O documento apresenta três métodos para resolver sistemas de equações do primeiro grau: o método da adição, o método da substituição e o método da igualdade. Exemplos ilustram cada método e mostram que a solução é a mesma independente do método escolhido. Além disso, o documento apresenta dez questões objetivas sobre sistemas de equações para exercitar o leitor.
Sistema De EquaçõEs Do 1º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
O documento discute sistemas de equações do primeiro grau. Explica três métodos para resolver sistemas: adição, substituição e igualdade. Aplica os métodos para resolver exercícios sobre sistemas em situações reais, como o número de extintores em um depósito.
O documento apresenta exemplos de sistemas de equações do 1o e 2o grau. No primeiro exemplo, é resolvido um sistema linear com duas equações e duas incógnitas para encontrar as idades de Marlon e Maria. O segundo exemplo resolve um sistema não linear com duas equações do 2o grau para encontrar dois números cuja soma é 18 e produto é 45.
Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitaslerynha
1) Dois métodos são apresentados para resolver sistemas de equações: substituição e adição. No método da substituição, uma incógnita é isolada e substituída na outra equação. No método da adição, as equações são somadas de forma a anular uma das incógnitas.
2) Exemplos são resolvidos para ilustrar os métodos. No primeiro exemplo, o método da substituição é usado para encontrar que a solução é S=(8,12).
3) No segundo exemplo, o método da adição é aplicado e também chega-se à sol
Este documento discute equações de primeiro grau com duas incógnitas, como encontrar soluções para tais equações, e representá-las graficamente em um plano cartesiano. Explica como cada solução é um par ordenado (x, y) e como atribuir valores a uma das variáveis calcula o valor da outra.
O documento descreve uma atividade matemática sobre sistemas de equações para alunos do 8o ano do ensino fundamental. O objetivo é resolver problemas com 2 equações e 2 incógnitas usando um exemplo com as medidas dos lados de 3 quadrados que formam um logotipo, onde se deve encontrar os valores de x (lados menores) e y (lado maior) sabendo o perímetro total e área total.
1) O documento discute equações de 1o grau com uma ou mais incógnitas, incluindo definições, exemplos e métodos de resolução.
2) São apresentados sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas, incluindo classificação, métodos de resolução e representação gráfica das soluções.
3) Inequações e sistemas de inequações de 1o grau também são abordados, com definição de conjuntos solução.
Teoria como resolver um sistema de equações - graficamentetetsu
O documento descreve o método gráfico para resolver sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas. Ele mostra como construir tabelas para cada equação e traçar os pontos de interseção no plano cartesiano para encontrar a solução do sistema. A solução dada como exemplo é o ponto (5,1).
Sistema De EquaçõEs Do 1º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
O documento discute sistemas de equações do primeiro grau. Explica três métodos para resolver sistemas: adição, substituição e igualdade. Aplica os métodos para resolver exercícios sobre sistemas em situações reais, como o número de extintores em um depósito.
O documento apresenta exemplos de sistemas de equações do 1o e 2o grau. No primeiro exemplo, é resolvido um sistema linear com duas equações e duas incógnitas para encontrar as idades de Marlon e Maria. O segundo exemplo resolve um sistema não linear com duas equações do 2o grau para encontrar dois números cuja soma é 18 e produto é 45.
Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitaslerynha
1) Dois métodos são apresentados para resolver sistemas de equações: substituição e adição. No método da substituição, uma incógnita é isolada e substituída na outra equação. No método da adição, as equações são somadas de forma a anular uma das incógnitas.
2) Exemplos são resolvidos para ilustrar os métodos. No primeiro exemplo, o método da substituição é usado para encontrar que a solução é S=(8,12).
3) No segundo exemplo, o método da adição é aplicado e também chega-se à sol
Este documento discute equações de primeiro grau com duas incógnitas, como encontrar soluções para tais equações, e representá-las graficamente em um plano cartesiano. Explica como cada solução é um par ordenado (x, y) e como atribuir valores a uma das variáveis calcula o valor da outra.
O documento descreve uma atividade matemática sobre sistemas de equações para alunos do 8o ano do ensino fundamental. O objetivo é resolver problemas com 2 equações e 2 incógnitas usando um exemplo com as medidas dos lados de 3 quadrados que formam um logotipo, onde se deve encontrar os valores de x (lados menores) e y (lado maior) sabendo o perímetro total e área total.
