Asdl emmendes a1 fundamentos de sinais e sistemas

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Asdl emmendes a1 fundamentos de sinais e sistemas

  1. 1. Cap´tulo 1 - Fundamentos de Sinais e Sistemas ıEduardo Mendes (baseado nas notas de aula ECE 222) emmendes@cpdee.ufmg.br Departamento de Engenharia Eletrˆ nica o Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antˆ nio Carlos 6627, Belo Horizonte, MG, Brasil o – p.1/143
  2. 2. ¸˜MotivacaoUm dos problemas mais simples discutidos na literatura de ´sistemas e o sistema massa-mola. Considere, portanto, oseguinte sistema massa-mola. ´ ¸˜ Qual e a equacao dinˆ mica de sistema? a – p.2/143
  3. 3. ¸˜MotivacaoUm dos problemas mais simples discutidos na literatura de ´sistemas e o sistema massa-mola. Considere, portanto, oseguinte sistema massa-mola. ´ ¸˜ Qual e a equacao dinˆ mica de sistema? a ¸˜ Que tipo de informacao ela possui? – p.2/143
  4. 4. Massa-Mola ¸˜ ´ Para encontrar a equacao dinˆ mica do sistema e preciso a aplicar a segunda Lei de Newton, ou seja: m¨ = y forcas = −ky + mg ¸ m¨ + ky y = mg – p.3/143
  5. 5. Massa-Mola ¸˜ ´ Para encontrar a equacao dinˆ mica do sistema e preciso a aplicar a segunda Lei de Newton, ou seja: m¨ = y forcas = −ky + mg ¸ m¨ + ky y = mg ´ A forca gravitacional e compensada pelo deslocalamento ¸ ˜ ¸˜ δ. Podemos, entao, escrever a equacao como: m¨ + k(x + δ) = mg x – p.3/143
  6. 6. Massa-Mola ¸˜ ´ Para encontrar a equacao dinˆ mica do sistema e preciso a aplicar a segunda Lei de Newton, ou seja: m¨ = y forcas = −ky + mg ¸ m¨ + ky y = mg ´ A forca gravitacional e compensada pelo deslocalamento ¸ ˜ ¸˜ δ. Podemos, entao, escrever a equacao como: m¨ + k(x + δ) = mg x ¸˜ ˙ Na equacao acima y = x + δ, logo y = x + δ = x e ˙ ˙ ¨ ¨ y =x+δ =x¨ – p.3/143
  7. 7. Massa-Mola ¸˜ ´ Para encontrar a equacao dinˆ mica do sistema e preciso a aplicar a segunda Lei de Newton, ou seja: m¨ = y forcas = −ky + mg ¸ m¨ + ky y = mg ´ A forca gravitacional e compensada pelo deslocalamento ¸ ˜ ¸˜ δ. Podemos, entao, escrever a equacao como: m¨ + k(x + δ) = mg x ¸˜ ˙ Na equacao acima y = x + δ, logo y = x + δ = x e ˙ ˙ ¨ ¨ y =x+δ =x¨ Finalmente m¨ + kx = 0 x – p.3/143
  8. 8. ´ ¸˜ ¸˜Precisamos saber qual e a solucao para a equacao ˆencontrada. Entre outros assuntos de grande importanciaque estudaremos neste curso, encontra-se a Transformadade Laplace. m s2 X(s) − sx(0) − x(0) + kX(s) = 0 ˙ (ms2 + k)X(s) = mx(0) + msx(0) ˙ – p.4/143
  9. 9. ´ ¸˜ ¸˜Precisamos saber qual e a solucao para a equacao ˆencontrada. Entre outros assuntos de grande importanciaque estudaremos neste curso, encontra-se a Transformadade Laplace. m s2 X(s) − sx(0) − x(0) + kX(s) = 0 ˙ (ms2 + k)X(s) = mx(0) + msx(0) ˙Isolando X(s) x(0) ˙ sx(0) X(s) = k + 2 k s2 + m s +m m k/m s = x(0) ˙ + x(0) k s2 + ( k/m)2 s2 + ( k/m)2 – p.4/143
  10. 10. ´ ¸˜ ¸˜Precisamos saber qual e a solucao para a equacao ˆencontrada. Entre outros assuntos de grande importanciaque estudaremos neste curso, encontra-se a Transformadade Laplace. m s2 X(s) − sx(0) − x(0) + kX(s) = 0 ˙ (ms2 + k)X(s) = mx(0) + msx(0) ˙Isolando X(s) x(0) ˙ sx(0) X(s) = k + 2 k s2 + m s +m m k/m s = x(0) ˙ + x(0) k s2 + ( k/m)2 s2 + ( k/m)2 ¸˜ ´A solucao e: m x(t) = x(0)sin ˙ k/mt + x(0)cos k/mt – p.4/143 k
  11. 11. ¸˜Informacoes sobre o sistema Massa-Mola ¸˜ Da equacao x(t) = m k x(0)sin ˙ k/mt + x(0)cos k/mt sabemos que o sistema oscila com per´odo T = √ k ı 2π √k m segundos, f = T = 2π hertz e ωn = 2πf = m rad/s. 1 m k – p.5/143
  12. 12. ¸˜Informacoes sobre o sistema Massa-Mola ¸˜ Da equacao x(t) = m k x(0)sin ˙ k/mt + x(0)cos k/mt sabemos que o sistema oscila com per´odo T = √ k ı 2π √k m segundos, f = T = 2π hertz e ωn = 2πf = m rad/s. 1 m k ¸˜ ¨ Podemos escrever a equacao x + k mx = 0 na forma 2 x + ωn x = 0 ¨ – p.5/143
  13. 13. ¸˜ ´Aplicacao dos resultados na pratica ¸˜ ´Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inerciado seguinte corpo Assume-se que: ´ ı o corpo e r´gido e homogˆ neo; e – p.6/143
  14. 14. ¸˜ ´Aplicacao dos resultados na pratica ¸˜ ´Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inerciado seguinte corpo Assume-se que: ´ ı o corpo e r´gido e homogˆ neo; e ˜ os rolamentos nao possuem atrito; – p.6/143
  15. 15. ¸˜ ´Aplicacao dos resultados na pratica ¸˜ ´Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inerciado seguinte corpo Assume-se que: ´ ı o corpo e r´gido e homogˆ neo; e ˜ os rolamentos nao possuem atrito; ´ o valor da constante da mola e conhecido; – p.6/143
  16. 16. ¸˜ ´Aplicacao dos resultados na pratica ¸˜ ´Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inerciado seguinte corpo Assume-se que: ´ ı o corpo e r´gido e homogˆ neo; e ˜ os rolamentos nao possuem atrito; ´ o valor da constante da mola e conhecido; ´ a mola e torcida levemente; – p.6/143
  17. 17. ¸˜ ´Aplicacao dos resultados na pratica ¸˜ ´Podemos utilizar a informacao para obter o momento de inerciado seguinte corpo Assume-se que: ´ ı o corpo e r´gido e homogˆ neo; e ˜ os rolamentos nao possuem atrito; ´ o valor da constante da mola e conhecido; ´ a mola e torcida levemente; ´ o sinal resultante e colhido. – p.6/143
  18. 18. ´Analogo ao movimento translacional, o movimento ´ ¸˜rotacional e governado pela seguinte equacao diferencial: ¨ k θ+ θ=0 J – p.7/143
  19. 19. ´Analogo ao movimento translacional, o movimento ´ ¸˜rotacional e governado pela seguinte equacao diferencial: ¨ k θ+ θ=0 J ´A frequˆ ncia natural e portanto: ¨e k ωn = Je o per´odo: ı 2π T = k J – p.7/143
