Matemática 2012 quarta manhã 22 08 12

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Matemática 2012 quarta manhã 22 08 12

  1. 1. CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br TURMA DISCIPLINA PROFESSOR(A) MATEMÁTICA MICHELE RONDON ASSUNTO CONJUNTOS NUMÉRICOS Em diagramas, temos: { },...4,3,2,1,0=N é o conjunto dos números naturais. { },...3,2,1,0,1,2,3..., −−−=Z é o conjunto dos números inteiros.       ≠∈∈== 0,,,/ bZbZa b a xxQ é o conjunto dos números racionais. I = { }periódicasnãodecimaisdízimasastodas é o conjunto dos números irracionais. R é o conjunto formado pelos conjuntos dos números racionais e irracionais, chamados de reais. Então: RQZN ⊂⊂⊂ Subconjuntos dos conjuntos numéricos. RIQ =∪ * N = conjunto dos números naturais sem o zero = {1, 2, 3, 4, ... } * Z = conjunto dos números inteiros sem o zero = { ... , -2, -1, 1, 2, ... } +Z = {números inteiros não negativos} = {0, 1, 2,3, ... } = N * +Z = {números inteiros positivos = {1, 2, 3, ... } −Z = {núm. int. não positivos} = { ... , -2, -1, 0} * −Z = {núm. int. negativos} = { ... , -3, -2, -1} OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS Sistema de Numeração Decimal O Sistema de Numeração Decimal se baseia na posição que um algarismo tem no numeral. As regras que definem ordens, classes e nomes que resumimos no seguinte quadro: A Numeração Decimal 314 . 537 . 012 . 423Classe dos bilhões Classe dos Milhões Classe dos Milhares Classe das unidades Cada algarismo situado à esquerda de outro tem um valor dez vezes maior que se estivessem no lugar desse outro. Adição Adição é a operação onde juntamos quantidades Em adições usa-se o sinal de “ + “ (mais). Parcelas são os termos da adição. O resultado da adição chama-se soma ou total Ao efetuarmos uma adição, colocamos. ● unidade embaixo de unidade • dezena embaixo de dezena • centena embaixo de centena 1
  2. 2. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com A soma sempre se inicia pela direita. C D U 2 4 2 parcela + 1 3 5 parcela 3 7 7 soma ou total  Adição com reserva C D U +1 +1 2 1 6 + 5 9 6 6 + 6=12 8 1 2 Soma-se as unidades: 6unidades + 6unidades = 12 unidades, que corresponde a 1 dezena e 2 unidades.Escreve-se o 2 na ordem das unidades e o 1 vai para a ordem das dezenas. O mesmo acontece com as centenas. Soma-se as dezenas:1 dezena + 1 dezena + 9 dezenas = 11 dezenas, que corresponde a :1 centena e 1 unidade.Escreve –se o primeiro 1 na ordem das dezenas e segundo 1 vai para a ordem das centenas. Prova Real da Adição Para sabermos se uma conta está correta usamos a operação inversa. A operação inversa da ADIÇÃO é SUBTRAÇÃO. Prova Real Parcela 2 4 2 3 7 7 3 7 7 + - ou - parcela 1 3 5 1 3 5 2 4 2 soma 3 7 7 2 4 2 1 3 5 ou total A soma ou total menos uma das parcelas é sempre igual a outra parcela.  Subtração Subtração é a operação onde retiramos uma quantidade menor de uma maior. O subtraendo não pode ser maior que o minuendo. Em subtrações usamos o sinal “–“ (menos). O minuendo e o Subtraendo são termos da subtração. O resto ou diferença é o resultado da subtração. A subtração sempre se inicia pela direita Na subtração, colocamos: C D U ● unidade embaixo de unidade; 7 4 1 minuendo • dezena embaixo de dezena; - 3 2 1 subtraendo • centena embaixo de centena. 4 2 0 resto ou diferença Prova Real da Subtração. A operação inversa à SUBTRAÇÃO é a ADIÇÃO. Prova Real Minuendo 7 8 6 2 - + subtraendo 1 6 1 6 resto ou 6 2 7 8 diferença  Multiplicação Multiplicação é uma adição de parcelas iguais. Apresentamos a multiplicação com o sinal “ x “ (vezes). O multiplicando e o multiplicador são chamados fatores. O resultado chama-se produto. 2
  3. 3. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com Observe quantas figuras há nos quadrados.       São três quadrados com quatro       livros. Então: 4 + 4 + 4 = 12 ou 3 x 4 = 12 4 multiplicando Fatores x 3 multiplicador 12 Produto se multiplicarmos um número qualquer por 0 (zero) seu produto será sempre zero. Veja: 9 x 0 = 0, pois 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0  Multiplicação com mais de um Algarismo no Multiplicador 1 1 2 6 9 multiplicando x 1 2 multiplicador 5 3 8 1º produto parcial +2 6 9 2º produto parcial 3 2 2 8 produto final Primeiro multiplica-se o 2 pelo 9, depois pelo 6 somando-se com o 1 que foi, em seguida multiplica-se o 2 pelo 2 somando-se com o 1 que foi. Achamos, assim, o primeiro produto parcial. Ao multiplica-se o 1 pelo 9 depois pelo 6 e depois pelo 2 encontra-se o segundo produto parcial, que deverá ser afastado uma casa para a esquerda. Sempre iremos afastar uma casa para a esquerda para cada produto parcial: Veja mais um exemplo: 1 4 3 2 multiplicando x 1 3 2 multiplicador 22 81 6 4 produto parcial 4 2 9 6 produto parcial 1 4 3 2 produto parcial 1 8 9 0 2 4 produto final  Multiplicação por 10, 100 e 1000 Para multiplicar um número por 10 basta acrescentar um zero à direita desse número. Exemplos: 9 x 10 = 90 15 x 10= 150 130 x 10= 1.300 Se for multiplicar por 100 são acrescidos dois zeros à direita do número: Veja: 8 x 100= 800 16 x 100= 1.600 200 x 100=20.000 E por 1000, acrescenta-se três zeros à direita do número: Confira: 7 x 1000= 7.000 40 x 1000= 40.000 • Prova Real da Multiplicação A operação inversa à multiplicação é a divisão. Prova Real 4 multiplicando 8 2 fatores 0 4 x 2 multiplicador 8 produto Divide-se o produto por um dos fatores e encontra o outro fator. 3
  4. 4. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com  Divisão Divisão é a operação onde separamos uma quantidade em partes iguais. Representamos a divisão pelos sinais: ÷ ou : dividendo 4 2 divisor dividendo 4 2 divisor resto 0 2 quociente - 4 2 x quociente resto 0 4 dividido por 2 são 2. 2vezes 2 são 4. 4 para chegar no 4 não falta nada, então é 0 (zero).  Divisão Exata Na divisão exata, o resto será sempre zero. 12 3 veja na prática 0 4 • • • • • • • • • • • • São 12 biscoitos, cercados de 3 em 3, pois a divisão é por 3. Formamos 4 conjuntos e não sobrou nada do lado de fora. Por isso, a divisão é exata! • Prova Real da Divisão Exata Para tirarmos a prova real da divisão exata, é só multiplicarmos o divisor pelo quociente. Prova Real 6 8 2 3 4 0 8 3 4 x 2 0 6 8  Divisão Inexata ou Aproximada Em uma divisão inexata o resto será diferente de zero e sempre menor que o divisor. 7 2 1 3 Na tabuada de x 2 não existe um número que multiplicado por 2 dê como resultado 7.Então, procura-se o maior número que multiplicado por 2 dê um resultado próximo (porém nunca maior) que 7. Esse número é 3. Observe : 2 x 1= 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 é o mais próximo e menor que 7 2 x 4 = 8 é maior que 7 2 x 5 =10 • Prova Real da Divisão Aproximada Para tirarmos a prova real da divisão inexata, é só multiplicarmos o divisor pelo quociente e somarmos este resultado com o resto 4
  5. 5. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com Vejamos: Prova Real 72 5 14 22 14 x5 2 70 +2 resto 72 Vamos entender o processo da divisão com 7’2’ 5 : ? 7 dividido por 5 é 1, que multiplicado por 5 são 5. 5 para chegar no 7 faltam 2. Abaixa-se o outro 2 do dividendo. Tendo agora 22 para dividir por 5, que dará 4. 4 multiplicado por 5 são 20. 20 para chegar no 22 faltam 2. Como não há mais números para “abaixar”, fecha-se a conta com resto 2. Obs1: Numa divisão o divisor deve ser diferente de zero. Obs2: O maior resto de uma divisão aproximada é o divisor menos a unidade (1). Obs3: O menor resto é a unidade (1). QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES: 1. (CEF) 1 2 X 5 Y + Z 3 0 2 1 7 4 W 1 Determinando-se esses algarismos para que a soma seja verdadeira, verifica-se que: a) Y – W = X c) Y = 8 e) X + Z = W b) X = 2 d) Z = 4 2. ( FUVEST) 1 a b c x 3 a b c 4 Acima está representada uma multiplicação onde os algarismos a, b e c são números desconhecidos. Qual o valor da soma a + b + c? a) 5 b) 8 c) 11 d) 14 e)17 3. (UNIFOR) O esquema abaixo apresenta o algoritmo da subtração de números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras x, y, z e t. 7 3 x 7 - y 4 9 z 2 t 4 9 Reconstituindo-se essa subtração, a fim de torná-la verdadeira, obtém-se: a) x = y = 2 e z = 2t b) x = z = 4 e y = 2t c) y = z = 8 e x = 4t d) y = 2t e x = 2z e) t = 2x e z = 2y 4. (MPU) Numa divisão, o divisor é 14 o quociente é 26 e o resto é o maior possível.O dividendo é igual a: a) 379 b) 378 c) 376 d)377 e) 375 5. (TRE) Dividindo-se um número natural X por 5, obtém quociente 33 e o resto é o maior possível. Esse número X é: a) menor que (1) uma centena d) cubo perfeito b) maior que (2) duas centenas e) igual a (3) três centenas c) quadrado perfeito 5
  6. 6. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 6. (UECE) Um certo inteiro n quando dividido por 5 deixa resto 3. O resto da divisão de 4n por 5 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Respostas 1)E 2) D 3) E 4) D 5) C 6) B EXERCÍCIOS Resolver as seguintes expressões aritméticas: 1) 31 + {18 + [ ( 7+ 15 ) + 2 + (3+1) ] + 15} 2) 7 + 5 x 8 – 2 x 4 3) 8 + 7 x 4 – 3 x 5 + 7 4) 28 – 5 x 4 – (40 – 8 x 4) + 10 5) ( 5 x 7 + 3 ) x 6 + ( 12 – 3 x 2) x 5 6) 123 – { 150 + [ 36 – ( 7 x 4 + 3 x 2 ) + 5 ] } x 2 7) 285 – 3 x { 25 + 2 x [18 – 3 x (15 – 2 x 5 ) ] } 8) [ 12 – ( 3 + 2 x 3 ) ] + 15 – (2 + 6 : 2) 9) (13 + 7) : 5 + 24 : [ 12 – ( 3 + 2 x 3) ] – 15 : (2 + 6 : 2) 10) [40 – (11 – 6) x 2 + 15 ] : [ 3 + 3 x (12 – 5 x 2)] 11) { 16 + 8 x [ 28 – (15 – 3) : (5 + 1) ] – 24 : 3 } : (14 – 2 x 3) 12) { 230 – 3 x [ 24 – 6 x (11 – 2 x 4) : (5 x 4 – 11)] : 11} x 3 + 4 13) [ 60 : (5 x 12 – 50) ] : { 55 : [ 40 : 2 : ( 4 + 8 x 2) ] – 52 } 14) { 120 : [ 72 : ( 53 x 13 – 680 ) + 22 ] } + (10 + 5 ) 15) Observe a soma abaixo: A soma dos algarismos representados por a, b, e c 1 a 3 é igual a: 1 7 b + c 1 9 2 3 8 9 5 7 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 16) 2 x y z x 4 1 0 1 z 8 Determinando-se os algarismos x, y e z para que a multiplicação seja verdadeira, verifica-se que: a) z = 7 b) x = y + z c) x = 2z d) y = x e) x + y – z = 0 11. (BNB) Do maior número possível de ser digitado em uma calculadora com lugar para oito algarismos foi subtraído o número de habitantes de um dos estados do Nordeste, obtendo-se como resultado, 92.582.597. 6
