Mat tangencia exercicios resolvidos

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Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre
www.mat.uel.br/geometrica TANGÊNCIA em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.6c. 2005. Desenhos
construídos por: Enéias de A. Prado.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – TANGÊNCIA

1. TRAÇAR UMA RETA TANGENTE NUM PONTO DADO DA
CIRCUNFERÊNCIA.

PROCESSO I

Seja um Ponto T na circunferência de centro O. Traçar por T e O a reta normal
e depois traçar a reta perpendicular à normal passando por T que será a reta
tangente.

PROCESSO II

Seja um ponto T na circunferência de centro O. Com centro em O1 qualquer e
raio O1T trace um arco de circunferência que corte a circunferência dada em P.
E com centro em T e raio TP trace um outro arco de circunferência que corte o
arco anterior em P'. Ligue o ponto P ao ponto T encontrando assim a reta
tangente t.

2. POR UM PONTO EXTERIOR TRAÇAR DUAS RETAS TANGENTES
A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA.

PROCESSO I (Utilizando o centro da circunferência dada)

Seja a circunferência de centro O' e o ponto A exterior. Ligue o Ponto O' ao
ponto A.

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Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta definições e generalidades sobre retas
www.mat.uel.br/geometrica em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.1a. 2005

Encontre o Ponto Médio(M) de AO' e com centro em M e raio MA trace uma
circunferência que corte a circunferência dada em C e D.

Ligue o ponto A aos pontos C e D encontrando assim as duas tangentes t e t'.

As tangentes t e t' passam pela hipotenusa dos triângulos retângulos ACO' e
ADO' inscritos nas semi-circunferências o que explica o processo utilizado.

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PROCESSO II (Não utilizando o centro da circunferência dada)

Seja a circunferência dada e o ponto P exterior. Passar por P uma reta secante
(s) que corte a circunferência em dois pontos A e B.

Marque na reta (s) a partir de P a medida PC que é igual à medida da corda AB
encontrando assim o ponto C. Com a ponta seca do compasso em C e raio CB
trace um arco. Com a ponta seca do compasso em A e mesma abertura trace
outro arco encontrando o ponto D.

Com a ponta seca do compasse em P e abertura igual à PD trace um arco que
corte a circunferência dada em T e T'.

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Ligue o ponto P aos pontos T e T' encontrando assim as duas tangentes.

3. DESCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA QUE SEJA TANGENTE A
UMA RETA DADA NUM PONTO DADO, E PASSE POR OUTRO
PONTO QUALQUER DADO FORA DA RETA.

Seja a semi-reta Ts dada e um ponto B exterior. Ligue o ponto B ao ponto T.

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Encontre a mediatriz do segmento TB. Levante uma perpendicular (p) pelo
ponto T encontrando assim o ponto O na interseção da mediatriz (m) com a
perpendicular (p).

Com centro do compasso em O e abertura igual à OT ou OB trace a
circunferência
procurada.

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4. TRAÇAR RETAS TANGENTES EXTERIORES COMUNS A DUAS
CIRCUNFERÊNCIAS DADAS.

Sejam duas circunferências exteriores dadas de centros O e O' e raios R1 e R2
respectivamente.

Com a ponta seca do compasso em O e abertura igual a (R1-R2) trace uma
circunferência auxiliar.

Ligue os centros O e O' e trace a mediatriz (m) do segmento OO' encontrando o
ponto médio M.

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Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MO ou MO' trace uma
circunferência auxiliar.

A circunferência auxiliar de centro M e raio MO corta a circunferência auxiliar de
centro O nos pontos T e T'.

Ligue O' a T e T' e prolongue até encontrar os pontos A (T1) e B (T2). Centre o
compasso em T1 e com abertura igual a TO' trace um arco que corte a
circunferência de centro O' em T1'. Centre o compasso em T2 e com abertura
igual a T'O' trace um arco que corte a circunferência de centro O' em T2'.

Ligue os pontos (T1 T1') e (T2 T2') encontrando as retas tangentes. Utilize o
método de divisão de segmentos (Aula 1 - Exercício oito) e divida AB em oito
partes iguais.

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5. TRAÇAR RETAS TANGENTES INTERIORES COMUNS A DUAS
CIRCUNFERÊNCIAS DADAS.

Sejam duas circunferências exteriores dadas de centros O e O' e raios R1 e R2
respectivamente.

