MECANICA DOS SOLIDOS

1. 1
MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
(RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II)
Bibliografia:
 Ferdinand Beer, E. Russel Johnston – Resistência dos Materiais
 Timoshenko – Mecânica dos Sólidos
 William Nash – Resistência dos Materiais
 Vladimir Arrivabene – Resistência dos Materiais
Professor: Eduardo Moura Lima
Versão 01/02/2015

2. 2
Cap I: Análise de tensões e deformações
1. Estado Tri-Axial de tensões:
Notação: σi – tensão normal na direção i
τji – tensão tangencial no plano j, direção i
Colocamos todas as tensões normais e tangenciais possíveis em cada face
visível. Nas faces opostas (invisíveis) teremos as mesmas tensões, com
mesmos módulos e sentidos opostos. Em torno de um ponto, num mesmo
P
X
Z
X
Y
dx
dy
dz
σx
σy
σz
τyz
τyx
τxy
τzy
τzx
τxz

3. 3
plano, as tensões normais sempre atuam em duplas, e as tangenciais, em
quatro.
Outros estados de tensão:
 Bi-axial ou plano: tensões em duas direções
 Uni-axial: tensões em uma direção
2. Estado Plano de tensões – método analítico:
a. Introdução:
Estado mais comum de ocorrer. Teremos tensões apenas no
plano XY. Eliminaremos todas as tensões fora deste plano.
A visualização pode ser simplificada, com todas as tensões num único
plano, eliminando-se a terceira dimensão (Z). E a notação das tensões
tangenciais também poderá ser simplificada, por não existir a direção Z, e
τxy = τyx (provaremos mais tarde).
Notação: σi – tensão normal na direção i
τj – tensão tangencial no plano j
X
Y
dx
dy
dz
σx
σy
τyx
τxy
Z

4. 4
Então, podemos visualizar assim: Ou por uma forma mais simplificada:
Diagonal de corte: sobre ela convergem as tensões tangenciais
Convenção de sinais:
b. Tensões em um plano qualquer perpendicular ao plano XY (σα
e τα):
σx σx
σy
σy
τx
τx
τy
τy
Diagonal
de corte
X
Y
X
Y
τx
τy
σy
σx
===
||
=
||
=
===
σ > 0 σ < 0
===
τ < 0τ > 0
σx
τx
σy
τy
X
Y
dx
dy
σα
τα
α
α
α
α
dL
Y
X
Z

5. 5
Estudo do equilíbrio das FORÇAS que atuam no prisma:
Projeção das forças na direção de σα:
σα = ((σx + σy) / 2) + (((σx - σy) /2). cos 2α) + τx . sen 2α (A)
Projeção das forças na direção de τα:
τα = - ((σx - σy) /2). sen 2α + τx . cos 2α (B)
c. Tensões normais máximas:
Deriva-se a equação (A) e iguala-se a ZERO:
dσα / dα = (-2 . ((σx – σy) / 2) . sen 2α) + 2 τx . cos 2α = 0
= - (σx – σy) . sen 2α + 2 τx . cos 2α = 0
= - ((σx – σy)/2) . sen 2α + τx . cos 2α = 0
τα
Conclusão: quando as tensões normais são máximas, as tangenciais são
NULAS.
Resolvendo-se a equação acima  tg 2 αI,II = 2 τx / (σx – σy) (C)
Se: σx > σy  direção I (tensão máxima)
σx < σy  direção II (tensão mínima)
E se σx = σy ?
Sabendo-se o valor da tangente (C), são conhecidos os valores do seno e
do cosseno. Façamos a substituição na equação (A):
σI,II = (σx + σy)/2 ± (1/2) . √ (σx – σy)2
+ 4(τx)2
(D) (tensões principais)

6. 6
d. Tensões tangenciais máximas:
Deriva-se a equação (B) e iguala-se a ZERO:
dτα / dα = (-2 . ((σx – σy) / 2) . cos 2α) - 2 τx . sen 2α = 0
tg 2α’3 = -(σx – σy) / (2 τx) (E) tg 2αI . tg 2α’3 = -1
Como: tg 2 αI = 2 τx / (σx – σy) (C)
Pela relação trigonométrica: tg (a – b) = (tg a – tg b) / (1 + tg a . tg b), tem-
se:
tg (2αI - 2α’3) = (tg 2αI – tg 2α’3) / ( 1 + tg 2αI . tg 2α’3) = ∞ 
2αI - 2α’3 = 90º  αI - α’3 = 45º.
Sabendo-se o valor da tangente (E), são conhecidos os valores do seno e
do cosseno. Façamos a substituição na equação (B):
τmáx, mín = ± (1/2) . √ (σx – σy)2
+ 4(τx)2
(F)
σI,II = (σx + σy)/2 ± τmáx (G)
Substituindo-se os valores de sen 2α’3 e cos 2α’3 em (A):
σα’3 = σα’’3 = (σx + σy) / 2 (H)