1) O documento discute equações de 1o grau com uma ou mais incógnitas, incluindo definições, exemplos e métodos de resolução.
2) São apresentados sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas, incluindo classificação, métodos de resolução e representação gráfica das soluções.
3) Inequações e sistemas de inequações de 1o grau também são abordados, com definição de conjuntos solução.
Teoria como resolver um sistema de equações - graficamentetetsu
O documento descreve o método gráfico para resolver sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas. Ele mostra como construir tabelas para cada equação e traçar os pontos de interseção no plano cartesiano para encontrar a solução do sistema. A solução dada como exemplo é o ponto (5,1).
O documento apresenta um exemplo de como resolver sistemas de equações utilizando os métodos da substituição e da adição. No exemplo inicial, José precisa descobrir as idades de Pedro e Paulo a partir de duas informações, formando um sistema de duas equações com duas incógnitas.
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio CarlosAntonio Carneiro
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações de 2o grau, incluindo: (1) definição de equação de 2o grau e seus coeficientes; (2) tipos de equações de 2o grau (completas e incompletas); (3) raízes de equações de 2o grau e sua resolução; (4) fórmula de Bhaskara para resolução de equações completas. Também aborda equações literais e relações entre coeficientes e raízes.
O documento apresenta o método de completar o quadrado para resolver equações do segundo grau. Inclui exemplos de resolução de equações usando este método e a fórmula de Bhaskhara, além de exercícios relacionados ao tema.
Sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitasrosilenedalmolin
O documento descreve um problema de basquete onde Pipoca acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos, totalizando 25 arremessos e 55 pontos. Isso é representado por um sistema de duas equações com duas incógnitas, que é resolvido para encontrar que Pipoca acertou 20 arremessos de 2 pontos e 5 arremessos de 3 pontos.
O documento apresenta 45 exemplos resolvidos de equações do segundo grau. As equações variam em grau de complexidade e são apresentadas de forma passo a passo com as soluções encontradas. O objetivo é servir como material de revisão para alunos aprenderem a resolver diferentes tipos de equações quadráticas.
Plano de trabalho - Equações redutíveis ao 2º grauLuciane Oliveira
Este plano de trabalho apresenta atividades para ensinar aos alunos do 9o ano sobre equações redutíveis ao segundo grau, começando com uma revisão de equações do segundo grau e depois introduzindo equações biquadradas, mostrando como resolvê-las transformando-as em equações do segundo grau. As atividades são organizadas em grupos e incluem discussões e exercícios.
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grauAndré Luís Nogueira
O documento apresenta 10 exemplos resolvidos de problemas de equações do 2o grau. Os problemas envolvem situações do mundo real que podem ser representadas matematicamente por equações de 2o grau, como número de filhos, dimensões de uma tela e preço de lanches. As equações são resolvidas algebraicamente para encontrar suas raízes reais, que fornecem as soluções para os problemas propostos.
O documento descreve como resolver equações biquadradas, que são equações do 4o grau com termos em x4, x2 e constante. Ele explica que deve-se substituir x4 por y2 e x2 por y para transformar a equação biquadrada em uma equação quadrática. Em seguida, resolve-se essa equação quadrática para encontrar y' e y'', cujas raízes quadradas dão as soluções reais da equação biquadrada original. Exemplos ilustram cada etapa do processo.
Testes de Raciocínio Lógico: "suficiência lógica"thieresaulas
Este documento apresenta 11 questões sobre raciocínio lógico e suficiência, com duas alternativas cada. A maioria das questões requer analisar os dois itens em conjunto para encontrar a resposta, enquanto alguns itens individuais já fornecem informações suficientes. O documento também contém comentários explicando a lógica por trás de cada questão.
O documento resume os conceitos básicos de equações do 1o e 2o grau, incluindo suas definições, formas e métodos de resolução. Explica que equações do 1o grau têm a incógnita com expoente 1, enquanto equações do 2o grau têm a forma ax2 + bx + c = 0. Fornece exemplos de equações completas e incompletas do 2o grau, e métodos para resolver cada tipo através da fatoração ou isolamento de variáveis. Por fim, inclui vários exercícios para a prática dos conceitos
1. O documento apresenta 16 exercícios de sistemas de equações do 1o grau. 2. Os exercícios envolvem problemas de vida real que podem ser representados por sistemas de equações. 3. As respostas incluem a resolução dos sistemas e a interpretação das soluções no contexto dos problemas originais.