Construa uma circunferência auxiliar com o centro em O e com o raio igual a
R1+R2. Ligue os centros O e O'.

Trace a mediatriz de OO' encontrando o ponto médio M. Com a ponta seca do
compasso em M e abertura igual à MO trace uma circunferência que corta a
circunferência auxiliar em T e T'.

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Ligue o centro O aos pontos T e T' para encontrar na circunferência de centro O
dada, os pontos de tangência T1' e T2'.

Ligue os pontos T e T' ao centro O'.

Com a ponta seca do compasso em T1' e com abertura TO' trace um arco que
corte a circunferência de centro O' em T1.

Com a ponta seca do compasso em T2' e com abertura T'O' trace um arco que
corte a circunferência de centro O' em T2.

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Ligue os pontos T1' a T1 e T2' a T2 encontrando as tangentes interiores comuns
às duas circunferências dadas.

6. DADA UMA CIRCUNFERÊNCIA, UM PONTO T SOBRE ELA, E UM
PONTO P EXTERIOR, DESCREVER OUTRA CIRCUNFERÊNCIA QUE
SEJA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA DADA NO PONTO T DADO E
QUE PASSE PELO PONTO P EXTERIOR DADO.

Seja o ponto T pertencente à circunferência de centro O e o ponto P exterior
dados. Para encontrar a circunferência que passa por P e tangencia a
circunferência dada em T, primeiramente, trace uma reta normal à
circunferência dada que passe por T e O.

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Em seguida, ligue o centro O ao ponto P. Trace a mediatriz do segmento OP
encontrando o ponto O' na interseção da mediatriz com a reta secante.

Com a ponta seca do compasso em O' e com abertura igual à O'T trace a
circunferência procurada.

7. DESCREVER COM UM RAIO DADO UMA CIRCUNFERÊNCIA
TANGENTE A SUAS RETAS CONCORRENTES DADAS.

Sejam as retas r e s dadas concorrentes no ponto O.

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A partir de qualquer ponto na reta r levantar uma perpendicular e marcar nela
uma distância d igual ao valor do Raio dado encontrando o ponto R.

A partir de qualquer outro ponto na reta s levantar uma perpendicular e marcar
nela a mesma distância d igual ao valor do Raio dado encontrando o ponto S.

Traçar por R e por S retas paralelas às retas r e s encontrando no seu
cruzamento o ponto O'.

Levante duas perpendiculares por O' às retas r e s encontrando os pontos T1 e
T2. Com a ponta seca do compasso em O' e abertura O' T1 ou O'T2 traçar a
circunferência de raio R que tangencia as duas retas concorrentes

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8. DESCREVER COM UM RAIO DADO UMA CIRCUNFERÊNCIA
TANGENTE A DUAS OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS DADAS.

PROCESSO I (Tangentes interiores)

Sejam duas circunferências dadas de centros O' e O'' e raios R e R2
respectivamente e uma outra circunferência cujo raio é R.

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A partir de O', traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R-R1) e
depois, outra reta a partir de O'' cuja medida é (R-R2).

Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R-R1) trace um arco e com a
ponta seca em O'' e raio (R-R2) trace outro arco.

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Ligue o cruzamento desses dois arcos aos centros O' e O'' encontrando
respectivamente T2 e T1.

Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao
raio dado R trace a circunferência procurada que tangência interiormente as
duas circunferências dadas em T2 e T1.

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Ligue o outro cruzamento dos arcos auxiliares aos centros O' e O'' encontrando
assim os pontos T3 e T4.

raio dado R trace a outra circunferência procurada que tangencia interiormente
as duas circunferências dadas em T3 e T4.

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Temos então, as duas circunferências tangentes interiores às duas
circunferências dadas.

PROCESSO II (Tangentes exteriores)


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A partir de O' traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R+R1) e
outra reta a partir de O'' cuja medida é (R+R2).

Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R+R1) trace um arco e com a
ponta seca em O'' e raio (R+R2) trace outro arco.

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raio dado R trace a circunferência procurada que tangência exteriormente as
duas circunferências dadas em T2 e T1.

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Agora, com a ponta seca do compasso em O' e O'' e abertura R trace os arcos
para o lado de cima.

Ligue o outro cruzamento dos arcos auxiliares (superior) aos centros O' e O''
encontrando os pontos T3 e T4.

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Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos superiores e
abertura igual ao raio dado R trace a outra circunferência procurada que
tangencia exteriormente as duas circunferências dadas em T3 e T4.