  20. 20. ´Analogo ao movimento translacional, o movimento ´ ¸˜rotacional e governado pela seguinte equacao diferencial: ¨ k θ+ θ=0 J ´A frequˆ ncia natural e portanto: ¨e k ωn = Je o per´odo: ı 2π T = k J ´O momento de inercia pode ser obtido como: kT 2 J= 4π 2 – p.7/143
  21. 21. Sistema Massa-Mola-Amortecedor ¸˜Determinar a equacao de movimento do seguinte sistema – p.8/143
  22. 22. ¸˜Solucao ´ Usando a mesma estrategia do sistema Massa-Mola, temos: m¨ x = forcas = −kx − bx ¸ ˙ m¨ + bx + kx x ˙ = 0 – p.9/143
  23. 23. ¸˜Solucao ´ Usando a mesma estrategia do sistema Massa-Mola, temos: m¨ x = forcas = −kx − bx ¸ ˙ m¨ + bx + kx x ˙ = 0 Considerando m = 0.1 kg, b = 0.4 Ns m ek=4 m, N temos: 0.1¨ + 0.4x + 4x = 0 x ˙ x + 4x + 40x = 0 ¨ ˙ – p.9/143
  24. 24. ¸˜Solucao ´ Usando a mesma estrategia do sistema Massa-Mola, temos: m¨ x = forcas = −kx − bx ¸ ˙ m¨ + bx + kx x ˙ = 0 Considerando m = 0.1 kg, b = 0.4 Ns m ek=4 m, N temos: 0.1¨ + 0.4x + 4x = 0 x ˙ x + 4x + 40x = 0 ¨ ˙ ¸˜ ´ A solucao para x(0) = x0 e x(0) = 0 e: ˙ 1 x(t) = e−3t sin(6t) + cos(6t) x0 3 – p.9/143
  25. 25. Cilindro ¸˜Determinar a equacao de movimento do seguinte sistema – p.10/143
  26. 26. ¸˜Solucao ´ ´ A energia cinetica do sistema e: 1 1 ˙ mx2 + J θ2 ˙ 2 2 – p.11/143
  27. 27. ¸˜Solucao ´ ´ A energia cinetica do sistema e: 1 1 ˙ mx2 + J θ2 ˙ 2 2 ´ A energia potencial e: 1 2 kx 2 – p.11/143
  28. 28. ¸˜Solucao ´ ´ A energia cinetica do sistema e: 1 1 ˙ mx2 + J θ2 ˙ 2 2 ´ A energia potencial e: 1 2 kx 2 ´ Portanto, a energia total e: 1 1 ˙ 1 mx2 + J θ2 + kx2 = constante ˙ 2 2 2 – p.11/143
  29. 29. ¸˜Solucao ´ ´ A energia cinetica do sistema e: 1 1 ˙ mx2 + J θ2 ˙ 2 2 ´ A energia potencial e: 1 2 kx 2 ´ Portanto, a energia total e: 1 1 ˙ 1 mx2 + J θ2 + kx2 = constante ˙ 2 2 2 Considerando que o cilindro rola sem deslizamento x = Rθ e notanto que J = 1 mR2 , podemos escrever: 2 3 1 mx2 + kx2 = constante ˙ 2 2 – p.11/143
  30. 30. ¸˜ ¸˜Derivando, em relacao a t, os dois lados na ultima equacao: ´ 3 mx¨ + kxx ˙x ˙ = 0 2 2 m¨ + kx x x ˙ = 0 3 – p.12/143
  31. 31. ¸˜ ¸˜Derivando, em relacao a t, os dois lados na ultima equacao: ´ 3 mx¨ + kxx ˙x ˙ = 0 2 2 m¨ + kx x x ˙ = 0 3 ˜x = 0 nao pode ser zero o tempo todo, logo˙ 2 m¨ + kx = 0 x 3 – p.12/143
  32. 32. Modelagem Baseada na F´sica do Pro- ıcesso – p.13/143
  33. 33. Modelagem Baseada na F´sica do Pro- ıcesso ¸˜Consideracoes simplificadoras: ´ ˆ o sistema sera considerado a parametros concentrados; – p.14/143
  34. 34. Modelagem Baseada na F´sica do Pro- ıcesso ¸˜Consideracoes simplificadoras: ´ ˆ o sistema sera considerado a parametros concentrados; ´ a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada; – p.14/143
  35. 35. Modelagem Baseada na F´sica do Pro- ıcesso ¸˜Consideracoes simplificadoras: ´ ˆ o sistema sera considerado a parametros concentrados; ´ a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada; ´ ´ a area do tanque e constante; – p.14/143
  36. 36. Modelagem Baseada na F´sica do Pro- ıcesso ¸˜Consideracoes simplificadoras: ´ ˆ o sistema sera considerado a parametros concentrados; ´ a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada; ´ ´ a area do tanque e constante; a dinˆ mica do inversor e do conjunto moto-bomba pode a ser desprezada; – p.14/143
  37. 37. Modelagem Baseada na F´sica do Pro- ıcesso ¸˜Consideracoes simplificadoras: ´ ˆ o sistema sera considerado a parametros concentrados; ´ a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada; ´ ´ a area do tanque e constante; a dinˆ mica do inversor e do conjunto moto-bomba pode a ser desprezada; ´ ´ ˜ a agua e incompress´vel e seu peso espec´fico nao varia; ı ı – p.14/143
  38. 38. Modelagem Baseada na F´sica do Pro- ıcesso ¸˜Consideracoes simplificadoras: ´ ˆ o sistema sera considerado a parametros concentrados; ´ a perda de carga dentro dos dutos sera desprezada; ´ ´ a area do tanque e constante; a dinˆ mica do inversor e do conjunto moto-bomba pode a ser desprezada; ´ ´ ˜ a agua e incompress´vel e seu peso espec´fico nao varia; ı ı ˜ ´ ´ a pressao atmosferica em cada ponto da planta piloto e a mesma. – p.14/143
  39. 39. ¸˜A equacao diferencial ´ O ponto de partida na modelagem deste sistema e dm = ωi − ωo , dt – p.15/143
  40. 40. ¸˜A equacao diferencial ´ O ponto de partida na modelagem deste sistema e dm = ωi − ωo , dt ´ ´ Como m = V ρ e a area do tanque e constante, tem-se m = Ahρ, ´ ´ ρ e a massa espec´fica e h e a altura. ı – p.15/143
  41. 41. ¸˜A equacao diferencial ´ O ponto de partida na modelagem deste sistema e dm = ωi − ωo , dt ´ ´ Como m = V ρ e a area do tanque e constante, tem-se m = Ahρ, ´ ´ ρ e a massa espec´fica e h e a altura. ı Podemos escrever dh ρA = qi ρ − q o ρ dt dh qi − q o = , dt A ˜ ´ qi e qo : vazoes volumetricas. – p.15/143
  42. 42. ¸˜ ´Relacoes algebricas Usando a lei de Bernoulli, tem-se √ q = k ∆P . – p.16/143
  43. 43. ¸˜ ´Relacoes algebricas Usando a lei de Bernoulli, tem-se √ q = k ∆P . ¸˜ ´ Para a tubulacao de sa´da de agua, tem-se ı qo = k o P − Patm . – p.16/143
  44. 44. ¸˜ ´Relacoes algebricas Usando a lei de Bernoulli, tem-se √ q = k ∆P . ¸˜ ´ Para a tubulacao de sa´da de agua, tem-se ı qo = k o P − Patm . Para o duto de recalque, tem-se qi = k i Pb − P . – p.16/143
  45. 45. ´Usando-se o peso espec´fico da agua γ, tem-se ı P = γh + Patm , √ √ dh ki Pb − γh − Patm − ko γh = . dt A – p.17/143
  46. 46. Sunspots ˜ ˆSunspots sao manchas escuras de diametro em torno de 50.000milhas que movem na superf´cie do sol. As manchas contraem e ı `expandem a medida que desaparecem. ¸˜Como saber o ciclo de aumentos e diminuicoes das manchas – p.18/143solares?
