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Ab algebra-boole-simplificacao-circuitos

O documento discute a álgebra de Boole e simplificação de circuitos lógicos. Apresenta os postulados e propriedades da álgebra de Boole, incluindo formas canônicas de expressões booleanas. Também mostra duas formas de simplificar circuitos: fatoração e diagramas de Veitch-Karnaugh.

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José Augusto Baranauskas Departamento de Computação e Matemática – FFCLRP-USP augusto@usp.br http://dcm.fmrp.usp.br/~augusto Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos Nesta apresentação serão vistos os postulados e propriedades e formas canônicas de expressões booleanas Além disso, serão vistas duas forma de simplificar circuitos Fatoração Diagramas de Veitch- Karnaugh
2 Motivação Como visto, os circuitos lógicos correspondem (executam) expressões booleanas, as quais representam problemas no mundo real Porém, os circuitos gerados por tabelas verdade muitas vezes admitem simplificações, o que reduz o número de portas lógicas; essa redução diminui o grau de dificuldade na montagem e custo do sistema digital
3 Motivação O estudo da simplificação de circuitos lógicos requer o conhecimento da álgebra de Boole, por meio de seus postulados, propriedades, equivalências, etc De fato, na álgebra de Boole encontram-se os fundamentos da eletrônica digital de circutos
4 Constantes, Variáveis e Expressões Existem apenas duas constantes booleanas 0 (zero) 1 (um) Uma variável booleana é representada por letra e pode assumir apenas dois valores (0 ou 1) Exemplos: A, B, C Uma expressão booleana é uma expressão matemática envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas e seu resultado assume apenas dois valores (0 ou 1) Exemplos: S = A.B S = A+B.C
5 Na álgebra booleana há postulados (axiomas) a partir dos quais são estabelecidas várias propriedades Existem várias propriedades da negação (complemento, inversor), adição (porta E) e soma (porta OU) Estas propriedades podem ser verificadas como equivalências lógicas Para demonstrar cada uma, basta utilizar as tabelas-verdade, constatando a equivalência Postulados & Propriedades
6 Postulados Complemento Se A=0 então Ā=1 Se A=1 então Ā=0 Notações alternativas Ā = A’ Ā = ¬ A B.C = (B.C)’ Adição 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 Multiplicação 0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 1 . 0 = 0 1 . 1 = 1
7 Propriedades Propriedade Complemento Adição Multiplicação Identidade Ā = A A + 0 = A A . 0 = 0 A + 1 = 1 A . 1 = A A + A = A A . A = A A + Ā = 1 A . Ā = 0 Comutativa A + B = B + A A . B = B . A Associativa A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C Distributiva A+(B.C) = (A+B) . (A+C) A.(B+C) = A.B + A.C
8 Propriedades Absorção A + (A.B) = A A . (A+B) = A Outras Identidades A + Ā.B = A + B (A+B).(A+C) = A + B.C De Morgan (A.B)’ = Ā + (A+B)’ = Ā . De Morgan se estende para n variáveis (A.B. ... . n)’ = Ā + + ... + (A+B+ ... +n)’ = Ā . . ... .
9 Exercício Mostre, usando simplificação por postulados e propriedades, ou seja, por transformações algébricas que: A+A.B = A A.(A+B) = A
10 Solução A+A.B = A A + A.B = A.(1+B) distributiva = A.(1) identidade da adição = A identidade da multiplicação A.(A+B) = A A.(A+B) = (A.A) + (A.B) distributiva = A + (A.B) identidade da multiplicação = A pela prova do exercício acima
11 Exercício Idem ao exercício anterior A + Ā.B = A + B (A+B).(A+C) = A + B.C
12 Solução A + Ā.B = A + B A + Ā.B = (A + Ā.B)’’ identidade do complemento = (Ā . (Ā.B)’)’ = (Ā . (A + ))’ De Morgan = (Ā.A + Ā. )’ distributiva = (0 + Ā. )’ identidade da multiplicação = (Ā. )’ identidade da adição = A + B De Morgan A + Ā.B = A + B A + Ā.B = (A + Ā).(A+ B) distributiva α+β.γ= (α+β) .(α+γ) = 1.(A+B) identidade da adição = A + B identidade da multiplicação
13 Solução (A+B).(A+C) = A + B.C (A+B).(A+C) = A.A + A.C + B.A + B.C distributiva = A.A + A.C + A.B + B.C comutativa = A + A.C + A.B + B.C identidade da multiplicação = A + A.(C+B) + B.C distributiva = A.(1 + (C+B)) + B.C distributiva = A.(1) + B.C identidade da adição = A + B.C identidade da multiplicação
14 Simplificação de Expressões Booleanas Usando a álgebra booleana é possível simplificar expressões Como cada circuito corresponde a uma expressão, simplificações de expressões significam em simplificações de circuitos Há duas formas para simplificar expressões Fatoração Mapas de Veitch-Karnaugh Veremos, a seguir, o processo de fatoração
15 Fatoração Consiste na aplicação dos postulados e propriedades da álgebra booleana, com o objetivo de simplificar a expressão Por exemplo S = A.B.C + A.C’ + A.B’ = A.(B.C + C’ + B’) distributiva = A.(B.C + (C’ + B’)) associativa = A.(B.C + ( (C’ + B’)’ )’) identidade do complemento = A.(B.C + (C.B)’) De Morgan = A.(B.C + (B.C)’ ) comutativa = A.(1) identidade da adição (D+ð=1) = A identidade da multiplicação
