Introdução Ao Cálculo

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Introdução ao Cálculo, simples e objetivo.

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Introdução Ao Cálculo

  1. 1. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO “Aprender Cálculo pode ser sua experiência educacional mais empolgante e estimulante pois é a base para quase toda a Matemática e para muitas das grandes realizações no mundo moderno”. (Louis Leithold) RETAS E COORDENADAS O plano cartesiano A criação da Geometria Analítica é atribuída a René Descartes (1596-1650) que usou a técnica do plano numérico (R2) por volta de 1637. Os eixos x e y Trata-se da disposição de dois eixos imaginários, dispostos um na vertical (eixo y) e outro na horizontal (eixo x), sendo chamado de origem o ponto de interseção entre eles. Pares ordenados Os eixos x e y foram numerados, a partir da origem, até o infinito. Assim, passou a existir uma infinidade de combinações entre esses valores, representados por (x, y) = (a, b), onde x = a e y = b. Por exemplo, se (3, 7) é um par ordenado, então x = 3 e y = 7. Porém, (3, 7) é diferente de (7, 3) Abscissa e Ordenada Em um par ordenado, o valor atribuído a x é chamado de abscissa e o valor atribuído a y é chamado de ordenada. Coordenadas de um ponto Na Geometria Analítica, cada par ordenado é associado a um ponto imaginário no plano cartesiano. É representado por uma letra maiúscula seguida do par ordenado. Exemplo: P(5, -3) é um ponto associado ao par ordenado (x, y) = (5, -3). Um ponto P(x, y) é representado no plano cartesiano conforme o exemplo: Quadrantes: P(4, 2) M(-2, 2) O plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes: 0, 0 P está no quadrante I M está no quadrante II L(-5, -1) L está no quadrante III H está no quadrante IV H(2, -3) Distância entre dois pontos Já que supomos a existência de um ponto imaginário no plano cartesiano, é natural que existam outros, pois a possibilidade de pares ordenados é infinita. Entre dois pontos, a primeira pergunta a se fazer é “qual a distância entre eles?”. A Geometria Analítica responde a esta questão usando uma fórmula simples baseada no Teorema de Pitágoras aplicado em
  2. 2. triângulos retângulos (a2 = b2 + c2), em que a representa a hipotenusa, a e b representam os catetos. Observe os pontos P e H do exemplo a seguir. Suas coordenadas estão indicadas no gráfico: P(4, 5) 5 P 2 H(2, 2) H 2 4 É fácil perceber que a distância entre as abscissas de P e de H é de 2 unidades, ou seja, xP – xH = 4 – 2 = 2. Da mesma forma, a distância entre as ordenadas de P e H é de 3 unidades, ou seja, yP - yH = 5 – 2 = 3. Observe agora que pode-se desenhar um triângulo retângulo onde o segmento PH forma a hipotenusa: Note que conhecemos os catetos do triângulo: a = 2 e b = 3. Para 5 P encontrar a hipotenusa, usamos o teorema de Pitágoras. 5–2=3 a2 = b2 + c2 a2 = 32 + 22 2 a2 = 9 + 4 H 4–2=2 a2 = 13 a2 = b2 + c2 2 4 a = 13 Conclusão: a distância entre os pontos P e H é de 13 unidades. Ponto médio Outra operação importante entre pontos no plano é o ponto médios entre eles. Se os pontos P e H tem coordenadas (xP, yP) e (xH, yH) e M é seu ponto médio, então M tem  x + xH y P + y H  coordenadas  P ,  .  2 2  Exemplo: considerando os pontos P e H do exemplo anterior, determine o ponto médio M deles. 4+ 2 5+ 2 6 7  7 Solução: P(4, 5) e H(2, 2) => M  ,  = M  ,  = M  3,   2 2  2 2  2
  3. 3. Definição de reta Reta é o conjunto de todos os pontos alinhados, segundo uma direção. A existência de dois pontos no plano cartesiano é suficiente para definir a direção que irá caracterizar esta reta. Porém, tal direção é estabelecida pela inclinação da reta no plano, em relação ao eixo das abscissas. Inclinação da reta É possível calcular a inclinação da reta a partir das coordenadas dos pontos existentes. O valor encontrado é chamado de coeficiente angular, comumente representado pela letra m e é obtido pelo princípio da tangente. Considere a existência dos pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2), representados nas figuras abaixo. Projetando y1 até o alinhamento de x2, pode-se visualizar um triângulo retângulo de vértices P1, P2 e C: y2 P2 y2 P2 y1 y1 θ P1 P1 C x1 x2 x1 x2 P2 C A tangente deste triângulo será tgθ = . Em outras palavras, o coeficiente angular P1C m é a razão entre a variação de y ( y) e a variação de x ( x), onde y=y2 – y1 e x=x2 – x1 . ∆y y 2 − y1 Ou seja m = = . ∆x x 2 − x1 Exemplo 1: considerando os pontos A(3, 5) e B(-5, 7), determine a inclinação da reta definida por eles. ∆y y A − y B 5−7 −2 −2 1 Solução: m = = => m = = => m = =− ∆x x A − x B 3 − (−5) 3 + 5 8 4 3 Exemplo 2: considerando os pontos A(-4, 2) e coeficiente angular m = , 2 determine o ponto de abscissa igual a 10. 3 2 − yB Solução: m = = 2 − 4 − 10 2 − yB 3 = => 2 × (2 − y B ) = 3 × (−14) => − 14 2 4 − 2 y B = −42 − 46 − 2 y B = −42 − 4 => − 2 y B = −46 => yB = y B = 23 −2 Portanto, o ponto procurado tem coordenadas (10, 23).
