FÍSICA – LICENCIATURA – EAD
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OBSERVAÇÃO:
Um conjunto pode ainda ser repre...
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EXEMPLOS:
01) { }7,6,5=A e { } BAxeNaturaléx...
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03) { },3,2,1=A e { }5,4,3,2,1=B
Neste caso:...
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01) { }5,4,3,2,1=A e { }7,6,5,4,3=...
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01) Dados os conjuntos { }7,3,2,...
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Fundamentos aula01

  1. 1. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA AULA 1 – FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS CONJUNTOS: 1.1 – INTRODUÇÃO: A idéia intuitiva de Conjunto é tão antiga quanto à idéia de números, e embora essa idéia sempre tenha existido no pensamento humano e na Matemática, de modo geral, ela só recebeu um tratamento formal e sistemático no final do século XIX, dado pelo matemático russo Georg Cantor (1845-1918), que é o criador da Teoria dos Conjuntos. Os conceitos de Conjunto e Elemento de um Conjunto são primitivos, isto é, não têm definição, o que não significa que os conjuntos não devam ser devidamente caracterizados. Dizemos que um conjunto está caracterizado quando conhecemos os seus elementos. De modo geral, os conjuntos são designados por letras maiúsculas A, B, C, etc, e seus elementos por letras minúsculas a, b, c, etc. Assim, dado um elemento x qualquer e um conjunto A, temos duas opções: a – se x é elemento de A, escrevemos Ax ∈ (lê-se: “x pertence a A”); b – se x não é elemento de A, escrevemos Ax ∉ (lê-se: “x não pertence a A”). Podemos determinar ou indicar um Conjunto de duas maneiras: 1a : Pela designação de seus elementos: Neste caso, descrevemos, um a um, todos os elementos desse conjunto colocando-os entre chaves. Por exemplo, se A é conjunto de todas as vogais, então { }uoieaA ,,,,= . 2a : Pela propriedade de seus elementos: Neste caso, designamos uma propriedade comum a todos os elementos do conjunto. Por exemplo, se A é o conjunto de todos os números Naturais e maiores que 5, podemos escrever: { }5/ >= xeNaturaléxxA (lê-se: “x tal que x é Natural e x maior que 5”) Em outra notação: { }L,9,8,7,6=A
  2. 2. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG OBSERVAÇÃO: Um conjunto pode ainda ser representado na forma de diagramas, conforme o exemplo abaixo, onde indicamos o conjunto { }5,4,3,2,1=A . 1.2 – CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO: Se um Conjunto possui um único elemento, ele é chamado de Conjunto Unitário. Se o Conjunto não possui nenhum elemento, ele será chamado de Conjunto Vazio e representado pelos símbolos φ ou { }. EXEMPLOS: 01) { } { }453/ =⇒<<= AxeNaturaléxxA (Conjunto Unitário) 02) { } { }HorizonteBeloBGeraisMinasdecapitaléxxB =⇒= / (Conjunto Unitário) 03) { } φ=⇒<<= CxeNaturaléxxC 43/ (Conjunto Vazio) 04) { } φ=⇒><= DxexxD 53/ (Conjunto Vazio) 1.3 – INCLUSÃO: Dizemos que um Conjunto A está contido em um Conjunto B se todo elemento de A também for elemento de B. Indicamos por: BA ⊂ ou AB ⊃ (lê-se: “A está contido em B” ou “B contém A”). Neste caso, dizemos que A é um subconjunto de B. Se o Conjunto A não estiver contido em B, escrevemos BA ⊄ . A 1 2 3 4 5