16 Fatoração Portanto, A.B.C + A.C’ + A.B’ = A Essa expressão mostra a importância da simplificação de expressões e a consequente minimização do circuito, sendo o resultado final igual ao da variável A Circuito antes da simplificação Circuito após simplificação A B C A C A B S A S
17 Exercício Simplifique as expressões S = A’.B’.C’ + A’.B.C’ + A.B’.C S = Ā. + Ā.B
18 Solução Simplifique as expressões S = A’.B’.C’ + A’.B.C’ + A.B’.C = A’.C’.B’ + A’.C’.B + A.B’.C = A’.C’.(B’ + B) + A.B’.C = A’.C’.(1) + A.B’.C = A’.C’ + A.B’.C S = Ā. + Ā.B = Ā.( +B) = Ā.(1) = Ā
19 Exercício Simplifique as expressões S = A’.B’.C’ + A’.B.C + A’.B.C’ + A.B’.C’ + A.B.C’ S = (A+B+C).(Ā+ +C)
20 Solução S = A’.B’.C’ + A’.B.C + A’.B.C’ + A.B’.C’ + A.B.C’ = A’.B’.C’ + A’.B.C + A’.B.C’ + A.B’.C’ + A.B.C’ = A’.B.C + (A’.B’ + A’.B + A.B’ + A.B).C’ = A’.B.C + (A’.B’ + A’.B + A.B’ + A.B).C’ = A’.B.C + (A’.(B’ + B) + A.(B’ + B)).C’ = A’.B.C + (A’.(1) + A.(1)).C’ = A’.B.C + (A’ + A).C’ = A’.B.C + (1).C’ = A’.B.C + C’ identidade X+(X’.Y) = X+Y = A’.B + C’ S = (A+B+C).(Ā+ +C) = A.Ā + A. + A.C + B.Ā + B. + B.C + C.Ā + C. + C.C = 0 + A. + A.C + B.Ā + 0 + B.C + C.Ā + C. + C = A. + B.Ā + A.C + B.C + C.Ā + C. + C = A. + B.Ā + C.(A + B + Ā + + 1) = A. + B.Ā + C.(1) = A. + B.Ā + C
21 Formas Normais (Canônicas) Toda expressão booleana pode ser escrita em uma forma padronizada, denominada forma normal ou forma canônica Duas formas normais são Forma Normal Conjuntiva (FNC), Produto de Somas ou Produto de Maxtermos Forma Normal Disjuntiva (FND), Soma de Produtos ou Soma de Mintermos
22 Maxtermos e Mintermos Maxtermos (ou maxitermos) Variável com valor 0 é deixada intacta Variável com valor 1 é alterada pela sua negação Variáveis de uma mesma linha são conectadas por + (adição) Mintermos (ou minitermos) Variável com valor 1 é deixada intacta Variável com valor 0 é alterada pela sua negação Variáveis de uma mesma linha são conectadas por . (multiplicação) A B C Maxtermo Mintermo 0 0 0 A+B+C Ā. . 0 0 1 A+B+ Ā. .C 0 1 0 A+ +C Ā.B. 0 1 1 A+ + Ā.B.C 1 0 0 Ā+B+C A. . 1 0 1 Ā+B+ A. .C 1 1 0 Ā+ +C A.B. 1 1 1 Ā+ + A.B.C
23 Forma Normal Disjuntiva Mintermo (ou minitermo) é o termo produto associado à cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis de entrada estão presentes Dado um dado mintermo, se substituirmos os valores das variáveis associadas, obteremos 1 Porém, se substituirmos nesse mesmo mintermo quaisquer outras combinações de valores, obteremos 0 Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para uma função a partir de sua tabela verdade, basta montarmos um OU entre os mintermos associados aos 1s da função
24 FND: Exemplo S é uma função das variáveis de entrada A, B e C Os valores de (A,B,C) para os quais S=1 encontram-se nas situações 2, 3, 5 e 6 Os mintermos associados a essas condições (ou seja, os mintermos 1) são mostrados na tabela ao lado Logo, a expressão em soma de produtos (FND) para S será o OU entre estes produtos S = Ā.B. + Ā.B.C + A. .C + A.B. Situação A B C S Mintermo 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 Ā.B. 3 0 1 1 1 Ā.B.C 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 A. .C 6 1 1 0 1 A.B. 7 1 1 1 0
25 Forma Normal Conjuntiva Maxtermo (ou maxitermo) é o termo soma associado à cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis de entrada estão presentes Dado um dado maxtermo, se substituirmos os valores das variáveis associadas, obteremos 0 Porém, se substituirmos nesse mesmo maxtermo quaisquer outras combinações de valores, obteremos 1 Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para uma função a partir de sua tabela verdade, basta montarmos um E entre os maxtermos associados aos 0s da função
26 FNC: Exemplo S é uma função das variáveis de entrada A, B e C Os valores de (A,B,C) para os quais S=0 encontram-se nas situações 0, 1, 4 e 7 Os maxtermos associados a essas condições (ou seja, os maxtermos 0) são mostrados na tabela ao lado Logo, a expressão em produto de somas (FNC) para S será o E entre estas somas S = (A+B+C) . (A+B+ ). (Ā+B+C) . (Ā+ + ) Situação A B C S Maxtermo 0 0 0 0 0 A+B+C 1 0 0 1 0 A+B+ 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 Ā+B+C 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 Ā+ +
27 Simplificação a partir da Forma Normal Uma vez obtida a forma normal de uma função booleana, é possível simplificá-la por meio de manipulação algébrica, respeitando os postulados e propriedades da álgebra booleana, com visto anteriormente
28 Mapas de Veitch-Karnaugh Alternativamente ao método de simplificação algébrico por fatoração, há outro método de simplificação baseado na identificação visual de grupos de mintermos que podem ser simplificados Para tanto, é necessário que os mintermos sejam dispostos de maneira conveniente, em tabelas conhecidas como diagramas ou mapas de Veitch-Karnaugh