  7. 7. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com Somando-se uma única vez os números de um algarismo obtidos dos algarismos que compõem o número de habitantes desse estado obtém-se: a) 16 b) 41 c) 14 d) 51 e) 25 Respostas 1) 92 8) 13 15) D 2) 39 9) 9 16) B 3) 28 10) 5 17) C 4) 10 11) 27 5) 258 12) 676 6) –191 13) 2 7) 192 14) 19 MÚLTIPLOS E DIVISORES Múltiplo e Divisor de um número Consideremos os termos divisível, divide, divisor e fator. Nos seguintes produtos observemos que: Também poderíamos dizer: 0 é divisível por 3 0 é múltiplo de 3 3x0 =0 0÷3 =0 3x0 = 0 0÷3 =0 3 é fator de 0 3 é divisor de 0 3 divide o 0 3 é divisível por 3 3 é múltiplo de 3 3x1= 3 3÷3 = 1 3x1 = 3 3÷3 = 1 3 é fator de 3 3 é divisor de 3 3 divide o 3 6 é divisível por 3 6 é múltiplo de 3 3x2= 6 6÷3= 2 3x2 =6 6÷3 = 2 3 é fator de 6 3 é divisor de 6 3 divide o 6 De um modo geral, consideremos o conjunto: IN = { 0,1,2,3,4......n } e os subconjuntos de IN que indicaremos por M(6), ou conjunto dos múltiplos de 6, e D(6), ou conjunto dos divisores de 6. Assim: M(6) = { 0,6,12,18,24....} D(6) = {1,2,3,6} Podemos, pois, dar as definições: Múltiplo de um número é o Um número b é divisor de um produto desse número por número a,se existir um natural um natural qualquer. c tal que b.c = a Então, quando b . c = a, podemos afirmar equivalentemente: b é divisor de a ou c é divisor de a a é divisível por b ou a é divisível por c a é múltiplo de b ou a é múltiplo de c b é fator de a ou c é fator de a. • Observações: 7
  8. 8. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com Divisores Múltiplos a) Zero é múltiplo de qualquer número. a)Zero não é divisor de número algum b) Todo número é múltiplo de si mesmo b)Todo número é divisor de si mesmo c)O conjunto dos múltiplos de um c) O conjunto dos divisores de um número é infinito. número é finito. Princípios Gerais de Divisibilidade. 5 divide 50 5 divide (50 + 20) ou 3 divide 6 3 divide 12 ou e 5 divide 70 12 é múltiplo de 6 3 divide 18 5 divide 20 5 divide (50 - 20) 18 é múltiplo de 6 ou 5 divide 30. 1º Princípio: 2º Princípio: Se um número a divide outros dois, Se um número a divide um b e c, então a divide a soma e a número b então a divide diferença destes números. também os múltiplos de b. DIVISIBILIDADE Para se verificar se um número é divisível por outro, não é necessário, em todos casos efetuar-se a divisão. Deduz-se um conjunto de regras que permitem verificar quando um número é divisível por um segundo. Essas regras constituem o que se chama os Caracteres de Divisibilidade. DIVISIBILIDADE POR 10, 2 E 5 I) Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 quando termina em zero. Exemplos: 160,120,31.200 etc. II) Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2, quando o algarismo das unidades for par. III) Divisibilidade por 5 Um número é divisível po 5 quando o algarismo das unidades for zero ou 5. Exemplos: 405, 310, 1.100 etc. DIVISIBILIDADE POR 4 E 25. Um número é divisível por 4 ou por 25, quando terminar em 00, ou quando os algarismos das dezenas e unidades formarem um número divisível por 4 ou 25. Exemplos: 1016 é divisível por 4 porque 16 também o é. 204150 é divisível por 25 porque termina em 50 que é divisível por 25. DIVISIBILIDADE POR 8 E 125 Um número é divisível por 8 ou por 125, quando os algarismos das centenas, dezenas e unidades forem 000, ou, nessa ordem, formarem um número divisível por 8 ou 125. Exemplos: 24 000 é divisível por 8 e por 125. 54 104 é divisível por 8 porque 104 o é. 321 250 é divisível por 125 porque 250 o é. DIVISIBILIDADE POR 3 E 9 I) Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número divisível por 9. Tomando-se um número qualquer como exemplo: 7 434 – podemos decompô-lo em suas unidades, ou seja: 7 434 = m . 9 + ( 7 + 4 + 3 + 4) 8 NOTE BEM: NA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS NUMÉRICOS, ONDE OS CONJUNTOS SÃO MÚLTIPLOS DE NÚMEROS (exemplo M(4) e M(6)). A interseção será o mmc (4 e 6) = M(12)
  9. 9. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com II) Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos der um número divisível por 3. Exemplo: 1) 57 é divisível por 3 porque 5 + 7 = 12 .E 12 também é divisível por 3. 2) 5014 não é divisível por 3 porque 5 + 0 + 1 + 4 = 10. E 10 não é divisível por 3. DIVISIBILIDADE POR 7 E POR 11. I) Divisibilidade por 7 Vamos verificar se o número 343 é divisível por 7. Procede-se do seguinte modo: a) Separa-se, do número dado, o algarismo das unidades. O dobro deste subtrai-se do número que se obteve com essa separação. Esquematicamente: 3 4 3 3 4 - 6 dobro de 3 2 8 diferença b) Se a diferença obtida for um múltiplo de 7 (no caso obtivemos 28 que é múltiplo de 7), então, o número dado também será múltiplo de 7. Concluímos que 343 é múltiplo de 7. Exemplo: 1) Verificar se 4 802 é divisível por 7. a) Separa-se o algarismo das unidades e dobra-se o valor desse número. 4 8 0 2 E o dobro de 2 é 4. b) Subtrai-se esse dobro, do número que ficou após retirado o algarismos das unidades: 4 8 0 – 4 = 4 7 6 Como ainda não se sabe se 476 é divisível por 7, repete-se o processo, agora com o número 476. 4 7 6 O dobro de 6 é 12. 47 – 12 = 35 Como 35 é divisível por 7, então, o número 4 802 também o é. II) Divisibilidade por 11 A divisibilidade por 11 é semelhante à divisibilidade por 7 e mais simples ainda. Basta obedecer à regra: a) Separa-se, do número dado, o algarismo das unidades. b) Subtrai-se esse número, que é representado pelo algarismo das unidades, do número que ficou após sua retirada. Se a diferença for um número divisível por 11, então, o número dado também será divisível por 11. Exemplos: 1) Verificar se 121 é divisível por 11. a) Separa-se o último algarismo da direita: 1 2 1 (separamos o número 1) b) Subtrai-se 12 – 1 = 11 Como 11 é divisível por 11, então, 121 também o é. 2) Verificar e 7 425 é divisível por 11 Aplicando-se sucessivamente a regra anterior: a) 7 4 2 5 (separamos o 5) b) 742 – 5 = 737 (subtraímos o 5). Deve-se verificar, pelo mesmo processo, se 737 é divisível por 11. 9
  10. 10. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com a) 7 3 7 (separamos o 7). b) 73 – 7 = 66 (subtraímos o 7 e obtivemos 66). Como 66 é divisível por 11, então 7 425 também o é. EXERCÍCIO: MÚLTIPLOS E DIVISORES 1) O menor número de dois algarismos que se deve colocar à direita do número 356 para que o mesmo seja divisível por 2, 3 e 5 é: a) 10 b) 20 c) 40 d) 22 2) O menor número que se deve adicionar a 58315 para se obter um número divisível por 6 é: a)1 b) 5 c) 15 d) 2 3) O menor número que se deve subtrair de 3101 para se obter um número divisível por 8 é: a) 3 b) 23 c) Zero d) 5 4) Qual das afirmações abaixo é falsa: a) Todo número par é divisível por 2. b) Todo número impar é divisível por 3. c) Todo número terminado em 0 é divisível por 5. d) Todo número terminado em 5 é divisível por 5. 5) Qual das afirmações abaixo é verdadeira: a) 15 é divisor de 5 c) 13 é divisor de 39 b) 2 divide 15 d) 15 divide 3 6) Se um número é divisível por 2 e 3, então ele é divisível por: a) 5 b) 12 c) 6 d) 9 7) Se um número é divisível por 9, então ele: a) sempre é divisível por 3 c) é divisível por 3, algumas vezes b) nunca é divisível por 3 d) é divisível por 6 8) Se um número é divisível por 3 e por 4, então, ele: a) é divisível por 18 c) nunca é divisível por 12 b) sempre é divisível por 7 d) sempre é divisível por 12 9) O número 3 divide 12 e também divide 15. Então: a) 3 divide 15 + 12 c) 3 não divide 15 x 12 b) 3 não divide 15 – 12 d) 3 divide 15 : 12 10) O número 12 é divisível por 4 e por 6 (dentre outros números). então, podemos dizer que: a) 12 é divisível por 4 x 6 c) 12 é divisível por 6 : 4 b) 12 é divisível por 6 – 4 d) 12 é divisível por 6 + 4 11) Se 2 é o resto da divisão de um número por 3, então: a) adicionando-se 2 ao dividendo, obtém-se um número divisível por 3. b) subtraindo-se 1 do dividendo obtém-se um número divisível por 3. c) adicionando-se 1 ao dividendo obtém-se um número divisível por 3. d) dividindo-se o dividendo por 2 obtém-se um número divisível por 3. 12) O resto da divisão de um número por 5 é 2 então: a) (n+2) é divisível por 5 c) (n+1) é divisível por 5 b) (n–2) é divisível por 5 d) (n–1) é divisível por 5 13) Colocar V ou F nas seguintes afirmações, conforme elas sejam verdadeiras ou falsas: a) 4 314 é divisível simultaneamente por 2 e por 3 ( ) b) 5 314 é divisível simultaneamente por 2 e por 5 ( ) 10
  11. 11. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com c) 2 130 é divisível simultaneamente por 6 e por 5 ( ) d) 43 186 é divisível por 11 ( ) e) 20 010 é divisível por 6 e por 9 ( ) f) 41 310 é divisível por 2 e por 9 ( ) g) 37 212 é divisível por 2 e por 9 ( ) h) 32 715 é divisível por 5 e por 9 ( ) i) 5 101 350 é divisível por 5 e por 6 ( ) j) 5 002 446 é divisível por 2, 3 e 9 ( ) Respostas 1) A 4) B 7)A 10)B 2) B 5) C 8)D 11)C 3) D 6) C 9)A 12)B 13) a) V b) F c) V d)V e) F f) V g) F h) V i) V j) F NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS Definições Na sucessão IN = { 0, 1, 2, 3.....n} verifica-se que: 0 é divisível por qualquer número ≠ 0 1 é divisível apenas por 1 2 é divisível por 1 e 2 3 é divisível por 1 e 3 Categoria P 4 é divisível por 1, 2, e 4 5 é divisível por 1 e 5 6 é divisível por 1,2,3 e 6 Categoria C 7 é divisível por 1 e 7 Ora, é fácil ver que, com exceção da unidade, os números se dividem em duas categorias: Números Primos: aqueles que somente são divisíveis por si mesmo e pela unidade. Números Compostos ou Múltiplos: aqueles que admitem outros divisores além deles próprios e da unidade. Logo, se Pé o conjunto dos números primos,então: P = { 2,3,5,7,11,13....}  Números Primos O reconhecimento dos números primos se faz por um processo prático que se baseia no fato que: Todo número múltiplo admite pelo menos um divisor primo O reconhecimento se baseia na regra prática: Exemplos: 1) Verificar se o número 47 é primo ou composto: Pela regra, faz-se: 47 3 47 5 47 7 17 15 2 9 5 6 2 Neste instante, obtivemos o quociente 6 e o divisor 7, isto é, o quociente menor que o divisor. Afirmamos: o número 47 é primo 11 Divide-se o número dado pelos números da sucessão dos números primos: 2,3,5,7,11,13,...obtendo-se um quociente e um resto. Se o resto for diferente de zero até o 1º instante em que o quociente se torna menor ou igual ao divisor, pode-se afirmar que o número é primo.