  3. 3. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG EXEMPLOS: 01) { }7,6,5=A e { } BAxeNaturaléxxB ⊂⇒<<= 81/ 02) { }ParNaturaléxxA /= e { } ABB ⊂⇒= 8,6,4,2 . 03) { },5,4,3,2,1=A e { } BAB ⊄⇒= 10,9,8,7 04) { },3,2,1=A e { } BAB ⊄⇒= 5,4,3 OBSERVAÇÕES: 01) Todo Conjunto está contido em si mesmo ( )AA ⊂ . Portanto, todo Conjunto é subconjunto de si próprio. 02) O Conjunto Vazio está contido em qualquer Conjunto. 1.4 – INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS: Dados dois Conjuntos A e B, chama-se Conjunto Interseção, ou simplesmente Interseção, de A e B ao Conjunto formado pelos elementos comuns aos dois Conjuntos. Representamos a Interseção de A e B por BA ∩ (lê-se: “A inter B”) EXEMPLOS: 01) { }4,3,2=A e { }6,5,4,3=B Neste caso: { }4,3=∩ BA Na forma de diagramas: 02) { }3,2,1=A e { }6,5,4=B Neste caso: φ=∩ BA A e B são Disjuntos. 2 3 4 5 6 A B 1 2 3 4 5 6 A B
  4. 4. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 03) { },3,2,1=A e { }5,4,3,2,1=B Neste caso: ABA =∩ 1.5 – UNIÃO DE CONJUNTOS: Dados dois Conjuntos A e B, chama-se Conjunto União, ou simplesmente União de A e B ao Conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Indicamos por BA ∪ (lê-se: “A união B”). EXEMPLOS: 01) { }3,2,1=A e { }5,4,3,2=B { }5,4,3,2,1=∪ BA 02) { }3,2,1=A e { }6,5,4=B { }6,5,4,3,2,1=∪ BA 03) φ=A e { }5,4,3,2,1=B { } BBABA =∪⇒=∪ 5,4,3,2,1 04) { }3,2,1=A e { }5,4,3,2,1=B { } BBABA =∪⇒=∪ 5,4,3,2,1 1.6 – DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS: Dados dois Conjuntos A e B, chama-se Conjunto Diferença, ou simplesmente Diferença entre A e B ao Conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Indicamos a Diferença por BA − (lê-se: “A menos B”). ATENÇÃO: A Diferença BA − não é necessariamente igual à Diferença AB − . 1 2 3 4 5 A B
  5. 5. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG EXEMPLOS: 01) { }5,4,3,2,1=A e { }7,6,5,4,3=B { }2,1=− BA e { }7,6=− AB 02) { }4,3,2,1=A e { }8,7,6,5=B { } ABABA =−⇒=− 4,3,2,1 { } BABAB =−⇒=− 8,7,6,5 03) { }3,2,1=A e { }5,4,3,2,1=B φ=− BA e { }5,4=− AB 1.7 – CONJUNTO COMPLEMENTAR: Dados dois Conjuntos A e B, de modo que AB ⊂ , chamamos de Conjunto Complementar de B em relação a A, ou simplesmente Complemento de B em A, à diferença BA − . Indicamos por BCA (lê-se: “Complemento de B em A”). EXEMPLOS: 01) { }6,5,4,3,2,1=A e { }6,5=B Neste caso: { }4,3,2,1=−= BABCA e φ=−= ABACB 02) { }8,7,6,5,4,3,2,1=A e { }5,4,3,2,1=B Neste caso: { }8,7,6=−= BABAC e φ=−= ABABC
  6. 6. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG APLICAÇÕES: 01) Dados os conjuntos { }7,3,2,1=A , { }5,4,3=B e { }7,6,5,1=C , determine o conjunto D , sabendo que { }7,3=∩ DA , { }5,3=∩ DB , { }7,6,5=∩ DC e ( ) 4=Dn , onde ( )Dn é o número de elementos do conjunto D . SOLUÇÃO: { } DeDDA ∈∈⇒=∩ 737,3 { } DeDDB ∈∈⇒=∩ 535,3 { } DeDDDC ∈∈∈⇒=∩ 76;57,6,5 Como ( ) 4=Dn , então { }7,6,5,3=D 02) Sendo { }4,3,2,1=A , { }6,5,4,3=B e { }7,6,5,4=C , encontre ( ) ( )CBBA ∪−∩ . SOLUÇÃO: Temos: { } { }   =∪ =∩ 7,6,5,4,3 4,3 CB BA Portanto: ( ) ( ) { } { } φ=−=∪−∩ 7,6,5,4,34,3CBBA 03) Numa empresa foi realizado um concurso escrito constituído de dois problemas A e B ; 340 candidatos acertaram somente um problema, 300 acertaram o segundo, 120 acertaram os dois e 250 erraram o primeiro. Quantos candidatos fizeram a prova? SOLUÇÃO: Para a resolução de problemas como este, o uso de diagramas torna a solução muito mais simples. Vamos construir, então, os diagramas, chamando de U o conjunto de todos os candidatos ( =U Conjunto Universo).
  7. 7. FÍSICA – LICENCIATURA – EAD Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG Portanto: ( ) ( ) 53070180120160 =⇒+++= UnUn candidatos. A B U 160 120 180 70

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