Introd logica mat ii

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Introd logica mat ii

  1. 1. INTRODUC¸ ˜AO `A L´OGICA MATEM´ATICA V´ıtor Neves Universidade de Aveiro 2002
  2. 2. INTRODUC¸ ˜AO ´A L´OGICA MATEM´ATICA Introdu¸c˜ao O texto que aqui apresentamos foi redigido durante o segundo semestre do ano lec- tivo de 1993/94 como um conjunto de notas de apoio ´as aulas da disciplina semestral L´ogica, do terceiro ano das licenciaturas em Matem´atica (para Ensino e com In- form´atica) da Universidade da Beira Interior. Esta ´e a ´unica disciplina de qualquer das licenciaturas onde a L´ogica Matem´atica pode ser estudada como ´area indepen- dente de conhecimento. Grosso modo, descrevemos aspectos das seguintes quest˜oes: em que consiste uma proposi¸c˜ao ou uma f´ormula serem verdadeiras ou serem satisfaz´ıveis? Que ´e uma dedu¸c˜ao? Que rela¸c˜oes poder˜ao ser estabelecidas entre veracidade, satisfazibilidade e demonstrabilidade? O que ´e um algoritmo e que rela¸c˜ao existe entre algoritmos e f´ormulas? Pressup˜oe-se que o leitor tem treino de trabalho puramente formal, j´a foi exposto a argumentos de cardinalidade ou por indu¸c˜ao transfinita e conhece estruturas alg´ebricas. No caso dos alunos de L´ogica da UBI esses pressupostos s˜ao garanti- dos pela precedˆencia da disciplina anual ´Algebra. N˜ao tendo encontrado um texto em portuguˆes que cumprisse o nosso programa com a eficiˆencia necess´aria para uma disciplina com as caracter´ısticas atr´as descritas e n˜ao sendo especialistas em L´ogica Matem´atica, opt´amos por fazer uma tradu¸c˜ao com modifica¸c˜oes e correc¸c˜oes de alguns cap´ıtulos de [H] e [MA], alicer¸cada em [E] e [BM]. Utiliz´amos tamb´em alguns exerc´ıcios de [BM] que nos pareceram particularmente bons para ilustrar aspectos mais gerais de teoremas de aplica¸c˜ao aparentemente restrita.
  3. 3. ´Indice 1 L´ogica proposicional 5 1.1 Conectivos e f´ormulas bem formadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Fun¸c˜oes de Boole; tautologias; formas normais . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Teoremas de substitui¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Conjuntos de conectivos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 C´alculo Proposicional e tautologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 C´alculo Proposicional: o Teorema de Dedu¸c˜ao. . . . . . . . . . . . . . 28 1.7 Completude do C´alculo Proposicional; consistˆencia. . . . . . . . . . . 31 2 L´ogica de Predicados (de primeira ordem) 39 2.1 Linguagens de primeira ordem: alfabeto, termos e f´ormulas. . . . . . 39 2.2 Interpreta¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Satisfazibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5 C´alculo de predicados; Teorema de Dedu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7 Um Teorema de Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.8 Modelos; completude e compacidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.9 EXERC´ICIOS. Uma introdu¸c˜ao a An´alise N˜ao-Standard . . . . . . . 73 2.10 Rela¸c˜oes e fun¸c˜oes aritm´eticas e recursivas. . . . . . . . . . . . . . . 83
  4. 4. 3 Introdu¸c˜ao ´a Teoria de computabilidade 91 3.1 M´aquinas de Turing; fun¸c˜oes comput´aveis . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2 M´aquinas especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.3 Composi¸c˜ao e Recurs˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4 Rela¸c˜oes comput´aveis; operador de m´ınimo; fun¸c˜oes recursivas . . . . 110 3.5 Enumerabilidade m´aquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.6 Computabilidade , recursividade e aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . 122 3.7 Incompletude da Aritm´etica I: teorema de Tarsky . . . . . . . . . . . 124 3.8 Incompletude da Aritm´etica II: axiomatiza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . 130 3.9 Incompletude da Aritm´etica III: demonstra¸c˜oes . . . . . . . . . . . . 133
  5. 5. Cap´ıtulo 1 L´ogica proposicional 1.1 Conectivos e f´ormulas bem formadas Nos exemplos adiante ´e poss´ıvel decompor a afirma¸c˜ao o completa em asser¸c˜oes con- stituintes mais simples mediante part´ıculas de conex˜ao gramatical. Os conectivos que nos interessam para j´a s˜ao dados na seguinte tabela conectivo nome leitura ≈ nega¸c˜ao n˜ao ∧ conjun¸c˜ao e ⇒ implica¸c˜ao implica ⇔ equivalˆencia ´e equivalente a Exemplos 1.1.1 Designando as asser¸c˜oes constituintes por p, q e r podemos obter as estruturas indicadas em cada caso – os parenteses s˜ao utilizados apenas como sinais de pontua¸c˜ao. 1. Como dois mais trˆes ´e igual a cinco e quatro mais um tamb´em (´e igual a cinco), ent˜ao dois mais trˆes ´e igual a quatro mais um. (p ∧ q) ⇒∼ r 2. Se a equa¸c˜ao x5 + x4 − x3 − x2 + x + 1 = 0 tiver cinco raizes reais, elas n˜ao s˜ao todas negativas.
  6. 6. p ⇒ r 3. Toda a fun¸c˜ao real de vari´avel real e cont´ınua, definida num intervalo, toma todos os valores entre quaisquer dois que tome, em particular o polin´omio x → x2 toma todos os valores entre zero e quatro. p ⇒ q Enquanto o primeiro exemplo n˜ao tem impl´ıcita qualquer quantifica¸c˜ao, os outros envolvem quantificadores a v´arios n´ıveis de complexidade. No entanto n˜ao nos inter- essa de imediato esse aspecto. De facto, pretendemos, de momento, apenas organizar de uma certa forma um conjunto de express˜oes independentemente do significado que lhes possa ser atribuido , para al´em de a organiza¸c˜ao ter sido motivada pela forma de racioc´ınio mais frequentemente utilizada: o silogismo itmodus ponens . Mais precisamente, pretende-se estudar uma linguagem com os seguintes s´ımbolos: s´ımbolos proposicionais pi(i ∈ N), os conectivos definidos acima e parente- ses como sinais de pontua¸c˜ao. Nestes termos uma express˜ao ´e uma sequˆencia de conectivos, s´ımbolos proposicionais e parenteses. Observa¸c˜ao: para n˜ao sobrecarregar a nota¸c˜ao, em situa¸c˜oes onde se considerem poucos s´ımbolos proposicionais estes ser˜ao designados por distintas letras min´usculas sem sub´ındices. Defini¸c˜ao 1.1.2 (F´ormula proposicional bem formada ou fpbf ou F´ormula proposicional) 1. Um conjunto de express˜oes diz-se indutivo se contiver os s´ımbolos proposi- cionais e contendo express˜oes α e β tamb´em cont´em (∼ α ), (α ∧ β), (α ∨ β), (α ⇒ β) e (α ⇔ β). 2. O conjunto das f´ormulas proposicionais ´e a intersec¸c˜ao de todos os conjuntos indutivos de express˜oes. Designaremos o conjunto das f´ormulas proposicionais por . Exerc´ıcio 1.1.3 Mostre que ´e indutivo A demonstra¸c˜ao do teorema seguinte ´e agora imediata a partir da defini¸c˜ao de Teorema 1.1.4 (Princ´ıpio de Indu¸c˜ao) Qualquer conjunto indutivo de fpbfs ´e o conjunto de todas as fpbfs. O teorema seguinte sugere uma m´aquina que destinge as fbfb de outras express˜oes(veja- se o exemplo 1.1.7.4 e [E;1.4,p´ag.41])
  7. 7. 7 Teorema 1.1.5 (Unicidade de leitura) Uma fpbf ou ´e um s´ımbolo proposicional ou ´e de uma das formas (∼ α), (α ∧ β) , (α ∨ β), (α ⇒ β) ou (α ⇔ β), para fpbfs α ou β. Dem. Seja C o conjunto cujos elementos s˜ao os s´ımbolos proposicionais ou as express˜oes que se obtˆem a partir de fpbfs como descrito no enunciado. Como ´e indutivo C ⊆ . Basta agora mostrar que C ´e ele pr´oprio indutivo e aplicar o Princ´ıpiode Indu¸c˜ao. O algoritmo consiste ent˜ao em construir uma ”´arvore invertida”come¸cando na ex- press˜ao dada e que dever´a ter como ”folhas”s´ımbolos proposicionais 1 . Por exemplo (((p ⇒ q) ∨ r) ⇒ (s ⇒ (r1 ∧ s2))) ((p ⇒ q) ∨ r) (s ⇒ (r1 ∧ s2)) (p ⇒ q) r s (r1 ∧ s2 ) p s r1 s2 Exerc´ıcios 1.1.6 1. Mostre que qualquer fpbf ´e equilibrada , i.e., o n´umero de parenteses esquerdos, (, que ocorre na f´ormula ´e igual ao n´umero de parenteses direitos, ). 2. O comprimento de uma express˜ao ´e o n´umero de s´ımbolos que a constituem. Mostre que n˜ao existem fpbfs de comprimentos 2, 3 ou 6, mas quaisquer outros comprimentos s˜ao poss´ıveis. Omiss˜ao de parenteses Com a defini¸c˜ao 1.1.2 as express˜oes nos exemplos 1.1.1 n˜ao s˜ao fpbf, mas simplifica¸c˜oes n˜ao amb´ıguas que viremos a utilizar sistematicamente por uma quest˜ao de simplicidade de escrita. Eliminam-se parenteses nas fpbfs aplicando na ordem indicada as regras que se apresen- tam a seguir. 1. Eliminam-se os parenteses exteriores 2. ∼ aplica-se ´a fpbf mais curta que se lhe segue ´a (direita) 3. ∧ e ∨ aplicam-se, na ordem em que ocorrem da direita para a esquerda , ´as fpbf adjacentes mais curtas (veja-se o exemplo 1.1.7.1) 1 ver p´agina 4
  8. 8. 4. ⇒ e ⇔ aplicam-se, na ordem em que ocorrem da direita para a esquerda , `as fpbf adjacentes mais curtas. Exemplos 1.1.7 1. A aplica¸c˜ao exaustiva das regras 3 ou 4 pode confundir mais que ajudar: (p ∧(q∨r)) simplifica para p ∧ q ∨ r ; parece-nos no entanto mais claro ficar por p ∧(q ∨ r). 2. A f´ormula ((p ∧ (∼ q)) ∨ (r ∨ (s ∧ (∼ p)))) poderia ser simplificada do seguinte modo, j´a tomando em conta o exemplo anterior, ((p ∧ (∼ q)) ∨ (r ∨ (s ∧ (∼ p)))) → (p ∧ (∼ q)) ∨ (r ∨ (s ∧ (∼ p))) → (p∧ ∼ q) ∨ (r ∨ (s∧ ∼ p)) → (p∧ ∼ q) ∨ r ∨ (s∧ ∼ p) 3. Tem-se tamb´em a seguinte cadeia de simplifica¸c˜oes: (((p ⇒ q) ∨ r) ⇒ (s ⇒ (r1 ∧ s2))) → ((p ⇒ q) ∨ r) ⇒ (s ⇒ (r1 ∧ s2)) → ((p ⇒ q) ∨ r) ⇒ (s ⇒ r1 ∧ s2) → ((p ⇒ q) ∨ r) ⇒ s ⇒ r1 ∧ s2 → (p ⇒ q) ∨ r ⇒ s ⇒ r1 ∧ s2 4. Reciprocamente, os parenteses podem repor-se do seguinte modo p ⇒ q ∨ r ∧ s ⇒∼ p∧ ∼ q → p ⇒ q ∨ r ∧ s ⇒ (∼ p) ∧ (∼ q) → p ⇒ q ∨ (r ∧ s) ⇒ ((∼ p) ∧ (∼ q)) → p ⇒ (q ∨ (r ∧ s)) ⇒ ((∼ p) ∧ (∼ q)) → (p ⇒ ((q ∨ (r ∧ s)) ⇒ ((∼ p) ∧ (∼ q)))) Exerc´ıcios 1.1.8 1. Omita o maior n´umero poss´ıvel de parenteses nas seguintes f´ormulas (a) ((p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))) (b) ((p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))) (c) ((∼ (∼ p)) ⇔ p) (d) (∼ (p ⇒ q) ↔ (p ∧ (∼ q))) (e) (p ∨ (∼ p)) (f) (∼ (p ∧ (∼ p))) (g) (((p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r)))
  9. 9. 9 2. Reponha os parentˆeses nas f´ormulas seguintes (a) p ∧ q ⇒ r ∨ s (b) (p ∧ q) ∨ r∧ (c) p ∨ q ∨ r ∧ s (d) (∼ p ∨ q ⇒ r) ⇔ p ∧ yq ∨ r (e) ∼ p ∨ q ⇒ r ⇔ p ∧ yq ∨ r 1.2 Fun¸c˜oes de Boole; tautologias; formas nor- mais De um modo natural, cada α ∈ {∼ p, p ∧ q, p ∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q} origina uma fun¸c˜ao fα , definida de uma potˆencia cartesiana do conjunto V dos valores l´ogicos V (verdadeiro) e F (falso) em si mesmo; estas fun¸c˜oes s˜ao dadas pelas seguintes tabelas de verdade f∼p : V → V X f∼p (X) v F F V fα : V → V(α ∈ {p ∧ q, p ∨ q, p ⇒ q, p ⇔ q}) X Y fp∧q (x, y) fp∨q (x, y) fp⇒q (x, y) fp⇔q (x, y) V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Tamb´em podemos associar aos conectivos fun¸c˜oes definidas de potˆencias cartesianas do conjunto das express˜oes para ele pr´oprio; por exemplo f∧ (p, q) = p ∧ q. Deste modo cada fpbf ou ´e um s´ımbolo proposicional ou ´e uma imagem de uma sequˆencia de s´ımbolos proposicionais por uma composi¸c˜ao destas fun¸c˜oes (e de projec¸c˜oes e imers˜oes); por exemplo p ∧ q ⇒ r ∨ s = f⇒ (f∧ (p, q), f∨ (r, s)).