  12. 12. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 2) Verificar se 289 é primo. 289 não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11, vejamos por 13, 17, 19... 289 13 289 17 29 22 119 17 3 00 Como o resto é zero, então 289 é múltiplo de 17. Fatoração • Decomposição de um Número em Fatores Primos Veja: 8 = 2 x 2 x 2 = 23 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 Todo número múltiplo pode ser 15 = 3 x 5 decomposto de um só modo no 28 = 2 x 2 x 7 produto de vários fatores primos. Basta usar o clássico processo e fazer: 8 2 12 2 15 3 28 2 4 2 6 2 5 5 14 2 2 2 3 3 1 7 7 1 1 1 8 = 23 12 = 22 x 3 15 = 3 x 5 28 = 22 x 7 Divisores de um Número Um Processo prático consiste em se fazer como no exemplo que segue, para o número 90. a) Decompõe-se o número em seus fatores primos e à direita da decomposição obtida traça-se um segmento de reta vertical. 1 90 2 45 3 15 3 5 5 1 b) Uma linha acima do 1º fator primo e à direita do segmento vertical coloca-se o número 1. Efetua-se o produto do 1º fator primo (2) pelo número 1, colocando-se o produto (2) à direita do traço. Multiplicam-se os seguintes fatores primos pelos números que estiverem à direita do traço vertical e acima desse fator. Os números à direita do traço vertical são os divisores do número pedido. Não se repetem na multiplicação os divisores iguais. 1 90 2 2 45 3 3 – 6 15 3 9 – 18 5 5 5 – 10 – 15 – 30 – 45 – 90. 1 Os divisores de 90 são: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 5, 10, 15, 30, 45 e 90. Ou podemos achar a quantidade de divisores a partir da forma fatorada do nº. Vejamos o 90, sua forma fatorada é 21 .32 .51 , onde cada expoente representa os possíveis valores das bases que pertence. Por exemplo 21 (20 ,21 ), 32 (30 ,31 ,32 ), 51 (50 ,51 ). Pela fórmula (1° expoente + 1).( 2° expoente + 1)....(último expoente + 1) = nº de divisores, temos: (1+1).(2+1).(1+1) = 12 divisores , nada mais é que as possibilidades de cada base da forma fatorada, isto é: 2 . 3 . 2 = 12 divisores 12
  13. 13. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com EXERCÍCIO: NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO 1) Reconhecer se são primos os seguintes números: a) 289 e) 521 b) 343 f) 421 c) 731 g) 997 d) 1.111 h) 409 2) Decompor em fatores primos os seguintes números: a) 160 f) 1024 b) 210 g) 729 c) 250 h) 1728 d) 289 i) 11907 e) 243 3) Decompor em fatores primos os seguintes números, sem efetuar a multiplicação indicada: a) 504 x 240 b) 720 x 243 4) Sem efetuar as seguintes potências, dar a sua decomposição em fatores primos: a) 8403 c) (1202 )3 b) (2432 )3 d) (10243 )4 5) Dizer quantos divisores possui cada um dos números seguintes, sem dizer quais são: a) 420 b) 960 c)1260 6) Dizer quais são os divisores dos números seguintes: a) 105 b) 240 c) 840 7) Pela decomposição em fatores primos, verificar, sem efetuar a divisão, se 4374 é divisível por 686. 8) Pela decomposição em fatores primos, determinar qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 3 675 a fim de se obter um número divisível por 490. 9) Sendo A = 23 x 3 x 52 e B = 2n x 5, determinar o maior valor possível de n, de modo que B seja divisor de A. 10) Sendo A = 3x x 52 x 7 e B = 35 x 7, determinar o menor valor possível de x, de modo que A seja múltiplo de B. 11) Se: A = 23 x 52 x 11 e B = 22 x 3 x 52 , qual o maior divisor de A e de B simultaneamente? 12) Sendo A = 23 x 52 x 7n determinar n, de modo que A tenha 60 divisores. 13) Sendo A = 2 x 3x determinar x, de modo que A tenha 18 divisores. Respostas 1) a) b) c) d) Compostos 5) a) 24 b) 28 c) 36 e) f) g) h) Primos 6) a) {1,3,5,7,15,21,35,105} 2) a) 25 .5 b) 2.3.5.7 b) {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80,120,240} c) 2.53 d) 172 c) {1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,15,20,21,24,28,30,35,40,42, e) 35 f) 210 g) 36 56,60,70,84,105,120,140,168,210,280,420,840} h) 26 .33 i) 35 .72 7)Não 3) a) 27 x 33 x 5 x 7 8) 2 b) 24 x 37 x 5 9) 3 4) a) 29 x 33 x 53 x 73 10) 5 b) 330 c) 218 x 36 x 56 11) 100 d) 2120 12) 4 13) 8 MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Máximo Divisor Comum ( m.d.c) Sejam os números 12, 18 e 30 e os conjuntos D(12), D(18) e D(30) de seus respectivos divisores, que são finitos e ordenados. D (12) = { 1,2,3,4,6,12} D (18) = { 1,2,3,6,9,18} 13
  14. 14. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com D (30) = { 1,2,3,5,6,10,15,30} Consideremos agora o conjunto dos divisores comuns, isto é, o conjunto interseção de D(12), D(18) e D(30). D(12) ∩ D(18) ∩ D(30) = {1,2,3,6} Então, definimos: Chama-se Máximo Divisor Comum de dois ou mais números, ao maior valor da interseção dos conjuntos dos divisores dos números dados. Logo: m.d.c (12, 18, 30) = 6 Cálculo do m.d.c 1º Processo: Decomposição em Fatores Primos Para se calcular o m.d.c. de vários números, conclui-se a regra: a) Decompõe-se os números dados em seus fatores primos. b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns a essas decomposições, cada um deles tomado com o menor dos expoentes que esse fator possui nas decomposições. Exemplo: Calcular o m.d.c (720, 420, 540): 720 = 24 x 32 x 5 420 = 23 x 3 x 5 x 7 540 = 22 x 33 x 5 m.d.c. (720,420,540) = 22 x 3 x 5 m.d.c. (720,420,540) = 60 Números Primos Entre Si Procuremos o m.d.c entre 25 e 36. Sabe-se que: 25 = 52 e 36 = 22 x 32 Neste caso, os números não têm fatores primos comum – com exceção da unidade. Dizemos que o máximo divisor comum é o número 1. Estes números são chamados primos entre si, definindo-se, pois: Números primos entre si são aqueles cujo único divisor comum é a unidade. 2º) Processo: Método das divisões sucessivas (I) O número maior é divisível pelo menor. Seja calcular o m.d.c. entre 30 e 6. Como 6 divide 30 e ele próprio, então 6 é o maior divisor comum podendo-se escrever. m.d.c. (6, 30) = 6. E concluímos: Se o maior número é divisível pelo menor, então, este menor é o m.d.c de ambos. (II) O número maior não é divisível pelo menor. Para se achar o m.d.c. de dois números, divide-se o maior pelo menor. A seguir, divide-se o menor pelo resto da divisão entre o maior e o menor. A seguir divide-se o 1º resto pelo 2º resto e assim sucessivamente. Quando se obtiver um resto zero,o último divisor é o m.d.c. procurado. Exemplo: Calcular o m.d.c (45, 36) Na prática, faz-se 1 4 quociente 45 36 9 divisores 9 00 resto Isto é, quando o resto é zero, o último divisor (9) é o m.d.c. 14
  15. 15. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com  Máximo Divisor Comum de Mais de Dois Números Calcular o m.d.c. (240, 180, 72, 54). Neste caso, basta usar qualquer um dos esquemas seguintes, onde chamamos de R1 e R2 os resultados parciais e R o resultado final. ESQUEMA 240 – 180 – 72 – 54 R1 R2 R final 1 3 1 3 240 180 60 72 54 18 060 00 18 00 R1 = 60 R2 = 18 3 3 60 18 6 6 00 R = 6 ou m.d.c (240, 180, 72, 54) = 6 EXERCÍCIOS: MÁXIMO DIVISOR COMUM 1) Calcular o máximo divisor comum, pelo processo das divisões sucessivas dos seguintes números: a) 576 e 96 c) 168, 252 e 315 b) 576 e 708 d) 192, 256 e 352 e)1 980, 2 700 e 3 060 2) No Cálculo do m.d.c. de dois números, pelas divisões sucessivas, obteve-se o seguinte esquema. Preencher com números os lugares VAZIOS. 2 6 1 2 6 0 3) No m.d.c. de dois números, pelas divisões sucessivas, obteve-se como quociente os números 3, 6, 1 e 3. Sabendo-se que o m.d.c. é 4, determinar os números 4) O m.d.c. de dois números é 12 e os quocientes obtidos no esquema das divisões sucessivas são 1, 3 e 2. Quais são os números ? 5) Calcular o máximo divisor comum, pelo processo da decomposição em fatores, dos seguintes números: a) 1414, 910, 700 c) 441, 567, 630 e 1029 b) 264, 360, 432 e 378 d) 363, 2541, 3993 e) 625,1331,343 e729 6) Sendo A = 23 x 32 x 5x e B = 2y x 37 x 53 e sendo C = 22 x 32 o m.d.c. de A e B, determinar os valores de x e y 7) Sendo A = 32 x 5m x 74 e B = 54 x 73 x 11 e sendo C = 7n o m.d.c. de A e B, determinar m e n. 8) Quais são os menores números pelos quais devemos dividir, respectivamente, 12 e 15 a fim de obter quocientes iguais? 9) Quais são os menores números pelos quais devemos dividir, respectivamente, 216 e 168 a fim de obter quocientes iguais? 10) Calcular, pela decomposição em fatores primos o m.d.c. das potências seguintes, sem efetuá-las: (72)4 e (324)3 11) Calcular, sem efetuar as potências, o m.d.c. dos seguintes números: (350)2 e (450)4 12) Comprei uma partida de feijão de três qualidades A, B, e C. A primeira qualidade veio em sacas de 60 kg; a segunda qualidade em sacas de 72kg e a terceira em sacas de 42kg. Desejo vende-las a varejo em sacas de 15
  16. 16. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com igual peso e maior quantidade possível de cada qualidade, sem misturar as qualidades e sem perder com restos. Devo acondicioná-los em sacos de quantos quilogramas? Respostas 1) a) 96 3) 340 e 108 5) a) 14 b) 6 b) 12 4) 108 e 84 c) 21 d) 363 c) 21 6) x = 0 y = 2 e) 1 – são primos entre si d)32 e)180 7) m = 0 e n = 3 8) 4 e 5 2) 2 6 1 2 258 120 18 12 6 9) 9 e 7 10) 26 x 38 11) 22 x 54 12) 6 kg 18 12 6 0 Mínimo Múltiplo Comum - (m.m.c) Consideremos os números 3, 4, e 6 e o conjunto dos seus múltiplos, que chamaremos M(3), M(4) e M(6). M(3) = { 0, 3, 6, 9, 12, 15,18,......} M(4) = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,.........} M(6) = { 0, 6, 12 , 18, 24, 30,............} Cada um desses conjuntos é infinito. O conjunto interseção também será infinito, como se vê: M(3) ∩ M(4) ∩ M(6) = { 12, 24, 36,.....} Chama-se Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números dados ao menor valor da interseção dos conjuntos dos múltiplos desses números. Logo: m.m.c. (3,4,6) = 12  Cálculo do m.m.c 1º Processo: Pela decomposição em fatores primos a) Decompõem-se os números em fatores primos. b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns a essas decomposições, cada um deles tomado com o maior dos expoentes que esse fator possui nas decomposições. Exemplo: Calcular o m.m.c. dos números 105, 625 e 343 Decompondo-se, vem: 105 = 3 x 5 x 7 625 = 54 343 = 73 m.m.c. (105,625,343) = 3 x 54 x 73 = 3 x 625 x 343 m.m.c (105,625,343) = 643125 Na prática, pode-se realizar a decomposição num único dispositivo, conde os fatores primos comuns e não comuns ficam dispostos à direita de um traço vertical que separa os números dados desses fatores, como segue: Calcular o m.m.c. de 90, 105 e 135: 90 – 105 – 135 2 45 – 105 – 135 3 15 – 35 – 45 3 5 – 35 – 15 3 5 – 35 – 5 5 1 – 7 – 1 7 1 – 1 – 1 m.m.c.(90,105,135) = 2 x 3 x 3 x 3 x 5 x 7= 2 x 33 x 5 x 7. 16
