Matéria de matemática 1 0ºano

1. GEOMETRIA ANALÍTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO
Propriedade 4
Circunferência e círculo
Fixada uma unidade de comprimento,
dado um plano munido de um
referencial ortonormado, um ponto
𝐴 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 pertencente a esse plano e
um número real 𝑟 > 0:
• uma equação cartesiana reduzida da
circunferência de centro 𝐴 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 e
raio 𝑟 é 𝒙 − 𝒙𝑨
𝟐
+ 𝒚 − 𝒚𝑨
𝟐
= 𝒓𝟐
.
• uma inequação cartesiana do círculo de centro 𝐴 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 e raio 𝑟 é
𝒙 − 𝒙𝑨
𝟐
+ 𝒚 − 𝒚𝑨
𝟐
≤ 𝒓𝟐
.

2. GEOMETRIA ANALÍTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO
Exemplo 10
A circunferência representada no referencial
da figura tem centro no ponto 𝐶(−2, −3) e
raio 5. Logo, a sua equação reduzida é:
𝑥 − −2
2
+ 𝑦 − −3
2
= 52
⟺ 𝑥 + 2 2 + 𝑦 + 3 2 = 25

3. GEOMETRIA ANALÍTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO
Exemplo 10 (continuação)
Verifica-se analiticamente que o ponto
(− 6, 0) pertence à circunferência,
substituindo os valores de 𝑥 e de 𝑦 da
equação
−6 + 2 2
+ 0 + 3 2
= −4 2
+ 3 2
= 25
𝑥 + 2 2
+ 𝑦 + 3 2
= 25
por −6 e 0, respetivamente:

4. GEOMETRIA ANALÍTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO
Exemplo 10 (continuação)
Podemos determinar analiticamente a
posição do ponto 𝐵(3, −2) relativamente à
circunferência, determinando a sua distância
ao centro e comparando-a com o raio 𝑟 = 5:
𝑑 𝐵, 𝐶 = 3 − −2
2
+ −2 − −3
2
= 3 + 2 2 + −2 + 3 2
= 52 + 12
= 26
Como 𝑑 (𝐵, 𝐶) > 5, o ponto 𝐵 é exterior à circunferência.
Equação da circunferência:
𝒙 + 𝟐 𝟐 + 𝒚 + 𝟑 𝟐 = 𝟐𝟓

5. GEOMETRIA ANALÍTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO
Exemplo 10 (continuação)
Determinam-se analiticamente as ordenadas
dos pontos da forma (0, 𝑦), de interseção da
circunferência com o eixo 𝑂𝑦, resolvendo a
equação
0 + 2 2
+ 𝑦 + 3 2
= 25
⟺ 4 + 𝑦 + 3 2 = 25
⟺ 𝑦 + 3 2
= 21
⟺ 𝑦 + 3 = ± 21
⟺ 𝑦 = −3 ± 21
Logo, as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com
o eixo 𝑂𝑦 são 0, −3 − 21 e 0, −3 + 21 .
Temos,
Equação da circunferência:
𝒙 + 𝟐 𝟐 + 𝒚 + 𝟑 𝟐 = 𝟐𝟓
0 + 2 2
+ 𝑦 + 3 2
= 25.