O documento apresenta a resolução de duas questões sobre osciladores harmônicos. A primeira questão deriva a expressão da frequência natural de oscilação de um oscilador como função da temperatura. A segunda questão calcula o coeficiente b0 de uma expressão envolvendo integrais de funções senoidais.
Varias décadas de pesca intensiva en aguas europeas han conducido al drástico declive de las poblaciones de peces que antes eran abundantes. Actualmente, se estima que el 88% de todas las reservas de peces evaluadas sufren una sobreexplotación, mientras que alrededor de un tercio están siendo capturadas a una escala que supera los límites biológicos de seguridad, amenazando así la supervivencia de estas poblaciones.
La reforma de la PPC en 2012 brinda la oportunidad de adoptar una nueva política que detenga la sobrepesca, acabe con las prácticas pesqueras destructivas y favorezca el uso justo y equitativo de abundantes reservas de peces.
OCEAN2012 es una alianza de organizaciones, entre ellas Ecologistas en Acción, cuyo objetivo es transformar la política europea sobre pesquerías para detener la sobrepesca, acabar con las prácticas pesqueras destructivas y garantizar un uso justo y equitativo de los recursos pesqueros.
Primeira Lei da Termodinâmica
• Enunciado
• Sistema e vizinhança
-Formulação da Primeira Lei da Termodinâmica
• Balanço de energia
-Equação da Primeira Lei
-Calor, Trabalho termodinâmico, energia interna
-Transformações termodinâmicas
-Entalpia, Cálculos diferenciais
1. Exerc´ıcios Resolvidos - 10o. Tarefa
20 de maio de 2013
Quest˜ao 1: Proposta no pr´oprio Blog
Utilizando a express˜ao dada como “chute” para a equa¸c˜ao do movimento:
M¨sn + K(2sn − sn−1 − sn+1) = 0
Mu(iω)2
ei(naq−ωt)
+ K(2uei(naq−ωt)
− 2uei((n−1)aq−ωt)
− uei((n+1)aq−ωt)
) = 0
Mu(iω)2
= Ku(e−iaq
+ eiaq
) − 2Ku
E lembrando que podemos expressar eix
como cos x + i sin x, obtemos:
ω2
=
2K(1 − cos(aq))
M
Logo:
f2
=
K
2π2M
(1 − cos(aq))
E sabendo que q =
β nπc
a
(dispon´ıvel em http://www.if.ufrj.br/~monica/CEDERJ/aula10-rev.PDF),
onde n ´e a n-´esima harmˆonica, e β =
1
kBT
, em que T ´e a temperatura do sistema :
f2
=
K
2π2M
(1 − cos(β πcn))
f2
=
K
2π2M
2 sin2
(
β πcn
2
)
f =
1
π
K
M
sin(
β πcn
2
)
f = fM sin(
β πcn
2
)
que s˜ao ent˜ao as frequˆencias naturais de oscila¸c˜ao para cada valor de T. Vemos que a express˜ao obtida
nos mostra que a frequˆencia de oscila¸c˜ao ´e uma fun¸c˜ao peri´odica e varia em torno de um valor m´edio fM ,
mostrando ent˜ao a quantiza¸c˜ao da energia dos osciladores.
Einstein e Debye estudaram o movimento dos ´atomos nos s´olidos, considerando-os osciladores. Enquanto
Einstein estudou os osciladores como se fossem independentes, Debye os estudou como se estivessem
acoplados (como se estivessem presos por molas). Einstein procurou obter uma aproxima¸c˜ao harmˆonica
em torno do ponto m´ınimo de energia potencial para osciladores desacoplados. Dessa forma, considerando
um meio isotr´opico, a constante el´astica tamb´em foi considerada a mesma em todas as dire¸c˜oes. Acontece
que quando o princ´ıpio da equiparti¸c˜ao era aplicado a um sistema s´olido tridimensional levava a um valor
de calor espec´ıfico de cV = 3R, ou cV = 24, 9 J/mol.K .
Para uma grande maioria dos s´olidos, esse resultado(chamado Lei de Dulong-Petit era razo´avel acima de
certas temperaturas, mas falhava bastante com o carbono, e em para todos os s´olidos o calor espec´ıfico
tendia a zero para temperaturas muito baixas.
Einstein foi o primeiro a resolver esse problema, aplicando a quantiza¸c˜ao de energia ao estudo dos s´olidos,
e assim conseguiu explica¸c˜oes para a dependˆencia do calor espec´ıfico com a temperatura.
2. Quest˜ao: Proposta durante a aula
Foi proposto durante a aula o desenvolvimento da seguinte express˜ao:
b0 =
2y0
L
L
0
sin(
3π
L
x) sin(
nπ
L
x)dx
Temos de considerar dois casos: n = 3 e n = 3. Para o primeiro caso temos:
b0 =
2y0
L
L
0
sin2
(
3π
L
x)dx
b0 =
y0
L
L
0
(1 − cos(
6π
L
x))dx
b0 = y0 −
y0
L
L
0
cos(
6π
L
x)dx
b0 = y0
Para o segundo:
b0 =
2y0
L
L
0
cos(
πx(3 − n)
L
) − cos(
πx(n + 3)
L
)] dx
b0 =
2y0
L
L
π(n − 3)
sin(
πx(3 − n)
L
) −
L
π(n + 3)
sin(
πx(n + 3)
L
)
L
0
b0 =
2y0
π
1
(n − 3)
sin(π(3 − n)) −
1
(n + 3)
sin(π(n + 3))