  10. 10. Assim, cada fpbf α , digamos que com n s´ımbolos proposicionais (n ∈ N), define uma fun¸c˜ao 2 fα : Vn → V; por exemplo, se α = p ∧ q ⇒ r, fα : ν3 → ν ter´a a seguinte tabela x1 x2 x3 fα (x1, x2, x3) V V V V V V F F V F V V V F F V F V V V F V V V F V F V F F V V F F F V As tabelas de verdade podem obter-se de um modo simples, se bem que formal- mente menos correcto, identificando adequadamente fun¸c˜oes de Boole e conectivos e subentendendo a substitui¸c˜ao de s´ımbolos proposicionais por vari´aveis em V , com uma disposi¸c˜ao de c´alculo conveniente; por exemplo para α = (p ∧ q) ⇒ r tem-se a seguinte tabela: p ∧ q ⇒ r V V V V V V V V F F V F F V V V F F V F F F V V V F F V V F F F F V V F F F V V F F F V F ´As fun¸c˜oes fα : Vn → V d´a-se o nome de fun¸c˜oes de Boole e temos vindo a observar que (1.2.1) toda a fpbf define uma fun¸c˜ao de Boole Veremos adiante que tamb´em toda a fun¸c˜ao de Boole ´e da forma fα para alguma fpbf α 2 ver p´agina 7
  11. 11. 11 Exerc´ıcios 1.2.1 1. Determine as fun¸c˜oes de Boole para as seguintes f´ormulas (a) (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) (b) (p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) (c) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) (d) ∼ (p ∨ q) (e) ∼ (p ∧ q) (f) p ⇒ q ⇒ p (g) (p ⇒ q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ q) ⇒ p ⇒ r (h) (∼ p ⇒∼ q) ⇒ (q ⇒ p) 2. Determine f´ormulas α de modo que cada uma das seguintes fun¸c˜oes de Boole seja da forma fα . (a) f : V → V ≡ f(V ) = f(F) = F (b) f : V → V ≡ f(V ) = f(F) = V (c) f : V → V ≡ f(x, y) = V sse x = y (d) f : V → V ≡ f(x, y) = V sse x ≥ y, sendoF < V. Exerc´ıcios 1.2.2 Uma tautologia ´e uma fpbf α cuja fun¸c˜ao fα toma s´o o valor V. Nota-se |= α se α ´e uma tautologia. Uma lista de tautologias importantes (T1) Associatividades : c ∈ {∧, ∨, ⇔} pc(qcr) ⇔ (pcq)cr) (T2) Distributividades p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (T3) Nega¸c˜oes ∼ (∼ (p)) ⇔ p ∼ (p ⇒ q) ⇔ (p∧ ∼ q) ∼ (p ⇔ q) ⇔ (p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)
  12. 12. (T4) Leis de De Morgan ∼ (p ∨ q) ⇔∼ p∧ ∼ q ∼ (p ∧ q) ⇔∼ p∨ ∼ q (T5) Princ´ıpio do terceiro excluido p∨ ∼ p (T6) Princ´ıpio da n˜ao contradi¸c˜ao ∼ (p∧ ∼ p) (T7) Lei de convers˜ao (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p) (T8) Regra de exporta¸c˜ao (p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r) Exerc´ıcio 1.2.3 Mostre que cada (Ti) (1 ≤ i ≤ 8) ´e uma tautologia. Retomando a observa¸c˜ao (1.2.1), pode por-se a quest˜ao de se saber quando duas f´ormulas definem a mesma fun¸c˜ao de Boole. A resposta ´e dada mediante a seguinte Defini¸c˜ao 1.2.4 Duas fpbfs α e β dizem-se tautologicamente equivalentes se α ⇔ β for uma tautologia. Por exemplo p∨ ∼ p e q ⇒ q s˜ao tautologicamente equivalentes – e compostas de s´ımbolos proposicionais distintos; para uma maior clareza de exposi¸c˜ao no que vai seguir-se, tome-se em conta a seguinte observa¸c˜ao: Se uma f´ormula α ´e constituida de s´ımbolos proposicionais escolhidos de entre p1 a pn, mas n˜ao necessariamente de todos eles, poderiamos pensar numa fun¸c˜ao de Boole associada, digamos (x1, ..., xn) → Fα (x1, ..., xn) cujo valor dependeria apenas das vari´aveis x1j corre- spondentes aos s´ımbolos proposicionais pij que ocorrem de facto em α (j=1,...,m); ter se-ia ent˜ao Fα (x1, ..., xn) = fα (x1, ..., xn)
  13. 13. 13 Para n˜ao tornar o discurso demasiadamente pesado identificaremos as fun¸c˜oeses Fα fα . 3 Conv´em observar ainda que, para fpbfs α e β , cujos s´ımbolos proposicionais est˜ao em {p1, ..., pn} , e conectivos bin´arios c (1.2.2) f∼α (p1, ..., pn) = f∼p (fα (p1, ..., pn)) (1.2.3) fαcβ (p1, ..., p2) = fpcq fα (p1, ..., p2), fβ (p1, ..., p2) Elementos suficientes para demonstrar estas igualdades podem encontrar-se em [E;1.2]. Com estas observa¸c˜oes ´e simples demonstrar o Teorema 1.2.5 Duas fpbfs cujos s´ımbolos proposicionais est˜ao em {p1, ..., pn} de- finem a mesma fun¸c˜ao de Boole sse s˜ao tautologicamente equivalentes. Dem |= α ⇔ β sse fα⇔β sse (fα , fβ ) ≡ V sse fα efβ tomam o mesmo valor em qualquer argumento, i. e., s˜ao iguais. q.e.d. Vamos ent˜ao provar a rec´ıproca de (1.2.1), a saber: Teorema 1.2.6 Toda a fun¸c˜ao de Boole b : Vn → V(n ∈ N0) ´e da forma fα , para alguma fpbf α . Dem I. Se b ≡ F, tome α = p1∧ ∼ p1. II. Caso em que b n˜ao ´e identicamente F. Sejam Xi = (xi1 , ..., xin ) ∈ Vn (i=1,...,k) as sequˆencias para as quais b(Xi) = V Defina-se para cada i=1,...,k 3 Veja-se [E;1.5,pag.46]
  14. 14. βij =    pj se Xij = V ; (j = 1, ..., n) ∼ pj se Xij = F . γi = n j=1 βij α = k i=1 γij Observe-se que cada γi, de certo modo, descreve a sequˆencia Xi e, portanto, α lista exactamente as sequˆencias em que b vale V. Resta mostrar que fα = b : ora fα vale V sse uma das fγi vale V e cada fγi vale V apenas em Xi ; portanto fα (X)=V sse X=Xi, para algum i=1,...,k, como se pretendia. q.e.d. Estes dois ´ultimos teoremas tˆem uma interessant´ıssima consequˆencia. Diz-se que uma fpbf tem forma normal dijuntiva se for da forma α = n j=1 βij em que γi = n j=1 βij (i=1,...,k) e os βij s˜ao s´ımbolos proposicionais ou nega¸c˜oes de s´ımbolos proposicionais. Tem-se Corol´ario 1.2.7 Qualquer fpbf ´e tautologicamente equivalente a uma f´ormula na forma normal dijuntiva. Dem O corol´ario ´e , de facto, consequˆencia da demonstra¸c˜ao: mostrou-se que qualquer fun¸c˜ao de Boole ´e representada por uma fpbf na forma normal dijuntiva. q.e.d. Repare-se que as tautologias e as contradi¸c˜oes, i. e., as f´ormulas cujas fun¸c˜oes de Boole s˜ao identicamente falsas, s˜ao tautologicamente equivalentes a fpbfs de formas normais muito simples: respectivamente p1∨ ∼ p1 e p1∧ ∼ p1 ou, se se insistir em que cada conectivo ∧ e ∨ ocorra pelo menos uma vez, ainda respectivamente (p1 ∧ p1) ∨ (∼ p1∧ ∼ p1) e (p1 ∧ p1) ∨ (p1∧ ∼ p1).
  15. 15. 15 Exerc´ıcio 1.2.8 Uma fpbf α diz-se na forma normal conjuntiva se existirem fpbfs γi tais que α = n j=1 γi em que γ = n j=1 βij (i = 1, ..., k) e os βij s˜ao s´ımbolos proposicionais ou nega¸c˜oes de s´ımbolos proposicionais. Mostre que qualquer fpbf ´e tautologicamente equivalente a uma fpbf na forma normal con- juntiva. 1.3 Teoremas de substitui¸c˜ao No que se segue vamos utilizar frequentemente as igualdades em (1.2.2) e (1.2.3). Teorema 1.3.1 Sejam α e β f´ormulas bem formadas. Se α e α ⇒ β s˜ao tautolo- gias, ent˜ao β ´e uma tautologia. Dem. Suponha-se que α e β tˆem s´ımbolos proposicionais entre p1, ..., pn . Por hip´otese |= α e |= β e da´ı fα : Vn → V e fα⇔β : Vn → V valem identicamente V. Considerando tamb´em (1.2.3), temos que, para qualquer (x1, ..., xn) ∈ Vn V = fα⇔β (x1, ..., xn), = fp⇔q (fα (x1, ..., xn), fβ (x1, ..., xn)), = fp⇔q (V, fβ (x1, ..., xn)) Como o ´unico Y ∈ ν para o qual fp⇔q (V, Y ) = V ´e o mesmo V, concluimos que fβ (x1, ..., xn) ´e identicamente V, i. e., |= β q.e.d. As condi¸c˜oes(1.2.2)e(1.2.3) indicam, de certo modo, casos particulares do seguinte: se os s´ımbolos proposicionais p1, ...pn de uma fpbf qualquer τ s˜ao substituidos re- spectivamente por fpbfs β1, ..., βn e denotarmos por τ∗ a fpbf resultante, ent˜ao (1.3.1) fτ∗ (x1, ..., xn) = fτ (fβ1 (x1, ..., xn), ..., (fβn (x1, ..., xn)) 4 O caso em que τ ´e uma tautologia ´e de particular importˆancia. 4 Uma demonstra¸c˜ao desta igualdade pode fazer-se de acordo com [E; 1.3.ex.7, p´ag 38]
  16. 16. Defini¸c˜ao 1.3.2 Uma fpbf α diz-se a realiza¸c˜ao da tautologia τ se verificarem as seguintes condi¸c˜oes 1. |= τ 2. α obt´em-se substituindo cada ocorrˆencia de cada s´ımbolo proposicional pi em τ por uma fpbf βi . Por exemplo a f´ormula α = p1 ∧ p5 ⇔ p1 ∧ p5 realiza a tautologia τ = p1 ⇔ p6 com β5 = p1 ∧ p5 e as tautologias s˜ao trivialmente realiza¸c˜oes de si pr´oprias. Teorema 1.3.3 As realiza¸c˜oes de tautologias s˜ao tautologias Dem Basta observar que fτ ´e identicamente V sempre que τ ´e uma tautologia. q.e.d. Recapitulando a lista de tautologias (Ti) das p´aginas 8 e 9 e mostrando que |= p∧q ⇔ q ∧ p, |= p ∨ q ⇔ q ∨ p e |= (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p) pode concluir-se Corol´ario 1.3.4 Para quaisquer fpbf α ,β e γ as seguintes f´ormulas s˜ao tautologias: α(βcγ) ⇔ (αcβ)cγ (αcβ) ⇔ (βcα) (c ∈ {∧, ∨, ⇔} α ∧ (β ∨ γ) ⇔ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) α ∨ (β ∧ γ) ⇔ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) ∼ (∼ α) ⇔ α ∼ (α ⇒ β) ⇔ (α∧ ∼ β) ∼ (α ⇔ β) ⇔ (α∧ ∼ β) ∧ (∼ α ∧ β) ∼ (α ∨ β) ⇔∼ α∧ ∼ β ∼ (α ∧ β) ⇔∼ α∨ ∼ β α∨ ∼ α ∼ (α∧ ∼ α) (α ⇒ β) ⇔ (∼ β ⇒∼ α) (α ∧ β ⇒ γ) ⇔ (α ⇒ (β ⇒ γ)) Pela sua importˆancia na formaliza¸c˜ao de regras de inferˆencia convir´a tamb´em ter presente o seguinte Corol´ario 1.3.5 Para quaisquer α, β ∈ , |= α ∧ β ⇒ α e |= α ∧ β ⇒ β e |= α ⇒ α ∨ β e |= β ⇒ α ∨ β
  17. 17. 17 Podemos tamb´em substituir fpbf componentes por outras fpbfs. Neste caso o processo consiste em substituir ”n´os”da ”´arvore”referida imediatamente antes de 1.1.6 por outras fpbfs e tem-se o Teorema 1.3.6 Se a fpbf γ(α → β) se obt´em da fpbf γ substituindo em γ ocorrˆencias da fpbf α pela fpbf β e α ´e tautologicamente equivalente a β, ent˜ao γ(α → β) ´e tau- tologicamente equivalente a γ . Dem. Suponha-se que α, β ∈ e que |= α ⇔ β. Com a nota¸c˜ao do enunciado, seja C = {γ ∈ ι :|= γ ⇔ γ(α → β)}. Vamos ver que C = mostrando que C ´e indutivo. 1o : Se p ´e um s´ımbolo proposicional, ent˜ao p ∈ C. Neste caso, γ =p, s´o pode acon- tecer γ = α = β, portanto γ = γ(α → β) =p e, como |= p ⇔ p, p ∈ C. 2o : Se γ ∈ C , ent˜ao (∼ γ) ∈ C. Comecemos por observar que (∼ γ)(α ∼→ β) = (∼ γ(α → β)). Por hip´otese |= γ ⇔ γ(α → β) e, por 1.3.3, |= (γ ⇔ γ(α → β)) ⇒ (∼ γ ⇔ γ(α → β)) donde por 1.3.1, |= γ ⇔∼ γ(α → β) ou seja |= (∼ γ) ⇔ (∼ γ)(α → β), como se pretendia. 3o : Se γ, δ ∈ C, ent˜ao para qualquer c ∈ {∧ , ∨, ⇔, ⇒}(γcδ) ∈ C. Provamos apenas o caso em que c =⇒ , pois os outros casos s˜ao estudados analoga- mente. Suponha-se que γ, δ ∈ C. Pretendemos mostrar que |= (γ ⇒ δ) ⇔ (γ ⇒ δ)(α → β) Repare-se que (γ ⇒ δ)(α → β) = γ(α → β) ⇒ δ(α → β) Assim pretende-se de facto mostrar que (1.3.2) |= (γ ⇒ δ) ⇔ (γ(α → β) ⇒ δ(α → β)) tendo-se, por hip´otese, (1.3.3)
  18. 18. |= γ ⇔ γ(α → β) e |= δ ⇔ δ(α → β) dado que γ, δ ∈ C. Comecemos por observar que, por (1.2.3), se |= τ e |= σ, ent˜ao |= τ ∧ σ, portanto resulta de (1.3.3) que (1.3.4) |= (γ ⇔ γ(α → β)) ∧ (δ ⇔ δ(α → β)) Ora tem-se tamb´em que, para quaisquer s´ımbolos proposicionais p,q, r e s, |= ((p ⇔ r) ∧ (q ⇔ s)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇔ (r ⇒ s)) Podemos agora utilizar o Teorema 1.3.3 para garantir que |= ((γ ⇔ γ(α → β)) ∧ (δ ⇔ δ(α → β))) ⇒ ((γ ⇒ δ) ⇔ (γ(α → β) ⇒ δ(α → β))) Utilizando o Teorema 1.3.1 e a asser¸c˜aoo (1.3.4) concluimos (1.3.2), como se pre- tendia. O 30 caso est´a terminado. O conjunto C ´e ent˜ao indutivo, como se queria mostrar. q.e.d. Uma consequˆencia imediata deste teorema permite simplificar bastante alguns c´alculos. Corol´ario 1.3.7 Para fpbfs α, β e γ, se α ´e tautologicamente equivalente a β e β ´e tautologicamente equivalente a γ, ent˜ao α ´e tautologicamente equivalente a γ. Dem. Suponha-se que |= α ⇔ β e |= β ⇔ γ . De acordo com o teorema anterior α ⇔ γ ´e tautologicamente equivalente a α ⇔ β, i. e., |= (α ⇔ β) ⇔ (α ⇔ γ). Segue-se que V≡ f(α⇔β)⇔(α⇔γ) fp⇔q (fα⇔β , fα⇔γ ) Por hip´otese fα⇔β ≡ V portanto fα⇔γ ≡, ou seja |= α ⇔ γ, i. e., α ´e tautologica- mente equivalente a γ. q.e.d.
  19. 19. 19 A asser¸c˜ao seguinte ´e muito ´util para o estudo da forma em que podem ser rep- resentadas por f´ormulas as fun¸c˜oes de Boole. A forma como a vamos demonstrar ´e tamb´em um exemplo de t´ecnica por vezes mais adequada que a utiliza¸c˜ao do Princ´ıpio de Indu¸c˜ao. Teorema 1.3.8 (Princ´ıpio de Dualidade) Suponha-se que os ´unicos conectivos que ocorrem na fpbf γ s˜ao ∼, ∧, ou ∨. Seja γ∗ a fpbf que se obt´em de γ s˜ao ∼, ∧, ou ∨ . Seja γ∗ a fpbf que se obt´em de γ substituindo cada s´ımbolo proposicional pi por ∼ pi , cada ocorrˆencia de ∧ por ∨ e cada ocorrˆencia de ∨ por ∧ . Ent˜ao γ∗ ´e tautologicamente equivalente a ∼ γ. Dem. Vamos utilizar indu¸c˜ao no n´umero de conectivos de γ. 1o ) γ tem zero conectivos. Neste caso, para algum s´ımbolo proposicional p, γ=p. Segue-se que γ∗ =∼ p e ´e ´obvio que |= γ∗ ⇔∼ γ. 2o Suponha-se o teorema v´alido para qualquer fpbf com n conectivos. Seja γ uma fpbf com n+1 conectivos. De acordo com o Teorema de Unicidade de Leitura 1.1.5, exis- tem fpbfs, necessariamente com n conectivos, tais que uma das seguintes alternativas se d´a 1. γ = (∼ α) 2. γ = (α ∧ β) 3. γ = (α ∨ β) (note-se que ⇒ e ⇔ por hip´otese n˜ao ocorrem). No caso 1),γ∗ =∼ α∗ e, por hip´otese de indu¸c˜ao, |= α∗ ⇔∼ α. Pelo Teorema 1.3.3 tem-se |= (α∗ ⇔∼ α) ⇒ (∼ α ⇔∼ (∼ α)). Conclui-se do Teorema 1.3.1 que |=∼ α∗ ⇔∼ (∼ α), i. e., |= γ∗ ⇔∼ γ , como se pretendia. No caso 2), γ∗ = (α ∧ β)∗ = α∗ ∨ β∗ e, por hip´otese de indu¸c˜ao, |= α∗ ⇔∼ α e |= β∗ ⇔∼ β . Utilizando convenientemente os teorema 1.3.1 e 1.3.3 conclui-se |= (α∗ ∨β∗ ) ⇔ (∼ α∨ ∼ β). Acontece que, de novo por 1.3.3, |=∼ α∨ ∼ β ⇔∼ (α∧β). Finalmente, utilizando 1.3.7, concluimos |= (α∗ ∨β∗ ) ⇔∼ (α∧β), i. e.,|= γ∗ ⇔∼ γ, como se pretendia. O caso 3) trata-se de modo an´alogo a 2). q.e.d. Abreviemos ”α ´e tautologicamente equivalente a β ”por ”α |=| β”.