O documento discute equações do segundo grau, incluindo como identificar seus coeficientes, o significado de raízes, como calculá-las usando a fórmula de Bhaskara e o processo de completamento de quadrados. O objetivo é reconhecer e solucionar problemas envolvendo equações do segundo grau.
1) O documento discute resolução de equações do primeiro grau, incluindo propriedades de igualdades e operações para isolar a variável.
2) É dado o exemplo de resolver a equação 3x - 5 = 0 passo a passo.
3) Brevemente discute-se conceitos de raiz, conjunto solução e resolver equações.
O documento apresenta exemplos e explicações sobre equações biquadradas, irracionais e fracionárias. Inclui passos para resolver equações biquadradas transformando-as em equações quadráticas e verificando as raízes. Também mostra como elevar equações irracionais a potências para torná-las racionais antes de resolver, e a necessidade de reduzir denominadores em equações fracionárias.
Este documento apresenta um plano de trabalho sobre equações do segundo grau para alunos do 9o ano do ensino fundamental. O plano contém 5 etapas com atividades que visam revisar conceitos fundamentais e ensinar sobre a história e métodos de resolução de equações do segundo grau, incluindo o método de Leslie e o uso do software Geogebra.
Este documento discute equações de 1o grau com uma incógnita. Ele explica como resolver equações de 1o grau, incluindo transformações para reduzir equações a forma padrão ax = b. Exemplos demonstram como resolver equações e aplicar equações na resolução de problemas.
O documento apresenta exemplos resolvidos e exercícios propostos de equações biquadradas. Quatro exemplos são resolvidos passo a passo, reduzindo a equação biquadrada a uma equação quadrática e encontrando as raízes. Cinco exercícios são propostos para o aluno resolver, encontrando as raízes de cada equação biquadrada dada.
Sistema De EquaçõEs Do 1º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
O documento discute sistemas de equações do primeiro grau. Explica três métodos para resolver sistemas: adição, substituição e igualdade. Aplica os métodos para resolver exercícios sobre sistemas em situações reais, como o número de extintores em um depósito.
Sistema De EquaçõEs Do 1º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barrosoguest202a61
O documento discute sistemas de equações do primeiro grau. Explica três métodos para resolver sistemas: adição, substituição e igualdade. Aplica os métodos para resolver exercícios sobre sistemas em situações reais, como número de extintores e idades.
Sistema De EquaçõEs Do 1º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
O documento discute sistemas de equações do primeiro grau. Explica três métodos para resolver sistemas: adição, substituição e igualdade. Aplica os métodos para resolver exercícios sobre sistemas em situações reais, como o número de extintores em um depósito.
O documento apresenta um exemplo de como resolver sistemas de equações utilizando os métodos da substituição e da adição. No exemplo inicial, José precisa descobrir as idades de Pedro e Paulo a partir de duas informações, formando um sistema de duas equações com duas incógnitas.
EquaçõEs De 2º Grau,Sistema E Problema Autor Antonio CarlosAntonio Carneiro
O documento apresenta os conceitos básicos sobre equações de 2o grau, incluindo: (1) definição de equação de 2o grau e seus coeficientes; (2) tipos de equações de 2o grau (completas e incompletas); (3) raízes de equações de 2o grau e sua resolução; (4) fórmula de Bhaskara para resolução de equações completas. Também aborda equações literais e relações entre coeficientes e raízes.
O documento apresenta o método de completar o quadrado para resolver equações do segundo grau. Inclui exemplos de resolução de equações usando este método e a fórmula de Bhaskhara, além de exercícios relacionados ao tema.
Sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitasrosilenedalmolin
O documento descreve um problema de basquete onde Pipoca acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos, totalizando 25 arremessos e 55 pontos. Isso é representado por um sistema de duas equações com duas incógnitas, que é resolvido para encontrar que Pipoca acertou 20 arremessos de 2 pontos e 5 arremessos de 3 pontos.
O documento apresenta 45 exemplos resolvidos de equações do segundo grau. As equações variam em grau de complexidade e são apresentadas de forma passo a passo com as soluções encontradas. O objetivo é servir como material de revisão para alunos aprenderem a resolver diferentes tipos de equações quadráticas.
Plano de trabalho - Equações redutíveis ao 2º grauLuciane Oliveira
Este plano de trabalho apresenta atividades para ensinar aos alunos do 9o ano sobre equações redutíveis ao segundo grau, começando com uma revisão de equações do segundo grau e depois introduzindo equações biquadradas, mostrando como resolvê-las transformando-as em equações do segundo grau. As atividades são organizadas em grupos e incluem discussões e exercícios.