  47. 47. ´ ¸˜Colocando em um grafico o numero de observacoes das ´manchas solares no ano, temos: – p.19/143
  48. 48. Fast Fourier Transform Utilizando a FFT (Fast Fourier Transform) podemos determinar que existe um ciclo de aproximadamente 11 anos! – p.20/143
  49. 49. Fast Fourier Transform Utilizando a FFT (Fast Fourier Transform) podemos determinar que existe um ciclo de aproximadamente 11 anos! Para entendermos o comportamento de sistemas e analisar ´ sinais e que estudamos Fourier, Laplace e Z. – p.20/143
  50. 50. Efeitos dos Sunspots – p.21/143
  51. 51. Efeitos dos Sunspots – p.22/143
  52. 52. Fundamentos de Sinais ¸˜ Definicao – p.23/143
  53. 53. Fundamentos de Sinais ¸˜ Definicao Exemplos – p.23/143
  54. 54. Fundamentos de Sinais ¸˜ Definicao Exemplos Energia e Potˆ ncia e – p.23/143
  55. 55. Fundamentos de Sinais ¸˜ Definicao Exemplos Energia e Potˆ ncia e ¸˜ Transformacoes de Sinais – p.23/143
  56. 56. Fundamentos de Sinais ¸˜ Definicao Exemplos Energia e Potˆ ncia e ¸˜ Transformacoes de Sinais ´ Sinais Periodicos – p.23/143
  57. 57. Fundamentos de Sinais ¸˜ Definicao Exemplos Energia e Potˆ ncia e ¸˜ Transformacoes de Sinais ´ Sinais Periodicos Simetria – p.23/143
  58. 58. Fundamentos de Sinais ¸˜ Definicao Exemplos Energia e Potˆ ncia e ¸˜ Transformacoes de Sinais ´ Sinais Periodicos Simetria Sinais Exponenciais e Senoidais – p.23/143
  59. 59. Fundamentos de Sinais ¸˜ Definicao Exemplos Energia e Potˆ ncia e ¸˜ Transformacoes de Sinais ´ Sinais Periodicos Simetria Sinais Exponenciais e Senoidais ¸˜ Funcoes ”Base” – p.23/143
  60. 60. Exemplos de Sinais ´ ¸˜Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer ca ´ ´ ¸˜quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais ´variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e ¸ ¸˜que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno. oExemplo: ˜ Tensao ou corrente em um circuito – p.24/143
  61. 61. Exemplos de Sinais ´ ¸˜Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer ca ´ ´ ¸˜quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais ´variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e ¸ ¸˜que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno. oExemplo: ˜ Tensao ou corrente em um circuito ´ V´deo e audio ı – p.24/143
  62. 62. Exemplos de Sinais ´ ¸˜Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer ca ´ ´ ¸˜quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais ´variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e ¸ ¸˜que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno. oExemplo: ˜ Tensao ou corrente em um circuito ´ V´deo e audio ı ´ndice Bovespa I – p.24/143
  63. 63. Exemplos de Sinais ´ ¸˜Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer ca ´ ´ ¸˜quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais ´variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e ¸ ¸˜que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno. oExemplo: ˜ Tensao ou corrente em um circuito ´ V´deo e audio ı ´ndice Bovespa I Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc. – p.24/143
  64. 64. Exemplos de Sinais ´ ¸˜Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer ca ´ ´ ¸˜quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais ´variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e ¸ ¸˜que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno. oExemplo: ˜ Tensao ou corrente em um circuito ´ V´deo e audio ı ´ndice Bovespa I Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc. Asin(ωt) – p.24/143
  65. 65. Exemplos de Sinais ´ ¸˜Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer ca ´ ´ ¸˜quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais ´variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e ¸ ¸˜que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno. oExemplo: ˜ Tensao ou corrente em um circuito ´ V´deo e audio ı ´ndice Bovespa I Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc. Asin(ωt) ¸˜ Vibracao no volante do carro – p.24/143
  66. 66. Exemplos de Sinais ´ ¸˜Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer ca ´ ´ ¸˜quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais ´variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e ¸ ¸˜que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno. oExemplo: ˜ Tensao ou corrente em um circuito ´ V´deo e audio ı ´ndice Bovespa I Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc. Asin(ωt) ¸˜ Vibracao no volante do carro ¸˜ ´ Concentracao de cloro na agua – p.24/143
  67. 67. Exemplos de Sinais ´ ¸˜Defini¸˜o:podemos dizer que sinal e uma abstracao de qualquer ca ´ ´ ¸˜quantidade mensuravel que e uma funcao de uma ou mais ´variaveis independentes (por exemplo, tempo ou espaco) e ¸ ¸˜que carrega informacao da natureza de um fenˆ meno. oExemplo: ˜ Tensao ou corrente em um circuito ´ V´deo e audio ı ´ndice Bovespa I Eletrocardiograma, Eletroencefalograma etc. Asin(ωt) ¸˜ Vibracao no volante do carro ¸˜ ´ Concentracao de cloro na agua ¸˜ ¸˜ Solucao de uma equacao diferencial – p.24/143
  68. 68. Sinais Cont´nuos ı ¸˜ Normalmente podem ser escritos com uma funcao da ´ variavel t – p.25/143
  69. 69. Sinais Cont´nuos ı ¸˜ Normalmente podem ser escritos com uma funcao da ´ variavel t ¸˜ No curso procuraremos usar parˆ ntesis para funcoes e cont´nuas no tempo ı – p.25/143
  70. 70. Sinais Cont´nuos ı ¸˜ Normalmente podem ser escritos com uma funcao da ´ variavel t ¸˜ No curso procuraremos usar parˆ ntesis para funcoes e cont´nuas no tempo ı Exemplo: x(t) – p.25/143