7. 7
Representação esquemática de todas as tensões descritas acima, e
também com seus planos:
e. Tensões em planos ortogonais:
 Normais:
σα = ((σx + σy) / 2) + (((σx - σy) /2). cos 2α) + τx . sen 2α (A)
σα+π/2 = ((σx + σy) / 2) + (((σx - σy) /2). cos 2(α+π/2)) + τx . sen 2(α+π/2) =
= ((σx + σy) / 2) - (((σx - σy) /2). cos 2α) - τx . sen 2α
σα + σα+π/2 = σx + σy = σI + σII = σα’3 + σα’’3 = θ invariante característico
X
Y
===
||
=
||
=
σx
τx
τy
αI
αII
IσI
α’'3
α'3
α’'3
α'3
45º
σα’3
σyII
σII
σα’’3
τmin
τmax

8. 8
 Tangenciais:
τα = - ((σx - σy) /2). sen 2α + τx . cos 2α (B)
τα+π/2 = - ((σx - σy) /2). sen 2(α+π/2) + τx . cos 2(α+π/2) =
= ((σx - σy) /2). sen 2α - τx . cos 2α
τα + τα+π/2 = 0  τα = - τα+π/2
f. Cisalhamento puro: θ = 0
σx + σy = 0  σx = - σy
σI,II = (σx + σy)/2 ± τmáx = τmáx
σα’3 + σα’’3 = 0  σα’3 = σα’’3 = 0
τmáx = (1/2) . √ (σx – σy)2
+ 4(τx)2
= √ σx
2
+ τx
2
g. Ponto isotrópico:
Quando σI = σII  todas as direções são principais
τ = 0 em todas as direções
h. Tensões com a direção I (um particular x):
De (A): σβ = ((σI + σII) / 2) + (((σI – σII) /2). cos 2β) (I)
De (B): τβ = - ((σI – σII) /2). sen 2β (J)
De (F): τmáx, mín = ± (1/2) . (σI – σII)

9. 9
3. Estado Plano de tensões – método gráfico – Círculo de Mohr:
Dados: σx, σy e τx (no exemplo, positivos, e com σx > σy)
Marcar: OE = σx, OF = σy, EM = τx e FN = τy (escolher uma escala adequada)
a. Centro do círculo (ponto C):
OC = (OE + OF) / 2 = (σx + σy) / 2 = θ / 2
b. Raio do círculo:
R = CM = √ (CE)2
+ (EM)2
= √ ((OE – OF) / 2)2
+ (EM)2
=
= √ (((OE – OF)2
+ 4(EM)2
)) / 4 = (1/2) . √ (σx - σy)2
+ 4 τx
2
= τmax
c. Tensões principais:
OB = OC + CB = (σx + σy) / 2 + τmax = σI
OA = OC - AC = (σx + σy) / 2 - τmax = σII
d. Planos principais:
tg ECM = (EM) / (EC) = τx / ((σx - σy) / 2)  ECM = 2αI  BAM = αI
τ (-)
σ (+)
O
A BC E
M
N
F
S
R
2αI
αI
x
y
II
I
α
α
K
G
α'3
α''3

10. 10
e. Tensões em um plano qualquer α:
σα = OG τα = - KG
f. Tensões tangenciais máximas e tensões normais nos planos:
τmax = CR e τmin = - CS
σα’3 = σα’’3 = OC = (σx + σy) / 2
4. Estado Plano de deformações – método analítico
Lei de Hooke: σ = Eε
ε' = -με
μ = 1/m  ε' = -ε/m
a. Deformações nas direções principais:
εI = σI/E σI/E - σII/Em =
- σII/Em = (1/E) (σI - σII/m)
εII = (1/E) (σII - σI/m)
b. Deformação na direção z:
εz = - σI/Em - σII/Em = - (1/Em) (σI + σII) = - (1/Em) (σx + σy)
I
II
σI
σII