  20. 20. Corol´ario 1.3.9 Sejam p1, ..., pn s´ımbolos proposicionais. 1. n i=1 (∼ pi) |=| ∼ ( n i=1 pi) 2. n i=1 (∼ pi) |=| ∼ ( n i=1 pi) Dem. i) obtem-se por aplica¸c˜ao do Princ´ıpio de Dualidade a n i=1 pi ii) obtem-se por aplica¸c˜ao do Princ´ıpio de Dualidade a n i=1 pi q.e.d. Aplicando o Teorema 1.3.3 obtem-se deste corol´ario Teorema 1.3.10 (Leis de De Morgan) Para fpbfs α1, ..., αn tem-se i) n i=1 (∼ αi) |=| ∼ ( n i=1 (αi) ii) n i=1 (∼ αi) |=| ∼ ( n i=1 (αi) Exerc´ıcio 1.3.3 Uma fpbf α diz-se na forma normal conjuntiva se existirem fpbfs γi α = k i=1 (γi) em que γi = n j=1 βij (i=1,...,k) e os βij s˜ao s´ımbolos proposicionais ou nega¸c˜oes de s´ımbolos proposicionais. Mostre que qualquer fpbf ´e tautologicamente equivalente a uma fpbf na forma normal con- juntiva.
  21. 21. 21 1.4 Conjuntos de conectivos completos Um conjunto C de conectivos diz-se completo se for poss´ıvel representar todas as fun¸c˜oes de Boole por fpbf onde ocorrem apenas conectivos pertencentes a C. O Teorema 1.2.6 diz-nos de facto que qualquer fun¸c˜ao de Boole ´e representada por uma fpbf na forma normal dijuntiva. Portanto Teorema 1.4.1 O conjunto {∼, ∨, ∧} ´e completo. Observando um pouco mais profundamente podemos mesmo afirmar. Teorema 1.4.2 Os conjuntos {∼, ∧}, {∼, ∨}e{∼, ⇒} s˜ao completos. Dem. Recorde-se que fα = fβ sse α |=|β . Dada uma fun¸c˜ao de Boole f, o teorema 1.2.6. demonstra-nos que f= fα , para alguma fpbf α na forma normal dijuntiva; se provarmos que qualquer fpbf α ´e tautologicamente equivalente a uma fpbf onde s´o ocorrem os conectivos ∼ e ∨ ou ∼ e ∧ ou ∼ e ⇒ , concluimos que qualquer fun˜ao de Boole ´e represent´avel por uma fpbf onde, em cada caso, ocorrem apenas os conectivos costantes de cada um dos conjuntos em quest˜ao. De acordo com o teorema 1.2.7 cada fpbf γ ´e tautologicamente equivalente a uma γν onde s´o ocorrem os conectivos ∼, ∧e∨. Vamos partir de γ para obter qualquer das outras usando os teoremas de substitui¸c˜ao. Utilizaremos a nota¸c˜ao do Teorema 1.3.6. Se em γV ocorre η ∧ δ, tome-se γV ((η ∧ δ) → (∼ (∼ η ∨ δ)) e observe-se que γV ((η ∧ δ) → (∼ (∼ η ∨ δ)) |=|γν , pelo teorema 1.3.6; repetindo este processo eliminam-se de γV todas as ocorrˆencias de ∧; e γ |=|γV , sendo γV uma fpbf com ocorrˆencias apenas de ∼ e. Para o segundo caso tome-se γV ((η ∨ δ) → (∼ (∼ η ∧ δ)), por cada ocorrencia de fpbfs da forma η ∨ δ. Analogamente se obt´em γ∧ tautologicamente equivalente a γ e onde s´o ocorrem os conectivos ∼ e ∧. Por exemplo partindo de γ∧ podemos substituir subf´ormulas da forma η ∧δ por ∼ (η ⇒∼ δ), para obter γ→ tal que γ⇒ |=|γ e em γ⇒ s´o ocorrem ∼ e ⇒ . q.e.d. Exemplos 1.4.3 A fpbf (p∨ ∼ q) ⇒ (r ∧ s) ´e tautologicamente equivalente `as seguintes: ∼ (p∨ ∼ q) ∨ (r ∧ s), ∼ (p∨ ∼ q)∨ ∼ (∼ r∨ ∼ s), ∼ (∼ (∼ p ∧ q) ∧ (r ∧ s)), (q ⇒ p) ⇒ (r ⇒∼ s). Nem todos os conjuntos de conectivos s˜ao completos
  22. 22. Exemplos 1.4.4 1. {∼} n˜ao ´e completo: ´e muito f´acil mostrar que as fun¸c˜oes de Boole un´arias constantes n˜ao podem ser representadas por fpbfs apenas com s´ımbolos proposi- cionais e ∼ . 2. {∧, ⇔} n˜ao ´e completo. Vamos demonstrar esta afirma¸c˜ao por indu¸c˜ao no n´umero de conectivos de fpbfs α onde s´o ocorrem os conectivos ∼ e ⇔ : mostraremos que fα toma o valor V se todas as suas vari´aveis valerem V, portanto n˜ao ´e poss´ıvel representar por exemplo a fun¸c˜ao que vale identica- mente F. Se α tem zero conectivos, ent˜ao α ´e um s´ımbolo proposicional, digamos α = p; neste caso fα = fp (V)=V. Admita-se que a afirma¸c˜ao vale quando ocorrem no m´aximo n conectivos e suponha-se que α tem n+1 conectivos; necessariamente α = (β ∧ γ) ou α = (β ⇔ γ), para fpbfs β e γ que ter˜ao quando muito n ocorrencias de conectivos (∧ou ⇔). Atribuindo a todas as vari´aveis de fα o valor V tem-se, considerando a hip´otese de indu¸c˜ao, fα (V, ..., V ) = fp∧q (fβ (V, ..., V ), fα (V, ..., V )) = fp∧q (V, V ) = V ou, analogamente fα (V, ..., V ) = fp⇔q (fα (V, ..., V ), fβ (V, ..., V )) = fp⇔q (V, V ) = V Pelo Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica a afirma¸c˜ao sobre fα vale com qualquer n´umero de conectivos, como se pretendia. Repare-se que na verdade qualquer tabela de valores l´ogicos V e F define um conec- tivo – que poder´a ser un´ario bin´ario, tern´ario, etc. – sendo assim poss´ıvel definir ao todo dezasseis conectivos bin´arios, dos quais at´e aqui estud´amos quatro. Pode mostrar-se que {c} n˜ao ´e completo se c ∈ {∧, ∨, ⇔, ⇒}. No entanto Teorema 1.4.5 Os conectivos Nor e Nand respectivamente designado por ↓ e | e definidos pelas tabelas p q p ↓ q p|q V V F F V F F V F V F V F F V V
  23. 23. 23 formam cada um por si um conjunto completo. Dem. Em virtude do teorema 1.4.2, bastar´a mostrar que ∼ p e p ∨ q s˜ao tauto- logicamente equivalentes a fpbfs que s´o envolvam ↓ ou s´o envolvem |. Vejamos o primeiro caso, come¸cando por notar que p ↓ q |=| ∼ (p ∨ q) Assim obt´em-se com 1.3.7 que p ↓ p |=| ∼ p e, consequentemente, (p ↓ q) ↓ (p ↓ q) |=|(∼ (p ∨ q)) Como ∼ (∼ (p ∨ q)) |=|p ∨ q vem, por 1.3.7, (p ↓ q) ↓ (p ↓ q) |=|p ∨ q Para | , comecemos por notar que p|q |=|(p ∧ q) e da´ı p|p |=| ∼ p Como p∨ |=|(∼ p∧ ∼ q) tem-se (p|p)|(q|q) |=|p ∨ q ´E um excelente exerc´ıcio de paciˆencia e concentra¸c˜ao exprimir ⇔ apenas com ↓ . Exerc´ıcios 1.4.6 Para os exerc´ıcios seguintes tenha em conta que o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao 1.1.4 vale considerando o conjunto de conectivos ampliado com os que even- tualmente venham a ser definidos; por exemplo, no exerc´ıcio 1 definimos o conectivo <: deve juntar-se `a constru¸c˜ao de fpbf 1.1.2 que, se α e β s˜ao fpbf, (α < β) tamb´em ´e .
  24. 24. 1. Defina o conectivo < pela tabela p q p < q V V F V F F F V V F F F Mostre que {∼, <} ´e completo, mas {<} n˜ao ´e . 2. Considere a fun¸cao de Boole f: V3 → V definida pela tabela seguinte X Y Z f(X, Y, Z) V V V V V V F V V F V V V F F F F V V V F V F F F F V F F F F F a) Determine uma fpbf que represente f com apenas cinco conectivos. Identifique cuidadosamente as aplica¸c˜oes de teoremas de substitui¸c˜ao. b) Denote por o conectivo tern´ario definido pela tabela acima (conectivo de maio- ria). Mostre que { } n˜ao ´e completo. 1.5 C´alculo Proposicional e tautologias Nesta sec¸c˜ao vamos definir um processo de gerar todas as tautologias. Simplificando a nota¸c˜ao tomaremos como primitivos apenas os conectivos ∼ e ⇒, definindo todos os outros ´a sua custa, como abreviaturas – recorde-se que {∼, ⇒} ´e completo (teorema 1.4.2) –. Assim a linguagem com que passamos a trabalhar ser´a o conjunto dado por = {α ∈ : α n˜ao tem ocorrˆencias de ∧, ∨ ou ⇔} e as igualdades seguintes definem os conectivos ∧, ∨e ⇒ α ∧ β =∼ (α ⇒ (∼ β)) α ∨ β =∼ α ⇒ β a ⇔ β = (α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α)
  25. 25. 25 Com as devidas adapta¸c˜oes para vale o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao 1.1.4 e o teorema de Leitura ´unica 1.1.5. As regras de c´alculo incluir˜ao um n´umero infinito de axiomas descritos por um n´umero finito de esquemas – o que, atrav´es do teorema de leitura ´unica, permite um m´etodo ”mecˆanico”de decidir se uma fpbf ´e ou n˜ao um axioma. Defini¸c˜ao 1.5.1 O sistema formal L do C´alculo proposicional consiste no seguinte: i) O conjunto ii)O conjunto de esquemas de axiomas: para quaisquer fpbfs α, β e γ, as seguintes fpbfs s˜ao axiomas de L ( L 1) (α ⇒ (β ⇒ α)) ( L 2) ((α ⇒ (β ⇒ γ)) ⇒ ((α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ γ))) ( L 3) (((∼ α) ⇒ β) ⇒ (((∼ α) ⇒ (∼ β)) ⇒ α)) iii) A regra de inferˆencia modus ponens: para quaisquer α, β , de αe(α ⇒ β) , deduz-se (ou conclui-se) β . Tal como observ´amos no in´ıcio (p´ag. 2) a regra de inferˆencia pretende formalizar o processo b´asico de dedu¸c˜ao em matem´atica; este processo ´e ainda mais reflectido na seguinte Defini¸c˜ao 1.5.2 Uma dedu¸c˜ao em L ´e uma sequˆencia α1, ..., αn de fpbfs em que cada αi (i=1,...,n) ´e um axioma ou resulta de duas fpbfs de menor ´ındice,αj e αk (j,k<i), por aplica¸c˜ao de modus ponens. O n´umero n diz-se o comprimento da dedu¸c˜ao. O ´ultimo termo , αn , de uma dedu¸c˜ao diz-se um teorema de L e a sequˆencia diz-se uma dedu¸cao(em L ) de αn. Repare-se que cada axioma ´e um teorema: tem uma dedu¸c˜ao cujo ´unico termo ´e ele pr´oprio. ´E tamb´em simples de ver que qualquer segmento inicial α1, ..., αn (m<n) de uma dedu¸c˜ao α1, ..., αn ´e uma dedu¸c˜ao e, portanto, qualquer termo de uma dedu¸c˜ao ´e um teorema. Obviamente o conjunto de premissas {αj, αk} para a conclus˜ao αi ´e da forma {α, α ⇒ αi} para alguma fpbf α. Vimos como o formalismo desenvolvido nas sec¸c˜oes anteriores pode servir para for- malizar a linguagem corrente. Tamb´em vimos como esse formalismo pode servir para tratar fun¸c˜oes de Boole que opt´arm mos por definir ´a custa de termos ”ver- dadeiro”e ”falso-- mas poderiam muito bem ter sido definidas em termos de 0 e 1–
  26. 26. dando assim lugar a interpreta¸c˜oes em termos de circuitos el´ectrico (”desligado”e ”ligado”). 5 Para nos distanciarmos ainda mais dos poss´ıveis significados atribuiveis aos s´ımbolos que estamos a utilizar temos a seguinte Defini¸c˜ao 1.5.3 Uma valua¸c˜ao de L ´e uma fun¸c˜ao υ : → {0, 1} tal que, para quaisquer α, β ∈ , i) υ(α) = υ(∼ α) ii) υ(α ⇒ β) = 0 sse υ(α) = 1 e υ(β) = 0 Pode demonstrar-se que qualquer fun¸c˜ao υ definida do conjunto de s´ımbolos proposi- cionais para {0, 1} se prolonga por uma valua¸c˜ao υ de modo que υ(α) depende apenas dos s´ımbolos proposicionais que ocorrem em α . Observando que as valua¸c˜oes est˜ao, por defini¸c˜ao, definidas em todos os s´ımbolos proposicionais, poderiamos reformu- lar as sec¸c˜oes anteriores nas novas condi¸c˜oes. Esta possibilidade de reinterpreta¸c˜ao pode ser levada mais longe ainda. Defini¸c˜ao 1.5.4 Uma tautologia de L ´e uma fpbf α tal que υ(α)=1, para qualquer valua¸c˜ao υ . Notaremos |=L α se α uma tautologia de L. Esta no¸c˜ao de tautologia comporta-se como a da sec¸c˜ao 1.2 (veja-se o teorema 1.3.1): Teorema 1.5.5 Para quaisquer α, β ∈ , se |=L α e |=L α ⇒ β , ent˜ao |=L β . Dem Suponha-se que |=L α e |=L α ⇒ β e seja υ uma valua¸c˜ao. Por hip´otese υ(α ⇒ β) = 1; portanto ou υ(α) = 0 ou υ(β) = 1 – por defini¸c˜a o de valua¸c˜ao – e como υ(α) = 1 por hip´otese, necessariamente υ(β) = 1. Como υ foi tomada arbitrariamente, |=L β. Podemos j´a demonstrar uma parte do resultado para que nos encaminhamos. 5 O exerccio 1.4.6.2.a) pode ser interpretado em termos de encontrar circuitos mais simples para os mesmos efeitos. Alias Nand e Nor s˜ao exemplos de blocos de constru¸c˜ao de circuitos (bastante complicados...).
  27. 27. 27 Teorema 1.5.6 (De boa fundamenta¸c˜ao) Todos os teoremas de L s˜ao tautologias. Dem. (Por indu¸c˜ao no comprimento das demonstra¸c˜oes) Se α ´e um teorema que tem uma dedu˜ao de comprimento 1, α1 , ent˜ao α = α1 e α ´e um axioma. ´E um exerc´ıcio de rotina verificar que todos os axiomas s˜ao tautologias. Suponha-se que todos os teoremas que tˆem uma dedu¸c˜ao de comprimento menor ou igual a n s˜ao tautologias e seja α um teorema demonstrado por α1, ..., αn+1 . Por defini¸c˜ao α = αn+1 . J´a vimos que os axiomas s˜ao tautologias; vejamos o caso em que α n˜ao ´e um axioma: Como estamos a supor que α n˜ao ´e um axioma, existem αj, αk, β ∈ tais que j,k<n+1 e αj = β e αj = β ⇒ α . Como qualquer segmento inicial α1, ..., αm (m ≤ n) ´e uma dedu¸c˜ao, por hip´otese de indu¸c˜ao |=L αj e |=L αk , i. e., |=L β e |=L β → α ; segue-se do Teorema 1.5.5 que |=L α, como se pretendia. Pelo Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica todos os teoremas de L s˜ao tautologias. Mostrar que todas as tautologias s˜ao teoremas de L ´e significativamente mais dif´ıcil. O processo inicia-se na sec¸c˜ao seguinte. No entanto podemos j´a apresentar um teo- rema de L Teorema 1.5.7 Para qualquer α ∈ , α ⇒ α ´e um teorema de L. Na dedu¸c˜oes descritas daqui em diante a coluna da direita indica a raz˜ao de escolha da f´ormula (´e o que se pode chamar a justifica¸c˜ao); MP abrevia ”aplica¸c˜ao de modus ponens”. Dem. α1 = (α ⇒ ((α ⇒ α) ⇒ α)) ⇒ ((α ⇒ (α ⇒ α)) ⇒ (α ⇒ α)) (L2) α2 = α ⇒ ((α ⇒ α) ⇒ α) (L1) α3 = ((α ⇒ (α ⇒ α)) ⇒ (α ⇒ α) (MP α1&α2) α4 = α ⇒ (α ⇒ α) (L1) α5 = α ⇒ α (MP α3 & α4) q.e.d.