  71. 71. Sinais Cont´nuos ı ¸˜ Normalmente podem ser escritos com uma funcao da ´ variavel t ¸˜ No curso procuraremos usar parˆ ntesis para funcoes e cont´nuas no tempo ı Exemplo: x(t) ´ ´ t e variavel independente cont´nua (conjunto dos reais). ı – p.25/143
  72. 72. Sinais Discretos ¸˜ Normalmente podem ser escritos com uma funcao da ´ variavel n – p.26/143
  73. 73. Sinais Discretos ¸˜ Normalmente podem ser escritos com uma funcao da ´ variavel n ¸˜ No curso procuraremos usar colchetes para funcoes discretas no tempo – p.26/143
  74. 74. Sinais Discretos ¸˜ Normalmente podem ser escritos com uma funcao da ´ variavel n ¸˜ No curso procuraremos usar colchetes para funcoes discretas no tempo Exemplo: x[n] – p.26/143
  75. 75. Sinais Discretos ¸˜ Normalmente podem ser escritos com uma funcao da ´ variavel n ¸˜ No curso procuraremos usar colchetes para funcoes discretas no tempo Exemplo: x[n] ´ ´ n e variavel independente discreta (conjunto dos inteiros). – p.26/143
  76. 76. Resposta ao Impulso – p.27/143
  77. 77. Registro de um micro-eletrodo – p.28/143
  78. 78. Eletrocardiograma – p.29/143
  79. 79. ˜Pressao Arterial – p.30/143
  80. 80. Sinal de Voz – p.31/143
  81. 81. ´Sinal Caotico – p.32/143
  82. 82. Potˆ ncia e Energia de um Sinal e Potˆ ncia Instantˆ nea de um sinal e a P = |x(t)|2 P = |x[n]|2 – p.33/143
  83. 83. Potˆ ncia e Energia de um Sinal e Potˆ ncia Instantˆ nea de um sinal e a P = |x(t)|2 P = |x[n]|2 Energia de um sinal t1 n1 E= |x(t)|2 dt E= |x[n]|2 t0 n=n0 – p.33/143
  84. 84. Potˆ ncia e Energia de um Sinal e Potˆ ncia Instantˆ nea de um sinal e a P = |x(t)|2 P = |x[n]|2 Energia de um sinal t1 n1 E= |x(t)|2 dt E= |x[n]|2 t0 n=n0 ´ Potˆ ncia Media de um sinal e t1 n1 1 1 P = |x(t)|2 dt P = |x[n]|2 t1 − t 0 t0 n1 − n 0 n=n0 – p.33/143
  85. 85. Potˆ ncia e Energia de um Sinal ∞ e ¸˜Normalmente usamos os limites de integracao (soma) sobretodo o conjunto dos reais (inteiros), logo: ∞ ∞ E∞ = |x(t)|2 dt E∞ = |x[n]|2 −∞ n=−∞ T N 1 1P∞ = lim |x(t)|2 dt P∞ = lim |x[n]|2 T →∞ 2T −T N →∞ 2N + 1 n=−N – p.34/143
  86. 86. ExemploConsidere o sinal   t,  0≤t≤1  x(t) = 2 − t, 1 ≤ t ≤ 2   ´ caso contrario  0Calcule a energia do sistema – p.35/143
  87. 87. ¸˜Solucao ¸˜Usando a definicao de Energia, temos: 1 2 E = t2 dt + (2 − t)2 dt 0 1 1 2 t3 1 = − (2 − t)3 3 0 3 1 1 1 2 = + = 3 3 3 – p.36/143
  88. 88. ´Comentarios ´ Sinais de energia finita tem potˆ ncia media zero: e E∞ < ∞ → P ∞ = 0 – p.37/143
  89. 89. ´Comentarios ´ Sinais de energia finita tem potˆ ncia media zero: e E∞ < ∞ → P ∞ = 0 ¸˜ Sinais de duracao e amplitude finitas tem energia finita: x(t) = 0 para |t| > c → E∞ < ∞ – p.37/143
  90. 90. ´Comentarios ´ Sinais de energia finita tem potˆ ncia media zero: e E∞ < ∞ → P ∞ = 0 ¸˜ Sinais de duracao e amplitude finitas tem energia finita: x(t) = 0 para |t| > c → E∞ < ∞ ´ Sinais com potˆ ncia media finita tem energia infinita: e P∞ > 0 → E ∞ = ∞ – p.37/143
  91. 91. ¸˜Transformacoes de Sinais Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ] – p.38/143
  92. 92. ¸˜Transformacoes de Sinais Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ] ˜ ´ Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a direita – p.38/143
  93. 93. ¸˜Transformacoes de Sinais Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ] ˜ ´ Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a direita ˜ ´ Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para a esquerda – p.38/143
  94. 94. ¸˜Transformacoes de Sinais Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ] ˜ ´ Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a direita ˜ ´ Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para a esquerda ˜ Reflexao temporal: x(−t) e x[−n] – p.38/143
  95. 95. ¸˜Transformacoes de Sinais Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ] ˜ ´ Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a direita ˜ ´ Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para a esquerda ˜ Reflexao temporal: x(−t) e x[−n] Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn] ¸ – p.38/143
  96. 96. ¸˜Transformacoes de Sinais Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ] ˜ ´ Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a direita ˜ ´ Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para a esquerda ˜ Reflexao temporal: x(−t) e x[−n] Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn] ¸ ´ Se α > 1 o sinal e comprimido – p.38/143
  97. 97. ¸˜Transformacoes de Sinais Deslocamento no tempo: x(t − t0 ) e x[n − n0 ] ˜ ´ Se t0 > 0 ou n0 > 0 entao o sinal e deslocado para a direita ˜ ´ Se t0 < 0 ou n0 < 0 entao o sinal e deslocado para a esquerda ˜ Reflexao temporal: x(−t) e x[−n] Mudanca da escala de tempo: x(αt) ou x[αn] ¸ ´ Se α > 1 o sinal e comprimido ´ Se 1 > α > 0 o sinal e expandido – p.38/143
  98. 98. Exemplo 1Considere o sinal mostrado na figura abaixo. Esboce ty(t) = x 1 − 2 – p.39/143
  99. 99. ¸˜Solucao Exemplo 1Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente. ¸˜Considere a transformacao y(t) = x(at + b)Deseja-se saber y(t): Troque t por τ – p.40/143
  100. 100. ¸˜Solucao Exemplo 1Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente. ¸˜Considere a transformacao y(t) = x(at + b)Deseja-se saber y(t): Troque t por τ Encontre o valor t considerando τ = at + b, ou seja: τ b t= − a a – p.40/143
  101. 101. ¸˜Solucao Exemplo 1Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente. ¸˜Considere a transformacao y(t) = x(at + b)Deseja-se saber y(t): Troque t por τ Encontre o valor t considerando τ = at + b, ou seja: τ b t= − a a Esboce o eixo t transformado logo abaixo do eixo τ – p.40/143