  17. 17. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com Ou: m.m.c. (90,105,135) = 1890.  Propriedades do m.m.c. 1ª Propriedade No m.m.c. de dois ou mais números, se o maior deles é o múltiplo dos outros, então o maior é o mínimo múltiplo comum de todos. Exemplo: m.m.c.(60,12,15,10) 60 é múltiplo de si mesmo e também de 12, 15 e 10 Logo: 60 é o m.m.c. dos números: 60,12,15 e 10 Ou: m.m.c. (60,12,15,10) = 60 2ª Propriedade O produto de dois números, A e B, é igual ao produto do m.d.c. pelo m.m.c desses números A e B. Sejam os números: A = 15 e B = 18. Teremos: m.d.c (15, 18) = 3 m.m.c(15, 18) = 90 Representando-se o m.d.c. (15,18) por (15,18) e o m.m.c (15,18) por (15,18), virá: (15,18) x (15,18) = 3 x 90 = 270 E: 15 x 18 = 270 Donde: 15 x 18 = (15, 18) x (15, 18). QUESTÕES COMENTADAS: 1) Determinar o m.m.c. entre os números 12 e 13. Como 12 e 13 são consecutivos e todos os consecutivos são primos entre si, pela primeira propriedade: m.m.c. (12,13) = 12 x 13 = 156. 2) Determinar os menores números pelos quais se devem multiplicar 50 e 75, a fim de se obter produtos iguais. Basta determinar o m.m.c.(50,75) que é 150 e depois efetuar as divisões: 150 ÷ 50 = 3; 150 ÷ 75 = 2 Então, deve-se multiplicar 50 por 3 e 75 por 2, obtendo-se o produto 150 em ambos os casos. 3) Numa avenida que mede 4500 metros, a partir do início, a cada 250m há uma parada de ônibus e a cada 225 metros uma de bonde. Pergunta-se: a) A que distancia do início coincide a primeira parada de ônibus com a de bonde? b) Quantos são os pontos comuns de parada de ônibus e bonde? Raciocinando: 1) A primeira parada comum de bonde e ônibus é o menor múltiplo comum de 250m e 225m. Logo: m.m.c. (250, 225) = 2250m. Portanto: A primeira parada comum está a 2250m do inicio. As outras paradas serão múltiplas de 2250m. A 2 x 2250m estará a segunda parada comum, onde termina a avenida (4500m). EXERCÍCIOS: MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 1) Calcular o m.m.c. dos seguintes números pela decomposição em fatores primos: 17 SAIBA MAIS: Sendo dois números a e b a.b = mmc(a,b) . mdc(a,b)
  18. 18. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com a) 18, 30 e 48 d) 200, 40, 50 e 20 b) 120, 300 e 450 e) 60, 84, 132 e 120 c) 18 e 108 f) 1024, 512, 729 e 81 2) Sendo A = 25 x 3a x 5b e B = 2c x 37 e sendo C = 27 x 38 x 52 , o m.m.c de A e B, determinar a, b e c. 3) Sendo A = 33 x 5x x711 e B = 25 x 38 e sendo C = 2y x 3z x 711 x 54 , o m.m.c de A e B, determinar, x, y, z 4) Sendo A = 22 x 3 x 53 e B = 23 x 52 x 11, determinar o quociente da divisão do seu m.m.c. pelo seu m.d.c. 5) Calcular o m.m.c. dos números seguintes pela decomposição simultânea em fatores primos: a) 42, 72 e 108 c) 1225, 1715 e 70 b) 160, 64 e 512 d) 121, 110, 66 e 363 6) Quais os números compreendidos entre 100 e 1000, múltiplos ao mesmo tempo de 12, 9 e 30? 7) Quais os números compreendidos entre 100 e 2000, que são múltiplos de 36, 45 e 54? 8) Quais são os menores números pelos quais se devem multiplicar respectivamente 63 e 42 a fim de se obter produtos iguais? 9) O m.d.c. de dois números é 20 e o seu m.m.c. é 120. Um dos números é 20. Determinar o outro. 10) O produto de dois números é 1470 e o seu m.d.c. é 7. Calcular o m.m.c. 11) O m.m.c. de dois números primos entre si é 221. Um deles é 13. Quanto vale o outro? 12) O m.d.c. de dois números é a unidade e o mínimo múltiplo comum deles é 29403. Um dos números é 112 . Qual o outro? Respostas 1)a) 720 2) a = 8 3) x = 4 5) a) 1512 7) 540,1080,1620 b)1800 b = 2 y = 5 b) 2560 8) 2 e 3 c) 108 c)= 7 z = 8 c) 17 150 9) 120 d) 200 d) 3 630 10) 210 11) 17 12) 243 e)9240 f )746496 4) 330 6) 180,360,540,720,900 QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 01). (TRT) Seja A7B um número inteiro e positivo de três algarismos, no qual B e A representam os algarismos das unidades e das centenas, respectivamente. Para que esse número seja divisível por 15, calcule quantas possibilidades de escolha temos para A7B. a) 6 b) 7 c) 8 d)9 e)10 02). (UECE) Quantos números naturais existem entre 10 e 100, divisíveis simultaneamente por 2, 5 e 9? a) Nenhum b) um c) dois d) três 03). (UNIFOR) Se o máximo divisor comum dos números inteiros A=23 x 33 , B= 23 x 3s x 7 e C= 2t x 34 é igual a 12, então: a) t=3 b) t=2 c) s=0 d)s=2 e)t=1 04). (UNIFOR) Seja n a diferença entre o maior número inteiro com 6 algarismos distintos e o maior número inteiro com 5 algarismos distintos. A soma dos algarismos de n é um número: a) Primo c) divisível por 11 e) múltiplo de 5 b) Par d) quadrado perfeito 18
  19. 19. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 05.(TRE) Sabe-se que o M.D.C. dos números A= 2x x 33 x 54 , B = 23 x 3y x 52 e C = 24 x 34 x 5z é igual a 180. Nessas condições x + y + z é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d)5 e)6 06.(TRT) A associação de funcionários de certa empresa promove palestras regulares: uma a cada 3 meses, outra a cada 6 meses e outra a cada 8 meses. Se, em 2000, as três palestras foram dadas em julho, a próxima coincidência de época das palestras será em: a) Junho de 2001 c) Julho de 2001 e) Julho de 2003 b) Junho de 2002 d) Julho de 2002 07.(CEF) Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida? a) 7 b) 8 c)9 d)10 e)11 08.(TRT) Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi: a) 18/09/02 c))18/08/02 e)18/07/02 b) 17/09/02 d)17/07/02 09.(UECE) Dois relógios tocam uma música periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram (simultaneamente) às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios quando voltarem a tocar juntos (simultaneamente) pela primeira vez após às 10 horas? a) 10 horas e 31 minutos c) 10 horas e 51 minutos b) 10 horas e 41 minutos d) 11 horas e 01 minuto 10.(TRT) No almoxarifado de certa repartição pública há três lotes de pastas iguais: o primeiro com 60, o segundo com 105 e o terceiro com 135 pastas. Um funcionário deve empilhá-las, colocando cada lote de modo que, ao final de seu trabalho, ele tenha obtido pilhas com igual quantidade de pastas. Nestas condições, o menor número de pilhas que ele obterá é: a) 10 b) 15 c)20 d)60 e)120 11.(BB) Uma pessoa tem duas folhas de cartolina, ambas quadradas e com superfície de 2.304cm 2 e 1296cm2 .Ela deseja recortá-las em pequenos quadrados, todos iguais e de maior área possível. O lado de cada quadradinho, em centímetros, medirá: a) 11 b) 12 c)13 d)14 e)15 12.(TRT) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Ela deverá distribuí-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o número de recipientes necessários para essa distribuição é: a) 24 b) 20 c) 18 d)16 e)12 Respostas 01)A 03)B 05)D 07)C 09)A 11)B 02)B 04)D 06)D 08)D 10)C 12)A NÚMEROS INTEIROS Introdução LUCROS E PREJUÍZOS +R$ 20.000,00 Os resultados financeiros de uma empresa, nos dois semestres, foram: 1º Sem.  1º Semestre Prejuízo de R$ 40.000,00 2º Sem.  2º Semestre Lucro de R$ 20.000,00 19
  20. 20. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com - R$ 40.000,00 Para diferenciar essas duas situações, podemos indicar o Lucro com o sinal de + e o Prejuízo com o sinal de – .  O Conjunto dos Números Inteiros O conjunto formado por todos os números inteiros Negativos, pelo Zero e por todos os números inteiros Positivos é chamado de Conjunto dos Números Inteiros Relativos. O conjunto dos números inteiros relativos é indicado pela letra Ζ. Assim: Ζ = { ...., -3,-2,-1,0, +1, +2, +3, ....} Observações: Todo elemento do conjunto dos números naturais (IN) é também elemento do conjunto dos números inteiros relativos ( Ζ ) Daí: IN ⊂ Ζ  Representação Geométrica dos Números Inteiros  Marcamos arbitrariamente sobre uma reta um ponto 0, que chamamos de origem. Esse ponto representa o número zero. A partir de 0, estabeleceremos um sentido Positivo (+) e um sentido Negativo (–). (–) Negativo 0 (+) Positivo Ζ  Escolhemos uma medida conveniente ( 1cm, por exemplo) e marcamos à direita de 0 pontos consecutivos, distantes entre si 1cm. Para cada um desses pontos faremos corresponder um número inteiro Positivo. 0 A B C D Ζ 0 1 2 3 4 De maneira análoga, representamos à esquerda de 0 os números inteiros Negativos. D' C' B' A' 0 A B C D Ζ - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 A reta assim marcada é chamada Reta Numérica Inteira. Temos:  O ponto B é a imagem geométrica do Número Inteiro 2.  O ponto C' é a imagem geométrica do Número Inteiro – 3.  Valor Absoluto ou Módulo Valor absoluto ou módulo de um número inteiro relativo, é o número sem o sinal, ou seja, a distância do ponto correspondente a um número inteiro até o referencial zero. Indica-se o módulo, escrevendo-se número entre duas barras I n I (lê-se: módulo de n). Exemplos: - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 Ζ 20
  21. 21. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 3 3 I – 3 I = 3 I 3 I = 3 I 0 I = 0 I – 1 I = 1 I 10 I = 10  Números Opostos ou Simétricos Os pontos que representam os números inteiros – 3 e 3 estão a mesma distância da origem. Por esse motivo, dizemos que – 3 e 3 são Números Opostos ou Números Simétricos. Exemplos: 5 é o oposto de –5 -n é o oposto de n - 4 é o oposto de 4 x é o oposto de -x  Comparação de Números Inteiros Comparar dois números inteiros, a e b, significa verificar se: a = b ou a > b ou a < b 1º) O zero é maior que qualquer número inteiro negativo. 0 > -1 0 > -13 0 > -20 2º) O zero é menor que qualquer número inteiro positivo. 0 < 1 0 < 3 0 < 10 3º) Qualquer inteiro positivo é maior do que qualquer inteiro negativo. 1 > -8 2 > -2 5 > -10 4º) Entre dois inteiros positivos, o maior é o que possui o maior módulo. 3 > 1 5 > 3 10 > 5 5º) Entre dois inteiros negativos, o maior é o que possui o menor módulo. -1 > -3 -5 > -10 -3 > -5 EXERCÍCIO – NÚMEROS INTEIROS 1) Diga quantas unidades aumentamos ( ou diminuímos) ao passar de: a) – 4 para +4 d) –5 para 0 b) +4 para -1 e) –6 para -2 c) +1 para -3 f) –3 para -10 2) Observe a figura e responda: D C P A B Ζ -4 -2 0 1 4 a) Qual o número inteiro cuja imagem geométrica é o ponto A? b) Qual o número inteiro cuja imagem geométrica é o ponto D? c) O número inteiro –2 é abscissa de qual ponto? d) O número inteiro 4 é abscissa de qual ponto? e) Qual o ponto da abscissa zero ? 3) Calcule o módulo: a) I 5 I c) I –3I e) – I15 I 21
  22. 22. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com b) I –10I d) I10 I f) – I– 20I 4) Encontre o oposto: a) – (-2) c) – (-4) e) - (+9) b) – (+12) d) – [- ( - 3) ] f) -[ - ( +5)] 5) Complete usando > ou <: a) –15 _____ -12 d) – 8 _____ -4 g) 4 _______0 b) – 5 _____ 0 e) 0 _____ -10 h) 2 _______11 c) –10 _____ 2 f) –10_____ -3 i) -1 _______-8 6) Escreva em ordem crescente: a) 4, -1, 5, -3, 0, 1, -2 b) 1, -5, -10, 9, 18, -30, -20, 8 7) Escreva em ordem decrescente: a) –3, 1, 5, 4, -5, 0, -1,10 b) –1, -5, -3, -15, 0, -18 8) Quais os três próximos números de cada seqüência? a) -105, -104, -103, -102, ______, ______, ______. b) –90, -80, -70, ______, ______, ______. c) –20, -15, -10, ______, ______, ______. Respostas 01) a) Aumentamos 8 unidades b) Diminuímos 5 unidades c) Diminuímos 4 unidades d) Aumentamos 5 unidades e) Aumentamos 4 unidades f) Diminuímos 7 unidades 02) a) 1 b) –4 c) C d)B e)P 03) a) 5 b) 10 c) 3 d) 10 e)-15 f) –20 04) a) –2 b) 12 c) – 4 d) 3 e) 9 f) –5 05) a) < b) < c) < d) < e) > f) < g) > h) < i) > 06) a) –3,-2,-1,0,1,4,5 b) –30,-20,-10,-5,1,8,9,18 07) a) 10,5,4,1,0,-1,-3,-5 b) 0,-1,-3,-5,-15,-18 08) a) –101,-100,-99 b) –60, -50, -40 c) –5, 0, 5 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS  Adição 1º Caso) Os números possuem o mesmo sinal. Dá-se o sinal comum e soma-se os valores absolutos Exemplos: a) (+2) + (+5) = + (2 + 5) = + 7 c) (– 4) + (– 2) + (– 3) = b) (– 1) + (– 4) = – (1 + 4) = – 5 = – (4 + 2 + 3) = – 9 2º Caso) Os números possuem sinais contrários. Dá-se o sinal do maior módulo e subtraí-se Exemplos: 22
