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b.2) Ajuste exponencial.
Utilizando as propriedades da exponencial e de seu inverso o logaritmo natural (ln).
b.2.1) Aj...
Gráfico obtido a partir do modelo encontrado:
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Fazendo b = bo , tem-se: b
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b.2.2) Ajuste exponencial com todos os pontos.
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Desta manerra a equaçao fica: y = , .e :
Gráfico obtido a partir do modelo encontrado:
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
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72
conhecimentos necessários, além do estudo individual. A modelagem levaria a uma
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ANEXOS
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ANEXO 1
Questionário aplicado no primeiro encontro
MODELAGEM MATEMÁTICA
Questionário
Ponta Grossa, de de 2003.
01) Quantos...
ANEXO 02
Transparências: utilizadas no primeiro encontro
MODELAGEM MATEMÁTICA
ÁTOMO DE BOHR, RATOS DE LABORATÓRIO, GISELE ...
r
Concluindo: A busca de modelos que condizem exatamente à realidade, onde as hipóteses
anteriores confrontando com dados ...
- MODELO 01
As funções são modelos matemáticos importantes e freqüentemente descrevem uma lei fisica.
Como exemplo, consid...
ÁREAS DE ATUAÇÃO DO ENGENHEIRO CIVIL
Construção civil: projeto e construção de imóveis
Estruturas e Fundações: projeto e c...
ANEXO 03 - Fotos do grupo de estudo, no laboratório
Foto 01
Foto 02
-
ANEXO 04
Foto 03: materiais - pedra, cimento e areia.
- ANEXO 05
Foto 04: Corpos de prova
ANEXO 06
Foto 05-Prensa hidráulica com o corpo de prova
r
S
G
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
(7ANASTÁCIO, Maria Queiroga.A. Tese de mestrado. UNESP. Rio Claro, 1991.
Associação Brasile...
r-
i
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  1. 1. 54 a p volume CONCRETO = ---- + +--=--- +x MECJMENTOME AREJA ME PEDRA (traço em massa) I dm%vo umeCONCRETO = 2,469 k d. ., g. .e· CImento Através da Regra de Três: 1Kg de cimento ~ 2,469 drrr' c ~ 21,2 dm3 k=8,6@ - cimento = 8,6 Kg - areia = 2,115 . 8,6 = 18,2 Kg - pedra = 2,654 . 8,6 = 22,8 Kg - água 1= 0,45 . 8,6 = 3,87 kg - água 2= 0,50 . 8,6 = 4,30 kg - água 3= 0,55 . 8,6 = 4,73 kg - água 4= 0,60.8,6 = 5,16 kg - água acrescentada = 0,05 . 8,6 = 0,430 Kg = 430g Tabela 04: Quantidade de materiais para resolver a situação Ilroblema, em Kg. ~ICimento areia pedra I água Traços I 1 (a) (p) (x) Traço 1 8,6 18,2 22,8 3,87 Traço 2 8,6 18,2 22,8 4,30 Traço 3 8,6 18,2 22,8 4,73 Traço 4 8,6 18,2 22,8 I 5,16 A tabela acima mostra a idéia da situação problema. Mantendo a quantidade dos materiais secos e acrescentando uma porção constante de água de 430 gramas para cada situação (que significa o acréscimo de água "inconsciente" pelo operário).
  2. 2. 55 o desenvolvimento acima visou o preparo dos 12 corpos de prova pelo professor e acadêmicos como parte da resolução da situação problema. Os sacos com materiais previamente separados e pesados foram misturados na betoneira (máquina de preparar o concreto) na seqüência: pedra, água, cimento e areia. Após a moldagem de cada três corpos a betoneira era lavada e novamente misturado os materiais na mesma seqüência. No decorrer das atividades surgiu a dúvida de quanto seria o volume de água numa situação real, quando normalmente para o preparo do concreto para grandes quantidades se faz tomando como padrão base o saco de 50 kg de cimento. Aproveitando a dúvida, o professor interrogou se possuíam alguma idéia de como os operários saberiam as exatas quantidades de materiais, sendo que na maioria das obras não é utilizada a balança. Para isso tem-se o item a seguir. Situação de obra a) Normalmente em obra considera-se o saco de cimento de 50 kg, como base da proporção. Sabe-se que para a situação acima 1 kg de cimento equivale a 430 kg de água, então para 50 kg de cimento equivale a quanto de água? Calcule as dimensões das caixas de materiais e o volume de água para a situação do saco de 50kg, através do traço: 1 : 2,115 : 2,654 : 0,45 Cálculos: cimento = 1 = 50Kg areia = valor do traço. 50 = 2,l15. 50 = 105,75 kg pedra = valor do traço. 50 = 2,654 . 50 = 132,70 Kg água = valor do traço. 50 = 0,45 . 50 = 22,5 Kg • Equivale de água = acrescentada. 50 = 0,05. 50 = 2,5 Kg ( ~ 2,5 litros de água ).