  102. 102. ¸˜Solucao Exemplo 1Obs.: O deslocamento deve ser aplicado primeiramente. ¸˜Considere a transformacao y(t) = x(at + b)Deseja-se saber y(t): Troque t por τ Encontre o valor t considerando τ = at + b, ou seja: τ b t= − a a Esboce o eixo t transformado logo abaixo do eixo τ Esboce y(t) – p.40/143
  103. 103. ¸˜Solucao - Exemplo 1 – p.41/143
  104. 104. Exemplo 2Considere o sinal do exemplo anterior. Esboce y(t) = 3x 1 − t 2 −2 – p.42/143
  105. 105. Simetria Par e ´mpar I 1 xp (t) = (x(t) + x(−t)) 2 1 xi (t) = (x(t) − x(−t)) 2 xo (t) + xi (t) = x(t) ´ Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t) – p.43/143
  106. 106. Simetria Par e ´mpar I 1 xp (t) = (x(t) + x(−t)) 2 1 xi (t) = (x(t) − x(−t)) 2 xo (t) + xi (t) = x(t) ´ Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t) ´ ı Um sinal e ´mpar se e somente se x(t) = −x(−t) – p.43/143
  107. 107. Simetria Par e ´mpar I 1 xp (t) = (x(t) + x(−t)) 2 1 xi (t) = (x(t) − x(−t)) 2 xo (t) + xi (t) = x(t) ´ Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t) ´ ı Um sinal e ´mpar se e somente se x(t) = −x(−t) Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de um sinal par e ´mpar ı – p.43/143
  108. 108. Simetria Par e ´mpar I 1 xp (t) = (x(t) + x(−t)) 2 1 xi (t) = (x(t) − x(−t)) 2 xo (t) + xi (t) = x(t) ´ Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t) ´ ı Um sinal e ´mpar se e somente se x(t) = −x(−t) Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de um sinal par e ´mpar ı ´ cos(kω0 t) e uma sinal par – p.43/143
  109. 109. Simetria Par e ´mpar I 1 xp (t) = (x(t) + x(−t)) 2 1 xi (t) = (x(t) − x(−t)) 2 xo (t) + xi (t) = x(t) ´ Um sinal e par se e somente se x(t) = x(−t) ´ ı Um sinal e ´mpar se e somente se x(t) = −x(−t) Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de um sinal par e ´mpar ı ´ cos(kω0 t) e uma sinal par ´ sin(kω0 t) e uma sinal ´mpar ı – p.43/143
  110. 110. Exemplo 1Considere o sinal mostrado na figura abaixo. Esboce a partepar e ´mpar do sinal. ı – p.44/143
  111. 111. ¸˜Solucao – p.45/143
  112. 112. Sinais Exponenciais e SenoidaisSinais Exponenciais x(t) = Ceαt x[n] = Cr n = C(eα )n ˜onde C e a sao numeros complexos. ´ Sinais exponenciais e senoidais aparecem como resultado da analise de sistemas lineares ´ x = Ax ˙ x(t) = eAt x(0) – p.46/143
  113. 113. Sinais Exponenciais e SenoidaisSinais Exponenciais x(t) = Ceαt x[n] = Cr n = C(eα )n ˜onde C e a sao numeros complexos. ´ Sinais exponenciais e senoidais aparecem como resultado da analise de sistemas lineares ´ x = Ax ˙ x(t) = eAt x(0) Exemplo: Sistema Massa-Mola – p.46/143
  114. 114. ´Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais: – p.47/143
  115. 115. ´Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais: C e a reais – p.47/143
  116. 116. ´Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais: C e a reais C real e a complexo – p.47/143
  117. 117. ´Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais: C e a reais C real e a complexo C e a complexos – p.47/143
  118. 118. ´Existem varios “tipos” de sinais (sistemas) exponenciais: C e a reais C real e a complexo C e a complexosNo caso discreto, podemos ter ainda: x[n] = Cr n com r < 0 – p.47/143
  119. 119. Ceαn , C = 1 e α = ± 1 5 – p.48/143
  120. 120. MATLAB - Ceαn, C = 1 e α = ± 1 5 – p.49/143
  121. 121. ´Sinais Periodicos ´ ´Um sinal e periodico se existe um valor positivo de T ou N talque: x(t) = x(t + T ), ∀t x[n] = x[n + N ], ∀n ´ O per´odo fundamental, T0 ou N0 , e o menor valor positivo ı ¸˜ ´ ´ para o qual a equacao e valida. – p.50/143
  122. 122. ´Comentarios x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn ´ ´Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais naforma de Euler: ejω0 t = cos(ω0 t) + jsin(ω0 t) ejω0 t = cos[ω0 n] + jsin[ω0 n] ´ Como |ejω0 t | = 1, o grafico parece com uma ”mola”quando esbocado no plano complexo versus tempo. ¸ – p.51/143
  123. 123. ´Comentarios x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn ´ ´Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais naforma de Euler: ejω0 t = cos(ω0 t) + jsin(ω0 t) ejω0 t = cos[ω0 n] + jsin[ω0 n] ´ Como |ejω0 t | = 1, o grafico parece com uma ”mola”quando esbocado no plano complexo versus tempo. ¸ ´ ´ ejω0 t e periodico com per´odo fundamental T0 = ı 2π ω0 – p.51/143
  124. 124. ´Comentarios x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn ´ ´Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais naforma de Euler: ejω0 t = cos(ω0 t) + jsin(ω0 t) ejω0 t = cos[ω0 n] + jsin[ω0 n] ´ Como |ejω0 t | = 1, o grafico parece com uma ”mola”quando esbocado no plano complexo versus tempo. ¸ ´ ´ ejω0 t e periodico com per´odo fundamental T0 = ı 2π ω0 ´ ´ A parte real e uma cossenoide e a parte complexa e uma senoide. – p.51/143
  125. 125. ´Comentarios x(t) = Ceαt x[n] = Ceαn ´ ´Quando α e imaginario, podemos escrever as exponenciais naforma de Euler: ejω0 t = cos(ω0 t) + jsin(ω0 t) ejω0 t = cos[ω0 n] + jsin[ω0 n] ´ Como |ejω0 t | = 1, o grafico parece com uma ”mola”quando esbocado no plano complexo versus tempo. ¸ ´ ´ ejω0 t e periodico com per´odo fundamental T0 = ı 2π ω0 ´ ´ A parte real e uma cossenoide e a parte complexa e uma senoide. e e ´ Os sinais tˆ m energia infinita, mas potˆ ncia media finita. – p.51/143
  126. 126. Ceαt, C = 1 e α = j – p.52/143
  127. 127. MATLAB - Ceαt, C = 1 e α = j – p.53/143
  128. 128. ´Exemplo 1 - Soma de Sinais Periodicos ´Considere trˆ s sinais periodicos: e x1 (t) = cos(3.5t) x2 (t) = sin(2t) 7t x3 (t) = 2cos 6 ´ ´ ´Verifique se a soma deles e um sinal periodico. Se for, qual e oper´odo fundamental? ı – p.54/143
