Intro teoria dos numerros cap7

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Intro teoria dos numerros cap7

  1. 1. 7 Equa»c~oes diofantinas lineares Considere o seguinte problema. Se um trabalhador recebe 510 reais em t¶³quetes de alimenta»c~ao, com valores de 20 reais ou 50 reais cada t¶³quete, de quantas formas pode ser formado o carn^e de t¶³quetes desse trabalhador ? Se x denota a quantidade de t¶³quetes de 20 reais e se y denota a quantidade de t¶³quetes de 50 reais ent~ao a equa»c~ao 20x+50y = 510 deve ser satisfeita e o problema ¶e resolvido determinando-se todas as solu»c~oes inteiras n~ao negativas desta equa»c~ao. Esta equa»c~ao ¶e um exemplo de equa»c~ao linear diofantina em duas inc¶ognitas. Como outro problema de ilustra»c~ao, se o custo da postagem de uma encomenda ¶e de 83 centavos e devemos usar selos de 6 e de 15 centavos, como combinar os selos na postagem ? Se x denota a quantidade de selos de 6 centavos e se y denota a quantidade de selos de 15 centavos ent~ao a equa»c~ao 6x + 15y = 85 deve ser satisfeita e o problema ¶e resolvido determinando-se todas as solu»c~oes inteiras n~ao negativas de tal equa»c~ao. Equa»c~oes polinomiais, em v¶arias inc¶ognitas, com coe¯cientes inteiros (ou racio- nais), das quais se buscam solu»c~oes restritas ao conjunto dos n¶umeros inteiros, s~ao habi- tualmente denominadas de equa»c~oes diofantinas, em refer^encia a Diofanto de Alexandria, algebrista grego do s¶eculo 2, que estudou extensamente, em seu livro Arithmetica, a obten»c~ao de solu»c~oes racionais de equa»c~oes polinomiais, com coe¯cientes racionais, em v¶arias inc¶ognitas. Fermat foi um estudioso sistem¶atico desse livro, tendo anotado, em uma de suas p¶aginas, sua famosa conjectura, agora teorema, o ¶ultimo teorema de Fermat", que declara que n~ao existem inteiros positivos x, y e z satisfazendo xn + yn = zn , quando n ¸ 3. O problema de se determinar inteiros x1, x2, : : : , xn, satisfazendo uma equa»c~ao da forma a1x1 + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn = b, sendo a1, a2, : : : , an e b n¶umeros inteiros (ou racionais) ¶e o que chamamos de uma equa»c~ao diofantina linear. Neste cap¶³tulo, estudaremos a equa»c~ao linear diofantina em duas inc¶ognitas x e y, ax + by = c, sendo a, b e c n¶umeros inteiros. Desenvolveremos ainda considera»c~oes estrat¶egicas para a obten»c~ao de solu»c~oes de equa»c~oes lineares diofantinas em tr^es ou mais inc¶ognitas. 59