29 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis Em um mapa de Veitch-Karnaugh, há uma região própria para cada linha da tabela verdade Essas regiões são os locais ondem devem ser colocados os valores que a expressão S assume nas diferentes possibilidades Para obter a expressão simplificada por meio do diagrama Agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares (diagonais não são permitidas no agrupamento de pares) As regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em pares são consideradas isoladamente B Ā Ā 0 0 Situação 0 Ā B 0 1 Situação 1 A A 1 0 Situação 2 A B 1 1 Situação 3 Situação A B S 0 0 0 1 0 1 2 1 0 3 1 1
30 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis B Ā A Região A (A=1) B Ā A Região B (B=1) B Ā A Região Ā. (A=0 e B=0) B Ā A Região Ā.B (A=0 e B=1) B Ā A Região Ā (A=0) B Ā A Região (B=0) B Ā A Região A. (A=1 e B=0) B Ā A Região A.B (A=1 e B=1)
31 Exemplo A tabela verdade mostra o estudo de uma função A expressão booleana da função S obtida da tabela verdade usando mintermos é S = Ā.B + A. + A.B Obtenha uma expressão equivalente, simplificada usando mapa de Veitch- Karnaugh Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā A
32 Exemplo Inicialmente, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā A
33 Exemplo Inicialmente, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 A
34 Exemplo Inicialmente, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A
35 Exemplo Inicialmente, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1
36 Exemplo Inicialmente, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1 1
37 Exemplo Agora tentamos agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares Um par é o conjunto de duas regiões onde S=1 que tem um lado em comum, ou seja, são vizinhos Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1 1 Par 1
38 Exemplo Agora tentamos agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares Um par é o conjunto de duas regiões onde S=1 que tem um lado em comum, ou seja, são vizinhos Um mesmo valor 1 pode pertencer a mais de um par Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1 1 Par 2 Par 1
39 Exemplo Então, escrevemos a expressão de cada par, ou seja, a região que o par ocupa no diagrama O par 1 ocupa a região A=1, então sua expressão é A O par 2 ocupa a região onde B=1, sendo sua expressão B Neste caso, nenhum 1 ficou isolado, ou seja, fora dos pares Basta então somar os resultados de cada par S = Par 1 + Par 2 S = A + B Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1 1 Par 2 Par 1
40 Exemplo A expressão de S obtida por mapa de Veitch-Karnaugh é S = A + B Como é possível notar, essa é a expressão de uma porta OU, pois a tabela verdade também é da porta OU Outro ponto importante é que a expressão obtida diretamente da tabela verdade S = Ā.B + A. + A.B é visivelmente maior que a expressão minimizada Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1 1 Par 2 Par 1
41 Exercício Dada a tabela ao lado, obtenha a expressão de S diretamente da tabela, usando mintermos A seguir, transporte a tabela para o diagrama de Veitch- Karnaugh e obtenha a expressão simplificada Situação A B S 0 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0 B Ā A
42 Solução Dada a tabela ao lado, obtenha a expressão de S diretamente da tabela, usando mintermos S = Ā. + Ā.B + A. A seguir, transporte a tabela para o diagrama de Veitch-Karnaugh e obtenha a expressão simplificada S = Par 1 + Par 2 S = Ā + Nota-se que a tabela verdade é a de uma porta NAND, cuja expressão é S=(A.B)’ Aplicando De Morgan na expressão encontrada, tem-se S = Ā + = (A.B)’ Situação A B S 0 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0 B Ā 1 1 A 1 0 Par 2 Par 1
43 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 3 Variáveis De forma análoga para 2 variáveis, com 3 variáveis também há uma região própria para cada linha da tabela verdade em um mapa de Veitch-Karnaugh Para obter a expressão simplificada por meio do diagrama Agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares As regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em quadras ou pares são consideradas isoladamente Situação A B C S 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1 B Ā Ā 0 0 0 Situação 0 Ā C 0 0 1 Situação 1 Ā B C 0 1 1 Situação 3 Ā B 0 1 0 Situação 2 A A 1 0 0 Situação 4 A C 1 0 1 Situação 5 A B C 1 1 1 Situação 7 A B 1 1 0 Situação 6 C
44 B Ā A C Região A=1 (Região A) B Ā A C Região B=1 (Região B) B Ā A C Região C=1 (Região C) B Ā A C Região A=0 (Região Ā) B Ā A C Região B=0 (Região ) B Ā A C Região C=0 (Região C) Quadras
45 B Ā A C Região Ā. B Ā A C Região Ā.C B Ā A C Região Ā.B B Ā A C Região A. B Ā A C Região A.C B Ā A C Região A.B Pares (1/2)
46 B Ā A C C C Região Ā.C B Ā A C C C Região .C B Ā A C C C Região .C B Ā A C C C Região A.C B Ā A C C C Região B.C B Ā A C C C Região B.C Pares (2/2)
47 Quadra e Pares nas Extremidades B Ā A C Região C=0 (Região C) B Ā A C Região Ā.C B Ā A C Região A.C Note que a região marcada corresponde a uma quadra, mesmo não estando contígua no diagrama De forma análoga, estas regiões marcadas correspondem a pares
