O documento discute conceitos fundamentais de análise e transmissão de sinais, incluindo análise de Fourier, sistemas lineares, filtros, distorção, energia, potência e autocorrelação. O documento também apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos.
1) O documento apresenta a definição da transformada de Fourier, expressando a integral de Fourier de uma função f em sua forma complexa. Isto é feito representando f(x) como uma integral sobre funções exponenciais complexas.
2) A transformada de Fourier de f é definida como a função f que associa a cada função absolutamente integrável f de R em R a função f de R em C dada por uma expressão envolvendo integrais de f.
3) A transformada de Fourier inversa é definida como a função que recupera f(x) a partir de f(
1. O documento apresenta uma coletânea de exercícios resolvidos relacionados com sinais e sistemas para alunos de engenharia informática.
2. Os exercícios estão organizados em capítulos sobre sinais discretos, representação no domínio do tempo para sistemas LTI discretos, transformada Z e sinais contínuos.
3. O documento fornece soluções detalhadas para exercícios retirados de livros de sinais e sistemas com o objetivo de apoiar o estudo dos al
This document contains information about derivatives, integrals, and trigonometric identities. It lists rules for derivation and integration along with the derivatives of common functions like exponentials, logarithms, trigonometric functions, and their inverses. It also provides formulas for integrals of rational, logarithmic, irrational and trigonometric functions. Finally, it lists 15 trigonometric identities.
Sección 3.3 "Transformada Z racionales" de la unidad Transformada Z y sus aplicaciones del curso de Procesamiento Digital de Señales de la Universidad Autónoma de Nayarit
O documento descreve sistemas de segunda ordem em controle de sistemas. Discute os parâmetros que caracterizam esses sistemas, como frequência natural, amortecimento e resposta transitória a degraus. Apresenta as respostas para diferentes valores de amortecimento, como oscilatória para subamortecido, exponencial para superamortecido e exponencial com termo linear para criticamente amortecido.
Digital Signal Processing[ECEG-3171]-Ch1_L02Rediet Moges
This Digital Signal Processing Lecture material is the property of the author (Rediet M.) . It is not for publication,nor is it to be sold or reproduced
#Africa#Ethiopia
Chapter3 - Fourier Series Representation of Periodic SignalsAttaporn Ninsuwan
This document discusses Fourier series representation of periodic signals. It introduces continuous-time periodic signals and their representation as a linear combination of harmonically related complex exponentials. The coefficients in the Fourier series representation can be determined by multiplying both sides of the representation by complex exponentials and integrating over one period. The key steps are: 1) multiplying both sides by e-jω0t, 2) integrating both sides from 0 to T=2π/ω0, and 3) using the fact that the integral equals T when k=n and 0 otherwise to obtain an expression for the coefficients an. Examples are provided to illustrate these concepts.
This document provides an introduction to signals and systems. It begins by classifying different types of signals as continuous-time/discrete-time, analog/digital, deterministic/random, periodic/aperiodic, power/energy. It then discusses representations of signals in the time and frequency domains, including the Fourier series representation of periodic signals. Key concepts covered include the unit step, rectangular, triangular and sinc functions, as well as signal operations like time shifting, scaling and inversion. The document concludes by introducing Parseval's theorem relating the power of a signal to the power of its Fourier coefficients.
1) O documento apresenta a definição da transformada de Fourier, expressando a integral de Fourier de uma função f em sua forma complexa. Isto é feito representando f(x) como uma integral sobre funções exponenciais complexas.
2) A transformada de Fourier de f é definida como a função f que associa a cada função absolutamente integrável f de R em R a função f de R em C dada por uma expressão envolvendo integrais de f.
3) A transformada de Fourier inversa é definida como a função que recupera f(x) a partir de f(
1. O documento apresenta uma coletânea de exercícios resolvidos relacionados com sinais e sistemas para alunos de engenharia informática.
2. Os exercícios estão organizados em capítulos sobre sinais discretos, representação no domínio do tempo para sistemas LTI discretos, transformada Z e sinais contínuos.
3. O documento fornece soluções detalhadas para exercícios retirados de livros de sinais e sistemas com o objetivo de apoiar o estudo dos al
This document contains information about derivatives, integrals, and trigonometric identities. It lists rules for derivation and integration along with the derivatives of common functions like exponentials, logarithms, trigonometric functions, and their inverses. It also provides formulas for integrals of rational, logarithmic, irrational and trigonometric functions. Finally, it lists 15 trigonometric identities.
Sección 3.3 "Transformada Z racionales" de la unidad Transformada Z y sus aplicaciones del curso de Procesamiento Digital de Señales de la Universidad Autónoma de Nayarit
O documento descreve sistemas de segunda ordem em controle de sistemas. Discute os parâmetros que caracterizam esses sistemas, como frequência natural, amortecimento e resposta transitória a degraus. Apresenta as respostas para diferentes valores de amortecimento, como oscilatória para subamortecido, exponencial para superamortecido e exponencial com termo linear para criticamente amortecido.
Digital Signal Processing[ECEG-3171]-Ch1_L02Rediet Moges
This Digital Signal Processing Lecture material is the property of the author (Rediet M.) . It is not for publication,nor is it to be sold or reproduced
#Africa#Ethiopia
Chapter3 - Fourier Series Representation of Periodic SignalsAttaporn Ninsuwan
This document discusses Fourier series representation of periodic signals. It introduces continuous-time periodic signals and their representation as a linear combination of harmonically related complex exponentials. The coefficients in the Fourier series representation can be determined by multiplying both sides of the representation by complex exponentials and integrating over one period. The key steps are: 1) multiplying both sides by e-jω0t, 2) integrating both sides from 0 to T=2π/ω0, and 3) using the fact that the integral equals T when k=n and 0 otherwise to obtain an expression for the coefficients an. Examples are provided to illustrate these concepts.
This document provides an introduction to signals and systems. It begins by classifying different types of signals as continuous-time/discrete-time, analog/digital, deterministic/random, periodic/aperiodic, power/energy. It then discusses representations of signals in the time and frequency domains, including the Fourier series representation of periodic signals. Key concepts covered include the unit step, rectangular, triangular and sinc functions, as well as signal operations like time shifting, scaling and inversion. The document concludes by introducing Parseval's theorem relating the power of a signal to the power of its Fourier coefficients.
Formulas geral para geometria analiticaElieser Júnio
(1) O documento resume fórmulas fundamentais de geometria analítica para operações com vetores e equações de retas em 3 dimensões, incluindo soma, multiplicação por escalar, produto interno, norma, produto vetorial e produto misto; (2) Também apresenta fórmulas para cálculo de ângulos entre vetores e retas, posições relativas de retas e mudanças de sistemas de coordenadas; (3) As fórmulas são expressas algebraicamente em notação vetorial e matricial.