  3. 3. 56 . b) Você como Engenheiro/para facilitar o andamento dos trabalhos padrorúza caixas para o transporte dos materiais devem possuir as duas primeiras dimensões de 3 1{45cm respectivamente, e a terceira (altura = H) deve ser calculada de acordo com o volume a ser transportado. 135 x 45 x H I (em centímetros) Sabendo que a MUAREIA=I,458 Kg/drrr' e MUPEDRA=1,532 Kg/drrr'{Sern considerar a umidade da areia). Portanto: ,.... Cimento = um saco de cimento de 50 kg: massa volume=--- MU _m_a_s_s_a_= 105,75 = 7') 53dm3volume . = - _, areia MU. 1,458 areia massa volume d = --- pe ra MU pedra 132,70 = 86 62dm3 1,532 ' Dimensões: H caixa de areia = 72,53 -:-(3,5 x 4,5) = 46, 1 ~ 47 em H caixa de pedra = 86,62 -:-(3,5 x 4,5) = 55,0 em • Dimensões da caixa para areia: 35 x 45 x 47 cm • Dimensões da caixa para pedra: 35 x 45 x 55 cm -
  4. 4. 57 Tabela 04: Quantidade de materiais para um saco de 50 Kg. ~ cimento Areia Pedra água (1) (a) (p) (x) kg dnr' dnr' litros Traço 1 50 105,75 132,70 22,5 Traço 2 50 105,75 132,70 25,0 Traço 3 50 105,75 132,70 27,5 Traço 4 50 105,75 132,70 30,0 A tabela acima mostra a idéia da situação problema da obra. Mantendo a quantidade dos materiais secos e acrescentando uma porção constante de água de 2,5 litros para cada situação. Se o operário despejar 2,5 kg de água (proporcionalmente 2,5 litros de água) a mais, a resistência do concreto terá o mesmo comprometimento da situação calculada no item Moldagem dos corpos. Esse comprometimento será avaliado no próximo Contato. Quarto encontro o desenvolvimento desse encontro se deu no Laboratório de Materiais de Construção. Os 22 acadêmicos ficaram distribuídos nas quatro bancadas do laboratório. Para esse encontro dedicou-se 4 horas para o desenvolvimento das atividades. Os 12 corpos de prova previamente preparados permaneceram nas condições de cura inicial durante 48 horas. Após a desforma(retirar o bloco de concreto dos moldes metálicos), para a cura final, os corpos de prova foram conservados em água saturada de cal em temperatura d L23 ± 2° C até o instante do ensaio. f '?.J } Antes da realização do ensaio de compressão, os corpos de prova foram capeados com mistura quente de enxofre e materiais granulosos (por exemplo, calcário moído), a fim que suas faces se tornem planas e paralelas. -
  5. 5. 58 Os acadêmicos não participaram da desfonna, pois não seria importante prevendo o tempo gasto por essa etapa. O texto do parágrafo anterior foi lido e ao mesmo tempo mostrado os locais e materiais utilizados para o mesmo. Construção dos modelos matemáticos Após a explicação dos passos anteriores foi montada a seguinte tabela no quadro de giz. E assim foi dado inicio a ruptura dos corpos (ANEXO 05: Corpos de prova)e leitura dos valores na Prensa Hidráulica(ANEXO 06:.Foto 05 -Prensa hidráulica com o corpo de prova). Tabela 05: Leitura dos valores na prensa hidráulica. Tensão de Carga de Tensão de Tensão de água água Corpo ruptura Pontosruptura ruptura ruptura X X de prova MPa-média número (Kgf) (Kgf/cm") (MPa) dos valores 1 67000 379,15 37,2 0,45 0,05 2 66000 373,48 36,6 36,6 Pl 3 65000 367,82 36,1 1 54800 310,10 30,4 0,50 0,10 2 48600 275,02 27,0 28,0 P2 3 48000 271,62 26,6 1 43200 244,46 24,0 0,55 0,15 2 42700 241,63 23,7 22,7 P3 3 36800 208,24 20,4 1 33000 186,74 18,3 0,60 0,20 2 32400 183,35 18,0 17,6 P4 3 29600 167,50 16,4 Legenda das cores: - Maiores valores - Médios valores - Menores valores - Valores médios J,.......
