O documento apresenta a resolução de duas questões sobre osciladores harmônicos. A primeira questão deriva a expressão da frequência natural de oscilação de um oscilador como função da temperatura. A segunda questão calcula o coeficiente b0 de uma expressão envolvendo integrais de funções senoidais.

1. Exerc´ıcios Resolvidos - 10o. Tarefa
20 de maio de 2013
Quest˜ao 1: Proposta no pr´oprio Blog
Utilizando a express˜ao dada como “chute” para a equa¸c˜ao do movimento:
M¨sn + K(2sn − sn−1 − sn+1) = 0
Mu(iω)2
ei(naq−ωt)
+ K(2uei(naq−ωt)
− 2uei((n−1)aq−ωt)
− uei((n+1)aq−ωt)
) = 0
Mu(iω)2
= Ku(e−iaq
+ eiaq
) − 2Ku
E lembrando que podemos expressar eix
como cos x + i sin x, obtemos:
ω2
=
2K(1 − cos(aq))
M
Logo:
f2
=
K
2π2M
(1 − cos(aq))
E sabendo que q =
β nπc
a
(dispon´ıvel em http://www.if.ufrj.br/~monica/CEDERJ/aula10-rev.PDF),
onde n ´e a n-´esima harmˆonica, e β =
1
kBT
, em que T ´e a temperatura do sistema :
f2
=
K
2π2M
(1 − cos(β πcn))
f2
=
K
2π2M
2 sin2
(
β πcn
2
)
f =
1
π
K
M
sin(
β πcn
2
)
f = fM sin(
β πcn
2
)
que s˜ao ent˜ao as frequˆencias naturais de oscila¸c˜ao para cada valor de T. Vemos que a express˜ao obtida
nos mostra que a frequˆencia de oscila¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao peri´odica e varia em torno de um valor m´edio fM ,
mostrando ent˜ao a quantiza¸c˜ao da energia dos osciladores.
Einstein e Debye estudaram o movimento dos ´atomos nos s´olidos, considerando-os osciladores. Enquanto
Einstein estudou os osciladores como se fossem independentes, Debye os estudou como se estivessem
acoplados (como se estivessem presos por molas). Einstein procurou obter uma aproxima¸c˜ao harmˆonica
em torno do ponto m´ınimo de energia potencial para osciladores desacoplados. Dessa forma, considerando
um meio isotr´opico, a constante el´astica tamb´em foi considerada a mesma em todas as dire¸c˜oes. Acontece
que quando o princ´ıpio da equiparti¸c˜ao era aplicado a um sistema s´olido tridimensional levava a um valor
de calor espec´ıfico de cV = 3R, ou cV = 24, 9 J/mol.K .
Para uma grande maioria dos s´olidos, esse resultado(chamado Lei de Dulong-Petit era razo´avel acima de
certas temperaturas, mas falhava bastante com o carbono, e em para todos os s´olidos o calor espec´ıfico
tendia a zero para temperaturas muito baixas.
Einstein foi o primeiro a resolver esse problema, aplicando a quantiza¸c˜ao de energia ao estudo dos s´olidos,
e assim conseguiu explica¸c˜oes para a dependˆencia do calor espec´ıfico com a temperatura.

2. Quest˜ao: Proposta durante a aula
Foi proposto durante a aula o desenvolvimento da seguinte express˜ao:
b0 =
2y0
L
L
0
sin(
3π
L
x) sin(
nπ
L
x)dx
Temos de considerar dois casos: n = 3 e n = 3. Para o primeiro caso temos:
b0 =
2y0
L
L
0
sin2
(
3π
L
x)dx
b0 =
y0
L
L
0
(1 − cos(
6π
L
x))dx
b0 = y0 −
y0
L
L
0
cos(
6π
L
x)dx
b0 = y0
Para o segundo:
b0 =
2y0
L
L
0
cos(
πx(3 − n)
L
) − cos(
πx(n + 3)
L
)] dx
b0 =
2y0
L
L
π(n − 3)
sin(
πx(3 − n)
L
) −
L
π(n + 3)
sin(
πx(n + 3)
L
)
L
0
b0 =
2y0
π
1
(n − 3)
sin(π(3 − n)) −
1
(n + 3)
sin(π(n + 3))