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DIRETORIADE ENSINO CAMPINAS-OESTE 2011
IMPLEMENTAÇÃO DO CURRÍCULO DE MATEMÁTICA MÓDULO 3
COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE Inês Chiarelli Dias Airton Clementino
Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes elementos agrupamentos formados sob certas condições.
ENSINO DE COMBINATÓRIA 1- Não faça  fórmulas demais ou casos particulares demais. Isso torna as coisas mais complicadas. A troca do princípio básico da contagem por fórmulas pode trazer dificuldades para resolver simples problemas.
2-Aprenda e faça com que os alunos aprendam com os erros. É importante, diante de uma solução errada, analisar porque ela  está errada
3-  Um processo seguro de tornar as coisas complicadas é começar assim: esse é um problema de arranjos ou de combinações?
Exemplos
1) Suponha que tenha entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro e que Carlos tenha dinheiro para assistir a apena 1 evento. Quantos são os programas que Carlos pode fazer? 2) Se no exemplo 1, Carlos tivesse dinheiro para assistir a um filme e a uma peça de teatro, quantos são os programas que ele pode fazer?
No ex1 utilizamos o Princípio Aditivo Se A e B são dois conjuntos disjuntos (A∩B=ᴓ) com,respectivamente p e q elementos, então AUB possui p + q elementos
O ex2. obedece a um outro princípio básico de contagem que chamamos Princípio Multiplicativo. Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, se para cada uma dessas m maneiras possíveis de A ocorrer, um outro evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é m.n
Em linguagem de conjuntos, se A é um conjunto com m elementos e B um conjunto com n elementos, então o conjunto      A x B dos pares ordenados (a, b), tais que a pertence a A e b pertence a B, tem cardinalidade m.n
3) Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos de mesa. De quantas maneiras podemos formar um conjunto de 1 mesa com 4 cadeiras? R:       5 x 20 = 100 maneiras diferentes
4) Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de matemática e 7 livros diferentes de física e permitiu-me escolher um de cada. De quantas maneiras esta escolha pode ser feita? R:     5 x 7 = 35
5) De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma classe com 10 rapazes, de modo que os prêmios não sejam dados a um mesmo rapaz? R:  O 1º premio a qualquer um dos 10 e o 2º a qualquer um dos 9  (10 x 9=90)
6) Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão D1, há y modos de tomar uma decisão D2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2 é x.y
7) Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? R:  3 x 26
8) Quantos são os números de três dígitos distintos? 				?
Estratégia para resolver problemas de Combinatória
POSTURA: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar.
2) DIVISÃO: Devemos sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher um homem e escolher uma mulher, colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra.
E muito importante é: 3) NÃO ADIAR DIFICULDADES: Pequenas decisões adiadas costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma  das decisões a serem tomadas for mais restrita que as outras, essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar.
No ex8, há restrição no algarismo da centena, é por lá que devemos começar. _ _ _  R: 9 x 9 x 8
9) Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Quantos desses divisores são pares? Quantos são ímpares? Quantos são quadrados perfeitos?
Solução: a) 360= 23 x 32 X 5. Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2α x 3β x 5γ, com αϵ {0,1,2,3}, βϵ {0,1,2} e γϵ {0,1}. Há 4 x 3 x 2 = 24 maneiras de escolher os expoentes α, β, γ. Há 24 divisores.
b) Para o divisor ser par, α não pode ser 0. Há 3 x 3 x 2 = 18 divisores pares. c) Para o divisor ser ímpar, α deve ser 0. Há 1 x 3 x2 =6  divisores ímpares    (ou  item a – item b)
d) Para o divisor ser quadrado perfeito, os expoentes α, β, γ devem ser pares. Há 2 x 2 x 1 = 4 divisores  que são quadrados perfeitos.
Quantos são os números pares de três dígitos distintos? Há 5 modos de escolher o último dígito, Note que começamos pelo último dígito, que é o mais restrito; o último dígito pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Em seguida vamos ao primeiro dígito. De quantos modos podemos escolher o primeiro dígito?
“Depende”, Se não tivermos usado o 0 há  8 modos de escolher o primeiro dígito (nem o 0 nem o dígito já usado na última casa); se já tivermos usado o 0, haverá 9 modos de escolher o primeiro dígito, pois apenas o 0 não poderá ser usado na primeira casa.  IMPASSE
Dois métodos para resolvê-lo. 1º ) Contar separadamente: os que terminam em 0 e os que não terminam em 0. 2º)  Contar em demasia: fazer de conta que o 0 pode ser usado na 1ª casa do número e depois descontar todos que se iniciam com 0.
Também poderia ser achado todos os números de 3 algarismos distintos e tirar todos os números ímpares de 3 algarismos distintos
11) De quantas maneiras podemos escolher 1 consoante e 1 vogal de um alfabeto formado por 18 consoantes e 5 vogais? R:  Para a escolha da consoante temos 18 possibilidades e para cada uma delas temos 5 possibilidades para a escolha da vogal. Portanto há 18 x 5 = 90 escolhas
12)  Quantos são os anagramas de 2 letras formados por uma vogal e uma consoante escolhidas dentre 18 consoantes e 5 vogais? R: No ex anterior encontramos 90 escolhas possíveis de 1 consoante e 1 vogal. Para formarmos anagramas, basta considerarmos para cada uma dessas escolhas, as 2 possibilidades, isto é, consoante-vogal ou vogal-consoante,
13)  Há 12 moças e 10 rapazes, onde 5 deles (3 moças e 2 rapazes) são irmãos e os restantes não possuem parentesco. Quantos são os casamentos possíveis?
R:  Considerando as moças (3) que possuem irmãos (2), há 3 x 8 = 24 casamentos possíveis. Considerando as moças (9) que não possuem irmãos, há 9 x 10 = 90 casamentos possíveis. Portanto há 24 + 90 = 114 casamentos possíveis.
14) Quantos são os números que podemos formar com todos os dígitos 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2 e 3?
 R: Se primeiro colocarmos todos os dígitos 1’s, deixando um espaço entre eles, teremos: _1_1_1_1_1_1_1_ Ficaram 8 espaços nos quais podem ser colocados os dígitos 2 e 3.  Supondo que vamos colocar o dígito 2 primeiro
_1_2_1_1_1_1_1_1_ Notamos que agora temos 9 espaços para colocar o dígito 3 Portanto  8 x 9 = 72 são os números formados conforme descrição do problema
Ex15) A figura mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por 5 estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarelo, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado?
Explorando Conceitos Matemáticos com a Linguagem Braille
Existem 26 = 64 configurações que podem ser obtidas no código de Braille usual 3×2. É fácil descobrir que isto é verdade, quando aplicamos o Princípio Multiplicativo da Contagem: há duas possibilidades para a primeira casa – ou ela é marcada ou não é (ou pintamos de preto ou de branco) - do mesmo modo há duas possibilidades para cada uma das outras casas, o que resulta em 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 possibilidades.