  28. 28. ´E poss´ıvel estudar sistemas formais onde os conectivos primitivos s˜ao quaisquer dos pares completos do teorema 1.4.2 – ou outros conjuntos, completos ou n˜ao – no entanto ´e natural tomar a implica¸c˜ao como conectivo bin´ario primitivo j´a que modus ponens ´e o processo fundamental de inferˆencia em matem´atica. Exerc´ıcio 1.5.8 Mostre que {∼, ⇔} n˜ao ´e completo (SUG: mostre que as fun¸c˜aoes de Boole representadas por fpbf onde s´o ocorram ∼ e ⇔ tomam um n´umero par de vezes o valor V). 1.6 C´alculo Proposicional: o Teorema de Dedu¸c˜ao. Como sabe quem estuda Matem´atica, frequentemente interessa tirar conclus˜oes de conjuntos de premissas especificadas para al´em dos axiomas. Defini¸c˜ao 1.6.1 Seja Γ um conjunto de fpbfs, i. e., Γ ⊆ . Diz-se que a sequˆencia de fpbfs α1, ..., αn ´e uma dedu¸c˜ao a partir de Γ (em L ) se, para cada i (1 ≤ i ≤ n) uma das condi¸c˜oes seguintes se verifica 1. αi ´e um axioma de L 2. αi ∈ Γ 3. αiobtem-se de duas fpbfs αj, αk(1 ≤ j, k ≤ i) por aplica¸c˜ao de modus ponens. Nestas condi¸c˜oes diz-se que αn ´e dedut´ıvel de Γ (emL), αn ´e consequˆencia de Γ(emL) ou que Γ prova αn . Se a fpbfα ´e dedut´ıvel de Γ escreve-se Γ L α. Aos elementos de Γ chamam-se hip´oteses. Uma leitura cuidada da defini¸c˜ao 1.5.3 mostra que os teoremas de L s˜ao as con- sequˆencias de ∅; notaremos L α se α ´e um teorema. Um caso de aplica¸c˜ao frequente ´e descrito no seguinte Teorema 1.6.2 Para quaisquer α, β, γ ∈ , {α ⇒ β, β ⇒ γ} L α ⇒ γ . Dem. α1 = (β ⇒ γ) ⇒ (α ⇒ (β ⇒ γ)) (L1) α2 = β ⇒ γ (hipotese) α3 = α ⇒ (β ⇒ γ) (α1, α2e MP) α4 = (α ⇒ (β ⇒ γ)) ⇒ ((α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ γ)) (L2) α5 = (α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ γ) (α3, α4 e MP) α6 = α ⇒ β (hipotese) α7 = α ⇒ γ (α5, α6 e MP)
  29. 29. 29 q.e.d. Deixa-se ao cuidado do leitor o estudo do exemplo seguinte; o estudo ser´a ainda mais simples se apenas se numerarem os passos das demonstra¸c˜oes em vez de os designar por αα , conven¸c˜ao que seguiremos de ora em diante. Exemplos 1.6.3 Para quaisquer Γ ⊆ eα, β ∈ , se Γ L α ⇒ β ent˜ao Γ∪oα} L β Uma dificuldade est´a em demonstrar a rec´ıproca desta asser¸c˜ao, a saber: Teorema 1.6.4 (De Dedu¸c˜ao) Para quaisquer Γ ⊆ e α, β ∈ , se Γ ∪ {α} L β, ent˜ao Γ L α ⇒ β Antes de apresentarmos uma demonstra¸c˜ao ( e generalizando um pouco os coment´arios que fizemos imediatamente a seguir ´a defini¸c˜ao de dedu¸c˜ao, 1.5.2), convir´a ter pre- sente que -Se Γ ⊆ Γ , ent˜ao qualquer dedu¸c˜ao a partir de Γ ´e tamb´em uma dedu¸c˜ao a partir de Γ . Em particular os teoremas de L s˜ao consequˆencias de qualquer conjunto de fpbfs. -Qualquer segmento inicial de uma dedu¸c˜ao a partir de Γ ´e uma dedu¸c˜ao a partir de Γ -Se α1, ..., αn e β1, ..., βn s˜ao dedu¸c˜oes a partir de Γ , ent˜ao a sequˆencia α1, ..., αn, β1, ..., βn ´e uma dedu¸c˜ao a partir de Γ . Sob um ponto de vista pr´atico: -A introdu¸c˜ao de uma consequˆencia de Γ como termo de uma dedu¸c˜ao a partir de Γ ´e admiss´ıvel: a consequˆencia pode tomar-se como abreviatura da sua dedu¸c˜ao.
  30. 30. Dem. (1.6.4). Vamos fazer indu¸c˜ao sobre o comprimento n das dedu¸c˜oes de β indicando em cada caso uma dedu¸c˜ao de α ⇒ β . n=1 Nestas condi¸c˜oes α1, ..., αn = αn = β 1o ) β ∈ Γ ou β ´e um axioma de L 1. β (hipotese ou axioma) 2. β ⇒ α ⇒ β (axioma) 3. α ⇒ β (MP 1 & 2) 2o ) β = α Neste caso α ⇒ β = α ⇒ α e |=L α ⇒ α Repare-se que de facto tamb´em acab´amos de mostrar que (1.6.1) Se β ∈ Γ ou β´e um axioma de L ou β = α e em qualquer dos casos Γ∪{α} L β , ent˜ao Γ L α ⇒ β . independentemente do comprimento de uma poss´ıvel dedu¸c˜ao de β. Suponha-se agora que o teorema vale quando os comprimentos das dedu¸c˜oes de β a partir de Γ ∪ {α} s˜ao menores ou iguais a n. Seja α1, ..., αn+1, uma dedu¸c˜ao de β a partir deΓ ∪ {α}. S´o interessa estudar o caso em que n˜ao se aplica (1.6.1), i. e., β = αn+1 obtem-se de αj = γ e αk = γ ⇒ β, para alguma f´ormula γ, com i ≤ j, k ≤ n. Por hip´otese de indu¸c˜ao Γ L α ⇒ γ e Γ L α ⇒ γ ⇒ β: uma dedu¸c˜ao de α ⇒ β a partir de Γ pode ser descrita do seguinte modo (1) α ⇒ γ (Γ L α ⇒ γ) (2) α ⇒ γ ⇒ β (Γ L α ⇒ γ ⇒ β) (3) (α ⇒ γ ⇒ β) ⇒ (α ⇒ γ) ⇒ α ⇒ β (L2) (4) (α ⇒ γ) ⇒ α ⇒ β (MP 2 & 3) (5) α ⇒ β (MP 1 & 4) Pelo Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica o teorema vale para qualquer n ∈ N{0}. q.e.d. Algumas aplica¸c˜oes deste teorema que utilizaremos adiante: Teorema 1.6.5 Para quaisquer α, β ∈ 1. ∼∼ α L α
  31. 31. 31 2. α L∼∼ α 3. {β, ∼ β} L α Dem. 1. (1) ∼ α ⇒∼ α ( L , 1.5.7) (2) (∼ α ⇒∼ α) ⇒ (∼ α ⇒∼∼ α) ⇒ α (L3) (3) (∼ α ⇒∼∼ α) ⇒ α (MP 1 & 2) (4) ∼∼ α (hipotese) (5) ∼∼ α ⇒ (∼ α ⇒∼∼ α) (L1) (6) ∼ α ⇒∼∼ α (MP4&5) (7) α (MP2&6) 2. (1) ∼∼∼ α ⇒ α ( L , caso 1) (2) (∼∼∼ α ⇒ α) ⇒ (∼∼∼ α) ⇒∼ α) ⇒∼∼ α (L3) (3) α (hipotese) (4) α ⇒ (∼∼∼ α ⇒∼ α) (L1) (5) ∼∼∼ α ⇒ α (MP3&4) (6) (∼∼∼ α ⇒ α) ⇒∼∼ α (MP2&5) (7) ∼∼ α (MP1&6) 3. (1) (∼ α ⇒ β) ⇒ (∼ α ⇒∼ β) ⇒ α (L3) (2) β ⇒ (∼ α ⇒ β ) (L1) (3) β (hipotese) (4) ∼ α ⇒ β (MP2&3) (5) (∼ α ⇒ β) ⇒ α (MP1&4) (6) ∼ β ⇒ (∼ α ⇒ β) (L1) (7) ∼ β (hipotese) (8) ∼ α ⇒ β (MP6&7) (9) α (MP5&8) q.e.d. 1.7 Completude do C´alculo Proposicional; con- sistˆencia. Para mostrarmos que todas as tautologias s˜ao teoremas vamos ver que n˜ao ´e poss´ıvel ampliar o conjunto dos teoremas sem que na amplia¸c˜ao surja uma f´ormula sobre a qual alguma valua¸c˜ao valeria simultaneamente 0 e 1, o que ´e imposs´ıvel.
  32. 32. As defini¸c˜oes da sec¸c˜ao 1.5 s˜ao muito facilmente generaliz´aveis: Um sistema formal F (para o C´alculo Proposicional ) consiste em , um conjunto especificado de f´ormulas de , que ser˜ao designados por axiomas de F, e um con- junto de regras de inferˆencia. Uma dedu¸c˜ao de αn a partir de Γ ⊆ em F ´e uma sequˆencia fpbf α1, ..., αn em que cada αi ´e um axioma ou ´e um elemento de Γ ou resulta de f´ormulas anteriores por aplica¸c˜ao de alguma regra de inferˆencia. As f´ormulas dedut´ıveis de ∅ ser˜ao chamadas teoremas de F, notando-se Γ |=F α, se α ´e dedut´ıvel de Γ, e |=F α, se α ´e um teorema de F Designemos por Teo (F) o conjunto de teoremas do sistema formal F . Defini¸c˜ao 1.7.1 Uma extens˜ao de um sistema formal F ´e um sistema formal F∗ tal que Teo (F) ⊆ Teo(F∗ ). Uma extens˜ao-MP de L ´e uma extens˜ao cuja ´unica regra de inferˆencia ´e modus ponens. Extens˜oes-MP obtˆem-se por prolongamento ou modifica¸c˜ao do conjunto de axiomas. H´a no entanto que ter cuidado com a aquisi¸c˜ao de novos teoremas. Defini¸c˜ao 1.7.2 Uma extens˜ao F de L diz-se consistente se ∼ α e α n˜ao s˜ao simultaneamente teoremas de F , seja qual for α ∈ . Teorema 1.7.3 L ´e consistente. Dem. Pelo Teorema de Boa Fundamenta¸c˜ao 1.5.6, os teoremas de L s˜ao tautologias e α e ∼ α n˜ao o podem ser simultaneamente. q.e.d. Consistˆencia para extens˜oes-MP ´e caracteriz´avel do seguinte modo: Teorema 1.7.4 Uma extens˜ao-MP L∗ de L ´e consistente sse existe uma f´ormula em que n˜ao ´e teorema de L∗ . Ou seja, uma extens˜ao-MP L∗ de L ´e inconsistente (ou n˜ao consistente) se e s´o se todas as f´ormulas s˜ao teoremas de L∗ . Dem. Se L∗ ´e consistente e α ´e uma f´ormula qualquer apenas um dos casos ´e poss´ıvel |=L∗ α ou |=L∗ ∼ α ; o caso que se n˜ao der indica a f´ormula que n˜ao ´e teorema. Se L∗ n˜ao ´e consistente ent˜ao para uma certa α ∈ tem-se |=L∗ α e |=L∗ ∼ α. Vamos ver que (1.7.1) |=L∗ β para qualquer β ∈ .
  33. 33. 33 Comecemos por supor demonstrado o seguinte lema LEMA. |=L∼ γ ⇒ γ ⇒ β para quaisquer γ, β ∈ Segue-se que tamb´em (1.7.2) |=L∗ ∼ γ ⇒ γ ⇒ β para quaisquer γ, β ∈ pois L∗ ´e extens˜ao de L ; mas ent˜ao tem-se a seguinte dedu¸c˜ao, para qualquer β ∈ (1) α |=L∗ α (2) ∼ α |=L∗ ∼ α (3) ∼ α ⇒ α ⇒ β ((1.7.2)) (4) α ⇒ β (MP 2 & 3) (5) β (MP 1 & 4) Portanto |=L∗ β, como se pretendia. Resta demonstrar o Lema. Dem. do Lema: de acordo com o teorema de dedu¸c˜ao, basta mostrar que {∼ γ, γ} |=L β, o que foi feito em 1.6.5.3. q.e.d. A asser¸c˜ao seguinte diz que podemos acrescentar a um sistema formal as nega¸c˜oes de f´ormulas que n˜ao sejam teoremas sem perder a consistˆencia. Teorema 1.7.5 Seja L∗ uma extens˜ao-MP consistente de L suponha que α ∈ Teo (L∗ ). Seja L∗∗ a extens˜ao-MP de L∗ que se obtem juntando ∼ α aos axiomas de L∗ . L∗∗ ´e consistente. Dem. Suponha que α, L, L∗ , L∗∗ est˜ao nas condi¸c˜oes da hip´otese mas que L∗∗ ´e inconsistente. De acordo com o teorema anterior,|=L∗∗ α. Como a diferen¸ca entre L∗ e L∗∗ ´e que ∼ α ´e tamb´em um axioma do segundo, conclui-se em particular que ∼ α |=L∗ α. Como os teoremas de L tamb´em s˜ao teoremas de L∗ , os axiomas de L s˜ao teoremas de L∗ e portanto vale o Teorema de Dedu¸c˜ao em L∗ ; segue-se que |=L∗∗∼ α ⇒ α. Suponha-se demonstrado o seguinte Lema LEMA. |=L (∼ α ⇒ α), para qualquer α ∈ . Como L∗ ´e uma extens˜ao de L, |=L∗ (∼ α ⇒ α) ⇒ α. Consequentemente |=L∗ α, como se pretendia. Resta provar o lema. Dem. do lema. Utilizamos o Teorema de Dedu¸c˜ao.