Este documento apresenta um resumo do programa de uma disciplina de Análise de Sinais e Sistemas ministrada pelo professor K. Z. Nóbrega. O programa aborda tópicos como definição de sinais e sistemas, tipos de sinais e operações sobre sinais, propriedades e tipos de sistemas, representação de sistemas por equações diferenciais, convolução, análise de Fourier, transformada de Laplace e transformada Z. A bibliografia inclui 4 referências sobre o tema. Informações adicionais sobre apoio
It is sometimes desirable to have circuits capable of selectively filtering one frequency or range of frequencies out of a mix of different frequencies in a circuit. A circuit designed to perform this frequency selection is called a filter circuit, or simply a filter. A common need for filter circuits is in high-performance stereo systems, where certain ranges of audio frequencies need to be amplified or suppressed for best sound quality and power efficiency. You may be familiar with equalizers, which allow the amplitudes of several frequency ranges to be adjusted to suit the listener's taste and acoustic properties of the listening area. You may also be familiar with crossover networks, which block certain ranges of frequencies from reaching speakers. A tweeter (high-frequency speaker) is inefficient at reproducing low-frequency signals such as drum beats, so a crossover circuit is connected between the tweeter and the stereo's output terminals to block low-frequency signals, only passing high-frequency signals to the speaker's connection terminals. This gives better audio system efficiency and thus better performance. Both equalizers and crossover networks are examples of filters, designed to accomplish filtering of certain frequencies.
1) Um determinante é calculado para resolver sistemas lineares e está associado a matrizes quadradas.
2) Existem métodos como o de Sarrus e o teorema de Laplace para calcular determinantes de ordem maior.
3) Determinantes possuem propriedades como ser zero se houver linhas ou colunas iguais e mudar de sinal ao trocar linhas/colunas.
PDS Unidad 2 Sección 2.2: Representación de sistemas discretos con diagrama a...Juan Palacios
Sección 2.2 "Representación de sistemas discretos con diagrama a bloques" del curso Procesamiento Digital de Señales de la Universidad Autónoma de Nayarit
1. The document discusses signals and systems, including continuous-time and discrete-time signals. It covers topics like transformations of signals, exponential and sinusoidal signals, and basic properties of systems.
2. Continuous-time signals are represented as functions of time t, while discrete-time signals are represented as sequences indexed by integer n. Exponential and sinusoidal signals can be represented using complex exponential functions.
3. The document provides examples and formulas for calculating energy, power, and other properties of signals. It also describes how signals can be transformed through operations like time shifting, scaling, reversal, and periodicity.
The z-transform provides a method to analyze discrete-time signals and systems using complex variable theory. It is defined as the summation of a sequence multiplied by z to the power of the time index from negative infinity to positive infinity. The region of convergence consists of values of z where this summation converges. It is determined by the locations of the zeros and poles of the z-transform function. Examples show how different sequences lead to different regions of convergence bounded by these zeros and poles.
O documento apresenta um resumo de tópicos fundamentais de matemática, incluindo teoria dos conjuntos, relações e funções, funções do primeiro e segundo grau, funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e modulares, combinatória, probabilidades e porcentagem. Ao todo são dezesseis tópicos abordados de forma concisa.
El documento describe los procesos de muestreo y retención de datos. Explica que el muestreo convierte una señal continua en una secuencia discreta de valores mediante la multiplicación por impulsos de Dirac, mientras que la retención reconstruye una señal continua a partir de valores discretos. También compara los retenedores de orden cero y uno, y explica que el orden cero mantiene cada muestra constante hasta la siguiente, mientras que el orden uno interpola linealmente.
El documento describe conceptos relacionados con señales periódicas y señales pares e impares. Explica que una señal periódica se repite cada cierto periodo y que el periodo fundamental es el intervalo más pequeño en el que se repite. También describe cómo calcular la frecuencia fundamental a partir del periodo. Finalmente, define qué son las señales pares e impares y cómo representar una señal como la suma de sus partes par e impar.
Fórmulas da potenciação e da radiciação revisao apostila colorAgamenon21
1. O documento resume fórmulas e propriedades de potenciação, radiciação e conversão entre números decimais, frações e percentuais.
2. Inclui regras de potenciação com base 10, propriedades de radiciação como redução ao mesmo índice e simplificação de radicais.
3. Apresenta métodos para conversão entre números decimais exatos e fracionários e entre decimais e percentuais.
O documento descreve o algoritmo de Needleman-Wunsch para alinhamento global de sequências biológicas, explicando como ele usa programação dinâmica para preencher uma matriz de pontuações e encontrar o melhor alinhamento entre duas sequências.
O documento apresenta um curso sobre variáveis complexas que aborda:
1) Números complexos, operações e representações geométricas;
2) Funções de variáveis complexas, propriedades analíticas e mapeamentos;
3) Funções elementares como exponencial, trigonométricas e logarítmica.
Matemática, Cálculo, Análise,Integrais, Linha, Vetor tangente, reta tangente, Integral de linha de campo escalar, Comprimento, Integral, linha, campo, vetorial, Campos, conservativos, Teorema de Green
Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com
El documento describe la función de transferencia de sistemas lineales. La función de transferencia es la relación entre la salida y la entrada de un sistema lineal, representada como la transformada de Laplace de la salida dividida por la transformada de Laplace de la entrada, suponiendo condiciones iniciales cero. Se proporcionan ejemplos de funciones de transferencia para circuitos RC y sistemas masa-resorte. También se describen diagramas de bloques para representar gráficamente las relaciones de entrada-salida de un sistema.
1) O documento resume uma aula sobre indução matemática, incluindo exemplos de provas por indução e exercícios.
2) Foi corrigida uma prova e apresentadas as ideias principais da indução matemática.
3) Foram mostradas provas por indução de que 1+3+5+...+(2n - 1) = n2, n2 ≥ 3n para n ≥ 4 e 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1 para qualquer n ≥ 1.
La tabla resume 34 relaciones trigonométricas fundamentales. Entre ellas, la primera relación indica que la suma del seno al cuadrado y el coseno al cuadrado de cualquier ángulo es igual a 1. Otras relaciones cubren identidades trigonométricas para la tangente, cotangente y cosecante en términos de sus funciones inversas. Las relaciones también describen fórmulas para senos y cosenos de ángulos opuestos, así como expresiones para el seno y coseno de ángulos dobles.
El documento introduce conceptos básicos sobre señales y sistemas discretos. Explica que una señal discreta puede surgir de muestrear una señal continua o tener origen intrínsecamente discreto. Describe los sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo y cómo la respuesta a una muestra unitaria caracteriza completamente la respuesta de un sistema a cualquier entrada.
El documento trata sobre la transformada de Fourier. La transformada de Fourier es una herramienta matemática que permite descomponer una señal en componentes sinusoidales. Se utiliza en diversas áreas como procesamiento de señales, análisis de vibraciones y óptica de Fourier.
