TIR, VAL, PAYBACK

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ÍNDICE
INTRODUÇÃO .................................................................................................................................3
1. OBJECTIVOS................................................................................................................................4
1.1. Objectivo geral ............................................................................................................................4
1.2. Objectivos específicos ..................................................................................................................4
2. Metodologia ...................................................................................................................................4
3. ANÁLISE DE INVESTIMENTO....................................................................................................5
3.1. VPL (VAL) – Valor Presente Líquido ou Valor Actual Líquido ......................................................6
3.2. Exemplo ......................................................................................................................................7
3.3. Fórmula ......................................................................................................................................8
3.4. Formas de análise.........................................................................................................................9
3.5. Análise através do valor actual líquido – VAL...............................................................................9
3.6. EXERCÍCIOS............................................................................................................................11
4. ANÁLISE ATRAVÉS DA TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR..............................................12
4.1. Taxa interna de retorno (tir) ........................................................................................................12
5. ANÁLISE ATRAVÉS DOPAYBACK..........................................................................................15
5.1. Análise através dos índices financeiros ........................................................................................15
5.2. Os índices de endividamento da empresa.....................................................................................16
Conclusão ........................................................................................................................................17
Bibliografia ......................................................................................................................................18

3
INTRODUÇÃO
A análise de investimentos tem-se revelado como uma das áreas das Finanças Empresariais em
crescimento, quer pelos rápidos avanços tecnológicos, quer pelos incentivos ao investimento. As
empresas utilizavam essencialmente critérios não sofisticados, também designados por métodos
empíricos ou então, critérios não financeiros, como sejam, os aspectos mais qualitativos da
avaliação dos projectos, como: estratégia, flexibilidade e potencial de crescimentos futuros.
Os critérios sofisticados, também designados de métodos científicos. Com o trabalho de Irving
Fisher, nesse mesmo ano, aparece o conceito de valor presente do capital, noção equivalente a
valor actual líquido (VAL), e só em 1951 é que aparecem as primeiras referências à taxa interna
de rendibilidade (TIR).
A investigação teórica defende a utilização de critérios sofisticados, baseados no desconto dos
cash-flows. Mais concretamente o VAL, por mostrar o valor a criar com o projecto, no
pressuposto de que as empresas ou promotores pretendem a maximização do valor da empresa.
No entanto, em termos práticos, as empresas parecem não seguir as técnicas defendidas pelos
académicos.

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1. OBJECTIVOS
1.1. Objectivo geral
 Destacar as formas e os impactos gerados pelos projectos de investimentos no que
concerne a análise de investimentos.
1.2. Objectivos específicos
 Apresentar os conceitos fundamentais de Gerenciamento de Projectos;
 Apresentar e operacionalizar os conceitos de controlo do projecto usando os indicadores
do Método do Valor Agregado – Earned Value Analysis / Management;
 Apresentar e operacionalizar os conceitos de aceleração e nivelamento dos recursos de
projectos usando o cronograma físico-financeiro;
 Analisar o valor do dinheiro no tempo;
 Apresentar e operacionalizar os conceitos de alavancagem operacional e ponto de
equilíbrio operacional.
2. Metodologia
Para elaboração deste trabalho foi feito uma revisão bibliográfica. Onde foi usado o método
indutivo, que é um método responsável pela generalização, isto é, partimos de algo particular
para uma questão mais ampla, mais geral.
Para Lakatos e Marconi (2007:86), Indução é um processo mental por intermédio do qual,
partindo de dados particulares, suficientemente constatados, infere-se uma verdade geral ou
universal, não contida nas partes examinadas. Portanto, o objectivo dos argumentos indutivos é
levar a conclusões cujo conteúdo é muito mais amplo do que o das premissas nas quais nos
baseio.