48 Exemplo A expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā A C
49 Exemplo A expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 A C
50 Exemplo A expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 A C
51 Exemplo A expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 A C
52 Exemplo A expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A C
53 Exemplo A expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 C
54 Exemplo A expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 C
55 Exemplo A expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 1 C
56 Exemplo A expressão extraída diretamente da tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
57 Exemplo Agora tentamos agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
58 Exemplo Agora tentamos agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras No exemplo, tem-se a quadra Como nenhuma quadra adicional pode ser encontrada, tentamos localizar agora o menor número de pares Não devem ser considerados os pares já incluídos em quadras Contudo, pode acontecer de um par ser composto por um 1 externo e outro interno a uma quadra Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
59 Exemplo Agora tentamos agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras No exemplo, tem-se a quadra Como nenhuma quadra adicional pode ser encontrada, tentamos localizar agora o menor número de pares Não devem ser considerados os pares já incluídos em quadras Contudo, pode acontecer de um par ser composto por um 1 externo e outro interno a uma quadra No exemplo, tem-se o par Ā.B Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
60 Exemplo Agora tentamos agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras No exemplo, tem-se a quadra Como nenhuma quadra adicional pode ser encontrada, tentamos localizar agora o menor número de pares Não devem ser considerados os pares já incluídos em quadras Contudo, pode acontecer de um par ser composto por um 1 externo e outro interno a uma quadra No exemplo, tem-se o par Ā.B Por último, resta considerar termos isolados, que não foram agrupados nem em quadras, nem em pares No exemplo, não temos nenhum termo isolado Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
61 Exemplo Agora, basta somar as expressões referentes às quadras, pares e termos isolados No exemplo, temos Quadra Par Ā.B A expressão final minimizada é S = + Ā.B Comparando com a expressão antes da minimização, é possível notar a redução do número de portas e operações necessárias para obter-se o mesmo resultado S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
62 Exercício Minimizar o circuito que executa a tabela verdade ao lado Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā A C
63 Exercício Minimizar o circuito que executa a tabela verdade ao lado Lembrar de agrupar as quadras, depois os pares e por últimos os termos isolados Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 0 1 1 0 A 1 1 0 1 C
64 Solução Minimizar o circuito que executa a tabela verdade ao lado Lembrar de agrupar as quadras, depois os pares e por últimos os termos isolados Nesse caso, há apenas 3 pares Ā.C A. A. Portanto, a expressão minimizada é S = Ā.C + A. + A. Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 0 1 1 0 A 1 1 0 1 C
65 Solução Minimizar o circuito que executa a tabela verdade ao lado Lembrar de agrupar as quadras, depois os pares e por últimos os termos isolados Nesse caso, há apenas 3 pares Ā.C A. A. Portanto, a expressão minimizada é S = Ā.C + A. + A. Poderíamos também ter agrupado da seguinte maneira, gerando a expressão S = Ā.C + .C + A. Essas duas expressões, sintaticamente diferentes, são semanticamente equivalentes, pois possuem o mesmo comportamento em cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 0 1 1 0 A 1 1 0 1 C
66 Exercício Simplifique a expressão, utilizando diagrama de Veitch- Karnaugh S = Ā. . + Ā. .C+ Ā.B.C + A. .C + A.B.C B Ā A C
67 Solução Simplifique a expressão, utilizando diagrama de Veitch- Karnaugh S = Ā. . + Ā. .C+ Ā.B.C + A. .C + A.B.C Após a minimização, obtém-se S = C + Ā. Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1 B Ā 1 1 1 0 A 0 1 1 0 C
68 Exercício Simplifique a expressão, utilizando diagrama de Veitch- Karnaugh Tente montar o diagrama sem escrever a tabela verdade S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A.B.C B Ā A C
69 Exercício Simplifique a expressão, utilizando diagrama de Veitch- Karnaugh Tente montar o diagrama sem escrever a tabela verdade S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A.B.C B Ā Ā. . Ā.B.C Ā.B. A A.B.C C
70 Solução Simplifique a expressão, utilizando diagrama de Veitch- Karnaugh S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A.B.C Após a minimização, obtém-se S = Ā. + B.C Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 0 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1 B Ā 1 0 1 1 A 0 0 1 0 C
