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CCáállccuulloo DDiiffeerreenncciiaall 
e Integral 3 
Integrais duplas em Coordenadas Polares 
Professora Izabela M Oliveira 
•1
Coordenadas Polares 
2 
 O sistema de Coordenadas Polares foi desenvolvido por Newton. 
 Vejamos a sua definição geometricamente 
P (r,  ) 
P (r,  ) 
 
0 x 
Distância 
orientada 
de O a P. 
Ângulo 
orientado do 
raio inicial 
Raio inicial ao raio OP. 
Origem 
Assim transformamos um eixo cartesiano em polar para facilitar os cálculos de 
algumas funções curvas.
Relação entre o sistema 
Polar e o Cartesiano 
3 
x = r cosq 
y = r senq 
y 
q = 
2 2 2 x + y = r 
x 
tgA transformação aplicada para resolver integrais dupla é denominada de 
transformada polar. Assim a transformada polar é um sistema 
 
x f r 
  ( ) rq 
= 
= 
q 
, 
( , ) 
q 
y g r 
tal que leva uma região R do plano xy para uma região D do plano
Coordenadas Polares 
4 
Relação entre coordenadas polares e cartesianas 
• Alguns exemplos: 
Equação polar: Equação cartesiana 
equivalente: 
r.cos = 2 x = 2 
r2. cos . sen = 5 x.y = 5 
r2. cos2 – r2sen2 = 3 x2 – y2 = 3
5 Exemplo 1 : 
Represente no plano polar a região dada por 
£ r £ 
1 2 
2 
0 
p 
£q £
6 Exemplo 2: 
. 
Represente no plano polar a região dada por 
0 £ r £ 
3 
q p 
p 
£ £ 
2
Integral dupla em 
Coordenadas Polares 
7 
2 
 =  
( , ) ( cos , sen ) 
1 
2 
1 
q 
q 
q q q 
r 
r 
R 
f x y dA f r r rdrd 
Como aparece o “r” na integral? 
Veja em aula...
Algumas relações 
Importantes 
8 
2 2 2 Circunferência de centro na 
x + y = r origem e raio = r 
1 2 sen = − q (1 cos 2q ) 
q (1 cos 2q ) 
2 
1 
cos2 = + 
2 
Identidades Trigonométricas úteis:
9 Exemplo 3 : 
Calcular a integral abaixo, onde R é o disco de centro em (0, 0) e raio 1 
(x y )dA 
 + 2 2 
R 
Solução em aula...
10 Exemplo 4: 
Calcule a integral abaixo, onde R é a região limitada pelos círculos: 
1 e 2 2 x + y = 4 2 2 x + y = 
( + ) 
R 
x y dA 2 3 4 
Refaça o exercício, considerando R é a região do semiplano superior limitada 
pelos círculos 
1 e 2 2 x + y = 4 2 2 x + y = 
Veja as soluções em aula.
11 Exemplo 5: 
Uma carga elétrica é distribuída sobre uma região R delimitada pela 
circunferência abaixo, de modo que a densidade de carga num ponto 
(x,y) seja s , medida em Coulombs por metro quadrado (C/m2). 
Determine a carga total no disco, sendo: 
2 2 s (x, y) = 1+ x + y 
8 2 2 no disco dado por x + y = 
Ver solução em aula.
Coordenadas Polares 
12 
Gráficos Polares 
 Exemplo: Representar graficamente a curva 
 r = 1 – cos (. 
 O gráfico será: 
q r =1-cosq 
0 0 
p/3 ½ 
p/2 1 
2p/3 3/2 
p 2
13 Exemplo 6: 
Calcule a integral abaixo, onde R é a região no primeiro quadrante fora do 
círculo r =2 e dentro da cardióide r= 2(1+cosq). Faça o esboço do gráfico para 
visualizar a situação. 
 