Temos então, as duas circunferências tangentes exteriores às duas

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PROCESSO III (Tangentes: exterior e interior)


A partir de O', traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R-R+) e
outra reta a partir de O'' cuja medida é (R+R2).

23

Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R-R1) trace um arco e com a
ponta seca em O'' e raio (R+R2) trace outro arco.


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raio dado R trace a circunferência procurada que tangência interiormente a
circunferência de centro O' no ponto T1 e tangência exteriormente a
circunferência de centro O'' no ponto T2.

Agora coma ponta seca do compasso em O' e depois em O'' com abertura no
compasso igual a (R1-R) e (R2+R) respectivamente trace do lado de cima os
dois arcos que se cruzam.

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Ligue a intersecção dos arcos superiores aos centros O' e O'' encontrando
respectivamente os pontos T4 e T3.

raio dado R trace a outra circunferência procurada que tangencia interiormente
a circunferências de centro O' no ponto T4 e exteriormente a circunferência de
centro O'' no ponto T3.

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9. POR DOIS PONTOS DADOS, TRAÇAR DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
TANGENTES A UMA RETA DADA.

Sejam A e B os dois pontos dados por onde deverão passar duas
circunferências tangentes à reta r dada.

Ligue A e B e prolongue até encontrar o ponto P na intersecção com r.

Encontre a média geométrica PT' entre PB e PA: trace a mediatriz de PB
encontrando o ponto M.

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Com a ponta seca do compasso em M e raio MB ou MP construa uma semi-
circunferência.

Levante por A uma perpendicular encontrando o ponto T'.

A medida PT' será a média geométrica entre PB e PA.

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Marque a medida PT' a partir de P na reta r para a esquerda e para a direita
encontrando os pontos T1 e T2 respectivamente.

Trace a mediatriz do segmento BA que é uma corda da circunferência. Esta
mediatriz será o lugar geométrico dos centros das duas circunferências
procuradas.

Levante uma perpendicular por T1. Esta perpendicular será o lugar geométrico
do centro de uma das circunferências procuradas. Onde esta perpendicular
intersectar com a mediatriz de AB teremos o centro O1 de uma das
circunferências procuradas. Levante uma perpendicular por T2. Esta
perpendicular será o lugar geométrico do centro da outra circunferência
procurada. Onde esta perpendicular intersectar com a mediatriz de AB teremos
o centro O2 da outra circunferência procurada.

29

Com a ponta seca do compasso em O1 e abertura O1T1 trace uma
circunferência. Com a ponta seca do compasso em O2 e abertura O2T2 trace a
outra circunferência procurada.

Veja abaixo a resposta com as duas circunferências de centros O1 e O2 que
passam por A e B e tangenciam a reta r em T1 e T2 respectivamente.

30

10. TRAÇAR UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE A TRÊS OUTRAS
CIRCUNFERÊNCIAS DADAS

Sejam três circunferências dadas de centros O1, O2 e O3. Trace as tangentes
exteriores comum às circunferências de centros O1 e O2 encontrando
respectivamente os pontos de tangência (T1, T1') e (T2,T2').

Em seguida trace as tangentes exteriores comum às circunferências de centros
O2 e O3 encontrando respectivamente os pontos de tangência (T2'', T2''') e (T3,
T3'). Depois, trace as tangentes exteriores comum às circunferências de centros
O1 e O3 encontrando respectivamente os pontos de tangência (T1'', T1''') e (T3'',
T3''').

Em seguida, trace as retas Polares (T1,T1') e (T2,T2'). Ligue os centros das
circunferências O1 e O2 e prolongue o segmento além do centro O2 até a reta
atingir a polar T2T2' encontrando assim o segmento AB que liga uma polar à
outra.

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Trace a reta d1 dishomóloga (a mediatriz do segmento AB). Ligue os centros
das circunferências O2 e O3 e prolongue o segmento além do centro O2 até a
reta atingir a polar T2''T2''' encontrando assim o segmento CD que liga uma
polar à outra. Trace a dishomóloga d2 (mediatriz de CD).

Ligue os centros das circunferências O3 e O1 e prolongue o segmento além do
centro O3 até a reta atingir a polar T3''T3''' encontrando assim o segmento EF
que liga uma polar à outra. Trace a dishomóloga d3 (mediatriz de EF). As três
disshomólogas se encontram no ponto K.