  6. 6. 59 Os valores (Carga de ruptura) obtidos da prensa hidráulica são expressos em Kg e calculado a Tensão de ruptura (kgf/cm"), Para isso foi necessário comentar sobre o conceito de pressão estudada pelo francês Blaise Pascal que diz: pressão é um fenômeno fisico que resulta da ação de uma força sobre uma superficie. fiorça pressão = -, - area ou seja: p=F A I Como se tinha as dimensões do corpo de prova medida anteriormente(raio=r = 7,5cm) I e a carga de ruptura ou força peso foi obtida pela leitura na prensa e a superficie de atuação da carga pela prensa é a base do cilindro: A = 11:.r 2 . Calculou-se a tensão de ruptura em kgf/cm", Usualmente na engenharia se utiliza a unidade de medida Mega Pascal (MPa) para a tensão de ruptura. Para isso se divide a medida em kgf/cm" por 10,2. Quando no decorrer dos i comentários um aluno perguntou: Por que se divide por 10,2? ., F"J Para responder deu-se uma noção inicial e a partir daí {;,onstruído o desenvolvimento com os alunos da seguinte forma: - Para transformar kgf/cm" em N/m2 tem-se o seguinte desenvolvimento: p= F = C1RGA A AREA como: lkgf =9,8N lcm2 = 10-4 m' e N - Devido aos estudos do fisico Blaise Pascal: lPa = 1-, m- ficando
  7. 7. 60 Um Mega Pascal(lMPa) equivale a quantos k~ ? Pela regra de três tem-se: em Xx9,8x104 pa=1 k~ .106 Pa em 1 k~ ---+9,8x104 Pa em ~MPa=106 pa) X~lMPa kgf 1MPa = 10,2-2 em Após determinar as tensões em MPa foi calculada a média dos valores de cada conjunto de corpos (na última coluna da tabela 05). - Análise dos valores (pontos) resumidos da tabela 05: a) Os valores da tabela foram colocados entre eixos cartesianos, visando observar a situação de cada curva. ~ maiores valores ---- médios valores -j,- menores valores -+- valores médios - utilizado nos cálculos 40 .~- Ó 1«1 rn rn ec. E-o «I (.)0.. ,«I ~ .!! '>.(.) c: .(1) -rn rn e 20 +---------r-------~------=_~~~--~ 15 0,45 0,50 0,55 relação água-cimento x(l/kg) 0,60 Gráfico 04: Valores encontrados na leitura da prensa hidráulica Normalmente as médias dos valores são ideais para a construção do modelo matemático. Nesta prática não foi diferente. Então foi decidido o trabalho com os valores médios. Gráfico no item a seguir.
  8. 8. 61 Normalmente as médias dos valores são ideais para a construção do modelo matemático. Nesta prática não foi diferente. Então foi decidido o trabalho com os valores médios. Gráfico no item a seguir. É importante destacar a possibilidade de desenvolver modelos matemáticos para cada conjunto de valores, com o intuito de ampliar o exercício matemático e a discussão sobre os mesmos. Ficando essas situações como proposta de trabalho. b)Qual seria a função que melhor se adaptaria aos pontos encontrados? -+- valores médios - utilizado nos cálculos 40 35 30 -+------l-----=~_______l 25 20 -+-------+~~------r---------~~--~ 15 ~~~~~~~~~~~~~~~~~-+~~~--~~ 0,45 0,50 0,55 0,60 Gráfico 05: Valores(pontos) dos valores médios A dúvida maior foi entre a reta e a exponencial. Os grupos construíram os modelos da seguinte maneira: - b.l.l) ajuste linear com dois pontos extremos; - b.I.2) ajuste linear com todos os pontos; - b.2.I) ajuste exponencial- modo OI -corn dois pontos; - b.2.2) ajuste exponencial - modo 02 - com dois pontos; O ajuste exponencial com todos os pontos ( b.2.3) foi resolvido para os alunos, pois não se tratava da construção do modelo pelo raciocínio, mas sim por uma formulação apresentada em livros de cálculo numérico: b.2.3) ajuste exponencial com todos os pontos.