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grauAndré Luís Nogueira
O documento apresenta 10 exemplos resolvidos de problemas de equações do 2o grau. Os problemas envolvem situações do mundo real que podem ser representadas matematicamente por equações de 2o grau, como número de filhos, dimensões de uma tela e preço de lanches. As equações são resolvidas algebraicamente para encontrar suas raízes reais, que fornecem as soluções para os problemas propostos.
O documento descreve como resolver equações biquadradas, que são equações do 4o grau com termos em x4, x2 e constante. Ele explica que deve-se substituir x4 por y2 e x2 por y para transformar a equação biquadrada em uma equação quadrática. Em seguida, resolve-se essa equação quadrática para encontrar y' e y'', cujas raízes quadradas dão as soluções reais da equação biquadrada original. Exemplos ilustram cada etapa do processo.
Testes de Raciocínio Lógico: "suficiência lógica"thieresaulas
Este documento apresenta 11 questões sobre raciocínio lógico e suficiência, com duas alternativas cada. A maioria das questões requer analisar os dois itens em conjunto para encontrar a resposta, enquanto alguns itens individuais já fornecem informações suficientes. O documento também contém comentários explicando a lógica por trás de cada questão.
O documento resume os conceitos básicos de equações do 1o e 2o grau, incluindo suas definições, formas e métodos de resolução. Explica que equações do 1o grau têm a incógnita com expoente 1, enquanto equações do 2o grau têm a forma ax2 + bx + c = 0. Fornece exemplos de equações completas e incompletas do 2o grau, e métodos para resolver cada tipo através da fatoração ou isolamento de variáveis. Por fim, inclui vários exercícios para a prática dos conceitos
1. O documento apresenta 16 exercícios de sistemas de equações do 1o grau. 2. Os exercícios envolvem problemas de vida real que podem ser representados por sistemas de equações. 3. As respostas incluem a resolução dos sistemas e a interpretação das soluções no contexto dos problemas originais.
O documento discute equações do segundo grau, incluindo como identificar seus coeficientes, o significado de raízes, como calculá-las usando a fórmula de Bhaskara e o processo de completamento de quadrados. O objetivo é reconhecer e solucionar problemas envolvendo equações do segundo grau.
1) O documento discute resolução de equações do primeiro grau, incluindo propriedades de igualdades e operações para isolar a variável.
2) É dado o exemplo de resolver a equação 3x - 5 = 0 passo a passo.
3) Brevemente discute-se conceitos de raiz, conjunto solução e resolver equações.
O documento apresenta exemplos e explicações sobre equações biquadradas, irracionais e fracionárias. Inclui passos para resolver equações biquadradas transformando-as em equações quadráticas e verificando as raízes. Também mostra como elevar equações irracionais a potências para torná-las racionais antes de resolver, e a necessidade de reduzir denominadores em equações fracionárias.
Este documento apresenta um plano de trabalho sobre equações do segundo grau para alunos do 9o ano do ensino fundamental. O plano contém 5 etapas com atividades que visam revisar conceitos fundamentais e ensinar sobre a história e métodos de resolução de equações do segundo grau, incluindo o método de Leslie e o uso do software Geogebra.
Este documento discute equações de 1o grau com uma incógnita. Ele explica como resolver equações de 1o grau, incluindo transformações para reduzir equações a forma padrão ax = b. Exemplos demonstram como resolver equações e aplicar equações na resolução de problemas.
O documento apresenta exemplos resolvidos e exercícios propostos de equações biquadradas. Quatro exemplos são resolvidos passo a passo, reduzindo a equação biquadrada a uma equação quadrática e encontrando as raízes. Cinco exercícios são propostos para o aluno resolver, encontrando as raízes de cada equação biquadrada dada.
Sistema De EquaçõEs Do 1º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
O documento discute sistemas de equações do primeiro grau. Explica três métodos para resolver sistemas: adição, substituição e igualdade. Aplica os métodos para resolver exercícios sobre sistemas em situações reais, como o número de extintores em um depósito.
Sistema De EquaçõEs Do 1º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro Barrosoguest202a61
O documento discute sistemas de equações do primeiro grau. Explica três métodos para resolver sistemas: adição, substituição e igualdade. Aplica os métodos para resolver exercícios sobre sistemas em situações reais, como número de extintores e idades.
