórico pode se configurar em perspectiva didática para o ensino de Matemática? Como
elaborar AE na perspectiva lógico-histórica que possam orientar o ensino de Matemática
na Educação Básica?
Defendemos que, a AE na formação inicial de professores pode ser entendida enquanto
unidade dialética entre teoria e prática. Isso por que: “a busca da organização do ensino,
recorrendo à articulação entre a teoria e a prática, é que constitui a atividade do
professor, mais especificamente a atividade de ensino. Essa atividade se constituirá
como práxis pedagógica se permitir a transformação da realidade escolar por meio da
transformação dos sujeitos, professores e estudantes” (Moura et al, 2010, p. 89).
Ao mesmo tempo, o par dialético lógico-histórico na sala de aula e, particularmente, em
situações desencadeadoras de aprendizagem que se fundamentam nos pressupostos da
AE, tem como principal função auxiliar o pensamento tanto daquele que ensina quanto
daquele que aprende a movimentar-se no sentido de encontrar as verdades que são
relativas porque são definidas e redefinidas, continuamente, a partir de definibilidades
próprias do conceito. A história, com suas várias vertentes historiográficas, assume o
papel de elo entre a causalidade dos fatos e a possibilidade de criação de novas
definibilidades do conceito, que permitam compreender a realidade estudada. Há

predominância do pensamento teórico dos conceitos.
Dessa forma, concordamos com Radford (2011) que: “a história da Matemática pode nos
dar uma nova perspectiva sobre o ensino. Obviamente, não estamos dizendo que nossos
alunos têm que seguir o mesmo caminho que aqueles dos matemáticos antigos. Em vez
disso, é uma questão de compreender melhor a natureza do conhecimento matemático e
de encontrar, dentro de sua estrutura histórica, novas possibilidades de ensino” (Radford,
2011, p. 44).
Defendemos ainda, juntamente com o mesmo autor que: “vale a pena enfatizar o papel
que a pesquisa histórica pode exercer em programas de formação e formação continuada
de professores. De fato, na maior parte do tempo, as concepções dos professores acerca
do conteúdo matemático que eles ensinam decorrem da formulação matemática
contemporânea [...]. No entanto, a formulação contemporânea é o resultado de um longo
processo de mudanças e transformações conceituais e não necessariamente é o melhor
ponto de partida para os alunos. Entretanto, na falta de outras alternativas, a formulação
contemporânea torna-se uma camisa de força na escolha de conteúdo a ser ensinado,
em sua organização, e em sua articulação com outros conhecimentos” (Radford, 2011, p.
16).
Ao acenarmos que, os futuros professores vivenciem situações desencadeadoras de
aprendizagem fundamentadas nos pressupostos da AE que contem o movimento lógico-
histórico dos conceitos, para que possam inseri-las em suas práticas educativas, ao
adentrarem as escolas, estamos compartilhando dos estudos de Dias e Saito (2009), ao
indicarem que: “tomando como objeto o conhecimento científico, o movimento lógico-
histórico de seu processo de criação e desenvolvimento percorre gerações. Desse modo,
quando o historiador busca captar o movimento histórico real, ele seleciona e organiza no
pensamento o modo como concebe o histórico, que constituirá o lógico desse movimento.
Para um historiador, isso significa a realização da obra que ele constrói em seu
pensamento, cujo movimento está relacionado com as necessidades e preocupações de
seu momento histórico. Nesse sentido, nenhuma história é única e neutra, mas reflete
uma ideologia e uma racionalidade do contexto no qual ela é produzida. Embora esse
processo pareça óbvio, os livros de história da matemática, entretanto, não são utilizados
por muitos educadores de maneira crítica. E, cabe aqui lembrar que são esses livros que
hoje temos como referência para apropriação da história da matemática. [...]. Dessa
forma, ao articular história da matemática e ensino, não procuramos fazer a história guiar
o pensamento de tal modo a impor o processo histórico, mas permitir que a formação das
ideias componha a lógica do movimento do pensamento” (Dias e Saito, 2009, p. 10).
Estamos defendendo que, as situações desencadeadoras de aprendizagem considerem:
a) o movimento histórico do conceito, ou seja, o lógico-histórico do conceito que está
sendo estudado; b) os momentos dialéticos de sua formação e c) a vivência na
participação dos sujeitos vinculada a um processo reflexivo-ativo-explicativo,
dimensionado pela dinâmica relacional indivíduo-grupo-classe.