11. 11
c. Deformação de uma fibra de direção qualquer no plano
solicitante: OA = Lβ
ΔLβ = AA1 = AC + CA1 = AC + BD =
= Δa.cosβ + Δb.senβ
εβ = ΔLβ / Lβ =
= (Δa.cosβ + Δb.senβ)/ Lβ =
= Δa.cosβ/ Lβ + Δb.senβ/ Lβ
a = Lβ. cosβ  Lβ = a/ cosβ b = Lβ. senβ  Lβ = b/ senβ
εβ = (Δa/a).cos2
β + (Δb/b).sen2
β = εI. cos2
β + εII. sen2
β
Como: cos2
β = (1 + cos2β)/2 e sen2
β = (1 – cos2β)/2 
εβ = εI. (1 + cos2β)/2 + εII. (1 – cos2β)/2 =
= εI/2 + εI. cos2β/2 + εII/2 - εII. cos2β/2 
εβ = (εI + εII)/2 + ((εI - εII)/2). cos2β
Compare com a equação I: σβ = ((σI + σII) / 2) + (((σI – σII) /2). cos 2β)
d. Rotação de uma fibra qualquer:
OA1 . δβ = A1A’1
(Lβ + ΔLβ). δβ = A’1D – A1D = A’1D – BC = Δb.cosβ – Δa.senβ
δβ = (Δb.cosβ – Δa.senβ)/( Lβ + ΔLβ) = Δb.cosβ/ Lβ - Δa.senβ/ Lβ =
= (Δb.cosβ)/(b/ senβ) - (Δa.senβ)/( a/ cosβ) =
= εII. senβ. cosβ - εI. senβ. cosβ = - εI. senβ. cosβ + εII. senβ. cosβ
Como sen2β = 2 senβ. cosβ  δβ = - εI. sen2β/2 + εII. sen2β/2
δβ = - ((εI – εII) /2). sen 2β  τβ = - ((σI – σII) /2). sen 2β
I
II
O
Δb
Δa
b
a
A B
β
δβ
C
C’
D
A1
A’1
β
β
0

12. 12
Conclusão: existe uma correlação entre as equações das tensões e
deformações. σ  ε e τ  δ
Estado plano de tensões (σ,τ) Estado plano de deformações(ε,δ)
σα = ((σx + σy) / 2) + (((σx - σy) /2).
cos 2α) + τx . sen 2α
εα = ((εx + εy) / 2) + (((εx - εy) /2). cos
2α) + δx . sen 2α
τα = - ((σx - σy) /2). sen 2α + τx . cos
2α
δα = - ((εx - εy) /2). sen 2α + δx . cos
2α
σI,II = (σx + σy)/2 ± (1/2) . √ (σx –
σy)2
+ 4(τx)2
εI,II = (εx + εy)/2 ± (1/2) . √ (εx –
εy)2
+ 4(δx)2
tg 2 αI,II = 2 τx / (σx – σy) tg 2 αI,II = 2 δx / (εx – εy)
τmáx, mín = ± (1/2) . √ (σx – σy)2
+
4(τx)2
δmáx, mín = ± (1/2) . √ (εx – εy)2
+
4(δx)2
τmáx, mín = ± (1/2) . (σI – σII) δmáx, mín = ± (1/2) . (εI – εII)
σx + σy = σI + σII = constante εx + εy = εI + εII = constante
Para converter de um estado para outro
εx = (1/E) (σx – (σy/m)) εI = (1/E) (σI – (σII/m))
εy = (1/E) (σy – (σx/m)) εII = (1/E)(σII – (σI/m))
δα = ((m + 1)/(Em)).τα com m = 1/μ
5. Estado Plano de deformações – método gráfico – círculo de Mohr
Análogo ao círculo das tensões: σ  ε e τ  δ

13. 13
6. Utilização do mesmo círculo para determinação de tensões e
deformações
a. Tensão  Deformação
K – módulo de desenho para tensão
Por exemplo: escala: 100 kgf/cm2
– 1cm  K = 0,01
K’ – módulo de desenho para deformação
Por exemplo: escala: 0,2 x 10-3
– 1 cm  K’ = 1 / (0,2 x 10-3
)
Ponto O: origem do círculo de tensões
Ponto O’: origem do círculo de deformações
O’ sempre entre O e C
K’ = (K.m.E)/(m + 1)
2 OC / (m + 1)
b. Deformação  Tensão
K = K’.(m + 1) / (m.E)
2 O’C / (m - 1)
X X X
O O’ C
X X X
O O’ C

