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Cálculo Diferencial e Integral I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
13 de julho de 2022
Prof.: Paulo Henrique
Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em
muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em
muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. Este
método é chamado de substituição ou mudança de variáveis e tem como motivação
a regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em
muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. Este
método é chamado de substituição ou mudança de variáveis e tem como motivação
a regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação.
Considere, por exemplo, o problema de determinar
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em
muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. Este
método é chamado de substituição ou mudança de variáveis e tem como motivação
a regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação.
Considere, por exemplo, o problema de determinar
Z
x · sin(x2
) dx.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Fazendo u = x2, temos
du
dx
= 2x, isto é, du = 2x dx.
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Fazendo u = x2, temos
du
dx
= 2x, isto é, du = 2x dx.
Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos:
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Fazendo u = x2, temos
du
dx
= 2x, isto é, du = 2x dx.
Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos:
Z
sin(u)
du
2
= −
cos(u)
2
+ C.
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Fazendo u = x2, temos
du
dx
= 2x, isto é, du = 2x dx.
Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos:
Z
sin(u)
du
2
= −
cos(u)
2
+ C.
Retornando à variável original x, temos:
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Fazendo u = x2, temos
du
dx
= 2x, isto é, du = 2x dx.
Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos:
Z
sin(u)
du
2
= −
cos(u)
2
+ C.
Retornando à variável original x, temos:
Z
x · sin(x2
) dx
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Fazendo u = x2, temos
du
dx
= 2x, isto é, du = 2x dx.
Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos:
Z
sin(u)
du
2
= −
cos(u)
2
+ C.
Retornando à variável original x, temos:
Z
x · sin(x2
) dx = −
cos(x2)
2
+ C.
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Fazendo u = x2, temos
du
dx
= 2x, isto é, du = 2x dx.
Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos:
Z
sin(u)
du
2
= −
cos(u)
2
+ C.
Retornando à variável original x, temos:
Z
x · sin(x2
) dx = −
cos(x2)
2
+ C.
Vamos, então, formalizar este método:
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x).
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra
função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x).
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra
função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos
a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos:
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra
função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos
a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos:
[F(g(x))]′
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra
função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos
a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos:
[F(g(x))]′
= F′
(g(x)) · g′
(x)
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra
função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos
a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos:
[F(g(x))]′
= F′
(g(x)) · g′
(x) = f(g(x)) · g′
(x),
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra
função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos
a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos:
[F(g(x))]′
= F′
(g(x)) · g′
(x) = f(g(x)) · g′
(x),
isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) · g′(x).
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Integração por Substituição
Exemplos
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Integração por Substituição
Portanto,
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Portanto,
Z
f(g(x)) · g′
(x) dx = F(g(x)) + C. (1)
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Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Portanto,
Z
f(g(x)) · g′
(x) dx = F(g(x)) + C. (1)
Fazendo u = g(x) ∴ du = g′(x) dx e substituindo em (1), temos:
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Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Portanto,
Z
f(g(x)) · g′
(x) dx = F(g(x)) + C. (1)
Fazendo u = g(x) ∴ du = g′(x) dx e substituindo em (1), temos:
Z
f(u) · du = F(u) + C.
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
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Example 1.
Determine:
a
Z
cos(4x) dx
b
Z 
x + x3
1 + x4

