O documento descreve propriedades trigonométricas elementares e relações de ortogonalidade entre funções seno e cosseno. Ele também apresenta como determinar os coeficientes de Fourier para uma função periódica a partir de suas relações de ortogonalidade.

1. Fabiano J. Santos
6
2.1. Relações Trigonométricas Elementares
Antes de examinarmos com mais detalhes Séries Trigonométricas da forma (11) do Capítulo
01 investigaremos algumas propriedades importantes das funções que a definem. Comecemos
relembrando, da trigonometria elementar, as fórmulas para o seno e cosseno da soma e da diferença:
 seno da soma:
)sen()cos()cos()sen()sen( bababa  , (1)
 cosseno da soma:
)sen()sen()cos()cos()cos( bababa  , (2)
 seno da diferença:
)sen()cos()cos()sen()sen( bababa  , (3)
 cosseno da diferença:
)sen()sen()cos()cos()cos( bababa  . (4)
A partir destas obtemos três outras relações que utilizaremos adiante no cálculo de algumas
integrais.
 Fazendo (2) + (4) obtemos:
)cos()cos(2)cos()cos( bababa  , (5)
 Fazendo (1) - (3) obtemos:
)sen()cos(2)sen()sen( bababa  , (6)
 Fazendo (4) - (2) obtemos:
)sen()sen(2)cos()cos( bababa  , (7)
2.2. Relações de Ortogonalidade1
Teorema: se *
,  znm (inteiros positivos), então:



















nmL
nm
dt
L
tn
L
tm
L
L
,
,0
coscos

; (8)
(9)
1
Maiores detalhes ortogonalidade ver Capítulo 05 – Álgebra Linear com Aplicações – Steven J. Leon – Quarta
Edição – Editora LTC.

2. Capítulo 02
7
nmdt
L
tn
L
tm
L
L
,,0sencos 














;



















nmL
nm
dt
L
tn
L
tm
L
L
,
,0
sensen

.
(10)
As relações (8), (9) e (10) são chamadas relações de ortogonalidade e mostram que as
funções
 L
xmcos e  L
xnsen
formam um conjunto ortonormal com relação ao produto escalar



L
L
dttgtf
L
gf )()(
1
, , (11)
definido para o espaço vetorial  LLC , .
As relações de ortogonalidade nos mostram que:
i) quando nm  , as funções  L
tmcos e  L
tnsen são ortogonais, pois (11) se anula,
ii) quando nm  , as funções  L
tmcos e  L
tnsen são unitárias, pois (11) torna-se unitário.
Provaremos a relação (8) e deixamos (9) e (10) a como exercício (problemas 03 e 04).
Prova de (8):
Caso nm  : utilizando a relação (05) podemos escrever:


























L
L
L
L
dt
L
tn
L
tm
L
tn
L
tm
dt
L
tn
L
tm 
coscos
2
1
coscos













 





 

L
L
dtt
L
nm
t
L
nm )(
cos
)(
cos
2
1 

3. Fabiano J. Santos
8
=
L
L
t
T
nm
nm
L
t
L
nm
nm
L












 






 

)(
sen
)(
)(
sen
)(2
1 



          0)(sen)(sen
)(
)(sen)(sen
)(2
1











 nmnm
nm
L
nmnm
nm
L




,
pois como m e n são inteiros ( nm  ), temos que nm  e nm  são inteiros não nulos. Como
o seno de múltiplos inteiros de  é zero, todas as parcelas na última igualdade se anulam.
Caso nm  : nesta caso (8) fica:




















L
L
L
L
dt
L
tn
dt
L
tn
L
tm  2
coscoscos
L
L
L
L
L
tn
n
L
tdtt
L
n



















 


 2
sen
22
12
cos1
2
1
    Ln
n
L
Ln
n
L
L 





 



2sen
2
2sen
22
1
pois uma vez que n é inteiro os senos se anulam.
2.3. Séries Trigonométricas Novamente
Voltemos agora às séries trigonométricas da forma
















1
0 sencos
n
nn
L
tn
b
L
tn
aa

, (12)
na qual observamos que todas as infinitas parcelas da série são periódicas de período LT 2 . No
conjunto de valores para t onde (12) converge, ela define uma função periódica f de período
LT 2 . Dizemos então que (12) é a Série de Fourier 2
para f e escrevemos
















1
0 sencos)(
n
nn
L
tn
b
L
tn
aatf

, (13)
2
Jean Baptiste Joseph Fourier, Físico-Matemático francês (1768 – 1830). Fourier utilizou séries da forma (13) em seu
famoso trabalho "Théorie Analytique de la Chaleur", onde estudou os fenômenos de condução de calor.