  23. 23. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com a) (+ 7) + (– 2) = +( 7 – 2 )=+ 5 c) (–12) + (+5) = - (12 – 5) = - 7 b) (+ 3) + (– 4) = –( 4 – 3 )= – 1 d) (– 6 ) + (+8) = +( 8 – 6 ) = + 2  Subtração Para subtrair Números Inteiros Relativos, soma-se ao primeiro,o simétrico do segundo. Exemplos: a) (+9) – (– 2) = + 9 + 2 = + 11 b) (- 5) – (+5) = – 5 – 5 = – 10 c) (+3) – (+4) = + 3 – 4 = – 1  Multiplicação A multiplicação de números inteiros segue os critérios: Sinais iguais, resultado Positivo Sinais diferentes resultado Negativo Exemplos: a) (+ 2) x (+3) = + ( 2 . 3) = +6 c) (+ 5) x (–2) = – ( 5 . 2) = – 10 b) (– 4) x (– 2) = + ( 4 . 2) = +8 d) (– 3) x (+4) = – ( 3 . 4) = – 12  Divisão A divisão de números relativos, segue os mesmos critérios da multiplicação, ou seja, sinais iguais resultado positivo e sinais diferentes resultado negativo. Exemplos: a) (– 9 ) ÷ (– 3) = + ( 9 : 3) = + 3 c) (– 8) ÷ (+2) = – ( 8 : 2) = – 4 b) (+10) ÷ (+2) = + ( 10 : 2) = +5 d) (+12) ÷ (-4) = – (12: 4) = – 3 EXPRESSÕES ARITMÉTICAS Acompanhe os exemplos: a) –20 + 15 – 18 + 37 Termos Positivos: +15 + 37 = +52 Termos Negativos: - 20 – 18 = - (20+18) = – 38 Resultado: + 52 – 38 = + (52 – 38 ) = + 14 b) 17 – 5 – 8 + 5 – 17 + 3 A soma de dois números opostos é sempre zero = 17 – 17 – 5 + 5 – 8 + 3 = – 8 + 3 = – 5 c) 7 – ( 8 – 5 + 12) = 7 – ( 3 + 12) = 7 – ( +15) = 7 – 15 = – 8 d) 50 – { – 18 + [ 7 – ( 8 – 15) ] } =50 – { – 18 + [ 7 – (– 7) ] } 23
  24. 24. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com =50 – { – 18 + [ 7 + 7] } =50 – { – 18 + 14 } = 50 – {– 4} = 50 + 4 = 54 EXERCÍCIO – EXPRESSÕES ARITMÉTICAS 1. Resolva as expressões: a) 5 + 3 – 1 g) 4 + 5 + 3 – 7 – 2 – 8 b) 10 – 3 – 7 h) – 7 + 15 – 3 + 9 – 4 – 1 c) 15 – 18 + 5 – 3 i) – 53 + 79 – 18 – 7 + 15 – 39 + 18 d) 38 – 15 + 12 – 5 j) – 43 + 13 – 104 + 300 – 148 + 31 e) 104 – 30 –10 + 16 f) 108 + 40 – 108 – 30 2. Complete a tabela abaixo: X 2 – 5 – 1 – 8 Y – 7 – 5 – 9 – 4 X + Y 6 – 9 0 – 8 3. Calcule o valor das expressões: a) 2 – (– 5 + 3 – 1) c) 35 – [ 4 + (18 – 15) – 3 ] b) – 3 – (– 5 – 4) + (– 2 – 17) d) – { – 12 + [ 5 – 10 – (3 –25) –37 ] } 4. Sendo x = 3 e Y = – 2, calcule: a) x – ( y + 4) c) y – ( x – 4 ) b) 15 + ( x + y) d) 8 – ( y – x ) 5. Escreva o dobro, triplo, quádruplo e o quíntuplo de: a) 4 b) – 4 c)10 d)– 10 6. Determine a) A metade de – 50 b) A terça parte de 243 c) A quarta parte de – 1200 d) A quinta parte de – 175 7. Sendo a = 30, encontre o valor das expressões: a) 10a c) 3a : 2 b) a : 3 – 1 d) (a + 5 ) : (– 7) –2 8. Resolva as Expressões a) 20 : 5 – 3 c) (– 5) : 5 – (–5) : (–5) b) – 5 + 7 . 3 – 4 : 2 d) 5 . 8 – (–4) : 4 + 3 (– 5) + 12 : (– 4) 9. Qual o número inteiro que cada letra está representando: a) x : (– 30) = 3 d) t : (– 8) = 7 b) (– 100) : y = –1 e) (f + 1) : (– 5) = – 1 c) z : 153 = 0 f) (30 + m ) : 16 = 2 10.Determine os próximos três números inteiros de cada seqüência abaixo: a) –2, 4 , –8, 16, _____, _____, _____. b) 1, –2, 6, –24, _____, _____, _____. c) 128, 64, 32, 16, _____, _____, _____. d) 5040, –720, 120, –-24, _____, _____, _____. Respostas 01. a) 7 b) 0 c) – 1 d) 30 e) 80 f) 10 g) – 5 h) 9 i) –5 j) 49 02. -5; 11;-4;-10;8;-4 03. a) 5 b) – 13 c) 31 d) 32 24
  25. 25. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 04. a) 1 b)16 c) – 1 d)13 05. a) 8, 12, 16, 20 b) –8, –12, –16, –20 c) 20, 30, 40, 50 d) –20, –30, –40, –50 06. a) –25 b) 81 c) – 300 d) – 35 07. a) 300 b) 9 c) 45 d) –7 08. a) 1 b)14 c) –2 d)23 09. a) x = -90 b) y = 100 c) z = 0 d) t = -56 e) f= 4 f) m = 2 10. a) –32, 64, -128 b)120, -720, 5040 c) 8, 4, 2 d) 6,-2, 1  O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS  A Idéia de Número Racional ( )4,2 4 2 → ( )3,2 3 2 → Para se representar numericamente uma ou mais partes de um inteiro, são necessários dois números naturais: a) O primeiro, indicando quantas partes foi tomado do inteiro; b) O segundo indicando em quantas partes, de igual valor, o inteiro foi dividido; Nesses novos símbolos 3 2 ou 5 2 etc., o primeiro elemento chama-se Numerador e o segundo elemento denominador dos números fracionários ou frações. De modo geral, chamam-se de Termos da fração ao conjunto do numerador e denominador.  Frações Equivalentes É fácil ver que um mesmo número fracionário pode ser representado por vários símbolos ou vários numerais. Vejamos: I) 2 1 4 2 2 1 4 2 2 2 =⇔= ÷ ÷ II) 16 12 4 3 16 12 4 3 4 4 =⇔= x x  Propriedade Fundamental Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma fração por um número natural ≠ 0, obtém-se uma fração equivalente à fração dada.  Classificação Fração Imprópria é aquela cujo numerador é maior que o denominador. Fração aparente é aquela cujo numerador é múltiplo do denominador. As frações restantes se dizem próprias. 25
  26. 26. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com Exemplos: Os números fracionários 4/3 e 7/2 , chamam-se Frações Impróprias. Os números fracionários 4/2 e 12/4 que equivalem, respectivamente, a 2 e 3, são frações aparentes. Simplificação de Frações. Obter uma fração equivalente a 36/48 de modo que os termos sejam primos entre si. Basta aplicar a propriedade fundamental e dividir sucessivamente os termos da fração por um fator comum. Assim concluímos: Simplificar uma fração a/b significa transformá-la numa fração c/d de modo que c e d sejam primos entre si.  Conjunto dos Números Racionais Q Vimos que, de um modo geral, todo número que pode ser representado na Forma de Fração é um Número Racional. Portanto, temos as seguintes propriedades: I - Todo número natural é racional II – Todo número inteiro é racional Assim, podemos concluir que: Frações Homogêneas e Frações Heterogêneas Duas ou mais frações que têm denominadores diferentes, se dizem heterogêneas. Quando duas ou mais frações têm denominadores iguais, elas se dizem homogêneas. Portanto, reduzir frações ao mesmo denominador, significa torná-las homogêneas.  Operações Com Números Racionais Adição e Subtração Número Misto O número expresso por 2 + 4 1 , (inteiro e fração) é chamado misto e costuma ser representado por 4 1 2 , que se lê: dois inteiros e um quarto. Assim: 4 9 4 124 4 1 2 = +× = é a forma habitual de se transformar o número misto em fração imprópria.  A Multiplicação e Divisão de Números Fracionários 26 Para se extrair os inteiros de uma fração imprópria, divide-se o numerador pelo denominador da mesma. O quociente indicará a parte inteira do número misto e o resto será o numerador da parte fracionária que conserva o denominador primitivo. Se as frações são homogêneas somam-se os numeradores e dá-se ao resultado o denominador comum. Se as frações são homogêneas subtraem-se os numeradores e dá-se ao resultado denominador comum.
  27. 27. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1) (BB) Qual é o número cuja oitava parte multiplicada por 12 e dividida por 5/6 resulta 144. a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e)90 2) (TTN)Os 5/3 de 2/3 do preço de uma geladeira equivalem a 2/5 de 3/2 do preço de um freezer que custa R$ 2.400,00. Então o preço da geladeira, em reais, é: a) 2.000 b) 1.296 c) 1.440 d) 2.160 e) 1.300 3) (BB) Alberto comprou 1/6 de certo terreno, Bento e Carlos compraram, respectivamente, 2/5 e 2/15 do resto. Calcular a área primitiva desse terreno, sabendo que dele sobraram 1.470m2 , após a última venda. a) 3.870m2 b) 3.087m2 c) 3.708m2 d) 3.780m2 e) 3.807m2 4) (CEF) Retirei, inicialmente, uma quinta parte de minha conta bancária. Depois, saquei uma quarta parte do resto e ainda sobraram R$ 7.500,00. Qual era, em reais, o saldo inicial? a) 12.750 b) 12.500 c) 12.250 d) 10.200 e) 10.500 5)(UNIFOR) Se o triplo de um número é 18/5 , então: a) seu quíntuplo é 18 c) seu dobro é 12/5 b) seu quádruplo é 4 d) sua metade é 2/5 e) sua terça parte é 1/5 6) (UECE) Considere a expressão algébrica x x x x − + +− + − + − 1 1 1 1 1 1 ,x ≠ 0 e x ≠ 1. Seu valor numérico para x = 2/5 é: a) 5 –1 b) negativo c) 2,5 d) 5,2 7) (UFC) Três irmãos, Maria, José e Pedro receberam, respectivamente, 1/2, 1/3, e 1/9 de uma determinada herança. A fração desta herança que não foi distribuída entres estes irmãos foi de: a) 2/3 b) 8/9 c) 1/2 d) 1/18 e) 5/6 8) (UFC) Se q p = + 4 1 3 1 1 , onde p e q são números inteiros primos entre si, determine p + q. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e)19 9) (UFC) Determine o valor de S, onde: 54 2 1 1 2 1 8 2 +         −      −×      −=S a) 36 b) 35 c) 34 d) 33 e) 32 27 O produto de duas frações é uma fração, onde o numerador é o produto dos numeradores e o denominador o produto dos denominadores das frações dadas. Para se dividir uma primeira fração por uma segunda, Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda.
  28. 28. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 10) (TRT) O primeiro andar de um prédio vai ser reformado e os funcionários que lá trabalham serão removidos. Se 3 1 do total dos funcionários deverão ir para o segundo andar, 5 2 do total para o terceiro andar e os 28 restantes para o quarto andar, o número de funcionários que serão removidos é: a) 50 b) 84 c) 105 d) 120 e) 150 11) (TJ) Rita sai de casa para fazer compras com certa quantia. Na primeira loja gastou 2/3 do que possuía; na segunda loja gastou R$ 30; na terceira R$ 10,00 e 2/5 do que restou. Sabendo-se que no final das compras ficou com R$ 60,00, ao sair de casa, Rita tinha a importância de: a) R$ 420,00 c) R$ 360,00 e)R$ 450,00 b) R$ 300,00 d)R$ 330,00 12)(TRT) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos 5/18de um dia e retornou à sua casa decorridos 13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de casa durante um período de: a) 14 horas e 10 minutos. d) 13 horas e 10 minutos b) 13 horas e 50 minutos. e) 12 horas e 50 minutos. c) 13 horas e 30 minutos. 13)(TTN) Que horas são agora, se 1/4 do tempo que resta do dia é igual ao tempo já decorrido? a) 8 horas d) 6 horas e 38 minutos b) 4 horas e) 5 horas e 15 minutos c) 4 horas e 48 minutos Respostas 01. D 04. B 07. D 10. C 13.C 02. B 05. C 08. E 11. A 03. D 06. C 09. A 12. E  NÚMEROS DECIMAIS Transformação de Fração Decimal em Número Decimal Regra:  Transformação de Números Decimais em Frações Decimais Regra:  Propriedades de Números Decimais. 1ª . Propriedade: Um número decimal não se altera quando se acrescenta um ou mais zeros à direita de sua parte decimal. 28 Para se transformar uma fração decimal, em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Todo número decimal é igual a uma fração, onde o numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é a unidade, seguida de tantos zeros quantos forem as ordens decimais do número dado.