Vamos resolver? Jogamos uma moeda três vezes. Quantas seqüências diferentes da cara e coroa podemos obter? 2.2.2  Cada célula em uma tabela 2x2 pode ser colorida branca ou preta. Quantas colorações diferentes existem para a tabela? 2.2.2.2 3) Quantas maneiras existem de preencher um cartão de loteria esportiva? Nesta loteria você deve adivinhar os resultados de 13 jogos de futebol, indicando uma vitória para um dos dois times, ou um empate. 3^13
4) Um time de futebol com 11 jogadores precisa eleger um capitão e um vice-capitão. De quantas maneiras isto pode ser feito? 110 5) De quantas maneiras possíveis podemos colocar um rei branco e outro preto em um tabuleiro de xadrez de modo que eles não possam se atacar mutuamente? 4.60+ 24.58 + 36.55 6) De quantas maneiras podemos arrumar quatro bolas, de cores vermelha, preta, azul e verde, em uma fileira? 4.3.2.1
Porque não multiplicar por 2 o ex5 (os reis)
Exercício REDEFOR – Análise CombinatóriaUm experimento com dados e moedas consiste em lançar um dado e depois lançar uma moeda o número de vezes mostrado no dado, observando a sequência de resultados da moeda.A) Quantos resultados possíveis existem?B) Quantos deles têm exatamente duas caras?
7) Quantas diagonais têm o polígono convexo de n lados? n.(n-3)/2 8) Quantos números com seis algarismos têm pelo menos um algarismo par? 900.000 – 5^6 9) Uma mãe tem duas maças, três peras e quatro laranjas. Durante 9 dias ela dá uma fruta para seu filho no café da manhã. De quantas maneiras isso pode ser feito? 9! / 2!3!4!
10) Um dormitório tem três quartos: um para um único aluno, um para dois alunos, e um para quatro alunos. De quantas maneiras podemos colocar sete estudantes neste dormitório?          _        x   _ _       x   _ _ _ _          7             6.5/2!       4.3.2.1/4!
Qual é a soma dos divisores de 360? 360 = 23 .3 2.5 Os divisores inteiros positivos são da forma 2α.3β.5 γcom αϵ {0,1,2,3}, βϵ {0,1,2} e γϵ{0,1} A soma dos divisores é S = S(2α.3β.5γ)  Dividimos as parcelas em dois grupos,
γ= 0 e   γ=1 , temos S = S(2α.3β.5γ) S = S(2α.3β.50) + S(2α.3β.51) = 6 S(2α.3β)  Dividindo as parcelas em grupos β= 0  β= 1  β =2 S = 6[ S(2α.3 0) + S(2α.3 1) + S(2α.3 2)] = S = 6 [13S (2α) = 78S  (2α)   S =78S (2α)
S = 78S (2α) = 78(20+ 21 + 22 + 23 ) S = 78 (15) = 1170
PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES Há alguns (poucos) problemas de Combinatória que, embora sejam  aplicações do princípio básico, aparecem com muita freqüência. Para esses problemas, vale a pena saber de cor as suas respostas.
[object Object], A escolha do objeto que ocupará o primeiro lugar pode ser feita n modos; a escolha do objeto que ocupará o segundo lugar pode ser feita de n-1 modos,..., a escolha do objeto que ocupará o último lugar pode ser feita de 1 modo.
A resposta é n.(n-1).(n-2)....1 = n! Cada ordem que se dá aos objetos é chamada de uma permutação simples de objetos. O número de permutações simples de n objetos distintos é Pn=n!
[object Object],Se as letras fossem diferentes a respostas seria 8! Como as 3 letras O  são iguais, quando as trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama.
Isso faz que na nossa contagem de 8! tenhamos contado o mesmo anagrama várias vezes, 3! vezes precisamente, pois há 3! Modos de trocar as letras O entre si.
De modo geral, o nº de permutações de n objetos, dos quais α são iguais a A, β são iguais a B, γ são iguais a C é  Pnα,β,γ=
[object Object],        5! ? A D A E B E C E B C D B A D C Essas 3 formações acima são iguais, assim como muitas outras.
Como cada roda no exemplo citado, pode ser “virada” de 5 modos, na contagem de 5!, contou cada roda 5 vezes, logo será 5!/5=  4!
Se tivermos n crianças para formar uma roda de ciranda (circular) teremos n!/n = (n – 1) !
[object Object],3!=6 ,[object Object],[object Object]
[object Object],É mais simples calcular o número total de rodas e excluir aquelas em que Vera e Isadora ficam juntas.
Total de rodas 5! = 120 Vera e Isadora juntas. 2 possibilidades (V-I e I-V) Agora Vera e Isadora passa a ser uma criança  2 4! = 48.  120 – 48 = 72 rodas
Vamos Fazer? 1) O código morse usa "palavras" contendo de 1 a 4 "letras", representadas por ponto e traço. Quantas "palavras" existem no código morse? 2 + 4 + 8 + 16 =
2) De quantos modos 5 casais podem formar uma roda de ciranda, de maneira que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas? 4! 5!
[object Object]
4! 25 Cada esposa pode estar a direita ou a esquerda,[object Object]
5) Se A é um conjunto de n elementos, quantas são as funções f: A       A bijetoras?  O valor de f(a1) pode ser escolhido de n modos O valor de f(a2) pode ser escolhido de n-1 modos ... O valor de f(an)  de 1 modo n(n-1)(n-2)..... 1 = n!
6) Quantos dados diferentes é possível formar gravando números de 1 a 6 sobre as faces de um cubo? Suponha uma face de cada cor.  Suponha as faces iguais. 6!
Todo o dado pode ser imaginado com a face 1 embaixo, é possível rodar o dado e colocá-lo para baixo. Fixado o 1 embaixo, devemos escolher a face oposta , isso pode ser feito de 5 modos. Supondo que tenha sido escolhido o 6.  Com o 1 e o 6 fixo precisamos colocar o 2, 3, 4 e 5 nas faces laterais.
Vamos imaginar o 2 na face da frente, se não tiver, rotaciona o dado sem tirar o  1  e o 6 do lugar. Temos então 3 modos de escolher a face oposta. Supondo que foi escolhido o 4. Agora devemos colocar o 3 e o 5 nas faces da direita e da esquerda. Logo  5 x 3 x 2 = 30 modos
6) De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados?
Vamos pensar se p = 3 e n= 5, então quero escolher 3 em 5.  1º a ser escolhido é qualquer um dos 5, depois qualquer um dos 4 restantes e depois qualquer um dos 3 restantes, lembrando que escolhendo a,b,c ou a,c,b ou b,a,c ou b,c,a ou c,a,b ou ainda c,b,a estamos escolhendo os mesmos, por isso devemos dividir por 3!