14. 14
7. Resolução de exercícios pelo método gráfico:
a. Exercício 1 da apostila:
Escolha de uma escala adequada: 1 cm  50 kgf/cm2
σx – OE (8 cm) ; σy – OF (4 cm) ; τx – EM (6 cm)
σI = 616 kgf/cm2
(OB = 12,36 cm)
σII = -16 kgf/cm2
(OA = 0,32 cm)
τmax = 316 kgf/cm2
(CR = 6,32 cm)
σ’3 = σ’’3 = 300 kgf/cm2
(OC = 6 cm)
E
O
F σ
τ (-)
M
C
A
B
I
II
x
y
αI = 36º
α'3
α'3 = -9º
R

15. 15
b. Dados:
σx = 500 kgf/cm2
; σy = -200 kgf/cm2
; τx = 100 kgf/cm2
μ = 0,25  m = 4; E = 2 x 106
kgf/cm2
Determinar as deformações principais e δmax
Escala: 1 cm = 50 kgf/cm2
 k = 0,02  k’ = (0,02x4x2 x 106
)/(4+1)=32000
OO’ = (2/(4+1)) OC = (2/5) OC
εI = (O’B)/k’ = 0,275 x 10-3
εII = (O’A)/k’ = -0,175 x 10-3
δmax = (CR)/k’ = 0,225 x 10-3
rad
σ
τ (-)
OF E
M
CO’
δ (-)
BA
R

16. 16
c. Dados:
εx = 0,2 x 10-3
; εy = -0,4 x 10-3
; δx = 0,4 x 10-3
rad;
m = 4; E = 2 x 106
kgf/cm2
Determinar tensões principais e τmax
Escala: 1 cm = 0,05 x 10-3
 k’ = 20000  k = (20000x5)/(4x2 x 106
) =
0,01250
OO’ = (2/(4 – 1)) O’C = (2/3) O’C
δ (-)
εO’ EF CA B
R
II
I
M
x
αI
O
τ (-)

17. 17
σI = (OB)/k = 533,3 kgf/cm2
σII = (OA)/k = -1066,7 kgf/cm2
τmax = (CR)/k = 800 kgf/cm2

18. 18
Polo: Ponto da circunferência tal que, se traçarmos por ele uma paralela a
um plano, esta reta cortará a circunferência num ponto cujas coordenadas
são as tensões no plano.
O ponto P é obtido traçando paralelas a 2 planos ortogonais a partir dos
pontos correspondentes no círculo de Mohr.
FO σ
τ
E
C
N
M
σx – OF > 0
σy – OE > 0
τy – FN > 0
A B
x
I
αI
P
//=//
||
||
αI
I
Y
II
// ao plano x
// ao plano y
// ao plano I
// ao plano II
plano x
plano y
plano I
plano II
II

19. 19
Cap II: Flexão Simples Oblíqua
1. Flexão Simples Reta:
σ= (M.y)/ JLN
Sinais das tensões:
M+
 M-

OU
Simples: ocorrem Q e M na seção reta
Reta: ES coincide com um dos dois eixos centrais principais de inércia da
seção. A LN será o outro.
Na LN as tensões normais são NULAS
X = LNY = ES
Z
M
M C
T
C
T
M
-
-
+
+
ES
LN
- -
+ +
-
+
σC
σT
DTN
M CG
CG

20. 20
2. Flexão Simples Oblíqua:
Oblíqua:
ES não coincide com
nenhum dos dois eixos
centrais principais de
inércia
α – ângulo entre o ES e o eixo X
MX = M.senα
MY = M.cosα
Sinais das tensões:
Tensões normais: σ = (MX.y)/ JX + (MY.x)/ JY
Posição da LN: Como na LN a tensão normal é ZERO  σ = 0
(MX.y)/ JX + (MY.x)/ JY = 0  (M.senα.y)/ JX + (M.cosα.x)/ JY = 0
 y = - (JX / JY).cotgα.x equação da LN y = - tg β. x
Então: - (JX / JY).cotgα = - tg β  tgα . tgβ = JX / JY
Equação do ES: y = tg α. x
Z
MX
MX
Y X
MY
MY
Y
XMX
MY
CG
CG
M
ES
α
α
X X
Y Y
MX
MY
- -
+ + -
-
+
+
LN
-
+
σC
σT
DTN
β