Sistema De EquaçõEs Do 1º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
O documento discute sistemas de equações do primeiro grau. Explica três métodos para resolver sistemas: adição, substituição e igualdade. Aplica os métodos para resolver exercícios sobre sistemas em situações reais, como o número de extintores em um depósito.
1) O documento discute equações de 1o e 2o grau, incluindo definições, exemplos e métodos de resolução.
2) É introduzida a noção de equação biquadrada e mostrado como resolvê-la reduzindo-a a uma equação quadrática.
3) Sistemas de equações lineares e funções polinomiais de 1o e 2o grau são explicados, assim como inequações do tipo produto e quociente.
O documento descreve equações do segundo grau, definindo seus elementos e características, como tendo a forma geral ax2 + bx + c = 0 e possuindo dois coeficientes (a e b) e um termo independente (c). Também explica como encontrar as raízes de uma equação quadrática.
Matemática - VideoAulas Sobre Polinômios para Ensino Fundamental – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br
Este documento fornece uma introdução sobre polinômios, incluindo o que são polinômios, como classificá-los, determinar o grau, ordenar e completar polinômios, somar, subtrair, multiplicar e dividir polinômios.
(1) O documento discute equações de primeiro grau com duas incógnitas e sistemas de equações; (2) Apresenta métodos para determinar se um par ordenado é solução de uma equação ou sistema, como substituição e representação gráfica; (3) Discutem a classificação e resolução de sistemas através desses métodos.
Pedro e José compraram livros e cadernos em promoção. Usando as informações sobre as compras deles, o documento mostra como resolver o sistema de equações para descobrir o preço unitário de cada item.
O documento explica o que é uma equação do 1o grau, com definição e exemplos. Apresenta os princípios da igualdade aditivo e multiplicativo para resolver equações. Mostra que para encontrar o valor da incógnita é preciso isolá-la, passando termos para o outro lado da igualdade com operações inversas. Demonstra exemplos resolvidos passo a passo.
O documento fornece informações sobre polinômios, produtos notáveis e frações algébricas. Inclui definições de polinômios e monômios, operações com polinômios como adição, multiplicação e divisão, e exemplos de exercícios para treinar esses conceitos. Também apresenta uma seção sobre produtos notáveis, que são produtos algébricos comuns utilizados no cálculo.
O documento discute equações de 1o e 2o grau, definindo seus componentes e métodos de resolução. Ele explica que equações são sentenças matemáticas com o sinal de igualdade, definindo termos como membros esquerdo e direito. Mostra como isolar termos com incógnita em cada membro e reduzir termos semelhantes para resolver equações de 1o grau. Também define equações do 2o grau, seus coeficientes a, b e c, e métodos para resolver equações completas e incompletas do 2o grau.
Este documento apresenta um caderno pedagógico de matemática do 8o ano com os seguintes tópicos: equações do primeiro grau, sistemas de equações do primeiro grau, geometria plana e medidas.
1) Um sistema de equações é formado por expressões iguais ao número de variáveis.
2) Sistemas podem envolver equações de 1o e 2o grau, resolvidas pelo método da substituição.
3) Exemplos mostram sistemas com soluções reais ou não, dependendo se as equações se interceptam.
Este documento apresenta um resumo da função modular. Ele define módulo, propriedades de equações e inequações modulares e exemplos delas. Também define função modular como uma função de números reais para reais que mapeia cada número para seu valor absoluto, e discute a construção gráfica de funções modulares como a união de duas semirretas.
O documento apresenta conceitos sobre equações do segundo grau, incluindo definição, tipos de equações (completas e incompletas), resolução utilizando a fórmula de Bhaskara e discriminante, e relações entre coeficientes e raízes. Há também exemplos de resolução de equações.
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidostrigono_metria
(1) O documento apresenta exemplos resolvidos de fatoração algébrica, incluindo fatoração de trinômios quadrados perfeitos, diferenças de quadrados, trinômios de Stevin e diferenças de cubos.
(2) É dada uma observação importante sobre o uso do sinal de identidade ao invés de igualdade em casos de fatoração e produtos notáveis.
(3) Exercícios propostos de fatoração algébrica são divididos em sete categorias e uma resposta é solicitada.