5.4.3/3! Como expressar 5.4.3? Então temos: Que é uma combinação de n elementos p a p.
Cn,p=
[object Object],[object Object]
Soluções Inteiras e Não Negativas de uma Equação Linear Consideremos a equação linear x + y = 7 e encontremos o nº de soluções inteiras e não negativas. Por tentativa: (0,7); (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2);      (6, 1); (7, 0)   8 soluções inteiras
Nessa equação x + y + z = 7, resolver por tentativa, muito trabalho. Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero. Indiquemos cada parte por um ponto.         . . . . . . .   , como queremos dividir as 7 unidades em 3 partes, vamos usar duas barras para fazer a separação
. . . . . . .  . . . . . . .  . . . . . . .  . . . . . . .
Temos 9 símbolos ( 7 .   e   2 |) O número de permutações será  9!/ 7! 2! = 36 Teorema: O número de soluções inteiras não negativas da equação  x1 + x2 + x3 + ... + xn = r é:
Um bar vende 3 tipos de refrigerante: guaraná, soda e tônica. De quantas formas uma pessoa pode comprar 5 garrafas de refrigerantes?  x + y + z = 5 7!/5! 2! = 21
Soluções Inteiras e positivas x + y + z + w = 11 A fim de contarmos todas as soluções da equação escrevemos 11 como soma de onze 1’s 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =11 Separar 11 em quatro parcelas, sendo cada uma delas um inteiro positivo.
Introduzir as 3 barras dentre os dez sinais “+” que separam estes 1’s. Temos que escolher 3 dentre os 10 sinais de “+”.   C10,3 = 120. Teorema: O nº de soluções em inteiros positivos da equação: x1 + x2 + x3 + ...+ xr= m, m ˃ 0 é dado por C (m-1),(r-1)
Encontrar o número de soluções em inteiros positivos das seguintes equações: x + y = 5         4 x + y + z + w + k = 9           70
Construindo o triângulo de Pascal Caso possíveis no nascimento de 5 filhos H HHHH = 5!/5! = 1                H HHH M = 5!/4! 1! = 5    H HH M M = 5!/3! 2! = 10 H H M MM = 5!/2! 3! = 10 H M MMM = 5!/1! 4! = 5 M MMMM = 5!/5! = 1 25 = 32
Jogando dado  P(Face4) = 1/6 (eu ganho)  P(Face não4)= 5/6 Jogar o dado 5 vezes              =      +  Ganhar 5 vezes Ganhar 4 vezes e perder 1 +10 + +5
Binômio (Sim e Não) (a + b)6 P(Sim) = S        P(Não) = N Probabilidade do S  e N em 6 repetições SSSSSS = a6 SSSSSN = a5b1 SSSSNN = a4 b2 SSSNNN = a3 b3 SSNNNN = a2 b4 SNNNNN =a1b5 NNNNNN = b6
Achar o 3º termo do binômio (3a + b )5    SSSNN= 5!/3!2! = 10 10.(3a)3(b)2 Achar o 5º termo do binômio (3a + b )11 SSSSSSSNNNN = 11!/7!4! =310 310 (3a)7 (b)4 Achar  o 6º termo do binômio (a + 2b)10
Qual a probabilidade de que dois professores aqui presentes façam aniversário no mesmo dia do ano? O 1º não ser igual  é 364/365 O 2º não ser igual  é 363/365 O 3º não ser igual  é 362/365
Com 6 pessoas = 96% de não fazer, logo 4% de fazer  Com 2 pessoas: 364/365 = 99,73% de não fazer e 0,27% de fazer.
Com 10 pessoas  - 0,88 Com 23 pessoas  - 0,50 Com 26 pessoas  - 0,40 Com 50 pessoas  - 0,03
Numa disputa de “par ou ímpar”, em melhor de 5. Jaime ganhou a 1ª  e a 2ª contra Jarbas. Qual a chance de Jarbas ainda vencer? Jaime Jarbas
Três pessoas A, B e C disputam “papel, pedra e tesoura. A já ganhou a primeira partida. Qual é a chance de cada pessoa ser o melhor de 3? (melhor de 3 em 3 pessoas é  ter 2 vitórias) A = 17/27        B = 5/27     e       C = 5/27
ALVOS, COROASEPROBABILIDADES O alvo ao lado possui 4 regiões distintas. Considerando que o círculo vermelho tem raio 10cm e os anéis estão igualmente espaçados, de 10cm em 10cm. Calcule a probabilidade de se atingir com o dardo cada uma das regiões.
Área total:      π 402 = 1600 π cm2 Área do verde: 1600 π – 900 π =700 π cm2 Área do amarelo: 900 π – 400 π = 500 π cm2 Área do azul: 400 π – 100 π  = 300 π cm2 Área do vermelho: 100 π cm2 P(verm) = 100/ 1600 = 1/16 = 6,25% P(azul) = 300/1600 = 3/16 = 18,75% P(amar) = 500/1600 = 5/16 = 31,25% P(verde) = 700/1600 = 7/16 = 43,75%
Elabore um alvo para que todas as coroas circulares, tenham a mesma probabilidade.(para entregar)
2) Qual a chance de ganhar a  mega sena com um cartão ?
PROBABILIDADE Experimentos Aleatórios: São experimentos que , repetidos em idênticas condições, produzem resultados que não podem ser previstos com certeza
Exemplos de experimentos aleatórios: Lançar duas moedas e observar o número de caras obtidas De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas, selecionar uma bola e observar sua cor .
Espaço Amostral (Ω): Um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Ex: Lançar uma moeda duas vezes – Ω= {(c,c), (c,k), (k,c),(k,k)}
Evento: Todo subconjunto de Ω .Geralmente indicado por letra maiúscula. Diremos que um evento ocorre se, realizado o experimento, o resultado obtido for pertencente a A.  Eventos que possuem um único elemento (#A =1) são chamados de eventos elementares.
Ex:  Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6} Alguns eventos A: ocorrência de número par. A = {2, 4, 6} B: ocorrência de número primo.  B = {2, 3, 5} C: ocorrência de número maior que 6.  C = Ø
Combinações de Eventos a)União de dois eventos AUBserá um evento que ocorrerá se e so/e se, A ou B (ou ambos ) ocorrerem. b) Interseção de dois eventos A∩Bserá um evento que ocorrerá se e so/e se A e B ocorrerem simultaneamente c) Complementar de um evento Acserá um evento que ocorrerá se e so/e se, A não ocorrer.
