O documento apresenta os conceitos básicos dos números inteiros: 1) Define os números inteiros a partir de propriedades axiomáticas das operações de adição e multiplicação; 2) Apresenta a ordenação dos inteiros através de axiomas, definindo os números positivos e a relação de ordem; 3) Prova que a raiz quadrada de 2 é irracional usando a propriedade da boa ordenação dos inteiros positivos.

1. 1
Os n¶umeros inteiros
1.1 Propriedades b¶asicas
Nesta se»c~ao exploraremos propriedades b¶asicas dos n¶umeros inteiros, ponto de partida
para um estudo sistem¶atico de suas propriedades.
Assumiremos axiomaticamente, sem questionamentos, que existe um conjunto Z,
cujos elementos s~ao chamados de n¶umeros inteiros, tendo Z dois elementos destacados,
0 (zero) e 1 (um), e tamb¶em duas opera»c~oes, a adi»c~ao (+) e a multiplica»c~ao (¢).
Sendo a e b dois inteiros quaisquer, denotaremos por a + b a soma de a e b, e por
a ¢ b (ou por ab, quando isto n~ao nos causar confus~ao) o produto de a por b.
Assumiremos que os inteiros satisfazem os seguintes axiomas:
² Fechamento: a + b e a ¢ b s~ao inteiros sempre que a e b s~ao inteiros.
² Leis comutativas: a + b = b + a e a ¢ b = b ¢ a, para quaisquer inteiros a e b.
² Leis associativas: (a + b) + c = a + (b + c) e (a ¢ b) ¢ c = a ¢ (b ¢ c), para quaisquer
inteiros a, b e c.
² Leis de exist^encia de elementos neutros: a + 0 = 0 + a = a e a ¢ 1 = 1 ¢ a = a,
para todo inteiro a.
Em outras palavras, 0 e 1 s~ao elementos neutros das opera»c~oes + e ¢, respectiva-
mente.
² Lei distributiva (da multiplica»c~ao em rela»c~ao µa adi»c~ao): (a + b) ¢ c = a ¢ c + b ¢ c
² Lei da exist^encia de inversos aditivos: Para cada inteiro a, existe um inteiro x tal
que a + x = x + a = 0. Este inteiro x ¶e chamado inverso aditivo ou oposto, ou
ainda sim¶etrico de a e ¶e denotado por ¡a. Sendo a e b dois inteiros, de¯ne-se
a ¡ b = a + (¡b).
1

2. Os n¶umeros inteiros 2
² Lei do cancelamento da multiplica»c~ao: Se a, b e c s~ao inteiros, com c 6= 0, e
a ¢ c = b ¢ c ent~ao a = b.
A partir das propriedades acima, tomadas aqui como axiomas (ou postulados),
e das propriedades habituais da igualdade, podemos deduzir outras propriedades dos
n¶umeros inteiros, as quais, por serem deduzidas, recebem o nome de teoremas. Como
exemplo de uma dessas propriedades, temos os seguintes teoremas.
Teorema 1.1 Cada inteiro a tem um ¶unico inverso aditivo.
Demonstra»c~ao. Suponhamos que a0
e a00
s~ao ambos opostos de a, isto ¶e,
a + a0
= a0
+ a = 0 e a + a00
= a00
+ a = 0.
Ent~ao
a0
= a0
+ 0 (0 ¶e elemento neutro de +)
= a0
+ (a + a00
)
= (a0
+ a) + a00
(+ ¶e opera»c~ao associativa)
= 0 + a00
= a00
Portanto, a0
= a00
.
O pr¶oximo resultado ¶e bem conhecido pelo leitor, e n~ao faz parte dos axiomas
acima, justamente porque pode ser deduzido a partir deles.
Teorema 1.2 Se a ¶e um inteiro qualquer, a ¢ 0 = 0.