21. 21
Cap III: Flexão Composta (Reta e Oblíqua)
1. Flexão Composta com tração:
Reta: ES coincide com um
dos dois eixos principais de
inércia da seção
Oblíqua: ES não coincide
com um dos dois eixos
principais de inércia da seção
Visão tri-dimensional da seção reta:
C.A. = Centro de Ataque
Z
MX
Y X
MY
CG
N
N
Y
X
CG
N
N
yC
xC C.A.
MX
MY
ES
α
LN
y0
x0
β

22. 22
Seção reta vista de frente:
tg α = yC/xC
Coordenadas do CA: xC e yC
Mx = N.yC
My = N.xC
Tensões num ponto qualquer da seção: σ = Mx.y/Jx + My.x/Jy + N/S
Na LN: σ = 0  Mx.y/Jx + My.x/Jy + N/S = 0
N.yC.y/Jx + N.xC.x/ Jy + N/S = 0 (dividindo por N/S)
yC.y.S/ Jx + xC.x.S/ Jy + 1 = 0
Como o raio de giração i2
= J/S  ix
2
= Jx/S e iy
2
= Jy/S
yC.y/ ix
2
+ xC.x/ iy
2
+ 1 = 0  equação da LN
Para x = 0  y = y0  yC.y0 = - ix
2
Qual o significado do sinal negativo?
Para y = 0  x = x0  xC.x0 = - iy
2
Y
X
X
N
xC
yC
X
CG
N
MX
MY
M
ES
α
β
LN
y0
x0

23. 23
tg β = y0/x0 = (- ix
2
/yC) / (- iy
2
/xC) = (Jx/(S.yC)) / (Jy/(S.xC)) = (Jx/Jy).(xC/yC)=
= (Jx/Jy)/tg α  tg α . tg β = Jx/Jy
2. Núcleo Central:
Região central de uma seção reta, na qual qualquer CA nela colocada
produzirá somente tensões de um sinal (tração ou compressão) na seção.
x
y
A
yCA
yCB
y0A
y0B
B
D CxCCxCD
x0C x0D
x
y
A
yCA
y0A
B
y0B
yCB
D CxCCxCD
x0C x0D
E
x0ExCE
F
xCFx0F
yCE=yCF
y0E=y0F

24. 24
3. Flexão Composta Sem Tração:
AR = Área Reagente
N = ∫ σ dS
N. yC’ = ∫ σ dS. r'
σ/r’ = σ/ e  σ = σ.r’/ e
N = ∫ (σ.r’/ e).dS  N = (σ / e) ∫ r’ dS  N = (σ / e).MLN’
N.yC’ = ∫ (σ.r’/ e).dS. r'  N.yC’ = (σ / e). ∫ r’2
dS  N.yC’ = (σ / e).JLN’
(σ / e).MLN’ . yC’ = (σ / e).JLN’  yC’ = JLN’ / MLN’
ES
X
CA
LN’
Área inerte
e
dS
yC'
r'
_
σ
σ
AR
N
AR
AR AR
AR AR

25. 25
Seção Retangular:
JLN’ = (b.e3
) / 3
yC' = 2e/3
MLN’ = (b.e). (e/2) = (b.e2
)/2
yC' + m = e  m = e/3 => e = 3m
N = (σ / e).MLN’  σ = (N.e) /(b.e2
/2)  σ = (2N)/(be)
x
y
LN’
h
b
_
σ
e
X
CA
yC'
m

26. 26
Cap IV: Flambagem
1. Introdução:
Peça real – flamba devido à carga atuante (excentricidade de carga, falta
de homogeneidade, instabilidade de forma, falta de retilinidade)
Peça ideal – rígida e retilínea, sem excentricidade de carga, constituída de
material homogêneo.
A flambagem se dá em torno do eixo de Jmínimo, se a carga for aplicada no
CG da seção reta.
Equação de Euler:
M1 = P.e
= =
Mtotal na seção S = - P.y – M1 = -P.y – P.e = -P (y + e)
Equação da elástica: E.J.y” = M  y” = M / (E.J)
d2
y/dx2
= -P(y + e) / (E.J) = -P.y / (E.J) - P.e / (E.J)
d2
y/dx2
+ P.y / (E.J) = - P.e / (E.J)
Sendo k2
= P / (E.J)  d2
y/dx2
+ k2
.y = - k2
.e
Solução da equação diferencial: y = C1.senkx + C2.coskx - e
==
P
P
e
P
M1
P
M1
y
x
S