Uma urna I tem duas bolas vermelhas (V) e três bolas brancas (B) e urna II tem cinco bolas vermelhas e seis bolas brancas. Uma urna é escolhida e dela extraída uma bola e observada sua cor. Ω = {(I, V); (I, B); (II, V); (II, B)} Descreva os eventos:
A: a urna escolhida é a I {(I,B);(I, V)} B: a urna escolhida é a II {(II,B);(II, V)} C: a bola escolhida é vermelha {(I,V);(II, V)} D: a bola escolhida é branca {(I,B);(II, B)} AUB   Ω A∩C {(I, V)} DC {(I, V); (II,V)}
Cálculo de probabilidade: p(A)= nº de elementos de A            nº de elementos de Ω = n(A) / n(Ω)
Cada jogador recebe uma tabela e 10 fichas que devem ser distribuídas, a critério de cada jogador, pelos números da tabela. As fichas serão retiradas conforme os números marcados forem sendo sorteados. Ganha quem retirar primeiro todas as 10 fichas. Joga-se 2 dados e o resultado é o produto dos dois números apresentados nos dois dados. Após o jogo fazer a tabela do produto e verificar qual a probabilidade de cada resultado.
JOGO DAS PROBABILIDADES  Material: Dois dados. Para cada jogador: um tabuleiro com 11 casas numeradas de 2 a 12,  Onze marcadores.  Objetivo: Para ganhar o jogador deve ser o primeiro a esvaziar o seu tabuleiro.  
Regras: 1)   Para iniciar o jogo distribui-se os marcadores nas casas do tabuleiro conforme a vontade de cada jogador,  podendo ser deixadas casas sem fichas. 2)  O participante joga os dois dados e soma os resultados . 3) Em seguida ele retira um marcador da casa correspondente à soma dos números obtidos nos dados.    
Cada jogador vai efetuando as jogadas dos itens 2 e 3 na sua vez. Termina o jogo quando um dos jogadores conseguir esvaziar seu tabuleiro.
Estratégias: Após ter sido efetuada uma partida os participantes devem fazer um levantamento dos números que mais saem nas jogadas e analisar o porquê dessas ocorrências.
JOGO- Ens. Médio – 2ª Série - Volume 3  Material: (para cada grupo de 4 alunos) ,[object Object]
Duas fichas de acompanhamento uma para cada dupla de aluno (anexo),[object Object]
+8 2Q2 9/36=1/4 1 (1; 3) 3(verde) (6; 3) +13,5 2 8/36=2/9 Aposta de 2 fichas em Q2 Há 9 resultados possíveis em Q2 ,  entre os total de 36 resultados possíveis
Q1 Q2 Q3 Q4 ver me lho ver de Azul
Um dado é lançado e é observado o número da face de cima. Qual a probabilidade de ocorrência de um número ímpar?
Seja Ω {a1,a2, a3,a4} Se p4 = 4p1, p3 = 3p1 e p2 = 2 p1, qual a probabilidade do evento  A = {a1,a4} ? p1 + p2 + p3 + p4 = 1 p1 +2p1 + 3p1 + 4p1 = 1    10p1 = 1           p1 = 1/10              p4 = 4/10 p1 + p4 = 1/10 + 4/10 = 1/2
3) Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte; e 5 jovens gostam  somente de leitura.
Qual é a probabilidade de , ao apontar ao acaso um desses jovens, ele gostar de música? Qual  é a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades.
Certeza e impossibilidade Evento impossível e evento certo Esses conjuntos estão sempre relacionados Ø Ϲ A ϹΩ Relacionar o nº de elementos desses conjuntos n(Ø)≤n(A)≤n(Ω)  (: n(Ω)˃0)                                         Logo 0 ≤ P(A) ≤ 1
 4) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual é a probabilidade de que: Os 3 sejam perfeitos? 15.22.43/50.49.8 = 0,7239 Os 3 sejam defeituosos?  10/50.49.8 = 0,005 Pelo menos 2 sejam defeituosos? 0,02346 Pelo menos 1 seja defeituoso.      0,27602
5)Se uma urna contém 100 bolinhas numeradas, de 1 a 100. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Admitindo a probabilidade iguais a 1/100 para todos os eventos elementares, qual a probabilidade de: a) observarmos um múltiplo de 6 e de 8 simultaneamente?  1/25 b) observarmos um múltiplo de 6 ou de 8? 6/25 c) observarmos um número não múltiplo de 5? 4/5
6) Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. Calcule a probabilidade de : ocorrer cara no lançamento dessa moeda;  2/3  ocorrer coroa no lançamento dessa moeda.  1/3
7) Um dado é viciado de modo que a probabilidade de observarmos qualquer nº par é a mesma, e a de observarmos qualquer nº ímpar é também a mesma. Porém um número par é três vezes mais provável de ocorrer do que um número ímpar . Lançando esse dado qual a probabilidade de: ocorrer um nº primo?  5/12 ocorrer um múltiplo de 3? 1/3 ocorrer um nº menor ou igual a 3? 5/12
8) Um baralho de 52 cartas, duas são extraídas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem de copas?   1/17
9) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento retirada de uma bola, e considere os eventos: A={a bola retirada possui um nº múltiplo de 2} B={a bola retirada possui um nº múltiplo de 5} Determine a probabilidade do evento AUB.
10) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 são formados números de 4 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele ser: par?          ímpar
11) Em uma urna existem 6 bolinhas numeradas de 1 a 6. Uma a uma elas são extraídas, sem reposição. Qual a probabilidade de que a sequência de números observados seja crescente? 1/720
12) Jogando 3 dados (ou um dado 3 vezes), qual a probabilidade de se obter soma menor ou igual a 4? 1/54 13) Nove livros são colocados ao acaso em uma estante. Qual a probabilidade de que 3 livros determinados fiquem juntos? 1/12
14) Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de observarmos 5 caras e 5 coroas? 63/256 15) Entre 100 pessoas, uma única é portadora de uma moléstia. 10 pessoas entre as 100 são escolhidas ao acaso. Qual a probabilidade de a portadora da moléstia estar entre as 10? 1/10
16) Um grupo é constituído por 10 pessoas, entre elas Jonas e César. O grupo é disposto ao acaso em fila. Qual a probabilidade de que haja 4 pessoas entre Jonas e César? 1/9
PROBABILIDADE CONDICIONAL P(A) é a probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido P(A) =
17) De um baralho de 52 cartas, e observa-se que seu número está entre 4 e 10 (4 e 10 inclusive). Qual a probabilidade da carta seja 6? 1/7
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Implementação do currículo de matemática: combinatória e probabilidade

  • 2.
  • 3.
  • 5. IMPLEMENTAÇÃO DO CURRÍCULO DE MATEMÁTICA MÓDULO 3
  • 6. COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE Inês Chiarelli Dias Airton Clementino
  • 7. Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes elementos agrupamentos formados sob certas condições.
  • 8.
  • 9.