71 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 4 Variáveis Nesse caso, para obter a expressão simplificada por meio do diagrama Agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de oitavas Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares As regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em oitavas, quadras ou pares são consideradas isoladamente No diagrama, os lados extremos opostos se comunicam, podendo formar oitavas, quadras ou pares C Ā B A ð D ð
72 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 4 Variáveis Como antes, há uma região para cada linha na tabela verdade Situação A B C D S 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 C Ā Ā ð 0 0 0 0 Situação 0 Ā D 0 0 0 1 Situação 1 Ā C D 0 0 1 1 Situação 3 Ā C ð 0 0 1 0 Situação 2 Ā B ð 0 1 0 0 Situação 4 Ā B D 0 1 0 1 Situação 5 Ā B C D 0 1 1 1 Situação 7 Ā B C ð 0 1 1 0 Situação 6 B A A B ð 1 1 0 0 Situação 12 AB D 1 1 0 1 Situação 13 A B C D 1 1 1 1 Situação 15 A B C ð 1 1 1 0 Situação 14 A ð 1 0 0 0 Situação 8 A D 1 0 0 1 Situação 9 A C D 1 0 1 1 Situação 11 A C ð 1 0 1 0 Situação 10 ð D ð
73 C Ā B A ð D ð Região A=1 (Região A) C Ā B A ð D ð Região B=1 (Região B) C Ā B A ð D ð Região C=1 (Região C) C Ā B A ð D ð Região D=1 (Região D) C Ā B A ð D ð Região A=0 (Região Ā) C Ā B A ð D ð Região B=0 (Região ) C Ā B A ð D ð Região C=0 (Região ) C Ā B A ð D ð Região D=0 (Região ð) Oitavas
74 C Ā B A ð D ð Região A.B C Ā B A ð D ð Região A. C Ā B A ð D ð Região A.C C Ā B A ð D ð Região A. C Ā B A ð D ð Região Ā.B C Ā B A ð D ð Região Ā. C Ā B A ð D ð Região Ā.C C Ā B A ð D ð Região Ā. Quadras (1/3)
75 C Ā B A ð D ð Região A.D C Ā B A ð D ð Região A.ð C Ā B A ð D ð Região B.C C Ā B A ð D ð Região B. C Ā B A ð D ð Região Ā.D C Ā B A ð D ð Região Ā.ð C Ā B A ð D ð Região .C C Ā B A ð D ð Região . Quadras (2/3)
76 C Ā B A ð D ð Região B.D C Ā B A ð D ð Região B.ð C Ā B A ð D ð Região C.D C Ā B A ð D ð Região C.ð C Ā B A ð D ð Região .D C Ā B A ð D ð Região .ð C Ā B A ð D ð Região .D C Ā B A ð D ð Região .D Quadras (3/3)
77 C Ā B A ð D ð Região A.B.C C Ā B A ð D ð Região A. .C C Ā B A ð D ð Região A.B. C Ā B A ð D ð Região A. . C Ā B A ð D ð Região Ā.B.C C Ā B A ð D ð Região Ā. .C C Ā B A ð D ð Região Ā.B. C Ā B A ð D ð Região Ā. . Pares (1/4)
78 C Ā B A ð D ð Região A.B.D C Ā B A ð D ð Região A. .D C Ā B A ð D ð Região A.B.ð C Ā B A ð D ð Região A. .ð C Ā B A ð D ð Região Ā.B.D C Ā B A ð D ð Região Ā. .D C Ā B A ð D ð Região Ā.B.ð C Ā B A ð D ð Região Ā. .ð Pares (2/4)
79 C Ā B A ð D ð Região A.C.D C Ā B A ð D ð Região A. .D C Ā B A ð D ð Região A.C.ð C Ā B A ð D ð Região A. .ð C Ā B A ð D ð Região Ā.C.D C Ā B A ð D ð Região Ā. .D C Ā B A ð D ð Região Ā.C.ð C Ā B A ð D ð Região Ā. .ð Pares (3/4)
80 C Ā B A ð D ð Região B.C.D C Ā B A ð D ð Região B. .D C Ā B A ð D ð Região B.C.ð C Ā B A ð D ð Região B. .ð C Ā B A ð D ð Região .C.D C Ā B A ð D ð Região . .D C Ā B A ð D ð Região .C.ð C Ā B A ð D ð Região . .ð Pares (4/4)
81 Exemplo Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.ð Ā. .C.D + Ā.B. .D + Ā.B.C.D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.D + A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D C Ā B A ð D ð
82 Exemplo Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.ð Ā. .C.D + Ā.B. .D + Ā.B.C.D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.D + A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado C Ā 0 1 1 1 0 1 1 0 B A 1 1 1 0 1 1 1 0 ð D ð
83 Exemplo Simplifique a expressão usando mapa de Veitch-Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.ð Ā. .C.D + Ā.B. .D + Ā.B.C.D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.D + A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado Localizando oitavas C Ā 0 1 1 1 0 1 1 0 B A 1 1 1 0 1 1 1 0 ð D ð
84 Exemplo Simplifique a expressão usando mapa de Veitch-Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.ð Ā. .C.D + Ā.B. .D + Ā.B.C.D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.D + A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado Localizando oitavas, quadras C Ā 0 1 1 1 0 1 1 0 B A 1 1 1 0 1 1 1 0 ð D ð
85 Exemplo Simplifique a expressão usando mapa de Veitch-Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.ð Ā. .C.D + Ā.B. .D + Ā.B.C.D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.D + A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado Localizando oitavas, quadras e pares Observe que não existem elementos isolados neste exemplo A expressão simplificada é S = D + A. + Ā. .C C Ā 0 1 1 1 0 1 1 0 B A 1 1 1 0 1 1 1 0 ð D ð
86 Exercício Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.D + Ā.B. .ð + Ā.B. .D + + Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð + + A.B.C.D + A. .C.ð C Ā B A ð D ð