  34. 34. (1) ∼ α ⇒ α (hipotese) (2) (∼ α ⇒ α) ⇒ (∼ α ⇒ α) ⇒ α (L3) (3) (∼ α ⇒ α) ⇒ α (MP 1 & 2) (4) ∼ α ⇒∼ α (1.5.7) (5) α (MP 3 & 4) q.e.d Pode saturar-se L adicionando um n´umero suficiente de fpbfs. Defini¸c˜ao 1.7.6 Uma extens˜ao L∗ de L diz-se completa se para qualquer α ∈ , ou |=L∗ αou |=L∗ ∼ α. Observe-se que qualquer extens˜ao inconsistente ´e completa (teorema 1.7.4), que qualquer extens˜ao completa n˜ao pode ser estritamente ampliada sem se tornar in- consistente e que L n˜ao ´e completa: para qualquer s´ımbolo proposicional p, nem p nem ∼p s˜ao teoremas de L . Podemos concluir de 1.7.5 e da ´ultima observa¸c˜ao que L tem extens˜oes estritas L∗ , i. e., Teo(L) ⊂ Teo(L∗ ). Note-se tamb´em que qualquer extens˜ao de uma extens˜ao ´e extens˜ao do sistema inicial. Teorema 1.7.7 Toda a extens˜ao consistente de L tem por sua vez uma extens˜ao consistente e completa. Dem. Seja α0, α1, ..., αn, ... uma enumera¸c˜ao de todas as fpbfs de . Vamos con- struir a extens˜ao por n´ıveis que ser˜ao reunidos no fim. Seja L∗ uma extens˜ao con- sistente de L. Notemos por F; α o sistema formal que se obtem do sistema formal F por adi¸c˜ao da f´ormula α ao conjunto de axiomas. Defina L0 = L∗ Ln+1 =    Ln se |=Ln αn (n ∈ N) Ln; ∼ αn se αn /∈ Teo(Ln) Por hip´otese L0 ´e consistente e, pelo teorema 1.7.5, se Ln ´e consistente tamb´em Ln+1 ´e consistente; pelo princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica todas as extens˜oes Ln s˜ao consistentes. Note-se por F ∪ F a extens˜ao dos sistemas F e F cujo conjunto de axiomas ´e a reuni˜ao dos conjuntos de axiomas de F e F . Seja
  35. 35. 35 L∞ = ∪∞ n=0Ln ´E imediato que L∞ ´e uma extens˜ao de L∗ . Vejamos que L∞ ´e consistente: se o n˜ao fosse, existiria α ∈ tal que |=L∞ ∼ α e |=L∞ α. Tomem-se dedu¸c˜oes de ∼ α e de α em L∞ . O n´umero de f´ormulas envolvidas em ambas as dedu¸c˜oes ´e finito, portanto o n´umero de axiomas tamb´em e estes ser˜ao axiomas de algum Ln , para n suficientemente grande; mas ent˜ao α e ∼ α s˜ao de facto teoremas de Ln , o que ´e imposs´ıvel pois todos os Ln s˜ao consistentes. Em suma, L∞ n˜ao pode ser inconsistente. Para vermos que L∞ ´e completa basta observar que qualquer f´ormula de ocorre em algum lugar na listagem inicial portanto, em algum passo da constru¸c˜ao, ela ou a sua nega¸c˜ao foi incluida como axioma e, assim, tamb´em como teorema. q.e.d. Resta-nos mais um passo preliminar para o qual convir´a ter presente o seguinte exerc´ıcio Exerc´ıcio 1.7.8 Mostre que |=L (∼ α ⇒∼ β) ⇒ (β ⇒ α), para quaisquerα, β ∈ . Teorema 1.7.9 Se L∗ ´e uma extens˜ao-MP consistente de L, existe uma valua¸c˜ao que vale 1 em todos os teoremas de L∗ . Dem.Tome uma extens˜ao completa e consistente L∞ de L (por exemplo como construida no teorema anterior) e defina υ(α) =    1 se |=L∞ α 0 se |=L∞ ∼ α Repare-se que υ est´a definida em todas as fpbfs de pois L∞ ´e completa. Falta ver que υ(α ⇒ β) = 0 sse υ(α) = 1 e υ(β) = 0, pois υ(α) = υ(∼ α) resulta de L∞ ser consistente. Suponha que υ(α ⇒ β) = 0. Comece por observar que ent˜ao (1.7.2) |=L∞ ∼ (α ⇒ β) Se υ(α) = 0 ou υ(β) = 1 ent˜ao |=L∞ ∼ α ou |=L∞ β . Utilizando o axioma (L1) convenientemente conclui-se
  36. 36. |=L∞ ∼ β ⇒∼ α ou |=L∞ α ⇒ β o que, pelo exerc´ıcio anterior, leva em qualquer caso a |=L∞ α ⇒ β o que, com (1.7.2), contradiz a consistˆencia de L∞ . Segue-se que necessariamente υ(α) = 1 e υ(β) = 0, se υ(α ⇒ β) = 0. Suponha agora que υ(α) = 1 e υ(β) = 0, mas υ(α ⇒ β) = 1. Ent˜ao |=L∞ α e |=L∞ β, portanto |=L∞ β ; mas de υ(β) = 0 conclui-se |=L∞ β e L∞ n˜ao seria consistente. Tem de ser υ(α ⇒ β) = 0 se υ(α) = 1 e υ(β) = 0. q.e.d. Finalmente Teorema 1.7.10 (de Completude Fraca) Para qualquer α ∈ , se |=L ∞, ent˜ao |=L ∞ . Dem. Se |=L ∞ mas α ∈ Teo (L), ent˜ao, pelo teorema 1.7.5,L ;∼ α ´e consis- tente; pelo teorema anterior, existe uma valua¸c˜ao υ que vale 1 em todos os teo- remas de L; ∼ α, em particular υ(∼ α) = 1, o que ´e imposs´ıvel pois necessaria- mente υ(∼ α) = υ(α) e υ(α) = 1 por α ser uma tautologia. Segue-se que |=L α q.e.d. Uma nota final: as tabelas de verdade fornecem um algoritmo para verificar se uma dada f´ormula ´e ou n˜ao um teorema do C´alculo proposicional sem ser necessario explicitar uma dedu˜ao. Exerc´ıcios 1.7.11 1. Mostre que para quaisquer f´ormulas α, β, γ ∈ (a) |=L ((α ∧ β) ⇒ α) (b) |=L ((α ∧ β) ⇒ β) (c) |=L (α ⇒ (β ⇒ (α ∧ β))) (d) |=L ((α ⇒ (α ⇒ (α ∨ β))) (e) |=L ((β ⇒ (α ⇒ (α ∧ β))) (f) |=L ((α ⇒ γ ⇒ ((β ⇒ γ) ⇒ ((α ∨ β) ⇒ γ))
  37. 37. 37 2. Seja F o sistema formal que se obt´em de L juntando as regras de inferˆencia I1) α ∧ β ...α I2) α ∧ β ...β I3) α ...α ∨ β I4) β ...α ∨ β I5) ∼ αα∧β ...β I6) ∼ βα∨β ...α Mostre que Teo (L) = Teo (F). 3. Seja L∗ o sistema formal que se obt´em de L substituindo o esquema de axiomas (L3) por (L 3) (∼ α ⇒ β) ⇒ β ⇒ α (α, β ∈ ) mantendo os outros esquemas e tendo MP como ´unica regra de inferˆencia. Mostre que Teo(L) =Teo(L∗ ). 4. Um conjunto Γ ⊆ diz-se inconsistente (em L) se existir α ∈ tal que Γ |=L α e Γ |=L∼ α . Seja Γ um subconjunto de . Mostre que, para quaisquer α, β ∈ , (a) se (α ⇒ β) ∈ Γ e ambos os conjuntos Γ ∪ {∼ α} e Γ ∪ {β} s˜ao inconsis- tentes, ent˜ao Γ ´e inconsistente. (b) se ∼ (α ⇒ β) ∈ Γ e Γ∪{α, ∼ β}´e inconsistente, ent˜ao Γ ´e inconsistente. (c) Um subconjunto de diz-se consistente (em L)se n˜ao for inconsistente (em L). Mostre que Γ ⊆ ´e consistente sse todos os subconjuntos finitos de Γ s˜ao consistentes.
  38. 38. Cap´ıtulo 2 L´ogica de Predicados (de primeira ordem) A formaliza¸c˜ao p ⇒ q no exemplo 1.1.1.3 ´e claramente insuficiente para explici- tar a estrutura da asser¸c˜ao a´ı descrita; um caso de estrutura¸c˜ao ainda menor ocorre quando se pretende representar ”os quadrados de n´umeros reais s˜ao n´umeros n˜ao neg- ativos”: no ˆambito do C´alculo Proposicional teremos de utilizar apenas um s´ımbolo proposicional sem quaisquer conectivos! Para podermos analizar mais profundamente este tipo de afirma¸c˜oes vamos desen- volver uma linguagem mais elaborada. 2.1 Linguagens de primeira ordem: alfabeto, ter- mos e f´ormulas. O alfabeto de uma linguagem de primeira ordem consiste em s´ımbolos que se dis- tribuem por duas classes a saber 1. S´ımbolos l´ogicos (a) Parˆenteses (, )−− para pontua¸c˜ao (b) V´ırgula , −− para pontua¸c˜ao (c) Conectivos ∼ e ⇒ −− respectivamente nega¸c˜ao e implica¸c˜ao (d) Vari´aveis xi(i ∈ N{0}) 2. Parˆametros (a) O quantificador universal ∀ – que se lˆe ”para todo o” (b) S´ımbolos predicativos n-´arios An i (n, i ∈ N{0})
  39. 39. (c) Constantes ai (i ∈ bkN{0}) (d) S´ımbolos funcionais n-´arios fn i (n, i ∈ N{0}). Consoante as estruturas que se tˆem em mente – adiante precisaremos o que se entende por estrutura – assim o conjunto de parˆametros. Exemplos 2.1.1 1. A linguagem do C´alculo de Predicados Puro tem apenas os parˆametros ∀ , s´ımbolos predicativos An i (n, i ∈ N{0}) e constantes ai(i ∈ N{0}). 2. A linguagem para a Teoria dos Corpos Ordenados tem parˆametros∀, dois s´ımbolos predicativos A2 i e A2 2 – respectivamente para as rela¸c˜oes bin´arias de igualdade e de ordem – duas constantes a1ea2 – respectivamente para o zero e a unidade – dois s´ımbolos funcionais f2 1 ef2 2 – respectivamente para a soma e o produto. Tal como para a l´ogica proposicional, uma express˜ao ´e uma sequˆencia de s´ımbolos. De entre as express˜oes come¸caamos por distinguir os termos com os quais ser˜ao formadas as f´ormulas de uma linguagem de primeira ordem L . Defini¸c˜ao 2.1.2 O conjunto dos termos de L ´e a intersec¸c˜ao de todos os conjun- tos de express˜oes E que verifiquem as seguintes propriedades 1. As vari´aveis e as constantes de L s˜ao elementos de E 2. Se t1, ..., tn ∈ E e fn i um s´ımbolo funcional n-´ario de L , ent˜ao fn i (t1, ..., tn) ∈ E (n ∈ N{0}). T designa o conjunto de todos os termos de L . Repare-se que vale o seguinte Teorema 2.1.3 (Princ´ıpio de Indu¸c˜ao em Termos) Se E ⊆ T , as vari´aveis e as constantes de L s˜ao elementos de E e fn i (t1, ..., tn) ∈ E sempre que os termos t1, ..., tn est˜ao em E e fn i ´e um s´ım mbolo funcional n-´ario de L , ent˜ao E = T . A demonstra¸c˜ao fica a cargo do leitor.
  40. 40. 41 Exemplos 2.1.4 Retomando o exemplo 2 de 2.1.1: a1, f2 i (a1, x1) e x5 s˜ao termos da linguagem da teoria de corpos ordenados. De facto s˜ao termos de qualquer linguagem que inclua a constante ai e o s´ımbolo funcional bin´ario f2 1 no seu alfabeto. Como temos vindo a dar a entender, pretende-se essencialmente estudar express˜oes envolvendo vari˜aveis 1 . Mais precisamente Defini¸c˜ao 2.1.5 O conjunto das f´ormulas bem formadas L ´e a intersec¸c˜ao de todos os conjuntos de express˜oes E tais que 1. Se t1, ..., tn ∈ T e An i ´e um s´ımbolo predicativo n-´ario, ent˜ao An i (t1, ..., tn) ∈ E (n ∈ N{0}) 2. Se α, β ∈ E e xi ´e uma vari´avel, ent˜ao (∼ α), (α ⇒ β), ∀xiα s˜ao todas elemen- tos de E . As f´ormulas Ai(t1, ..., tn) definidas em 2.1.5.i) s˜ao chamadas at´omicas . De ora em diante abreviamos ”f´ormula bem formada”por ”f´ormula”ou ”fbf”. Mais uma vez vale um princ´ıpio de indu¸c˜ao e mais uma vez tamb´em esperamos que o leitor o demonstre. Teorema 2.1.6 (de Indu¸c˜ao em F´ormulas) Se E ⊆ F , E cont´em todas as f´ormulas at´omicas e, contendo as f´omulasα e β , tamb´em cont´em (∼ α) e (α ⇒ β) e ∀xiα , seja qual for a vari´avel xi , ent˜ao E = F . De modo a aliviar um pouco a carga de s´ımbolos em algumas f´ormulas, definimos as seguintes abreviaturas: para quaisquer fbfs α e β e qualquer vari´avel x (α ∧ β) = (∼ (α ⇒ β)) (α ∨ β) = ((∼ α) ⇒ β) (α ⇔ β) = ((α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α)) ∃xα = (∼ ∀x(∼ α)) ∃ chama-se quantificador existencial e ∃ x lˆe -se ”existe x tal que”. Tamb´em omitiremos parenteses de acordo com as regras definidas em 1, p´agina 4; h´a no entanto que tornar mais precisas algumas situa¸c˜oes novas. 1 Em certos casos estas express˜oes costumam designar-se por condi¸c˜oes
  41. 41. Defini¸c˜ao 2.1.7 Sejam Q um quantificador (∀ ou ∃), x uma vari´avel e α uma f´ormula. Se Q x ocorre em α , o campo de quantifica¸c˜ao ) de Qx em α ´e a f´ormula mais curta `a direita de Qx. Vejamos alguns exemplos. Exemplos 2.1.8 1. Seja α = ∀x1(∃x2A2 1(f2 1 (x1, x2), a1)). O campo de ∀x1 em α ´e β = ∃x2A2 1(f2 1 (x1, xn), a1) e o campo de ∃x2, em α e em β, ´e γ = A2 1(f2 1 (x1, x2), a1) 2. Considere a f´ormula ∀x1(∃x2A2 1(f2 2 (x1, x2), a2) ⇒ ∀x2(∼ A2 1(x2, a1) ⇒ A2 1(f2 2 (x1, x2), a1))) O campo de ∀x1 ´e toda a f´ormula restante; o campo de ∀x1 ´e ∼ A2 1(x2, a1) ⇒ A2 1(f2 2 (x1, xn), a1); o campo de ∃x2 ´e A2 1(f2 2 (x1, x2), a2). Adiante pretendemos substituir vari´aveis livres por outros termos sem alterar poss´ıveis ”significados atribuiveis `a ”f´ormula. Para tal tenha-se em conta a seguinte Defini¸c˜ao 2.1.9 1. Uma vari´avel x diz-se livre na fbf α se n˜ao ocorre no campo de uma quan- tifica¸c˜ao Qx. 2. Um termo t diz-se livre para a vari´avel x na fbf α se t=x ou as ocorrˆencias livres de x em α n˜ao est˜ao no campo de alguma quantifica¸c˜ao Qy na qual y ocorre em t. A parte 2 desta defini¸c˜ao estabelece as condi¸c˜oes em que as ocorrˆencias livres de uma vari´avel podem ser substituidas por um termo numa fbf. ´E simples decidir quais as vari´aveis livres de uma fbf. A defini¸c˜ao anterior postula que qualquer vari´avel x ´e sempre livre para si pr´opria em qualquer fbf; n˜ao ´e t˜ao simples determinar se um termo com mais de uma vari´avel ´e ou n˜ao livre para alguma outra.
  42. 42. 43 Exemplos 2.1.10 1. As vari´aveis que ocorrem em α do exemplo 2.1.8 s˜ao todas mudas em α; x1 ´e livre em β e em γ, x2 s´o ´e livre em γ . 2. O termo f3 2 (x3, x4) ´e livre para qualquer das vari´aveis em qualquer das f´ormulas consideradas em 1 e 2 dos exemplos 2.1.8, pois n˜ao h´a quantifica¸c˜oes em x3 ou x4 . 3. O termo f2 1 (x1, x2)n˜ao ´e livre para x1 em β , porque x1 ocorre livre no campo de quantifica¸c˜ao de ∃x2 . Em termos de interpreta¸c˜ao: se A2 1 for interpretada pela igualdade, f2 1 pela soma e a1 por zero num anel, β ”toma a forma”∃x2(x1 + x2 = 0) e esta n˜ao tem por certo o mesmo ”significado”que ∃x2 ((x1 + x2) + x2 = 0). No entanto x1ef2 1 (x1, x2)s˜ao livres para x2 em α, pois a ´unica ocorrˆencia de x2 em α muda no campo de ∃x2 . 4. Agora na f´ormula do segundo exemplo de 2.1.8: x1 ´e livre para x2 , pois x2 s´o tem ocorrˆencias mudas; x1 n˜ao ´e livre para x1 porque x1 ocorre livre em A2 1(f2 2 (x1, x2), a2) no campo de ∃x2 . 5. Na fbf ∀x4(A1 2(x1) ⇒ ∃x2A2 2(x2, x2) ∧ ∀x1(A1 2(x3) ⇒ A3 2(x1, x4, x1))). O termo f3 2 (x1, x2, x3) ´e livre para x1 − − pois a ´unica ocorrˆencia livre de x1 na f´ormula est´a no campo de ∀x4 e x4 ∈ {x1, x2, x3} − − mas n˜ao ´e livre para x2 − − que ocorre livre no campo de ∃x2 − − nem para x3 ou x4 − − que ocorrem livres no campo de ∀x1. 2.2 Interpreta¸c˜oes Uma interpreta¸c˜ao da linguagem de primeira ordem L ´e uma fun¸c˜ao I cujo dom´ınio ´e o conjunto dos parˆametros de L verificando as seguintes propriedades: (I1)I(∀) ´e um conjunto n˜ao vazio, denominado o universo de I . (I2) Para cada s´ımbolo predicativo An i de L, I(An i ) ´e uma rela¸c˜ao n-´aria
  43. 43. em I(∀), i. e., I(An i ) ⊆ I(∀)n (I3) Para cada constante ai de L, I(ai) ´e um elemento de I(∀) (I4) Para cada s´ımbolo funcional fn i de L, I(fn i )´e uma fun¸c˜ao n-´aria de I(∀) em I(∀), i. e., I(fn i ) : I(∀) → I(∀) Recorde-se que L pode n˜ao ter s´ımbolos funcionais ou constantes −− casos em que (I3) ou (I4) se n˜ao aplicam −− e note-se tamb´em que I(An i ) pode ser vazia. Ao contradom´ınio de uma interpreta¸c˜ao I que, um pouco abusivamente, designaremos por < I(∀), I(An i ), I(ai), I(fn i ) >chamaremos estrutura para L ; o exemplo seguinte mostra onde est´a o abuso de nota¸c˜ao. Exemplos 2.2.1 Se L tem parˆametros ∀, A2 1, A2 2, a1, a2, f2 1 , f2 2 uma interpreta¸c˜ao pode ser dada por I(∀) = R, I(A 2 1 ) ´e a rela¸c˜ao de igualdade em R, I(A2 2) ´e a rela¸c˜ao de ordem total lata usual, I(a1) = 0, I(a2) = 1, I(f2 1 ) e I(f2 2 ) s˜ao, respectivamente, soma e o produto usuais. A correspondente estrutura ser´a < R, =, ≤, 0, 1, +, • >, o corpo ordenado dos n´umeros reais. De um modo semelhante tamb´em se vˆe que < Q, =, ≤<, 0, 1, +, • > ou < N, =, ≤, 0, 1, +, • > s˜ao estruturas para L . Ainda outra interpreta¸c˜ao pode ser dada por I(∀) = Z, I(A2 2) = {(m, n) ∈ Z2 : m = 0 e m divide n }, I(f2 1 )(m, n) =    0 se m=0 ou m n˜ao divide n nm caso contr´ario mantendo-se as outras imagens por I com as adapta¸c˜oes adequadas. Cada interpreta¸c˜ao de uma linguagem permite dar significado ´as suas f´ormulas, como vamos ver a seguir. 2.3 Satisfazibilidade Uma das raz˜oes pelas quais estamos no ˆambito da l´ogica de predicados de primeira ordem est´a impl´ıcita no que vamos definir como satisfazibilidade de uma fbf da forma ∀xα .
