1) O documento descreve o método geral para encontrar o ponto de interseção entre uma reta e um plano. 2) Inclui exemplos resolvidos passo a passo ilustrando como aplicar o método geral a diferentes situações geométricas. 3) Fornece instruções detalhadas sobre como determinar as projeções do ponto de interseção em cada exemplo.

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Recta com Plano II © antónio de campos, 2009

2. INTERSECÇÃO DE RECTAS COM PLANOS MÉTODO GERAL Conduz-se pela recta um plano auxiliar que a contenha (em geral um plano projectante, mas não necessariamente). Determina-se a recta de intersecção entre os dois planos. Esta recta e a recta dada são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar. O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado. ρ f ρ h ρ f ρ h ρ v 2 (v 1 ) v v 2 (v 1 ) I ≡ I 1 I 2 ≡ I 1 r 2 r r 1 ≡ h α r 2 H F α f α f α h α ≡ r 1 x xz xy x H 2 H 1 F 2 F 1 I 2

3. INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I , de uma recta oblíqua r (não projectante) com um plano oblíquo α (não projectante). α f α h α f α h α r 2 r 1 r 2 r 1 I I 2 I 1 f θ ≡ h θ r θ F H i 2 ≡ i 1 f θ ≡ h θ ≡ i 1 i i 2 x xz xy x F 2 F 1 H 2 H 1 I 2 I 1

4. Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 4 cm de afastamento, e tem o seu traço frontal com 3 cm de cota. Uma recta oblíqua r contém o ponto A (4; 2), e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x . O traço horizontal da recta r tem –1 cm de afastamento. Determina as projecções do ponto de intersecção I , entre a recta r e o plano ρ . h ρ f ρ r 1 r 2 Utilizar o método geral de intersecção de uma recta com um plano: 1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar vertical α que contenha a recta r ; 2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada r são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar α ; 3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada r com o plano dado ρ . ≡ h α f α ≡ i 1 i 2 ≡ H’ 1 x A 1 A 2 H 2 H 1 F 2 F 1 H’ 2 I 2 I 1

5. Um plano oblíquo α tem os seus traços coincidentes, e o seu traço frontal concorre com o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa, fazendo com o eixo x um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta oblíqua r contém o ponto A (0; 4; 4), e tem as suas projecções paralelas entre si, sendo a sua projecção frontal perpendicular ao traço frontal do plano α . Determina as projecções do ponto de intersecção I , entre a recta r e o plano α . f α ≡ h α r 2 r 1 Utilizar o método geral de intersecção de uma recta com um plano: 1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar vertical γ que contenha a recta r ; 2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada r são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar γ ; 3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada r com o plano dado α . € ≡ h γ f γ ≡ i 1 i 2 x y ≡ z A 1 A 2 H 2 H 1 F 2 F 1 I 2 I 1

6. Um plano oblíquo α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x , e são concorrentes com o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa. O traço horizontal do plano α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x . Uma recta horizontal h contém o ponto A (-1; 3; 1), e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. Determina as projecções do ponto de intersecção I , entre a recta h e o plano α . h α f α h 2 h 1 Utilizar o método geral de intersecção de uma recta com um plano: 1. Conduzir pela recta h um plano auxiliar horizontal ν que contenha a recta h ; 2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada h são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar ν ; 3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada h com o plano dado α . € ≡ (f ν ) ≡ i 2 i 1 x y ≡ z A 2 A 1 F 2 F 1 I 2 I 1