O documento descreve um projeto de ensino sobre geometria analítica para alunos do terceiro ano do ensino médio. O projeto utilizará o software Régua e Compasso para ensinar sobre pontos, retas, distância entre pontos e ponto médio de forma lúdica e dinâmica ao longo de oito aulas com atividades em sala de aula, laboratório e fora da escola.

1. Informática Educativa I :: Tarefa Final da Disciplina
Aluno: Kelly Cristina santos Alexandre de Lima
Pólo: Campo Grande
0. Introdução
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII, com o
filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650). A Geometria Analítica
é um tema da Matemática muito importante que, por vezes, não tem recebido a
atenção necessária por alunos e professores. Ela destina-se ao estudo das relações
existentes entre a Álgebra e a Geometria: um ponto, uma reta, uma circunferência
têm suas propriedades estudadas através de métodos algébricos e geométricos.
O software Régua e Compasso, de autoria de René Grothmann, permite um
estudo motivador deste tema. Segundo Barcelos e Batista (2008, p.1),
É um programa de Geometria Dinâmica, isto é, sua função é
possibilitar o trabalho com construções geométricas que podem ser
alteradas movendo um dos pontos básicos, permitindo a
preservação das propriedades originais. Dessa forma, permite
explorar diversos aspectos relativos à Geometria Plana Euclidiana e
à Geometria Analítica.
As novas tecnologias, incluindo os softwares e jogos, tem-se constituído um
dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que
exercem nos meios de produção e por suas conseqüências no cotidiano das
pessoas. Segundo Barros e Brighenti,
[...] o grande desenvolvimento tecnológico e científico atual
impulsiona mudanças no desenvolvimento intelectual, social e
cultural de todos envolvidos com o processo educativo, pois a
sociedade contemporânea exige a formação global dos indivíduos
para que se adaptem facilmente às freqüentes e rápidas mudanças
tecnológicas (2004, p.125).
Cada vez mais, pesquisadores reforçam a idéia de que a matemática não
pode ser reduzida a um conjunto de procedimentos mecânicos e repetitivos. O que
se propõe hoje é que o ensino de Matemática possa aproveitar ao máximo os
recursos tecnológicos, tanto pela sua receptividade social como para melhorar a
linguagem expressiva e comunicativa dos alunos.
Entretanto, a simples menção de “recursos” e/ou “caminhos” ao lado de
“matemática” ou “educação” não promove novas posturas. É preciso não confundir
meios e mediações: objetos técnicos e trabalho com eles. A entrada de um ou
mais recurso na sala de aula ocorre, em muitos casos, sem um intuito educacional,
e é neste ponto que meios e mediações costumam confundir-se. A utilização
dessas “tecnologias”, por parte dos educadores torna possível o conhecimento dos
objetos técnicos, mas nem sempre estes objetos serão utilizados para a reflexão
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2. do conteúdo, para auxílio na aprendizagem. É preciso cuidado para não utilizá-los
como meros instrumentos de saída da rotina.
Este projeto destina-se a um aprendizado significativo da Geometria
Analítica, em especial o ponto e os conceitos a ele relacionados, mais do que uma
simples transferência de informação, objetiva-se a construção de um conhecimento
de forma prazerosa e coletiva.
1. Definição do projeto – What (4,0 pontos): defina o conteúdo que será
estudado/desenvolvido. Isso envolve definir um título.
Conteúdo a ser estudado:
Geometria Analítica
 Pontos no plano cartesiano
 Distância entre dois pontos
 Ponto médio entre dois pontos
 Conceito de reta
Título do projeto:
“Entre a régua e o compasso: o ponto na Geometria Analítica”
2. Objetivos e metas do projeto – Why (10,0 pontos): descreva os objetivos
do projeto, encaixando-o nas teorias pedagógicas estudadas e condizentes com o
currículo aplicável ao ensino da Matemática. Esta é a justificativa do seu projeto.
Espera-se com este projeto, o aluno seja capaz de:
 Conceituar ponto e reta;
 Identificar a localização de pontos no plano cartesiano;
 Construir, com o auxílio do software ou não, pontos a partir das
coordenadas cartesianas;
 Reconhecer as propriedades dos pontos (ponto médio e distância).
3. Público alvo – Who (1,5 pontos): descreva a quem se destina o projeto,
incluindo faixa etária, ano ou série.