87 Exercício Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.D + Ā.B. .ð + Ā.B. .D + + Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð + + A.B.C.D + A. .C.ð C Ā Ā. . .D Ā. .C.D Ā.B. .ð Ā.B. .D Ā.B.C.D Ā.B.C.ð B A A.B.C.D A. .C.ð ð D ð
88 Solução Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.D + Ā.B. .ð + Ā.B. .D + + Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð + + A.B.C.D + A. .C.ð Não há oitavas possíveis Há duas quadras C Ā 0 1 1 0 1 1 1 1 B A 0 0 1 0 0 0 0 1 ð D ð
89 Solução Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.D + Ā.B. .ð + Ā.B. .D + + Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð + + A.B.C.D + A. .C.ð Não há oitavas possíveis Há duas quadras, um par C Ā 0 1 1 0 1 1 1 1 B A 0 0 1 0 0 0 0 1 ð D ð
90 Solução Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.D + Ā.B. .ð + Ā.B. .D + + Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð + + A.B.C.D + A. .C.ð Não há oitavas possíveis Há duas quadras, um par e um elemento isolado Portanto, a expressão minimizada é S = Ā.D + Ā.B + B.C.D + A. .C.ð C Ā 0 1 1 0 1 1 1 1 B A 0 0 1 0 0 0 0 1 ð D ð
91 Exercício Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .ð + Ā. . .D + Ā. .C.ð + Ā.B. .D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.ð + A.B. .D + A.B.C.D C Ā B A ð D ð
92 Exercício Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .ð + Ā. . .D + Ā. .C.ð + Ā.B. .D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.ð + A.B. .D + A.B.C.D C Ā Ā. . .ð Ā. . .D Ā. .C.ð Ā.B. .D B A A.B. .D A.B.C.D A. . .ð A. . .D A. .C.ð ð D ð
93 Exercício Simplifique a expressão usando mapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .ð + Ā. . .D + Ā. .C.ð + Ā.B. .D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.ð + A.B. .D + A.B.C.D C Ā 1 1 1 1 B A 1 1 1 1 1 ð D ð
94 Solução Simplifique a expressão usando mapa de Veitch-Karnaugh S = Ā. . .ð + Ā. . .D + Ā. .C.ð + Ā.B. .D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.ð + A.B. .D + A.B.C.D Não há oitavas possíveis Há duas quadras e um par Portanto, a expressão minimizada é S = .D + .ð + A.B.D C Ā 1 1 1 1 B A 1 1 1 1 1 ð D ð
95 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 5 Variáveis Nesse caso, para obter a expressão simplificada por meio do diagrama Agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de hexas Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de oitavas Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares As regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em oitavas, quadras ou pares são consideradas isoladamente No diagrama, os lados extremos opostos se comunicam, assim como um diagrama se sobrepõe ao outro
96 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 5 Variáveis Situação A B C D E S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 3 0 0 0 1 1 4 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 1 6 0 0 1 1 0 7 0 0 1 1 1 8 0 1 0 0 0 9 0 1 0 0 1 10 0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 1 12 0 1 1 0 0 13 0 1 1 0 1 14 0 1 1 1 0 15 0 1 1 1 1 Situação A B C D E S 16 1 0 0 0 0 17 1 0 0 0 1 18 1 0 0 1 0 19 1 0 0 1 1 20 1 0 1 0 0 21 1 0 1 0 1 22 1 0 1 1 0 23 1 0 1 1 1 24 1 1 0 0 0 25 1 1 0 0 1 26 1 1 0 1 0 27 1 1 0 1 1 28 1 1 1 0 0 29 1 1 1 0 1 30 1 1 1 1 0 31 1 1 1 1 1
97 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 5 Variáveis ð D A ð Ē 1 0 0 0 0 Situação 16 A ð E 1 0 0 0 1 Situação 17 A D E 1 0 0 1 1 Situação 19 A D Ē 1 0 0 1 0 Situação 18 A C ð Ē 1 0 1 0 0 Situação 20 A C ð E 1 0 1 0 1 Situação 21 A C D E 1 0 1 1 1 Situação 23 A C D Ē 1 0 1 1 0 Situação 22 C B A B C ð Ē 1 1 1 0 0 Situação 28 A B C ð E 1 1 1 0 1 Situação 29 A B C D E 1 1 1 1 1 Situação 31 A B C D Ē 1 1 1 1 0 Situação 30 A B ð Ē 1 1 0 0 0 Situação 24 A B ð E 1 1 0 0 1 Situação 25 A B D E 1 1 0 1 1 Situação 27 A B D Ē 1 1 0 1 0 Situação 26 Ē E Ē AĀ ð D Ā ð Ē 0 0 0 0 0 Situação 0 Ā ð E 0 0 0 0 1 Situação 1 Ā D E 0 0 0 1 1 Situação 3 Ā D Ē 0 0 0 1 0 Situação 2 Ā C ð Ē 0 0 1 0 0 Situação 4 Ā C ð E 0 0 1 0 1 Situação 5 Ā C D E 0 0 1 1 1 Situação 7 Ā C D Ē 0 0 1 1 0 Situação 6 C B Ā B C ð Ē 0 1 1 0 0 Situação 12 Ā B C ð E 0 1 1 0 1 Situação 13 Ā B C D E 0 1 1 1 1 Situação 15 Ā B C D Ē 0 1 1 1 0 Situação 14 Ā B ð Ē 0 1 0 0 0 Situação 8 Ā B ð E 0 1 0 0 1 Situação 9 Ā B D E 0 1 0 1 1 Situação 11 Ā B D Ē 0 1 0 1 0 Situação 10 Ē E Ē
98 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 5 Variáveis A Ā
99 Hexas (1) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região A AĀ Região B ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ā AĀ Região
100 Hexas (2) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região C AĀ Região D ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região AĀ Região ð
101 Hexas (3) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região E ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ē
102 Oitavas (1/10) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região A.B AĀ Região A. ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ā.B AĀ Região Ā.