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, maior tela e melhor desempenho. O dispositivo também possui um preço mais acessível em relação aos modelos anteriores para atrair mais consumidores. O lançamento ocorrerá no próximo mês e a empresa espera que o novo smartphone ajude a aumentar suas vendas e participação no mercado.
Formulas geral para geometria analiticaElieser Júnio
(1) O documento resume fórmulas fundamentais de geometria analítica para operações com vetores e equações de retas em 3 dimensões, incluindo soma, multiplicação por escalar, produto interno, norma, produto vetorial e produto misto; (2) Também apresenta fórmulas para cálculo de ângulos entre vetores e retas, posições relativas de retas e mudanças de sistemas de coordenadas; (3) As fórmulas são expressas algebraicamente em notação vetorial e matricial.
Este documento apresenta um resumo do programa de uma disciplina de Análise de Sinais e Sistemas ministrada pelo professor K. Z. Nóbrega. O programa aborda tópicos como definição de sinais e sistemas, tipos de sinais e operações sobre sinais, propriedades e tipos de sistemas, representação de sistemas por equações diferenciais, convolução, análise de Fourier, transformada de Laplace e transformada Z. A bibliografia inclui 4 referências sobre o tema. Informações adicionais sobre apoio
It is sometimes desirable to have circuits capable of selectively filtering one frequency or range of frequencies out of a mix of different frequencies in a circuit. A circuit designed to perform this frequency selection is called a filter circuit, or simply a filter. A common need for filter circuits is in high-performance stereo systems, where certain ranges of audio frequencies need to be amplified or suppressed for best sound quality and power efficiency. You may be familiar with equalizers, which allow the amplitudes of several frequency ranges to be adjusted to suit the listener's taste and acoustic properties of the listening area. You may also be familiar with crossover networks, which block certain ranges of frequencies from reaching speakers. A tweeter (high-frequency speaker) is inefficient at reproducing low-frequency signals such as drum beats, so a crossover circuit is connected between the tweeter and the stereo's output terminals to block low-frequency signals, only passing high-frequency signals to the speaker's connection terminals. This gives better audio system efficiency and thus better performance. Both equalizers and crossover networks are examples of filters, designed to accomplish filtering of certain frequencies.
1) Um determinante é calculado para resolver sistemas lineares e está associado a matrizes quadradas.
2) Existem métodos como o de Sarrus e o teorema de Laplace para calcular determinantes de ordem maior.
3) Determinantes possuem propriedades como ser zero se houver linhas ou colunas iguais e mudar de sinal ao trocar linhas/colunas.
PDS Unidad 2 Sección 2.2: Representación de sistemas discretos con diagrama a...Juan Palacios
Sección 2.2 "Representación de sistemas discretos con diagrama a bloques" del curso Procesamiento Digital de Señales de la Universidad Autónoma de Nayarit
1. The document discusses signals and systems, including continuous-time and discrete-time signals. It covers topics like transformations of signals, exponential and sinusoidal signals, and basic properties of systems.
2. Continuous-time signals are represented as functions of time t, while discrete-time signals are represented as sequences indexed by integer n. Exponential and sinusoidal signals can be represented using complex exponential functions.
3. The document provides examples and formulas for calculating energy, power, and other properties of signals. It also describes how signals can be transformed through operations like time shifting, scaling, reversal, and periodicity.
The z-transform provides a method to analyze discrete-time signals and systems using complex variable theory. It is defined as the summation of a sequence multiplied by z to the power of the time index from negative infinity to positive infinity. The region of convergence consists of values of z where this summation converges. It is determined by the locations of the zeros and poles of the z-transform function. Examples show how different sequences lead to different regions of convergence bounded by these zeros and poles.
O documento apresenta um resumo de tópicos fundamentais de matemática, incluindo teoria dos conjuntos, relações e funções, funções do primeiro e segundo grau, funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e modulares, combinatória, probabilidades e porcentagem. Ao todo são dezesseis tópicos abordados de forma concisa.
El documento describe los procesos de muestreo y retención de datos. Explica que el muestreo convierte una señal continua en una secuencia discreta de valores mediante la multiplicación por impulsos de Dirac, mientras que la retención reconstruye una señal continua a partir de valores discretos. También compara los retenedores de orden cero y uno, y explica que el orden cero mantiene cada muestra constante hasta la siguiente, mientras que el orden uno interpola linealmente.
El documento describe conceptos relacionados con señales periódicas y señales pares e impares. Explica que una señal periódica se repite cada cierto periodo y que el periodo fundamental es el intervalo más pequeño en el que se repite. También describe cómo calcular la frecuencia fundamental a partir del periodo. Finalmente, define qué son las señales pares e impares y cómo representar una señal como la suma de sus partes par e impar.
Fórmulas da potenciação e da radiciação revisao apostila colorAgamenon21
1. O documento resume fórmulas e propriedades de potenciação, radiciação e conversão entre números decimais, frações e percentuais.
2. Inclui regras de potenciação com base 10, propriedades de radiciação como redução ao mesmo índice e simplificação de radicais.
3. Apresenta métodos para conversão entre números decimais exatos e fracionários e entre decimais e percentuais.
O documento descreve o algoritmo de Needleman-Wunsch para alinhamento global de sequências biológicas, explicando como ele usa programação dinâmica para preencher uma matriz de pontuações e encontrar o melhor alinhamento entre duas sequências.
O documento apresenta um curso sobre variáveis complexas que aborda:
1) Números complexos, operações e representações geométricas;
2) Funções de variáveis complexas, propriedades analíticas e mapeamentos;
3) Funções elementares como exponencial, trigonométricas e logarítmica.
Matemática, Cálculo, Análise,Integrais, Linha, Vetor tangente, reta tangente, Integral de linha de campo escalar, Comprimento, Integral, linha, campo, vetorial, Campos, conservativos, Teorema de Green
Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com
El documento describe la función de transferencia de sistemas lineales. La función de transferencia es la relación entre la salida y la entrada de un sistema lineal, representada como la transformada de Laplace de la salida dividida por la transformada de Laplace de la entrada, suponiendo condiciones iniciales cero. Se proporcionan ejemplos de funciones de transferencia para circuitos RC y sistemas masa-resorte. También se describen diagramas de bloques para representar gráficamente las relaciones de entrada-salida de un sistema.
1) O documento resume uma aula sobre indução matemática, incluindo exemplos de provas por indução e exercícios.
2) Foi corrigida uma prova e apresentadas as ideias principais da indução matemática.
3) Foram mostradas provas por indução de que 1+3+5+...+(2n - 1) = n2, n2 ≥ 3n para n ≥ 4 e 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1 para qualquer n ≥ 1.
La tabla resume 34 relaciones trigonométricas fundamentales. Entre ellas, la primera relación indica que la suma del seno al cuadrado y el coseno al cuadrado de cualquier ángulo es igual a 1. Otras relaciones cubren identidades trigonométricas para la tangente, cotangente y cosecante en términos de sus funciones inversas. Las relaciones también describen fórmulas para senos y cosenos de ángulos opuestos, así como expresiones para el seno y coseno de ángulos dobles.