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Ligue o ponto K às interseções das polares encontrando assim os pontos T5 T5'
T5'' (internamente) e os pontos T6 T6' T6'' (externamente) nas três
circunferências dadas. Obtemos os pontos de tangência T5 T5' T5'' da
circunferência tangente exterior às três circunferências dadas e os pontos T6 T6'
T6'' da circunferência tangente interior às três circunferências dadas.

Ligue os pontos T5 T5' T5'' construindo assim um triângulo. Depois ligue os
pontos T6 T6' T6'' construindo um outro triângulo. Traçar as mediatrizes dos
lados dos triângulos para encontrar os centros O4 e O5 das circunferências
tangentes.

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Temos então as duas circunferências tangentes (exterior e interior) às três

11. ACHAR O PONTO DE CONTATO DE UMA TANGENTE A UMA
CIRCUNFERÊNCIA.

Trace passando pelo centro uma reta normal (perpendicular à reta tangente
dada) encontrando assim, o ponto de tangência no cruzamento das duas.

34

12. DADO UM PONTO SOBRE UMA CIRCUNFERÊNCIA, TRAÇAR
UMA OUTRA, DE RAIO DADO, QUE LHE SEJA TANGENTE
EXTERIOR.

Seja o ponto A pertencente à circunferência de centro O dada. Traçar por A, a
reta normal (s) que passa pelo centro da circunferência dada.

Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual ao raio dado trace uma
circunferência que corte a reta normal s em P e P'. Com a ponta seca do
compasso em P e abertura PA trace a circunferência tangente exterior e com a
ponta seca em P' e mesma abertura trace a circunferência tangente interior.

35

13. CONSTRUIR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO QUE PASSE
POR UM PONTO P DADO E SEJA TANGENTE A UMA RETA DADA.

Seja o ponto T pertencente à reta (s) dada e o ponto T não pertencente à reta
(s). Ligue o ponto P ao ponto T.

Trace a mediatriz do segmento PT. Levante uma perpendicular à reta (s) pelo
ponto T.

Coloque a ponta seca do compasso em O e com abertura OT ou OP trace a
circunferência tangente à reta (s) no ponto T.

36

14. DESCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE ÀS TRÊS RETAS
QUE SE INTERSECTAM S, T, U.

Sejam a retas (s), (t) e (u) que se intersectam nos pontos A, B e C. Traçar as
bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC encontrando na intersecção o
ponto P.

Traçar pelo ponto P, retas perpendiculares aos lados do triângulo ABC, para
encontrar os pontos de tangência T1, T2 e T3 e assim descobrir o valor do raio
da circunferência.

37

15. DESCREVER CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES ENTRE SI E A
DUAS RETAS CONCORRENTES DADAS.

Sejam duas retas concorrentes no ponto O. Trace a bissetriz do ângulo AOB e
marque um centro qualquer O' na bissetriz.

Em seguida trace pelo ponto O’, retas perpendiculares aos lados do ângulo,
encontrando assim, os pontos de tangência T1 e T2. Depois trace a
circunferência de centro O' tangente às retas nos pontos T1 e T2.

16. CIRCUNSCREVER UM TRIÂNGULO A UMA CIRCUNFERÊNCIA
DADA, SABENDO-SE QUE OS PONTOS T1 E T3 DADOS
PERTENCENTES À CIRCUNFERÊNCIA DADA SÃO OS PONTOS DE
TANGÊNCIA DA CIRCUNFERÊNCIA COM O TRIÂNGULO.

Sejam três pontos T1, T2 e T3 pertencentes à circunferência dada. Ligar o centro
da circunferência aos pontos T1, T2 e T3 e prolongar, traçando assim, as retas
normais n1, n2 e n3.

38

Em seguida, traçar as perpendiculares a cada reta normal por cada ponto.

17. TRAÇAR UMA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA
QUE SEJA PARALELA A UMA RETA DADA.

Seja uma circunferência e uma reta exterior (s). Trace passando pelo centro
uma reta perpendicular à reta dada (s) encontrando o ponto B.

Trace uma paralela à reta dada pelo ponto B.

39

18. TRAÇAR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO, TANGENTE A
UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA, QUE SEJA SECANTE A UMA
RETA DADA, FORMANDO UMA CORDA DE COMPRIMENTO DADO.

