Trabalho de geometria analítica - SUPERIOR

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Trabalho de geometria analítica - SUPERIOR

  1. 1. Curso : Engenharia Sanitária e Ambiental Turma:IESAM1 Professor: José Felipe Neto Disciplina: Álgebra linear e GeometriaAnalítica Alessandro Lima de Oliveira -131.051.021-8 Edilberto Leonardo Costa Rodrigues -131.051.027-3 Myrna Cunha Azevedo -121.051.500-1 Pamella Rayely da Silva Lima - 131.051.900-1
  2. 2. Álgebra Linear e Geometria Analítica Circunferência
  3. 3. Introdução Esse trabalho tem como objetivo apresentar as definições de Circunferência, onde esta é uma figura muito familiar. Grande parte dos objetos, instrumentos e construções do nosso espaço de moradia ou trabalho, guarda alguma relação com esta forma geométrica. Apresentar também equações reduzidas e gerais da circunferência , assim como apresentação de duas circunferências, inequações do 2° grau e também suas determinações. O trabalho também objetiva a apresentação de aplicações de exemplos relacionados à área da geometria analítica no campo da circunferência.
  4. 4. Definição: Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo (C) . O ponto C é chamado de centro da circunferência, e a distância comum, o raio. Dados um ponto C, pertencente a um plano α, e uma distância r não nula, chama-se circunferência o conjunto dos pontos de α que estão á distancia r do ponto C.
  5. 5. Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P é o raio dessa circunferência.
  6. 6. Equação da Circunferência Chama-se equação da circunferência aquela que é satisfeita exclusivamente pelos pontos P(x ,y) pertencentes à curva. É imediato que um ponto genérico P € λ verifica a condição PC= r. Portanto temos: E daí vem a equação reduzida da circunferência: (x – a)² + (y – b)² = r² ⇒ Equação reduzida de λ Esta expressão é denominada equação reduzida da circunferência de centro C(a,b) e raio r, muito útil, pois expressa as coordenadas do centro e o valor do raio.
  7. 7. (x – a)² + (y – b)² = r²
  8. 8. APLICANDO : Considerando determinada situação em que a distância entre os pontos P (x,y) e A (5,3) é igual a 2, qual será a relação que se pode estabelecer entre x e y ?
  9. 9. (x – a)² + (y – b)² = r² (x – 5)² + (y – 3)² = 2² Aplicando o quadrado da diferença X²-2.x.5+5² + y²-2.y.3+3²=4 X²-10x+25+y²-6y+9=4 X²+y²-10x-6y+25+9-4=0 X²+y²-10x-6y+30=0 EQUAÇÃO DESSA CIRCUNFERÊNCIA
  10. 10. Equação normal Podemos dizer também que um ponto P(x, y) pode mover-se sobre a circunferência e assumir coordenadas cartesianas diferentes, mas estará sempre a mesma distância do centro da circunferência. Está distância r , chamada de raio, pode ser obtida a partir da equação da distância entre dois pontos do plano, ou com o teorema de Pitágoras.
  11. 11. Desenvolvendo a equação reduzida, teremos: (x² - 2ax + a²) +(y²- 2by +b²)= r² Isto é, x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0 Equação geral de λ ou equação normal da circunferência
  12. 12. Exemplo 1: Escrever a equação da circunferência de raio 3 e centro no ponto A(1,2) do plano cartesiano. Resolução: Usando a equação reduzida da circunferência (x -a)² + ( y - b)² = r ² , podemos facilmente escrever: (x- 1)² + ( y - 2)² = 3² Se pretendermos obter a equação geral, expandimos a equação reduzida e obtemos: x ²+ y ² -2 x- 4y -4 =0 Graficamente podemos representa-la a partir de conjunto de pares ordenados que a satisfazem.
  13. 13. Circunferência x² + y² -2 x -4 y -4 =0 de centro A(1,2) e raio 3.
  14. 14. Ponto e circunferência Podemos relacionar a posição de um ponto com um circunferência a medida que for possível comparar sua distância do centro desta com a medida do raio. Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência de centro C (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P são:
  15. 15. APLICANDO Dê a posição do ponto P relativa à circunferência λ : • P (3,2) e λ : x²+y²-6x+5=0 Resolução: Substituindo , x²+y²-6x+5=0 3²+2²-6.3+5=0 9+4-18+5=0 13-18+5=0 -5+5=0 0=0 Então : Pϵ λ , (PONTO PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA)
  16. 16. • P (5,-1) e λ : x²+y²-6x-2y+8=0 Resolução: Substituindo , x²+y²-6x-2y+8=0 5²+(-1)²-6.5-2.(-1)+8=0 25+1-30-(-2)+8=0 26-30+2+8=0 -4+2+8=0 6›0 Então : P é externo a λ
  17. 17. • P (4,3) e λ : x²+y²=36 Resolução: Substituindo , x²+y²=36 4²+3²=36 16+9-36=0 25-36=0 -11‹0 Então : P é interno a λ
  18. 18. Inequações do 2° grau Uma inequação do 2 grau ou quadrática é uma expressão do 2 grau que pode ser escrita das seguintes formas: ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c ≥ 0 ax² + bx + c ≤ 0 A principal consequência da teoria apresentada é o método para resolver inequações do 2 grau da forma: F(x, y) = 0, em que f(x, y) =0 é equação de uma circunferência com coeficiente de x² positivo.