5
3. ANÁLISE DE INVESTIMENTO
O objectivo deste trabalho é de explanar as características da análise de investimento, assim
como, as formas e ferramentas utilizadas com esse propósito. Embora existam diversas técnicas
para a análise de investimento, ater-se-á às mais difundidas na bibliografia específica e mais
utilizadas pelos gestores financeiros. A análise de investimento reside no emprego de técnicas
específicas oriundas dos princípios financeiros com o objectivo de identificar a melhor opção
entre diferentes possibilidades de investimento. Tecnicamente a análise se fundamenta em
equações que tenham como objectivo específico identificar e mensurar se existe ou não
viabilidade em um determinado investimento, ou seja, se existe ou não rentabilidade e, caso
exista, quão rentável o é.
O conceito de análise de investimento pode hoje ser um conjunto de técnicas que permitem a
comparação entre resultados de tomada de decisões referentes a alternativas diferentes de uma
maneira científica. (Kuhnen e Bauer, 2001, p. 389).
Sendo assim, é correcto afirmar que a análise de investimento consiste em uma ferramenta
fundamental e indispensável ao investidor com o propósito de demonstrar se pode ou não realizar
o investimento em questão. Isso se faz importante uma vez que pode minimizar os riscos da
operação. Evidentemente que não se pode tratar de análise de investimento sem considerar o
risco. De acordo com Gitman (2004, p. 184) “fundamentalmente, risco é a possibilidade de perda
financeira. Os activos considerados mais arriscados são os que oferecem maiores possibilidades
de perda financeira.”
Sendo assim, conclui-se que o risco é inerente ao investimento, ou seja, não existe operação de
investimento sem risco. Por outro lado, também é correcto afirmar que quanto maior a
possibilidade de ganho/retorno, maior é o risco associado ao investimento.

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3.1. VPL (VAL) – Valor Presente Líquido ou Valor Actual Líquido
O valor presente líquido (VPL), também conhecido como valor actual líquido (VAL) ou
método do valor atual, é a fórmula matemático-financeira capaz de determinar o valor presente
de pagamentos futuros descontados a uma taxa de juros apropriada, menos o custo do
investimento inicial. Basicamente, é o cálculo de quanto os futuros pagamentos somados a um
custo inicial estariam valendo actualmente. Temos que considerar o conceito de valor do
dinheiro no tempo, pois, exemplificando, 1 milhão hoje não valeriam R$ 1 milhão daqui a uma
ano, devido ao custo de oportunidade de se colocar, por exemplo, tal montante de dinheiro na
poupança para render juros. É um método padrão em:
 Contabilidade gerencial: para a conversão de balanços para a chamada demonstrações
em moeda constante, quando então se tenta expurgar dos valores os efeitos da inflação e
das oscilações do câmbio. Também é um dos métodos para o cálculo do goodwill,
quando então se usa o demonstrativo conhecido como fluxo de caixa descontado;
 Finanças: para a análise do orçamento de capitais - planeamento de investimentos a
longo prazo. Usando o método VPL um projecto de investimento potencial deve ser
empreendido se o valor presente de todas as entradas de caixa menos o valor presente de
todas as saídas de caixa (que iguala o valor presente líquido) for maior que zero. Se o
VPL for igual a zero, o investimento é indiferente, pois o valor presente das entradas é
igual ao valor presente das saídas de caixa; se o VPL for menor do que zero, significa que
o investimento não é economicamente atractivo, já que o valor presente das entradas de
caixa é menor do que o valor presente das saídas de caixa.
Para cálculo do valor presente das entradas e saídas de caixa é utilizada a TMA (Taxa Mínima de
Atratividade) como taxa de desconto. Se a TMA for igual à taxa de retorno esperada pelo
accionista, e o VPL > 0, significa que a decisão favorável à sua realização. Sendo o VAL
superior a 0, o projecto cobrirá tanto o investimento inicial, bem como a remuneração mínima
exigida pelo investidor, gerando ainda um excedente financeiro. É, portanto, gerador de mais
recursos do que a melhor alternativa ao investimento, para um nível risco equivalente, uma vez
que a taxa de actualização reflecte o custo de oportunidade de capital. Estamos perante um
projecto economicamente viável. Desta maneira, o objectivo da corporação é maximizar a