  2. 2. Equac»~oes diofantinas lineares 60 Proposi»c~ao 7.1 Sejam a, b e c n¶umeros inteiros. A equa»c~ao diofantina ax + by = c possui solu»c~ao se e somente se mdc(a; b) divide c. Demonstra»c~ao. ()) Suponhamos que (x0; y0) ¶e um par de inteiros satisfazento ax0 + by0 = c. Sendo d = mdc(a; b), temos que d j a e d j b. Logo d j (ax0 + by0), ou seja, d j c. (() Seja d = mdc(a; b) e suponhamos que d j c. Ent~ao c = d ¢ °, para algum ° 2 Z. Pelo teorema 6.1, cap¶³tulo 6, existem inteiros r e s tais que ra + sb = d. Logo, ra° + sb° = d°, ou seja a(r°) + b(s°) = c, e assim (x0; y0) = (r°; s°) ¶e solu»c~ao de ax + by = c. Proposi»c~ao 7.2 Sendo a e b inteiros, e mdc(a; b) = 1, as solu»c~oes da equa»c~ao dio- fantina ax + by = 0 s~ao dadas pelas equa»c~oes param¶etricas ½ x = bt y = ¡at (t 2 Z) Demonstra»c~ao. Se x = bt e y = ¡at, ent~ao ax + by = a(bt) + b(¡at) = abt ¡ abt = 0 Assim, ¶e imediato ver que as equa»c~oes param¶etricas x = bt e y = ¡at, com t 2 Z, nos d~ao solu»c~oes da equa»c~ao diofantina ax + by = 0. Suponhamos agora que x e y s~ao inteiros satisfazendo ax + by = 0. Ent~ao ax = ¡by. Logo b j (ax). Como a e b s~ao primos entre si, pela proposi»c~ao 6.2, cap¶³tulo 6, temos que b j x. Existe ent~ao t 2 Z tal que x = bt. Substituindo x = bt em ax = ¡by, obtemos y = ¡at. Portanto, x = bt e y = ¡at, para algum t 2 Z. A equa»c~ao diofantina ax +by = 0 ¶e o que chamamos de equa»c~ao linear diofantina homog^enea correspondente µa equa»c~ao ax + by = c (n~ao homog^enea se c 6= 0). Sendo d = mdc(a; b), a proposi»c~ao 7.1 estabelece que a equa»c~ao diofantina ax + by = c tem solu»c~ao se e somente se d j c. Assumindo que d j c, notemos que a equa»c~ao ax + by = c ¶e equivalente µa equa»c~ao ³a d ´ x + µ b d ¶ y = c d
  3. 3. Equac»~oes diofantinas lineares 61 de coe¯cientes todos inteiros, j¶a que d j a e d j b. Al¶em disso, os inteiros a=d e b=d s~ao primos entre si: como existem inteiros r e s tais que ra + sb = d, temos r(a=d) + s(b=d) = 1. Pelas observa»c~oes feitas acima, podemos nos restringir ao estudo de equa»c~ao dio- fantinas ax + by = c assumindo a e b primos entre si. Teorema 7.1 Sejam a, b e c inteiros, com a e b primos entre si. Seja (x0; y0) uma solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax + by = c. Ent~ao as solu»c~oes dessa equa»c~ao s~ao dadas pelas equa»c~oes param¶etricas ½ x = x0 + bt y = y0 ¡ at (t 2 Z) Demonstra»c~ao. Seja (x0; y0) uma solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax + by = c. Se x = x0 + bt e y = y0 ¡ at, com t 2 Z, ent~ao ax + by = a(x0 + bt) + b(y0 ¡ at) = ax0 + abt + by0 ¡ bat = ax0 + by0 = c e portanto (x; y) ¶e uma solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax + by = c. Suponhamos agora que (x; y) ¶e solu»c~ao da equa»c~ao diofantina ax+by = c. Temos ent~ao ½ ax + by = c ax0 + by0 = c e assim a(x ¡ x0) + b(y ¡ y0) = ax ¡ ax0 + by ¡ by0 = (ax + by) ¡ (ax0 + by0) = c ¡ c = 0 Logo, (x ¡ x0; y ¡ y0) ¶e solu»c~ao da correspondente equa»c~ao homog^enea ax + by = 0. Pela proposi»c~ao 7.2, existe t 2 Z tal que x ¡ x0 = tb e y ¡ y0 = ¡ta, ou seja ½ x = x0 + bt y = y0 ¡ at para algum t 2 Z. Exemplo 7.1 Se o custo de uma postagem ¶e de 83 centavos e os valores dos selos s~ao de 6 e 15 centavos, como podemos combinar os selos na postagem ?