27. 27
2. Peças com cargas centradas (e = 0)
Solução: y = C1.senkx + C2.coskx
Peça bi-rotulada
Condições iniciais:
x = 0  y = y0  dy/dx = 0 
dy/dx = k.C1. cos kx - k.C2. sen kx
0 = k.C1. cos 0 - k.C2. sen 0 = K.C1 – k.C2. 0
k.C1 = 0
Como k ≠ 0  C1 = 0
A solução fica: y = C2.coskx
Se x = 0  y = y0  y0 = C2. cos 0  C2 = y0
Solução: y = y0. cos kx
Se x = L/2  y = 0  0 = y0. cos (kL/2)
Como y0 ≠ 0  cos (kL/2) = 0  kL/2 = π/2  kL = π  k = π/L 
K2
= π2
/L2
Como k2
= P / (E.J)  P / (E.J) = π2
/L2
 Pfl = π2
.E.J / L2
Como o cálculo foi feito para a peça bi-rotulada, generalizando
teremos:
Pfl = π2
.E.J / Lfl
2
, onde Lfl = γ.L
comprimento de flambagem coeficiente de extremidade
==
L/2
L/2
y0
x
y
P

28. 28
Coeficientes de extremidade
γ = 1 γ = 0,5 γ = 0,7 γ = 2
bi-rotulada bi-engastada rotulada e engastada mono-engastada
Concluindo:
Pfl = π2
.E.J / Lfl
2
com Lfl = γ.L
σfl = Pfl/S (tensão de flambagem)
i2
= J/S (raio de giração em torno do Jmínimo)
λ = Lfl / i (coeficiente de esbeltez)
σfl = Pfl/S = π2
.E.J / S.Lfl
2
= π2
.E. i2
/ Lfl
2
= π2
.E/ λ2
 σfl = π2
.E/ λ2
Representando a equação num gráfico:
σE – limite de elasticidade
λE – esbeltez limite
==
P
L
==
P
==
== ==
P
P
0,5L
0,7L
σfl
λ
λE
σE
Região elástica
(equação de Euler)
Região não
elástica
(equações
empíricas)

29. 29
Verificou-se que a equação só chegava a valores que correspondiam aos
valores obtidos na prática a partir de um determinado λ (λE, que recebeu o
nome de esbeltez limite) (região elástica). O σ corresponte a este λE foi o
limite de elasticidade do material (σE). Como σfl = π2
.E/ λ2

σE = π2
.E/ λE
2
 λE = π √ E/σE
Então:
Se λ ≥ λE  Região elástica
Valem as equações de Euler:
Pfl = π2
.E.J / Lfl
2
ou σfl = π2
.E/ λ2
Se λ < λE  Região não elástica
Valem fórmulas empíricas para a obtenção de tensões
Alguns valores de λE :
Aço doce: λE = 100
Ferro fundido: λE = 80
Madeira: λE = 60 a 100
Concreto: λE = 85

30. 30
Algumas fórmulas empíricas:
a. Gordon-Rankine:
σfl
*
= σ0 / (1 + β.λ2
) onde:
σ0 = tensão limite de resistência à compressão
β = coeficiente do material, obtido em laboratório
β ϵ [0,8 a 1,5] x 10-4
(aço doce)
β ϵ [5,0 a 6,0] x 10-4
(ferro fundido)
β ϵ [1,0 a 1,5] x 10-4
(madeiras rijas)
Coeficiente de segurança usual: 2 a 3,5
b. Tetmayer:
σfl
*
= σ0 – a.λ + b.λ2
onde:
a, b = coeficientes do material
Coeficiente de segurança usual:
 Aço: 2 a 3
 Madeira e ferro fundido: 3 a 5
c. Johnson:
σfl
*
= σS – a.λ2
onde:
σS = tensão de escoamento do material na compressão

