geometria analítica

1. GEOMETRIA ANALÍTICA ego cogito ergo sum
RESUMO A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana (filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), consiste no estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Diferenciando-se da abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas são consideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras. A geometria analítica é muito utilizada na física e na engenharia, formando um pilar para as áreas mais modernas da geometria, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional.
Denílson Paulo S Santos
Geometria Analítica

2. 푣⃗∈ℜ3;푢⃗⃗∈ℜ3 ;푣⃗=(푣1,푣2,푣3), 푢⃗⃗=(푢1,푢2,푢3), k ∈ℜ 푣⃗=푣1푖̂+푣2푗̂+푣3푘̂ ,푢⃗⃗=푢1푖̂+푢2푗̂+푢3푘̂
Vetor retirado de 2 pontos no 핽ퟑ
퐴퐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=퐵−퐴 = (푥2,푦2,푧2)−(푥1,푦1,푧1)=(푥2−푥1,푦2−푦1,푧2−푧1)
Soma e Multiplicação por escalar ( 풌 ∈핽 ) 푣⃗ ±푢⃗⃗ =(푣1,푣2,푣3)±(푢1,푢2,푢3)=(푣1±푢1,푣2±푢2,푣3±푢3) 푘푣⃗=푘(푣1,푣2,푣3)=(푘푣1,푘푣2,푘푣3)
|푣⃗|=√푣12+푣22+푣32 → Módulo ou norma do Vetor
푣̂= 푣⃗⃗|푣⃗⃗| =(푣1|푣⃗⃗| , 푣2|푣⃗⃗| , 푣3|푣⃗⃗| ) → Versor
푣⃗∙푢⃗⃗=Σ푣푖푢푖 3푖 =1=푣1푢1+푣2푢2+푣3푢3 → Produto Escalar
푣⃗∙푢⃗⃗=|푣⃗||푢⃗⃗|푐표푠휃 → Produto Escalar
푐표푠휃= |푣⃗⃗∙푢⃗⃗⃗| |푣⃗⃗||푢⃗⃗⃗| → Menor ângulo entre vetores
푣⃗∙푢⃗⃗=0 ⇔푣⃗⊥푢⃗⃗ → Ortogonalidade
푣⃗∥푢⃗⃗ ⇔푣⃗=푘푢⃗⃗ → Colinearidade ou Paralelismo
푣⃗∥푢⃗⃗ ⇔ 푣1 푢1= 푣2 푢2= 푣3 푢3 → Colinearidade ou Paralelismo
{ 푣⃗∙푢⃗⃗>0 ⇔ 0표<휃<90표 푣⃗∙푢⃗⃗=0 ⇔ 휃=90표 푣⃗∙푢⃗⃗<0 ⇔ 90표<휃<180표 Ângulos entre Vetores
Produto Vetorial 푣⃗×푢⃗⃗=| 푣2푣3 푢2푢3|푖̂−| 푣1푣3 푢1푢3|푗̂+| 푣1푣2 푢1푢2|푘̂ | 푖̂푗̂푘̂ 푣1푣2푣3 푢1푢2푢3|=(푣2푢3−푣3푢2)푖̂+(푣3푢1−푣1푢3)푗̂+(푣1푢2−푣2푢1)푘̂
푛⃗⃗=푣⃗×푢⃗⃗ ⇔{푛⃗⃗⊥푣⃗ 푛⃗⃗⊥푢⃗⃗ → Vetor normal – simultaneamente ortogonal
|푣⃗×푢⃗⃗|=|푣⃗||푢⃗⃗|푠푒푛휃 → Módulo do Produto Vetorial
푠푒푛휃= |푣⃗⃗×푢⃗⃗⃗| |푣⃗⃗||푢⃗⃗⃗| → Ângulo entre vetores
푡푔휃= |푣⃗⃗×푢⃗⃗⃗| |푣⃗⃗∙푢⃗⃗⃗| → Ângulo entre vetores
푣⃗∥푢⃗⃗ ⇔푣⃗×푢⃗⃗=0⃗⃗ → Colinearidade ou Paralelismo
퐴푝=|푣⃗×푢⃗⃗| → Área de um Paralelogramo
퐴푇= |푣⃗⃗×푢⃗⃗⃗| 2 → Área de um triângulo
푃푟표푗푣⃗⃗ 푢⃗⃗=( 푢⃗⃗⃗∙푣⃗⃗|푣⃗⃗|2)푣⃗ → Vetor Projeção
푣⃗∙(푢⃗⃗×푤⃗⃗⃗)=(푣⃗,푢⃗⃗,푤⃗⃗⃗) → Produto Misto
(푣⃗,푢⃗⃗,푤⃗⃗⃗)=| 푣1푣2푣3 푢1푢2푢3 푤1푤2푤3| → Produto Misto (푣⃗,푢⃗⃗,푤⃗⃗⃗)=0 ⇔푣⃗,푢⃗⃗,푤⃗⃗⃗ →Coplanares

