Arranjos simples e combinação aula completa

Matemática e suas Tecnologias -
Matemática
Ensino Médio, 2ª Série
Arranjos Simples

Matemática, 2ª Série do Ensino Médio
Arranjos Simples
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Arranjos Simples
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Anne, Gil, Pedro e Bento observavam seus colegas
correndo, tentando pegar os melhores lugares na fila!
Arranjos Simples

A ordenação das filas apresenta-se como um
problema de Arranjos Simples
Os arranjos são
agrupamentos em que
se considera a ordem
dos elementos
agrupados. Por
exemplo, a palavra
LAGO é um arranjo de
letras, pois, mudando-se
a ordem dessas letras,
obtém-se outra palavra.
Arranjos Simples

LAGO GALO
Palavras
diferentes
Arranjos Simples

Assim, com 3 pessoas
numa fila, poderemos
ter os seguintes arranjos
de ordenação:
1
A
B
C
2
A
C
B
3
B
A
C
4
B
C
A
5
C
A
B
6
C
B
A
Arranjos Simples

E se um grupo de 4 pessoas formarem a fila, teremos agora 24
diferentes combinações!
Arranjos Simples
ABCD
ABDC
ACBD
ACDB
ADBC
ADCB
BCDA
BDCA
CBDA
CDBA
DBCA
DCBA
CDAB
DCAB
BDAC
DBAC
BCAD
CBAD
DABC
CABD
DACB
BACD
CADB
BADC

Chama-se Arranjo
Simples de n
elementos distintos
tomados p a p
(p  n), todo
agrupamento
ordenado formado por
p elementos
escolhidos
entre os n elementos
dados.
Arranjos Simples
Arranjos Simples

Arranjos Simples
Arranjos Simples
O número p é
denominado classe ou
ordem do arranjo
simples e pela
definição de arranjo
facilmente
percebemos que p ≤ n

Arranjos Simples
Arranjos Simples
Indica-se o número
total de Arranjos
Simples por:
An,p ou Ap
n

Para o cálculo de An,p temos:
Escolha Nº de Possibilidades
Do 1º elemento n
Do 2º, depois de escolhido o 1º n – 1
Do 3º, depois de escolhidos o 1º e o 2º n – 2
...
Do p-ésimo, depois de escolhidos os anteriores n – (p – 1)
Arranjos Simples
Arranjos Simples

Portanto:
An,1 = n
An,2 = n(n – 1)
An,3 = n(n – 1)(n – 2)
...
Arranjos Simples
Arranjos Simples

Portanto:
A4,1 = 4
A4,2 = 4·(4 – 1)=4·3=12
A4,3 = 4·(4 – 1)(4 – 2)=4·3·2=24
A4,4 = 4·(4 – 1)(4 – 2)(4 – 1)=4·3·2·1=24
Arranjos Simples
Arranjos Simples

Problemas de Arranjos Simples
O número total de Arranjos Simples é dado por:
Indicando a quantidade
de pessoas na fila
?
n
Assim...
An,p =    
n n-1 n-2 ...
=
n-p+1
An,p
Lembre-se! Nesse exemplo n = p, já que n é o total de pessoas no
grupo, e p o total de pessoas que estarão na fila!
Arranjos Simples

Problemas de Arranjos Simples
O número total de Arranjos Simples é dado por:
Indicando a quantidade
de pessoas na fila
720
6
Assim...
A6,6 =    
6 5 4 ...
=
1
A6,6
Lembre-se! Nesse exemplo n = p, já que n é o total de pessoas no
grupo, e p o total de pessoas que estarão na fila!
Arranjos Simples

Fatorial
Em problemas de
Análise
Combinatória,
surgem com
frequência,
expressões como:
3x2x1 4x3x2x1
Arranjos Simples

Fatorial
Assim,
Dado um número
natural n, com n
>1, definimos seu
fatorial, indicado
por n!, como o
produto dos n
números
consecutivos de 1
até n.
Arranjos Simples

Fatorial
Utilizando
símbolos, temos:
n! = n·(n – 1)·(n –
2)·...·3·2·1
Definimos ainda:
1! = 1 e 0! = 1
Arranjos Simples

Fatorial
Com o auxílio dos
fatoriais, podemos
apresentar
fórmulas de uma
maneira mais
simples
Arranjos Simples

Hoje aprendemos
• Para resolver
algumas situações
envolvendo
análise
combinatória,
temos que
recorrer a cálculos
em que é
necessário realizar
o produto entre
números
consecutivos;
Arranjos Simples

Hoje aprendemos
• Dizemos que um
arranjo é simples
quando não há
repetição dos
elementos em
cada
agrupamento;

Hoje aprendemos
• Num Arranjo
Simples, os
agrupamentos de
n elementos
distintos diferem
entre si somente
pela ordem dos
elementos;

Hoje aprendemos
• Permutação
simples é o caso
particular de
arranjo simples
em que n = p, ou
seja, trata-se de
um arranjo de n
elementos.

Texto Complementar
Arranjos Simples
http://www.brasilescola.com/matematica/arranjo-simples.htm

DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações.
Volume 2. São Paulo: Ática, 2010.
PAIVA, M. Matemática. Volume único. 1. ed. São Paulo:
Moderna, 2005.
RIBEIRO, J. Matemática: ciência, linguagem e
tecnologia. Ensino Médio. Volume 2. São Paulo:
Scipione, 2010.
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, I. S. V. Matemática: Ensino
Médio. Volume 2. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
Referências
Arranjos Simples

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n_Vectis_4834_M834_MFR_and_Ryde_bus_stati
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23/04/2012
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