  4. 4. Equação da reta Em Geometria Analítica, os “lugares geométricos” são expressos matematicamente na forma de equação. A maneira como se apresenta esta equação pode variar conforme a conveniência, para facilitar o desenvolvimento algébrico. A forma mais comum é a reduzida: y = mx + b. Onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Como já foi dito, o coeficiente angular representa a inclinação (ou declividade) de uma reta. Por sua vez, o coeficiente linear mostra o ponto onde a reta intercepta o eixo das ordenadas. A partir de dois pontos se pode determinar a equação de uma reta, identificando cada um de seus elementos. Exemplo: Dados os pontos A(-3, 7) e B(2, -8), determine a equação da reta definida por eles. Solução: Sabe-se que a forma reduzida é y = mx + b. Primeiramente calcula-se o valor de m. ∆y y A − y B 7 − (−8) 7 + 8 15 m= = => m = = => m = = −3 ∆x x A − x B −3−2 −5 −5 Substitui-se m = -5 na forma reduzida: y = -3x + b. Substituem-se as coordenadas de qualquer um dos pontos dados, por exemplo, A(- 3, 7) na forma reduzida: 7 = -3(-3) + b. Logo, desenvolvendo a última expressão, b = -2. Então se pode escrever a equação y = -3x -2 como a reta que contém os pontos A(- 3, 7) e B(2, -8). Observação: Uma forma prática de verificar se a equação está correta é substituir o outro ponto – no caso B(2, -8); na equação: y = -3x -2 => -8 = -3(2) -2 => -8 = -6 -2 => -8 = -8 (Verdadeiro). Forma geral da reta Outra forma de se apresentar uma equação de reta é a forma geral: Ax + By + C = 0; A C onde − é o coeficiente angular (m) e − é o coeficiente linear (b), ambos já mostrados. B B A C − Ax − C Na verdade, o que mudou foi a apresentação: y = mx + b => y = − x − => y = B B B => By = − Ax − C => Ax + By + C = 0 . No estudo inicial de cálculo, a forma geral da reta não representa relevância. Interceptos Chamam-se interceptos os valores pelos quais uma reta intercepta os eixos das abscissas ou das ordenas. O intercepto das ordenadas é o próprio coeficiente linear (b). O −b intercepto das abscissas é dado por . m Retas paralelas
  5. 5. Duas retas em um plano são paralelas quando possuem a mesma inclinação, ou seja, mesmos coeficientes angulares, mesma declividade. Outra maneira de verificar se duas retas são paralelas, conhecendo suas equações, atribui-se duas abscissas (ou duas ordenadas) às duas retas, gerando quatro pontos. Os pontos de mesma abscissa (ou mesma ordenada) distanciam-se em mesmo valor que os outros dois pontos. Caso a distância seja nula, trata-se de retas coincidentes. Retas perpendiculares Duas retas são perpendiculares se o coeficiente angular de uma é o inverso do oposto −1 do coeficiente angular da outra. Ou seja: m1 = ou m1 m 2 = −1 . m2 Exemplo: Sejam as retas l1: 2x – 3y = 12 e l2: 3x + 2y = 4. Verifique se elas são perpendiculares. A 2 2 Solução: Coeficiente angular de l1 m1 = − 1 = − = B1 −3 3 3 − A 3 Coeficiente angular de l2 m2 = − 2 = − 2 = − B2 1 2 2 −3 Note que m1 m 2 = × = −1 , portanto l1 e l2 são perpendiculares. 3 2 Pontos de interseção Duas retas concorrentes, perpendiculares ou não, possuem um único ponto de interseção. Para determinar esse ponto a partir das equações das retas, basta isolar simultaneamente uma variável comum. Exemplo: Sejam as retas l1: x + 2y = 10 e l2: –2x + y = –10. Determine o ponto de interseção. Solução: l1: x + 2y = 10 l2: –2x + y = –10 x = 10 – 2y –2x = –10 –y − 10 − y x= −2 Fazendo l1 = l2, vem: − 10 − y 10 − 2 y = ⇒ −2 − 2(10 − 2 y ) = −10 − y ⇒ − 20 + 4 y = −10 − y ⇒ 4 y + y = −10 + 20 ⇒ 5 y = 10 ⇒ y = 2 Como y = 2: x = 10 – 2y x = 10 – 2.2 x = 10 – 4 x=6 Portanto, as retas l1 e l2 se interceptam em (6, 2).

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