Demonstra»c~ao. Chamemos a ¢ 0 = x (mostraremos que x = 0). Ent~ao temos:
x = a ¢ 0 = a ¢ (0 + 0) (0 ¶e elemento neutro da adi»c~ao)
= a ¢ 0 + a ¢ 0 (Lei distributiva)
= x + x
Assim, x + x = x. Somando ¡x, o oposto de x, a ambos os membros, temos (x +x) +
(¡x) = x + (¡x).
Aplicando a lei associativa da adi»c~ao, deduzimos que x +(x +(¡x)) = 0, ou seja,
x + 0 = 0. Como 0 ¶e elemento neutro da adi»c~ao, obtemos x = 0.
Portanto, a ¢ 0 = 0, conforme quer¶³amos demonstrar.
Aqui e no restante do texto, o quadrado signi¯ca o ¯m de uma demonstra»c~ao.
1.1.1 Ordena»c~ao dos inteiros
A ordena»c~ao dos inteiros ¶e um conceito, que de¯niremos axiomaticamente, da seguinte
forma:

3. Os n¶umeros inteiros 3
Existe um conjunto P, subconjunto de Z, cujos elementos s~ao chamados inteiros
positivos, caracterizado pelos seguintes axiomas:
² Fechamento do conjunto P: Se a e b s~ao inteiros positivos, ent~ao a + b e ab
tamb¶em s~ao inteiros positivos.
² Lei da tricotomia: Para cada inteiro a, vale uma e somente uma das a¯rma»c~oes:
a 2 P; a = 0; ¡a 2 P
O conjunto Z diz-se ordenado (mais precisamente, um anel ordenado) por satis-
fazer os axiomas acima.
Habitualmente, escrevemos a > 0, em lugar de a 2 P. Assim, os axiomas de
ordena»c~ao dos inteiros podem ser reescritos da seguinte forma:
² Se a > 0 e b > 0, ent~ao a + b > 0 e a ¢ b > 0.
² Para cada inteiro a, tem-se uma e somente uma das a¯rma»c~oes:
a > 0; a = 0; ¡a > 0
De¯ni»c~ao 1.1 Sendo a e b inteiros quaisquer, dizemos que a < b (a ¶e menor que b),
ou que b > a (b ¶e maior que a), se b ¡ a > 0. Escrevemos a · b quando a < b ou
a = b, e escrevemos a ¸ b quando a > b ou a = b.
V¶arias propriedades da ordena»c~ao dos inteiros podem ser deduzidas (demonstradas)
usando-se os axiomas de ordena»c~ao e propriedades elementares das opera»c~oes + e ¢.
Um exemplo dessas propriedades ¶e a seguinte:
Proposi»c~ao 1.1 Sendo a, b e c inteiros,
1. se a > b e c > 0, ent~ao ac > bc;
2. se a > b e c < 0 ent~ao ac < bc.
Demonstra»c~ao. Se a > b ent~ao a ¡ b > 0, conforme a de¯ni»c~ao 1.1. Se c > 0 ent~ao,
pelo primeiro axioma da ordena»c~ao de Z, (a ¡ b)c > 0.
Logo, (a + (¡b))c > 0 e ent~ao ac + (¡b)c > 0.
Agora, podemos demonstrar que (¡b)c = ¡bc (demonstre isto, mostrando que
(¡b)c ¶e elemento oposto de bc). Assim, deduzimos que ac¡bc > 0 e portanto ac > bc.
Como exerc¶³cio, demonstre que se a > b e c < 0, ent~ao ac < bc.
Finalizando nosso conjunto de axiomas para o conjunto Z, temos um importante
(e bem intuitivo) axioma , chamado axioma da boa ordena»c~ao:

4. Os n¶umeros inteiros 4
Axioma 1.1 (Axioma da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos) O conjunto P
dos inteiros positivos ¶e bem ordenado, isto ¶e, todo subconjunto n~ao vazio de P possui
um menor (ou primeiro) elemento.
Em outras palavras, para cada conjunto A, subconjunto de P, se A 6= ¿, ent~ao
existe a 2 A tal que a · x para todo x 2 A.