103 Oitavas (2/10) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região A.C AĀ Região A. ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ā.C AĀ Região Ā.
104 Oitavas (3/10) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região A.D AĀ Região A.ð ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ā.D AĀ Região Ā.ð
105 Oitavas (4/10) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região A.E AĀ Região A.Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ā.E AĀ Região Ā.Ē
106 Oitavas (5/10) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região B.C AĀ Região B. ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região .C AĀ Região .
107 Oitavas (6/10) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região B.D AĀ Região B.ð ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região .D AĀ Região .ð
108 Oitavas (7/10) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região B.E AĀ Região B.Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região .E AĀ Região .Ē
109 Oitavas (8/10) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região C.D AĀ Região C.ð ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região .D AĀ Região .ð
110 Oitavas (9/10) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região C.E AĀ Região C.Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região .E AĀ Região .Ē
111 Oitavas (10/10) ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região D.E AĀ Região D.Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região ð.E AĀ Região ð.Ē
112 Exemplo: Simplifique o Circuito representado pelo diagrama ð D 0 0 0 0 0 1 0 1 C B 1 1 1 1 0 0 0 0 Ē E Ē AĀ ð D 1 0 1 0 1 1 1 0 C B 0 1 0 1 1 1 0 1 Ē E Ē
113 Exemplo: 2 Quadras ð D 1 1 C B 1 1 1 1 Ē E Ē AĀ ð D 1 1 1 1 1 C B 1 1 1 1 1 Ē E Ē
114 Exemplo: 2 Quadras, 5 Pares ð D 1 1 C B 1 1 1 1 Ē E Ē AĀ ð D 1 1 1 1 1 C B 1 1 1 1 1 Ē E Ē S= A.B.C + C.ð.E + Ā. .ð.Ē + Ā. .D.E + Ā.B. .ð + Ā.B.D.Ē + A.C.D.Ē
115 Exercício ð D 0 0 0 1 0 1 1 1 C B 0 1 1 0 1 0 0 0 Ē E Ē AĀ ð D 0 0 0 1 0 1 1 1 C B 0 1 1 0 1 0 0 0 Ē E Ē
116 Solução ð D 0 0 0 1 0 1 1 1 C B 0 1 1 0 1 0 0 0 Ē E Ē AĀ ð D 0 0 0 1 0 1 1 1 C B 0 1 1 0 1 0 0 0 Ē E Ē S= C.E + .D.Ē + B. .ð.Ē
117 Casos Sem Simplificação Seja a expressão S = Ā.B + A.B Ao tentar simplificar a expressão pelo diagrama de Veitch-Karnaugh, nota-se que não é possível agrupar termos Nesse caso, a expressão dada já se encontra minimizada O mesmo ocorre com a expressão S = A.B + Ā. Que também se encontra minimizada B Ā 0 1 A 1 0 B Ā 1 0 A 0 1
118 Casos Sem Simplificação O mesmo ocorre nas duas situações seguintes, que também não admitem simplificação Estes casos também ocorrem para 4 ou mais variáveis de entrada B Ā 1 0 1 0 A 0 1 0 1 C B Ā 0 1 0 1 A 1 0 1 0 C
119 Outra Maneira de Utilização Outra maneira de utilizar um diagrama Veitch-Karnaugh consiste em utilizar o complemento da expressão Assim, somente são considerados os casos onde a expressão S=0 Com isso, têm-se o complemento da função, que precisa, portanto, ser invertida Isso corresponde a utilizar De Morgan
120 Diagrama de Veitch-Karnaugh pelo Complemento Usando o diagrama pelo método convencional, obtém-se S = A + C Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 B Ā 0 1 1 0 A 1 1 1 1 C
121 Diagrama de Veitch-Karnaugh pelo Complemento Usando o diagrama pelo método convencional, obtém-se S = A + C Usando o complemento, tem-se S = Ā. Portanto, S = (Ā. )’ Aplicando-se De Morgan na expressão acima, tem-se S = (Ā. )’ = A + C Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 B Ā 0 1 1 0 A 1 1 1 1 C
122 Resumo Neste apresentação foram vistos os postulados e propriedades da álgebra de Boole É importante lembrar que qualquer expressão booleana pode ser escrita de forma padronizada, obtida a partir da tabela verdade Produto de Maxtermos Soma de Mintermos Uma vez obtida a expressão booleana de um circuito, é possível realizar simplificações que visam reduzir redução de custo de fabricação dos circuitos Fatoração (simplificação algébrica) Diagrama de Veitch-Karnaugh (simplificação visual)
123 Copyright© Apresentação 2012 por José Augusto Baranauskas Universidade de São Paulo Professores são convidados a utilizarem esta apresentação da maneira que lhes for conveniente, desde que esta nota de copyright permaneça intacta. Slides baseados em: Idoeta, I.V. & Capuano, F.G.; Elementos de Eletrônica Digital, 12ª. edição, Érica, 1987. E. Mendelson; Álgebra booleana e circuitos de chaveamento, McGraw-Hill, 1977.

