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Integração por Substituição
Exemplos
Tabela de integrais imediatas
Integração por Substituição
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra
função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos
a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos:
[F(g(x))]′
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022](https://image.slidesharecdn.com/gcet146s14a-220713220915-6ca39ea9/85/GCET146-S14a-pdf-17-320.jpg)
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Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra
função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos
a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos:
[F(g(x))]′
= F′
(g(x)) · g′
(x)
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Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra
função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos
a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos:
[F(g(x))]′
= F′
(g(x)) · g′
(x) = f(g(x)) · g′
(x),
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022](https://image.slidesharecdn.com/gcet146s14a-220713220915-6ca39ea9/85/GCET146-S14a-pdf-19-320.jpg)
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Integração por Substituição
Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra
função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos
a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos:
[F(g(x))]′
= F′
(g(x)) · g′
(x) = f(g(x)) · g′
(x),
isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) · g′(x).
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GCET146 S14a.pdf
- 1. Cálculo Diferencial eIntegral I Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 13 de julho de 2022 Prof.: Paulo Henrique
- 2. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 3. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 4. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. Este método é chamado de substituição ou mudança de variáveis e tem como motivação a regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 5. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. Este método é chamado de substituição ou mudança de variáveis e tem como motivação a regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação. Considere, por exemplo, o problema de determinar 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 6. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Nem sempre podemos determinar uma integral de forma imediata. Entretanto, em muitas dessas, uma simples mudança de variável nos leva ao resultado desejado. Este método é chamado de substituição ou mudança de variáveis e tem como motivação a regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação. Considere, por exemplo, o problema de determinar Z x · sin(x2 ) dx. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 7. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 8. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 9. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: Z sin(u) du 2 = − cos(u) 2 + C. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 10. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: Z sin(u) du 2 = − cos(u) 2 + C. Retornando à variável original x, temos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 11. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: Z sin(u) du 2 = − cos(u) 2 + C. Retornando à variável original x, temos: Z x · sin(x2 ) dx 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 12. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: Z sin(u) du 2 = − cos(u) 2 + C. Retornando à variável original x, temos: Z x · sin(x2 ) dx = − cos(x2) 2 + C. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 13. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Fazendo u = x2, temos du dx = 2x, isto é, du = 2x dx. Reescrevendo a integral inicial do problema proposto, temos: Z sin(u) du 2 = − cos(u) 2 + C. Retornando à variável original x, temos: Z x · sin(x2 ) dx = − cos(x2) 2 + C. Vamos, então, formalizar este método: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 14. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 15. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 16. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 17. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos: [F(g(x))]′ 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 18. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos: [F(g(x))]′ = F′ (g(x)) · g′ (x) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 19. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos: [F(g(x))]′ = F′ (g(x)) · g′ (x) = f(g(x)) · g′ (x), 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 20. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Sejam f(x) e F(x) duas funções tais que F′(x) = f(x). Suponhamos que g(x) seja outra função derivável cuja imagem esteja contida no domínio da função F(x). Consideremos a função composta F(g(x)) e, pela regra da cadeia, temos: [F(g(x))]′ = F′ (g(x)) · g′ (x) = f(g(x)) · g′ (x), isto é, F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) · g′(x). 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 21. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Portanto, 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 22. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Portanto, Z f(g(x)) · g′ (x) dx = F(g(x)) + C. (1) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 23. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Portanto, Z f(g(x)) · g′ (x) dx = F(g(x)) + C. (1) Fazendo u = g(x) ∴ du = g′(x) dx e substituindo em (1), temos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 24. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Integração por Substituição Portanto, Z f(g(x)) · g′ (x) dx = F(g(x)) + C. (1) Fazendo u = g(x) ∴ du = g′(x) dx e substituindo em (1), temos: Z f(u) · du = F(u) + C. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 25. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Example 1. Determine: a Z cos(4x) dx b Z x + x3 1 + x4 dx 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 26. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 27. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 28. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 29. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. Substituindo na integral: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 30. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. Substituindo na integral: Z cos(u) du 4 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 31. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. Substituindo na integral: Z cos(u) du 4 = 1 4 Z cos(u) du 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 32. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. Substituindo na integral: Z cos(u) du 4 = 1 4 Z cos(u) du = 1 4 sin(u) + C 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 33. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Se fizermos u = 4x, teremos du = 4 dx. Substituindo na integral: Z cos(u) du 4 = 1 4 Z cos(u) du = 1 4 sin(u) + C = 1 4 sin(4x) + C. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 34. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 35. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 36. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 37. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 38. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx. Substituindo na integral: Z 1 1 + u2 du 2 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 39. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx. Substituindo na integral: Z 1 1 + u2 du 2 = 1 2 Z du 1 + u2 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 40. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx. Substituindo na integral: Z 1 1 + u2 du 2 = 1 2 Z du 1 + u2 = 1 2 arctan(u) + C1 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 41. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na primeira parcela desta, se fizermos u = x2, teremos du = 2x dx. Substituindo na integral: Z 1 1 + u2 du 2 = 1 2 Z du 1 + u2 = 1 2 arctan(u) + C1 = 1 2 arctan(x2 ) + C1 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 42. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 43. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx. Substituindo na integral: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 44. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx. Substituindo na integral: Z du 4u 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 45. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Na segunda parcela, devemos fazer u = 1 + x4, então du = 4x3 dx. Substituindo na integral: Z du 4u = 1 4 ln |1 + x4 | + C2. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 46. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Portanto, 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 47. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Portanto, Z x + x3 1 + x4 dx 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 48. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: b) Podemos escrever Z x + x3 1 + x4 dx = Z x 1 + x4 dx + Z x3 1 + x4 dx. Portanto, Z x + x3 1 + x4 dx = 1 2 arctan(x2 ) + 1 4 ln |1 + x4 | + C. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 49. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Example 1. Determine: a Z tan(x) dx b Z cot(x) dx c Z sec(x) dx d Z csc(x) dx e Z dx √ a2 − x2 f Z dx √ a2 + x2 g Z dx a2 + x2 h Z dx √ x2 ± a2 (b), (c), (d) e (f) fazer como exercício. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 50. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 51. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 52. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: a) Utilizando a mudança de variáveis t = cos(x) ⇒ dt dx = − sin(x), temos que Z tan(x) dx = Z sin(x) cos(x) dx = − Z dt t = − ln |t| = − ln | cos(x)| + C. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 53. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: e) Suponhamos a ∈ R∗ +. Façamos u = x a ⇒ du = 1 a dx. Sendo assim, Z dx √ a2 − x2 = Z 1 a dx r 1 − x a 2 = arcsin(u) + C = arcsin x a + C. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 54. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: g) Suponhamos a ∈ R∗ e façamos u = x a ⇒ dt dx = 1 a . Sendo assim, Z dx a2 + x2 = Z 1 a2 dx 1 + x a 2 = 1 a2 Z du 1 + u2 = 1 a2 arctan(u) + C = 1 a2 arctan x a + C. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 13 de julho de 2022
- 55. Métodos de Integração Integraçãopor Substituição Exemplos Tabela de integrais imediatas Exemplos Solução: h) Seja a ∈ R∗. Façamos u = x + √ x2 ± a2 ⇒ du = 1 + x √ x2 ± a2 dx. Dessa forma, Z dx √ x2 ± a2 = Z dx √ x2 ± a2 x + √ x2 ± a2 x + √ x2 ± a2 = Z dx x + √ x2 ± a2 x + √ x2 ± a2 √ x2 ± a2 = Z dx x + √ x2 ± a2 1 + x √ x2 ± a2 = Z du u = ln |u| + C = ln