31. 31
3. Peças com cargas excêntricas (e > 0)
Equação diferencial: d2
y/dx2
+ k2
.y = - k2
.e
Solução: y = C1.senkx + C2.coskx - e
Para x = 0  y = 0
0 = C1.sen 0 + C2.cos 0 – e  C2 = e
Solução:
y = C1.senkx + e.coskx - e
Para x = L  y = 0:
0 = C1.senkL + e.coskL - e
C1.senkL = e (1 – coskL)  C1 = e (1 – coskL) / senkL
Como senkL = 2.sen (kl/2). cos (kl/2)
e 
1 – cos kl = 2 sen2
(kl/2)
C1 = e.( 2 sen2
(kl/2)) / (2.sen (kl/2). cos (kl/2))  C1 = e. tg (kl/2)
y = e. tg (kl/2).senkx + e.coskx – e 
y = e [tg (kl/2).senkx + coskx – 1]
O valor da deflexão máxima (ymáx) é calculado para x = L/2:
ymax = e [tg (kl/2).sen(kL/2) + cos(kL/2) – 1] =
= e [(sen (kl/2)/cos(kl/2).sen(kL/2) + cos(kL/2) – 1] =
= e [((sen2
(kl/2)+cos2
(kl/2))/cos(kL/2)) – 1] =
= e [(1/cos(kL/2)) – 1] = e [ sec (kL/2) – 1]
ymax = e [ sec (kL/2) – 1]
==
L/2
L/2
ymax
x
y
P
P.e

32. 32
Como k2
= P / (EJ)  k = √ P/(EJ)
ymax = e [ sec (√ P/(EJ) . L/2) - 1)]
ymax = e [ sec (√ Pfl/(EJ) . Lfl/2) - 1)]
em radianos
A tensão máxima σmax ocorrerá na seção da coluna onde o
momento fletor é máximo (onde y = ymax)
Mmax = P.ymax + P.e = P (ymax + e)
σmax = Mmax . c / J + P/S = (compressão)
= (P (ymax + e)) . c / J + P/S =
= (P (ymax + e)) . c.S / (J.S) + P/S =
= (P (ymax + e)) . c / (i2
.S) + P/S =
= P/S [1 + ((ymax + e).c / i2
)]
σmax = P/S [ 1 + ]
==
L/2
L/2
ymax
P
P.e
Seção reta
e
c
X
Mmax
e. sec (√ Pfl/(EJ) . Lfl/2).c
i2

33. 33
Pfl / S = (fórmula da secante)
Para valores muito pequenos de λ (λ = Lfl / i)  para valores muito
pequenos de Lfl  sec 0 ≈ 1 
Pfl / S =
1 + e.c.sec (√ Pfl/(EJ) . Lfl/2)/i2
σmax
σmax
1 + e.c/i2

34. 34
Cap V: Fadiga
1. Introdução:
Recordemos o diagrama σ x ε, visto na Mecânica dos Sólidos I.
a. Diagrama característico de material dúctil, com região de
escoamento (aço estrutural)
Em 4: limite de escoamento.
b. Diagrama característico de material dúctil, sem região de
escoamento (alumínio)
Em 4: limite de escoamento
σ
ε
X
X
X
X
X
X
1
0
2
3
4
5
Retas paralelas
Tensão atingida
εP εE
σ
0
Retas paralelas
1X
X
4
0,2% convencional

35. 35
c. Diagrama característico de material frágil (ferro fundido,
vidro, pedra)
Observaçao:
 Material dúctil: apresenta grandes deformações antes do
rompimento (aço ou alumínio)
 Material frágil: deforma-se relativamente pouco antes do
rompimento (ferro fundido e concreto)
2. Fadiga:
Na Mecânica dos Sólidos I vimos que, se a tensao aplicada não
ultrapassar o limite de elasticidade do material, este volta às
condições iniciais quando o carregamento é retirado.
Somos levados a concluir que um carregamento pode ser repetido
inúmeras vezes, desde que as tensões permaneçam dentro do
regime elástico.
Tal conclusão é correta para um número de repetições da ordem
de dezenas ou centenas, mas para um número da ordem de
milhares ou milhões, deixa de ser válida. Neste caso, a ruptura
ocorre num valor de tensão abaixo da tensão de ruptura obtida
com o carregamento estático. Tal fenômeno é a fadiga.
A falha por fadiga começa com pequena fissura, tão pequena que
pode ser imperceptível a olho nu. A fissura ocorre num ponto de
descontinuidade do material (mudança de seção reta, rasgo de
chaveta ou um furo).
ε
σ
0