  9. 9. r 62 b.1) Ajuste linear. b.1.1) Ajuste linear com dois pontos extremos. r Equação do 10 grau: y = a.x +b r -dado os pontos: P1(0,05 ; 36,0) e P4(0,20 ; 17,6) -consideremos o sistema linear: { a.(0,05) + b : 36,0 a.(0,20) +b - 17,6 cuja solução é a = -126,67 b = 42,93 Chegando a :função que representa a curva: y = a.x+b y = -126,67.x + 42,93 Gráfico obtido a partir do modelo encontrado: • curva obtida na prática Ajuste linear - Dois pontos extremos 40 ~~~~~~~--~~~~~----~~~~~~ 0,45 0,50 0,55 0,60 Gráfico 06: Ajuste linear - Dois pontos extremos
  10. 10. r r b.1.2) Ajuste linear com todos os pontos. Resolvido por escalonamento. -a partir dos pontos: P1(0,05; 36,6), P2(0,1O;28,0), P3(0, 15;22,7) e P4(0,20 ; 17,6) a.(0,05) + b = 36,6 0,05 1 36,6 a.(0,10) + b = 28,0 0,10 1 28,0 a = -172,0 cuja solução é a.(0,15) +b = 22,7 0,15 1 22,7 b = 45,20 a.(0,20) + b = 17,6 0,20 1 17,6 a função que representa a curva é: y = a.x+b y = -172,0.x + 45,20 Gráfico obtido a partir do modelo encontrado: • curva obtida na prática Ajuste Linear - Todos os pontos 40 30 +-----------~~--------------------------~ 25 +---------~--------~~--------------~ 20 +---------------------------~~~----~ 0,45 0,50 0,55 0,60 Gráfico 07: Ajuste linear - Todos os pontos. 63
  11. 11. 64 b.2) Ajuste exponencial. Utilizando as propriedades da exponencial e de seu inverso o logaritmo natural (ln). b.2.1) Ajuste exponencial- modo 01 - com dois pontos. Equação do exponencial: y = b.e"" -a partir dos pontos: Pl(0,05 ; 36,0) e P4(0,20 ; 17,6) -com o sistema: { 36,6 = b.eoO ,05 17,6= b.eoO ,20 A = ln(17,6)-ln(36,6) A =-0,7321493 ou resolver assim A = ln(17,6) 36,6 A = -0,7321493 e" = 0,20 = 04808743 005 ', ou resolver assim e" = e" = 0,4808743 - cálculo de a: - cálculo de b: A a=-- 0,20 a = -3,6607467 b = 36,6 (17,6/36,6t,05 b = 37,9646592 b t: 37,965 a função que representa a curva é: y = b.e'" y = 37,965.e-3,6607467x
  12. 12. Gráfico obtido a partir do modelo encontrado: 65 • valores médios - utilizado nos cálculos • Po - ponto suposto -Ajuste exponencial- modo 01- com dois pontos 50 45~~------~~~----~~~~~~+-~------~ 40 +--~---"-~~..,.---1I---"-....,,..,.....~~--=.,,--ji 35+---~~~~~~~~~~~~~~+-~~~--~ 30 +-__~~--~~~~~~~~~----+_L-~~--~ 25 +-~~~~-r~~~~~~~~~~4-r-------~ 20 +-~~~--~~~~~~~~~--~+-~~-=~~ 15 +--=-~~~..,.---1~~~~~~~~~~~~~~~~~ 0,00 0,50 0,55 0,600,45 Gráfico 08: Ajuste exponencial- modo 01 - com dois pontos. Os valores encontrados através do modelo acima são muito semelhantes aos do modo 02 (próximo item), e para melhorar a continuidade da curva foi suposto o ponto Po, embora a situação seja impossível, pois está prevendo uma determinada (aproximadamente 46 MPa) resistência para uma mistura sem a presença de água. Mas mesmo assim é válida, para mostrar aos alunos que a curva realmente apresenta as características exponenciais, pOIS algumas vezes dependendo dos valores encontrados na modelagem (prática) não descrevem visualmente a exponencial, ficando mais próxima de uma reta. O prolongamento com a suposição do ponto Po , alerta os modeladores para os resultados fornecidos pelos modelos, que devem ser analisados quanto à validade dos valores encontrados. b.2.2) Ajuste exponencial- modo 02 - com dois pontos. Equação do exponencial: y=b.ea . x
  13. 13. 66 Fazendo b = bo , tem-se: b a.x Y= o·e como bo = 36,6 Y = 17,6 x = 0,20 substituindo em y = bo .eax tem-se: 17,6 = 36,6.eao,20 ln(17,6) = a.O 20 366 ', a = (-0,7321493/0,20) a = -3,6607467 portanto a função que representa a curva é: y = bo·e ax y = 36,6.e-3,6607467x Gráfico obtido a partir do modelo encontrado: • valores médios - utilizado nos cálculos - - - - Ajuste exponencial - modo 02 - com dois pontos 40 25 +---------~~---=-=--~~--------+---------~ 20 +----------+----------+-----~~~=---------. 0,45 0,50 0,55 0,60 Gráfico 09: Ajuste exponencial- modo 02 -com dois pontos.