R 
senq dA 
Solução em aula.
14 Exemplo 7: 
Encontre a área total da lemniscata r2 = 4cos2q 
OBS: A área da leminiscata deve ser calculada no primeiro quadrante e 
depois multiplicar por 4. O sombreado de preto é o que vamos calcular. 
Como está pedindo a área total, vamos multiplicar o resultado por 4.

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  • 1. CCáállccuulloo DDiiffeerreenncciiaall e Integral 3 Integrais duplas em Coordenadas Polares Professora Izabela M Oliveira •1
  • 2. Coordenadas Polares 2 O sistema de Coordenadas Polares foi desenvolvido por Newton. Vejamos a sua definição geometricamente P (r, ) P (r, ) 0 x Distância orientada de O a P. Ângulo orientado do raio inicial Raio inicial ao raio OP. Origem Assim transformamos um eixo cartesiano em polar para facilitar os cálculos de algumas funções curvas.
  • 3. Relação entre o sistema Polar e o Cartesiano 3 x = r cosq y = r senq y q = 2 2 2 x + y = r x tgA transformação aplicada para resolver integrais dupla é denominada de transformada polar. Assim a transformada polar é um sistema x f r ( ) rq = = q , ( , ) q y g r tal que leva uma região R do plano xy para uma região D do plano
  • 4. Coordenadas Polares 4 Relação entre coordenadas polares e cartesianas • Alguns exemplos: Equação polar: Equação cartesiana equivalente: r.cos = 2 x = 2 r2. cos . sen = 5 x.y = 5 r2. cos2 – r2sen2 = 3 x2 – y2 = 3
  • 5. 5 Exemplo 1 : Represente no plano polar a região dada por £ r £ 1 2 2 0 p £q £
  • 6. 6 Exemplo 2: . Represente no plano polar a região dada por 0 £ r £ 3 q p p £ £ 2
  • 7. Integral dupla em Coordenadas Polares 7 2 = ( , ) ( cos , sen ) 1 2 1 q q q q q r r R f x y dA f r r rdrd Como aparece o “r” na integral? Veja em aula...
  • 8. Algumas relações Importantes 8 2 2 2 Circunferência de centro na x + y = r origem e raio = r 1 2 sen = − q (1 cos 2q ) q (1 cos 2q ) 2 1 cos2 = + 2 Identidades Trigonométricas úteis:
  • 9. 9 Exemplo 3 : Calcular a integral abaixo, onde R é o disco de centro em (0, 0) e raio 1 (x y )dA + 2 2 R Solução em aula...
  • 10. 10 Exemplo 4: Calcule a integral abaixo, onde R é a região limitada pelos círculos: 1 e 2 2 x + y = 4 2 2 x + y = ( + ) R x y dA 2 3 4 Refaça o exercício, considerando R é a região do semiplano superior limitada pelos círculos 1 e 2 2 x + y = 4 2 2 x + y = Veja as soluções em aula.
  • 11. 11 Exemplo 5: Uma carga elétrica é distribuída sobre uma região R delimitada pela circunferência abaixo, de modo que a densidade de carga num ponto (x,y) seja s , medida em Coulombs por metro quadrado (C/m2). Determine a carga total no disco, sendo: 2 2 s (x, y) = 1+ x + y 8 2 2 no disco dado por x + y = Ver solução em aula.
  • 12. Coordenadas Polares 12 Gráficos Polares Exemplo: Representar graficamente a curva r = 1 – cos (. O gráfico será: q r =1-cosq 0 0 p/3 ½ p/2 1 2p/3 3/2 p 2
  • 13. 13 Exemplo 6: Calcule a integral abaixo, onde R é a região no primeiro quadrante fora do círculo r =2 e dentro da cardióide r= 2(1+cosq). Faça o esboço do gráfico para visualizar a situação. R senq dA Solução em aula.
  • 14. 14 Exemplo 7: Encontre a área total da lemniscata r2 = 4cos2q OBS: A área da leminiscata deve ser calculada no primeiro quadrante e depois multiplicar por 4. O sombreado de preto é o que vamos calcular. Como está pedindo a área total, vamos multiplicar o resultado por 4.