7
riqueza dos accionistas, os gerentes devem empreender todos os projectos que tenham um VPL >
0, ou no caso se dois projectos forem mutualmente exclusivos, deve escolher-se o com o VPL
positivo mais elevado.
Se o VAL = 0 – Ponto de indiferença. No entanto, dada a incerteza associada à estimativa dos
cash flows que suportaram a análise, poder-se considerar elevada a probabilidade de o projecto
se revelar inviável.
Se o VAL < 0 – Decisão contrária a sua realização. Estamos perante um projecto
economicamente inviável.
Na análise de dois ou mais projectos de investimento: Será preferível aquele que apresentar o
VAL de valor mais elevado. No entanto, há que ter em consideração que montantes de
investimento diferentes, bem como distintos horizontes temporais, obrigam a uma análise mais
cuidada.
3.2. Exemplo
A corporação X deve decidir se vai introduzir uma nova linha de produto. O produto novo terá
custos de introdução, custos operacionais, e fluxos de caixa entrantes durante seis anos. Este
projecto terá uma saída de caixa (t=0) imediata de R$125.000 (que pode incluir as máquinas,
equipamentos, e custos de treinamento de empregados). Outras saídas de caixa são esperadas do
1º ao 6º ano no valor de R$25.000 ao ano. As entradas de caixa esperam-se que sejam de
R$60.000 ao ano. Todos os fluxos de caixa são após pagamento de impostos, e não há fluxo de
caixa esperado após o sexto ano. A TMA é de 12% ao ano, segue abaixo o cálculo do valor
presente líquido para cada ano.
T=0 -125.000 / 1,12^0 = -125.000 VP (Valor Presente)..
T=1 (60.000 - 25.000)/ 1,12^1 = 31.250 VP.
T=2 (60.000 - 25.000)/ 1,12^2 = 27.902 VP.
T=3 (60.000 - 25.000)/ 1,12^3 = 24.912 VP.
T=4 (60.000 - 25.000)/ 1,12^4 = 22.243 VP.

8
T=5 (60.000 - 25.000)/ 1,12^5 = 19.860 VP.
T=6 (60.000 - 25.000)/ 1,12^6 = 17.732 VP.
A soma de todos estes valores será o VPL (Valor Presente Líquido), o qual é igual a 18.899.
Como o VPL é maior que zero, a corporação deveria investir neste projecto. Logicamente que
em uma situação real, seria necessário considerar outros valores, tais como, cálculo de impostos,
fluxos de caixa não uniformes, valores recuperáveis no final do projecto, entre outros.
Utilizando uma calculadora financeira e considerando-se uma TMA de 10% ao ano, encontramos
para o projecto de investimento P um Valor Presente Líquido de R$27.434,12. Se considerarmos
uma TMA de 17.19% ao ano, o Valor Presente Líquido do Projecto será zero. Para uma TMA de
0%, o lucro económico periódico se confunde com o lucro contábil periódico e o valor presente
líquido é igual ao somatório dos lucros contábeis periódicos.
3.3. Fórmula
O valor presente líquido para fluxos de caixa uniformes, pode ser calculado através da seguinte
fórmula, onde t é a quantidade de tempo (geralmente em anos) que o dinheiro foi investido no
projecto (começa no ano 1 que é quando há efectivamente o primeiro ex fluxo de dinheiro), n a
duração total do projecto (no caso acima 6 anos), i o custo do capital e FC o fluxo de caixa
naquele período.
Se a saída do caixa é apenas o investimento inicial, a fórmula pode ser escrita desta maneira: Em
que representa os valores dos fluxos de caixa de ordem "j", sendo j = 1, 2, 3, n;
representa o fluxo de caixa inicial e "i" a taxa de juro da operação financeira ou a taxa interna de
retorno do projecto de investimentos.

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3.4. Formas de análise
As formas de análise mais difundidas e mais utilizadas são:
 Análise do Valor Presente Líquido – VPL
 Análise da Taxa Interna de Retorno – TIR
 Análise do Pay-Back
 Análise dos Índices Financeiros
 Economic Value Added (EVA®) – Valor Económico Adicionado (VEA)
3.5. Análise através do valor actual líquido – VAL
A análise do valor presente líquido, ou NPV (Net Present Value) na expressão em inglês, trata-se
de uma técnica onde os saldos de caixa futuros de um empreendimento são descontados a valor
presente considerando-se uma determinada taxa de juros. Em resumo, o cálculo do valor presente
líquido traz ao valor actual os saldos de caixa projectados.
O método do valor presente líquido (VPL) analisa as propostas de investimento de capital
comparando o investimento de caixa inicial e o valor presente dos fluxos de caixa líquidos. A
taxa de juros (retorno) utilizada nas análises de valor presente líquido é estabelecida pela
gerência. Essa taxa em geral baseia-se em factores como natureza do negócio, objectivo do
investimento, custo dos fundos de garantia para o investimento e taxa de retorno mínimo
desejável. (Reeve e Fess, p. 356).
O resultado do cálculo do valor presente líquido deve ser interpretado da seguinte forma:
Quando o VPL for menor que zero, o investimento é inviável, isso porque os resultados de caixa
futuros não serão suficientes para remunerar e recuperar o capital investido, pelo contrário, nesse
caso, o rendimento será negativo apresentado perda de recursos. Se igual a zero, é indiferente,
pois também não será capaz de remunerar o investimento, mas não ocorrerá perda do capital
investido.
Por outro lado, quando o valor presente líquido for maior do que zero, afirma-se que o
investimento é viável, pois será capaz de garantir e remunerar o capital investido.