  14. 14. 67 b.2.2) Ajuste exponencial com todos os pontos. Para a resolução foi utilizado o método dos mínimos quadrados. O grupos conheciam o método dos mínimos quadrados para a reta, ficando mais fácil o desenvolvimento para a exponencial. y = b.e'" ln y = ln(b.eOX ) lny = ln b + ln e"" lny = lnb +a.x.lne lny = lnb+a.x fazendo: lny=Y lnb=B a=A lne =1 com a linearização fica: Y = B + A.x Da teoria de ajustamento de curvas pelo Método dos mínimos quadrados, tem-se, para a regressão linear STARK (1979, p.37): n n n a'Lx/ +B'LXi = LXi·1nf(xJ i=1 i=1 i=1 n n a'Lxi + B.N = Llnf(Xi) i=1 i=l { 0,075.a+ 0,5.B = 1,5551574 0,5.a +4.B = 12,9225166 ( 0,075 0,5 0,5 4 1,5551574 J por escalonamento 12,9225166 a = -4,8125752 a solução fica B = 3,83220]0 ~ Inb = B b = e" = 46164,
  15. 15. 68 . - 46164 -48125752 Desta manerra a equaçao fica: y = , .e : Gráfico obtido a partir do modelo encontrado: 0,45 0,50 0,55 0,60 • curva obtida na prática - - - - Ajuste Exponencial - Todos os pontos Gráfico 10: Ajuste exponencial- todos os pontos. - Montar uma tabela comparando os valores da média da prática e os modelos obtidos: Agua média da Função do 10 grau Exponencial valor prática dois pontos todos OS dois pontos dois pontos todos os Nwnérico Extremos Pontos 1 2 pontos X y = - 126,67 + 42,93 y= - 172,0 + 42,20 Y=37,965.e3,6607x y =36,6.e3,6607x y = 46, 164.e4,8125x - - A B C D E 0,00 * impossível 42,93 45,20 37,97 36,60 46,16 0,05 36,60 36,60 36,60 31,61 30,48 37,45 0,10 28,00 30,27 28,00 26,33 25,38 30,39 0,15 22,70 23,93 19,40 21,92 21,14 24,66 0,20 17,60 17,60 10,80 18,26 17,60 20,00 - , Tabela 06: comparacão entre a média da prática e os modelos. * nao e possível preparar concreto sem a presença da agua Para a modelagem o resultado final (modelo ou tabela) é apenas uma das etapas no processo da resolução. Os alunos quando se deparam com a realidade problernatizada procuram a sua resolução, favorecendo a discussão (troca de informações entre elementos do
  16. 16. 69 grupo ), manipulação das ferramentas matemáticos somando e ampliando a relação do professor e aluno, melhorando a comunicação e formalização dos conceitos matemáticos. Ao analisar a tabela 06, comparando os valores encontrados na literatura da prensa hidráulica (média da prática) com os valores obtidos a partir dos modelos matemáticos desenvolvidos pelos grupos de trabalho, é possível obter algumas conclusões. Ao comparar os resultados numéricos obtidos pelos modelos com a média da prática, tem-se a classificação dos melhores modelos na ordem decrescente: A, E, C, B e D. Comentou-se para os alunos que essa prática com o concreto é desenvolvida de maneira diferente, no terceiro ano do curso de engenharia na disciplina de Materiais de Construção, sendo que na presente prática é alterada apenas a quantidade de água, e no curso de engenharia ocorre a alteração da quantidade de todos os materiais proporcionalmente. A importância desse comentário foi para deixar claro que é muito conhecido o processo químico intrínseco aos materiais, na formação de cristais responsáveis pela resistência do concreto que se dá num processo exponencial. Então os ajustes exponenciais certamente são os melhores, mas existem outras variáveis externas a serem consideradas e que em principio não deveriam existir pois alteram de alguma maneira os resultados, como: a manipulação das ferramentas, a escolha do traço inicial com relação a quantidade de água acrescentada entre outros. Os valores encontrados através do modelo A são muito próximos da média prática, encontrada na segunda coluna da tabela 06. Mas é importante destacar que os valores são apenas próximos para o intervalo de 0,05 < x < 0,20( da primeira coluna da tabela 06). Se for analisado para valores numéricos para x > 0,20, a proximidade dos valores deixa de ser válido pela linearidade da curva. Então, para o intervalo de valores estudados confia-se no modelo A e normalmente quando em uma situação prática em que o engenheiro necessita tomar uma decisão os modelos exponenciaís seriam os melhores, pois em necessárias previsões para x >0,20 são mais confiáveis. A apresentação da resolução do ajuste exponencial pelo método dos minimos quadrados (b.2.3) foi oportuna no momento em que as discussões e modelos desenvolvidos pelos alunos estavam concretizados. Nesse momento o professor de cálculo numérico poderia ampliar a situação para todos os ajustes de curvas possíveis, dinamizando aproveitando a busca da curva que melhor representaria a situação problematizada. r