  129. 129. ¸˜Solucao ´ Calculo de T1 2π 2π T1 = = ω1 3.5 – p.55/143
  130. 130. ¸˜Solucao ´ Calculo de T1 2π 2π T1 = = ω1 3.5 ´ Calculo de T2 2π 2π T2 = = ω2 2 – p.55/143
  131. 131. ¸˜Solucao ´ Calculo de T1 2π 2π T1 = = ω1 3.5 ´ Calculo de T2 2π 2π T2 = = ω2 2 ´ Calculo de T3 2π 2π T3 = = ω3 7/6 – p.55/143
  132. 132. ¸˜Solucao ´ ˜ Calculo das razoes entre os per´odos ı 2π T1 3.5 2 4 = 2π = = T2 2 3.5 7 2π T1 3.5 7/6 7 1 = 2π = = = T3 2 3.5 21 3 – p.56/143
  133. 133. ¸˜Solucao ´ ˜ Calculo das razoes entre os per´odos ı 2π T1 3.5 2 4 = 2π = = T2 2 3.5 7 2π T1 3.5 7/6 7 1 = 2π = = = T3 2 3.5 21 3 ˜ ˜ Note que os resultados sao razoes de numeros inteiros, ´ ´ ´ portanto o sinal soma e periodico. – p.56/143
  134. 134. ¸˜Solucao ´ ˜ Calculo das razoes entre os per´odos ı 2π T1 3.5 2 4 = 2π = = T2 2 3.5 7 2π T1 3.5 7/6 7 1 = 2π = = = T3 2 3.5 21 3 ˜ ˜ Note que os resultados sao razoes de numeros inteiros, ´ ´ ´ portanto o sinal soma e periodico. ı ´ ´ O m´nimo multiplo comum dos denominadores e 21, logo o 2π ı ´ per´odo fundamental do sinal soma e T = 21 = 12π 3.5 T1 – p.56/143
  135. 135. ¸˜Solucao – p.57/143
  136. 136. ´Exemplo 2 - Soma de Sinais Periodicos ´Considere quatro sinais periodicos: x1 (t) = cos(3.5t) x2 (t) = sin(2t) 7t x3 (t) = 2cos 6 x4 (t) = 3sin(5πt) ´ ´ ´Verifique se a soma deles e um sinal periodico. Se for, qual e oper´odo fundamental? ı – p.58/143
  137. 137. ˜ ´Sinal Nao-periodico – p.59/143
  138. 138. Exemplo 3 ´ ´Determine se o sinal x(t) = cos2 (5t) e periodico. Em casoafirmativo, determine o per´odo. ı – p.60/143
  139. 139. ¸˜Exemplo 3 - Solucao Sabemos que cos(10t) = cos2 (5t) − sin2 (5t) = 2cos2 (5t) − 1 = 1 − 2sin2 (5t) – p.61/143
  140. 140. ¸˜Exemplo 3 - Solucao Sabemos que cos(10t) = cos2 (5t) − sin2 (5t) = 2cos2 (5t) − 1 = 1 − 2sin2 (5t) Logo: cos(10t) + 1 cos2 (5t) = 2 – p.61/143
  141. 141. ¸˜Exemplo 3 - Solucao Sabemos que cos(10t) = cos2 (5t) − sin2 (5t) = 2cos2 (5t) − 1 = 1 − 2sin2 (5t) Logo: cos(10t) + 1 cos2 (5t) = 2 ´ o Per´odo e: ı 2π π T = = 10 5 – p.61/143
  142. 142. ¸˜Exemplo 3 - Solucao cos2(5t) 10.90.80.70.60.50.40.30.20.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Time (sec) – p.62/143
  143. 143. ¸˜Exemplo 3 - Outra Solucao ¸˜ ˜ Vamos aplicar a definicao, ou seja, x(t=x(t+T). Temos, entao ´ que verificar se a seguinte igualdade e verdadeira. cos2 (5t) = cos2 (5(t + T )) – p.63/143
  144. 144. ¸˜Exemplo 3 - Outra Solucao ¸˜ ˜ Vamos aplicar a definicao, ou seja, x(t=x(t+T). Temos, entao ´ que verificar se a seguinte igualdade e verdadeira. cos2 (5t) = cos2 (5(t + T )) Sabemos que cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), logo cos(5(t + T )) = cos(5t + 5T ) = cos(5t)cos(5T ) − sin(5t)sin(5T ) – p.63/143
  145. 145. ¸˜Exemplo 3 - Outra Solucao ¸˜ ˜ Vamos aplicar a definicao, ou seja, x(t=x(t+T). Temos, entao ´ que verificar se a seguinte igualdade e verdadeira. cos2 (5t) = cos2 (5(t + T )) Sabemos que cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), logo cos(5(t + T )) = cos(5t + 5T ) = cos(5t)cos(5T ) − sin(5t)sin(5T ) Elevando ao quadrado, temos: cos2 (5t + 5T ) = cos2 (5t)cos2 (5T ) + sin2 (5t)sin2 (5T ) − 2cos(5t)cos(5T )sin(5t)sin(5T ) – p.63/143
  146. 146. ´Para que a igualdade seja verdadeira, e preciso que:   cos2 (5T ) = 1  sin2 (5T ) = 0Isso acontece para 5T = kπ e para k = 1 (Fundamental),temos T = π . 5 – p.64/143
  147. 147. Exemplo 4 - Discreto ´ ´Determine se o sinal x[n] = (−1)n e periodico. – p.65/143
  148. 148. ¸˜Exemplo 4 - Solucao ¸˜ Usando a definicao, temos (−1)n = (−1)n+N = (−1)n (−1)N ´ ´ Isso so sera verdade se N for par. O menor valor de N , ´ diferente de zero, e 2. – p.66/143
  149. 149. ¸˜Exemplo 4 - Outra Solucao ¸˜ Sabemos que ejπ = −1. Usando a definicao (ejπ )n = (ejπ )n+N = (ejπ )n (ejπ )N – p.67/143
  150. 150. ¸˜Exemplo 4 - Outra Solucao ¸˜ Sabemos que ejπ = −1. Usando a definicao (ejπ )n = (ejπ )n+N = (ejπ )n (ejπ )N O segundo termo deve ser 1, ou seja πN = 2kπ ´ O menor valor de k, diferente de zero, e 1, logo N = 2 – p.67/143
  151. 151. Exemplo 5 - Discreto ´ ´Determine se o sinal x[n] = cos(2n) e periodico. – p.68/143
  152. 152. ¸˜Exemplo 5 - solucao ¸˜ Usando a definicao, temos: cos(2n) = cos(2(n + N )) = cos(2n)cos(2N ) − sin(2n)sin(2N ) – p.69/143
  153. 153. ¸˜Exemplo 5 - solucao ¸˜ Usando a definicao, temos: cos(2n) = cos(2(n + N )) = cos(2n)cos(2N ) − sin(2n)sin(2N ) ¸˜ ´ A condicao para que a igualdade seja verdadeira e:   cos(2N ) = 1  sin(2N ) = 0 ´ ˜ ´ Logo 2N = 2kπ → N = kπ. Mas N e inteiro, logo x[n] nao e ´ periodico. – p.69/143
  154. 154. Exemplo 6 - Discreto ´ ´Determine se o sinal x[n] = cos(2πn) e periodico. – p.70/143
  155. 155. ¸˜Exemplo 6 - solucao ¸˜ Usando a definicao, temos: cos(2πn) = cos(2π(n + N )) = cos(2πn)cos(2πN ) − sin(2πn)sin(2πN ) – p.71/143
  156. 156. ¸˜Exemplo 6 - solucao ¸˜ Usando a definicao, temos: cos(2πn) = cos(2π(n + N )) = cos(2πn)cos(2πN ) − sin(2πn)sin(2πN ) ¸˜ ´ A condicao para que a igualdade seja verdadeira e:   cos(2πN ) = 1  sin(2πN ) = 0 ´ Logo 2πN = 2kπ → N = k. O menor k = 0 e 1, logo N = 1 e ´ ´ x[n] e periodico. – p.71/143
  157. 157. Exemplo 7 - DiscretoDetermine se o sinal x[n] = (−1) n2 ´ ´ e periodico. – p.72/143
  158. 158. ¸˜Exemplo 7 - solucao ¸˜ Usando a definicao, temos: n2 (n+N )2 (−1) = (−1) n2 +N 2 +2nN = (−1) n2 N2 nN = (−1) (−1) (−1)2 n2 N2 = (−1) (−1) – p.73/143
  159. 159. ¸˜Exemplo 7 - solucao ¸˜ Usando a definicao, temos: n2 (n+N )2 (−1) = (−1) n2 +N 2 +2nN = (−1) n2 N2 nN = (−1) (−1) (−1)2 n2 N2 = (−1) (−1) Logo N 2 tem que ser par e isso acontece para N = 2. – p.73/143