Este documento fornece um resumo de três frases ou menos sobre sistemas de equações de 1a grau com duas incógnitas. (1) Discute como determinar se um par ordenado é solução de uma equação ou sistema de equações, (2) explica os métodos da substituição e gráfico para resolver sistemas de equações, (3) classifica os tipos de sistemas que podem ter uma solução única, múltiplas soluções ou nenhuma solução.
1. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet
Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
I – INTRODUÇÃO:
Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em várias áreas
( matemática, química, física, engenharia,...) e aparecem sempre em concursos e exames, como é o caso do
vestibular. Os sistemas, geralmente, são resolvidos com uma certa facilidade o que causa muitas vezes uma
desatenção, por parte do aluno, já que ele não tem dificuldade para encontrar a solução do sistema. Mas ele
esquece que a dificuldade está na armação e principalmente na solução final da questão. Os sistemas são
ferramentas que mesmo funcionando necessitam de alguém que saiba o construir com elas.
II – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução.
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição.
1º) método da adição
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma,
somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita.
EXEMPLO: 2x + y = 5
2x + 3y = 2
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com
2x
2x + y = 6 .(-1) - 2x - y = - 6
2x + 3y = 2 2x + 3y = 2
2y = - 4
y = -4/2
y= -2
2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.
2x + y = 6
2x + ( -2 ) = 6
2x – 2 = 6
2x = 6 + 2
x = 8/2
x=4
3º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
2º) método da substituição
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do
sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
EXEMPLO: 2x + y = 5
2x + 3y = 2
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda
equação.
2x + y = 6 ∴ 2x + y = 6 ∴ y = 6 – 2x
2x + 3y = 2
2. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet
Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br
2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.
2x + 3y = 2
2x + 3.( 6 – 2x ) = 2
2x + 18 – 6x = 2
- 4x = 2 – 18
- 4x = - 16
- x = -16/4
-x=-4 .(-1)
x=4
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y=6–8
y = -2
4º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
3º) método da igualdade
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra,
depois basta igualar as duas, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
EXEMPLO: 2x + y = 5
2x + 3y = 2
1º passo: vamos isolar o y na primeira e na segunda equação equação para podermos
igualar as equações.
2x + y = 6 ∴ 2x + y = 6 ∴ y = 6 – 2x
2x + 3y = 2 ∴ 2x + 3y = 2 ∴ y = ( 2 – 2x ) / 3
2º passo: igualar as duas equações para encontrar o valor de x.
6 – 2x = ( 2 – 2x ) / 3
3 3.( 6 – 2x ) = 2 – 2x
4 18 – 6x = 2 – 2x
2x – 6x = 2 – 18
-4x = -16
-x = -16/4
-x = -4 . ( -1 )
x=4
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
3. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet
Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y=6–8
y = -2
4º passo: dar a solução do sistema.
S = { (4, -2) }
Como podemos observar, independente do método, a solução é a mesma. Então basta escolher o
método que seja mais rápido e seguro.
APLICAÇÕES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES
01 – Num depósito existem 24 extintores de incêndio, sendo de espuma química e dióxido de carbono.
Sabendo-se que o de dióxido de carbono é o triplo do de espuma química, conclui-se que o número de
extintores de espuma química existentes nesse depósito é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
RESOLUÇÃO:
Vamos observar que é melhor adotar as iniciais das palavras. Pois se adotarmos x e y fica um pouco
confuso na hora de dar a resposta.
E = número de extintores de espuma química
D = número de extintores de dióxido de carbono
E + D = 24 E + D = 24
D = 3E - 3E + D = 0
Como queremos o valor de E, basta multiplicar a segunda equação por (-1) e com o método da adição
encontraremos o valor de E.
E + D = 24 E + D = 24
-3E + D = 0 3E - D = 0
4E = 24
E = 24/4
E=6
O número de extintores de espuma química é de 6 extintores.
Opção: D
02 – Eu tenho o dobro da idade da minha filha. Se a diferença de nossas idades é 23 anos, minha idade é:
a) 40 anos b) 46 anos c) 48 anos d) 50 anos
RESOLUÇÃO:
M = minha idade
4. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet
Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br
F = idade da filha
M = 2F M – 2F = 0 M – 2F = 0
M – F = 23 M – F = 23 . ( - 2 ) - 2M + 2F = - 46
- M = - 46 . (-1)
M = 46
A minha idade é 46 anos.