4. Capítulo 02
9
onde os coeficientes ,...,,...,,, 21210 bbaaa são chamados Coeficientes de Fourier da Série de
Fourier de f .
2.4. Determinação dos Coeficientes de Fourier
Agora nosso próximo objetivo é: dada uma função f periódica de período LT 2 ,
determinar os Coeficientes de Fourier para esta função em particular. Em outras palavras,
determinar a Série de Fourier para uma dada função. Para tal fim lançaremos mão das relações de
ortogonalidade anteriormente discutidas.
Determinação de 0a : integrando ambos os membros de (13) sobre o intervalo  LL, obtemos3
:
 

 



























1
0 sencos)(
n
L
L
nn
L
L
L
L
dt
L
tn
b
L
tn
adtadttf

 
L
Ln
nn
L
L
L
L
L
tn
n
L
b
L
tn
n
L
atadttf





 


















1
0 cossen)(




          Lann
n
L
bnn
n
L
aLadttf
n
nn
L
L
0
1
0 2coscossensen2)( 






 






,
pois os senos são nulos (múltiplos inteiros de  ) e     nn  coscos . Logo



L
L
dttf
L
a )(
2
1
0 . (14)
Observe que, geometricamente, o valor do coeficiente 0a é a razão da área algébrica sob a
curva em um período pelo tamanho do próprio período.
Determinação de na : multiplicando ambos os membros de (13) por 





L
tm
cos e integrando
ambos os membros sobre o intervalo  LL, obtemos
3
Uma série de funções pode ser derivada e integrada termo a termo somente se esta for uniformemente convergente.
Este é o caso das Séries de Fourier. Veja os Capítulos 02 3 03 – Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais –
Djairo Guedes de Figueiredo – Quarta Edição – Editora do IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada).

5. Fabiano J. Santos
10








L
L
dt
L
tm
tf

cos)(
 

 



















































1
0 cossencoscoscos
n
L
L
n
L
L
n
L
L
dt
L
tm
L
tn
bdt
L
tm
L
tn
adt
L
tm
a

onde a primeira integral do membro direito é nula (verifique os cálculos) e também a segunda
integral do do somatório, pela relação de ortogonalidade (9). Pela relação de ortogonalidade (8), a
primeira integral do somatório é nula se nm  e vale L se nm  . Assim, fazendo nm  ,
obtemos
Ladt
L
tn
tf n
L
L









cos)( ,
donde









L
L
n dt
L
tn
tf
L
a

cos)(
1
. (15)
Determinação de nb : multiplicando ambos os membros de (13) por 





L
tm
sen e integrando
ambos os membros sobre o intervalo  LL, obtemos








L
L
dt
L
tm
tf

sen)(
 

 


















































1
0 sensensencossen
n
L
L
n
L
L
n
L
L
dt
L
tm
L
tn
bdt
L
tm
L
tn
adt
L
tm
a

,
onde a primeira integral do membro direito é nula (verifique os cálculos) e também a primeira
integral do do somatório, pela relação de ortogonalidade (9). Pela relação de ortogonalidade (10), a
segunda integral do somatório é nula se nm  e vale L se nm  . Assim, fazendo nm  ,
obtemos
Lbdt
L
tn
tf n
L
L









sen)( ,
donde

6. Capítulo 02
11









L
L
n dt
L
tn
tf
L
b

sen)(
1
. (16)
Os relações obtidas em (14), 15) e (16) são chamadas Fórmulas de Euler-Fourier, e se
destinam ao cálculo dos Coeficientes de Fourier da série (13) para uma dada função f . Estas três
relações serão os nossos principais instrumentos de cálculo a partir de agora.
Problemas
01. Verifique a relação (02).
02. A partir da relação (02) verifique as relações (01), (03) e (04).
03. Verifique a relação (9). (Sugestão: utilize a relação 06 e integre)
04. Verifique a relação (10). (Sugestão: utilize a relação 07 e integre. Atenção: deve-se verificar os
dois caos: nm  e nm  )
05. Refaça (cuidadosamente) todos os cálculos para a determinação de (14), (15) e (16).