  17. 17. 70 ,r-.. comprometida r- provocasse. '"""' r r- r-- r r- r> r- r--- r--- r r- r-- r' r' A presente prática veio se ajustar ao Caso 3, de modelagem, defendido por BARBOSA e citado neste trabalho na Tabela 01, no Capítulo II, em que partir de temas não- matemáticos, os alunos formulam e resolvem problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e simplificação das situações problema. Retomando as respostas (hipóteses) dos alunos transcritas no final do segundo encontro, quanto aos efeitos do excesso de água na mistura do concreto. Se analisada as respostas dos alunos no aspecto fisico, estão corretas porque sem dúvida o excesso de água: ... deixa o concreto mole. Outras hipóteses mais corretas encontradas: Compromete a qualidade do concreto. Compromete a resistência. Sem dúvida alguns dos alunos possuíam alguma noção sobre o assunto, mas ficou a dúvida: Em que proporção esse acréscimo de água comprometeria a qualidade do concreto? No sub-item Situação de obra, do Capítulo III mostra que a cada 2,5 litros de água (em relação a um saco de cimento de 50Kg) acrescentado por um pedreiro, sem o conhecimento técnico apropriado, prejudicaria de aproximadamente 6 MPa ou 600Kg1Jcm 2 (ver, Tabela 06)a resistência do concreto. Isto é, se for necessário em uma obra o concreto com resistência de 36,6 MPa para um determinado carregamento sobre a estrutura .f?e o pedreiro adicionar seis porções de 2,5 litros de água na mistura do concreto, .J para o traço dado, a resistência do concreto seria extremamente reduzida. A estrutura estaria e o engenheiro seria o responsável pelos possíveis danos que a obra
  18. 18. CONSIDERAÇÕES FINAIS A partir dessa pesquisa foi possível ampliar o conhecimento sobre a Modelagem matemática com o estudo bibliográfico possibilitando a partir daí o desenvolvimento de uma prática para os acadêmicos do curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Ponta Grossa. Inicialmente pretendia fazer apenas um estudo bibliográfico, mas a necessidade pessoal de mostrar para o calouro de engenharia a possibilidade de transpor as barreiras que nos mantêm presos ao método tradicional e melhorar o entendimento do porque da grande ----carga horária matemática dos primeiros anos do curso, aumentou a necessidade de um trabalho prático. A modelagem promove a interdisciplinaridade no curso supenor, principalmente nas áreas de tecnologia, mantendo o acadêmico consciente de onde e para onde está caminhando. Para que no final do curso saiba onde está! Porque muitas vezes o caminho de volta é muito longo e penoso. O primeiro obstáculo que a modelagem encontra infelizmente é o professor. Não porque o professor é uma pessoa má. Mas sim porque o professor é também um ser humano e o ser humano quando ensina algo para alguém diz sempre a seguinte frase: "No tempo dos meus avós era assim ...". Ou quando não lembra desta frase lembra do presente. Que bom até que enfim está pensando no presente, então agora vai melhorar! Vai melhorar não, está lembrando agora é do baixo salário. E as justificativas nunca terminam. A modelagem é sinônimo de inovação, quebra de paradigmas. É o momento do professor "arregaçar as mangas" e direcionar a formalização dos conceitos da maneira como deve ser, aos poucos, partindo da realidade do aluno. Quando se parte de uma realidade que não seja a sua, a situação se torna mais complicada. O professor necessita de um estudo mais ampliado, prevendo as situações que possam ocorrer durante a prática. Não para evitar que seja surpreendido. Mas sim para não perder a oportunidade de uma introdução a conceitos que serão à frente formalizados. A matemática trabalhada no curso de engenharia pode ser fundamentada com modelos voltados para a própria engenharia. Buscando em disciplinas técnicas como em: mecânica dos solos, teoria das estruturas, concreto armado, hidráulica e outros. Basta o professor quando não for engenheiro buscar junto aos demais professores das áreas especificas os
  19. 19. 72 conhecimentos necessários, além do estudo individual. A modelagem levaria a uma integração docente melhorando a relação entre as áreas de ensino, hoje distanciadas. Durante o desenvolvimento das atividades os alunos ficavam passivos esperando sempre a iniciativa do professor. Infelizmente o sistema de ensino esculpiu o aluno dessa maneira. A modelagem matemática é uma proposta metodológica que poderá remodelar o ensino, proporcionando a aproximação professor/aluno, coletando informações e simplificando as situações problema através de modelos matemáticos, não necessariamente pr-r- perfeitjmaiS próximos da realidade, valorizando também o processo de construção.