3. 푉푝=|(푣⃗,푢⃗⃗,푤⃗⃗⃗)| → Volume de um Paralelepípedo 푉푇= 16|(푣⃗,푢⃗⃗,푤⃗⃗⃗)|→ Volume de um Tetraedro
{ 푐표푠 훼= 푣1|푣⃗⃗| 푐표푠 훽= 푣2|푣⃗⃗| 푐표푠 훾= 푣3|푣⃗⃗| Cossenos Diretores 푐표푠2훼+푐표푠2훽+푐표푠2훾=1 →푅푒푙푎çã표 푒푛푡푟푒 Cossenos Diretores
Retas – Equações 푟:푃=퐴+휆푣⃗→푟:(푥,푦,푧)=(푥0,푦0,푧0)+휆(푎,푏,푐) → Eq.Vetorial
푟:{ 푥=푥0+푎휆 푦=푦0+푏휆 푧=푧0+푐휆 → Eq. Paramétrica
푟: 푥−푥0 푎 = 푦−푦0 푏 = 푧−푧0 푐 →Eq.Simétrica
푟:{ 푦=푚푥+푛 푧=푝푥+푞 →Eq.Reduzida
푟//푠 ⇔ 푣⃗푟//푣⃗푠 → Condição de Paralelismo
푟⊥푠 ⇔ 푣⃗푟⊥푣⃗푠 → Condição de ortogonalidade
푟:{ 푎1푥+푏1푦+푐1푧+푑1 푎2푥+푏2푦+푐2푧+푑2 Eq. da reta retirada da intersecção de 2 planos.
Planos - Equações
푎푥+푏푦+푐푧+푑=0 → Eq.Geral
휋: 푃=퐴+휆푣⃗푟+ℎ푣⃗푠 → Eq. Vetorial 휋:(푥,푦,푧)=(푥0,푦0,푧0)+휆(푣푟1,푣푟2,푣푟3)+ℎ(푣푠1,푣푠2,푣푠3)
휋:{ 푥=푥0+푣푟1휆+푣푠1ℎ 푦=푦0+푣푟2휆+푣푠2ℎ 푧=푧0+푣푟3휆+푣푠3ℎ → Eq. Paramétrica
휋1//휋2 ⇔ 푛⃗⃗1//푛⃗⃗2 → Condição de Paralelismo
휋1⊥휋2 ⇔ 푛⃗⃗1⊥푛⃗⃗2→ Condição de ortogonalidade
Cônicas
Parábola
Elipse
Hipérbole
푦2=2푝푥 푒푖푥표 푥
푥2 푎2+ 푦2 푏2=1 푒푖푥표 푥
푥2 푎2− 푦2 푏2=1 푒푖푥표 푥
푥2=2푝푦 푒푖푥표 푦
푥2 푏2+ 푦2 푎2=1 푒푖푥표 푦
푦2 푎2− 푥2 푏2=1 푒푖푥표 푦
(푦−푘)2=2푝(푥−ℎ) 푒푖푥표 푥
(푥−ℎ)2 푎2+ (푦−푘)2 푏2=1 푒푖푥표 푥
(푥−ℎ)2 푎2− (푦−푘)2 푏2=1 푒푖푥표 푥
(푥−ℎ)2=2푝(푦−푘) 푒푖푥표 푦
(푥−ℎ)2 푏2+ (푦−푘)2 푎2=1 푒푖푥표 푦
(푦−푘)2 푎2− (푥−ℎ)2 푏2=1 푒푖푥표 푦