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VALOR PRESENTE LíQUIDO ( VPL ) E TAXA INTERNA DE RETORNO ( TIR )
Imagine o seguinte fluxo de caixa. Este investimento prevê saídas de recursos (sinal
negativo) e entrada de recursos ( sinal positivo).
Anos
R$ 0 1 2 3 4
Entradas (1) - 5 25 25 29,33
Saídas (2) 30 20 5 - -
Saldo (1) - (2) - 30 - 15 20 25 29,33
Considerar taxa de juros de 8% aa,
0 1 2 3 4
VAL = R$ 14,66
Ou seja, o investimento feito à taxa de juros do mercado, oferece uma remuneração de R$ 14,66
de lucro na data focal 0. Quanto maior o valor atual positivo, mais compensador é o
investimento. Por outro lado, se o valor atual for negativo, quanto maior seu valor mais prejuízo
dará o resultado do investimento. Se alterarmos a taxa de juros do investimento, alterará o valor
atual do investimento acima. Desta forma devemos procurar uma taxa de juros que torne o valor
atual nulo. A esta taxa de juros denomina-se Taxa de Retorno do investimento.
Se calcularmos o valor atual conforme variamos a taxa obteremos:
Taxa ( % aa ) Valor atual ( mt )
0 29,33
10 11,71
20 0,00
30 - 8,06
40 - 13,77
Como pode-se verificar na tabela o valor atual passa de positivo para negativo entre as taxas de
10% aa e 30% aa.
29,33
25
20
-
15
-30

11
Devemos através de sucessivas tentativas encontra a taxa que mais aproxima o valor atual a zero
adotando a seguinte técnica
TR – 30 = ____ 0 - 8,06__
10 - 30 11,71 – ( - 8,06) TR = 21,85
Calculamos novo Valor atual. V1 = - 1,71
Substituímos na fórmula acima, e assim sucessivamente até que o valor atual se aproxime a zero.
A taxa final obtida ficará em torno de 20% aa.
Na decisão de investimento devemos escolher aquele que dê a maior taxa de retorno ou Taxa
interna de retorno.
3.6. EXERCÍCIOS
Um investimento foi realizado da seguinte forma: um valor inicial de 2.047,00, dois desembolsos
anuais de 300,00. Este investimento gerou um retorno de 1.000 durante 5 anos consecutivos.
Nestas condições determine:
a) VPL para a taxa mínima de atratividade de 5% aa.
b) VPL para a taxa mínima de atratividade de 30% aa.
c) A TIR.
Resp: a) 1.322,14
b) - 1.014,00
1000
$ 300
$ 2.047
0 1 2 3 4 5 6 7

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4. ANÁLISE ATRAVÉS DA TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR
A taxa interna de retorno (TIR ou IRR internal rate of return) é a taxa que iguala o valor presente
líquido a zero, ou seja, reflecte o ganho real a ser auferido no investimento. Por isso, afirma-se
que sua utilização e interpretação estão directamente associadas a análise do valor presente
líquido. Conforme Warren, Reeve e Fess (2001, p. 358) “ o método da taxa interna de retorno
utiliza os conceitos de valor presente para calcular a taxa de retorno dos fluxos de caixa líquidos
esperados nas propostas de investimento”
O cálculo manual da taxa interna de retorno é uma tarefa complexa de tentativa e erro, mas pode
ser resolvida através do emprego de calculadoras financeiras e aplicativos informatizados.
Gitman (2004).
A interpretação do resultado da taxa interna de retorno consiste na sua comparação com o custo
de capital ou taxa de retorno desejada. Quando a taxa interna de retorno é menor do que uma
dessas taxas, se entende que o investimento não é viável, e, por outro lado, quando é maior,
considera-se o investimento viável.
4.1. Taxa interna de retorno (tir)
A Taxa Interna de Retorno é a taxa de desconto que iguala o valor actual líquido dos fluxos de
caixa de um projecto a zero. Em outras palavras, a taxa que com o valor actual das entradas seja
igual ao valor actual das saídas.
Para fins de decisão, a taxa obtida deverá ser confrontada a taxa que representa o custo de capital
da empresa e o projecto só deverá ser aceito quando a sua taxa interna de retorno superar o custo
de capital, significando que as aplicações da empresa estarão rendendo mais que o custo dos
recursos usados na entidade como um todo.