  44. 44. 45 Com a defini¸c˜aoo de satisfazibilidade estabeleceremos o que significa uma f´ormula ser ou n˜ao verificada numa estrutura. As fbfs verificadas em todas as interpreta¸c˜oes de uma mesma linguagem vir˜ao a ser consideradas em particular. Comecemos por atribuir valores ´as vari´aveis Defini¸c˜ao 2.3.1 Seja I uma interpreta¸c˜ao da linguagem de primeira ordem L cujo conjunto de termos ´e T . Uma valua¸c˜ao para I (na interpreta¸c˜ao e estrutura correspondentes) ´e uma fun¸c˜ao υ : T → I(∀) tal que 1. υ(ai) = I(ai), se ai ´e uma constante de L 2. υ(fn i (t1, ..., tn) = I(fn i )(υ(t1), ..., υ(tn)), se fn i ´e um s´ımbolo funcional e t1, ..., tn s˜ao termos de L . Uma valua¸c˜aoo ´e assim uma forma de associar a cada termo de L o objecto que ´e a sua interpreta¸c˜ao. Repare-se que, por defini¸c˜ao, para cada interpreta¸c˜ao o valor das valua¸c˜oes nas constantes ´e sempre o mesmo. No entanto mesmo em casos muito simples podem construir-se valua¸c˜oes diferentes. Exemplos 2.3.2 1. Seja L uma linguagem de primeira ordem com uma constante, a, sem s´ımbolos funcionais e com apenas um conectivo un´ario A. Uma estrutura para Lpode ser < {1, 2}, ∅, 1 >, sendo a interpreta¸c˜ao dada por I(∀) = {1, 2}, I(A) = ∅, I(a) = 1. Os termos de L s˜ao apenas as vari´aveis e as constantes. Duas valua¸c˜oes diferentes podem ser definidas da seguinte maneira: υ1(t) = 1, se t ´e uma constante ou uma vari´avel, υ2(a) = 1 e υ2(x) = 2 para qualquer vari´avel x. 2. Acrescentando ´a linguagem L do n´umero anterior um s´ımbolo funcional un´ario f e definindo I(f)(1) = 2 e I(f)(2) = 1 ter-se-ia υ1(f(a)) = I(f)(υ1(a)) = I(f)(1) = 2, υ1(f(x)) = I(f)(υ1(x)) = I(f)(1) = 2 para qualquer vari´avel x, υ2(f(a)) = I(f)(υ2(a)) = I(f)(1) = 2, υ2(f(x)) = I(f)(υ2(x)) = I(f)(2) = 1 para qualquer vari´avel x. Adiante veremos valua¸c˜oes mais interessantes. Tenha-se, no entanto presente que uma valua¸c˜ao fica de facto determinada pelos valores que toma nas vari´aveis, i. e., todas as valua¸c˜oes tˆem a seguinte propriedade, que aceitaremos sem demonstra¸c˜ao 2 . 2 Uma demonstra¸c˜ao pode ser feita a partir do Teorema de recurso que se pode encontrar em [E;1.2, p´ag.27]
  45. 45. Teorema 2.3.3 Sejam V o conjunto das vari´aveis de uma linguagem de primeira ordem L e I uma interpreta¸c˜ao de L . Para cada fun¸c˜ao V : V → I(∀) existe uma e uma s´o valua¸c˜ao υ0 : V → I(∀) que coincide com υ0 em V . Em particular, se duas valua¸c˜oes coincidem no conjunto das vari´aveis, ent˜ao coin- cidem no conjunto dos termos, i.e., s˜ao iguais. Podemos ser mais precisos. Para tal −−e tamb´em para outros efeitos −− introduz- imos nota¸c˜ao a saber: dada uma valua¸c˜ao υ e uma vari´avel x a valua¸c˜ao υ(x|c) vale c em x e coincide com V em todas as outras vari´aveis; mais formalmente (2.3.1) υ(xi|c)(xi) =    υ(xj|c) se i = j (i ∈ N{0}) c se i = j Genericamente definimos tamb´em (2.3.2) υ(xi1 |c1; ...; xip |cp) = υ(xi1 |c1)...(xip |cp) Teorema 2.3.4 Sejam I uma interpreta¸c˜ao da linguagem de primeira ordem L . Se duas valua¸c˜oes υ e ω para I coincidem nas vari´aveis de um termo t de L , ent˜ao υ(t) = ω(t). Dem. Tomem-se L e I como na hip´otese. Seja E o conjunto dos termos de L para os quais se tem υ(t) = ω(t) sempre que as valua¸c˜oes υ e ω para I coincidem nas vari´ais que ocorrem em t. Vamos mostrar que E = T . As valua¸c˜oes coincidem nas constantes por defini¸c˜ao, portanto E cont´em as con- stantes. Se t ´e uma vari´avel, dizer que υeω coincidem nas vari´aveis de t ´e dizer que υ(t) = ω(t), donde todas as vari´aveis est˜ao em E . Suponhamos agora que t1, ..., tn ∈ E , f ´e um s´ımbolo funcional n-´ario, t=f(t1, ..., tn) e υ e ω s˜ao valua¸c˜oes que coincidem nas vari´aveis que ocorrem em t; como uma vari´avel ocorre em t sse ocorre em algum dos t i, υ e ω coincidem nas vari´aveis que ocorrem em cada ti portanto υ(ti) = ω(ti) para 1 ≤ i ≤ n, dado que os ti est˜ao em E ; mas ent˜ao tem-se υ(t) = υ(f(t1, ..., tn)) = I(f)(υ(t1), ..., υ(tn)) = I(f)(υ(t1), ..., υ(tn)) = ω(f(t1, ..., tn)) = ω(t).
  46. 46. 47 Segue-se que t ∈ E . Pelo princ´ıpio de Indu¸c˜ao em Termos E = T . q.e.d. Passamos a definir o que se entende por uma f´ormula ser ou n˜ao verificada ou satisfeita. Mais um pouco de nota¸c˜ao: se α for uma f´ormula de L, I for uma interpreta¸c˜ao e υ for uma valua¸c˜ao para I (2.3.3) |=I α[υ] abrevia ”υ satisfaz α em I ” (2.3.4) |=I α[υ] abrevia ”υ n˜ao satisfaz α em I ” Defini¸c˜ao 2.3.5 . Sejam L uma linguagem de primeira ordem e υ uma valua¸c˜ao de L para a interpreta¸c˜ao I . 1. Se α ´e uma f´ormula at´omica, α = An 1 (t1, ..., tn), |=I α[υ] sse (υ(t1), ..., υ(tn)) ∈ I(An i ) 2. Para quaisquer fbfs α, β e vari´avel x, (a) |=I α[υ] sse |=I α[υ] (b) |=I (α ⇒ β)[υ] sse |=I α[V] ou |=I β[υ] ou, de outro modo, se υ satisfaz α em I ent˜ao tamb´em satisfaz β em I . (c) |=I ∀xα[υ] sse |=I α[υ(x|a)] para qualquer a ∈ I(∀) A satisfazibilidade de uma fbf por uma valua¸c˜ao depende apenas das vari´aveis livres da fbf. Nota 2.3.6 Para maior simplicidade de discurso, de ora em diante pressuporemos que todas as linguagens consideradas s˜ao de primeira ordem. Teorema 2.3.7 Para qualquer fbf α e quaisquer valua¸c˜oes υ e ω que coincidam nas vari´aveis livres deα tem-se |=I α[υ] sse |=I α[ω]
  47. 47. Dem. Fixe-se a interpreta¸c˜ao Ie seja I o conjunto de f´ormulas α para as quais |=I α[υ] sse |=I α[ω], quando υ e ω coincidem nas vari´aveis livres de α . Suponha-se no que se segue que υ e ω coincidem nas vari´aveis livres das f´ormulas apropriadas em cada caso. 1) E cont´em as f´ormulas at´omicas. Se α ´e at´omica, para algum s´ımbolo predicativo P e termos t1, ..., tn, α = P(t1, ..., tn); al´em disso as vari´aveis que ocorrem em α ocorrem livres e em algum ti ; desse modo V e ω coincidem nas vari´aveis livres de α sse coincidem nas vari´aveis de α sse coincidem nas vari´aveis de cada termo ti ; mas ent˜ao, se υ e ω coincidem nas vari´aveis de α, |=I α[υ] sse (υ(t1), ..., υ(tn)) ∈ I(P)− por defini¸c˜ao − sse (ω(t1), ..., ω(tn)) ∈ I (P) − Teorema 2.3.4. − sse |=I α[ω]− por defini¸c˜ao; portanto α ∈|=E , como se pretendia mostrar. 2) Se α ∈ E tamb´em ∼ α ∈ I . Observe-se que as vari´aveis de α s˜ao as mesmas que as de ∼ α e que s˜ao livres numa das f´ormulas sse o s˜ao na outra. Assim, se α ∈ E vem Iα[υ] sse |=I α[υ]− por defini¸c˜ao − sse |=I α[ω]− porque α ∈|=E − sse |=I α[ω]− por defini¸c˜ao; donde ∼ α ∈ E , como se pretendia verificar. 3) Se α ∈ E e x ´e uma vari´avel, tamb´em ∀xα ∈ E. Comecemos por notar que, para qualquer a∈ I(∀), υ(x|a) e ω(x|a) coincidem em x, pelo que, se υ e ω coincidem nas vari´aveis livres de ∀xα , ent˜ao υ(x|a) e υ(x|a) coincidem nas vari´aveis livres em α . Assim, se α ∈ E , |=I ∀α[υ] sse |=I α[υ(x|a)] para qualquer a ∈ I(∀)− por defini¸c˜ao - sse |=I α[ω(x|a)] para qualquer a ∈ I(∀)− pois α ∈ E− sse |=I ∀xα[ω]− por defini¸c˜ao; portanto ∀xα ∈|=E , como pretendiamos concluir. 4 ) Se α, β ∈ E , ent˜ao α ⇒ β ∈ E As vari´aveis livres de α e β s˜ao-no sse s˜ao livres em α ou em β e tem-se o seguinte: |=I (α ⇒ β)[υ] sse |=I α[υ] ou |=I β[υ]− por defini¸c˜ao − sse |=I α[ω] ou |=I β[ω]− pois α, β ∈ I−]
  48. 48. 49 sse |=I (α ⇒ β)[ω]; ou seja α ⇒ β ∈ E como se pretendia mostrar. q.e.d. Chama-se proposi¸c˜ao ou f´ormula fechada a uma fbf que n˜ao tem vari´aveis livres. Uma consequˆencia imediata deste teorema ´e Corol´ario 2.3.8 Para uma mesma interpreta¸c˜ao, uma proposi¸c˜ao ´e satisfeita por alguma valua¸c˜ao sse ´e satisfeita por todas as valua¸c˜oes. O conceito an´alogo ao de tautologia da l´ogica proposicional ´e o de fbf logicamente v´alida que vai ser introduzido a seguir. Defini¸c˜ao 2.3.9 Sejam I uma interpreta¸c˜ao da linguagem L e α uma f´ormula de L . 1. α ´e satisfaz´ıvel em I se |=I α[υ] para alguma valua¸c˜ao υ . 2. α ´e v´alida em I se |=I α[υ] para qualquer valua¸c˜ao υ ; nota-se |=I α se α ´e v´alida em I . 3. α ´e logicamente v´alida se |=I α para qualquer interpreta¸c˜ao I ; nota-se |=I α se α ´e logicamente v´alida. Reformulando 2.3.8: uma proposi¸c˜ao ´e v´alida numa interpreta¸c˜ao sse ´e satisfaz´ıvel. Quando uma proposi¸c˜ao ´e v´alida numa interpreta¸c˜ao diz-se tamb´em que ´e verdadeira nessa interpreta¸c˜ao, caso contr´ario diz-se falsa . Mais precisamente Corol´ario 2.3.10 . Para quaisquer proposi¸c˜ao α e interpreta¸c˜ao I, ou α ´e ver- dadeira em I ou ∼ α ´e verdadeira em I, n˜ao podendo ocorrer ambos os casos. Os pr´oximos exemplos ilustram a distin¸c˜ao entre validade e satisfazibilidade. Exemplos 2.3.11 Para os exemplos 1,2 e 3 recorde-se a estrutura < R, =, ≤, 0, 1, +, • > definida em 2.2.1. 1. A f´ormula α = A2 1(f2 1 (x1, x2), f2 2 (x1, x2))´e satisfaz´ıvel: tome-se a valua¸c˜ao identicamente nula ou qualquer valua¸c˜ao υ que verifique υ(x1) = −1+ √ 5 2 e υ(x2) = −1− √ 5 2 . Mas α n˜ao ´e v´alida: a valua¸c˜ao identicamente 1 a satisfaz.
