Implementação mód4 -

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Implementação mód4 -

  1. 1. MÓDULO 4<br />MATRIZES DETERMINANTES NÚMEROS COMPLEXOS<br />PCOPs responsáveis: INÊS - AIRTON<br />
  2. 2. "Não é possível refazer este país, democratizá-lo, humanizá-lo,torná-lo sério, com adolescentes brincando de matar gente, ofendendo a vida, destruindo o sonho, inviabilizando o amor. Sea educação sozinha não transformar a sociedade, sem elatampouco a sociedade muda." Paulo Freire<br />
  3. 3. ....DownloadsAcreditar na Vida.pps<br />
  4. 4. Matrizes<br />Qual o seu significado imediato?<br /> Uma tabela de dupla entrada contendo dados numéricos( na grande maioria das vezes)<br />Matrizes são freqüentemente utilizadas para organizar dados.<br />
  5. 5. Ex: As notas finais dos alunos de uma série, podem formar uma matriz cujas colunas correspondem às matérias lecionadas naquela série e cujas linhas representam os alunos. <br />Na interseção de uma linha com uma coluna figura a nota daquele aluno naquela matéria.<br />
  6. 6. MATRIZES DIFERENTES SIGNIFICADOS<br />
  7. 7. Operações entre duas matrizes<br />O polígono EFGH é uma translação do polígono ABCD em quantas unidades na horizontal e na vertical?<br />
  8. 8. Represente em uma matriz A(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna .<br />
  9. 9. Represente em uma matriz B(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna .<br />
  10. 10. Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma que A + C = B<br />
  11. 11. Matriz de compensação<br />
  12. 12. a)Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual a porcentagem de audiência prevista para cada programa? <br />b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual rede terá maior audiência? Quantos por cento a mais? <br />c) Qual das combinações de dois programas, um de A e outro de B, permite a maior diferença entre as audiências das duas redes no horário? E qual combinação permite a menor diferença entre as audiências? <br />
  13. 13. MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES <br />
  14. 14. Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação matemática entre os índices que definem sua posição na matriz. <br /> Obter a matriz A assim definida:<br /> A= (aij)3x3, tal que aij = i + 2j<br />
  15. 15. Se o elemento cij= 0, não devemos unir i com j<br />Se o elemento cij= 1, devemos unir i com j<br />
  16. 16.
  17. 17. Em uma prova com 20 questões, cada questão respondida corretamente ganha-se 2 pontos, cada questão não respondida perde-se 1 ponto, e cada questão respondida erradamente perde-se 2 ponto,<br />Camila acertou 12, errou 6 e as outras deixou em branco.<br />Pedro acertou 13, errou 7 e as outras em branco.<br />
  18. 18.
  19. 19. Calcule quantos pontos cada um fez e coloque o resultado em uma matriz E2x1.<br />
  20. 20. Uma empresa, que possui duas confeitarias, chamadas A e B fabrica 3 tipos de bolos: 1, 2 e 3, os quais são feitos de farinha, açúcar, leite e manteiga e ovos. Em cada semana, as vendas dessas duas confeitarias são estimadas conforme a matriz de venda semanal abaixo:<br />
  21. 21. Para a fabricação desses bolos, o material é usado de acordo com a matriz n seguinte:<br />
  22. 22. A direção da empresa, a fim de atender à demanda, quer saber a quantidade de cada uma das cinco matérias primas que deve alocar às suas duas confeitarias. A resposta deve ser uma matriz P, do tipo 2x5, onde as linhas representam as duas confeitarias e as colunas correspondem aos cinco materiais usados.<br />
  23. 23. Matriz Transposta: Dada uma matriz A=(aij)mxn, chama-se transposta de A a matriz At=(aij)nxm tal que a’ji=aij, para todo i e todo j.<br />Matriz Simétrica: Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que At = A<br />
  24. 24. Matrizes Inversíveis:<br /> Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que AB= BA= In. Se A não é inversível, temos que A é uma matriz singular<br />
  25. 25. Qual é a inversa da matriz A = ?<br />Qual é a inversa da matriz A = ?<br />
  26. 26. DETERMINANTES<br />A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações.<br />
  27. 27. Determinante de uma matriz ordem 1<br />O determinante da matriz de ordem , é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real <br />
  28. 28. O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.<br />Determinante de matriz de ordem 2 <br />
  29. 29. Determinante de matriz de terceira ordem<br />O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.<br />Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:<br />
  30. 30. Calcular o determinante<br />3125<br />
  31. 31. Menor Complementar:<br />Consideremos uma matriz M de ordem n≥2;<br />Seja aij um elemento de M. Definimos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Dij, como sendo o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.<br />
  32. 32. Seja M= calculemos D11 e D32<br />, então D11=<br /> , então D32=<br />
  33. 33. Complemento algébrico do elemento aij - Cofator <br />Consideremos uma matriz de ordem n≥2; seja aij um elemento de M. Definimos cofator de aij, e indicamos por Aij, como sendo o número (-1)i+j. Dij<br />