O axioma da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos torna o conjunto Z substan-
cialmente diferente do familiar conjunto Q dos n¶umeros racionais (admitamos, por um
momento, familiaridade com o conjunto Q), no seguinte sentido. Considere o conjunto
Q+
dos n¶umeros racionais positivos. Existem subconjuntos de Q+
, n~ao vazios, sem um
primeiro (menor) elemento. O pr¶oprio Q+
¶e um tal subconjunto!
Recordemo-nos de que um n¶umero real x ¶e um n¶umero racional se existem inteiros
a e b tais que x = a=b. Um n¶umero real n~ao racional ¶e um n¶umero irracional (aqui
estamos admitindo familiaridade com os n¶umeros reais). Os n¶umeros ¼ e e (conhece?)
s~ao exemplos famosos de n¶umeros irracionais.
Tamb¶em
p
2 ¶e um n¶umero irracional. Abaixo apresentamos uma demonstra»c~ao
deste fato, fazendo uso da propriedade de boa ordena»c~ao dos inteiros positivos.
Teorema 1.3
p
2 ¶e irracional.
Demonstra»c~ao. Suponhamos que
p
2 ¶e um n¶umero racional. Mostraremos que uma tal
suposi»c~ao nos leva a uma contradi»c~ao (isto ¶e, a uma a¯rma»c~ao falsa). Logo, a suposi»c~ao
inicial, de que
p
2 ¶e um n¶umero racional, ¶e falsa. Assim conclu¶³mos que
p
2 s¶o pode ser
irracional.
Um axioma da l¶ogica elementar, a l¶ogica que usamos nas demonstra»c~oes de teo-
remas, enuncia (a¯rma) que
De uma a¯rma»c~ao verdadeira n~ao se pode deduzir uma falsa. Ou seja, se
de uma suposi»c~ao inicial deduzimos uma a¯rma»c~ao falsa, ent~ao a suposi»c~ao
inicial tamb¶em ¶e falsa.
Pois bem, supondo-se que
p
2 ¶e racional, existem inteiros positivos a e b tais quep
2 = a=b. Da¶³, b ¢
p
2 = a.
Consideremos o conjunto A, dos inteiros positivos m tais que m e m
p
2 s~ao ambos
inteiros positivos.
Em linguagem simb¶olica,
A = fm 2 Z j m > 0 e m
p
2 2 Zg
A ¶e n~ao vazio, visto que b 2 A (b ¶e inteiro positivo, e b
p
2 ¶e o inteiro positivo a).

5. Os n¶umeros inteiros 5
Pelo princ¶³pio da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos, A tem um menor elemento
s. Temos que s e s
p
2 s~ao ambos inteiros positivos.
Considere ent~ao o inteiro r = s
p
2¡s. Temos r = s(
p
2¡1) < s, pois
p
2¡1 < 1.
r ¶e um inteiro positivo, pois
p
2 ¡ 1 > 0.
Al¶em disso, r
p
2 ¶e tamb¶em um inteiro: r
p
2 = (s
p
2 ¡ s)
p
2 = 2s ¡ s
p
2 (s e
s
p
2 s~ao inteiros!).
Assim, r 2 A, mas r ¶e menor que o primeiro (o menor) elemento de A. Temos
ent~ao uma contradi»c~ao. Logo, nossa suposi»c~ao de que
p
2 ¶e racional est¶a errada. Por-
tanto,
p
2 62 Q.
1.1.2 Exerc¶³cios
Sendo P1 e P2 duas a¯rma»c~oes matem¶aticas, ao escrever P1 ) P2 queremos dizer Se
P1 ent~ao P2", ou que P1 acarreta (ou implica) P2".