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Seu cálculo na HP 12C será registado a partir da seguinte linha de raciocínio :
O valor do ano 0 CHS G CF0, os valores dos anos 1 a 10 seguidos de G CFJ e depois F IRR.
EXEMPLO: RESOLUÇÃO (HP 12C):
ANO
FLUXO DE CAIXA (R$)
1 666.560,00
2 666.560,00
3 777.598,00
4 807.598,00
5 888.792,00
6 888.792,00
7 888.792,00
8 888.792,00
9 888.792,00
10 888.792,00
Há uma íntima relação entre esses dois objetos matemáticos, sendo que as considerações
sobre eles devem resultar de análise invertidas quando se tratar de Investimentos ou
Financiamentos. A razão desta inversão é que alguém, ao realizar um Investimento de capital
espera ampliar o mesmo, ao passo que ao realizar um Financiamento de um bem espera
reduzir a aplicação.
Em um Investimento, se VPL for positivo, a Taxa Real (TIR) é maior do que a Taxa de
Mercado, se VPL for negativo, a Taxa real (TIR) é menor do que a Taxa de Mercado e se
VPL=0 então a Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (TIR).
F FIN
666.560,00 CHS G CFo
666.560,00 G CFJ
777.598,00 G CFJ
807.598,00 G CFJ
888.792,00 G CFJ
6 G NJ
F IRR 110,09 %

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Conclusão: Em um Investimento, se VPL é maior então a Taxa (TIR) também é maior. Em
um Financiamento, se VPL for positivo, a Taxa Real TIR é menor do que a Taxa de Mercado,
se VPL for negativo, a Taxa real TIR é maior do que a Taxa de Mercado e se VPL=0, então a
Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (TIR). Conclusão: Em um Financiamento, se
VPL é maior então a Taxa (TIR) é menor. Estas duas análises podem ser reduzidas ao quadro
abaixo.
VPL TIR do Investimento TIR do Financiamento
Igual a 0 Igual à Taxa de mercado Igual à Taxa de mercado
Positivo Maior que a Taxa de mercado Menor que a Taxa de mercado
Negativo Menor que a Taxa de mercado Maior que a Taxa de mercado
A TIR é uma das mais importantes alternativas para o cálculo de um orçamento de capital
além do VPL. Pode-se conceituar a TIR como a taxa de juros ganha em um investimento.
A diferença básica entre o cálculo do VPL e da TIR é que o VPL tem seu resultado expresso
em valores monetários e a TIR em percentuais. Devido a isso, a TIR é considerada mais fácil
de entender do que o VPL.
Para um melhor entendimento do significado da TIR, como exemplo, pode-se citar um projeto
que custa R$100mil hoje e pagará R$110 daqui a um ano. A pergunta que se faz é: “Qual a
taxa interna de retorno desse investimento?” A resposta seria 10%, ou seja, para cada R$
aplicado, teria o retorno de R$1,10.
Dessa forma, a TIR é de 10%, portanto podemos dizer que a regra da TIR é um investimento
aceitável se a TIR for superior ao retorno exigido. Do contrário, o projecto deve ser
descartado.