  49. 49. 2. β = A2 2(a1, f2 2 (x1, x1)) ´e v´alida em I mas n˜ao ´e logicamente v´alida considere a interpreta¸c˜ao K para a qual K(∀) = C, K(A2 2)´e a rela¸c˜ao de igualdade em C, K(A2 2) ´e a rela¸c˜ao de ordem parcial dada por (z,w)∈ K(A2 2) sse Re(z)≤ Re(w), (K)(a1) = 0, K(a2) = 1, K(f2 1 )K(f2 2 ) s˜ao respectivamente a soma e o produto usuais; se υ(x1) = i, tem-se υ(f2 2 (x1, x1)) = i2 = −1 e (0, −1) ∈ K(A2 2). 3. ∃x1β ´e verdadeira em < R, =, ≤, 0, 1, +, • > e em < C, =, K(A2 2), 0, 1, +, • > mas n˜ao ´e verdadeira para a seguinte interpreta¸c˜ao: P(∀) = {0, 1}, P(a1) = P(a2) = 0, P(A2 1) = P(A2 2) = {(0, 1), (1, 0)}, P(f2 1 ) = P(f2 2 ) ≡ 0. 4. Para qualquer fbf α de qualquer linguagem Lα ⇒ α ´e logicamente v´alida. Atente-se neste ´ultimo exemplo. Defini¸c˜ao 2.3.12 Uma f´ormula α de uma linguagem L diz-se a realiza¸c˜ao de uma tautologia se existir uma tautologia β do c´alculo proposicional de modo que α se obtem de β substituindo os s´ımbolos proposicionais de β por fbfs de L . No exemplo 4 acima tratamos a realiza¸c˜ao de uma tautologia que ´e v´alida, como seria de esperar. Teorema 2.3.13 As realiza¸c˜oes de tautologias s˜ao logicamente v´alidas. Antes de provarmos este teorema mostramos que a asser¸c˜ao rec´ıproca n˜ao vale mostrando uma f´ormula logicamente v´alida que n˜ao ´e realiza¸c˜ao de tautologia. Exemplos 2.3.14 Se a vari´avel x n˜ao ocorre livre na f´ormula α, ent˜ao |= ∀x ⇒ α . Dem. Vamos ver que, para qualquer valua¸c˜ao υ , se |=I α[υ(x|a)] ent˜ao |=I α[υ]: se |=I α[υ], por defini¸c˜ao |=I α[υ(x|a)] para qualquerv a ∈ I(∀); mas x n˜ao ocorre livre em α , portanto υ(x|a) e υ coincidem nas vari´aveis livres de α; do teorema 2.3.7 concluimos que |=I α[υ] como pretendiamos. Dem. (do Teorema 2.3.13.) Vamos utilizar indu¸c˜ao em fpbfs. Para cada fpbf ϕ com s´ımbolos proposicionais entre pi, 1 ≤ i ≤ m, e cada sequˆencia de fbfs α, 1 ≤ i ≤ m, designemos por α(ϕ) a fbf da linguagem L que realiza ϕ substituindo-se cada pi por α em ϕ . Para cada valua¸c˜ao υ de L e cada realiza¸c˜ao α(ϕ) de ϕ defina-se para cada s´ımbolo proposicional p
  50. 50. 51 υα(ϕ)(p) =    1 se p = pi e |=I αi[υ] (1 ≤ i ≤ m) 0 se p = pi e |=I αi[υ] 1 caso contr´ario Fica assim determinada uma valua¸c˜ao υα(ϕ) em . Vamos ver que se α realiza ϕ , ent˜ao |=I [υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1. Seja E o conjunto das fpbfs ϕ tais que, para qualquer fbf α(ϕ) e qualquer valua¸c˜ao υ, |=I α(ϕ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1. 1. ) Os s´ımbolos proposicionais est˜ao em E. Se ϕ = pj , para algum s´ımbolo proposicional pjα(ϕ) = αj , para alguma fbf αj, e υαj (p) =    1 se p = pj e |=I αj[υ] 0 se p = pj e |=I αj[υ] 1 caso contr´ario Como tamb´em υα(ϕ)(ϕ) = υαj (pj), ´e imediato que |= Iα(ϕ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1 e conclui-se que pj ∈ E . 2. ) Se ϕ ∈ E , ent˜ao ∼ ϕ ∈ E . ´E f´acil verificar que α(∼ ϕ) =∼ α(ϕ), pois os s´ımbolos proposicionais de φ e ∼ ϕ s˜ao os mesmos. Tem-se, para ϕ em E :|=I α(∼ ϕ)[υ] sse |=I α(ϕ)[υ] sse |= Iα(ϕ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1 sse υα(ϕ)(∼ ϕ) = 1. E ∼ ϕ ∈ E com se pretendia concluir. 3. ) Se ϕ, φ ∈ E , ent˜ao ϕ ⇒ φ ∈ E . Tamb´em ´e praticamente imediato que α(ϕ ⇒ ϕ) = α(ϕ) ⇒ α(ϕ). Conv´em ainda observar que υα(ϕ)⇒α(φ)(ϕ) = υα(ϕ)(ϕ) e que υα(ϕ)⇒α(φ)(φ), pois as valua¸c˜oes em causa coincidem nos s´ımbolos proposicionais das fpbfs a serem avaliadas. Tem-se ent˜ao, para φ, ϕ ∈ E : |=I α(ϕ ⇒ φ)[υ] sse |=I (α(ϕ) ⇒ α(φ))[υ] sse |=I α(ϕ)[υ] ou |=I α(φ)[υ] sse υα(ϕ)(ϕ) = 1 ou υα(φ)(φ) = 1 sse υα(ϕ)⇒α(φ)(ϕ) = 1 ou υα(ϕ)⇒α(φ)(φ) = 1 sse υα(ϕ)⇒α(φ) (ϕ ⇒ φ) = 1 sse υα(ϕ⇒φ)(ϕ ⇒ φ) = 1. Ou seja ϕ ⇒ φinE. Segue-se que E = T . q.e.d. Um outro aspecto da validade de fbfs que interessa ter em conta ´e o seguinte.
  51. 51. Teorema 2.3.15 Para qualquer fbf α em L , qualquer vari´avel x e qualquer inter- preta¸c˜ao I, |=I α sse |=I ∀xα . A demonstra¸c˜ao faz-se muito simplesmente utilizando 2.3.7. Uma aplica¸c˜ao iterada deste teorema prova o Corol´ario 2.3.16 Para qualquer fbf α em L , quaisquer vari´aveis xi, 1 ≤ i ≤ m, e qualquer interpret¸c˜ao I, |=I α sse |=I ∀x1...∀xnα . Em particular |= α sse |= ∀x1...∀xmα . Observe-se ainda que Teorema 2.3.17 Para quaisquer fbfs α e β em L , e qualquer interpreta¸c˜ao I , se |=I α e |=I α ⇒ β, ent˜ao |=I β . Em particular Corol´ario 2.3.18 Para quaisquer fbfs α e β em L , se |= α e |= α ⇒ β ,ent˜ao |= β . 2.4 Exerc´ıcios 1. Sejam α(xi) uma fbf onde a vari´avel xi ocorre livre e xj uma vari´avel que n˜ao ocorre livre em α(xi). Seja α(xj) a fbf que resulta de substituir em α(xj) todas as ocorrˆencias livres de xi por xj . Mostre que se xj ´e livre para xi em α(xi) tamb´em xi ´e livre para xj em α(xj). 2. O quantificador existencial e os conectivos ∨, ∧ ⇔ (a) Mostre que para quaisquer fbf α , interpreta¸c˜ao I , valua¸c˜ao υ e vari´avel x, |=I ∃xα[υ] sse |=I α[υ(x|a)] para algum a ∈ I(∀). (b) Mostre que para quaisquer fbfs α, β, interpreta¸c˜ao I e valua¸c˜ao υ se tem i. |=I (α ∧ β)[υ] sse |= α[υ] e |=I β[υ] ii. |=I (α ∨ β)[υ] sse |= α[υ] ou |=I β[υ] iii. |= (α ⇔ β)[υ] sse |=I (α ⇒ β)[υ] e |=I (β ⇒ α)[υ] 3. Implica¸c˜ao l´ogica Diz-se que o conjunto de fbfs Γ implica logicamente a fbf α quando para qual- quer interpreta¸c˜ao I e qualquer valua¸c˜ao υ , se |=I γ[υ] para qualquer fbf γ ∈ Γ , ent˜ao |= α[υ]; Γ |= α abrevia ”Γ implica logicamente α ”; α |= β abrevia ”{α} |= β ”.
  52. 52. 53 (a) Mostre que Γ ∪ {α} |= β sse Γ |= α ⇒ β (b) Mostre que {∀x(α ⇒ β), ∀xα} |= β (c) Mostre que, se x n˜ao ocorre livre em α , ent˜ao α |= ∀xα (compare com o exemplo 2.3.14.) 4. Mostre que nenhuma das seguintes proposi¸c˜oes implica logicamente a outra: α = ∀x∃yP(x, y) ⇒ ∃y∀xP(x, y), β = ∀x∀y∀z(P(x, y) ⇒ P(y, z) ⇒ P(x, z)) 5. Seja L uma linguagem cujos ´unicos parˆametros, al´em de ∀ , s˜ao dois s´ımbolos predicativos bin´arios, E e P. Determine uma interpreta¸c˜ao I e uma proposi¸c˜ao π tais que (a) |=I π sse I (P) ´e uma fun¸c˜ao de I(∀) em I(∀) (b) |=I π sse I (P) ´e uma permuta¸c˜ao de I(∀) 2.5 C´alculo de predicados; Teorema de Dedu¸c˜ao Continuando a formalizar os processos b´asicos de dedu¸c˜ao em matem´atica vamos estabelecer um sistema formal para a l´ogica de predicados cujos teoremas ser˜ao as fbfs logicamente v´alidas. Fixando nota¸c˜ao: uma fbf α pode ser tamb´em notada α(x1, ..., xn) se pretendemos evidenciar que algumas das vari´aveis livres da f´ormula α est˜ao entre x1, ..., xn− nada impede α(x1, ..., xn) = α(x1, ..., xm) com m = n - o n´umero de vari´aveis explicitadas depende de quais pretendemos considerar; se ϕ nota um termo ou uma fbf, ϕx t nota a express˜ao que se obt´em de ϕ substituindo todas as ocorrˆencias (livres, no caso de ϕ ser uma fbf) da vari´avel x pelo termo t. Defini¸c˜ao 2.5.1 Para cada linguagem L com conjunto de fbfs F , o sistema formal F(L) consiste no seguinte: para α e β fbfs arbitr´arias de L , O conjunto de ax- iomas dado pelos esquemas (F(L)1) Todas as realiza¸c˜oes de tautologias em L (F(L)2)∀xα(x) ⇒ αx t , se o termo t ´e livre para a vari´avel α (F(L)3)∀x(α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ ∀xβ), se a vari´avel x n˜ao ocorre livre em α
  53. 53. As regras de inferˆencia (MP) Modus ponens: de α ⇒ β e α conclui-se β (GEN) Generaliza¸c˜ao : de α conclui-se ∀xα , para qualquer vari´avel x De ora em diante suporemos fixada uma linguagem de primeira ordem L . Tal como para o C´alculo Proposicional, segue-se a defini¸c˜ao de dedu¸c˜ao. Defini¸c˜ao 2.5.2 Seja Γ um conjunto de fbfs. Diz-se que a sequˆencia de fbfs α1, ..., αn ´e uma dedu¸c˜ao a partir de Γ (em F ( L )) se, para cada i (1 ≤ i ≤ n) uma das condi¸c˜oes seguintes se verifica 1. αi ´e um axioma de F(L) 2. αi ∈ Γ 3. α obtem-se de duas fbfs αj, αk(1 ≤ j, k ≤ i) por aplica¸c˜ao de modus ponens. 4. αi obtem-se de alguma fbf anterior por generaliza¸c˜ao, i. e., αi = ∀xαj, para algum j < i. Nestas condi¸c˜oes diz-se que αn dedut´ıvel deΓ (em F(L)), αn ´e consequˆencia de Γ (em F(L)) ou que Γ prova αn, sendo n o comprimento da dedu¸c˜ao. Se a fpbf ´e dedut´ıvel de Γ escreve-se Γ F(L) α. Aos elementos de Γ chamam-se hip´oteses. Os teoremas de F(L) s˜ao as fbfs dedut´ıveis de ∅ e nota-se F(L) α se α ´e um teorema. Os axiomas s˜ao os teoremas de F(L) de mais curta dedu¸c˜ao e, em particular, todas as realiza¸c˜oes de tautologias s˜ao teoremas de F(L). A caminho do teorema de completude temos Teorema 2.5.3 As instˆancias dos axiomas (F(L)2), (F(L)3) e (F(L)4) s˜ao logi- camente v´alidas. Vamos utilizar os seguintes lemas, que provaremos mais tarde. Lema 2.5.4 Para quaisquer valua¸c˜ao υ , termo ϕ , vari´avel x e termo t, υ(ϕx t ) = υ(x|υ(t))(ϕ).
  54. 54. 55 Lema 2.5.5 Se o termo t ´e livre para a vari´avel x na fbf α, ent˜ao para qualquer valua¸c˜ao υ numa interpreta¸c˜ao I |=I αx t [υ] sse |=I α[υ(x|υ(t))] Dem. (de 2.5.3) Para o estudo de (F(L)2) veja-se o exemplo 2.3.14. Quanto a (F(L)4) tem-se, para quaisquer fbfs α, β , tais que x n˜ao ocorre livre em α , qualquer interpreta¸c˜ao I e qualquer valua¸c˜ao υ , |=I ∀x(α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ xβ)[υ] sse |=I x(α ⇒ β)[υ] ou |=I (α ⇒ ∀xβ)[υ] sse para algum a ∈ I(∀) |=I α ⇒ β[υ(x|a)] ou |=I (α ⇒ xβ)[υ] sse para algum a ∈ I(∀) |= α[υ(x|a)] e |=I β[υ(x|a)], ou |=I (α ⇒ xβ)[υ] Como x n˜ao ocorre livre em α , pelo teorema 2.3.7 a ´ultima situa¸c˜ao acontece sse |= α[υ] e |= xβ[υ], ou |= (α ⇒ ∀xβ)[υ] sse |= (α ⇒ xβ)[υ] ou |=I (α ⇒ xβ)[υ] Ora a ´ultima condi¸c˜ao ´e sempre verificada. Portanto |= ∀x(α ⇒ β) ⇒ (α ⇒ ∀xβ) como se pretendia demonstrar. Para as instˆancias de (F(L)3) utilizaremos 2.5.5. Para quaisquer interpreta¸c˜ao I e valua¸c˜ao υ tem-se |=I (∀xαx t (x) ⇒ α)[υ] sse |=I ∀xα(x)[υ] ou |=I αx t [υ] ou, de outro modo, sse (2.5.1) |=I αx t [υ] quando |= ∀xα(x)[υ]; ora, por defini¸c˜ao,|= ∀xα(x)[υ] sse |=I α(x)[υ(x|a)] para qualquer a ∈ I(∀), em particular, se |= ∀xα(x)[υ] ent˜ao, por 2.5.5, |=I α(x)[υ(x|υ(t))] ou seja |=I αx t [υ]; em suma (2.5.1) verifica-se, como pretendiamos mostrar. q.e.d. Demonstramos agora os lemas 2.5.4 e 2.5.5. Dem. Tomem-se arbitrariamente as interpreta¸c˜ao I , valua¸c˜ao υ, vari´avel x, termo t e fbf α . (Dem. de 2.5.4) Seja E = {ϕ ∈ T : υ(ϕx t ) = υ(x|υ(t))(ϕ)}.
  55. 55. 1. As vari´aveis est˜ao em E . Se ϕ ´e a vari´avel y, tem-se ϕx t = yx t =    y se y = x t se y = x Assim, se y = x, υ(ϕx t ) = υ(y) = υ(x|υ(t))(y) = υ(x|υ(t))(ϕ) pois υ(x|υ(t)) coincide com υ em todas as vari´aveis que n˜ao s˜ao x. Se y=x, υ(ϕx t ) = υ(t) = υ(x|υ(t))(x) = υ(x|υ(t))(y) = υ(x|υ(t))(ϕ). E 1 fiva provado. 2. Se ϕ1, ..., ϕn ∈ E e f ´e um s´ımbolo funcional (n-´ario), f( ϕ1, ..., ϕn) ∈ E . Tem-se f(ϕ1, ..., ϕn)x t = f((ϕ1)x t , ..., (ϕn)x t ) e portanto υ(f(ϕ1, ..., ϕn)x t ) = I(f)(υ((ϕ1)x t ), ..., υ((ϕn)x t )) = I(f)(υ(x|υ(t))(ϕ1), ..., υ(x|υ(t))(ϕn)) = υ(x|υ(t))(f(ϕ1, ..., ϕn)) Portanto 2 fica provado Pelo Princ´ıpio de Indu¸c˜ao em Termos E = T e 2.5.4 est´a demonstrado. (Dem. de 2.5.5) Seja E o conjunto das fbfs α para as quais |=I αx t [υ] sse |=I α[υ(x|υ(t))] quando t ´e livre para x em α. No que segue t ´e livre para x nas fbfs adequadas. 1. E contˆem as f´ormulas at´omicas. Sejam t1 termos (1 ≤ i ≤ n) e P um s´ımbolo predicativo (n-´ario). Tem-se, para terminar a prova de 1a ,|=I P(t1, ..., tn)x t [υ] sse |=I P((t1)x t , ..., (tn)x t )[υ] sse (υ((t1)x t ), ..., υ((t1)x t )) ∈ I (P) (por defini¸c˜ao) sse (υ(x|υ(t))(t1), ..., υ(x|υ(t))(tn)) ∈ I (P) (por 2.5.4) sse |= P(t1, ..., tn) [υ(x|υ(t))] (por defini¸c˜ao)
  56. 56. 57 2. Se α ∈ E tamb´em ∼ α ∈ E . A demonstra¸c˜ao ainda ´e mais simples que a anterior e deixamo-la ao cuidado do leitor. 3. Se α ∈ E e y ´e uma vari´avel, ent˜ao ∀yα ∈ E . (a) y=x |=I (∀yα)x t [υ] sse |=I (∀xα)x t [υ] sse |=I ∀xα[υ] Como υ e υ(x|υ(t)) coincidem nas vari´aveis livres de ∀xα, vem |=I ∀xα[υ] sse |=I ∀xα[υ(x|υ(t))] e neste caso vale 3. (b) y = x |=I (∀yα)x t [υ] sse |=I ∀y(αx t )[υ] sse |=I αx t [υ(y|a)] para qualquer a ∈ I(∀) (por defini¸c˜ao) sse |=I α[υ(y|a)(x|υ(t))] para qualquer a ∈ I(∀)(a ∈ E) sse |=I α[υ(x|υ(t))(y|a)] para qualquer a∈ I(∀) sse |=I (∀α)[υ(x|υ(t))]. e continua a valer 3 . (c) Se α, β ∈ E , ent˜ao α ⇒ β ∈ E Comecemos por observar que (α ⇒ β)x t = αx t ⇒ βx t . Tem-se ent˜ao |=I (α ⇒ β)x t [υ] sse |=I (αx t ⇒ βx t )[υ] sse |=I αx t [υ]ou |= βx t [υ] (por defini¸c˜ao) sse |=I α[υ(x|υ(t))] ou |=I β[υ(x|υ(t))] (α, β ∈ E) sse |=I α ⇒ β[υ(x|υ(t))] (por defini¸c˜ao) 4 verifica-se e 2.3.5 resulta do Princ´ıpio de Indu¸c˜ao em F´ormulas. q.e.d. O corol´ario 2.3.18. diz que a a regra MP preserva a validade l´ogica. O corol´ario 2.3.16 implica que a regra GEN preserva a validade l´ogica. Segue-se ent˜ao um resultado facilmente demonstr´avel por indu¸c˜ao no comprimento das demon- stra¸c˜oes. Teorema 2.5.6 (De Boa Fundamenta¸c˜ao) Os teoremas de F(L) s˜ao logicamente v´alidos. Uma consequˆencia imediata ´e Corol´ario 2.5.7 Para qualquer fbf α, α e ∼ α n˜ao podem ser simultˆa neamente teoremas de F(L). Ou seja F(L) ´e consistente; mas voltaremos a este assunto mais adiante. regra GEN introduz uma restri¸c˜ao no Teorema de Dedu¸c˜ao para F(L).