Opção: B
03 – A soma da minha idade com a da minha filha é 72. Daqui a 3anos a minha idade será o dobro da idade da minha filha. A
minha idade atual , em anos é:
a) 47 b) 49 c) 51 d) 53
RESOLUÇÃO:
M = minha idade
F = idade da filha
M + F = 72 M + F = 72 M + F = 72
M + 3 = 2.(F + 3) M + 3 = 2F + 6 M - 2F = 6 - 3
M + F = 72 .(2) 2M + 2F = 144
M – 2F = 3 M – 2F = 3
3M = 147
M = 147/3
M = 49
A minha idade é 49 anos.
Opção: B
5. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet
Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br
QUESTÕES OBJETIVAS
01 – Luís e Maria resolveram comparar suas coleções de “compact disc” . Descobriram que têm ao todo 104
CDs e que se Maria tivesse 12 CDs a menos teria o triplo do número de CDs do Luís. É possível afirmar
que a quantidade de CDs que Luís possui é:
a) 46
b) 40
c) 32
d) 23
02 – Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas
num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas duas pessoas é ?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
03 – Um aluno ganha 5 pontos por exercícios que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao fim de 50
exercícios, tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou?
a) 35
b) 30
c) 25
d) 15
04 – Em um restaurante existem mesas de 3, 4 e 6 cadeiras num total de 16 mesas. Ocupando todos os
lugares nas mesas de 3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente acomodadas. Sabendo-se que o
restaurante acomoda no máximo 72 pessoas, quantas mesas de cada tipo ( 3, 4 e 6) , respectivamente,
existem?
a) 6, 4 e 6
b) 6, 6 e 4
c) 4, 6 e 6
d) 3, 7 e 6
05 – Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com seu clube: cada vez que ele convertesse um
arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de
uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o número de arremessos
convertidos pelo jogador foi:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15
6. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet
Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br
06 – Um copo cheio tem massa de 385g; com 2/3 de água tem massa de 310g. A massa do copo com 3/5 da
água é:
a) 160 g
b) 225 g
c) 260 g
d) 295 g
07 – Num escritório de advocacia trabalhavam apenas dois advogados e um secretária. Como Dr. André e Dr.
Carlos sempre advogam em causa s diferentes, a secretária, Cláudia, coloca um grampo em cada processo do
Dr. André e dois grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo.
Sabendo-se que ao todo são 78 processos, nos quais foram usados 110 grampos, podemos concluir que o
número de processos do Dr. Carlos é igual a:
a) 64
b) 46
c) 40
d) 32
08 - Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$ 10,00 e outras de R$
5,00. Calcule quantas notas de R$ 5,00 a pessoa recebeu.
a) 10
b) 6
c) 4
d) 2
09 – Numa lanchonete, 2 copos de refrigerantes e 3 coxinhas custam R$ 5,70. O preço de 3 copos de
refrigerantes e 5 coxinhas é R$ 9,30. Nessas condições, é verdade que cada copo de refrigerante custa:
a) R$ 0,70 a menos que cada coxinha.
b) R$ 0,80 a menos que cada coxinha.
c) R$ 0,90 a menos que cada coxinha.
d) R$ 0,80 a mais que cada coxinha.
10 – Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma
velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles se pesam dois a
dois e obtiveram as seguintes marcas:
- Carlos e o cão pesam juntos 87kg;
- Carlos e Andréa pesam 123kg e
- Andréia e Bidu pesam 66kg.
Podemos afirmar que:
a) Cada um deles pesa menos que 60kg
b) Dois deles pesam mais de 60kg
c) Andréia é a mais pesada dos três
d) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.
7. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet
Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br
GABARITO OBJETIVO
01 – D
02 – B
03 – A
04 – C
05 – C
06 – D
07 – D
08 – B
09 – C
10 – D
GABARITO COMENTADO
01 -
L = número de CDs de Luis
M = número de CDs de Maria
L + M = 104 L + M = 104 L + M = 104
M – 12 = 3L -3L + M = 12 . (-1) 3L – M = -12
4L = 92
L = 92/4 = 23
O número de CDs que Luis possui é: 23 CDs.