  • 10. ENSINO DE COMBINATÓRIA 1- Não faça fórmulas demais ou casos particulares demais. Isso torna as coisas mais complicadas. A troca do princípio básico da contagem por fórmulas pode trazer dificuldades para resolver simples problemas.
  • 11. 2-Aprenda e faça com que os alunos aprendam com os erros. É importante, diante de uma solução errada, analisar porque ela está errada
  • 12. 3- Um processo seguro de tornar as coisas complicadas é começar assim: esse é um problema de arranjos ou de combinações?
  • 14. 1) Suponha que tenha entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro e que Carlos tenha dinheiro para assistir a apena 1 evento. Quantos são os programas que Carlos pode fazer? 2) Se no exemplo 1, Carlos tivesse dinheiro para assistir a um filme e a uma peça de teatro, quantos são os programas que ele pode fazer?
  • 15. No ex1 utilizamos o Princípio Aditivo Se A e B são dois conjuntos disjuntos (A∩B=ᴓ) com,respectivamente p e q elementos, então AUB possui p + q elementos
  • 16. O ex2. obedece a um outro princípio básico de contagem que chamamos Princípio Multiplicativo. Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes e, se para cada uma dessas m maneiras possíveis de A ocorrer, um outro evento B pode ocorrer de n maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é m.n
  • 17. Em linguagem de conjuntos, se A é um conjunto com m elementos e B um conjunto com n elementos, então o conjunto A x B dos pares ordenados (a, b), tais que a pertence a A e b pertence a B, tem cardinalidade m.n
  • 18. 3) Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos de mesa. De quantas maneiras podemos formar um conjunto de 1 mesa com 4 cadeiras? R: 5 x 20 = 100 maneiras diferentes
  • 19. 4) Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de matemática e 7 livros diferentes de física e permitiu-me escolher um de cada. De quantas maneiras esta escolha pode ser feita? R: 5 x 7 = 35
  • 20. 5) De quantas maneiras podemos dar 2 prêmios a uma classe com 10 rapazes, de modo que os prêmios não sejam dados a um mesmo rapaz? R: O 1º premio a qualquer um dos 10 e o 2º a qualquer um dos 9 (10 x 9=90)
  • 21. 6) Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão D1, há y modos de tomar uma decisão D2, então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2 é x.y
  • 22. 7) Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? R: 3 x 26
  • 23. 8) Quantos são os números de três dígitos distintos? ?
  • 24. Estratégia para resolver problemas de Combinatória
  • 25. POSTURA: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar.
  • 26. 2) DIVISÃO: Devemos sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher um homem e escolher uma mulher, colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra.
  • 27. E muito importante é: 3) NÃO ADIAR DIFICULDADES: Pequenas decisões adiadas costumam se transformar em imensas dificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for mais restrita que as outras, essa é a decisão que deve ser tomada em primeiro lugar.
  • 28. No ex8, há restrição no algarismo da centena, é por lá que devemos começar. _ _ _ R: 9 x 9 x 8
  • 29. 9) Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Quantos desses divisores são pares? Quantos são ímpares? Quantos são quadrados perfeitos?
  • 30. Solução: a) 360= 23 x 32 X 5. Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2α x 3β x 5γ, com αϵ {0,1,2,3}, βϵ {0,1,2} e γϵ {0,1}. Há 4 x 3 x 2 = 24 maneiras de escolher os expoentes α, β, γ. Há 24 divisores.
  • 31. b) Para o divisor ser par, α não pode ser 0. Há 3 x 3 x 2 = 18 divisores pares. c) Para o divisor ser ímpar, α deve ser 0. Há 1 x 3 x2 =6 divisores ímpares (ou item a – item b)
  • 32. d) Para o divisor ser quadrado perfeito, os expoentes α, β, γ devem ser pares. Há 2 x 2 x 1 = 4 divisores que são quadrados perfeitos.
  • 33. Quantos são os números pares de três dígitos distintos? Há 5 modos de escolher o último dígito, Note que começamos pelo último dígito, que é o mais restrito; o último dígito pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Em seguida vamos ao primeiro dígito. De quantos modos podemos escolher o primeiro dígito?
  • 34. “Depende”, Se não tivermos usado o 0 há 8 modos de escolher o primeiro dígito (nem o 0 nem o dígito já usado na última casa); se já tivermos usado o 0, haverá 9 modos de escolher o primeiro dígito, pois apenas o 0 não poderá ser usado na primeira casa. IMPASSE
  • 35. Dois métodos para resolvê-lo. 1º ) Contar separadamente: os que terminam em 0 e os que não terminam em 0. 2º) Contar em demasia: fazer de conta que o 0 pode ser usado na 1ª casa do número e depois descontar todos que se iniciam com 0.
  • 36. Também poderia ser achado todos os números de 3 algarismos distintos e tirar todos os números ímpares de 3 algarismos distintos
  • 37. 11) De quantas maneiras podemos escolher 1 consoante e 1 vogal de um alfabeto formado por 18 consoantes e 5 vogais? R: Para a escolha da consoante temos 18 possibilidades e para cada uma delas temos 5 possibilidades para a escolha da vogal. Portanto há 18 x 5 = 90 escolhas
  • 38. 12) Quantos são os anagramas de 2 letras formados por uma vogal e uma consoante escolhidas dentre 18 consoantes e 5 vogais? R: No ex anterior encontramos 90 escolhas possíveis de 1 consoante e 1 vogal. Para formarmos anagramas, basta considerarmos para cada uma dessas escolhas, as 2 possibilidades, isto é, consoante-vogal ou vogal-consoante,
  • 39. 13) Há 12 moças e 10 rapazes, onde 5 deles (3 moças e 2 rapazes) são irmãos e os restantes não possuem parentesco. Quantos são os casamentos possíveis?
  • 40. R: Considerando as moças (3) que possuem irmãos (2), há 3 x 8 = 24 casamentos possíveis. Considerando as moças (9) que não possuem irmãos, há 9 x 10 = 90 casamentos possíveis. Portanto há 24 + 90 = 114 casamentos possíveis.
  • 41. 14) Quantos são os números que podemos formar com todos os dígitos 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2 e 3?
  • 42. R: Se primeiro colocarmos todos os dígitos 1’s, deixando um espaço entre eles, teremos: _1_1_1_1_1_1_1_ Ficaram 8 espaços nos quais podem ser colocados os dígitos 2 e 3. Supondo que vamos colocar o dígito 2 primeiro
  • 43. _1_2_1_1_1_1_1_1_ Notamos que agora temos 9 espaços para colocar o dígito 3 Portanto 8 x 9 = 72 são os números formados conforme descrição do problema
  • 44. Ex15) A figura mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por 5 estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarelo, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado?
  • 45.