  57. 57. Teorema 2.5.8 (De Dedu¸c˜ao) Sejam α e β fbfs e Γ um conjunto de fbfs. Se Γ∪{α} F(L β com uma demonstra¸c˜ao que n˜ao utiliza GEN em alguma vari´avel livre em α, ent˜ao Γ F(L) α ⇒ β . Os exemplos seguintes mostram que a hip´otese suplementar sobre GEN ´e necess´aria. Exemplos 2.5.9 1. Sejam P um s´ımbolo predicativo bin´ario, x uma vari´avel e c uma constante. Uma aplica¸c˜ao de GEN mostra que {P(x, c)} F(L) ∀xP(x, c). Vamos ver que |= {P(x, c)} ⇒ ∀P(x, c) e portanto, de acordo com o teorema de boa fundamenta¸c˜ao, P(x, c) ⇒ ∀xP(x, c) n˜ao ´e um teorema de F(L ). Basta Definir I do seguinte modo: I(∀) = {1, 2}, I(c) = 1, I(P) = {(2, 1)}. Se υ (x)=2 vem |= P(x, c)[υ], mas |= ∀xP(x, c)[υ] pois de facto P(x,c) s´o ´e satisfeita pelas valua¸c˜oes υ que verificam υ (x)=2. 2. Sejam P um s´ımbolo predicativo bin´ario e x1 e xn vari´aveis. Uma aplica¸c˜ao de GEN mostra que {P(x1, x2)} F(L) ∀x1P(x1, x2). Vamos ver que |= P(x1, x2) ⇒ ∀x1P(x1, x2). Basta Definir I do seguinte modo: I(∀) = {1, 2}, I(P) = {(2, 1), (1, 1), (1, 2)}. Se υ(x2) = 1, ent˜ao |=I ∀x1P(x1, x2)[υ] e portanto |=I P(x1, x2) ⇒ ∀x1P(x1, x2)[υ]; mas se υ(x1) = 1 e υ(x2) = 2, ent˜ao |=I P(x1, x2)[υ] e |=I1 P(x1, x2)[υ] e assim |=I P(x1, x2) ⇒ ∀x1P(x1, x2)[υ]. Dem. (teorema 2.5.8) Utilizaremos indu¸c˜ao no comprimento n das dedu¸c˜oes de β a partir de Γ ∪ {α}. Suponha-se ent˜ao que Γ ∪ {α} F(L) β com uma dedu¸c˜ao de comprimento n. Se n=1, ou β ´e um axioma ou β ∈ Γ ou β = α . Nos dois primeiros casos a sequˆencia β, β ⇒ α ⇒ β, α ⇒ β ´e uma dedu¸c˜ao de α ⇒ β a partir de Γ− note-se que β ⇒ α ⇒ β ´e uma realiza¸c˜ao de tautologia − consequentemente Γ F(L) α ⇒ β. No terceiro caso α ⇒ β = α ⇒ α e a realiza¸c˜ao de tautologia α ⇒ α ´e um axioma, logo um teorema de F(L), portanto Γ F(L) α ⇒ β . Admita-se, como hip´otese de indu¸c˜ao, que a asser¸c˜ao do teorema vale para quaisquer α e β quando as dedu¸c˜oes tˆem comprimento menor ou igual a n. Suponha-se que α1, ..., αn+1 ´e uma dedu¸c˜ao de β a partir de Γ∪{α}− e portanto β = αn+1 . Se β n˜ao se concluiu por GEN podemos utilizar a demonstra¸c˜ao do teorema de dedu¸c˜ao da l´ogica proposicional para concluir Γ F(L) α ⇒ β. Se β se concluiu por GEN, por hip´otese − do pr´oprio teorema− existe um i ≤ n e uma vari´avel x que n˜ao ocorre livre em α tal que β = ∀xαi . Por hip´otese de indu¸c˜ao Γ F(L) α ⇒ αi . Temos ent˜ao a seguinte dedu¸c˜ao a partir de Γ
  58. 58. 59 (a) α ⇒ αi (Γ F(L (b) ∀x(α ⇒ α) (GEN em x que nao ocorre livre em α) (c) ∀x(α ⇒ αi) ⇒ (α ⇒ ∀xαi) (F(L)4) (d) α ⇒ ∀xαi (MP 2 & 3) Observando que a ´ultima fbf da dedu¸c˜ao ´e precisamente α ⇒ β e aplicando o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao matem´atica concluimos a demonstra¸c˜ao do Teorema de Dedu¸c˜ao. q.e.d. ´E claro que sem restri¸c˜oes ao uso de GEN Teorema 2.5.10 Para quaisquer fbfs α e β e conjunto de f´ormulas Γ, se Γ F(L) α ⇒ β , ent˜ao Γ ∪ {α} F(L) β . Um caso bastante mais importante ´e descrito no seguinte corol´ario do Teorema de Dedu¸c˜ao. Corol´ario 2.5.11 Quando α ´e uma proposi¸c˜ao, β ´e uma fbf qualquer e Γ ´e um conjunto de f´ormulas, se Γ ∪ {α} F(L) β ent˜ao Γ F(L) α ⇒ β . Dem. Mesmo que se utilize GEN em alguma dedu¸c˜ao de β a partir deΓ ∪ {α}, ser´a sempre sobre vari´aveis que n˜ao ocorrem livres em α , pois todas as vari´aveis em α ocorrem mudas. q.e.d. 2.6 Exerc´ıcios No que segue, letras gregas min´usculas α, β, γ, etc. designam fbfs de uma linguagem L ; as ´ultimas letras do alfabeto latino x, y, z, designam vari´aveis, n˜ao necessaria- mente distintas, de L ; t designa um termo de L ; letras mai´usculas P ou Q designam s´ımbolos proposicionais de adequada n-aridade. 1. Mostre que (a) F(L) ∀xα ⇒ α (b) F(L) ∀x(α ⇒ β) ⇒ (∀xα ⇒ ∀xβ ) (c) F(L) (∀xα ⇒ x∀β) ⇒ x(∀α ⇒ β) (d) F(L) α(t) ⇒ ∃xα(x) se t ´e livre para x em α (e) F(L) ∀xα ⇒ ∃xα 2. Mostre que
  59. 59. (a) F(L) α ⇔ β sse F(L) α ⇒ β e F(L β ⇒ α (b) Se F(L) α ⇒ β e F(L) β ⇒ γ , ent˜ao F(L) α ⇒ γ (c) Se x ocorre livre em α e y n˜ao ocorre em α , ent˜ao F(L) Qxα(x) ⇔ Qyα(y), onde Q designa ∀ ou ∃ . 3. Suponha que x n˜ao ocorre livre em α. Mostre que (a) F(L) (α ⇒ ∃xβ) ⇔ ∃x(α ⇒ β) (b) F(L) (∀xβ ⇒ α) ⇔ ∃x(β ⇒ α) 4. Mostre que ∀x∀yP(x, y) F(L) ∀x∀yP(y, x) 5. Mostre que (a) F(L) ∃x(α ∨ β) ⇔ (∃xα ∨ ∃xβ) (b) F(L) (∀xα ∨ forallxβ) ⇒ ∀x(α ∨ β) (c) F(L) ∃x(α ∧ β) ⇒ (∃xα ∧ ∃xβ) (d) F(L) ∀x(α ⇒ β) ⇒ (∃xα ⇒ ∃xβ) (e) F(L) ∃x(P(y) ∧ Q(x)) ⇔ P(y) ∧ ∃xQ(x). 6. Mostre que as implica¸c˜oes se n˜ao podem inverter nas al´ıneas (b), (c) e (d) do exerc´ıcio anterior. 2.7 Um Teorema de Completude Esta sec¸c˜ao ´e dedicada a terminar a demonstra¸c˜ao do seguinte Teorema 2.7.1 (de Completude) Seja Luma linguagem de primeira ordem. Para qualquer fbf α de L, |= α sse F(L) α. Repare-se que o Teorema de Boa Fundamenta¸c˜ao 2.5.6 j´a afirma que se F(L) α ent˜ao |= α, pelo que s´o resta demonstrar a asser¸c˜ao rec´ıproca. Tal como para o C´alculo Proposicional, vamos utilizar a no¸c˜ao de extens˜ao de sis- temas formais. No caso presente interessam-nos apenas as extens˜oes em que even- tualmente se modificam os axiomas mas se mantˆem as regras de inferˆencia. Continuamos a supor fixada arbitrariamente uma linguagem de primeira ordem L cujas f´ormulas bem formadas ser˜ao designadas abreviadamente por fbf. Um sistema formal para a L´ogica de predicados consiste num conjunto de f´ormulas de L, designadas por axiomas, e pelas regras de inferˆencia MP e GEN. Em qualquer sistema formal h´a dedu¸c˜oes e teoremas.
  60. 60. 61 Defini¸c˜ao 2.7.2 Seja Γ um conjunto de fbfs. Diz-se que a sequˆencia de fbfs α1, ..., αn ´e uma dedu¸c˜ao a partir de Γ no sistema formal G(L) se, para cada i (≤ i ≤ n) uma das condi¸c˜oes seguintes se verifica 1. αi ´e um axioma de G(L) 2. αi ∈ Γ 3. α obtem-se de duas fbfs αj, αk(1 ≤ j, k < i) por aplica¸c˜ao de modus ponens. 4. αi obtem-se de alguma fbf anterior por generaliza¸c˜ao, i. e., αi = ∀xαj , para algum j < i. Nestas condi¸c˜oes diz-se que α ´e dedut´ıvel de Γ em S(L), αn ´e consequˆencia de Γ (em S(L)) ou que Γ prova αn , sendo n o comprimento da dedu¸c˜ao. Se a fpbf ´e dedut´ıvel de Γ escreve-seΓ G(L) α . Aos elementos de Γ chamam-se hip´oteses. Os teoremas de G(L) s˜ao as fbfs dedut´ıveis de ∅ e nota-se G(L) α se α ´e um teorema. O conjunto dos teoremas de G(L) designa-se por Teo (G(L)). Alguns sistemas formais s˜ao compar´aveis Defini¸c˜ao 2.7.3 O sistema formal G (L) diz-se uma extens˜ao de G(L) se Teo (G(L)) ⊆ Teo (G (L )). De ora em diante designaremos por sistema ou sistema de primeira ordem qualquer sistema formal que seja extens˜ao de F(L). Tamb´em neste contexto interessa avaliar a consistˆencia dos sistemas Defini¸c˜ao 2.7.4 Um sistema G(L) diz-se consistente se para nenhuma fbf αse tem simultˆaneamente G(L) α e G(L)∼ α O teorema de Boa Fundamenta¸c˜ao permite concluir Teorema 2.7.5 F(L) ´e consistente A express˜ao S(L); α designa o sistema que se obtem de G(L) adicionando a fbf α ao conjunto de axiomas. Teorema 2.7.6 Sejam G(L) um sistema e π uma proposi¸c˜ao de L. Se G(L) ´e consistente e }(L) π, ent˜ao G(L); ∼ π ´e consistente. Este teorema estabelece de facto o m´etodo de redu¸c˜ao ao absurdo , pois tem tamb´em a seguinte formula¸c˜ao.
  61. 61. Teorema 2.7.6.1 Sejam G(L) um sistema e π uma proposi¸c˜ao de L. Se G(L); ∼ π ´e inconsistente ent˜ao G(L) π . ´E esta a vers˜ao que vamos demonstrar. Dem. Suponha-se que G(L); ∼ π ´e inconsistente e seja α uma fbf tal que G(L);∼π α e G(L);∼π∼ α {∼ π} G(L) α e {∼ π} G(L)∼ α Como π por hip´otese n˜ao tem vari´aveis livres, o Teorema de Dedu¸c˜ao permite con- cluir G(L)∼ π ⇒ α e G(L)∼ π ⇒∼ α Existe assim uma dedu¸c˜ao em G(L) com a seguinte forma abreviada − recorde-se que G(L) ´e extens˜ao de F(L)− 1. ∼ π ⇒ α ( G(L)) 2. ∼ π ⇒ α ( G(L)) 3. (∼ π ⇒ α) ⇒ (∼ π ⇒ α) ⇒ π (F(L)1) 4. π (MP1&2&3) Portanto G(L) π . q.e.d. Exemplos 2.7.7 1. Sem a hip´otese de π ser uma proposi¸c˜ao o teorema n˜ao vale, como se pode ver com o seguinte exemplo: Seja α = P(x) ⇒ ∀xP(x), para algum s´ımbolo pred- icativo P; F(L) α pois |= α (Teorema de Boa Fundamenta¸c˜ao); por outro lado ∼ α = P(x)∧ ∼ ∀xP(x), portanto ∼ α F(L) P(x) e ∼ α F(L)∼ ∀xP(x) (pelo exerc´ıcio 1.8.1). De ∼ α F(L) P(x) obtem-se ∼ α F(L) xP(x) utilizando GEN, consequentemente F(L);∼α ∀xP(x) e F(L);∼α∼ ∀xP(x).F(L); ∼ α ´e inconsistente e F(L) α. 2. Deixa-se ao cuidado do leitor mostrar que G(F) ∃x(P(x) ⇒ ∀xP(x)). As proposi¸c˜oes interessam-nos particularmente.
  62. 62. 63 Defini¸c˜ao 2.7.8 Um sistema G(L) diz-se completo se para qualquer proposicao π de L se tem G(L) π ou G(L)∼ π. Tal como em 1.7.7 tamb´em se tem Teorema 2.7.9 Todo o sistema consistente tem uma extens˜ao consistente e com- pleta. Dem. O conjunto das proposi¸c˜oes ´e numer´avel, pelo que podemos supo-las enu- meradas em π0, π1, ..., πn, ... Analogamente ao que fizemos em 1.7.7 definimos, com nota¸c˜ao adaptada naturalmente G(L)0 = F(L) G(L)n+1 =    G(L)n se G(L)n πn (n ∈ N) G(L)n; ∼ πn se G(L)n πn G(L)∞ = ∪∞ n=0G(L)n Todos os G(L)n s˜ao consistentes (pelo Teorema 2.7.6). Uma prova de inconsistˆencia de G(L)∞, i.e., uma dedu¸c˜ao de α e outra de ∼ α para alguma fbf α, prova de facto a inconsistˆencia de algum G(L)n . Consequentemente G(L)∞ ´e consistente. Por con- stru¸c˜ao, qualquer proposi¸c˜ao π ´e uma das πne ou j´a era um teorema de algum dos sis- temas − logo de G(L)∞− ou ∼ π foi adicionada ao conjunto de axiomas − e passou a ser um teorema. Conclui-se que G(L)∞ ´e completo. q.e.d. Os pr´oximos teoremas tamb´em descrevem v´arios aspectos de um processo usual de demonstra¸c˜ao em Matem´atica: a generaliza¸c˜ao de um resultado obtido para uma constante arbitr´aria ; para a sua demonstra¸c˜ao vamos utilizar a seguinte nota¸c˜ao: para cada fbf φ, cada constante c e cada vari´avel x, φc x designa a fbf que se obt´em de φ substituindo cada ocorrˆencia de c em φ por x. Recorde-se que, para uma vari´avel x e um termo t, φx t ´e a fbf que resulta de φ substituindo as ocorrˆencias livres de x em φ por t. Finalmente observe-se que, se t ´e um termo que n˜ao ocorre na fbf φ , ent˜ao φt s = φ , seja qual for o termo s. Teorema 2.7.10 (de Generaliza¸c˜ao em Constantes) Sejam Γ um conjunto de fbfs, φ uma fbf e c uma constante que n˜ao ocorre em Γ. Se Γ F(L) ϕ, existe uma vari´avel x, que n˜ao ocorre em ϕ, tal que Γ F(L) ∀xϕc x. Al´em disso, existe uma dedu¸c˜ao de ∀xϕc x a partir de Γ onde c n˜ao ocorre. Dem. Sejam α1, ..., αn uma dedu¸c˜ao de ϕ a partir de Γ e x uma vari´avel que n˜ao ocorre em qualquer das αi . Vamos ver que (*)

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