1. Use os axiomas das opera»c~oes adi»c~ao e multiplica»c~ao em Z, para demonstrar que,
sendo a e b inteiros quaisquer,
(a) (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(b) (¡1) ¢ a = ¡a
(c) Se a2
= a ent~ao a = 0 ou a = 1 (d) ¡(a + b) = (¡a) + (¡b)
(e) (¡a)b = ¡ab
Sugest~oes.
(b) Comece considerando que [(¡1) + 1] ¢ a = 0 ¢ a = 0 (justi¯que estes e os
demais argumentos).
(d) Calcule (a+b)+[(-a)+(-b)], usando as propriedades axiom¶aticas da adi»c~ao de
inteiros.
(e) Imite os procedimentos usados no item (b)
2. (a) Admita, no conjunto de axiomas dos n¶umeros inteiros, a propriedade
a ¢ b = 0 ) a = 0 ou b = 0
em lugar da lei do cancelamento da multiplica»c~ao (p¶agina 2). Demonstre
ent~ao a lei do cancelamento da multiplica»c~ao a partir de tal propriedade,
admitindo as demais propriedades axiom¶aticas das opera»c~oes em Z.
(b) Mostre que a lei do cancelamento da multiplica»c~ao n~ao precisa ser admitida
como um axioma, pois ela ¶e um teorema que pode ser deduzido a partir da
proposi»c~ao 1.1. Ou seja, mostre que a proposi»c~ao 1.1 tem como conseqÄu^encia
a lei do cancelamento da multiplica»c~ao.
3. Complete a seguinte demonstra»c~ao de que (¡1)(¡1) = 1.
Temos 0 ¢ 0 = 0. Temos ainda 1 + (¡1) = 0. Da¶³, [1 + (¡1)] ¢ [1 + (¡1)] = 0.

6. Os n¶umeros inteiros 6
Agora use a propriedade distributiva da multiplica»c~ao sobre a adi»c~ao, e tenha em
vista que 1 ¶e elemento neutro da multiplica»c~ao.
4. Use os axiomas da rela»c~ao <" em Z, bem como propriedades da adi»c~ao e da
multiplica»c~ao em Z, para demonstrar que, sendo a, b e c inteiros,
(a) Se a < b ent~ao ¡a > ¡b (b) c > 0 e ac < bc ) a < b
(c) Se c < 0 e ac < bc ent~ao a > b (d) a2
+ ab + b2
¸ 0,
(e) a2
+ ab + b2
= 0 ) a = b = 0 (f) Se a < b ent~ao a3
< b3
(g) Se a3
< b3
ent~ao a < b (h) a < b 6) a2
< b2
Sugest~oes.
(d) Mostre que 2(a2
+ ab + b2
) ¸ 0;
(f) Fa»ca uso da fatora»c~ao a3
¡ b3
= (a ¡ b)(a2
+ ab + b2
);
(h) Para mostrar que n~ao vale a implica»c~ao a < b ) a2
< b2
," mostre que
existem inteiros a e b satisfazendo a < b e a2
¸ b2
.
5. Para cada inteiro a, de¯ne-se o valor absoluto de a como sendo o inteiro jaj, dado
por
jaj =
½
a; se a ¸ 0
¡a; se a < 0
Demonstre que, sendo a e b inteiros,
(a) jaj ¸ 0; jaj = 0 , a = 0 (b) ¡ jaj · a · jaj
(c) j¡aj = jaj (d) jabj = jajjbj
(e) jaj · b , ¡b · a · b (f) ja § bj · jaj + jbj
(g) jjaj ¡ jbjj · ja ¡ bj
Sugest~oes.
(e) Considere dois casos: (i) a ¸ 0 e (ii) a < 0.
(f) Deduza que a + b · jaj + jbj, e ¡jaj ¡ jbj · a + b. Agora use o resultado do
item (e);
(g) A partir do item (f), deduza que jaj · ja¡bj+jbj, de onde jaj¡jbj · ja¡bj.
Deduza tamb¶em que jbj · ja ¡ bj + jaj, e ent~ao jaj ¡ jbj ¸ ¡ja ¡ bj. Agora use
o resultado do item (e).