dx
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Integração por Substituição
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Tabela de integrais imediatas
Exemplos
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Tabela de integrais imediatas
Exemplos
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Integração por Substituição
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Exemplos
Solução:
a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx.
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx.
Substituindo na integral:
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx.
Substituindo na integral:
Z
cos(u)
du
4
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx.
Substituindo na integral:
Z
cos(u)
du
4
=
1
4
Z
cos(u) du
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Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx.
Substituindo na integral:
Z
cos(u)
du
4
=
1
4
Z
cos(u) du =
1
4
sin(u) + C
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Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx.
Substituindo na integral:
Z
cos(u)
du
4
=
1
4
Z
cos(u) du =
1
4
sin(u) + C =
1
4
sin(4x) + C.
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Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx.
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Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx.
Substituindo na integral:
Z
1
1 + u2
du
2
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Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx.
Substituindo na integral:
Z
1
1 + u2
du
2
=
1
2
Z
du
1 + u2
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx.
Substituindo na integral:
Z
1
1 + u2
du
2
=
1
2
Z
du
1 + u2
=
1
2
arctan(u) + C1
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Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx.
Substituindo na integral:
Z
1
1 + u2
du
2
=
1
2
Z
du
1 + u2
=
1
2
arctan(u) + C1 =
1
2
arctan(x2
) + C1
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Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx.
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx.
Substituindo na integral:
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx.
Substituindo na integral:
Z
du
4u
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx.
Substituindo na integral:
Z
du
4u
=
1
4
ln |1 + x4
| + C2.
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Portanto,
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Portanto,
Z 
x + x3
1 + x4

dx
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
b) Podemos escrever
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
Z
x
1 + x4
dx +
Z
x3
1 + x4
dx.
Portanto,
Z 
x + x3
1 + x4

dx =
1
2
arctan(x2
) +
1
4
ln |1 + x4
| + C.
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Example 1.
Determine:
a
Z
tan(x) dx
b
Z
cot(x) dx
c
Z
sec(x) dx
d
Z
csc(x) dx
e
Z
dx
√
a2 − x2
f
Z
dx
√
a2 + x2
g
Z
dx
a2 + x2
h
Z
dx
√
x2 ± a2
(b), (c), (d) e (f) fazer como exercício.
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Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
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Integração por Substituição
Exemplos
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Exemplos
Solução:
a) Utilizando a mudança de variáveis
t = cos(x) ⇒
dt
dx
= − sin(x),
temos que
Z
tan(x) dx =
Z
sin(x)
cos(x)
dx = −
Z
dt
t
= − ln |t| = − ln | cos(x)| + C.
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
e) Suponhamos a ∈ R∗
+. Façamos
u =
x
a
⇒ du =
1
a
dx.
Sendo assim,
Z
dx
√
a2 − x2
=
Z
1
a
dx
r
1 −
x
a
2
= arcsin(u) + C
= arcsin
x
a

+ C.
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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
g) Suponhamos a ∈ R∗ e façamos
u =
x
a
⇒
dt
dx
=
1
a
.
Sendo assim,
Z
dx
a2 + x2
=
Z
1
a2
dx
1 +
x
a
2
=
1
a2
Z
du
1 + u2
=
1
a2
arctan(u) + C =
1
a2
arctan
x
a

+ C.
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Métodos de Integração
Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Exemplos
Solução:
h) Seja a ∈ R∗. Façamos u = x +
√
x2 ± a2 ⇒ du =

1 +
x
√
x2 ± a2

dx.
Dessa forma,
Z
dx
√
x2 ± a2
=
Z
dx
√
x2 ± a2
x +
√
x2 ± a2
x +
√
x2 ± a2
=
Z
dx
x +
√
x2 ± a2
x +
√
x2 ± a2
√
x2 ± a2
=
Z
dx
x +
√
x2 ± a2