15
5. ANÁLISE ATRAVÉS DO PAYBACK
O payback é o período de tempo necessário para que se recupere o investimento inicial em um
projecto e/ou empreendimento, onde é calculado a partir das entradas de caixa. Gitman (2004).
A análise do payback é considerada uma técnica não muito sofisticada porque não leva em
consideração o valor do dinheiro no tempo. Uma maneira de aprimorar a análise do payback é
trazer os saldos futuros de caixa ao valor presente, o que se chama de análise de payback
descontado.
No que tange aos critérios de decisão a partir do payback Gitman (2004, p. 339) afirma que “se o
período de payback for menor que o período máximo aceitável de recuperação, o projeto será
aceito. Se o período de payback for maior que o período máximo aceitável de recuperação, o
projecto será rejeitado.”
Assim, é possível observar que a análise através do payback deve levar em conta o fluxo de caixa
descontado, para que não resulte em informações desprovidas da realidade ou errôneas. A
justificativa em considerar os fluxos de caixa descontados reside no princípio de que o dinheiro
tem seu valor determinado em função do tempo, ou seja, o juro. Analisar o payback da maneira
simples é desconsiderar os custos inerentes à manutenção do capital, o que pode disfarçar a
verdadeira conclusão da viabilidade ou não do investimento.
5.1. Análise através dos índices financeiros
A análise através dos índices financeiros consiste em avaliar, através das demonstrações
financeiras, medidas de desempenho que mensurem a situação económica e financeira de uma
determinada empresa num dado período, normalmente um ano. A partir dos saldos dos grupos de
contas e resultados da empresa, se pode avaliar o desempenho, ou mensurá-lo, para um projecto
a ser implantado, em execução ou já realizado.
Esta técnica estabelece indicadores que têm como propósito evidenciar o grau de liquidez, o
endividamento, a eficiência da actividade, a estrutura patrimonial e a rentabilidade da
organização em análise.

16
Os índices financeiros, além de servirem como significativa ferramenta de análise para avaliar
investimentos, também são muito utilizada por terceiros que apresentem interesse em oferecer
recursos às organizações, como, por exemplo, instituições financeiras, fornecedores e
investidores.
Matarazo (1998, p. 17) enfatiza que “a análise de balanços objetiva extrair informações das
demonstrações financeiras para a tomada de decisões”.
Gitman (2006, p. 42) afirma que “as informações contidas nas demonstrações financeiras são
importantes para diversos grupos que necessitam construir medidas relativas da eficiência
operacional da empresa’. Na prática a análise das demonstrações financeiras transforma os dados
nelas contemplados em informações que serão utilizadas na tomada de decisão. (Matarazzo,
1998).
Os índices que medem o grau de liquidez são divididos em liquidez seca, corrente e geral, e são
calculados a partir das contas do activo e passivo circulante e não circulante.
5.2. Os índices de endividamento da empresa
O índice de endividamento geral mede a proporção de recursos de terceiros que financiam o
activo total da empresa. Quanto menor, for o endividamento, menor o risco que a empresa estará
oferecendo aos capitais de terceiros.

17
Conclusão
O trabalho teve o objectivo de evidenciar os principais aspectos críticos dos métodos
quantitativos de análise de investimentos. Foram considerados no estudo os métodos do fluxo de
caixa descontado mais utilizados pelas empresas: valor presente líquido, taxa interna de retorno e
índice de lucratividade.
Pela sua grande simplicidade e ampla utilização prática, foram também efectuadas algumas
discussões sobre o período de 'payback". Diante das limitações técnicas bastante conhecidas, foi
proposto que o seu uso fosse feito em valores de caixa actualizados.
Para os métodos de fluxo de caixa descontado, tecnicamente mais correctos, prevalece, na
maioria dos casos, a superioridade do valor presente líquido. No entanto foi discutida uma
situação em que o índice de lucratividade produz informações mais completas, principalmente
diante de restrições orçamentárias.

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Bibliografia
CATELLI, Armando. Controladoria: uma abordagem da gestão económica – GECON. 2. ed. –
São Paulo: Atlas, 2001.
GITMAN, Lawrence J., MADURA, Jeff. Administração financeira: uma abordagem gerencial.
São Paulo: Addison Wesley, 2003.
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração financeira. São Paulo: Addison Wesley,
2004.
HANSEN, Don R., MOWEN, Maryanne M, Gestão de custos. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2001.
IUDÍCIBUS, Sérgio de. MARTINS, Elise. GELBCKE, Ernesto Rubens. Manual de
contabilidade das sociedades por ações. 6. ed. - São Paulo: Atlas, 2003.
KUHEN, Osmar Leonardo, BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira aplicada e análise
de investimentos. 3. ed. – São Paulo: Atlas, 2001.

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