6. Usando o princ¶³pio da boa ordena»c~ao do conjunto P dos inteiros positivos, demons-
tre que o conjunto N = P [ f0g, dos n¶umeros naturais ¶e tamb¶em bem ordenado.
7. Usando o princ¶³pio da boa ordena»c~ao dos inteiros positivos, demonstre que n~ao
existe um inteiro n satisfazendo 0 < n < 1.
Sugest~ao. Suponha que, ao contr¶ario, existe um inteiro n satisfazendo 0 < n < 1.
Considere o conjunto A de todos os inteiros x com 0 < x < 1. A ¶e subconjunto
n~ao vazio de P (explique porqu^e). Mostre que A n~ao tem um menor elemento,
pois se a 2 A, ent~ao a2
< a.

7. Os n¶umeros inteiros 7
8. Mostre que, sendo a e b inteiros, se ab = 1 ent~ao a = b = §1.
Sugest~ao. Mostre primeiramente que se a e b s~ao inteiros positivos e ab = 1 ent~ao
a = b = 1. Para isto, suponha a e b inteiros positivos, com a 6= 1 e b 6= 1. Como
n~ao existem inteiros entre 0 e 1, mostre que ab > 1. Conclua adequadamente sua
demonstra»c~ao.
9. Se A ½ Z, dizemos que A ¶e limitado inferiormente se existe b 2 Z tal que x ¸ b
para todo x 2 A. Mostre que todo conjunto A de inteiros, n~ao vazio, limitado
inferiormente, tem um m¶³nimo, ou seja, existe a 2 A tal que x ¸ a, para todo
x 2 A. Sugest~ao. Considere o conjunto C = fy 2 Z j y = x ¡ b; x 2 Ag. Mostre
que C ½ N, e use o fato de que N ¶e bem ordenado.
10. Admita familiaridade com o conjunto R dos n¶umeros reais. Com rela»c~ao µa ordem
<" estabelecida em R, dizemos que um subconjunto X de R ¶e bem-ordenado
se todo subconjunto n~ao vazio de X possui um menor elemento ou m¶³nimo. De-
termine quais dos seguintes subconjuntos de R ¶e bem-ordenado. Em caso a¯r-
mativo, demonstre sua a¯rma»c~ao (usando, por exemplo, o fato de que o conjunto
de inteiros positivos ¶e bem-ordenado). Em caso negativo, d^e um exemplo de um
subconjunto (do conjunto dado) que n~ao possui um menor (ou primeiro) elemento.
(a) o conjunto dos inteiros negativos;
(b) o conjunto dos n¶umeros racionais n~ao negativos;
(c) o conjunto dos inteiros pares positivos;
(d) o conjunto dos n¶umeros racionais da forma a=2, com a inteiro positivo.
11. Admita familiaridade com n¶umeros racionais e irracionais.
(a) Demonstre que a soma e o produto de dois n¶umeros racionais ¶e racional.
(b) Demonstre ou d^e um contra-exemplo a cada uma das seguintes a¯rma»c~oes.
i. A soma de um n¶umero racional e um n¶umero irracional ¶e irracional.
ii. A soma de dois n¶umeros irracionais ¶e irracional.
iii. O produto de um n¶umero racional e um n¶umero irracional ¶e irracional.
iv. O produto de dois n¶umeros irracionais ¶e irracional.
12. Atrav¶es de uma pesquisa, fa»ca uma lista de propriedades do n¶umero real
p
2. Fa»ca
uma outra demonstra»c~ao de que
p
2 ¶e irracional.
13. Demonstre que
p
5 ¶e irracional. Sugest~ao. Tente imitar os passos da demonstra»c~ao
de que
p
2 ¶e irracional, teorema 1.3, ou crie sua pr¶opria demonstra»c~ao.
14. Atrav¶es de uma pesquisa, fa»ca uma lista de propriedades do n¶umero real
p
5.