  • 46. Explorando Conceitos Matemáticos com a Linguagem Braille
  • 47.
  • 48.
  • 49.
  • 50.
  • 51.
  • 52.
  • 53. Existem 26 = 64 configurações que podem ser obtidas no código de Braille usual 3×2. É fácil descobrir que isto é verdade, quando aplicamos o Princípio Multiplicativo da Contagem: há duas possibilidades para a primeira casa – ou ela é marcada ou não é (ou pintamos de preto ou de branco) - do mesmo modo há duas possibilidades para cada uma das outras casas, o que resulta em 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 possibilidades.
  • 54. Vamos resolver? Jogamos uma moeda três vezes. Quantas seqüências diferentes da cara e coroa podemos obter? 2.2.2 Cada célula em uma tabela 2x2 pode ser colorida branca ou preta. Quantas colorações diferentes existem para a tabela? 2.2.2.2 3) Quantas maneiras existem de preencher um cartão de loteria esportiva? Nesta loteria você deve adivinhar os resultados de 13 jogos de futebol, indicando uma vitória para um dos dois times, ou um empate. 3^13
  • 55. 4) Um time de futebol com 11 jogadores precisa eleger um capitão e um vice-capitão. De quantas maneiras isto pode ser feito? 110 5) De quantas maneiras possíveis podemos colocar um rei branco e outro preto em um tabuleiro de xadrez de modo que eles não possam se atacar mutuamente? 4.60+ 24.58 + 36.55 6) De quantas maneiras podemos arrumar quatro bolas, de cores vermelha, preta, azul e verde, em uma fileira? 4.3.2.1
  • 56. Porque não multiplicar por 2 o ex5 (os reis)
  • 57. Exercício REDEFOR – Análise CombinatóriaUm experimento com dados e moedas consiste em lançar um dado e depois lançar uma moeda o número de vezes mostrado no dado, observando a sequência de resultados da moeda.A) Quantos resultados possíveis existem?B) Quantos deles têm exatamente duas caras?
  • 58. 7) Quantas diagonais têm o polígono convexo de n lados? n.(n-3)/2 8) Quantos números com seis algarismos têm pelo menos um algarismo par? 900.000 – 5^6 9) Uma mãe tem duas maças, três peras e quatro laranjas. Durante 9 dias ela dá uma fruta para seu filho no café da manhã. De quantas maneiras isso pode ser feito? 9! / 2!3!4!
  • 59. 10) Um dormitório tem três quartos: um para um único aluno, um para dois alunos, e um para quatro alunos. De quantas maneiras podemos colocar sete estudantes neste dormitório? _ x _ _ x _ _ _ _ 7 6.5/2! 4.3.2.1/4!
  • 60. Qual é a soma dos divisores de 360? 360 = 23 .3 2.5 Os divisores inteiros positivos são da forma 2α.3β.5 γcom αϵ {0,1,2,3}, βϵ {0,1,2} e γϵ{0,1} A soma dos divisores é S = S(2α.3β.5γ) Dividimos as parcelas em dois grupos,
  • 61. γ= 0 e γ=1 , temos S = S(2α.3β.5γ) S = S(2α.3β.50) + S(2α.3β.51) = 6 S(2α.3β) Dividindo as parcelas em grupos β= 0 β= 1 β =2 S = 6[ S(2α.3 0) + S(2α.3 1) + S(2α.3 2)] = S = 6 [13S (2α) = 78S (2α) S =78S (2α)
  • 62. S = 78S (2α) = 78(20+ 21 + 22 + 23 ) S = 78 (15) = 1170
  • 63. PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES Há alguns (poucos) problemas de Combinatória que, embora sejam aplicações do princípio básico, aparecem com muita freqüência. Para esses problemas, vale a pena saber de cor as suas respostas.
  • 64.
  • 65. A resposta é n.(n-1).(n-2)....1 = n! Cada ordem que se dá aos objetos é chamada de uma permutação simples de objetos. O número de permutações simples de n objetos distintos é Pn=n!
  • 66.
  • 67. Isso faz que na nossa contagem de 8! tenhamos contado o mesmo anagrama várias vezes, 3! vezes precisamente, pois há 3! Modos de trocar as letras O entre si.
  • 68. De modo geral, o nº de permutações de n objetos, dos quais α são iguais a A, β são iguais a B, γ são iguais a C é Pnα,β,γ=
  • 69.
  • 70. Como cada roda no exemplo citado, pode ser “virada” de 5 modos, na contagem de 5!, contou cada roda 5 vezes, logo será 5!/5= 4!
  • 71. Se tivermos n crianças para formar uma roda de ciranda (circular) teremos n!/n = (n – 1) !
  • 72.
  • 73.
  • 74. Total de rodas 5! = 120 Vera e Isadora juntas. 2 possibilidades (V-I e I-V) Agora Vera e Isadora passa a ser uma criança 2 4! = 48. 120 – 48 = 72 rodas
  • 75. Vamos Fazer? 1) O código morse usa "palavras" contendo de 1 a 4 "letras", representadas por ponto e traço. Quantas "palavras" existem no código morse? 2 + 4 + 8 + 16 =
  • 76. 2) De quantos modos 5 casais podem formar uma roda de ciranda, de maneira que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas? 4! 5!
  • 77.
  • 78.
  • 79. 5) Se A é um conjunto de n elementos, quantas são as funções f: A A bijetoras? O valor de f(a1) pode ser escolhido de n modos O valor de f(a2) pode ser escolhido de n-1 modos ... O valor de f(an) de 1 modo n(n-1)(n-2)..... 1 = n!
  • 80. 6) Quantos dados diferentes é possível formar gravando números de 1 a 6 sobre as faces de um cubo? Suponha uma face de cada cor. Suponha as faces iguais. 6!
  • 81. Todo o dado pode ser imaginado com a face 1 embaixo, é possível rodar o dado e colocá-lo para baixo. Fixado o 1 embaixo, devemos escolher a face oposta , isso pode ser feito de 5 modos. Supondo que tenha sido escolhido o 6. Com o 1 e o 6 fixo precisamos colocar o 2, 3, 4 e 5 nas faces laterais.
  • 82. Vamos imaginar o 2 na face da frente, se não tiver, rotaciona o dado sem tirar o 1 e o 6 do lugar. Temos então 3 modos de escolher a face oposta. Supondo que foi escolhido o 4. Agora devemos colocar o 3 e o 5 nas faces da direita e da esquerda. Logo 5 x 3 x 2 = 30 modos
  • 83. 6) De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n objetos distintos dados?
  • 84. Vamos pensar se p = 3 e n= 5, então quero escolher 3 em 5. 1º a ser escolhido é qualquer um dos 5, depois qualquer um dos 4 restantes e depois qualquer um dos 3 restantes, lembrando que escolhendo a,b,c ou a,c,b ou b,a,c ou b,c,a ou c,a,b ou ainda c,b,a estamos escolhendo os mesmos, por isso devemos dividir por 3!