El documento introduce conceptos básicos sobre señales y sistemas discretos. Explica que una señal discreta puede surgir de muestrear una señal continua o tener origen intrínsecamente discreto. Describe los sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo y cómo la respuesta a una muestra unitaria caracteriza completamente la respuesta de un sistema a cualquier entrada.
El documento trata sobre la transformada de Fourier. La transformada de Fourier es una herramienta matemática que permite descomponer una señal en componentes sinusoidales. Se utiliza en diversas áreas como procesamiento de señales, análisis de vibraciones y óptica de Fourier.
A empresa de tecnologia anunciou um novo smartphone com câmera aprimorada, maior tela e melhor desempenho. O dispositivo também possui um preço mais acessível em relação aos modelos anteriores para atrair mais consumidores. O lançamento ocorrerá no próximo mês e a empresa espera que o novo smartphone ajude a aumentar suas vendas e participação no mercado.
Serie trigonometrica e exponencial de fourierWigor Almeida
1) Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma infinita de senóides harmônicas com múltiplos inteiros da frequência fundamental.
2) A série de Fourier decompõe uma função periódica em um componente contínuo e um componente alternado, contendo harmônicas senoidais.
3) Para determinar os coeficientes de Fourier, usam-se integrais trigonométricas sobre um período.
Séries fourier cap_6 Funções Contínuas por PartesCiro Marcus
Este documento discute funções contínuas por partes e séries de Fourier. Primeiro define o que é uma função contínua por partes e fornece um exemplo gráfico. Em seguida, enuncia o Teorema de Fourier e explica como calcular os coeficientes da série de Fourier de uma função. Por fim, discute o fenômeno de Gibbs que ocorre nos pontos de descontinuidade.
Representing Images in Frequency DomainMichel Alves
The Fourier transform, named after Joseph Fourier, is a mathematical transform with many applications in physics and engineering. The Fourier Transform is an important image processing tool which is used to decompose an image into its sine and cosine components. The output of the transformation represents the image in the Fourier or frequency domain, while the input image is the spatial domain equivalent. In the Fourier domain image, each point represents a particular frequency contained in the spatial domain image.
El documento encuentra la serie de Fourier de la función f(t)=t para -π≤t≤π. Calcula los coeficientes a0, an, bn y determina que a0=0, an=0 y bn=-2(-1)n/n. Esto implica que la serie de Fourier es f(t)=-2Σ(-1)n/nsen(nt).
O documento descreve os principais conceitos de sinais e processamento de sinais digitais. Apresenta a classificação de sinais, operações básicas com sinais contínuos e discretos no domínio do tempo e as representações gráficas de sinais.
Este documento introduce la serie de Fourier como una herramienta para representar funciones periódicas como la suma de componentes sinusoidales. Explica conceptos clave como funciones periódicas, componente de corriente directa, componente fundamental y armónicos. Además, muestra cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier y realiza ejemplos para ilustrar estos conceptos.
O documento discute o conceito de comunicação, definindo-a como o ato de pôr em comum através de canais e códigos variados. Explora os elementos essenciais do processo comunicativo, como emissor, receptor, mensagem, referente, canal e código. Apresenta também diferentes formas de comunicação como verbal, não-verbal, pessoal e impessoal.
Este documento apresenta os principais conceitos e definições de sistemas de telecomunicações, incluindo elementos básicos como fonte, transmissor, canal de comunicação e receptor. O objetivo do curso é viabilizar o uso eficiente desses sistemas no dia-a-dia de profissionais de redes de computadores. A metodologia inclui aulas expositivas, práticas em laboratório e seminários com avaliação contínua ao longo do semestre.
Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con series de Fourier. Cada problema involucra desarrollar una función dada en una serie de Fourier, calcular coeficientes de Fourier, y estudiar la convergencia de la serie. Los problemas cubren temas como funciones periódicas, puntos de discontinuidad, y aplicaciones de series de Fourier como demostrar identidades trigonométricas.
O documento descreve a história da televisão, desde as primeiras transmissões analógicas na Alemanha em 1936 até o desenvolvimento da TV digital. Detalha os padrões de compressão de vídeo como MPEG e discute os benefícios da TV digital como melhor qualidade de imagem e som e possibilidade de interatividade. Também resume os aspectos considerados no modelo de referência para a TV digital brasileira.
(Agência?) Digital como braço de inovação das empresasLeo Kuba
O documento discute as mudanças no mercado da comunicação com a evolução digital, como as agências precisam se adaptar para oferecer soluções inovadoras. Apresenta modelos de negócios híbridos que combinam serviços de agências tradicionais com tecnologia e produtos, e destaca desafios como a cultura interna das empresas e a necessidade de alinhar interesses entre parceiros.
O documento discute a comunicação e como ela constrói o indivíduo. Em três frases:
A comunicação é um processo social essencial que aproxima as pessoas e promove o desenvolvimento individual através da partilha de ideias. No entanto, é necessário que a mensagem seja compreendida, considerando as diferenças culturais entre emissor e receptor. Um bom processo de comunicação envolve vários elementos como emissor, receptor, mensagem, código e feedback para garantir que a mensagem foi recebida corretamente.
O documento discute conceitos fundamentais da teoria da comunicação, como informação, comunicação e teoria. Apresenta diferentes definições e perspectivas sobre esses conceitos de acordo com autores como Pignatari, Shannon, Weaver e Marques de Melo. Também discute modelos clássicos da teoria da comunicação como o de Shannon-Weaver.
Este documento discute a importância da comunicação nas relações interpessoais. Ele explora como a comunicação verbal e não-verbal, o feedback e o autoconhecimento são fundamentais para relacionamentos saudáveis. Também aborda como reconhecer e superar barreiras à comunicação para evitar conflitos.
Apresentacao que sintetiza as principais teorias de comunicação desenvolvidas desde o início do século XX, utilizada em minhas aulas na FEI e em palestras.
Este documento introduz conceitos básicos sobre sinais e sistemas. Primeiro, define o que é um sinal e apresenta exemplos de sinais. Em seguida, discute medidas de energia e potência de sinais. Por fim, apresenta operações com sinais, classificações de sinais e modelos de sinais comumente utilizados, como degrau unitário e impulso unitário.
Este documento discute fundamentos sobre ruídos, incluindo densidade espectral de potência. A primeira parte define sinais determinísticos e aleatórios, e introduz a densidade espectral de potência como uma forma de caracterizar sinais de potência aleatórios. Também mostra como medir a densidade espectral de potência de um sinal usando um filtro passa-faixa.
1. O documento discute os fundamentos sobre ruídos brancos e rosas, incluindo a densidade espectral de potência.
2. A densidade espectral de potência define a densidade de potência por unidade de banda de frequência de um sinal, e é útil para caracterizar sinais aleatórios e medir sistemas lineares.