  160. 160. ¸˜Exemplo 7 - Outra solucao ¸˜ Usando a definicao e lembrando que x[n] = (−1) n2 = (e ) , jπ n2 temos: 2 2 (ejπ )n = (ejπ )(n+N ) 2 +N 2 +2nN = (ejπ )n jπ n2 jπ N 2 j2π nN = (e ) (e ) e 2 2 = (ejπ )n (ejπ )N – p.74/143
  161. 161. ¸˜Exemplo 7 - Outra solucao ¸˜ Usando a definicao e lembrando que x[n] = (−1) n2 = (e ) , jπ n2 temos: 2 2 (ejπ )n = (ejπ )(n+N ) 2 +N 2 +2nN = (ejπ )n jπ n2 jπ N 2 j2π nN = (e ) (e ) e 2 2 = (ejπ )n (ejπ )N √ ´ Logo πN = 2kπ → N = 2k. Para N inteiro, o menor k = 0 e 2 ´ ´ 2, logo N = 2 e x[n] e periodico. – p.74/143
  162. 162. Harmˆ nicos o ´ ´ Para que o sinal ejωt seja periodico com per´odo T0 , e ı preciso que: ejωt |t=0 = ejωt |t=T0 – p.75/143
  163. 163. Harmˆ nicos o ´ ´ Para que o sinal ejωt seja periodico com per´odo T0 , e ı preciso que: ejωt |t=0 = ejωt |t=T0 Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1 – p.75/143
  164. 164. Harmˆ nicos o ´ ´ Para que o sinal ejωt seja periodico com per´odo T0 , e ı preciso que: ejωt |t=0 = ejωt |t=T0 Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1 ´ Temos tambem ωT0 = 2πk onde k = 0, ±1, ±2, . . . – p.75/143
  165. 165. Harmˆ nicos o ´ ´ Para que o sinal ejωt seja periodico com per´odo T0 , e ı preciso que: ejωt |t=0 = ejωt |t=T0 Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1 ´ Temos tambem ωT0 = 2πk onde k = 0, ±1, ±2, . . . ´ ¸˜ Ha mais de uma frequˆ ncia ω que satisfaz a restricao ¨e x(t) = x(t + T0 ) – p.75/143
  166. 166. Harmˆ nicos o ´ ´ Para que o sinal ejωt seja periodico com per´odo T0 , e ı preciso que: ejωt |t=0 = ejωt |t=T0 Como ej0 = 1 logo ejωT0 = 1 ´ Temos tambem ωT0 = 2πk onde k = 0, ±1, ±2, . . . ´ ¸˜ Ha mais de uma frequˆ ncia ω que satisfaz a restricao ¨e x(t) = x(t + T0 ) ´ A frequˆ ncia fundamental e definida como o menor valor ¨e ¸˜ positivo de frequˆ ncia que satisfaz a restricao acima: ¨e 2π ω0 = T0 – p.75/143
  167. 167. φk (t) = ejkω0 t onde k = 0, ±1, ±2, . . . ´Para k = 0, φk (t) e uma constante – p.76/143
  168. 168. φk (t) = ejkω0 t onde k = 0, ±1, ±2, . . . ´Para k = 0, φk (t) e uma constante ´ ´Para todos os valores φk (t) e periodico com frequˆ ncia ¨efundamental |k|ω0 – p.76/143
  169. 169. φk (t) = ejkω0 t onde k = 0, ±1, ±2, . . . ´Para k = 0, φk (t) e uma constante ´ ´Para todos os valores φk (t) e periodico com frequˆ ncia ¨efundamental |k|ω0 ˜Os harmˆ nicos sao extremamente importante no estudo o ´ ´das series de Fourier e sinais periodicos. – p.76/143
  170. 170. Harmˆ nico - Discreto o – p.77/143
  171. 171. Harmˆ nico- Cont´nuo o ı – p.78/143
  172. 172. Ceαn , C = 1, e α = ±0.1 + 0.5j – p.79/143
  173. 173. Ceαt, C = 1, e α = ±0.05 + j2 – p.80/143
  174. 174. ´Impulso Unitario Discreto ´O impulso discreto e definido como   0, n = 0 δ[n] =  1, n = 0 – p.81/143
  175. 175. ´Degrau Unitario Discreto ¸˜ ´ ´A funcao degrau unitario discreto e definida como:   0, n<0 u[n] =  1, n≥0 – p.82/143
  176. 176. ¸˜Funcoes Discretas - Resumo ¸˜ Existe uma relacao entre δ[n] e u[n] δ[n] = u[n] − u[n − 1] n u[n] = δ[k] k=−∞ ∞ u[n] = δ[n − k] k=0 – p.83/143
  177. 177. ¸˜Funcoes Discretas - Resumo ¸˜ Existe uma relacao entre δ[n] e u[n] δ[n] = u[n] − u[n − 1] n u[n] = δ[k] k=−∞ ∞ u[n] = δ[n − k] k=0 ´ O impulso unitario pode ser usado para amostrar um sinal no tempo discreto x[n] ∞ ∞ x[0] = x[k]δ[k] x[n] = x[k]δ[n − k] k=−∞ k=−∞ – p.83/143
  178. 178. ´Degrau Unitario Cont´nuo ı   0, t < 0 u(t) =  1, t > 0 ´ ¸˜ Tambem chamado funcao de Heaviside – p.84/143
  179. 179. ´ ´Degrau Unitario (Pratica) – p.85/143
  180. 180. ´Impulso Unitario Cont´nuo ı duc (t) δc (t) ≡ dt – p.86/143
  181. 181. ´Impulso Unitario Cont´nuo ı duc (t) δc (t) ≡ dt Quando e → 0, – p.86/143
  182. 182. ´Impulso Unitario Cont´nuo ı duc (t) δc (t) ≡ dt Quando e → 0, uc (t) → u(t) – p.86/143
  183. 183. ´Impulso Unitario Cont´nuo ı duc (t) δc (t) ≡ dt Quando e → 0, uc (t) → u(t) δc (t) para t = 0 cresce muito – p.86/143
  184. 184. ´Impulso Unitario Cont´nuo ı duc (t) δc (t) ≡ dt Quando e → 0, uc (t) → u(t) δc (t) para t = 0 cresce muito δc (t) para t = 0 vai para zero – p.86/143
  185. 185. ´Impulso Unitario Cont´nuo ı duc (t) δc (t) ≡ dt Quando e → 0, uc (t) → u(t) δc (t) para t = 0 cresce muito δc (t) para t = 0 vai para zero δ(t) ≡ limt→0 δc (t) – p.86/143
  186. 186. ´Impulso Unitario Cont´nuo ı   0, t = 0 δ(t) =  ∞ t=0 ´ ¸˜ Conhecido tambem por funcao delta de Dirac – p.87/143
  187. 187. ´Impulso Unitario Cont´nuo ı   0, t = 0 δ(t) =  ∞ t=0 ´ ¸˜ Conhecido tambem por funcao delta de Dirac A integral do impulso serve como uma medida da amplitude do impulso – p.87/143
  188. 188. ´Impulso Unitario Cont´nuo ı   0, t = 0 δ(t) =  ∞ t=0 ´ ¸˜ Conhecido tambem por funcao delta de Dirac A integral do impulso serve como uma medida da amplitude do impulso ´ Esbocado como uma seta com altura unitaria ¸ – p.87/143
  189. 189. ´Impulso Unitario Cont´nuo ı   0, t = 0 δ(t) =  ∞ t=0 ´ ¸˜ Conhecido tambem por funcao delta de Dirac A integral do impulso serve como uma medida da amplitude do impulso ´ Esbocado como uma seta com altura unitaria ¸ ´ 5δ(t) e esbocado como uma seta de altura 5. ¸ – p.87/143
  190. 190. ´ ´Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios ı ´ ´ A propriedade mais importante e area do impulso: e −e δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0 – p.88/143
  191. 191. ´ ´Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios ı ´ ´ A propriedade mais importante e area do impulso: e −e δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0 δ(t)x(t) = δ(t)x(0) – p.88/143
