O documento apresenta a Fórmula Luderiana Racional para resolver equações cúbicas sem necessidade de radiciação ou resolver equações de grau inferior. A fórmula fornece aproximações excelentes das raízes e o número de casas decimais de precisão aumenta exponencialmente a cada aplicação. Exemplos demonstram o cálculo das raízes reais e complexas de uma equação cúbica usando a fórmula.

1. Fórmula Luderiana Racional para Equação Cúbica
Dentre os maiores feitos da algebra estão a fórmula de Ludovico Ferrari para equações do 4o grau - que
depende da resolução de uma equação de 3o grau e a fórmula de Niccolò “Tartaglia” Fontana para equação do
3o grau - que, além de depender da extração da raiz cúbica, depende da fórmula de Bhaskara e esta depende
da extração da raiz quadrada. Todas estas fórmulas apresentam soluções exatas.
As Fórmulas Luderianas Racionais não dependem de radiciação, nem dependem que primeiramente seja(m)
resolvida(s) equação (ões) de grau inferior, não necessitam da eliminação do 2o termo da equação e, mais
importante, apresentam soluções com uma excelente aproximação.
A fórmula abaixo, é especifica às equações do 3o grau. Entretanto, fórmulas análogas podem ser aplicadas a
qualquer grau de equação polinomial (2o, 4o, 5o etc), abrindo uma nova perspectiva na solução de equações
polinomiais.
As raízes (r1, r2, r3) da equação do 3o grau, x3
+ A.x2
+ B.x + C = 0, podem ser calculadas pela
seguinte Fórmula Luderiana Racional:
r ≈(
x3
− 2x3
y − 2x3
z + x3
z2
+ 2x2
yz − 2x2
yz2
+ x2
y2
− 3x2
y2
z − xy3
+ xy3
z + xy4
x3 − 2x3 z − 2x2 y + 4x2yz − 3x2yz2 + 3x2y2 + x2z2 − x2z3 − 3xy2z + 3xy2z2 − xy3 + 4xy3z + y4 − y4z − y5
) + k
Onde,
k é o inteiro mais próximo da raiz - embora tenha sido criada uma técnica para estimarmos o valor de “k”
a partir dos coeficientes da equação, por ora é conveniente dizermos que seu valor pode ser obtido a partir
da tabulação dos valores do polinômio de 3o grau;
x = −k3
− A.k2
− B.k − C
y = −3.k2
− 2.A.k − B
z = −3.k − A
Exemplo:
Achar a raiz real da equação cúbica x3
+ 3x2
− x + 2 = 0
1o Passo:
A = 3, B = −1, C = 2 e k = −3, porque existe uma raiz no intervalo ] − 4, −3 [
x = −k3
− A.k2
− B.k − C
x = −(−3)3
− 3.(−3)2
− (−1).(−3) − 2
x = 27 − 3.9 − 3 − 2
x = −5
y = −3.k2
− 2.A.k − B
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2. y = −3.(−3)2
− 2.3.(−3) − (−1)
y = −3.9 − 6.(−3) + 1
y = −27 + 18 + 1
y = −8
z = −3.k − A
z = −3.(−3) − 3
z = 9 − 3
z = 6
Agora, vamos aplicar os valores de x, y, z e k na fórmula luderiana, abaixo.
r ≈(
x3
− 2x3
y − 2x3
z + x3
z2
+ 2x2
yz − 2x2
yz2
+ x2
y2
− 3x2
y2
z − xy3
+ xy3
z + xy4
x3 − 2x3 z − 2x2 y + 4x2yz − 3x2yz2 + 3x2y2 + x2z2 − x2z3 − 3xy2z + 3xy2z2 − xy3 + 4xy3z + y4 − y4z − y5
) + k
r ≈ (
−28005
61243
) + (-3)
r ≈ -0.457276749995918 - 3
r ≈ -3.457276749995918
2o Passo:
k = -3.457 (é o valor de r considerando 3 digitos decimais);
Resolvendo as expressões ...
x = −k3
− A.k2
− B.k − C
y = −3.k2
− 2.A.k − B
z = −3.k − A
... tem-se:
x = 0.004537993
y = −14.110547
z = 7.371
Aplicando os valores de x, y, z e k na fórmula luderiana, abaixo.
r ≈(
x3
− 2x3
y − 2x3
z + x3
z2
+ 2x2
yz − 2x2
yz2
+ x2
y2
− 3x2
y2
z − xy3
+ xy3
z + xy4
x3 − 2x3 z − 2x2 y + 4x2yz − 3x2yz2 + 3x2y2 + x2z2 − x2z3 − 3xy2z + 3xy2z2 − xy3 + 4xy3z + y4 − y4z − y5
) + k
r ≈ (
98.616587131278
306589.319229523
) + (-3.457)
r ≈ 0.000321656955888442 - 3.457
r ≈ -3.45667834304411
x3 ≈ -3.45667834304411
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3. A sequencia, abaixo, dá uma idéia do poder da fórmula luderiana racional. Os números desta sequência
referem-se a quantidade de casas decimais exatas calculada pela fórmula luderiana. A saber:
(3, 15, 75, 375, 1.875, 9.375, 46.875, 234.375, 1.171.875, ...)