  4. 4. Equac»~oes diofantinas lineares 62 Solu»c~ao. Se x denota a quantidade de selos de 6 centavos e y denota a quantidade de selos de 15 centavos, ent~ao 6x + 15y = 85. Como mdc(6; 15) = 3 e 3 6j 83, a equa»c~ao diofantina 6x + 15y = 83 n~ao possui solu»c~oes inteiras e assim o problema de postagem n~ao tem solu»c~ao. Exemplo 7.2 Consideremos agora o problemas dos t¶³quetes, mencionado no in¶³cio do cap¶³tulo, que d¶a origem µa equa»c~ao diofantina 20x + 50y = 510. Pelo teorema 7.1, a equa»c~ao tem solu»c~ao inteira, visto que mdc(20; 50) = 10 e 10 j 510. Como observado, a equa»c~ao 20x+50y = 510 ¶e equivalente µa equa»c~ao 2x+5y = 51. Assim sendo, passamos a buscar as solu»c~oes inteiras desta ¶ultima. Posteriormente, devido µa natureza do problema original (contagem de t¶³quetes), estaremos nos restringindo µas solu»c~oes (x; y) que tamb¶em satisfazem x ¸ 0 e y ¸ 0. Como mdc(2; 5) = 1, pelo teorema 7.1, as solu»c~oes de 2x + 5y = 51 tem a forma ½ x = x0 + 5t y = y0 ¡ 2t (t 2 Z) sendo (x0; y0) uma solu»c~ao particular da equa»c~ao. Nos resta ent~ao obter uma solu»c~ao particular da equa»c~ao. Para tal, primeiramente obtemos inteiros r e s satisfazendo 2r + 5s = mdc(2; 5) = 1. Podemos faz^e-lo usando as divis~oes sucessivas do algoritmo euclidiano do c¶alculo de mdc(2; 5). Neste problema particular, no entanto, podemos adivinhar" valores para r e s, a saber, r = ¡2, s = 1. Tendo 2r + 5s = 1, teremos 2(51r) + 5(51s) = 51, de onde uma solu»c~ao particular de 2x + 5y = 51 nos ¶e dada por x0 = ¡102, y0 = 51. A solu»c~ao geral de 2x + 5y = 51 (ou de 20x + 50y = 510) ¶e portanto ½ x = ¡102 + 5t y = 51 ¡ 2t (t 2 Z) Na busca de solu»c~oes n~ao negativas, impomos ¡102 + 5t ¸ 0 e 51 ¡ 2t ¸ 0, de onde A restri»c~ao de solu»c~oes n~ao negativas determinam que x = ¡102 + 5t ¸ 0, ou seja, t ¸ 102=21 e que, simultaneamente, y = 51 ¡ 2t ¸ 0, ou seja, t · 51=2 < 26. Assim, t deve assumir um dos seguintes valores: 21, 22, 23, 24 e 25. Temos ent~ao 5 possibilidades para os carn^es, a saber: { carn^e com 3 t¶³quetes de $20 reais e 9 t¶³quetes de $50 reais;
  5. 5. Equac»~oes diofantinas lineares 63 { carn^e com 8 t¶³quetes de $20 reais e 7 t¶³quetes de $50 reais; { carn^e com 13 t¶³quetes de $20 reais e 5 t¶³quetes de $50 reais; { carn^e com 18 t¶³quetes de $20 reais e 3 t¶³quetes de $50 reais; { carn^e com 23 t¶³quetes de $20 reais e 1 t¶³quete de $50 reais; Atrav¶es de um exemplo, mostraremos agora uma estrat¶egia para obten»c~ao de solu»c~oes de uma equa»c~ao diofantina linear em tr^es inc¶ognitas. Exemplo 7.3 Resolver a equa»c~ao diofantina 2x ¡ 6y + 5z = 3. Primeiramente determinamos que o problema tem solu»c~ao, pois mdc(2; 6; 5) = 1 e 1 j 3. Como mdc(2; 6) = 