Procedimentos metodológicos
A pesquisa é teórica e se caracteriza como documental (Fiorentini e Lorenzato, 2007). A
coleta das informações é feita a partir fichamentos de livros e textos teóricos que tratam
das seguintes temáticas: História da Matemática; Historiografia da Matemática; Atividade
de Ensino; Atividade Orientadora de Ensino; práticas educativas; situações
desencadeadoras de aprendizagem fundamentadas nos pressupostos da AE e formação
de professores.

As análises teóricas, fundamentadas na teoria histórico-cultural, seguem uma linha
interpretativa cuja característica é a particularização, ao invés da generalização de
resultados e são feitas a partir de três tipos de estudos: 1) o do movimento lógico-
histórico de conceitos matemáticos, presentes em diversas historiografias; 2) o das
situações desencadeadoras de ensino que são elaboradas por pesquisadores e
professores, a partir do movimento lógico-histórico de conceitos matemáticos presentes
em historiografias e 3) o dos conceitos de atividade de ensino (AE) e de atividade
orientadora de ensino (AOE).
No próximo item apresentaremos parte dos dois primeiros estudos teóricos que temos
feito. Para tanto, ao tratarmos das historiografias e das situações desencadeadoras de
aprendizagem, escolhemos o conceito de função, uma vez que este é um dos conceitos
fundamentais da Matemática que deve ser ensinado na Educação Básica e, por este
motivo deve fazer parte das práticas educativas empreendidas tanto pelo professor
experiente, quanto pelos futuros professores.
Historiografias sobre o conceito de função
Segundo Karlson (1961, p. 375 - 376): “se existisse uma taquigrafia especial para os
matemáticos, onde as palavras mais frequentes estivessem representadas por símbolos
particulares, deveríamos começar por uma palavra e somente uma: a palavra função”,
considerando-se que, desde que os conceitos: infinito, vida, movimento, ação e reação
passaram a dominar o mundo, a palavra-chave da matemática passou a ser: função.
“Ao surgir pela primeira vez nas ciências matemáticas como conceito perfeitamente
definido, a função possuía êste caráter dinâmico, vivo, em formação; ela rompeu o
império rígido da clássica geometria grega e, lançando-se através dos vestíbulos dos
templos, tomara de assalto a terra virgem das verdades jamais pisadas, qual um incêndio
brutal e impetuoso. Era desta maneira que mestres como Newton, Leibniz, Euler
manejavam a função – não é debalde que ela deriva do círculo de idéias da época de
mais intenso movimento intelectual, da Renascença; não é em vão que Newton a chama
pelo belo nome de genila (grifo do autor): a pequena criadora” (Karlson, 1961, p. 387).
Eves (1997, p. 660-661) afirma ainda que: a “história do termo função proporciona (...)
exemplo interessante da tendência dos matemáticos de generalizar e ampliar os
conceitos”, conforme mostra o quadro 01.

Quadro 01: História do termo função
Leibniz
(1694)
Introduziu a palavra função, na sua forma latina equivalente. Expressava
qualquer quantidade associada a uma curva, como por exemplo, as
coordenadas de um ponto da curva, a inclinação de uma curva e o raio da
curvatura de uma curva.
Johann
Bernoulli
(1718)
Havia chegado a considerar uma função como uma expressão qualquer
formada de uma variável e algumas constantes.
Euler (em
seguida)
Considerou uma função como uma equação ou fórmula qualquer
envolvendo variáveis e constantes. Conceito que nossos alunos dos
cursos elementares de matemática têm.
Fourier
(1768-
1830)
Vai considerar, em suas pesquisas sobre a propagação do calor, as
chamadas séries trigonométricas. Estas séries envolvem uma forma de
relação mais geral entre as variáveis que as que já haviam sido estudadas
anteriormente.
Lejeune
Dirichlet
(1805-
1859)
Chegou a seguinte formulação: uma variável é um símbolo que
representa um qualquer dos elementos de um conjunto de números; se
duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se
atribui um valor a x, corresponde automaticamente, por alguma lei ou
regra, um valor a y, então se diz que y é uma função (unívoca) de x. A
variável x, à qual se atribuem valores à vontade, é chamada variável
independente e a variável y, cujos valores dependem dos valores de x, é
chamada variável dependente. Os valores possíveis que x pode assumir
constituem o campo de definição da função e os valores assumidos por y
constituem o campo de valores da função.
Teoria dos
Conjuntos
(século XX)
Uma função é, por definição, um conjunto qualquer de pares ordenados
de elementos, pares esses sujeitos à condição seguinte: se (a1, b1) Є f,
(a2, b2) Є f e a1 = a2, então b1 = b2. o conjunto A dos primeiros elementos
dos pares ordenados chama-se domínio da função e o conjunto B de
todos os segundos elementos dos pares ordenados se diz imagem da
função. Assim, uma função é simplesmente um tipo particular de
subconjunto do produto cartesiano A x B. uma função f se diz injetora se,
de (a1, b1) Є f, (a2, b2) Є f e b1 = b2, decorre a1 = a2. Se f é uma função e
(a,b) Є f, escreve-se b= f(a).