1 +
x
√
x2 ± a2

=
Z
du
u
= ln |u| + C
= ln

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  • 1. Cálculo Diferencial e Integral I Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 13 de julho de 2022 Prof.: Paulo Henrique
  • 2. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 3. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 4. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. Este método é chamado de substituição ou mudança de variáveis e tem como motivação a regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 5. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. Este método é chamado de substituição ou mudança de variáveis e tem como motivação a regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação. Considere, por exemplo, o problema de determinar 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 6. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. Este método é chamado de substituição ou mudança de variáveis e tem como motivação a regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação. Considere, por exemplo, o problema de determinar Z x · sin(x2 ) dx. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 7. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 8. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 9. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: Z sin(u) du 2 = − cos(u) 2 + C. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 10. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: Z sin(u) du 2 = − cos(u) 2 + C. Retornando à variável original x, temos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 11. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: Z sin(u) du 2 = − cos(u) 2 + C. Retornando à variável original x, temos: Z x · sin(x2 ) dx 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 12. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: Z sin(u) du 2 = − cos(u) 2 + C. Retornando à variável original x, temos: Z x · sin(x2 ) dx = − cos(x2) 2 + C. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 13. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: Z sin(u) du 2 = − cos(u) 2 + C. Retornando à variável original x, temos: Z x · sin(x2 ) dx = − cos(x2) 2 + C. Vamos, então, formalizar este método: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 14. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 15. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 16. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 17. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos: [F(g(x))]′ 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 18. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos: [F(g(x))]′ = F′ (g(x)) · g′ (x) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 19. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos: [F(g(x))]′ = F′ (g(x)) · g′ (x) = f(g(x)) · g′ (x), 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 20. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos: [F(g(x))]′ = F′ (g(x)) · g′ (x) = f(g(x)) · g′ (x), isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) · g′(x). 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 21. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Portanto, 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 22. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Portanto, Z f(g(x)) · g′ (x) dx = F(g(x)) + C. (1) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 23. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Portanto, Z f(g(x)) · g′ (x) dx = F(g(x)) + C. (1) Fazendo u = g(x) ∴ du = g′(x) dx e substituindo em (1), temos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 24. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Portanto, Z f(g(x)) · g′ (x) dx = F(g(x)) + C. (1) Fazendo u = g(x) ∴ du = g′(x) dx e substituindo em (1), temos: Z f(u) · du = F(u) + C. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 25. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Example 1. Determine: a Z cos(4x) dx b Z x + x3 1 + x4 dx 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 26. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 27. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 28. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 29. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. Substituindo na integral: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 30. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. Substituindo na integral: Z cos(u) du 4 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 31. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. Substituindo na integral: Z cos(u) du 4 = 1 4 Z cos(u) du 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 32. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. Substituindo na integral: Z cos(u) du 4 = 1 4 Z cos(u) du = 1 4 sin(u) + C 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 33. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. Substituindo na integral: Z cos(u) du 4 = 1 4 Z cos(u) du = 1 4 sin(u) + C = 1 4 sin(4x) + C. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 34. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 35. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 36. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 37. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 38. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx. Substituindo na integral: Z 1 1 + u2 du 2 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 39. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx. Substituindo na integral: Z 1 1 + u2 du 2 = 1 2 Z du 1 + u2 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 40. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx. Substituindo na integral: Z 1 1 + u2 du 2 = 1 2 Z du 1 + u2 = 1 2 arctan(u) + C1 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 41. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx. Substituindo na integral: Z 1 1 + u2 du 2 = 1 2 Z du 1 + u2 = 1 2 arctan(u) + C1 = 1 2 arctan(x2 ) + C1 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 42. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 43. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx. Substituindo na integral: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 44. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx. Substituindo na integral: Z du 4u 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 45. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx. Substituindo na integral: Z du 4u = 1 4 ln |1 + x4 | + C2. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 46. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Portanto, 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 47. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Portanto, Z x + x3 1 + x4 dx 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 48. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Portanto, Z x + x3 1 + x4 dx = 1 2 arctan(x2 ) + 1 4 ln |1 + x4 | + C. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 49. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Example 1. Determine: a Z tan(x) dx b Z cot(x) dx c Z sec(x) dx d Z csc(x) dx e Z dx √ a2 − x2 f Z dx √ a2 + x2 g Z dx a2 + x2 h Z dx √ x2 ± a2 (b), (c), (d) e (f) fazer como exercício. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 50. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 51. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 52. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Utilizando a mudança de variáveis t = cos(x) ⇒ dt dx = − sin(x), temos que Z tan(x) dx = Z sin(x) cos(x) dx = − Z dt t = − ln |t| = − ln | cos(x)| + C. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 53. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: e) Suponhamos a ∈ R∗ +. Façamos u = x a ⇒ du = 1 a dx. Sendo assim, Z dx √ a2 − x2 = Z 1 a dx r 1 − x a 2 = arcsin(u) + C = arcsin x a + C. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 54. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: g) Suponhamos a ∈ R∗ e façamos u = x a ⇒ dt dx = 1 a . Sendo assim, Z dx a2 + x2 = Z 1 a2 dx 1 + x a 2 = 1 a2 Z du 1 + u2 = 1 a2 arctan(u) + C = 1 a2 arctan x a + C. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 55. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: h) Seja a ∈ R∗. Façamos u = x + √ x2 ± a2 ⇒ du = 1 + x √ x2 ± a2 dx. Dessa forma, Z dx √ x2 ± a2 = Z dx √ x2 ± a2 x + √ x2 ± a2 x + √ x2 ± a2 = Z dx x + √ x2 ± a2 x + √ x2 ± a2 √ x2 ± a2 = Z dx x + √ x2 ± a2 1 + x √ x2 ± a2 = Z du u = ln |u| + C = ln
  • 56.
  • 57.
  • 59.
  • 60.
  • 61. + C. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 62. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas As seguintes integrais devem fazer parte da tabela de integração imediata. 1 Z dx = x + C 2 Z x α dx = xα+1 α + 1 + C, α ∈ R {−1}; 3 Z 1 x dx = ln |x| + C; 4 Z sin(x) dx = − cos(x) + C; 5 Z cos(x) dx = sin(x) + C; 6 Z tan(x) dx = ln | sec(x)| + C; 7 Z cot(x) dx = ln | sin(x)| + C; 8 Z sec(x) dx = ln | tan(x) sec(x)| + C; 9 Z csc(x) dx = ln | cot(x) − csc(x)| + C; 10 Z sec(x) · tan(x) dx = sec(x) + C; 11 Z csc(x) · cot(x) dx = − csc(x) + C; 12 Z sec 2 (x) dx = tan(x) + C; 13 Z csc 2 (x) dx = − cot(x) + C; 14 Z sec(x) · tan(x) dx = sec(x) + C; 15 Z csc(x) · cot(x) dx = − csc(x) + C; 16 Z a x dx = ax ln(a) + C, a ∈ R ∗ + {1}; 17 Z e x dx = e x + C; 18 Z dx p 1 − x2 = arcsin(x) + C; 19 Z − dx p 1 − x2 = arccos(x) + C; 20 Z dx 1 + x2 = arctan(x) + C; 21 Z − dx 1 + x2 = arccot(x) + C; 22 Z dx x p x2 − 1 = arcsec(x) + C; 23 Z − dx x p x2 − 1 = arccsc(x) + C; 24 Z dx p b2 − a2x2 = 1 a arcsin a b x + C; 25 Z dx b2 + a2x2 = 1 ab arctan a b x + C; 26 Z dx a2x2 ± b2 = 1 2ab ln
  • 63.
  • 64.
  • 65.
  • 66. ax ± b ax ∓ b
  • 67.
  • 68.
  • 69.
  • 70. + C; 27 Z dx p a2x2 ± b2 = 1 a ln
  • 71.
  • 72.
  • 74.
  • 75.
  • 76. + C; 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
  • 77. Métodos de Integração Integração por Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Referências M. B. Gonçalves and D. M. Flemming. Cálculo A. Pearson Education, 5 edition, 2007. H. L. Guidorizzi. Um curso de cálculo, volume 1. Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000. A. Howard. Cálculo, um novo horizonte, volume 1. Bookman, Porto Alegre, 2000. E. L. Lima. Curso de Análise, volume 1. IMPA, Rio de Janeiro, 2000. J. Stewart. Cálculo, volume 1. Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022