3. Ruídos são exemplos de sinais de potência que podem ser caracterizados pela densidade espectral de potência, ao invés de sua transformada de Fourier, pois não possuem representação mate
Este documento discute processos aleatórios, densidade espectral de potência e processos aleatórios passa-faixa. Primeiramente, define processos aleatórios como sistemas dinâmicos que dependem do tempo e são representados por uma família de funções amostras. Em seguida, explica como caracterizar processos aleatórios através de suas estatísticas como média e autocorrelação. Por fim, introduz a densidade espectral de potência e seu relacionamento com a autocorrelação através
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre sinais e sistemas. Discute sinais em tempo contínuo e discreto, transformações de sinais, propriedades como energia e potência. Também aborda sistemas contínuos e discretos e como estes mapeiam sinais de entrada em saída.
O documento define e discute vários conceitos relacionados a sistemas e sinais, incluindo:
1) Sistemas lineares x não lineares, com a definição de sistemas lineares requerendo adição e homogeneidade;
2) Sistemas variantes e invariantes no tempo, dependendo se um atraso na entrada causa um atraso idêntico na saída;
3) Sistemas causais, onde a saída depende apenas de entradas passadas, não futuras.
O documento apresenta uma introdução aos conceitos básicos de análise de sistemas de potência, incluindo representação fasorial de grandezas elétricas, impedância, potência ativa e reativa, fator de potência e sistemas trifásicos.
O documento discute sistemas de controle e fornece exemplos de diferentes tipos de sistemas, incluindo mecânicos, elétricos, fluídicos e térmicos. Apresenta conceitos-chave como modelo matemático, sistema linear, função de transferência e transformada de Laplace. Fornece exemplos de resolução de exercícios envolvendo sistemas mecânicos e elétricos.
Exercicio 6 transformada de fourier no tempo discreto - resposta em frequenciaAlessandro Beda
1) O documento descreve um filtro passa-baixa com resposta ao impulso h[n] = A(δ[n] + g[n]δ[n-1]) com A = 1/2 e g[n] = 1.
2) É solicitado calcular a resposta em frequência do filtro, escrever a equação às diferenças e determinar a banda de passagem.
3) Também é solicitado modificar o filtro para reduzir a banda de passagem e transformá-lo em um filtro passa-faixa.
Exercicio 5 transformada de fourier no tempo continuoAlessandro Beda
O documento discute a transformada de Fourier de sinais periódicos amostrados. Ele apresenta: (1) o espectro de Fourier de um sinal base x(t); (2) a frequência mínima de amostragem para x(t) sem aliasing; (3) o espectro de x(t) modulado por um trem de impulsos; e (4) o espectro da saída de um sistema linear invariante no tempo com entrada x(t) modulado.
Este documento descreve dois métodos para analisar sinais no domínio da frequência: 1) representar graficamente os coeficientes da série de Fourier de sinais de duração finita e 2) representar os coeficientes de segmentos limitados de sinais que variam no tempo, criando espectrogramas. O documento fornece exemplos e funções para aplicar esses métodos a sinais como sinusoides e chirps.
O documento descreve uma abordagem prática para análise de vibração utilizando acelerômetro e Transformada de Fourier. O artigo apresenta os conceitos básicos de vibração mecânica, tipos de acelerômetros, e a técnica de Transformada de Fourier para análise do sinal captado pelo acelerômetro quando exposto a vibrações sonoras.
Exercicio 7 transformada de fourier no tempo continuo iiAlessandro Beda
1) O documento descreve um modelo matemático para a ventilação mecânica, representando os pulmões e vias aéreas por um balão e tubo conectados.
2) A equação descreve como as oscilações periódicas de pressão na entrada geram variações no volume pulmonar de acordo com parâmetros respiratórios.
3) A resolução fornece respostas analíticas para diferentes entradas no sistema, ilustrando como a frequência respiratória afeta a amplitude da saída.
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cálculo e transformada de Fourier. Inclui exercícios para calcular valores de integrais usando a representação de Fourier, calcular transformadas de Fourier de diferentes funções, integrar funções, determinar expressões para a convolução de funções e identificar propriedades da transformada de Fourier a partir de informações sobre a função original.
1) O documento discute processos estocásticos e séries temporais econômicas, definindo processos estocásticos e abordando processos estacionários e não estacionários.
2) Apresenta definições de autocorrelação e discute simulações de processos ruído branco e passeio aleatório no Stata.
3) Discutem testes de raiz unitária de Dickey-Fuller para verificar estacionariedade.
O documento discute séries temporais, definindo-as como conjuntos de dados observados em diferentes momentos no tempo. Apresenta seus principais componentes, incluindo tendência, variações cíclicas e sazonais e variações irregulares. Também explica conceitos-chave como estacionariedade, ruído branco, raiz unitária, cointegração e diferentes modelos para análise e previsão de séries temporais.
O documento descreve séries de Taylor e de Maclaurin, que são expansões em séries de potências de uma função em torno de um ponto. Também discute séries de Fourier, que são expansões em séries trigonométricas de uma função periódica. Fornece definições e fórmulas para calcular os coeficientes dessas séries.
O documento apresenta os principais conceitos de modulação e demodulação digital, incluindo: (1) modulações binárias e M-árias; (2) representação vetorial de sinais; (3) constelações de sinais e regiões de decisão; (4) receptores ótimos de mínima distância. O documento também discute a modulação PAM em banda básica e apresenta exemplos de constelações e probabilidade de erro para PAM "on-off".
1) O documento discute funções vetoriais e suas propriedades como domínio, imagem e continuidade.
2) Apresenta exemplos de curvas no espaço como helicóide e cicloide definidas por funções vetoriais.
3) Discutem derivadas de funções vetoriais e suas interpretações geométricas em termos de velocidade e aceleração de uma partícula.
1) O documento apresenta apontamentos das aulas teóricas de Análise de Circuitos, abordando tópicos como definições e unidades, leis de circuitos, técnicas de análise e simplificação de circuitos, amplificador operacional, sinais, capacidade e auto-indução, e circuitos de primeira e segunda ordem.
2) São definidos os elementos elétricos como fontes de tensão, fontes de corrente e resistências, e apresentadas as leis de Kirchhoff para análise de circuitos.
3) As técnicas
Semelhante a Princípios de Comunicação - UFPI (20)
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1. An´alise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distor¸c˜ao Energia, Potˆencia e Autocorrela¸c˜ao
AULA 02: AN´ALISE E TRANSMISS˜AO DE SINAIS
Prof. Dr. Lu´ıs Gustavo Mota Souza
Disciplina: Princ´ıpios de Comunica¸c˜ao
Universidade Federal do Piau´ı
Curso de Engenharia El´etrica
Teresina-PI, Brasil.
2. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Roteiro
1 Análise de Fourier
2 Sistemas Lineares
3 Filtros
4 Distorção
5 Energia, Potência e Autocorrelação
3. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Sinais
Um sinal representa um conjunto de informações ou dados
Sinais são funções do tempo
Em comunicações, os sinais podem representar uma
tensão ou uma corrente elétrica
A medida da força de um sinal pode ser feita de duas
maneiras:
Energia de um sinal
Potência de um sinal
4. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Energia e potência
Seja g(t) um sinal qualquer
A energia de g(t) representada por Eg é definida como:
Eg =
∞
−∞
|g(t)|2
dt
A potência de g(t) representada por Pg é definida como:
Pg = lim
T→∞
1
T
T/2
−T/2
|g(t)|2
dt
O valor RMS de g(t) é igual a Pg
5. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Potência de sinais periódicos
Um sinal é periódico se para alguma constante positiva T0,
g(t) = g(t + T0) ∀t
O menor valor de T0 é o período de g(t)
Quando g(t) é periódico, então Pg pode ser calculada a
partir da expressão:
Pg =
1
T0 T0
|g(t)|2
dt
6. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplos
Calcular a energia e a potência do sinal abaixo:
7. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplos
Calcular a energia e a potência do sinal abaixo:
8. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Análise de Fourier
A análise de Fourier (séries e transformadas) é utilizada
na análise de sinais
As séries de Fourier são usadas para analisar sinais
periódicos
A transformada de Fourier pode ser utilizada tanto na
análise de sinais aperiódicos quanto periódicos
A representação de um sinal em séries de Fourier pode
ser comparada com a representação de um vetor em
componentes de uma base de um espaço vetorial
Nas séries de Fourier, um sinal é representado como a
soma de componentes em uma base de funções
ortogonais (senos, cossenos ou exponenciais)
9. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Série Trigonométrica
Seja x(t) um sinal periódico com período T0
x(t) pode ser representado em séries de Fourier como:
x(t) = a0 +
∞
n=1
an cos (nω0t) + bn sin (nω0t)
Sendo,
a0 =
1
T0 T0
x(t)dt
an =
2
T0 T0
x(t) cos nω0tdt
bn =
2
T0 T0
x(t) sin nω0tdt
10. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Série Trigonométrica Compacta
Outras representações podem ser obtidas para a série de
Fourier
A série de Fourier pode ser escrita na forma compacta
como:
x(t) = C0 +
∞
n=1
Cn cos (nω0t + θn)
Sendo os coeficientes C0, Cn e θn obtidos a partir de a0,
an e bn de acordo com as relações
C0 = a0
Cn = a2
n + b2
n
θn = arctan
−bn
an
11. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Série Exponencial de Fourier
A partir das relações de Euler, pode-se obter a série
exponencial de Fourier, que é dada por:
x(t) =
∞
n=−∞
Dnejnω0t
Dn =
1
T0 T0
x(t)e−jnω0t
dt
Pode-se mostrar que:
Dn =
an − jbn
2
=
Cn
2
ejθn
e D−n =
an + jbn
2
=
Cn
2
e−jθn
, n ∈ N
Além disso, a0 = C0 = D0
12. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplos
Obter as representações em série de Fourier para o sinal
abaixo:
13. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Teorema de Parseval
O teorema de Parseval permite calcular a potência de um
sinal a partir do espectro de amplitude do sinal
Segundo o teorema de Parseval, a potência de um sinal
periódico é igual a soma das potências das componentes
da série, ou seja:
Px = C2
0 +
1
2
∞
n=1
C2
n
Px =
∞
n=−∞
|Dn|2
= D2
0 + 2
∞
n=1
|Dn|2
Este teorema é particularmente útil se avaliar o peso de
cada harmônica em um sinal periódico qualquer
14. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transformada de Fourier
Para sinais aperiódicos, a representação em frequência
pode se obtida a partir das séries de Fourier no limite
T0 → ∞
Para um sinal g(t), tem-se:
G(ω) = F[g(t)] e g(t) = F−1
[G(ω)]
g(t) ↔ G(ω)
G(ω) =
∞
−∞
g(t)e−jωt
dt
g(t) =
1
2π
∞
−∞
G(ω)ejωt
dω
ω = 2πf
G(f) =
∞
−∞
g(t)e−j2πft
dt
g(t) =
∞
−∞
G(f)ej2πft
df
15. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Amplitude e Fase do Espectro
G(ω) é em geral uma função complexa de ω
G(ω) = |G(ω)|ejθg
Quando g(t) é real, tem-se:
G(−ω) = G∗
(ω) =⇒
|G(ω)| = |G(−ω)|
θg(ω) = −θg(−ω)
16. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
Calcular a transformada de Fourier de
g(t) = e−atu(t), a > 0
G(ω) = 1
a+jω = 1√
a2+ω2
e−j arctan (ω/a)
17. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transformadas de algumas funções
A função retangular (Unit Gate) é definida como:
Π(
x
τ
) = rect(
x
τ
) =
0, |x| > τ
2
1
2, |x| = τ
2
1, |x| < τ
2
18. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transformadas de algumas funções
g(t) = rect(
t
τ
) ⇐⇒ G(ω) =
τ sin ωτ/2
ωτ/2
= τsinc(
ωτ
2
)
A função sinc(x) = sin x
x possui as seguintes propriedades:
sinc(x) = sinc(−x)
sinc(x) = 0 =⇒ sin x = 0, x = 0 =⇒ x = ±nπ; n =
{1, 3, · · · }
sinc(0) = 1
sinc(x) é uma função com período 2π que decresce de
acordo com 1/x
19. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transformadas de algumas funções
O espectro do pulso retangular se estende até infinito
(largura de banda infinita)
Uma estimativa grosseira: 2π/τ rad/s ou 1/τHz
20. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transformadas de algumas funções
Impulso no tempo
δ(t) ⇐⇒ 1
Impulso em frequência
1 ⇐⇒ 2πδ(ω)
Impulso em frequência deslocado
ejω0t
⇐⇒ 2πδ(ω − ω0)
e−jω0t
⇐⇒ 2πδ(ω + ω0)
21. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transformadas de algumas funções
Cosseno
cos ω0t =
1
2
(ejω0t
+ e−jω0t
)
F[cos ω0t] = π[δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)]
Seno
sin ω0t =
1
2j
(ejω0t
− e−jω0t
)
F[sin ω0t] = πj[δ(ω + ω0) − δ(ω − ω0)]
22. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Propriedades da Transformada de Fourier
Simetria
g(t) ⇐⇒ G(ω)
G(t) ⇐⇒ 2πg(−ω)
Example
rect(
t
τ
) ⇐⇒ τsinc(
ωτ
2
)
τsinc(
tτ
2
) ⇐⇒ 2πrect(
ω
τ
)
23. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Propriedades da Transformada de Fourier
Scaling
g(t) ⇐⇒ G(ω)
g(at) ⇐⇒
1
|a|
G(
ω
a
)
a > 1, compressão no tempo resulta na expansão em
frequência
a < 1, expansão no tempo resulta na compressão em
frequência
24. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Propriedades da Transformada de Fourier
Deslocamento no tempo
g(t) ⇐⇒ G(ω)
g(t − t0) ⇐⇒ e−jωt0G(ω)
Deslocamento em frequência
g(t) ⇐⇒ G(ω)
g(t)ejω0t
⇐⇒ G(ω − ω0)
Sinal Modulado
g(t) cos ω0t ⇐⇒
1
2
[G(ω − ω0) + G(ω + ω0)]
25. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Propriedades da Transformada de Fourier
Convolução
g(t) ∗ w(t) =
∞
−∞
g(τ)w(t − τ)dτ
Convolução no tempo
g1(t) ⇐⇒ G1(ω); g2(t) ⇐⇒ G2(ω)
g1(t) ∗ g2(t) ⇐⇒ G1(ω)G2(ω)
Convolução em frequência
g1(t) ⇐⇒ G1(ω); g2(t) ⇐⇒ G2(ω)
g1(t)g2(t) ⇐⇒
1
2π
G1(ω) ∗ G2(ω)
26. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Propriedades da Transformada de Fourier
Diferenciação no tempo
g(t) ⇐⇒ G(ω)
dg(t)
dt
⇐⇒ jωG(ω)
Integração no tempo
g(t) ⇐⇒ G(ω)
t
−∞
g(τ)dτ ⇐⇒
G(ω)
jω
+ πG(0)δ(ω)
27. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Sistemas Lineares
Para um sistema LIT, a relação entre a entrada e a saída é
dada por
y(t) = g(t) ∗ h(t)
No domínio da freqüência, tem-se
Y(ω) = G(ω)H(ω)
= |Y(ω)|eθy (ω)
= |G(ω)||H(ω)|e[θg(ω)+θh(ω)]
Portanto,
|Y(ω)| = |G(ω)||H(ω)|
θy (ω) = θg(ω) + θh(ω)
28. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transmissão sem Distorção
Em uma transmissão sem distorção, a forma de onda de
entrada deve ser preservada
Toleram-se atrasos e uma alteração uniforme na amplitude
y(t) = kg(t − td )
No domínio da freqüência, tem-se
Y(ω) = kG(ω)e−jωtd
→ H(ω) = ke−jωtd
Resposta em amplitude constante - |H(ω)| = k
Resposta em fase linear - θh(ω) = −ωtd
29. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Transmissão sem Distorção
O atraso pode ser representado pelo negativo da
inclinação da resposta em fase
td (ω) = −
dθh
dω
td (ω) constante implica que todas as componentes do
sinal são igualmente atrasadas por td
Para um sistema sem distorção, td (ω) deve ser pelo
menos constante na banda de interesse
30. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
Para o circuito RC, determinar H(ω), esboçar |H(ω)|, θh(ω) e
td (ω). Para que a transmissão seja sem distorção, qual o
requisito da largura de banda de g(t) se a variação tolerada na
resposta em amplitude é de 2% e de 5% no atraso? Qual é o
atraso? Encontre y(t).
31. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
H(ω) =
1
1 + jωRC
=
a
a + jω
; a =
1
RC
= 106
|H(ω)| =
a
√
a2 + ω2
≃ 1; ω ≪ a
θh(ω) = − arctan
ω
a
≃ −
ω
a
; ω ≪ a
td (ω) = −
dθh
dω
=
a
ω2 + a2
≃
1
a
= 10−6
; ω ≪ a
32. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
33. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
Como H(0) = 1 e td (0) = 1/a, a região de transmissão
sem distorção é calculada como
|H(ω0)| =
a
a2 + ω2
0
≥ 0, 98 → ω0 ≤ 203.000
td (ω0) =
a
ω2
0 + a2
≥
0, 95
a
→ ω0 ≤ 229.400
Assim, a banda de g(t) deve ser menor que 203.000 rad/s
ou 32,31 kHz
34. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Filtros Ideais
Em muitas situações práticas é necessário limitar o
espectro de freqüências de um sinal
Melhor aproveitamento do espectro
Componentes de alta freqüência de pouca relevância na
aplicação considerada
Os filtros ideais permitem que a transmissão ocorra sem
distorção em uma determinada banda e suprimem as
freqüências fora dessa banda
Os principais tipos de filtros são:
Passa-baixas (Low-pass)
Passa-altas (High-pass)
Passa-faixas (Band-pass)
Rejeita-faixas
35. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Filtros Ideais
36. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Filtros Ideais
Os filtros ideais não são fisicamente realizáveis
H(ω) = rect
ω
2W
e−jωtd → h(t) =
W
π
sinc[W(t − td )]
h(t) é não causal e portanto não é fisicamente realizável
Outra forma de verificar se um filtro é fisicamente
realizável é verificar se ele atende o critério de
Paley-Wiener
∞
−∞
| ln |H(ω)||
1 + ω2
dω < ∞
37. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Filtros Realizáveis
Filtros fisicamente realizáveis podem ser obtidos
truncando-se a parte negativa de h(t), resultando em
ˆh(t) = h(t)u(t)
Se td é grande, h(t) e ˆh(t) são bastante próximos
ˆH(ω) é uma boa aproximação
38. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Filtros Realizáveis
Os filtros práticos não realizam cortes bruscos
O espectro de amplitude do filtro de Butterworth se
aproxima do filtro ideal quando n → ∞
39. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Filtros de Butterworth para n = 4
40. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Tipos de Distorção
Os sinais quando são transmitidos através de canais estão
freqüentemente sujeitos à distorção
Características não ideais dos canais
Os principais tipos de distorção são os seguintes:
Distorção linear
Distorção causada por não linearidades do canal
Distorção causada por efeitos de multipercurso
Desvanecimento (Fading)
41. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Distorção Linear
Quando as características do canal não são ideais, as
componentes de Fourier não são igualmente afetadas
Componentes que se cancelavam podem não mais se
cancelar
O resultado é o espalhamento ou dispersão dos pulsos de
informação
42. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Distorção Causada por Não Linearidades do Canal
O modelo de canal linear é válido apenas para pequenos
sinais
Para grandes amplitudes, as características não lineares
não podem ser negligenciadas
y = f(g) = a0 + a1g(t) + a2g2
(t) + · · · + ak gk
(t) + · · ·
Se g(t) tem largura de banda de B Hz, então gk (t) tem
largura de banda de kB Hz
Espalhamento ou dispersão espectral
Nocivo para sistemas multiplexados em freqüência (FDM)
44. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Distorção Causada por Efeitos de Multipercurso
O sinal transmitido pode chegar no receptor através de
dois ou mais caminhos
A atenuação e o atraso podem ser diferentes para cada
caminho
A interferência entre os dois sinais dá origem ao
desvanecimento seletivo em freqüência
45. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Energia de um Sinal
A energia de um sinal g(t) pode ser calculada no domínio
do tempo a partir da seguinte expressão
Eg =
∞
−∞
|g(t)|2
dt
No domínio da freqüência, de acordo com o teorema de
Parseval, a energia de g(t) pode ser calculada como
Eg =
1
2π
∞
−∞
|G(ω)|2
dω
46. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Densidade Espectral de Energia
A partir da expressão de Parseval verifica-se que a energia
pode ser obtida através da área do gráfico de |G(ω)|2
Define-se então a densidade espectral de energia (DEE -
ESD em inglês) como
Ψg(ω) = |G(ω)|2
Assim, tem-se que:
Eg =
1
2π
∞
−∞
Ψg(ω)dω =
∞
−∞
Ψg(f)df
Para um sistema LIT em que y(t) = h(t) ∗ g(t), então:
Ψy (ω) = |H(ω)|2
Ψg(ω)
47. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Largura de Banda Essencial
O espectro da maioria dos sinais se estende até o infinito
Entretanto, como a energia é em geral finita, o espectro de
amplitude tende a zero quando ω → ∞
Pode-se então suprimir as componentes acima de B Hz
(2πB rad/s) com pouco efeito no sinal original
Segundo esse critério, a largura de banda B é chamada
de largura de banda essencial
O critério para estimar B depende da aplicação
considerada
Faixa de freqüência que contém 95% da energia do sinal
48. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
Problema
Estime a largura de banda essencial W em rad/s do sinal
e−atu(t), a > 0, sendo que essa banda deve conter 95% da
energia do sinal.