Fonte: Elaborado pela autora.
Ao analisarmos o quadro 01 podemos constatar que, para Eves (1997) os nexos
conceituais (internos e externos) da função, foram sistematizados pelos matemáticos, por
aproximadamente, três séculos (final do XVII ao XX) e estão diretamente relacionados
aos conceitos de variação, campo de variação, dependência, interdependência, relação,
conjunto, representação, dentre outros. O autor enfatiza ainda que: “o conceito de função
permeia grande parte da matemática e, desde as primeiras décadas do século presente
[XX], muitos matemáticos vêm advogando seu uso como princípio central e unificador na
organização dos cursos elementares de matemática. (...). Enfim, é inquestionável que
quanto antes se familiarize um estudante com o conceito de função, tanto melhor para
sua formação matemática” (Eves, 1997, p. 661).
Já Caraça (1998, p. 121), ao tratar da história da função enfatiza dois conceitos
filosóficos: fluência e interdependência. Seus estudos indicam que: “a variável é,
portanto, uma entidade que, dizendo respeito a um nível de isolado – o conjunto –
superior ao do número, é ela própria, de uma natureza superior [...]; no entanto, o caráter
contraditório do conceito – a variável é e não é cada um dos elementos do conjunto – deu

origem a que a sua introdução na Ciência seja relativamente recente. Pelo seu caráter
essencial – síntese do ser e não ser – ela sai fora daquele quadro de ideias que quer ver
na realidade uma permanência e irrompe ligada à corrente do pensamento que, expressa
ou tacitamente, vê na fluência a primeira das suas características. Uma variável é o que
for determinado pelo conjunto numérico que ela representa – a sua substância, o seu
domínio [...]” (Caraça, 1998, p. 120).
O mesmo autor afirma ainda que: “o conceito de função aparece-nos, no campo
matemático, como o instrumento próprio para os estudos das leis” (Caraça, 1998, p. 121),
conforme mostra o quadro 02.
Quadro 02: Síntese do conceito de função
Fonte: Elaborado pela autora.
Os estudos de Karlson (1961), Eves (1997) e Caraça (1998) mostram que, o pensamento
teórico da função é muito mais amplo do que as suas representações nas formas:
analítica, f(x) e gráfica e, dos tipos de função tratados no Ensino Médio das nossas
escolas. A partir das historiografias apresentadas destacamos alguns nexos conceituais
(internos e externos) da função que deveriam frequentar as práticas educativas de
Matemática do Ensino Médio: fluência, interdependência, variável, campo de variação,
conjunto, representação, dentre outros. Dessa forma, estamos propondo que as AE sobre
função tenham como ponto de partida o estudo de movimentos mais gerais da vida, de
forma a privilegiar dois nexos internos: fluência e interdependência.
No próximo item, apresentaremos um exemplo de situação desencadeadora de
aprendizagem, fundamentada nos pressupostos da AE que elaboramos, a partir dos
estudos que estamos fazendo sobre as historiografias da Matemática.
Situação desencadeadora de aprendizagem que considera o movimento lógico-histórico
da função
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (1998): “[...] os
elementos essenciais de um núcleo comum devem compor uma série de temas ou
tópicos em Matemática escolhidos a partir de critérios que visam ao desenvolvimento das
atitudes e habilidades descritas anteriormente. O critério central é o da contextualização e
da interdisciplinaridade, ou seja, é o potencial de um tema permitir conexões entre

diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas de pensamento matemático,
ou, ainda, a relevância cultural do tema, tanto no que diz respeito às suas aplicações
dentro ou fora da Matemática, como à sua importância histórica no desenvolvimento da
própria ciência. Um primeiro exemplo disso pode ser observado com relação às funções.
O ensino isolado desse tema não permite a exploração do caráter integrador que ele
possui” (Brasil,1998, p. 43-44).
Se, o conceito de função deve ter um caráter integrador no ensino de Matemática, como
organizar seu ensino, a partir do movimento lógico-histórico? Como pensar em práticas
educativas que considerem tal movimento?