  • 85. 5.4.3/3! Como expressar 5.4.3? Então temos: Que é uma combinação de n elementos p a p.
  • 86. Cn,p=
  • 87.
  • 88. Soluções Inteiras e Não Negativas de uma Equação Linear Consideremos a equação linear x + y = 7 e encontremos o nº de soluções inteiras e não negativas. Por tentativa: (0,7); (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1); (7, 0) 8 soluções inteiras
  • 89. Nessa equação x + y + z = 7, resolver por tentativa, muito trabalho. Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero. Indiquemos cada parte por um ponto. . . . . . . . , como queremos dividir as 7 unidades em 3 partes, vamos usar duas barras para fazer a separação
  • 90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
  • 91. Temos 9 símbolos ( 7 . e 2 |) O número de permutações será 9!/ 7! 2! = 36 Teorema: O número de soluções inteiras não negativas da equação x1 + x2 + x3 + ... + xn = r é:
  • 92. Um bar vende 3 tipos de refrigerante: guaraná, soda e tônica. De quantas formas uma pessoa pode comprar 5 garrafas de refrigerantes? x + y + z = 5 7!/5! 2! = 21
  • 93. Soluções Inteiras e positivas x + y + z + w = 11 A fim de contarmos todas as soluções da equação escrevemos 11 como soma de onze 1’s 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =11 Separar 11 em quatro parcelas, sendo cada uma delas um inteiro positivo.
  • 94. Introduzir as 3 barras dentre os dez sinais “+” que separam estes 1’s. Temos que escolher 3 dentre os 10 sinais de “+”. C10,3 = 120. Teorema: O nº de soluções em inteiros positivos da equação: x1 + x2 + x3 + ...+ xr= m, m ˃ 0 é dado por C (m-1),(r-1)
  • 95. Encontrar o número de soluções em inteiros positivos das seguintes equações: x + y = 5 4 x + y + z + w + k = 9 70
  • 96. Construindo o triângulo de Pascal Caso possíveis no nascimento de 5 filhos H HHHH = 5!/5! = 1 H HHH M = 5!/4! 1! = 5 H HH M M = 5!/3! 2! = 10 H H M MM = 5!/2! 3! = 10 H M MMM = 5!/1! 4! = 5 M MMMM = 5!/5! = 1 25 = 32
  • 97. Jogando dado P(Face4) = 1/6 (eu ganho) P(Face não4)= 5/6 Jogar o dado 5 vezes = + Ganhar 5 vezes Ganhar 4 vezes e perder 1 +10 + +5
  • 98. Binômio (Sim e Não) (a + b)6 P(Sim) = S P(Não) = N Probabilidade do S e N em 6 repetições SSSSSS = a6 SSSSSN = a5b1 SSSSNN = a4 b2 SSSNNN = a3 b3 SSNNNN = a2 b4 SNNNNN =a1b5 NNNNNN = b6
  • 99. Achar o 3º termo do binômio (3a + b )5 SSSNN= 5!/3!2! = 10 10.(3a)3(b)2 Achar o 5º termo do binômio (3a + b )11 SSSSSSSNNNN = 11!/7!4! =310 310 (3a)7 (b)4 Achar o 6º termo do binômio (a + 2b)10
  • 100. Qual a probabilidade de que dois professores aqui presentes façam aniversário no mesmo dia do ano? O 1º não ser igual é 364/365 O 2º não ser igual é 363/365 O 3º não ser igual é 362/365
  • 101. Com 6 pessoas = 96% de não fazer, logo 4% de fazer Com 2 pessoas: 364/365 = 99,73% de não fazer e 0,27% de fazer.
  • 102. Com 10 pessoas - 0,88 Com 23 pessoas - 0,50 Com 26 pessoas - 0,40 Com 50 pessoas - 0,03
  • 103. Numa disputa de “par ou ímpar”, em melhor de 5. Jaime ganhou a 1ª e a 2ª contra Jarbas. Qual a chance de Jarbas ainda vencer? Jaime Jarbas
  • 104. Três pessoas A, B e C disputam “papel, pedra e tesoura. A já ganhou a primeira partida. Qual é a chance de cada pessoa ser o melhor de 3? (melhor de 3 em 3 pessoas é ter 2 vitórias) A = 17/27 B = 5/27 e C = 5/27
  • 105. ALVOS, COROASEPROBABILIDADES O alvo ao lado possui 4 regiões distintas. Considerando que o círculo vermelho tem raio 10cm e os anéis estão igualmente espaçados, de 10cm em 10cm. Calcule a probabilidade de se atingir com o dardo cada uma das regiões.
  • 106. Área total: π 402 = 1600 π cm2 Área do verde: 1600 π – 900 π =700 π cm2 Área do amarelo: 900 π – 400 π = 500 π cm2 Área do azul: 400 π – 100 π = 300 π cm2 Área do vermelho: 100 π cm2 P(verm) = 100/ 1600 = 1/16 = 6,25% P(azul) = 300/1600 = 3/16 = 18,75% P(amar) = 500/1600 = 5/16 = 31,25% P(verde) = 700/1600 = 7/16 = 43,75%
  • 107. Elabore um alvo para que todas as coroas circulares, tenham a mesma probabilidade.(para entregar)
  • 108. 2) Qual a chance de ganhar a mega sena com um cartão ?
  • 109. PROBABILIDADE Experimentos Aleatórios: São experimentos que , repetidos em idênticas condições, produzem resultados que não podem ser previstos com certeza
  • 110. Exemplos de experimentos aleatórios: Lançar duas moedas e observar o número de caras obtidas De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas, selecionar uma bola e observar sua cor .
  • 111. Espaço Amostral (Ω): Um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Ex: Lançar uma moeda duas vezes – Ω= {(c,c), (c,k), (k,c),(k,k)}
  • 112. Evento: Todo subconjunto de Ω .Geralmente indicado por letra maiúscula. Diremos que um evento ocorre se, realizado o experimento, o resultado obtido for pertencente a A. Eventos que possuem um único elemento (#A =1) são chamados de eventos elementares.
  • 113. Ex: Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6} Alguns eventos A: ocorrência de número par. A = {2, 4, 6} B: ocorrência de número primo. B = {2, 3, 5} C: ocorrência de número maior que 6. C = Ø
  • 114. Combinações de Eventos a)União de dois eventos AUBserá um evento que ocorrerá se e so/e se, A ou B (ou ambos ) ocorrerem. b) Interseção de dois eventos A∩Bserá um evento que ocorrerá se e so/e se A e B ocorrerem simultaneamente c) Complementar de um evento Acserá um evento que ocorrerá se e so/e se, A não ocorrer.