Ou seja,
1a aplicação da fórmula retorna cerca de 3 decimais exatas;
2a aplicação da fórmula retorna cerca de 15 decimais exatas;
...
5a aplicação da fórmula retorna cerca de 1.875 decimais exatas;
...
9a aplicação da fórmula retorna mais de 1 milhão de decimais exatas;
etc.
Continuando, achar as raízes complexas da equação cúbica x3
+ 3x2
− x + 2 = 0
1o Passo:
A = 3, B = −1, C = 2 e k = 1i
x = −k3
− A.k2
− B.k − C
x = −(1i)3
− 3.(1i)2
− (−1).(1i) − 2
x = 1 + 2i
y = −3.k2
− 2.A.k − B
y = −3.(1i)2
− 2.3.(1i) − (−1)
y = 4 − 6i
z = −3.k − A
z = −3.(1i) − 3
z = −3 − 3i
Agora, vamos aplicar os valores de x, y, z e k na fórmula luderiana, abaixo.
r ≈(
x3
− 2x3
y − 2x3
z + x3
z2
+ 2x2
yz − 2x2
yz2
+ x2
y2
− 3x2
y2
z − xy3
+ xy3
z + xy4
x3 − 2x3 z − 2x2 y + 4x2yz − 3x2yz2 + 3x2y2 + x2z2 − x2z3 − 3xy2z + 3xy2z2 − xy3 + 4xy3z + y4 − y4z − y5
) + k
r ≈ (
−3889 + 3822i
−15195 − 1536i
) + 1i
r ≈ 0.228181669019041-0.274596054202912i +1i
r ≈ 0.228181669019041+0.725403945797088i
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4. 2o Passo:
k = 0.228+0.725i (é o valor de r considerando 3 digitos decimais);
Resolvendo as expressões ...
x = −k3
− A.k2
− B.k − C
y = −3.k2
− 2.A.k − B
z = −3.k − A
... tem-se:
x = −0.003401852 + 0.001212925i
y = 1.052923 − 5.3418i
z = −3.684 − 2.175i
Aplicando os valores de x, y, z e k na fórmula luderiana, abaixo.
r ≈(
x3
− 2x3
y − 2x3
z + x3
z2
+ 2x2
yz − 2x2
yz2
+ x2
y2
− 3x2
y2
z − xy3
+ xy3
z + xy4
x3 − 2x3 z − 2x2 y + 4x2yz − 3x2yz2 + 3x2y2 + x2z2 − x2z3 − 3xy2z + 3xy2z2 − xy3 + 4xy3z + y4 − y4z − y5
) + k
r ≈ (
−4.7670864623425 + 1.00969827836059i
−2369.69752423335 + 6957.15289750011i
) + (0.228+0.725i)
r ≈ (0.000339171522055562+0.000569680241993979i) + (0.228+0.725i)
r ≈ 0.228339171522056+0.725569680241994i
x2 ≈ 0.228339171522056+0.725569680241994i
Se x2 é um complexo então seu conjugado, abaixo, é a outra raiz.
x1 ≈ 0.228339171522056-0.725569680241994i
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5. Exercícios:
1) Achar as raízes da equação x3
+ 3x2
− 8x − 2 = 0 (Equação Cúbica Real - Raízes Irracionais)
x1
≈ -4.6334252644897
x2 ≈ -0.231459889588252
x3 ≈ 1.86488515407795
2) Achar as raízes de x3
+ 3x2
− 4x + 1 = 0 (Equação Cúbica Real - Raízes Irracionais ).
Esta equação evidenciará ainda mais o poder da fórmula luderiana. Veja que a fórmula permite calcular
normalmente as duas raizes reais contidas no intervalo ]0, 1[ Este fato passaria desapercebido pelos métodos
numéricos porque os valores do polinômio em f(0) e f(1) possuem o mesmo sinal.
A Fórmula Luderiana Racional para Equação Cúbica, apresentada neste documento, é de
autoria de
Ludenir Santos de Rio Grande, RS.
ludenir.santos@gmail.com
Professor Walter Tadeu Nogueira da Silveira, obrigado por permitir a publicação deste documento no seu site, na internet.
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