O projeto destina-se a alunos do terceiro ano do Ensino Médio que estejam
iniciando os estudos em Geometria Analítica. Foi elaborado para turmas com dois
encontros semanais cada um com 2 horas/aula, totalizando 200 minutos semanais
e um total geral de 800 minutos (o projeto tem duração de um mês).
4. Quando utilizar – When (1,5 pontos): significa em que momento do curso o
projeto será utilizado, e onde se encaixa na grade de conteúdos da disciplina (num
enfoque mais tradicional), ou relacionado a algum tema que será desenvolvido
(num enfoque mais construtivista).
Por se tratar de um conteúdo inicial da série a qual se destina, este projeto foi
pensado para o início do ano letivo. Recomenda-se que este seja um de vários
outros projetos para o estudo de Geometria Analítica, que englobem os outros
tópicos deste tema (como estudo da reta e da circunferência).
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3. 5. Local a usar – Where (1,5 pontos): defina se haverá atividades em sala, nos
laboratórios e em casa.
O projeto será realizado em três espaços da escola: a sala de aula, o
laboratório/sala de informática e a quadra (ou pátio). Haverá também atividades
para que os alunos realizem fora do espaço escolar.
6. Custo do projeto – How much (1,5 pontos): especifique se haverá
necessidade de equipamentos e software especiais. Não é necessário definir preço.
Obs.: Indicamos que no caso de ser um projeto mais formal, com pedido de verba
para algum órgão de fomento, será preciso definir isso.
Materiais necessários:
*Para os encontros em sala de aula: papel quadriculado, data show, quadro (de giz
ou piloto).
*Para os encontros no laboratório de informática: Software Régua e Compasso e
computadores (estes deverão possuir a linguagem Java habilitada, que pode ser
instalada gratuitamente pelo endereço:
http://java.sun.com/j2se/1.4.2/download.html ou, ainda, no endereço)
Observação: como o software a ser utilizado é do tipo livre (disponível no
endereço: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/2180) não haverá
despesas para adquiri-lo;além disso, é um software que roda em diversas
plataformas como Microsoft Windows©, Linux, Macintosh©, etc; partindo do
pressuposto que a escola já possua um laboratório de informática não será preciso
comprar as máquinas, mas recomenda-se uma vistoria nas mesmas, para que
todas estejam funcionando em ótimo estado quando os alunos estiverem
utilizando-as.
7. Descrição da forma de emprego do projeto - How (20,0 pontos):
descreva detalhadamente as atividades e as etapas que devem ser desenvolvidas
para que os objetivos do projeto sejam atingidos. Aqui você pode seguir o roteiro
que disponibilizamos na semana.
O projeto constará de oito dias de aula, segue abaixo uma idéia para cada uma
destas aulas.
 Aula 1/8
Esta é uma aula de introdução ao tema e estão previstas para ela três atividades.
Atividade 1: Dinâmica de apresentação do tema – Jogo “Pontos Humanos”
Na quadra, trace com os alunos uma espécie de malha quadriculada no chão
utilizando giz (ou leve um “tabuleiro gigante” quadriculado e com eixos
coordenados, em um material resistente como E.V.A).
Cada aluno será um Ponto. Vá dando instruções para que eles se posicionem na
malha. Por exemplo: Fulano vá para o quadrado da terceira coluna e quarta linha.
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4. Motive-os a fazerem suas próprias colocações e a expor isso aos colegas. Observe
que a frase “coluna tal e linha tal” torna a comunicação mais demorada, incentive-
os a criarem novas formas de nomear suas posições.
Esta atividade deve durar o tempo necessário para que os alunos possam
construir o conceito de localização no ponto cartesiano (a necessidade de duas
coordenadas)
Atividade 2: (em sala de aula)Definição dos conceitos primitivos
Exponha e construa com os alunos o conceito de plano cartesiano e ponto.
Atividade 3: Aspectos Históricos da Geometria Analítica
Leitura e discussão do texto no anexo 1.
Após a discussão do texto, proponha uma atividade de pesquisa aos alunos: como
surgiu a geometria analítica, qual a sua importância, as aplicações no dia a dia. O
ideal é que esta atividade seja em pequenos grupos (4 a 5 componentes) e tenha
um prazo de uma semana para a entrega.
