resumo produto escalar

1. Produto
escalar de
vetores

2. O ângulo dos vetores 𝑢 e 𝑣 é o ângulo 𝛼
definido por representantes de cada um
dos vetores com a mesma origem e
representa-se por 𝑢, 𝑣 .
Ângulo formado por dois vetores
𝑢 𝑣
𝛼
𝑂
• 0 ≤ 𝑢, 𝑣 ≤ 180°
Notas:
• Se 𝑢 e 𝑣 tiverem o mesmo sentido: 𝑢, 𝑣 = 0
• Se 𝑢 e 𝑣 tiverem sentidos contrários: 𝑢, 𝑣 = 180°

3. Considera 𝑢 e 𝑣 dois vetores de representantes 𝑂𝑃 e 𝑂𝑄 e seja 𝑄’
a projeção ortogonal de 𝑄 na reta 𝑂𝑃.
Produto escalar de dois vetores
(projeção ortogonal)
Se 𝑢 ≠ 0 e 𝑣 ≠ 0, então o produto escalar (ou interno) de 𝑢 e 𝑣,
𝒖 ∙ 𝒗, é o número:
• 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑶𝑷 × 𝑶𝑸′, se 𝑂𝑃 e 𝑂𝑄′
tiverem o mesmo sentido.
• 𝒖 ∙ 𝒗 = − 𝑶𝑷 × 𝑶𝑸′, se 𝑂𝑃 e 𝑂𝑄′
tiverem sentidos contrários.

4. Dados dois vetores 𝑢 e 𝑣, não nulos,
Produto escalar de dois vetores
𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖 × 𝒗 × 𝐜𝐨𝐬 𝒖, 𝒗
Propriedades do produto escalar:
• 𝑢 ∙ 𝑢 = 𝑢 2
• 𝑢 ∙ 𝑣 > 0 ⟺ 0 ≤ 𝑢, 𝑣 < 90°
• 𝑢 ∙ 𝑣 < 0 ⟺ 90° < 𝑢, 𝑣 ≤ 180°
• 𝑢 ∙ 𝑣 = 0 ⟺ 𝑢 ⊥ 𝑣
• 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢
• 𝜆𝑢 ∙ 𝑣 = 𝜆 𝑢 ∙ 𝑣
• 𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑤 + 𝑣 ∙ 𝑤
• cos 𝑢, 𝑣 =
𝑢∙𝑣
𝑢 𝑣

5. Considera os vetores 𝑢, 𝑣, tais que 𝑢 = 3, 𝑣 = 4 e (𝑢, 𝑣) = 45°.
Determina o produto escalar 2𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑣.
Sugestão de resolução:
Exemplo 1
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 × 𝑣 × cos 𝑢, 𝑣 =
2𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑣 = (2𝑢) ∙ 𝑣 + 𝑣 ∙ 𝑣 = 2 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑣 2
=
= 2 × 6 2 + 42
3 × 4 × cos 45° = 12 ×
2
2
= 6 2
= 12 2 + 16

6. O ângulo 𝛼 entre duas retas concorrentes é o menor ângulo por
elas formado.
𝟎° < 𝜶 ≤ 𝟗𝟎°
Seja 𝛼 a amplitude do ângulo entre duas retas 𝑟 e 𝑠, então:
𝐜𝐨𝐬 𝜶 =
𝒓 ∙ 𝒔
𝒓 𝒔
onde 𝑟 e 𝑠 são vetores diretores de 𝑟 e 𝑠, respetivamente.
Ângulo entre duas retas concorrentes

7. No plano, 𝑢 𝑢1, 𝑢2 e 𝑣 𝑣1, 𝑣2 :
𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖𝟏 × 𝒗𝟏 + 𝒖𝟐 × 𝒗𝟐
Produto escalar através das coordenadas
No espaço, 𝑢 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 e 𝑣 𝑣1, 𝑣2 , 𝑣3 :
𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖𝟏 × 𝒗𝟏 + 𝒖𝟐 × 𝒗𝟐 + 𝒖𝟑 × 𝒗𝟑
1. Considera os vetores do plano 𝑢 2, 5 e 𝑣 −3, 1 .
Exemplos:
𝑢 ∙ 𝑣 = 2 × −3 + 5 × 1 = −1
2. Considera os vetores do espaço 𝑢 2, 5, 1 e 𝑣 −3, 1, 2 .
𝑢 ∙ 𝑣 = 2 × −3 + 5 × 1 + 1 × 2 = 1

