BASE DA TRIGONOMETRIA                              p = Hipotenusa(H);                          q = Cateto Oposto à α(CO); ...
Prova :seno α = a/b => a = b.sen αcos α = c/b => c = b.cos αa² + c² = b² => b².sen²α + b².cos²α = b² => 1.sen²α + 1.cos²α ...
Principais senos, cossenos e tangentesArco Duplo   •   sen(A + B) = senA.cosB + senB.cosA (Vídeo provando esta fórmula: Pr...
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIQUESTÕESIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII01 - (Fuvest - modificada)Se α é um ângulo tal que 0 < α < ...
02 - Considere a igualdade tgx = cotgx + [P.(2 - sec²x)/2tgx]. Qual é o valor de P,para o qual a igualdade acima seja váli...
04 - Demonstre a identidade a seguir:tg x + cotg x = sec x . cossec xsen + cos = 1 . 1cos sen cos sensen² + cos² =    1  s...
07 - Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em radianos éigual a:a) (π/4) - 17                       ...
09 - O desenvolvimento de 1 - tg² x para x ≠ nπ ± π/2, sendo n um inteiroqualquer é:                         1 + tg² xa) s...
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Base trigonometria 001

  1. 1. BASE DA TRIGONOMETRIA p = Hipotenusa(H); q = Cateto Oposto à α(CO); r = Cateto Adjacente à α(CA)Trigonometria: Medida do triângulo(especialmente o triângulo retângulo)Seno, cosseno, tangente, ... • Seno α = CO/H = q/p • Cosseno α = CA/H = r/p • Tangente α = Seno/Cosseno = CO/CA = q/r • Cossecante α = 1/seno = H/CO = p/q (inverso do seno) • Secante α = 1/cosseno = H/CA = p/r (inverso do cosseno) • Cotangente α = 1/tangente = Cosseno/Seno = CA/CO = r/q (inverso da tangnte)Relação Fundamental da Trigonometria: AB = a; BC = b; AC = c.sen² α + cos² α = 1
  2. 2. Prova :seno α = a/b => a = b.sen αcos α = c/b => c = b.cos αa² + c² = b² => b².sen²α + b².cos²α = b² => 1.sen²α + 1.cos²α = 1(corta todos os "b²")=>sen²α + cos²α = 1Ciclo trigonométricoO ciclo mostra o seno, o cosseno e a yangente no plano cartesiano.O eixo das abiscissas é o cosseno e o eixo das ordenadas é o seno e ainda tem o eixotangencial à circunferência que é a tangente.O eixo é dividido em quadrantesI - 1° quadranteII - 2° quadranteIII - 3° quadranteIV - 4° quadranteEm I, o seno, o cosseno e a tangente são positivos;Em II, o seno é positivo;Em III, a tangente é positiva;Em IV, o cosseno é positivo.O ciclo trigonométrico é unitário, ou seja, do centro à circunferência é 1, porque omaior seno e maior cosseno é igual à 1 e o menor seno e menor cosseno é igual à -1.
  3. 3. Principais senos, cossenos e tangentesArco Duplo • sen(A + B) = senA.cosB + senB.cosA (Vídeo provando esta fórmula: Provando sen(a + b)) • sen(A - B) = senA.cosB - senB.cosA • cos(A + B) = cosA.cosB - senA.senB • cos(A - B) = cosA.cosB + senA.senB • sen 2A = sen(A + A) = senA.cosA + senA.cosA = 2senA.cosA • cos 2A = cos(A + A) = cosA.cosA - senA.senA = cos²A - sen²A • cos 2A = cos²A - sen²A = cos²A - (1 - cos²A)Relação fundamental = cos²A - 1 + cos²A = 2cos²A - 1 • cos 2A = cos² A - sen² A = (1 - sen²A) - sen²A = 1 - 2sen²A
  4. 4. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIQUESTÕESIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII01 - (Fuvest - modificada)Se α é um ângulo tal que 0 < α < π/2 e senα = a, entãotg(π - α) é igual a quanto?α é menor que 90° graus então pertence ao primeiro quadrante.π é 180°então π - α está entre 90° e 180°, ou seja, segundo quadrante(figura). Como tangente é seno sobre cosseno e o seno de α é "a", a resposta terá um "a" em cima. Como a tangente no segundo quadrante é negativa, a resposta será negativa. Esta não é a figura da questão, então desconsiderem que o α seja o ângulo mostrado. Imaginem o ângulo mostrado como (π - α) O ângulo que a figura mostra pode ser π - α. A reta que sai do ponto "A" marca ocosseno na reta x. Podemos chamar o cosseno de "m", por exemplo.sen²α + cos² α = 1a² + m² = 1m² = 1 - a²m = √1 - a²tangente = seno/cosseno = a/m = a/√1 - a² = -a/√1 - a²Resposta: -a . √1 - a²
