O documento discute sistemas algébricos computacionais, que são programas que facilitam a matemática simbólica. Especificamente, o documento aborda álgebra computacional, sistemas algébricos lineares e simbólicos, e álgebra booleana, provando vários teoremas sobre suas propriedades.

1. Sistemas reticulados algébricos computacional
Sistema algébrico computacional (computer algebra system) programa que facilita a
matemática simbólica.Álgebra computacional ou computação algébrica é o nome da
tecnologia para a manipulação de fórmulas matemáticas por computadores digitais.
A Álgebra computacional, também conhecida pelo termo computação simbólica pode ser
definida ainda como uma computação com símbolos representando objetos matemáticos.
1. Sistema algébrico linear
São inúmeros problemas de engenharia que
Ex:
2. Sistema algébrico simbólico
Um sistema de computação algébrica e simbólica CAS (Computer Algebra System) é um
software com a capacidade de manipular em forma simbólica expressões matemáticas e
realizar cálculos numéricos. O principal objetivo de um CAS consiste em realizar em forma
automática a manipulação ou remanejamento algébrico de equações o qual pode ser uma
tarefa difícil e tediosa quando feita manualmente. A diferença entre um CAS e uma calculadora
pode ser entendida destacando a major qualidade do CAS: o tratamento simbólico de
expressões matemáticas.
A especificidade e a capacidade destes sistemas varia significativamente quando são utilizados
diferentes softwares, embora o principal propósito seja o mesmo: a manipulação simbólica.
Estes softwares disponibilizam, em geral, outras ferramentas computacionais como geração de
gráficos, programação, etc. Entre dos softwares mais populares merecem ser mencionados:
Maxima, Maple, Mathematica, Matlab e MathCAD. Os CAS podem ser utilizados para
simplificar funções racionais, fatorar polinômios, achar soluções de equações, integrar e
diferenciar em forma simbólica.

2. 3. Álgebra Booleana
Álgebra Booleana é definida como sendo um conjunto com duas operações binárias
(join) e (meet), uma operação unária ’ e elementos distintos 0 e 1 satisfazendo as
seguintes propriedades:
I - a) x y = y x
Propriedade Comutativa
b) x y = y x
II - a) (x y) z = x (y z)
Propriedade Associativa
b) (x y) z = x (y z)
III - a) x (y z) = (x y) (x z)
Propriedade Distributiva
b) x (y z) = (x y) (x z)
IV - a) 0 x = x
Propriedade Identidade
b) x 1 = x
V - a) x x’ = 1
b) x x’ = 0
VI - a) x x = x
b) x x = x
VII - a) x 1 = 1
Propriedade Identidade
b) x 0 = 0
VIII - a) x (x y) = x
Propriedade de Absorção
b) x (x y) = x
IX - a) (x y)’ = x’ y’
Propriedade DeMorgan
b) (x y)’ = x’ y’
As propriedades ( I ) até (V) já foram provadas anteriormente.

3. Teorema 1
As propriedades de (VI) a (VIII) prosseguem da álgebra Booleana.
Provando as propriedades citadas no teorema 1:
VI - a) x x = x
x x = (x x) 1 propriedade IV (b)
= (x x) (x x’) propriedade V (a)
=x (x x’) propriedade III (a)
=x 0 propriedade V (b)
=x propriedade IV (a)
b) x x = x
x x = (x x) 0 propriedade IV (a)
= (x x) (x x’) propriedade V (b)
=x (x x’) propriedade III (b)
=x 1 propriedade V (a)
=x propriedade IV (b)
VII - a) x 1=1
x 1 = x (x x’) propriedade V (a)
= (x x) x’ propriedade II (a)
= x x’ propriedade VI (a)
=1 propriedade V (a)
b) x 0=0
x 0 = x (x x’) propriedade V (b)
= (x x) x’ propriedade II (b)

4. = x x’ propriedade VI (b)
=0 propriedade V (b)
VII - a) x (x y) = x
x (x y) = (x 1) (x y) Propriedade IV (b)
=x (1 y) Propriedade III (b)
=x 1 propriedade VII (a)
=x propriedade IV (b)
b) x (x y) = x
x (x y) = (x 0) (x y) propriedade IV (a)
=x (0 y) propriedade III (a)
=x 0 propriedade VII (b)
=x propriedade IV (a)
Teorema 2
Reticulado Booleano é Álgebra Booleana e Álgebra Booleana é reticulado Booleano.
Para provar o teorema 2, vamos partir das propriedades da Álgebra Booleana citadas
acima.
As propriedades ( I ), (II) e (VIII) são propriedades de reticulados algébricos e, portanto,
mostram que a Álgebra Booleana é um reticulado algébrico. Mais especificamente, as
propriedades (III) até (V) mostram que a Álgebra Booleana é distributiva e
complementar, logo, a Álgebra Booleana é um reticulado Booleano.
Já a propriedade (IX), que também é uma das propriedades do reticulado Booleano,
satisfaz a Álgebra Booleana. Portanto, também está provado que umreticulado Booleano
é uma Álgebra Booleana.
Para explicar o motivo pela qual às vezes se chama reticulado Booleano ao invés de
Álgebra Booleana (e vice-versa):

5. Quando a ênfase fundamental é a ordem parcial, chamamos RETICULADO
BOOLEANO;
Quando a ênfase são operações algébricas ( , , ’ ) , chamamos ÁLGEBRA
BOOLEANA.
Mas, vale ressaltar que reticulado Booleano é Álgebra Booleana e vice-versa (teorema
2).
Teorema 3
Seja <A, , , ’ > uma álgebra Booleana finita e seja S = {a1, a2, ..., an} o conjunto de
átomos de A. Todo elemento x pertencente a A pode ser escrito como join de átomos
distintos de A.
x = ai1 ai2 ... ain( com ai1, ai2, ..., ain x )
Se x = 0 ou se x é uma átomo, o teorema 3 já está concluído. Por outro lado, se existe
um elemento k em A tal que 0 k x, então:
x = x Ú k = (x Ú k) Ù (k' Ú k) = (x Ù k') Ú k
Além disso, nós temos que x k' x porque, de outro modo, x k' = x, k x = x k'
k' e k k' = k, o que é impossível!
Então, x é join de 2 elementos menores k e x k'. Se k e x k' são átomos, o teorema 3
já está provado. Caso contrário, podemos decompor ambos em joins de elementos
menores, e assim sucessivamente. Como A é finito, este processo eventualmente parará
e nós teremos escrito x em join de átomos distintos. Portanto, o teorema 3 está provado.
Teorema 4
Se A é uma álgebra Booleana finita com o conjunto de átomos W={a1, a2,..., an} e se B
é uma álgebra Booleana com o conjunto de átomos Z = {b1, b2, ..., bn } então, existe
uma correspondência bijetiva entre A e B onde ø(ai) = bi, para qualquer i.
Segue as propriedades:
(1) ø (x y) = ø(x) ø(y)
(2) ø (x y) = ø(x) ø(y)
(3) ø(x’) = ø(x)’
(4) a x <==> ø (a) ø (x)
qualquer que sejam x e y pertencentes a A.
Todas as álgebras Booleanas que satisfazem essas quatro propriedades são ditas
ÁLGEBRAS BOOLEANAS ISOMÓRFICAS.