Seja "R" o raio da circunferência dada que deve tangenciar a circunferência de
centro "O" dada e também intersectar a reta "s" dada formando com ela uma
corda "C" dada.

Desenhe separadamente o segmento AB = corda C.

40

Trace a mediatriz de AB encontrando o seu ponto médio M. Em seguida,
encontre o ponto C que é o centro da circunferência de raio R dado. Os lados
AC e BC são iguais a R dado.

Prolongue o raio da circunferência de centro O e nele, a partir da circunferência,
acrescente a medida do R dado encontrando o ponto W.

41

Trace a circunferência de raio OW que é o Lugar Geométrico do centro da

Trace uma reta paralela à reta "s" a uma distância igual a "R". Esta reta
paralela é o outro Lugar Geométrico do centro da circunferência procurada. No
cruzamento dos dois lugares geométricos (circunferência e paralela) teremos o
centro procurado. Entretanto, a circunferência e a reta paralela se intersectam
em dois pontos, então, teremos dois centros "E" e "F".

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Coloque a ponta seca do compasso nos pontos E, F e trace as duas
circunferências de raio R.

Veja a resposta: duas circunferências de centros: E, F e raio R que tangenciam
a circunferência de centro O e intersectam a reta s determinando duas cordas
de comprimento C.

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19. CONSTRUIR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO, QUE PASSE
PELO PONTO P DADO E CORTE UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA
FORMANDO UMA CORDA DE COMPRIMENTO DADO.

Seja R2 o raio da circunferência que deve passar por P dado e cortar a
circunferência de centro O1 dada formando nela uma corda de comprimento C
(AB) dado.

44

Trace os dois diâmetros da circunferência de centro O1 e prolongue.

Marque no diâmetro horizontal o segmento A'B' igual ao valor da medida da
corda AB.

45

Trace duas retas paralelas ao diâmetro vertical por A' e B' encontrando na
circunferência os pontos G e H.

Ligue os pontos G e H determinando assim a corda C na circunferência.

46

Com a ponta seca do compasso em G e H e abertura igual a R2 trace dois arcos
que se cruzam na reta que passa pelo diâmetro. Em seguida, coloque a ponta
seca do compasso em O1 e com abertura até o cruzamento dos arcos, trace
uma circunferência. Esta circunferência será o Lugar Geométrico do centro da

Coloque a ponta seca do compasso em P e com abertura igual a R2 trace uma
circunferência que será o Lugar Geométrico do centro procurado. Onde os dois
lugares geométricos se cruzam teremos os pontos C e D os quais serão os
centros das duas circunferências procuradas. Conclui-se que teremos duas
respostas: a circunferência de centro C e raio R2 e a circunferência de centro D
e raio R2.

47

Veja a resposta: duas circunferências de raio R2 dado, que passam por P e
determinam na circunferência de centro O1 dada, as cordas A''B'' e A'''B''' iguais
à corda AB dada.

48

20. INSCREVER NUMA CIRCUNFERÊNCIA DADA, QUATRO
CIRCUNFERÊNCIAS DE MESMO RAIO E TANGENTES ENTRE SI.

Seja a circunferência de centro O dada. Trace por O uma reta s. Trace por O
uma reta perpendicular à reta s.

Marque os pontos AC e BD nos quadrantes do círculo. Trace a bissetriz dos
ângulos AB e CD encontrando os pontos T e T2 respectivamente.

Trace as tangentes à circunferência pelos pontos T e T2. Elas determinam dois
triângulos. Trace as bissetrizes dos ângulos dos triângulos. Na intersecção das
bissetrizes teremos os pontos O2 e O3 que serão os centros de duas
circunferências inscritas e tangentes à circunferência dada. Coloque a ponta
seca do compasso em O2 e com abertura igual a O2T trace uma das quatro
circunferências procuradas. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso em
O3 e com abertura igual a O3T2 trace a segunda das quatro circunferências
procuradas.

49

Veja abaixo as duas circunferências encontradas. Repita o processo anterior
agora para os pontos T3 e T4.

Construa as bissetrizes dos outros dois triângulos e na intersecção encontre os
pontos O4 e O5. Construa as outras duas circunferências de centros O4 e O5.
Veja na resposta abaixo as quatro circunferências de mesmo raio, tangentes
entre si, inscritas e tangentes à circunferência dada.

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BIBLIOGRAFIA
BRAGA, Theodoro . Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p.

MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo:
Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.

RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho
Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

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