  20. 20. ANEXOS r
  21. 21. ANEXO 1 Questionário aplicado no primeiro encontro MODELAGEM MATEMÁTICA Questionário Ponta Grossa, de de 2003. 01) Quantos anos você completa no ano de 2003? 02) No período do ensino médio você estudou a maior parte do tempo, em escola pública ou particular? Fez curso pré-vestibular? 03) Foi aprovado no primeiro vestibular? Caso a resposta seja negativa, para qual curso prestou nas tentativas anteriores? 04) Qual a razão que o levou a optar pelo Curso de Engenharia Civil: a) afinidade d) não sei. b) por influência dos seus pais, tios, amigos. e)outras _ c) as duas alternativas anteriores 05) Qual a área da engenharia que você possui maior afinidade? a) construção civil b) saneamento c) estruturas e fundações d) transportes e) hidráulica f) projetos g) mecânica dos solos g) outra _ h) ainda não sei, pois comecei os estudos há pouco tempo. 06) Quais são suas expectativas quanto a metodologia de ensino das disciplinas matemáticas no curso de Engenharia? a) a mesma aplicada no ensino médio. b) a mesma aplicada nos cursos pré-vestibular. c)uma metodologia relacionando o conteúdo à futura vida profissional d) nenhuma expectativa diferenciada da tradicional, pois o modo ensinar matemática é sempre a mesma. e)outra _ r 07) Qual a influência do excesso d'água na mistura do concreto?
  22. 22. ANEXO 02 Transparências: utilizadas no primeiro encontro MODELAGEM MATEMÁTICA ÁTOMO DE BOHR, RATOS DE LABORATÓRIO, GISELE BUDCHEN O QUE É QUE ELES TÊM EM COMUM? Roberto J M Covofan e Li Li Min O átomo ~ é um modelo teórico O rato ~ é um modelo experimental Gisele ~ é um ilustre modelo do mundo da moda. 1- MODELOS TEÓRICOS 2- MODELOS EXPERIMENTAIS TEORIAS CIENTlFICAS: 1- MODELOS TEÓRICOS Na Química: no inicio do século XX a única partícula subatômica conhecida era o elétron a) Thompson formulou o primeiro modelo atômico "modelo do pudim de ameixas" teoricamente, ou seja, qualitativamente era consistente, mas experimentalmente (quantitativamente) indicava que deveria ser abandonado. b) Emest Rutherford (1911) fez uma série de brilhantes experimentos, entre elas emitiu partículas alfa sobre delgadas folhas de ouro, provando a existência do núcleo central com alta concentração de carga positivas e os elétrons estariam ao seu redor. Este modelo caiu devido à alta atração que o núcleo faria sobre os elétrons, colapsando sobre ele. c) Niels Bohr chegou à formulação do modelo mais avançado, os elétrons orbitando em tomo do núcleo. d) Mecânica quântica com os orbitais derruba a teoria anterior, pois não admite o conceito de trajetória. Mas abre caminho para a descoberta da estrutura do DNA. Um bom modelo teórico deve dar conta tanto dos aspectos qualitativos (teóricos) quanto dos resultados quantitativos obtidos em observações experimentais de um determinado fenômeno ou processo; Modelos teóricos concebidos a partir de certas observações experimentais eventualmente devem ser abandonadas em decorrência de outras observações com as quais entrem em conflito; Em geral modelos teóricos apresentam uma estrutura matemática por se apoiarem em leis naturais que são expressas em termos matemáticos,
  23. 23. r Concluindo: A busca de modelos que condizem exatamente à realidade, onde as hipóteses anteriores confrontando com dados experimentais fazem que novos modelos, mais aperfeiçoados e adequados apareçam. Quanto mais preciso e mais abrangente, ele passa a contribuir para formulação de uma teoria científica. Os modelos teóricos possibilitam a simulação de eventos neurológicos através de redes neurais inteligentes. Os modelos devem conter variáveis representando os fenômenos que acontecem na atmosfera, os processos de formação de nuvens, chuvas, ventos. O objetivo da modelagem é alcançar previsões cada vez mais confiáveis e de rápido acesso para a população e assim auxiliar no planejamento dos governos, alertando e evitando possíveis catástrofes. Devido às capacidades preditiva e comparativa, os modelos matemáticos estão ocupando uma posição muito importante na epidemologia contemporânea. 2- MODELOS EXPERlMENT AIS Os novos medicamento e terapias requerem provas que garantam uma margem de segurança mínima para a sua aplicação. Desta maneira, por motivos éticos, utilizam-se, outros vivos (não-humanos) que permitam a experimentação e/ou sirvam de modelos para o estudo de determinados sistemas biológicos. Os animais utilizados são os mais variados, sendo mais comum o camundongo, conhecido popularmente como "ratinho de laboratório" 3- MODELOS DE PASSARELA Modelos teóricos tem a base em conceitos e uma modelo certamente é portadora de conceitos. Os modelos não seriam modelos experimentais resultantes de mutações transgênicas? MODELAGEM MATEMÁTICA A modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo. O modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas. r A modelagem matemática é, assim, uma arte, ao formular, resolver e elaborar expressões que valham, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias.