  • 115. Uma urna I tem duas bolas vermelhas (V) e três bolas brancas (B) e urna II tem cinco bolas vermelhas e seis bolas brancas. Uma urna é escolhida e dela extraída uma bola e observada sua cor. Ω = {(I, V); (I, B); (II, V); (II, B)} Descreva os eventos:
  • 116. A: a urna escolhida é a I {(I,B);(I, V)} B: a urna escolhida é a II {(II,B);(II, V)} C: a bola escolhida é vermelha {(I,V);(II, V)} D: a bola escolhida é branca {(I,B);(II, B)} AUB Ω A∩C {(I, V)} DC {(I, V); (II,V)}
  • 117. Cálculo de probabilidade: p(A)= nº de elementos de A nº de elementos de Ω = n(A) / n(Ω)
  • 118.
  • 119. Cada jogador recebe uma tabela e 10 fichas que devem ser distribuídas, a critério de cada jogador, pelos números da tabela. As fichas serão retiradas conforme os números marcados forem sendo sorteados. Ganha quem retirar primeiro todas as 10 fichas. Joga-se 2 dados e o resultado é o produto dos dois números apresentados nos dois dados. Após o jogo fazer a tabela do produto e verificar qual a probabilidade de cada resultado.
  • 120. JOGO DAS PROBABILIDADES  Material: Dois dados. Para cada jogador: um tabuleiro com 11 casas numeradas de 2 a 12, Onze marcadores.  Objetivo: Para ganhar o jogador deve ser o primeiro a esvaziar o seu tabuleiro.  
  • 121.
  • 122. Regras: 1) Para iniciar o jogo distribui-se os marcadores nas casas do tabuleiro conforme a vontade de cada jogador, podendo ser deixadas casas sem fichas. 2) O participante joga os dois dados e soma os resultados . 3) Em seguida ele retira um marcador da casa correspondente à soma dos números obtidos nos dados.    
  • 123. Cada jogador vai efetuando as jogadas dos itens 2 e 3 na sua vez. Termina o jogo quando um dos jogadores conseguir esvaziar seu tabuleiro.
  • 124. Estratégias: Após ter sido efetuada uma partida os participantes devem fazer um levantamento dos números que mais saem nas jogadas e analisar o porquê dessas ocorrências.
  • 125.
  • 126.
  • 127. +8 2Q2 9/36=1/4 1 (1; 3) 3(verde) (6; 3) +13,5 2 8/36=2/9 Aposta de 2 fichas em Q2 Há 9 resultados possíveis em Q2 , entre os total de 36 resultados possíveis
  • 128. Q1 Q2 Q3 Q4 ver me lho ver de Azul
  • 129.
  • 130.
  • 131. Um dado é lançado e é observado o número da face de cima. Qual a probabilidade de ocorrência de um número ímpar?
  • 132. Seja Ω {a1,a2, a3,a4} Se p4 = 4p1, p3 = 3p1 e p2 = 2 p1, qual a probabilidade do evento A = {a1,a4} ? p1 + p2 + p3 + p4 = 1 p1 +2p1 + 3p1 + 4p1 = 1 10p1 = 1 p1 = 1/10 p4 = 4/10 p1 + p4 = 1/10 + 4/10 = 1/2
  • 133. 3) Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte; e 5 jovens gostam somente de leitura.
  • 134. Qual é a probabilidade de , ao apontar ao acaso um desses jovens, ele gostar de música? Qual é a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades.
  • 135. Certeza e impossibilidade Evento impossível e evento certo Esses conjuntos estão sempre relacionados Ø Ϲ A ϹΩ Relacionar o nº de elementos desses conjuntos n(Ø)≤n(A)≤n(Ω) (: n(Ω)˃0) Logo 0 ≤ P(A) ≤ 1
  • 136. 4) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual é a probabilidade de que: Os 3 sejam perfeitos? 15.22.43/50.49.8 = 0,7239 Os 3 sejam defeituosos? 10/50.49.8 = 0,005 Pelo menos 2 sejam defeituosos? 0,02346 Pelo menos 1 seja defeituoso. 0,27602
  • 137. 5)Se uma urna contém 100 bolinhas numeradas, de 1 a 100. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Admitindo a probabilidade iguais a 1/100 para todos os eventos elementares, qual a probabilidade de: a) observarmos um múltiplo de 6 e de 8 simultaneamente? 1/25 b) observarmos um múltiplo de 6 ou de 8? 6/25 c) observarmos um número não múltiplo de 5? 4/5
  • 138. 6) Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. Calcule a probabilidade de : ocorrer cara no lançamento dessa moeda; 2/3 ocorrer coroa no lançamento dessa moeda. 1/3
  • 139. 7) Um dado é viciado de modo que a probabilidade de observarmos qualquer nº par é a mesma, e a de observarmos qualquer nº ímpar é também a mesma. Porém um número par é três vezes mais provável de ocorrer do que um número ímpar . Lançando esse dado qual a probabilidade de: ocorrer um nº primo? 5/12 ocorrer um múltiplo de 3? 1/3 ocorrer um nº menor ou igual a 3? 5/12
  • 140. 8) Um baralho de 52 cartas, duas são extraídas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem de copas? 1/17
  • 141. 9) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento retirada de uma bola, e considere os eventos: A={a bola retirada possui um nº múltiplo de 2} B={a bola retirada possui um nº múltiplo de 5} Determine a probabilidade do evento AUB.
  • 142. 10) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 são formados números de 4 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele ser: par? ímpar
  • 143. 11) Em uma urna existem 6 bolinhas numeradas de 1 a 6. Uma a uma elas são extraídas, sem reposição. Qual a probabilidade de que a sequência de números observados seja crescente? 1/720
  • 144. 12) Jogando 3 dados (ou um dado 3 vezes), qual a probabilidade de se obter soma menor ou igual a 4? 1/54 13) Nove livros são colocados ao acaso em uma estante. Qual a probabilidade de que 3 livros determinados fiquem juntos? 1/12
  • 145. 14) Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de observarmos 5 caras e 5 coroas? 63/256 15) Entre 100 pessoas, uma única é portadora de uma moléstia. 10 pessoas entre as 100 são escolhidas ao acaso. Qual a probabilidade de a portadora da moléstia estar entre as 10? 1/10
  • 146. 16) Um grupo é constituído por 10 pessoas, entre elas Jonas e César. O grupo é disposto ao acaso em fila. Qual a probabilidade de que haja 4 pessoas entre Jonas e César? 1/9
  • 147. PROBABILIDADE CONDICIONAL P(A) é a probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido P(A) =
  • 148. 17) De um baralho de 52 cartas, e observa-se que seu número está entre 4 e 10 (4 e 10 inclusive). Qual a probabilidade da carta seja 6? 1/7