Apresentação sobre regras de derivação e vetores.

1. FÍSICA 12º
A U L A 1 E 2

2. ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
• Se 𝑦 = 𝑘, sendo 𝑘 constante, então
𝑑
𝑑𝑥
𝑘 = 0
Exemplo: 𝑦 = 5
𝑑
𝑑𝑥
(5) = 0

3. ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
• Se 𝑦 = 𝑥𝑛
então
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛
= 𝑛𝑥𝑛−1
Exemplo: 𝑦 = 𝑥8
𝑑
𝑑𝑥
𝑥8
= 8𝑥7

4. ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
• Se 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) então
𝑑
𝑑𝑥
[𝑘𝑓 𝑥 ] = 𝑘
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 ]
Exemplo: 𝑦 = 3𝑥2
𝑑
𝑑𝑥
3𝑥2
= 3
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
= 3 × 2𝑥 = 6𝑥

5. ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
• Se 𝑦 = 𝑓 𝑥 × 𝑔(𝑥) então
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) ×
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔 𝑥 ] + 𝑔(𝑥) ×
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 ]
Exemplo: 𝑦 = 𝑥3(4𝑥 + 2)
𝑥3
𝑑
𝑑𝑥
4𝑥 + 2 + 4𝑥 + 2
𝑑
𝑑𝑥
𝑥3 = 𝑥3 × 4 + 4𝑥 + 2 × 3𝑥2
= 4𝑥3
+ 12𝑥3
+ 6𝑥2
= 16𝑥3
+ 6𝑥2

6. ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
• Se 𝑦 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) então
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 ] +
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔 𝑥 ]
Exemplo: 𝑦 = 10 + 4𝑥 − 5𝑥2
𝑑
𝑑𝑥
10 + 4𝑥 − 5𝑥2 = 0 + 4 − 10𝑥 = 4 − 10𝑥

7. ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO
• Se 𝑦 =
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)
então
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔(𝑥)
=
𝑔×
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥)×
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔 𝑥 ]
[𝑔(𝑥)]2
Exemplo: 𝑦 =
5𝑥2+8𝑥−1
2𝑥−3
𝑑
𝑑𝑥
5𝑥2 + 8𝑥 − 1
2𝑥 − 3
=
2𝑥 − 3 10𝑥 + 8 − (5𝑥2 + 8𝑥 − 1) × 2
(2𝑥 − 3)2
=
20𝑥2 + 16𝑥 − 30𝑥 − 24 − 10𝑥2 − 16𝑥 + 2
(2𝑥 − 3)2
=
10𝑥2 − 30𝑥 − 22
(2𝑥 − 3)2

8. REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR
• Um vetor pode ser representado em função de um vetor
unitário, 𝑢, (versor) através da expressão geral
𝑣 = 𝑘𝑢
em que 𝑘 é um escalar maior, menor ou igual a zero.
• No domínio da Física, é comum definir as grandezas vetoriais
relativamente a um referencial.
• Estes referenciais são constituídos por eixos ortogonais, aos
quais estão associados referenciais ortonormados (versores),
com a direção e sentido positivo de cada um desses eixos
ortonormados:

9. REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR
Referencial ortonormado tridimensional
𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑢𝑧
Referencial ortonormado bidimensional
em que:
𝑢𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑢𝑧 = 1

10. COMPONENTES DE UM VETOR
• Considere-se um vetor num referencial 𝑂𝑥𝑦:
O vetor pode ser decomposto em
dois vetores 𝐹𝑥 e 𝐹𝑦 referentes à sua
projeção (de 𝐹) sobre os eixos 𝑜𝑥 e 𝑜𝑦,
tais que:
onde:
𝐹𝑥 = 𝐹𝑥𝑢𝑥 e 𝐹𝑦 = 𝐹𝑦𝑢𝑦
pelo que:
𝐹= 𝐹𝑥 + 𝐹𝑦

11. COMPONENTES DE UM VETOR
• Considere-se um vetor num referencial 𝑂𝑥𝑦:
Os vetores componentes de 𝐹 formam
um triângulo retângulo, pelo que
podemos aplicar o Teorema de
Pitágoras:
ou seja:
𝐹
2
= 𝐹𝑥𝑢𝑥
2 + 𝐹𝑦𝑢𝑦
2
pelo que:
𝐹
2
= 𝐹𝑥
2
+ 𝐹𝑦
2
𝐹
2
= 𝐹𝑥
2
+ 𝐹𝑦
2

12. COMPONENTES DE UM VETOR
Pela Trigonometria:
cos 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
⟺
⟺ cos 𝛼 =
𝐹𝑦
𝐹
⟹ 𝐹𝑦 = 𝐹 cos 𝛼
sin 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
⟺
⟺ sin 𝛼 =
𝐹𝑥
𝐹
⟹ 𝐹𝑥 = 𝐹 sin 𝛼

13. COMPONENTES DE UM VETOR
• Considere-se um vetor num referencial 𝑂𝑥𝑦𝑧:
ou seja:
𝐹
2
= 𝐹𝑧𝑢𝑧 + 𝐹𝑥𝑢𝑥
2 + 𝐹𝑦𝑢𝑦
2
pelo que:
𝐹
2
= 𝐹𝑥
2
+ 𝐹𝑦
2
+ 𝐹𝑧
2
𝐹
2
= 𝐹𝑧 + 𝐹𝑥
2
+ 𝐹𝑦
2