Opção: D
02 –
D = número de mesas com dois lugares
Q = número de mesas com quatro lugares
D + Q = 12 . ( -4 ) - 4D – 4Q = - 48
2D + 4Q = 38 2D + 4Q = 38
-2D = - 10 . (-1)
D = 10/2 = 5
O número de mesas com dois lugares é : 5 mesas
Opção: B
03 –
C = número de exercícios certos
E = número de exercícios errados
C + E = 50 .( 3 ) 3C + 3E = 150
5C – 3E = 130 5C - 3E = 130
8C = 280
C = 280/8 = 35
O número de exercícios certos é: 35 exercícios
Opção: A
04 –
T = número de mesas com três lugares
Q = número de mesas com quatro lugares
8. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet
Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br
S = número de mesas com seis lugares
T + Q + S = 16
3T + 4Q = 36
3T + 4Q + 6S = 72
Substituindo a segunda na terceira
3T + 4Q = 36
3T + 4Q + 6S = 72 ∴ ( 36 ) + 6S = 72 ∴ 6S = 72 – 36 ∴ 6S = 36 ∴ S = 6
Substituindo o valor de S na primeira e montando um sistema com a primeira e Segunda,
T + Q + S = 16 T + Q + 6 = 16 T + Q = 10 . (-3) -3T - 3Q = - 30
3T + 4Q = 36 3T + 4Q = 36 3T + 4Q = 36 3T + 4Q = 36
- Q=-6
- Q = - 6 . ( -1 ) ∴ Q = 6
Substituindo S = 6 e Q = 6 na primeira equação encontramos o valor de T
T + Q + S = 16
T + 6 + 6 = 16
T + 12 = 16 ∴ T = 16 – 12 = 4 ∴ T=4
O restaurante possui quatro mesas de três lugares, seis mesas de quatro lugares e seis mesas de seis
lugares.
Opção: C
05 –
C = número de arremessos certos
E = número de arremessos errados
C + E = 20 .( 5 ) 5C + 5E = 100
10C – 5E = 50 10C – 5E = 50
15C = 150
C = 150/15 = 10
O número de arremessos certos é: 10 arremessos
Opção: C
06 –
C = a massa do copo vazio
A = a massa de água de um copo cheio
C + A = 385 . ( -1 ) - C - A = - 385
C + (2/3)A = 310 C + (2/3)A = 310
(2/3)A – A = - 75
- (1/3)A = -75 A = 225g
Substituindo na primeira temos,
C +A = 385
9. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet
Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br
C + 225 = 385
C = 385 – 225 = 160g
Voltando ao enunciado temos,
C + (3/5)A = 160 + (3/5)160 = 160 + 135 = 295g
A massa do copo com 3/5 de água é: 295g
Opção: D
07 –
A = número de processos do Dr. André
C = número de processos do Dr. Carlos
A + C = 78 .( -1) -A – C = - 78
A + 2C = 110 A + 2C = 110
C = 32
O número de processos do Dr. Carlos é: 32 processos
Opção: D
08 –
C = número de notas de R$ 5,00 ( cinco reais )
D = número de notas de R$ 10,00 ( dez reais )
D + C = 10 . (-10) - 10D - 10C = - 100
10D + 5C = 70 10D + 5C = 70
- 5 C = - 30 . (-1) ∴ 5C = 30 ∴ C = 30/5 ∴ C = 6
Recebeu 6 notas de notas de R$ 5,00.
Opção: B
09 –
R = preço de um copo de refrigerante
C = preço de uma coxinha
2R + 3C = 5, 7 . (-3) - 6R – 9C = -17,1
3R + 5C = 9, 3 . (2) 6R + 10C = 18,6
C = 1,5
Substituindo C = 1,5 na primeira equação temos,
2R + 3C = 5,7
2R + 3. 1,5 = 5,7 ∴ 2R + 4,5 = 5,7 ∴ 2R = 5,7 – 4,5 ∴ 2R = 1,2 ∴ R = 0,6
A diferença entre um copo de refrigerante e uma coxinha é 1,5 – 0,6 = 0,9. Então cada coxinha custa
R$0,90 centavos a mais que um copo de refrigerante.
Opção: C
10. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet
Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br
10 –
A = massa de Andréia
B = massa de Bidu
C = massa de Carlos
C + B = 87 ∴ B = 87 - C
C + A = 123 ∴ A = 123 - C
A + B = 66
Substituindo a primeira e a segunda na terceira,
A + B = 66 ∴ ( 87 – C ) + ( 123 – C ) = 66 ∴ 87 – C + 123 – C = 66
210 – 2C = 66
-2C = 66 – 210
-2C = -144 .(-1)
2C = 144
C = 72 kg
Substituindo temos B = 87 – 72 = 15 kg e A = 123 – 72 = 51kg
Então Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.
Opção: D
Autor: Prof. LEONARDO CURTINHA