  34. 34. Seja M = calculemos A11, A12, A13<br />A11= (-1) 1+1 =<br />A12= (-1)1+2 =<br />A13= (-1)1+3 =<br />
  35. 35. Teorema Fundamental (de Laplace)<br />O determinante de uma matriz M, de ordem n≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.<br />
  36. 36. Calcule o determinante da matriz abaixo<br /> 3 4 2 1 <br /> 5 0 -1 -2<br /> 0 0 4 0 <br /> -1 0 3 3<br />
  37. 37. Trabalho<br />Propriedades dos determinantes<br />
  38. 38. Matriz de Vandermonde (ou das potências)<br />São as matrizes de ordem n ≥2, <br />.<br />.<br />.<br />.<br />.<br />.<br />.<br />.<br />.<br />.<br />.<br />.<br />
  39. 39. As colunas das matrizes são formadas por potências de mesma base, com expoente inteiro, variando desde 0 até n -1 ( os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1.<br />
  40. 40. O determinante V(a1,a2,a3,...,an) é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos, com a condição de que, nas diferenças, o minuendo tenha índice maior que o subtraendo.<br />
  41. 41. =<br />(5-(-3)) . (5 -1) . ( 5 – 2) . ( -3 -1) . (-3 -2) . (1 – 2)=<br />8.4.3.(-4).(-5).(-1) = -1920<br />
  42. 42. Calcule os determinantes abaixo:<br />
  43. 43. Resolva a equação:<br />1 1 1 1<br /> 1 2 x -5<br /> 1 4 x2 25<br /> 1 8 x3 -125<br />= 0<br />
  44. 44. Processo de Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada M<br />Teorema: Se M é uma matriz quadrada de ordem n e determinante M ≠0, então a inversa de M é: <br /> M’ = matriz dos cofatores<br />=<br />
  45. 45. Qual a condição sobre a para que a matriz<br />M=<br />Seja inversível?<br />
  46. 46. Sistemas Lineares<br />
  47. 47. Vamos resolver:<br /> 2x - 3y = 11<br /> x + 2y = 2<br />Para um sistema linear qualquer, podemos associar uma matriz denominada completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos independentes.<br />
  48. 48. Dizemos que o sistema linear está escalonado quando realizarmos combinações lineares entre as linhas da matriz completa de modo a zerar todos os elementos aij da matriz em que i > j.<br /> 2 -3 11<br />1 2 2 <br />Essa é a matriz completa<br />
  49. 49. 2 -3 11 L1<br /> 1 2 2 L2<br /> 2 -3 11<br />L1-2L2 0 -7 7<br />Aqui está a combinação linear entre as linhas 1 e 2 da matriz,m gerando uma nova linha 2<br />
  50. 50. A matriz do sistema foi escalonada,.<br />Na nova equação da linha2 da matriz temos:<br />0x – 7y = 7 ou y = - 1 <br />Substituindo esse valor em uma das equações iniciais, obtém-se x = 4<br />
  51. 51. Vamos escalonar?<br /> x + y + z = 3<br /> 2x – y – 2z = 2<br /> x + 2z = 4<br />S= {(2, 0, 1)}<br />
  52. 52. No método de Cramer, o aluno segue uma rotina determinada- montagem e cálculo dos determinantes, e divisão entre eles.<br />No método do escalonamento o aluno vê envolvido em avaliar possibilidades e escolher estratégias, adotando, dessa forma, uma postura que remete à mobilização de habilidades mais elaboradas e valorizadas na aprendizagem matemática.<br />
  53. 53. Resolver o sistema abaixo:<br /> x – 3y = -6<br /> 2x + y + z = 1<br /> -x + 2y – 2z = 6<br />S={(0, 2, -1)}<br />
  54. 54. Por Cramer o sistema será apenas identificado como possível e indeterminado, mas não ajudaria na resolução.<br /> x + y + z = 3<br /> 2x – y + 3z = 4<br /> -x -4y = -5<br />S={(5 – 4k, k, -2 + 3k), kϵ R}<br />
  55. 55. O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático de ser utilizado em outra situações , que não envolvam resolução de sistemas lineares , por ex. em cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano.<br />
  56. 56. Conhecendo as coordenadas dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, é possível calcularmos sua área por intermédio da composição e/ou de composição de polígonos auxiliares. <br />
  57. 57. área de triângulo.ggb<br />
  58. 58.
  59. 59. Área(ABC)= área(ADEF) – <br />área(AFC) – área(ABD) – área(BCE)<br />
  60. 60.
  61. 61. Área(DEFC)= (xB - xC).(yA- yC)<br />Área(BFC) = [(xB - xC).(yB- yC)]/2<br />Área(ABE) = [(xB - xA).(yA- yB)]/2<br />Área(ADC) = [(xA- xC).(yA- yC)]/2<br />Área do triângulo ABC= <br />(xB - xC).(yA- yC)-{[(xB - xC).(yB- yC)]/2 +<br /> [(xB - xA).(yA- yB)]/2 + [(xA- xC).(yA- yC)]/2}<br />Área do ABC = [xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2<br />
  62. 62. Por determinante<br />½<br />xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2<br />
  63. 63. Vamos determinar a área do polígono?<br />
  64. 64. De outra maneira, em uma extensão de regra de Sarrus, o cálculo da área de um polígono de n lados, representado no plano cartesiano, pode ser feito como segue, sendo xi e yi as coordenadas de cada vértice do polígono com n vértices.<br />A=<br />
  65. 65. 1/2<br />
  66. 66. Nos produtos indicados pelas setas, vale, seguindo o mesmo raciocínio do cálculo pelo método de Sarrus.<br />Metade do resultado final da soma, em módulo, é igual à área do polígono de n lados.<br />O ponto inicial pode ser qualquer um dos vértices do polígono e o sentido, horário ou anti-horário, não importa, dado que o valor final é tomado em módulo.<br />
  67. 67. Calcule a área do pentágono COISA representado abaixo<br />

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