  5. 5. 02 - Considere a igualdade tgx = cotgx + [P.(2 - sec²x)/2tgx]. Qual é o valor de P,para o qual a igualdade acima seja válida para todo x R, x ≠ 0 kπ/2, K inteiro.tgx = cotgx + [P.(2 - sec²x)/2tgx]tgx - cotgx = 2.P - sec²x.P 2tgxtgx.2tgx - 1 .2tgx = 2.P - sec²x.P tgx2tg²x - 2 = 2.P - sec²x.P2. sen²x - 2 = 2.P - 1 .P cos²x cos²x2.sen²x - 2cos²x = 2cos²x.P - P cos²x2(sen²x - cos²x) = P(2cos²x - 1)2(sen²x - cos²x) = P(cos²x + cos²x - 1)sen²α + cos²α = 1 => cos²α - 1 = -sen²α2(sen²x - cos²x) = P(cos²x - sen²x)P = 2 (sen²x - cos²x) -1(sen²x - cos²x)Resposta: P = -203 - Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumenteos daorquestra, usam-se funções trigonométricas. A expressão 2 sen²x + 2cos²x - 5envolve estas funções e, para π < x < 3π/2, seu valor é:2sen²x + 2cos²x - 5 =2(sen²x + cos²x) - 5 =2.1 - 5 =2-5=-3Resposta: -3
  6. 6. 04 - Demonstre a identidade a seguir:tg x + cotg x = sec x . cossec xsen + cos = 1 . 1cos sen cos sensen² + cos² = 1 sen.cos sen.cos 1 = 1 sen.cos sen.cossen.cos = 1sen.cos1=105 - Quanto é sen75°?sen75° = sen (30 + 45) = sen30.cos45 + sen45.cos30 1 . √2 + √2 . √3 2 2 2 2 √2 + √6 4 4 √2 + √6 4Resposta: √2 + √6 406 - Obtenha todos os pares (x, y) com x, y ∈ [0, 2π], tais que:sen(x + y) + sen(x - y) = 1/2sen x + cos y = 1sen (x + y) = sen x . cos y + sen y . cos xsen (x - y) = sen x . cos y - sen y . cos xsen x . cos y + sen y . cos x + sen x . cos y - sen y . cos x = 1/2sen x . cos y + sen y . cos x + sen x . cos y - sen y . cos x = 1/22 sen x . cos y = 1/2sen x . cos y = 1/4sen x + cos y = 1sen x . cos y = 1/4sen x = 1/2 = 30°cos y = 1/2 = 60°Resposta: (30°, 60°); (390°, 420°); ...
  7. 7. 07 - Se a medida de um arco, em graus, é igual a 128, sua medida em radianos éigual a:a) (π/4) - 17 Essa questão é super simples!b) (54/15)π É só fazer uma regra de três:c) (64/45)πd) (16/25)π 180 ----> πe) (32/45)π 128 ----> x 180 . x = π . 128 x = π . 128/180 x = (32/45)π Resposta: e) (32/45)π08 - A tangente do ângulo 2x é dada em função da tangente de x pela seguintefórmula:tg 2x = 2tg x/1 - tg²xCalcule um valor aproximado da tangente do ângulo 22º 30.a) 0,22b) 0,41c) 0,50 Considere 22° 30 = xd) 0,72 Portanto, 2x = 45°e) 1,00tg 2x = 2tg x/1 - tg²xtg 45° = 2 . tg 22° 30/1 - tg² 22° 30 tg 22° 30 = - 1 + √8/21 = 2 . tg 22° 30/1 - tg² 22° 30 √8 é aproximadamente 2,82/2 = 1,410 = (2 . tg 22° 30/1 - tg² 22° 30) - 1 1,41 - 1 = 0,41 = tg 22° 300 = 2 . tg 22° 30 - 1 + tg² 22° 30tg² 22° 30 + 2 . tg 22° 30 - 1 = 0 --> Eq. Resposta: b)0,412° Grautg 22° 30 = xx² + 2x - 1 = 0/ = 4 + 4/ = 8x = - 2 +- √8 2x = -1 + √8 2x = - 1 - √8 ---> tg 22° 30 é positiva 2
  8. 8. 09 - O desenvolvimento de 1 - tg² x para x ≠ nπ ± π/2, sendo n um inteiroqualquer é: 1 + tg² xa) sec² x - 1b) sec² x + 1c) sen² x - cos² xd) cos² x - sen² xe) tg² x1 - sen² x cos² x1 + sen² x cos² xcos² x - sen² x cos² xcos² x + sen² x cos² x cos² x - sen² xsen² x + cos² x = 1cos² x - sen² xResposta: d) cos² x - sen² x10 - Qual o valor da expressão abaixo?(2 . sen4 20° - 2 . cos4 20°) . cossesc4 20° 3 - 3 . cotg4 20°a) - 2/3b) 2/3c) 1/3d) - 1/3e) 0(2 . sen4 20° - 2 . cos4 20°) . 1/sen4 20° 3 sen4 - 3 cos4 20° sen4 20°2 . sen4 20° - 2 . cos420° 3 sen4 20° - 3 cos4 20°2 . (sen4 20° - cos420°)3. (sen4 20° - cos4 20°)2/3 Resposta: b)2/3

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