  29. 29. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 2ª. Propriedade: Para se multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000... etc., basta afastar a vírgula para a direita uma, duas, três...etc. casas decimais. 3ª Propriedade: Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1000 etc., basta afastar a vírgula para a esquerda uma, duas, três... etc. casas decimais. Adição e Subtração de Decimais 1) Igualam-se as casas decimais – o que equivale a homogeneizar as frações. 2) Coloca-se vírgula debaixo de vírgula – o que equivale a somar apenas as unidades de uma mesma ordem entre si. 3) Realiza a operação pedida Multiplicação de Decimais Multiplicam-se os números decimais como se fossem números Inteiros e dá-se ao produto tantas casas decimais quantas unidades somarem as casas decimais do multiplicando e do multiplicador. Divisão de Decimais Eliminar as vírgulas, após o acerto das ordens.  Frações Geratrizes das Dízimas Periódicas A geratriz, de uma dízima periódica composta, é uma fração, onde o numerador é formado pela parte não periódica, seguida do período, menos a parte não periódica. O denominador possui tantos noves quantos são os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1. (BB) Valor de x nas expressões x = (4,8 – 1,02) ÷0,4 é: a) 2,25 b) 4,15 c) 5,75 d) 9,45 e) 9,7 2. (TRT) Simplificando-se a expressão:       + 01,0 5,0 : 002,0 01,0 003,0 015,0 obtém-se: a) 0,025 b) 0,11 c) 0,25 d) 5,1 e) 2,5 3. (TRE) Efetuando-se 04,0:025,0 5 1       − obtém-se a) 25/8 b) 15/4 c) 35/8 d) 25/4 e) 35/4 4. (PRF) O valor de 2,0 01,0 12,0 5,1 − é de: a) 0,75 b) 1,245 c) 1,25 d) 12,45 e) 12,5 5. (TRT) Resolver a seguinte expressão:       −+      +      − 1 2 1 4 3 : 2 1 6 1 3 2 2 a) 3 b) 4 c) 4/11 d) 5/3 e) 3/16 6. (CEF) O valor da expressão x3 – 3x2 y + 3xy2 – y3 , para x = 1/2 e y = – 1/2 é: a) –1 b) – 1/5 c) 0 d) 1/8 e) 1 7. (TRT) Na expressão abaixo, o traço horizontal sobre o número indica o período da dízima periódica: 62,0.641,061,204,0:2,0 +− resolvendo essa expressão, obtém-se: 29
  30. 30. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com a) 9 4 3 b) 29/9 c) 0,84 d) 3,2 e) 0,1666... 8. (DNER) A dízima periódica 0,1454545... é igual a: a) 5/11 b) 8/55 c) 29/180 d) 29/198 e) 145/999 9. (BNB) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma irredutível m / n, então m + n é igual a: a) 88 b) 89 c) 90 d) 91 e) 92 10.(TJ) O valor da expressão 1 98,12 3...333,0 5 4 3 1 6,0 + − × ++× é: a) 54 b)53 c)52 d) 51 e)50 11.(PRF) 0 1994º algarismo, após a virgula, na representação decimal de 12/37 é: a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e)5 12.(UECE) Na seqüência SPMSQSPMSQSP.... que letra ocupa a 90ª posição? a) S b) P c) M d) Q 13.(UECE) Se contarmos 2000 dias a partir de amanhã (Terça - feira), qual o dia da semana que encontramos? a) Quarta - feirab) Quinta - feira c)Sexta - feira d) Sábado 14. (UNIFOR) Na "Notação científica, os números são escritos como produto de um número x, por uma potência de 10”. Por exemplo, 1000 = 1 x 103 e 0,02 = 2 x 10-2 . O valor de 0,00015 x 24000 x 0,0003 é: a) 1,08 x 10-3 b) 3,6 x 10-2 c) 4,5 x 10-7 d)9,08 x 10-4 e) 3,08 x 10-2 Respostas 1) D 4) D 7) A 10) C 13) D 2) D 5) B 8) B 11) B 14) A 3) C 6) E 9) B 12) D EQUAÇÕES DO 1º GRAU EQUAÇÃO é toda sentença matemática expressa por uma igualdade ( = ), onde os números desconhecidos são representados por Letras ( incógnitas). Exemplos:  2x – 3 = 15 Equação na incógnita X.  3x – 4y = 6 Equação nas incógnitas X e Y Membros e Termos Numa equação, a expressão situada à esquerda do sinal = é chamada de 1º membro da equação, e a expressão situada à direita do sinal = é chamada de 2º membro da equação. Exemplo: – 2x + 10 = 3x – 5 1º membro 2º membro Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação é chamada de Termo da Equação. 30
  31. 31. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com Resolução de uma equação do 1º grau 1º Caso) Resolver a equação 4x – 3 = 2 (2x + 1) – 5 solução 4x – 3 = 2 (2x + 1) – 5 Prop. Distributiva 4x – 3 = 4x + 2 – 5 4x – 3 = 4x – 3 4x – 4x = – 3 + 3 0 = 0 A igualdade se faz verdadeira, a equação é chamada Indeterminada, e seu conjunto- solução será o Universo. (S = U) 2º Caso) Resolver a equação 6 5 5 23 xxx +=+ 6 5 5 23 xxx +=+ 6 530 6 32 xxx + = + Reduzimos as frações ao mesmo denominador comum(m.m.c) 2x + 3x = 30 + 5x 5x – 5x = 30 0 = 30 A igualdade não se faz verdadeira, a equação é chamada Impossível, e seu conjunto – solução será Vazio. (S = Ø) 3º Caso) Resolver a equação 2 1 2 1 3 12 = + − − xx Solução 2 1 2 1 3 12 = + − − xx ( ) ( ) 6 1 6 13 6 122 = + − − xx Reduzimos ao menor denominador comum 2 (2x – 1) – 3 ( x + 1) = 3 Prop. Distributiva 4x – 2 – 3x – 3 = 3 x = 3 + 5 ∴x = 8 A equação é chamada Determinada, e seu conjunto – solução é a raiz encontrada. ( S = { 8 } ) EXERCÍCIO – EQUAÇÃO DO 1º GRAU Resolva as equações ( U = IR) 1) 3x + 5 = 20 2) 2x = - 6 3 3) 5x – 2 ( 3x + 2) = 7x – 2 ( 4x + 3) 4) 5 ( x + 12) = x 5) 4 ( x – 1 ) = 2 (x – 4 ) 6) 2x = 5 ( x + 3 ) 7) 5 (1 – x ) – 2x + 1 = - 3 ( 2 + x ) 8) x + x = 15 3 2 9) x – 4 = x 10) 3x – 7 + x – 1 = 2x – 3 8 5 12 8 6 11) 2 + 2(x – 3) = x _ x – 3 12) 2(5+3x)=5(x + 3)–5 5 4 10 13) 7(x–3)=9(x+1)–38 14) x + x _ x = 14 2 3 4 15) x + x + 3x = 18 16) 3x = 5x _ 7 2 4 4 2 2 17) x + x = 7 + 2x 18) 7x + 4 _ x = 3x – 5 2 3 3 5 2 31
  32. 32. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 19) 4x – 6 _ 3x – 8 = 2x – 9 _ x – 4 20) 4x _ 5x + 18 = 4x + 1 12 4 6 8 5 4 9 21) 3x + 1 _ 2x = 10 + x – 1 22) 3x – 2 _ 4 – x = 2x _ 7x –2 2 3 6 4 2 3 23) x + 2 _ x – 3 = x – 2 _ x – 1 3 4 2 Respostas: 1) S= { 5 } 6) S = {- 5 } 11) S = { - 7/2} 16) S = { 2 } 21) S = { 14 } 2) S= { - 9 } 7) S = { 3 } 12) S = {0} 17) S = { 14 } 22) S = { 2 } 3) S= ∅ 8) S = { 18 } 13) S = { 4 } 18) S = { 3 } 23) S = { 7 } 4) S = { -15} 9) S = { - 20 / 3} 14) S = { 24 } 19) S = { 4 } 5) S = { - 2 } 10) S = { 5 } 15) S = { 8 } 20) S = { 20 } SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU Equações do tipo ax + by = c, isto é, do primeiro grau com duas variáveis, possuem uma infinidade de soluções. Resolver um sistema de duas equações é achar os valores das variáveis x e y, que satisfaçam, ao mesmo tempo, cada uma das equações. Logo, as equações que constituem um sistema deverão admitir a mesma solução. Equações desse tipo são chamadas de equações simultâneas. Na resolução de um sistema de duas equações simultâneas do primeiro grau, empregamos os processos de Adição e Substituição, os quais passaremos a estudá-los separadamente. Adição a) Multiplicam-se, ambos os membros de uma ou de cada uma das equações, por números, tais que, a incógnita que se deseja eliminar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de sinais contrários; b) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando, assim, uma única equação com uma incógnita; c) Resolve-se esta equação, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita; d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita. Exemplos: 01) Resolver o sistema x + 2y = 11 x – y = 5 Solução: Como a variável y já possui sinais contrários, basta multiplicarmos a segunda equação por 2, no que resulta x + 2y = 11 2x – 2y = 10 Somando, membro a membro, as duas equações, vem: 3x = 21, logo: x = 7. Substituindo o valor de x na primeira equação, resulta: 7 + 2y = 11, que resolvida dará: Y = 2. Logo, S = { (7,2) } que é o conjunto verdade da equação. 02) Resolver o sistema : 2x + 3y = 8 5x – 2y = 1 Solução: Multiplicando-se a primeira equação por 2 e a segunda por 3, temos: 4x + 6y = 16 15x – 6y = 3 Somando, membro a membro, teremos: 19x = 19, onde x =1. Substituindo na primeira equação, o valor de x, vem: 2 + 3y = 8, que resolvida dará: y = 2. Então, o conjunto solução será: S = { (1,2) }. Substituição a) Resolve-se uma das equações, em relação à incógnita que se deseja eliminar; 32
  33. 33. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com b) Substitui-se, na outra equação, a incógnita pelo seu valor obtido na primeira; c) Resolve-se a equação resultante dessa substituição; encontrando-se, dessa forma, o valor dessa incógnita; d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita e, em conseqüência, a solução do sistema. Exemplos: 1) Resolver o sistema x+ 2y = 1 2x – y = 7 Solução: Resolvendo a primeira equação, em relação a x, temos: x = 1 – 2y. Substituindo na segunda equação, o valor de x, isto é, 1 – 2y, vem: 2x – y = 7. 2 (1 – 2y) – y = 7 que resolvida, dará: y = – 1. Substituindo o valor de y em x = 1 – 2y, temos: x = 3. Logo: S = { (3, -1)} que é o conjunto verdade da equação. x + y = 10 2) Resolver o sistema: x – y = 2 Solução: Tirando o valor da variável x na primeira equação, temos: x = 10 – y. Substituindo, na segunda equação, o valor de x, vem: 10 – y – y = 2, que resolvida, resulta: y = 4. Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações do sistema ou na expressão x = 10 – y, encontraremos o valor da variável x que será: x = 6. Então, o conjunto solução será: S = { ( 6, 4) }. EXERCÍCIO – EQUAÇÕES DO 1º GRAU 1. Resolver os sistemas abaixo, pelo método da ADIÇÃO. a) x + 2y = 3 d) 2x + 3y = 7 3x + y = 4 4x + y = 9 b) x + 3y = – 4 e) x + y = 5 2x – y = 6 x – y = 1 c) 2x + 5y = 17 f) x + 2y = 7 3x – 2y = 16 x – 2y = 3 2. Resolver os sistemas abaixo, pelo método da SUBSTITUIÇÃO. a) x + y = 11 b) x + y = 46 c) x + y = 3 x – y = 1 x – y = 14 x – y = 1 d) 2x + y = 12 e) x + 2y = 7 f) 2x + y = 4 y = 2x x – 2y = 3 x – y = -1 g) 2x + y = 11 h) 3x – 7y = 13 i) 2x + 5y = 17 2x – 3y = – 1 4x – 5y = 13 3x – 2y = 16 3. Resolver os sistemas abaixo a) 2x + y = 13 b) x + 2y = 9 x - y = 8 x – 2y = 1 c) x + 2y = 1 d) 3 (x – y ) + 5 ( y – x ) = 18 2x – y = 7 2x + 3y = 37 33
  34. 34. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com e) x – y = 2 3 2 f) 2x + 3y = 23 x – y = 3 5x - 3y = 5 2 3 g) x + y = 7 h) 2x + 3y = 5 3x – y = 5 7x – 3y = 4 j) x + y = y + 2 i) 2x + 4y = 16 3 2 5x – y = 7 x – y = x – 1 2 3 Respostas: 1.a) S = {(1,1)} b) S = {( 2,– 2)} c) S = {(6, 1)} d) S = {( 2,1)} e) S = {(3,2)} f) S = {(5,1)} 2. a) S= {(6,5)} b) S= {(30,16)} c) S = {(2,1)} d) S= {(3,6)} e) S= {(5,1)} f) S = {(1,2)} g) S = {(4,3)} h) S={(2, -1)} i) S= {(6,1)} 3. a) S= {(7,-1)} b) S= {(5,2)} c) S= {(3,-1)} d) S={(2,11)} e) S= {(6,0)} f) S = {(4,5)} g) S = {(3,4)} h) S={(1,1)} i) S= {(2,3)} j) S= {(4,2)} PROBLEMAS COM NÚMEROS INTEIROS Introdução Antes de resolver um problema devemos obter uma forma de representação para o que ele propõe. Vejamos: 1) Representar um número ou uma quantia, e a seguir, o seu dobro, seu triplo etc. Forma: x = o número 2x = o seu dobro 3x = o seu triplo 2) Representar duas quantidades, onde uma tem cinco unidades mais que a outra. Forma: x é a quantia menor x + 5 = a quantia menor mais cinco unidades 3) Representar duas idades que diferem 10 anos. 1ª forma 2ª forma x = a idade menor x = a idade maior x + 10 = a idade maior x – 10 = a idade menor 4) São dados três números: o 1º é 5 unidades maior que o 2º e este tem três unidades menos que o 3º. Forma: x : o segundo número x + 5 : o primeiro número x + 3 : o terceiro número Questões Comentadas 1) Determinar dois números cuja soma é 40, sendo o maior o quádruplo do menor. x = o menor Donde: x = 8 4x = o maior e 8 + 32 = 40 4x + x = 40 4x = 32 5x = 40 x = 40 ÷ 5 = 8 2) A diferença entre dois números é 18 e o maior é o triplo do menor. Determiná-los. 34