  19. 19. Exemplo: Para resolver a inequação x²+y²≤16 Resolução: x²+y²-16 ≤0 R=4
  20. 20. Exemplo: Resolver a inequação x²+y²≥9 Resolução: x²+y²-9 ≥0 R=3
  21. 21. Posições relativas entre circunferência e reta • Reta externa à circunferência A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R, então podemos propor a seguinte situação: a distância do centro da circunferência à reta s é maior que o raio da circunferência. D > R
  22. 22. • Reta tangente à circunferência A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R, isto é, a reta s possui um ponto em comum com a circunferência, por isso podemos dizer que a distância entre centro O até a reta s possui a mesma medida. D = R
  23. 23. • Reta secante à circunferência A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a reta intersecta a circunferência em dois pontos. Nesse caso constatamos que a medida do raio da circunferência é maior que a medida da reta secante. D < R
  24. 24. INTERSEÇÃO A equação da circunferência é: (x - a)² + (x - b)² = r² Onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência e r é o raio da circunferência. Se a circunferência for centrada na origem, a equação (1) se transforma em: x² + y ² = r² Graficamente temos:
  25. 25. Sejam duas circunferências C1 e C2, a intersecção dessas duas circunferências é determinada pelos pontos P(x, y) que pertencem a ambas as curvas, satisfazendo o sistema formado por suas equações. Podemos encontrar três situações possíveis: • Dois pontos em comum P1 e P2. Isso implica que o sistema de equações admite duas soluções: P1(x1, y1) e P2(x2, y2). Graficamente:
  26. 26. • Um ponto em comum P(x, y). Isso implica que o sistema de equações admite apenas uma solução real: P(x, y). Graficamente:
  27. 27. • Nenhum ponto em comum, ou seja, .Isso implica que o sistema de equações é impossível. Graficamente:
  28. 28. Exemplo: Intersecção entre as circunferências C1 e C2 cujas equações são: Podemos montar o seguinte sistema com as equações: Resolução: Resolvendo o sistema acima, encontramos os valores:
  29. 29. Desta forma, as circunferências interceptam-se nos pontos: O conjunto solução é: Graficamente temos:
  30. 30. POSIÇÕES RELATIVAS Para determinar a posição relativa entre duas circunferências, comparamos a distância entre seus centros com a soma ou diferença entre seus raios: o Circunferências externas se a distância entre os centros for maior que a soma de seus raios dOC > r1 + r2 o Circunferências internas se a distancia entre os centros for menor que a diferença entre seus raios. dOC < r1- r2
  31. 31. o Circunferências secantes se a distância entre os centros for maior que a diferença de seus raios e menor que a soma de seus raios. dOC < r1 + r2 o Circunferências concêntricas se a distância entre seus centros for igual à zero, o centro é o mesmo para as duas circunferências. dOC = 0
  32. 32. o Circunferências tangentes interiormente se a distância entre os centros for igual à diferença entre os raios. dOC = r1 - r2 o Circunferências tangentes exteriormente se a distancia entre os centros for igual à soma de seus raios. dOC = r1 + r2
  33. 33. Exemplo : Dadas as circunferências λ e σ, de equações: λ: x2 + y2 = 9 σ: (x – 7)2 + y2 = 16 Verifique a posição relativa entre elas. Solução: Para resolução do problema devemos saber as coordenadas do centro e a medida do raio de cada uma das circunferências. Através da equação de cada uma podemos encontrar esses valores. Como a equação de toda circunferência é da forma: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, teremos:
  34. 34. Conhecidos os elementos de cada uma das circunferências, vamos calcular a distância entre os centros, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.
  35. 35. Determinações de CircunferênciasEm Geometria Analítica, ‘’obter ‘’ ou ‘’construir’’ ou ‘’determinar’’ uma circunferência significa obter sua equação: (x – a)² + (y – b) ² = r² Tendo a equação acima, estão determinados o centro C (a ,b) e o raio r e, assim , a circunferência está localizada perfeitamente no plano cartesiano. A maioria dos problemas de determinação de circunferências apresenta como incógnitas a, b e r, e, portanto necessita de três equações independentes para ser resolvida.
  36. 36. • Um ponto P(x0, y0) pertence a uma circunferência λ de centro C(a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre C e P é igual ao raio P2 ∈ λ = (a-x0)2 + (b—y0)2 = r2
  37. 37. • Uma reta (s) Ax+ Bx+ C = 0 é tangente a uma circunferência λ de centro C(a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre S e C é igual ao raio.