 Aula 2/8:
Atividades com papel quadriculado
Esta é uma aula em que os conceitos da Geometria Analítico serão trabalhados a
partir da construção em papel quadriculado. Leve para a aula mapas e plantas de
construções. Proponha atividades inicialmente com as plantas e mapas; por
exemplo, divida a turma em grupos peça para quadricularem um mapa do Brasil e
localizarem o Rio de Janeiro por coordenadas cartesianas.
Proponha ainda a localização de pontos no papel somente com eixos cartesianos,
sem a malha quadriculada. E a construção de um plano de vôo simplificado.
Esta é uma aula de descobertas. Deixe o ambiente propício a criação.
Peça para os alunos fazerem anotações das observações e descobertas, e
socializem para toda a turma ao final.
 Aula 3/8
Software Régua e Compasso
Esta aula deverá ocorrer no Laboratório de Informática. É importante reservar um
tempo inicial da aula para apresentar o software e familiarizá-los com os alunos.
Proponha atividades dirigidas, como a construção de pontos e retas, um exemplo
na figura abaixo. Outras atividades, para iniciar o trabalho com o software, podem
ser vista no anexo 2.
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5. Faça questionamentos que levem os alunos a perceberem que para traçar uma
reta são necessários dois pontos.
 Aula 4/8
Esta é uma aula voltada para exercícios sobre o que já foi construído até então.
Confeccione uma lista (com no máximo 6 exercícios, ver anexo 3). Selecione dois
para exemplificar. Dê tempo para que possam resolver os demais em aula (este
exercício pode ser feito em duplas). É importante que se faça a correção dos
exercícios coletivamente com os alunos.
Obs.: Nesta aula deve ocorrer a entrega dos trabalhos solicitados na Aula 1.
 Aula 5/8
Software Régua e Compasso
Atividades sobre Ponto Médio de um Segmento
Esta aula destina-se ao estudo do ponto médio de um segmento de reta ou entre
dois pontos. Peça para que os alunos construam pontos médios como na figura
abaixo (o software possui esta função)
Deixe que os alunos façam várias construções. Indague sobre o que é necessário
para encontrar um ponto médio.
Defina formalmente ponto médio.
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6.  Aula 6/8
Software Régua e Compasso
Atividades sobre Distância entre Dois Pontos. Esta é uma função também
disponível no software. Deixe que os alunos construam pontos livremente peça
para que descubram a distância entre eles (dois a dois) com o Régua e Compasso.
Defina a distância entre dois pontos.
Selecione pontos e peça para que os alunos calculem os pontos médios e as
distâncias entre os pontos sem usar o software. Depois solicite que façam as
construções no computador verificando as respostas dadas e fazendo a
representação geométrica.
Exercícios: Elabore uma lista de exercícios para ser resolvida em casa (ou utilize os
propostos no Livro Didático) com os novos conceitos elaborados nesta aula e na
anterior.
 Aula 7/8
Utilize os minutos iniciais para corrigir os exercícios deixados na aula anterior.
Para esta aula prepare uma apresentação em power point, com base nas pesquisas
dos alunos, procure destacar aquilo que aparece com mais freqüência. Discuta
tanto os aspectos históricos quanto a aplicabilidade, acrescentando dados as
pesquisas quando necessário.
Proponha um debate na turma: divida-os em dois grupos – um defende que a
geometria analítica (pela sua aplicabilidade e importância, por exemplo), deve ser
estudada por eles, o outro nega tal afirmação (pela dificuldade, ou outros
argumentos). Escolha também um grupo para mediar o debate.
 Aula 8/8
Avaliação e verificação dos objetivos
Para avaliar o desenvolvimento do projeto, proponha que os alunos escrevam um
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7. texto sobre os conceitos de Geometria Analítica estudados.
Referências Bibliográficas:
BARCELOS, Gilmara Teixeira; BATISTA, Silvia Cristina Freitas. Geometria
Dinâmica utilizando o Software Régua e Compasso. Disponível em:
http://www.es.cefetcampos.br/softmat/download/atividades1/apostila_ReC_2008_
1.pdf. Acesso em: 27 out 2009.
BARROS, D. M. V.; BRIGHENTI, M. J. L. Tecnologias da informação e comunicação
& formação de professores: tecendo algumas redes de conexão. In: RIVERO, C. M.
L.; GALLO, S. (orgs.). A formação de Professores na sociedade do
conhecimento. Bauru: EDUSC, 2004, p. 125-144.