  35. 35. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com x = o menor número 3x = o maior número 3x – x = 2x é a diferença entre o maior e o menor. 2x = 18 x = 18 ÷ 2 = 9 x = 9 3x = 27 3) Um pai diz a seus três filhos: Conceição, Luís e Duda: ---- Vou repartir entre vocês a importância de $ 90,00 de modo que Conceição, que é a mais velha, receba $ 12,00 mais que Luís e este receba $ 6,00 mais que Duda que é a mais nova. x = a quantia de Duda x + 6 = a quantia de Luis 3x = 66 x + 6 + 12 = a quantia de pela inversa da multiplicação Conceição x = 66 ÷ 3 = 22 Ou: x x + 6 = 90 Duda: $ 22,00 x + 18 Luís: $ 22,00 + $ 6,00 = $ 28,00 3x + 24 = 90 Conceição:$ 28,00+$12,00=$40,00 Pela inversa da adição: 3x = 90 – 24 4) A soma das idades de um pai e um filho é hoje 54 anos. Há 6 anos a idade do pai era o quíntuplo da idade do filho. Quais as idades de cada um hoje? Há seis anos 54 – 2 X 6 = 54 – 12 = 42 anos x = 42 anos ÷ 6 = 7 anos x é a idade do filho o filho, 7 anos 5x a idade do pai o pai, 35 anos 5x + x = 6x Hoje 6x = 42 anos 7 + 6 = 13 anos o filho. 35 + 6 = 41 anos o pai 5) Cândida faz problemas. Ganha $ 0,10 por problema certo e paga multa de $ 0,07 por problema que erra. Fez 20 problemas e recebeu $ 1,32. Quantos problemas acertou e quantos errou? Vejamos: Neste problema deve-se raciocinar: Se Cândida acertasse todos os problemas ganharia: 20 problemas x $ 0,10 = $ 2,00. Entretanto recebeu apenas $ 1,32. Significa que deixou de ganhar a diferença, isto é: $ 2,00 – $ 1,32 = 0, 68. Entretanto, em cada problema errado, Cândida deixou de ganhar: $ 0,17. Pergunta-se: ___ Por que deixou de ganhar $ 0,17 por problema errado? ___ Claro, primeiro não ganhou $ 0,10 que seria o prêmio do acerto e segundo pagou $ 0,07 de multa. Logo, são $ 0,17 de prejuízo por problema errado. Como o prejuízo total foi de $ 0,68 e o prejuízo por problema foi de $ 0,17 basta efetuar a divisão: $ 0,68 ÷ $ 0,17 = 4 problemas. Isto é, Cândida errou 4 problemas e, logicamente, acertou 16 problemas. Problemas certos: $ 0,10 x 16 = $ 1,60 Problemas errados: $ 0,07 x 4 = $ 0,28 Recebeu $ 1,32 6) Cândida foi a Bahia e deixou $ 1,00 de óbolo em cada igreja que visitou e, ao fim das visitas, sobraram $ 4,00 do dinheiro destinado às esmolas. Se tivesse deixado $ 1,50 em cada igreja, teria gasto $ 8,00 mais do que esperara gastar com os óbolos. Quantas igrejas Cândida visitou e quanto pensara gastar com as esmolas? Vejamos: 35
  36. 36. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com I) Deixando $ 1,00 em cada igreja sobram $ 4,00 Deixando $ 1,50 em cada igreja faltam $ 8,00 Vê-se assim, que um acréscimo de 0,50 em cada óbolo provoca um acréscimo de $ 12,00 nas despesas de Cândida.(De fato, a sobra de $ 4,00 e mais os $ 8,00 que despenderia.) Logo as igrejas são: $ 12,00 ÷ $ 0,50 = 24 igrejas. II) Cândida destinara aos óbolos: 24 X $ 1,00 = $ 24,00 distribuídos + $ 4,00 $ 28,00 Prova: De fato, se desse $ 1,50 em cada igreja, gastaria $ 36,00, isto é, $ 8,00 mais do que previra. 7) Um boiadeiro comprou 25 bois e 8 novilhos pela importância de $ 1.820,00. Determinar o preço de cada animal, sabendo-se que um boi e um novilho juntos custam $ 100,00 Vejamos: Como um boi e um novilho juntos valem $ 100,00, então os oito novilhos e os oito bois custaram $ 800, 00. Desse modo, a importância restante, isto é, $ 1.820,00 – $ 800,00 = $ 1.020,00 foi necessária para adquirir os restantes 17 bois, ou seja:$ 1.020,00 ÷ 17 = 60,00 Logo: $ 60,00 é o preço de cada boi; e $ 100,00 - $ 60,00 = $ 40,00 é o preço de cada novilho. Prova: Um boi + um novilho = $ 60,00 + $ 40,00 = $ 100,00 8 novilhos + 25 bois = $ 320,00 + $ 1.500,00 = $ 1.820,00. 8) De duas cidades A e B, cuja distância é 315km, partem simultaneamente dois trens. O que parte de A se dirige em direção a B com a velocidade média de 60km por hora e o que parte de B se dirige para A com a velocidade média de 45km por hora. Pergunta-se: depois de quanto tempo se cruzarão e a que distância de A? Vejamos: Representando-se esquematicamente o problema, teremos: V1 = 60 km/h P V2 = 45 km/h 1º trem 2º trem 315 km A B Como os trens se deslocam em sentidos contrários, ao se cruzarem, a soma dos percursos realizados é igual à distância entre A e B que é de 315 km. Para realizar o mesmo percurso, no mesmo tempo, um único trem deveria ter uma velocidade V igual à soma entre as velocidades V1 e V2 . Isto é. V = 60 km/h + 45 km/h = 105 km/h Ora, um trem com 105 km/h demoraria 3 horas para percorrer os 315 km. De fato: 315km ÷ 105 km/h = 3 horas. Da mesma forma, os dois trens que partem de A e B. Para isso, basta, então dividir o percurso de 315 km pela soma de suas velocidade e, como acima, se encontrará 3 horas. 60km/h x 3 horas = 180 km; 45 km/h x 3 horas = 135km. P 180 km 135 km 315 km EXERCÍCIOS – NÚMEROS INTEIROS 1) A soma de dois números é 52 e um deles é o triplo do outro. Quais são os números? 2) A diferença entre dois números é 45 e o maior deles é igual ao sêxtuplo do menor. Determiná-los. 36
  37. 37. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 3) A minha idade é o quádruplo da idade de meu filho e juntos temos 45 anos. Quais são as nossas idades? 4) A soma de dois números é 43 e um deles excede o outro de 5 unidades. Quais são os números? 5) A diferença entre dois números é 7 e a soma deles é 29. Determiná-los. 6) Quando João nasceu, Cândida tinha 5 anos. A soma das idades hoje é 31 anos. Quais as idades? 7) O produto de dois números é 6.800 e um deles é 170. Determinar o outro. 8) Pensei em um número; multipliquei-o por 3; somei 12 ao resultado; dividi esse resultado por 3 e obtive 19. Qual o número pensado? 9) Um recipiente é alimentado por duas torneiras: a primeira despeja 64 litros de água por minuto e a segunda despeja 48 litros de água por minuto. Pergunta-se: ao fim de quantos minutos o recipiente ficará cheio, sabendo que sua capacidade é de 1.904 litros? 10) O terreno de meu vizinho é 80m2 maior que o meu. A fim de ficarmos com terrenos iguais, ele vai vender- me a parte necessária à razão de $ 180,00 o metro quadrado. Quanto deverei pagar? 11) Se eu tivesse $ 14.640,00 mais do que tenho, poderia comprar um terreno que tem 320m2 cujo valor é $ 120,00 o metro quadrado. Quanto eu possuo? 12) Luís diz a Marcos: "Se eu lhe der 14 figurinhas das que eu tenho, então você ficará com tantas figurinhas quanto "eu". Sabendo que juntos possuem 120 figurinhas, pergunta-se: quantas têm cada um? 13) A soma das idades de Cristina, Marcelo e Frederico é 20 anos. Cristina nasceu 6 anos antes que Marcelo e este é 4 anos mais velho que Frederico. Quais são as idades dessas crianças? 14) Quando Fábio nasceu, Clara tinha 4 anos e Lourdes tinha 6 anos. Hoje, a soma das idades dos três é 22 anos. Determiná-las. 15) Um pai deseja distribuir a quantia de $ 115,00 entre seus três filhos. Quer dar $ 10,00 mais a Sidônio do que a Roberto e $15,00 mais a Roberto do que a Francisco. Quanto deve receber cada um? 16) A soma das idades de um pai e de um filho é hoje 72 anos. Há 12 anos passados, a idade do pai era 7 vezes a idade do filho. Quais são as idades hoje? 17) A soma das idades de um pai e um filho é hoje 30 anos. Daqui a 12 anos a idade do pai será o dobro da idade do filho. Quais as idades hoje? 18) Um pai diz a seu filho: "A soma de nossas idades hoje é 36 anos. Entretanto, há três anos passados, minha idade era o quádruplo da sua". Quais são essas idades? 19) Um avô tem 74 anos e seus 4 netos, 5, 7, 11 e 12 anos. No fim de quantos anos será a idade do avô igual à soma das idades dos netos? 20) A soma de quatro números inteiros consecutivos é 86. Calculá-los. 21) Aumentando-se um certo número de 126 unidades, obtém-se o quadruplo do número. Calculá-lo. 22) Num quintal existem perus e coelhos, ao todo 62 cabeças e 148 pés. Quantos são os perus e quantos são os coelhos? 23) Um aluno ganha $1,50 por problema que acerta e paga, a título de multa, $ 0,90 por problema errado. Faz 20 problemas e recebe $ 20,40. Quantos acertou e quantos errou? 24) Uma pessoa dá esmolas às igrejas que visita. Tendo deixado $ 0,20 em cada igreja, ainda lhe sobraram $ 1,80. Entretanto, se desse $ 0,30 de esmola a cada igreja, ter-lhe-iam sobrado apenas $ 0,70. Quantas foram as igrejas visitadas e quanto levava essa pessoa no bolso? 37
  38. 38. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 25) Dei três laranjas a cada menino e fiquei com vinte. Se tivesse dado 5 a cada menino, teria ficado com 8. Quantos meninos eram? 26) Uma pessoa querendo distribuir laranjas entre vários meninos, calculou que poderia dar a cada um, 11 laranjas e ainda lhe restariam 4 laranjas. Mas tendo um menino recusado a sua parte, cada um dos outros recebeu 14 laranjas, sobrando ainda 3 laranjas. Quantos meninos havia e quantas laranjas a pessoa possuía? 27) João diz a augusto: "Eu tenho $ 3,15 no bolso com igual número de notas de $0,05, $ 0,10 e $ 0,20. Quantas notas eu tenho de cada espécie? 28) Augusto diz a João: "Eu tenho $1,80 em notas de $0,05, $0,10 e $0,20. As importâncias em dinheiro que possuo de cada espécie são iguais. Quantas notas eu tenho de cada espécie? 29) Uma pessoa compra 12 frangos e 20 perus pela importância de $ 124,00. Determinar o preço de cada ave, sabendo que um frango e um peru custam juntos $ 7,00. 30) Um criador compra 40 burros e 52 cavalos pagando $ 31.600,00 pelo lote. Determinar o preço de cada animal, sabendo que um burro e um cavalo custam juntos $ 700,00. 31) São dados três números: a soma dos dois primeiros é 20, a soma dos dois últimos é 15 e a soma do primeiro com o último é 19. Quais são esses números? 32) Um ciclista parte da cidade A em direção a B, ao mesmo tempo que o outro parte de B em direção a A, cuja distância é 120 km. O primeiro desenvolve uma velocidade de 24 km por hora e o segundo 16 km por hora. Pergunta-se: a) Ao fim de quanto tempo se encontraram? b) A que distância da cidade A se dá o encontro? 33) Durante uma viagem, uma caravana pousou num motel. Os homens pagaram o dobro que as senhoras e estas pagaram o triplo que as crianças. Sabendo-se que a despesa foi de $ 1.950,00 e que existiam 20 homens, 15 senhoras e 30 crianças, pergunta-se: quanto pagou cada um? 34) De uma estação parte um trem que desenvolve 50km por hora. Após 3 horas, parte outro trem no mesmo sentido, que alcança o primeiro quando decorreram 5 horas da partida do segundo. Pergunta-se: qual a velocidade média do segundo trem? Respostas 1) 13 e 39 23) Acertou:16 problemas 2) 9 e 54 Errou: 4 problema 3) Pai: 36anos – Filho: 9 anos 24 11 Igrejas e R$ 4,00 4) 19 e 24 25) 6 meninos 5) 11 e 18 26) 5 meninos-59 laranjas 6) Cândida: 18 anos – João:13 anos 27) 9 notas 7) 40 28) 12 de $ 0,05 8) 15 6 de $ 0,10 9) 17 minutos 3 de $ 0,20 10) R$ 7.200,00 29) Frango: R$ 2,00 11) R$ 23.760,00 Peru: R$ 5,00 12) Luís: 74 – Marcos: 46 30) Burro: R$ 400,00 13) Cristina:12 anos Cavalo: R$ 300,00 Marcelo: 6 anos 31) 1º número: 12 2º número: 8 3º número: 7 Frederico: 2 anos 14) Lourdes: 10 anos Clara: 8 anos 32) a) 3 horas Fábio:4 anos b) 72 km 15) Sidônio: R$ 50,00 33) Crianças:$ 10,00 Roberto:R$ 40,00 Senhoras:$ 30,00 Francisco: R$ 25,00 Homens: $ 60,00 16) Pai: 54 anos – Filho: 18 anos 34) 80 km por hora 17) Pai: 24 anos – Filho 6 anos 38
  39. 39. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 18) Pai: 27 anos – Filho 9 anos 19) 13 anos 20) 20,21,22,23 21) 42 22) Perus: 50 – Coelhos 12 QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 01.(CMF) Um pai tem 36 anos e seus três filhos 3, 5 e 8 anos. No fim de quanto tempo a idade do pai será igual a soma das idades dos filho? a) 10 anos b) 12 anos c) 15 anos d) 18 anos e) 20 anos 02.(BB) Hoje eu tenho a idade que meu amigo Paulo tinha quando eu nasci. Daqui a 15 anos terei 3/5 da idade de Paulo. Qual é a idade atual de Paulo? a) 45 anos b) 30 anos c) 55 anos d) 60 anos e) 65 anos 03.(CEF) Há 8 anos, a idade de "A" era o triplo da de "B", e daqui a 4 anos a idade de "B" será os 5/9 da de "A". Achar a razão entre as idades de A e B. a) 1/2 b) 2 c) 3/2 d) 2/3 e) 3 04.(UFC) Quando José nasceu, Bruno tinha 4 anos de idade. Decorridos 17 anos, qual é diferença, em anos, entre as idades de Bruno e José? a) 13 b) 4 c) 21 d) 5 e) 17 05.(BNB) O sistema de equação abaixo: 2x + y + z + w = 1 x + 2y + z + w = 2 x + y + 2z + w = 3 x + y + z + 2w = 4 Possui uma única solução x, y, z, w. Pode-se afirmar que a soma S= x + y + z + w é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 06). (BB) Em um pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Assim, o número total de veículos é igual a: a) 39 b)42 c) 49 d) 52 e)59 07).(TJ) Em um terreiro havia um certo número de bípedes e de quadrúpedes, num total de 900 patas. As patas dos bípedes são a metade das dos quadrúpedes. O número total de animais que havia no terreiro é: a) 150 b) 300 c) 350 d) 450 e) 600 08.(TTN) Dois professores "A" e "B", dão aulas particulares e sabe-se que "A" cobra R$ 2,00 a mais que "B" por hora de trabalho. Se, por 30 horas de aula, "A" receberá R$ 210,00 a mais que "B" receberia ministrando 20 horas aula. A soma das quantias que cada um cobra por hora de trabalho é: a) R$ 32,00 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$42,00 e) R$ 45,00 39