8. Vetores perpendiculares no plano
No plano, obtemos um vetor perpendicular a um vetor dado
trocando-lhe as coordenadas e trocando o sinal a uma delas.
Exemplo:
Vetores perpendiculares ao vetor 𝑢 2, 3 :
Retas perpendiculares
Duas retas de declives 𝑚 e 𝑚′ são perpendiculares ⟺ 𝑚 × 𝑚′= −1
−3, 2 , 3, −2 , 6, −4 , por exemplo.

9. No espaço, para obtermos um vetor perpendicular a um vetor dado,
consideramos uma das coordenadas igual a zero e trocamos entre si
as outras duas coordenadas, bem como o sinal de uma delas.
Exemplo:
Vetores perpendiculares ao vetor 𝑢 2, 3, −5 :
−3, 2, 0 , −5, 0, −2 , 0, 5, 3 , por exemplo.
Vetores perpendiculares no espaço

10. Mediatriz do segmento de reta 𝑨𝑩
é o lugar geométrico dos pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) tais que
𝑴𝑷 ∙ 𝑨𝑩 = 𝟎
sendo 𝑀 o ponto médio de 𝐴𝐵 .
Lugares geométricos no plano
Considera os pontos 𝐴(1, 2) e 𝐵(3, 8).
Exemplo:
𝑀𝑃 ∙ 𝐴𝐵 = 0 ⇔ (𝑥 − 2, 𝑦 − 5) ∙ 2,6 = 0
O ponto médio de 𝐴𝐵 é 𝑀 =
1+3
2
,
2+8
2
= 2, 5 .
⇔ 2 𝑥 − 2 + 6(𝑦 − 5) = 0
⇔ 2𝑥 − 4 + 6𝑦 − 30 = 0 ⇔ 𝑦 = −
1
3
𝑥 +
17
3
equação reduzida da mediatriz de 𝑨𝑩
𝑀
𝑃
𝐴
𝐵

11. Lugares geométricos no plano
Considera os pontos 𝐴(1, 2) e 𝐵(3, 8).
Exemplo:
𝐴𝑃 ∙ 𝐵𝑃 = 0 ⇔ (𝑥 − 1, 𝑦 − 2) ∙ 𝑥 − 3, 𝑦 − 8 = 0
⇔ 𝑥 − 1 𝑥 − 3 + (𝑦 − 2)(𝑦 − 8) = 0
equação reduzida da circunferência de diâmetro 𝑨𝑩
⇔ 𝑥2
− 4𝑥 + 3 + 𝑦2
− 10𝑦 + 16 = 0
⇔ 𝑥2
− 4𝑥 + 22
+ 𝑦2
− 10𝑦 + 52
= −3 − 16 + 22
+ 52
⇔ 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 5 2 = 10
Circunferência de diâmetro 𝑨𝑩 é o lugar
geométrico dos pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) tais que:
𝑨𝑷 ∙ 𝑩𝑷 = 𝟎
𝑃
𝐴 𝐵

12. Lugares geométricos no plano
A reta tangente à circunferência de
centro 𝐶 no ponto 𝑇 é o lugar geométrico
dos pontos 𝑃(𝑥, 𝑦) tais que:
𝑪𝑻 ∙ 𝑻𝑷 = 𝟎
Considera a circunferência de centro 𝐶(1, 2) e que passa em 𝑇(3, 8).
Exemplo:
𝐶𝑇 ∙ 𝑇𝑃 = 0 ⇔ (2, 6) ∙ 𝑥 − 3, 𝑦 − 8 = 0⇔ 2 𝑥 − 3 + 6(𝑦 − 8) = 0
⇔ 2𝑥 − 6 + 6𝑦 − 48 = 0 ⇔ 𝑦 = −
1
3
𝑥 + 9
equação reduzida da reta tangente à
circunferência de centro 𝑪 no ponto 𝑻
𝑃
𝐶
𝑇
𝑡