A partir dos pressupostos que apresentamos, temos sugerido que, os professores
experientes e os futuros professores de Matemática elaborem e desenvolvam situações
desencadeadoras de aprendizagem sobre o conceito de função, que tenham como ponto
de partida, nas aulas do Ensino Médio, os nexos conceituais, com ênfase nos nexos
internos, rompendo com a atual “formulação matemática contemporânea do conteúdo”
(Radford, 2011, p. 16), neste caso, função, que se pauta na teoria dos conjuntos e,
consequentemente, nos elementos perceptíveis do conceito, que tem como ponto de
partida o último estágio de rigor definido no século XX, conforme já apontamos no quadro
01.
Segue abaixo uma situação desencadeadora de aprendizagem que elaboramos, a partir
do primeiro estudo teórico que fizemos sobre a historiografia de Karlson (1961).
Título: O que é função?
Objetivo: Desenvolver o conceito de função
Desenvolvimento: Dinâmica relacional indivíduo-grupo-classe
I- Imagine a seguinte situação: O viajante na floresta põe um pé diante do outro – e a
cada passada o caminho por ele vencido se acresce de uma nova porção. O trajeto
guarda com o número de passos uma relação fixa e determinada.
Responda:
- Quais são as grandezas que envolvem a interdependência desse movimento?
- Qual a lei obedecida por esta interdependência? Expresse-a:
a) partir de uma frase; b) a partir da matemática simbólica; c) Localize a variável
dependente e a variável independente desse movimento.
II- Suponhamos que o viajante distraído que caminha pela floresta seja um soldado em
férias, que tem no sangue a cadência constante das marchas.
- Se o comprimento do passo desse soldado vale 0,75m, como poderíamos expressar a
lei que rege o seu trajeto? Por quê?
- Nesta situação, qual será o campo de variação dessa lei? Por quê?
- Construa uma tabela com o trajeto possível do soldado.
- Se não quisermos medir o trajeto pelo número de passos e sim pela relação tempo e
caminho percorrido, haverá mudanças na lei que estabelecemos anteriormente? Por
quê?
- E quanto ao campo de variação? Explique.
III- O caminhante prossegue em sua marcha com velocidade constante, sem orientar o
modo de andar pelo seu estado de ânimo. Suponhamos que em um segundo o homem
percorre 1,5 metros, em dois, 2 . 1,5 metros e, assim por diante:
- Como expressar a lei desse movimento?
- Qual será o campo de variação?
- Como representar esse movimento a partir de uma tabela?
- Como dispor esses dados em um gráfico?

Ao analisarmos, teoricamente, o movimento lógico-histórico de conceitos matemáticos, a
partir das historiografias que temos disponível, podemos constatar que, não há como
negar que, os conceitos são constantemente reelaborados, nas diversas civilizações, em
momentos e contextos distintos, na medida em que novas necessidades surgem e nos
obrigam a lançar diferentes olhares para a realidade fluente e interdependente que nos
cerca.
Com a função podemos: 1) analisar e compreender movimentos regulares da vida; 2)
elaborar leis de formação que regem tais movimentos; 3) compreender um poderoso
instrumento de leitura e de compreensão das infinitas variações que insistem em dominar
a nossa realidade e 4) pensar cientificamente, de forma a elaborarmos pensamento
teórico sobre a realidade que nos cerca.
É por este motivo que, defendemos que, os professores experientes, bem como, os
futuros professores do curso de Matemática, sejam convidados, continuamente, a
analisar, elaborar e desenvolver situações de aprendizagem que contenham nexos
conceituais (internos e externos) dos conceitos que irão ministrar na Educação Básica.
Dessa forma, o movimento lógico-histórico poderá fazer parte de suas práticas
educativas e ser compreendido como unidade dialética entre ensino e aprendizagem e,
consequentemente, contribuir com a inserção de novos elementos que podem vir a
compor a Didática da Matemática.
Considerações finais:
Os primeiros resultados, decorrentes das análises teóricas que temos feito, a partir de
uma pesquisa teórica, permitiram-nos construir categorias que representam o papel que
pode ser desempenhado pelas linguagens, presentes nos três estudos, dentre elas, o
papel que as AE podem desempenhar na formação inicial de professores, uma vez que,
tem-se como pressuposto que, os professores que ensinam Matemática, ao vivenciarem,
em contextos de formação, práticas educativas que considerem os pressupostos da AE
podem passar a conceber o ensino de Matemática como instrumento de leitura e de
compreensão da realidade.
Nesse sentido, o papel da AE está relacionado, inicialmente, à autonomia que os futuros
professores podem conquistas, no sentido de organizar o ensino que irão ministrar, na
medida em que repensarem e romperem com práticas educativas que priorizam a
memorização de conceitos matemáticos na Educação Básica, uma vez que, podem
arriscar-se a convidar os estudantes, jovens e adultos a participarem da organização de
suas aulas.
Referências
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Médio.
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