Geometria analítica. Disponível em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%Adtica. Acesso em: 27 out 2009.
IEZZI, Gelson, et al. Matemática: ciência e aplicações, 3° série, ensino médio. 2 ed.
São Paulo: Atual, 2004.
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8. Anexo 1
Geometria Analítica
Em 1637, o matemático e filósofo francês René Descartes publicou seu
grande trabalho O Discurso sobre o Método, em que são estabelecidas as bases
filosóficas de seu método para o estudo das ciências, o chamado método
cartesiano, até hoje presente na organização do conhecimento em muitas áreas. No
apêndice, Descartes ilustra o seu método apresentando a “Géométrie”, que foi o
passo inicial no estabelecimento de relações mais estreitas entre a Álgebra e a
Geometria. O trabalho contém uma teoria para equações algébrica associadas a
curvas planas – por exemplo, equações de segundo grau associadas a parábolas.
Alguns anos mais tarde, um outro matemático francês, Pierre Fermat,
publicou um trabalho onde também relacionou equações a retas, às curvas que
chamamos cônicas e a outras curvas até então pouco conhecidas. Tem-se registros
de que as idéias iniciais de Fermat sobre a Geometria Analítica são, na verdade,
anteriores ao trabalho de Descartes, mas esses registros só foram encontrados e
publicados em 1769, após a sua morte.
A Geometria Analítica trata, portanto, desde a sua origem, das relações
entre as equações algébricas e os objetos geométricos, buscando a simplificação
técnica dos problemas geométricos e a interpretação geométrica dos resultados
obtidos nos cálculos algébricos. Os cálculos e a descrição dos objetos geométricos
ficam mais simples com os recursos algébricos da teoria das matrizes associados
aos processos de resolução de equações.
As técnicas da Geometria Analítica desempenham um papel fundamental
ainda hoje, por exemplo, no desenvolvimento da Computação Gráfica. As telas dos
nossos computadores são modelos da estrutura do plano cartesiano com um
número finito de pontos, que é sempre mencionado quando escolhemos a
configuração da tela. Aumentando o número de pontos, melhoramos a qualidade da
imagem do monitor ou da impressão dessa imagem. Nas muitas utilizações de
recursos de imagens, como na tomografia ou na localização por satélite, essa
organização é fundamental para uma interpretação precisa dos resultados obtidos.
Geometria analítica. Disponível em:
http://www.cienciamao.if.usp.br/tudo/exibir.php?midia=pu&cod=_geometriaanaliti
ca. Acesso em 01 nov 2009.
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9. Anexo 2
Atividades com o Software Régua e Compasso
Atividade 1
1. Crie um ponto livre.
2. Crie um ponto livre com uma forma de apresentação diferente do ponto
criado no item anterior.
3. Apague os pontos que você criou.
4. Construa uma reta e marque alguns pontos pertencentes a ela.
5. Construa uma outra reta, escolhendo previamente uma cor e uma
“espessura” para a linha da construção, dentre as opções existentes.
6. Comece uma Nova Construção
7. Construa um segmento de reta, utilizando a ferramenta.Solicite que a
medida desse segmento apareça.
Atividade 2
1. Crie um ponto.
2. Trace duas retas diferentes passando por ele.
3. Crie outro ponto.
4. Construa o máximo de retas passando pelos dois pontos ao mesmo tempo.
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10. Anexo 3
Exercícios
1. Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A (1,0), B(2,2), C(-
2,0), D(0,4), E (-2,4). Escreva, a seguir, o quadrante ou o eixo a que cada
um dos pontos pertence.
2. Situe no sistema de eixos cinco pontos que tenham a abscissa como metade
da respectiva ordenada.
3. Como podem ser representadas de uma forma geral, as coordenadas de um
ponto:
a) 3 unidades à esquerda do eixo y?
b) 4 unidades acima do eixo x?
c) 5 unidades abaixo do eixo das abscissas?
d) 2 unidades á direita do eixo das ordenadas?
4. Sabendo que o ponto P(k²-1, 1-2k) pertence ao segundo quadrante,
determine os possíveis valores de k.
5. A abscissa de p vale o dobro da ordenada de Q. Se Q está acima do eixo x
tanto quanto está à esquerda do eixo y e P dista 5 unidades do eixo das
ordenadas, quais são as coordenadas de Q?
6. A que distância da origem está o ponto (3,0)? E o ponto (0,2)?
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