  192. 192. ´ ´Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios ı ´ ´ A propriedade mais importante e area do impulso: e −e δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0 δ(t)x(t) = δ(t)x(0) ∞ −∞ x(t)δ(t)dt = x(0) – p.88/143
  193. 193. ´ ´Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios ı ´ ´ A propriedade mais importante e area do impulso: e −e δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0 δ(t)x(t) = δ(t)x(0) ∞ −∞ x(t)δ(t)dt = x(0) ∞ −∞ x(t)δ(t − t0 )dt = x(t0 ) – p.88/143
  194. 194. ´ ´Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios ı ´ ´ A propriedade mais importante e area do impulso: e −e δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0 δ(t)x(t) = δ(t)x(0) ∞ −∞ x(t)δ(t)dt = x(0) ∞ −∞ x(t)δ(t − t0 )dt = x(t0 ) 1 δ(at) = |a| δ(t) – p.88/143
  195. 195. ´ ´Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios ı ´ ´ A propriedade mais importante e area do impulso: e −e δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0 δ(t)x(t) = δ(t)x(0) ∞ −∞ x(t)δ(t)dt = x(0) ∞ −∞ x(t)δ(t − t0 )dt = x(t0 ) 1 δ(at) = |a| δ(t) δ(−t) = δ(t) – p.88/143
  196. 196. ´ ´Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios ı ´ ´ A propriedade mais importante e area do impulso: e −e δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0 δ(t)x(t) = δ(t)x(0) ∞ −∞ x(t)δ(t)dt = x(0) ∞ −∞ x(t)δ(t − t0 )dt = x(t0 ) 1 δ(at) = |a| δ(t) δ(−t) = δ(t) du(t) δ(t) = dt – p.88/143
  197. 197. ´ ´Impulso Unitario Cont´nuo - Comentarios ı ´ ´ A propriedade mais importante e area do impulso: e −e δ(t)dt = 1 para qualquer e > 0 δ(t)x(t) = δ(t)x(0) ∞ −∞ x(t)δ(t)dt = x(0) ∞ −∞ x(t)δ(t − t0 )dt = x(t0 ) 1 δ(at) = |a| δ(t) δ(−t) = δ(t) du(t) δ(t) = dt t u(t) = −∞ δ(τ )dτ – p.88/143
  198. 198. ´Impulso Unitario Cont´nuo - Importante ı ∞ x(t) = x(τ )δ(τ − t)dτ −∞ ¸˜ Note que podemos escrever x(t) como uma combinacao linear de impulsos deslocados – p.89/143
  199. 199. ´Rampa Unitaria Cont´nua ı   0, t ≤ 0 r(t) ≡  t t>0 – p.90/143
  200. 200. ¸˜ ´Relacoes Basicas t t u(t) = δ(τ )dτ r(t) = u(τ )dτ −∞ −∞ du(t) dr(t) = δ(t) = u(t) dt dt – p.91/143
  201. 201. ¸˜ ´Deslocamento das Funcoes Basicas – p.92/143
  202. 202. Fundamentos de Sistemas Escopo – p.93/143
  203. 203. Fundamentos de Sistemas Escopo Propriedades – p.93/143
  204. 204. Fundamentos de Sistemas Escopo Propriedades ´ Memoria – p.93/143
  205. 205. Fundamentos de Sistemas Escopo Propriedades ´ Memoria Invertibilidade – p.93/143
  206. 206. Fundamentos de Sistemas Escopo Propriedades ´ Memoria Invertibilidade Causalidade – p.93/143
  207. 207. Fundamentos de Sistemas Escopo Propriedades ´ Memoria Invertibilidade Causalidade Estabilidade – p.93/143
  208. 208. Fundamentos de Sistemas Escopo Propriedades ´ Memoria Invertibilidade Causalidade Estabilidade Invariˆ ncia no Tempo a – p.93/143
  209. 209. Fundamentos de Sistemas Escopo Propriedades ´ Memoria Invertibilidade Causalidade Estabilidade Invariˆ ncia no Tempo a Linearidade – p.93/143
  210. 210. Escopo ¸˜Objetivo: Estudo de sistemas que mapeam funcoes de entrada ¸˜x(t) em funcoes de sa´da y(t). ı ´ Sistema e um entidade que manipula (transforma) um ou mais sinais para realizar uma determinada tarefa. Novos ˜ sinais sao gerados. – p.94/143
  211. 211. Escopo ¸˜Objetivo: Estudo de sistemas que mapeam funcoes de entrada ¸˜x(t) em funcoes de sa´da y(t). ı ´ Sistema e um entidade que manipula (transforma) um ou mais sinais para realizar uma determinada tarefa. Novos ˜ sinais sao gerados. Consideraremos sistemas com uma unica entrada e uma ´ unica sa´da (SISO), Lineares e Invariantes no Tempo. ´ ı – p.94/143
  212. 212. ´h(t) e a resposta ao impulso do sistema de tempo cont´nuo: ıδ(t) → h(t). – p.95/143
  213. 213. ´h(t) e a resposta ao impulso do sistema de tempo cont´nuo: ıδ(t) → h(t). ´h[n] e a resposta ao impulso do sistema de tempo discreto:δ[n] → h[n]. – p.95/143
  214. 214. ´h(t) e a resposta ao impulso do sistema de tempo cont´nuo: ıδ(t) → h(t). ´h[n] e a resposta ao impulso do sistema de tempo discreto:δ[n] → h[n].A resposta ao impulso caracteriza um Sistema Linear eInvariante no Tempo (LTI). – p.95/143
  215. 215. ´Memoria ´ ´Um sistema e dito sem memoria se a sua sa´da y(t), em qualquer ı ´tempo, e dependente somente da entrada x(t) no mesmotempo t. ´ A memoria indica que o sistema tem como armazenar ¸˜ informacao da entrada/sa´da do presente ou futuro. ı – p.96/143
  216. 216. ´Memoria ´ ´Um sistema e dito sem memoria se a sua sa´da y(t), em qualquer ı ´tempo, e dependente somente da entrada x(t) no mesmotempo t. ´ A memoria indica que o sistema tem como armazenar ¸˜ informacao da entrada/sa´da do presente ou futuro. ı Capacitores e indutores armazenam energia, portanto ´ criam sistemas com memoria. – p.96/143
  217. 217. ´Memoria ´ ´Um sistema e dito sem memoria se a sua sa´da y(t), em qualquer ı ´tempo, e dependente somente da entrada x(t) no mesmotempo t. ´ A memoria indica que o sistema tem como armazenar ¸˜ informacao da entrada/sa´da do presente ou futuro. ı Capacitores e indutores armazenam energia, portanto ´ criam sistemas com memoria. ˜ Resistores, em princ´pio, nao armazenam energia, portanto ı ˜ ´ sao sistemas sem memoria: v(t) = Ri(t). – p.96/143
  218. 218. Exemplos ˜ ´Determine se os seguintes sistemas sao com ou sem memoria: y[n] = x[n]2 y(t) = x(t − 2) y[n] = x[n + 3] y(t) = sin(2πx(t)) t y(t) = −∞ x(τ )dτ n y[n] = k=−∞ x[k] – p.97/143
  219. 219. Invertibilidade ´Um sistema e invert´vel se entradas distintas causam sa´das ı ıdistintas. – p.98/143

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