  38. 38. • Uma circunferência λ0 de centro C0( a0,b0) e raio r0 é tangente a outra circunferência λ de centro C (a,b) e raio r se, e somente se, a distancia entre C0 e C é igual à soma ou à diferença dos raios. λ0 tg λ = (a – a0)2 + (b – b0) 2 = (r = +/- r 0)2
  39. 39. Exemplo: Determinar uma circunferência λ C(a,b) dado, que é tangente à reta (s) Ax+By+C = 0 dada . Resolução: Notamos que r é a distancia de C à a reta dada, isto é:
  40. 40. Exemplo: Determine a equação da circunferência com C (-3,1) e raio 3. Resolução: (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2 (X+3)² + (y-1)² = 3² , desenvolvendo em produto notável (quadrado da diferença ), então será: X²+ 6x+9 + y² -2y + 2 = 9 X²+y² + 6x – 2y + 2 = 0.
  41. 41. APLICAÇÕES NO COTIDIANO Um engenheiro precisa construir uma ponte em forma de arco de circunferência, semelhante a que aparece na foto abaixo :
  42. 42. O vão livre sobre o rio a ser vencido pela ponte é de 24 m e a pilastra central , segundo o arquiteto , deverá ter 4 m de altura. O engenheiro usando seus conhecimentos de Geometria Plana e Analítica , já calculou que o raio do arco de circunferência projetado pelo arquiteto é de 20 m. Agora ele precisa calcular o tamanho das outras quatro pilastras menores (duas a esquerda e duas a direita da pilastra central).Segundo o projeto ,todas as pilastras estão a 4 m uma da outra.
  43. 43. Como base nas informações do problema , escolha um sistema de eixos coordenados conveniente e obtenha a altura dessas quatro pilastras menores. RESOLUÇÃO: Escolhendo um sistema de eixos cartesianos que coloque a pilastra central no eixo y e o vão da ponte no eixo x,temos que o centro da circunferência será C ( 0,-16)pois o raio tem 20m e a pilastra maior tem 4m.Para obter o tamanho das pilastras pedidas, precisamos apenas das ordenadas dos pontos A e B, cujas abscissas são respectivamente 4 e 8 .
  44. 44. A equação da circunferência é, então x²+(y+16)²=400. Para obtermos a ordenada Ya do ponto A, basta substituir a abscissa Xa=4 na equação da circunferência: x²+(y+16)²=400 4²+(y+16)²=400 16+(y+16)²=400 (y+16)²=400-16 (y+16)²=384 y+16= y+16≅19,60 y=19,60-16 Ya≅3,60 m
  45. 45. Da mesma forma, para obtermos a ordenada Yb do ponto B, basta substituir a abscissa Xb=8 na equação da circunferência: x²+(y+16)²=400 8²+(y+16)²=400 (y+16)²=400-64 y+16= y+16≅18,33 Yb≅2,33 m Por causa da simetria da ponte, as duas pilastras do lado esquerdo terão o mesmo tamanho de suas correspondentes no lado direito. Assim as pilastras são tais que duas têm, aproximadamente, 2,33 m e duas tem 3,60 m e a central , como já sabíamos tem 4m.
  46. 46. Conclusão Nesse trabalho foi possível concluir que a circunferência pode ser definida como o conjunto de todos os pontos de um plano equidistante de um ponto fixo, desse mesmo plano que é denominado de centro da circunferência. Em Geometria Analítica, a álgebra e a geometria se integram. Assim, problemas de geometria são resolvidos por processos algébricos e relações algébricas são interpretadas geometricamente. Também foi feita a conclusão que é necessárias expressões elementares, como equação normal e equação reduzida para expressar as coordenadas do centro e o valor do raio e também foi concluído que existem três possíveis posições de numa reta em relação à circunferência: reta secante, tangente e exterior à circunferência. Assim como, duas circunferências distintas podem ter dois, um ou nenhum ponto comum. A partir das equações das duas circunferências podemos descobrir quantos e quais são os pontos comuns resolvendo o sistema formado por elas.
  47. 47. Referências Bibliográficas • Pesquisa feita no site, www.inf.unioeste.br, em 08 de maio de 2013. • Pesquisa feita no site, www.mat.ufmg.br, em 08 de maio de 2013. • Pesquisa feita no site, www.visaoportal.com.br, em 08 de maio de 2013. • Pesquisa feita no livro, Fundamentos de Matemática Elementar, Iezzi Gelson (Geometria Analítica 1993) , em 06 de maio de 2013. • Pesquisa feita no site, www.mundoeducacao.com.br , em 08 de maio de 2013. • Pesquisa feita no site, www.obaricentrodamente.blogspot.com.br, em 14 de maio de 2013.

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