36. 36
Iniciada a fissura, o efeito de concentração de tensões torna-se
maior e a fissura progride mais depressa. A zona da fratura
assemelha-se muito à fratura de um material frágil (como o ferro
fundido), que tenha falhado à tração, mesmao para um material
dúctil.
As tensões que originaram a fadiga podem ser de tração,
compressão, cisalhamento, fleão, torção, ou combinações destas
tensões.
Limite de fadiga:
É obtido colocando-se um corpo de prova individualmente
submetido a uma tensão específica cíclica até sua falha.
Repetindo-se o processo para n tensões diferentes, podemos traçar
o gráfico denominado de diagrama σ-N (diagrama tensão – número
de ciclos).
Veja o exemplo obtido para 2 materiais dúcteis (aço e alumínio):
Ksi – kilolibra por polegada ao quadrado
N (106
)
σ (ksi)
0
10 -
20 -
30 -
40 -
50 -
0,1 1
|
10
|
100
|
500
|
1.000
|
aço
alumínio

37. 37
Cap VI: Plasticidade
1. Flexão no regime plástico:
A equação para determinação das tensões normais devidas à flexão é
válida se o comportamento do material for elástico linear (σ = (My)/JLN).
Se o momento fletor aplicado causar o escoamento do material, uma
análise plástica deverá ser feita para a determinação da distribuição das
tensões.
Tanto no comportamento elástico quanto no plástico, devemos lembrar
que, para a flexão de elementos retilíneos, 3 condições devem ser
satisfeitas (vide Mecânica dos Sólidos I).
 Distribuição linear das deformações específicas normais: varia
sempre linearmente de zero na L.N. da seção transversal até o valor
máximo na fibra mais afastada desta L.N.
 Força resultante nula: a força resultante causada pela distribuição
das tensões normais deve ser nula.
σ ds = 0 (equação 1)
Com esta operação podemos determinar a localização da L.N.
 Momento fletor resultante:
M = σ ds. y (equação 2)
Façamos o estudo para uma seção retangular:
⌠
⌡S
⌡S
⌠
h
b
M

38. 38
Momento fletor elástico máximo:
Suponhamos que o momento fletor aplicado na seção (MY) coloque o
material na iminência de apresentar as deformações específicas plásticas
nas superfícies superior e inferior da viga.
Assim, os pontos mais afastados da L.N. estarão com as tensões com os
valores da tensão de escoamento (σY)  σY = [MY. (h/2)] / [(bh3
)/12]
σY = (6MY)/(bh2
)  MY = (σY.bh2
)/6 (equação 3)
MY  momento fletor na seção reta que gera tensões normais, nos
pontos mais afastados da L.N., iguais às tensões de escoamento
Visão plana do DTN
Momento plástico:
Seja o momento fletor na seção igual a M > MY. O material nas superfícies
superior e inferior começará a escoar, de fora para dentro da seção.
Visão tri-dimensional do DTN
-
+
σY
σY
-
+
yY
yY
h/2
h/2
σY
σY
b
C2
C1
T1
T2

39. 39
C1  força de compressão resultado das tensões ocorrentes no trecho de
regime elástico comprimido
C2  força de compressão resultado das tensões ocorrentes no trecho de
regime plástico comprimido
T1  força de tração resultado das tensões ocorrentes no trecho de
regime elástico tracionado
T2  força de tração resultado das tensões ocorrentes no trecho de
regime plástico tracionado
Da equação 1:
C1 = T1  volume da região do diagrama no trecho de regime elástico
comprimido/tracionado
C2 = T2  volume da região do diagrama no trecho de regime plástico
comprimido/tracionado
C1 = T1 = (σY.yY.b) / 2
C2 = T2 = σY.(h/2 - yY). b
Da equação 2:
M = T1 . (2/3 . yY) + C1 . (2/3 . yY) + T2 . [yY + ½.(h/2 – yY)]
+ C2 . [yY + ½.(h/2 – yY)]
M = 2.( ½. σY.yY.b)( 2/3 . yY) + 2.[ σY.(h/2 - yY). b][ ½.(h/2 + yY)]
M = ¼ . bh2
. σY . [ 1 – 4/3 . (yY
2
/h2
)]
M = 3/2 . MY . [ 1 – 4/3 . (yY
2
/h2
)]
Nesta situação geral, temos 2 regiões de escoamento plástico e um núcleo
elástico.

40. 40
Para termos a plastificação total, yY = 0  MP = 3/2. MY 
MP = ¼ bh2
.σY  momento fletor plástico
Visão plana do DTN
-
+
h/2
h/2
σY
σY