  24. 24. - MODELO 01 As funções são modelos matemáticos importantes e freqüentemente descrevem uma lei fisica. Como exemplo, considere que uma bola é atirada verticalmente para cima, no instante t = O, com uma velocidade de 200 cm/s. Nesta situação, a velocidade da bola, em cm/s, como função do tempo é dada por v(t) = 200 - 96t. Assim, é correto afirmar que a altura máxima atingida pela bola ocorre: a) Menos de 2 s após o seu lançamento. b) Entre 2 se 2,5 s após o seu lançamento. c) Entre 2,6 s e 3 s após o seu lançamento. d) Entre 3,1 s e 3,5 s após o seu lançamento. e) Mais de 3,5 s após o seu lançamento. MODELO 02 Uma prefeitura que dispõe de uma verba que pode ser destinada à construção de casas populares ou a pavimentação de ruas. Se optar por investir em casas populares, poderá construir 300 casas, se optar por investir em pavimentação de ruas, a verba é suficiente para a pavimentação de apenas 150 km. Mas a verba pode ser destinada a outros planos. Fazendo uma pesquisa de preços junto a empreiteiras, chegou-se aos seguintes planos: Tabela Dados coletados junto a empreiteiras Kmde ruas Casas populares O 300 20 290 60 240 90 180 105 140 135 50 150 O -Mostrar o gráfico correspondente. -Qual a função que melhor descreve a curva? -Montar tabela comparando os dados reais e os dados com a equação obtida através do ajuste de curva.
  25. 25. ÁREAS DE ATUAÇÃO DO ENGENHEIRO CIVIL Construção civil: projeto e construção de imóveis Estruturas e Fundações: projeto e construção de barragens, canais, instalações hidráulicas para produção de energia elétrica, sistemas de irrigação e drenagem. Mecânica dos Solos: estudo da atmosfera, do solo e subsolo do local de uma obra. Saneamento: projeto e execução de obras de saneamento básico. Transportes: projeto, construção e manutenção de obras como ferrovias, rodovias e aeroportos. Confiabilidade nos modelos desenvolvidos. o Engenheiro quando modela uma determinada situação em uma determinada obra, pode ficar tranqüilo, pois poderá sempre utilizar a mesma "receita", ou seja, modelo para todas as situações em qualquer região, com qualquer material. Modelar significa qualidade Modelar significa economia Modelar significa rapidez
  26. 26. ANEXO 03 - Fotos do grupo de estudo, no laboratório Foto 01 Foto 02 -
  27. 27. ANEXO 04 Foto 03: materiais - pedra, cimento e areia.
  28. 28. - ANEXO 05 Foto 04: Corpos de prova
  29. 29. ANEXO 06 Foto 05-Prensa hidráulica com o corpo de prova r
  30. 30. S G REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (7ANASTÁCIO, Maria Queiroga.A. Tese de mestrado. UNESP. Rio Claro, 1991. Associação Brasileira de Normas Técnicas - NBR 12655. Concreto - Preparo, controle e recebimento. 7p, maio de 1996. BARBOSA, J. C. O que pensam os professores sobre Modelagem Matemática? Zetetiké, Campinas, v.7,n.11 ,p.67-85, jan./jun.1999. )lBARBOSA, J. C. Modelagem na educação Matemática: contribuições para o debate I _ eórico. In: REUNIAO ANUAL DA ANPED, 24., 2001. ARBOSA, J. C. Uma perspectiva para a Modelagem Matemática. ln; Anais do Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática. Rio Claro: Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2000. BARBOSA, 1. C. Mesa Redonda Matemática na Formação de Professores - I CNMEM, 1999. BEAN, Dale.O que é a modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, número 9, ano 8.p49. I BIEMBENGUT, M. S. Modelagem matemática e implicações no ensino-aprendizagem de matemática. Blumenau: FURB, 1999. 134p. !BURAK, D. Modelagem Matemática: ações e interpretações no processo de ensino- aprendizagem. Campinas: FE/UNICAMP, 1992.(Tese, Doutorado) BURAK, Dionísio. Uma experiência com a modelagem matemática. Revista Pró-Mat Paraná. Numero O'l.dez/ 98. Imprensa oficial, p32. - ( =
  31. 31. r- i r

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