Solução
g(t) = e−at
u(t) ↔ G(ω) =
1
jω + a
Eg =
∞
0
e−2at
=
1
2π
∞
−∞
1
ω2 + a2
dω =
1
2a
0, 95
1
2a
=
1
2π
W
−W
1
ω2 + a2
dω → W = (12, 706.a)rad/s
49. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
Problema
Estime a largura de banda essencial W em rad/s do sinal
e−atu(t), a > 0, sendo que essa banda deve conter 95% da
energia do sinal.
Solução
g(t) = e−at
u(t) ↔ G(ω) =
1
jω + a
Eg =
∞
0
e−2at
=
1
2π
∞
−∞
1
ω2 + a2
dω =
1
2a
0, 95
1
2a
=
1
2π
W
−W
1
ω2 + a2
dω → W = (12, 706.a)rad/s
50. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Energia de Sinais Modulados
Seja g(t) um sinal em banda básica limitado em banda a
B Hz (2πB rad/s) com DEE igual a Ψg(ω)
Seja ϕ(t) = g(t) cos ω0t um sinal modulado em amplitude,
com ω0 ≥ 2πB, tem-se que:
Φ(ω) = F{ϕ(t)} =
1
2
[G(ω + ω0) + G(ω − ω0)]
Ψϕ(ω) = |Φ(ω)|2
=
1
4
|G(ω + ω0) + G(ω − ω0)|2
=
1
4
|G(ω + ω0)|2
+ |G(ω − ω0)|2
=
1
4
Ψg(ω + ω0) + Ψg(ω − ω0)
51. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Energia de Sinais Modulados
Assim, a energia do sinal modulado corresponde à metade
da energia do sinal em banda básica, ou seja
Eϕ =
1
2
Eg
52. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Autocorrelação
A autocorrelação de um sinal real g(t) é definida como
ψg(τ) =
∞
−∞
g(t)g(t + τ)dt =
∞
−∞
g(t)g(t − τ)dt
Mostra-se que a autocorrelação é uma função par
Um resultado importante relaciona a autocorrelação e a
DEE
ψg(τ) ⇐⇒ Ψg(ω) = |G(ω)|2
53. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
Problema
Calcule a função de autocorrelação no tempo de
g(t) = e−atu(t), a > 0 e obtenha a partir dela a DEE de g(t)
Solução
g(t) = e−at
u(t); g(t − τ) = e−a(t−τ)
u(t − τ)
ψg(τ) =
∞
−∞
g(t)g(t − τ)dt =
1
2a
e−aτ
, τ > 0
ψg(τ) = ψg(−τ) → ψg(−τ) =
1
2a
eaτ
, τ < 0
ψg(τ) =
1
2a
e−a|τ|
⇐⇒ Ψg(ω) =
1
ω2 + a2
54. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
Problema
Calcule a função de autocorrelação no tempo de
g(t) = e−atu(t), a > 0 e obtenha a partir dela a DEE de g(t)
Solução
g(t) = e−at
u(t); g(t − τ) = e−a(t−τ)
u(t − τ)
ψg(τ) =
∞
−∞
g(t)g(t − τ)dt =
1
2a
e−aτ
, τ > 0
ψg(τ) = ψg(−τ) → ψg(−τ) =
1
2a
eaτ
, τ < 0
ψg(τ) =
1
2a
e−a|τ|
⇐⇒ Ψg(ω) =
1
ω2 + a2
55. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Exemplo
56. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Potência de um Sinal
A potência de um sinal g(t) é definida como
Pg = lim
T→∞
1
T
T/2
−T/2
g2
(t)dt
A potência pode ser interpretada como sendo a energia
média da versão truncada de g(t), definida por
gT (t) =
g(t) , |t| ≤ T/2
0 , |t| > T/2
Tem-se então,
Pg = lim
T→∞
EgT
T
57. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Densidade Espectral de Potência
Analogamente ao que foi feito para os sinais de energia,
pode-se mostrar que para um sinal de potência g(t)
Pg =
1
2π
∞
−∞
lim
T→∞
|GT (ω)|2
T
dω
Define-se então a Densidade Espectral de Potência (DEP
- PSD em inglês) de g(t) como sendo
Sg(ω) = lim
T→∞
|GT (ω)|2
T
Logo, a potência pode ser expressada como
Pg =
1
2π
∞
−∞
Sg(ω)dω
58. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Autocorrelação de Sinais de Potência
A autocorrelação no tempo para um sinal de potência real
g(t) é definida como
Rg(τ) = lim
T→∞
1
T
T/2
−T/2
g(t)g(t + τ)dt
= lim
T→∞
1
T
T/2
−T/2
g(t)g(t − τ)dt
Rg(τ) é uma função par
59. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação
Autocorrelação de Sinais de Potência
Como
Rg(τ) = lim
T→∞
1
T
∞
−∞
gT (t)gT (t + τ)dt = lim
T→∞
ψgT (τ)
T
Tem-se que
Rg(τ) ⇐⇒ lim
T→∞
|GT (ω)|2
T
= Sg(ω)
O valor médio quadrático (RMS) de g(t) é dado por
[g(t)]RMS = Pg
A relação entre a DEP da saída de um sistema LIT e a
DEP da entrada é dada por
Sy (ω) = |H(ω)|2
Sg(ω)