  40. 40. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 09.(CEF) O Sr. J.R.N. foi contar seu patrimônio e encontrou apenas moedas de 1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos, e 50 centavos, todas em quantidades iguais, totalizando R$ 15,47. Qual a importância que o desafortunado tem em moedas de 25 centavos? a) R$ 3,00 b) R$ 3,50 c) R$ 3,75 d) R$ 4,00 e) R$ 4,25 10.(UFC) Uma dona de casa programou uma recepção no aniversário de seu marido e solicitou a um buffet que fizesse 7 salgadinhos de um certo tipo para cada convidado. No dia da recepção, ao receber os salgadinhos, notou que havia 2 a mais do que o encomendado. Por outro lado, compareceram à recepção 3 convidados a mais que o esperado. A dona de casa resolveu o imprevisto, distribuindo exatamente 6 salgadinhos para cada convidado presente. Com base nessas informações, assinale a opção que contém o número de salgadinhos preparados pelo buffet. a) 108 b)114 c)120 d)126 e) 112 Respostas 01.A 03. B 05.B 07.B 09.E 02. D 04. B 06.D 08.A 10.B SISTEMA MÉTRICO DECIMAL A necessidade de medir grandeza levou o homem a estabelecer unidade(s) de medida(s) que pudessem facilitar principalmente as relações comerciais, exemplos: polegada, légua, alqueire, milha, palmo etc, que permanecem até hoje em evidência, pois não é fácil uma padronização, haja visto os diversos aspectos das atividades humanas. Veja o sistema métrico decimal estabelecido pelo Sistema Internacional de Unidade (SI). SISTEMA MÉTRICO DECIMAL I. UNIDADES FUNDAMENTAIS (MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS) COMPRIMENTO CAPACIDADE MASSA ÁREA VOLUME TEMPO (COMERCIAL:1mês=30dias e 1ano=360dias) PREFIXOS: quilo k 1000 MÚLTIPLOS hecto h 100 deca da 10 deci d 0,1 40
  41. 41. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com SUBMÚLTIPLOS centi c 0,01 mini m 0,001 II - MEDIDAS AGRÁRIAS 1 hectare =100 ares =10.000m2 1 are =100m2 IMPORTANTE!!! Conversão 1dm3 = 1 litro (água pura) → 1 litro = 1 Kg 1000Kg = 1 tonelada (ton) III - PREFIXOS USADOS NO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I) PREFIXOS SÍMBOLOS FATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADA TERA T 1.000.000.000.000 = 1012 GIGA G 1.000.000.000 = 109 MEGA M 1.000.000 = 106 QUILO K 1.000 = 103 HECTO h 100 = 102 DECA da 10 PREFIXOS SÍMBOLOS FATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADA DECI d 0,1 = 10-1 CENTI c 0,01 = 10-2 MILI m 0,001 = 10-3 MICRO µ 0,000001 = 10-6 NANO n 0,000000001 = 10-9 PICO p 0,000000000001 = 10-12 FENTO f 0,000000000000001 = 10-15 ATTO a 0,000000000000000001 = 10-18 IV - ALGUNS VALORES DO SISTEMA DE MEDIDAS NÃO-DECIMAL UNIDADE VALORES UNIDADE VALORES POLEGADA 2,54cm JARDA 91cm PÉ 30,48cm COVADO 61cm PASSO 1,52m CORDA 3,05m PALMO 20,32cm BRAÇA (BRASILEIRA) 2,2m ESTÁDIO 190m MILHA (BRASILEIRA) 2.200m TOESA 1,83m MILHA INTER. 1.852m VARA 1,02m LÉGUA (BRASILEIRA) 6.600m EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01.Calcule o valor da expressão: em metros(m) 41
  42. 42. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 5 dam30dm9cm40 E ++ = 02.(CMF-96) Um reservatório, no formato de um paralele-pípedo, contém água, até a sua metade. As dimensões do reservatório são: 0,8dam de comprimento; 30dm de largura e 420cm de altura. Qual a massa d'água desse reser-vatório, em quilograma (Kg)? 03.(M.P.U.) Um reservatório em forma de paralelepípedo retângulo de 24,5 metros de comprimento, 1,6 decâmetro de largura e 0,045 hectômetro de profundidade, contém certa quantidade de leite. Sabendo-se que esse leite ocupa 3/5 da sua capacidade e que um litro dele pesa 1.020 gramas, o seu peso em toneladas é de: a) 1.079,568 b)5.397,84 c)1.799,28 d)1.079.568 e)1.799.280 04.A expressão 2[2dm3 +2l] + 3[1000cm3 –1000ml] em litros vale: a) 4 b)6 c)8 d)10 e)12 05.(B. do Brasil) Qual é a área de um terreno retangular que mede 300m de comprimento por 500m de largura? a) 0,15ha b)1,5ha c)15ha d)150ha e)1500ha 06.(TTN) Uma tartaruga percorreu, num dia 6,05hm. No dia seguinte percorreu mais 0,72km e no terceiro dia, mais 12.500cm. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma distância de: a) 1.450m b)12.506.77m c)14.500m d)12.506m e)1.250m 07.(T.S.T.) Um reservatório contém 1dam3 , 2m3 , 800dm3 e 1.200cm3 de água. A sua capacidade expressa em litros é: a) 10.281,2 b)102.812,0 c)1.028.001,2 d)100.281,2 e)1.002.801,2 08.Quantos ha tem a superfície de um terreno ocupado por 600km de uma estrada cuja largura mede 15m? a) 750ha b)800ha c)850ha d)900ha e)950ha 09.(B. do Brasil) Quantos ladrilhos de 0,2m x 0,2m são precisos para revestimento de uma sala de 5m de comprimento por 6m de largura? a) 600 b) 650 c)700 d)750 e)800 10.(B. do Brasil) Quanto gastará uma pessoa que deseja cercar uma chácara retangular medindo 400m por 200m, com estacas distantes 4m uma dá outra, custando R$ 2,00 cada? a) R$ 120,00 b)R$ 160,00 c)R$ 240,00 d)R$ 330,00 e)R$ 600,00 11.Em um mapa, cuja escala não aparece pois foi rasurada, a distância entre as cidades A e B é de 20 cm. Sendo a distância real entre essas cidades de 90 km, a escala utilizada nesse mapa é de: a) 1:460.000 b)1:400.000 c)1:420.000 d)1:430.000 e)1:450.000 12.(B. do Brasil) Determinar quantos litros de água recebe, por minuto, um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, que mede 5 metros de comprimento, 3,5 metros de largura e 2 metros de profundidade, sabendo que ele se enche, totalmente, em 40 minutos: a) 578 litros b)587 litros c)758 litros d)785 litros e)875 litros 13.(CMF-93) Em uma cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e de 2,80m de altura, as portas e janelas ocupam uma área de 4m2 . Para azulejar as 4 paredes, o pedreiro aconselhou a comprar de 10% a mais da metragem a ladrilhar. Qual a metragem de ladrilhos a comprar? 42
  43. 43. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 14. A distância entre a cidade A e a cidade B é de 72 cm num mapa cuja escala é 50.000 1 . Assim, a distância real entre essas duas cidades é de: a) 3,6 km b)7,2 km c)14,4 km d)36 km e) 72 km 15.(CMF-94) Um reservatório, de forma de paralelepípedo, com 2m de comprimento e 10dm de largura, contém óleo até os 5 3 da altura. Esse óleo foi distribuído por 75 latas cúbicas de 20cm de aresta. Determine a altura do reservatório. GABARITO 01 02 03 04 05 60,26m 50.400kg A C C 06 07 08 09 10 A E D D E 11 12 13 14 15 E E 26,4 m2 D 5dm ÁREA DAS FIGURAS PLANAS Área dos quadriláteros • RETÂNGULO • QUADRADO • PARALELOGRAMO Perímetro: )(2 ba + Perímetro: 4a Perímetro: )ba(2 + Área: baS ⋅= Área: 2 aS = Área: HaS ⋅= • TRAPÉZIO • LOSANGO Perímetro: dcBb +++ Perímetro: 4a Área: 2 h)bB( S ⋅+ = Área: 2 dD S ⋅ = • TRIÂNGULO • CÍRCULO Perímetro: cba ++ Área: 2 ha S ⋅ = Área: 2 RS π= OBSERVAÇÃO: O comprimento de uma circunferência de raio R é dado por: 43 C = 2πR
  44. 44. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com  Volume do Paralelepípedo Seja o paralelepípedo da figura abaixo e digamos que suas medidas sejam: a = 5 cm b = 4 cm c = 6 cm b a c O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pelo produto de suas três dimensões a, b, c. Ou: V = a. b. c Onde: V é o volume ; a é a largura; b é a altura; e c a profundidade. Se observarmos a fórmula: V = a. b. c., poderemos escrevê-la V = (a.c) . b E como a. c. indica área da base, diríamos: O volume do paralelepípedo retângulo é igual ao produto da área da base pela altura. Assim: V = 5.4. 6 V = 120 cm3  Volume do Cubo Como o cubo é um paralelepípedo retângulo de arestas iguais, chamando-se essas arestas de a, vem: V = a x a x a Ou: O volume do cubo é dado pelo ou V = a3 a cubo de sua aresta. a a RAZÃO E PROPORÇÃO 1. Razão de dois números Razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b. Indicamos: b a ou a : b (lemos: a para b ) Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão. Exemplos: 1. A razão de 3 para 12 é : 4 1 12 3 3: 3: = 2. A razão de 20 para 5 é : 4 1 4 5 20 5: 5: == 3. A razão entre 5 e 2 1 é : 10 1 10 1 2 .5 2 1 5 === 44
  45. 45. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 2. Razão de duas grandezas Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é razão entre a medida da primeira grandeza a medida da segunda. Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. Exemplos: 1. A razão de 2m para 3m é: 3 2 3 2 = / / m m 2. A razão de 30 dm para 6m é: 2 1 6 3 6 30 = // // = m m m dm Observação: Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Exemplo: Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é: hkmhkm h km /80/ 2 160 2 160 == Podemos dizer, então, que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora ou 80 km/h. PROPORÇÕES Definição Dados quatro números (15, 3, 20 e 4), como a razão entre os dois primeiros números(15 e 3) é igual à razão entre os dois últimos (20 e 4), isto é: 15/3 = 5 e 20/4 = 5, dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, forma uma proporção, que expressamos mediante a igualdade das duas razões: 4 20 3 15 = Assim: Dados, em uma certa ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d). Simbolicamente, representamos uma proporção por: d c b a = lemos: "a está para b, assim com c está para d". Essas anotações põem em evidência o fato de que uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Exemplos: 1. 9 27 6 18 = , pois 3 6 18 = e 3 9 27 = 2. 4 3 2 9 3 1 2 = , pois 6 1 3 .2 3 1 2 == e 6 3 4 . 2 9 4 3 2 9 1 2 1 3 = / / / / =  Elementos 45
  46. 46. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com Na proporção: d c b a = temos: a, b, c e d são termos ( 1º, 2º, 3º e 4º termos, respectivamente) a e c são os antecedentes b e d são os conseqüentes a e d são os extremos b e c são os meios Propriedade fundamental Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que: d c b a = Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.  Razões Iguais Considerando as razões: 4 8 , 6 12 , 5 10 , 3 6 vemos que todas são iguais a 2. Logo, podemos escrever: 4 8 6 12 5 10 3 6 === Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla. Em símbolos: n m d c b a === ... Propriedade Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente. Exemplo: 4 8 6 12 5 10 3 6 4653 812106 4 8 6 12 5 10 3 6 ououou= +++ +++ ⇒=== RESUMO DAS PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO * PROPRIEDADE FUNDAMENTAL dacb d c b a .. =∴= 1ª Propriedade d dc b ba d c b a + = + ∴= ou c dc a ba d c b a + = + ∴= 2ª Propriedade d dc b ba d c b a − = − ∴= ou c dc a ba d c b a − = − ∴= 3ª Propriedade k b a k d c ondek db ca d c b a === + + ∴= 4ª Propriedade k f e k d c k b a ondek fdb eca f e d c b a ==== ++ ++ ∴== 5ª Propriedade 46
  47. 47. COLÉGIO TIRADENTESCADA VEZ MELHOR CENTRO, Rua Pedro I, 1106  3226.8000E-mail: centro@colegiotiradentes.com.br  Site: www.colegiotiradentes.com.br michelerondon@hotmail.com 2 . . k db ca d c b a === e 3 .. .. k fdb eca f e d c b a ==== EXERCÍCIO – RAZÃO E PROPORÇÃO 1) Determine a razão entre os números: a) 226 e 1.017 b) 1,25 e 0,75 c) 30 12 e 12 9 d)       + 4 3 5 2 e       − 8 5 2 4 15 2) Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 80 m e 48 dam b) 150 m2 e 45 ares c) 0,725 m3 e 5.000 L d) 9d 17h 20min e 8d 12h 10min 3) Verifique se a razão de 6meses 20dias para 3anos 5meses 20dias é igual à razão de 640 L para 2 m3 . 4) Verifique se as seguintes expressões formam proporção: a) 12 25 2 5 8 5 4 3 = b) 200 20 1,0 01,0 = c) 5 1 3 1 2 1 25 1 3 1 2 − = −       − 5) Calcule o valor de x na proporção: a) 5 4 5 7 3 2 = x e) 2 1 4 1 5 2 3 2 3 1 4 1 + = − + x b) 2 1 4 2 7 7 1 5 = x f) 2 3 2 1 5,0 6 1 2 1 3,0       − − = − x c) 2 1 3 2 4 5 = − x g) 3 73 8 = + x x d) ( ) x 1 4 1 4,0.11,0 1,011,0 − = − − h)       + = − 4 1 22 1 2 3 x x 6) Escreva uma razão igual a 4 15 , cujo antecedente seja 3 5 . 7) Escreva uma razão igual a 5 1 , cujo conseqüente seja 6 1 4 . 8) Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a 4 1 e cujos conseqüentes sejam 28 e 36. 9) Calcule x e y , sabendo que: 47

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