2, podemos escrever 2x ¡ 6y = 2¸. Aqui estamos usando o fato de que sendo a e b inteiros, toda combina»c~ao linear ax + by, com x e y inteiros, ¶e m¶ultiplo de d = mdc(a; b): se d j a e d j b, ent~ao d j (ax + by). Temos ent~ao 2x ¡ 6y | {z } =2¸ +5z = 3 Tratamos ent~ao de, primeiramente, resolver a equa»c~ao 2¸ + 5z = 3. Uma solu»c~ao particular ¶e (¸0; z0) = (¡6; 3). Assim, a solu»c~ao geral dessa equa»c~ao ¶e dada por ½ ¸ = ¡6 + 5t z = 3 ¡ 2t (t 2 Z) Passamos ent~ao µa equa»c~ao diofantina 2x ¡ 6y = 2¸, assumindo que ¸ ¶e uma constante inteira. A equa»c~ao 2x ¡ 6y = 2¸ ¶e equivalente a x ¡ 3y = ¸. Uma solu»c~ao particular desta equa»c~ao ¶e dada por x0 = 4¸, y0 = ¸. A solu»c~ao geral desta equa»c~ao ¶e dada por ½ x = 4¸ + 3u y = ¸ + u (u 2 Z) Como ¸ = ¡6 + 5t, chegamos ¯nalmente µa solu»c~ao do problema: 8 < : x = ¡24 + 20t + 3u y = ¡6 + 5t + u z = 3 ¡ 2t (t; u 2 Z)
  6. 6. Equac»~oes diofantinas lineares 64 7.1 Exerc¶³cios 1. Encontre todas as solu»c~oes das seguintes equa»c~oes diofantinas lineares: (a) 17x + 13y = 100 (b) 12x + 18y = 50 (d) 60x + 18y = 67 (e) 1402x + 1969y = 1 (g) 102x + 1001y = 533 (h) 33x + 25y = 0 2. Encontre as solu»c~oes das seguintes equa»c~oes diofantinas (a) 2x ¡ 10y + 35z = 0 (b) 101x ¡ 102y + 103z = 1 (c) 12x + 21y + 9z + 15w = 9 3. Uma ag^encia de correios possui apenas selos de 14 centavos e de 21 centavos. Determine as combina»c~oes desses selos que podem ser feitas para postar cartas dos seguintes valores postais: (a) R$ 3,50 (b) R$ 4,00 (c) R$ 7,77 4. Com R$ 5,49 pode-se comprar ma»c~as, a 18 centavos cada, e peras, a 33 centavos cada. Qual ¶e o n¶umero m¶³nimo de frutas que podem ser compradas? 5. Um estudante, viajando da Europa aos Estados Unidos, troca seus francos su¶³»cos e francos franceses por d¶olares. Ele recebe US$ 17,06, tendo recebido US$ 0,19 (19 `cents') por cada franco franc^es e US$ 0,59 por cada franco su¶³»co. Quanto de cada moeda ele possu¶³a? 6. Encontre as solu»c~oes inteiras dos sistemas de equa»c~oes lineares (a) ½ x + y + z = 100 x + 8y + 50z = 156 (b) 8 < : x + y + z + w = 100 x + 2y + 3z + 4w = 300 x + 4y + 9z + 16w = 1000 Sugest~ao: Primeiramente, passe os sistemas µa uma forma escalonada, mantendo os coe¯cientes inteiros. 7. De que modos ¶e poss¶³vel combinar 50 moedas, misturando moedas de 1, de 10 e de 25 centavos, de modo a totalizar 3 reais? 8. Resolva o seguinte problema, como se estivesse fazendo-o a uma classe de alunos do ensino b¶asico, isto ¶e, por uma estrat¶egia que n~ao fa»ca uso dos teoremas sobre equa»c~oes diofantinas desenvolvidos no cap¶³tulo: Combinando moedas de 1, 10 e 25 centavos, como podemos totalizar 99 centavos?

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