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Ab algebra-boole-simplificacao-circuitos

  • 1.
    José Augusto Baranauskas Departamentode Computação e Matemática – FFCLRP-USP augusto@usp.br http://dcm.fmrp.usp.br/~augusto Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos Nesta apresentação serão vistos os postulados e propriedades e formas canônicas de expressões booleanas Além disso, serão vistas duas forma de simplificar circuitos Fatoração Diagramas de Veitch- Karnaugh
  • 2.
    2 Motivação Como visto, oscircuitos lógicos correspondem (executam) expressões booleanas, as quais representam problemas no mundo real Porém, os circuitos gerados por tabelas verdade muitas vezes admitem simplificações, o que reduz o número de portas lógicas; essa redução diminui o grau de dificuldade na montagem e custo do sistema digital
  • 3.
    3 Motivação O estudo dasimplificação de circuitos lógicos requer o conhecimento da álgebra de Boole, por meio de seus postulados, propriedades, equivalências, etc De fato, na álgebra de Boole encontram-se os fundamentos da eletrônica digital de circutos
  • 4.
    4 Constantes, Variáveis e Expressões Existemapenas duas constantes booleanas 0 (zero) 1 (um) Uma variável booleana é representada por letra e pode assumir apenas dois valores (0 ou 1) Exemplos: A, B, C Uma expressão booleana é uma expressão matemática envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas e seu resultado assume apenas dois valores (0 ou 1) Exemplos: S = A.B S = A+B.C
  • 5.
    5 Na álgebra booleanahá postulados (axiomas) a partir dos quais são estabelecidas várias propriedades Existem várias propriedades da negação (complemento, inversor), adição (porta E) e soma (porta OU) Estas propriedades podem ser verificadas como equivalências lógicas Para demonstrar cada uma, basta utilizar as tabelas-verdade, constatando a equivalência Postulados & Propriedades
  • 6.
    6 Postulados Complemento Se A=0 entãoĀ=1 Se A=1 então Ā=0 Notações alternativas Ā = A’ Ā = ¬ A B.C = (B.C)’ Adição 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 Multiplicação 0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 1 . 0 = 0 1 . 1 = 1
  • 7.
    7 Propriedades Propriedade Complemento AdiçãoMultiplicação Identidade Ā = A A + 0 = A A . 0 = 0 A + 1 = 1 A . 1 = A A + A = A A . A = A A + Ā = 1 A . Ā = 0 Comutativa A + B = B + A A . B = B . A Associativa A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C Distributiva A+(B.C) = (A+B) . (A+C) A.(B+C) = A.B + A.C
  • 8.
    8 Propriedades Absorção A + (A.B)= A A . (A+B) = A Outras Identidades A + Ā.B = A + B (A+B).(A+C) = A + B.C De Morgan (A.B)’ = Ā + (A+B)’ = Ā . De Morgan se estende para n variáveis (A.B. ... . n)’ = Ā + + ... + (A+B+ ... +n)’ = Ā . . ... .
  • 9.
    9 Exercício Mostre, usando simplificaçãopor postulados e propriedades, ou seja, por transformações algébricas que: A+A.B = A A.(A+B) = A
  • 10.
    10 Solução A+A.B = A A+ A.B = A.(1+B) distributiva = A.(1) identidade da adição = A identidade da multiplicação A.(A+B) = A A.(A+B) = (A.A) + (A.B) distributiva = A + (A.B) identidade da multiplicação = A pela prova do exercício acima
  • 11.
    11 Exercício Idem ao exercícioanterior A + Ā.B = A + B (A+B).(A+C) = A + B.C
  • 12.
    12 Solução A + Ā.B= A + B A + Ā.B = (A + Ā.B)’’ identidade do complemento = (Ā . (Ā.B)’)’ = (Ā . (A + ))’ De Morgan = (Ā.A + Ā. )’ distributiva = (0 + Ā. )’ identidade da multiplicação = (Ā. )’ identidade da adição = A + B De Morgan A + Ā.B = A + B A + Ā.B = (A + Ā).(A+ B) distributiva α+β.γ= (α+β) .(α+γ) = 1.(A+B) identidade da adição = A + B identidade da multiplicação
  • 13.
    13 Solução (A+B).(A+C) = A+ B.C (A+B).(A+C) = A.A + A.C + B.A + B.C distributiva = A.A + A.C + A.B + B.C comutativa = A + A.C + A.B + B.C identidade da multiplicação = A + A.(C+B) + B.C distributiva = A.(1 + (C+B)) + B.C distributiva = A.(1) + B.C identidade da adição = A + B.C identidade da multiplicação
  • 14.
    14 Simplificação de Expressões Booleanas Usandoa álgebra booleana é possível simplificar expressões Como cada circuito corresponde a uma expressão, simplificações de expressões significam em simplificações de circuitos Há duas formas para simplificar expressões Fatoração Mapas de Veitch-Karnaugh Veremos, a seguir, o processo de fatoração
  • 15.
    15 Fatoração Consiste na aplicaçãodos postulados e propriedades da álgebra booleana, com o objetivo de simplificar a expressão Por exemplo S = A.B.C + A.C’ + A.B’ = A.(B.C + C’ + B’) distributiva = A.(B.C + (C’ + B’)) associativa = A.(B.C + ( (C’ + B’)’ )’) identidade do complemento = A.(B.C + (C.B)’) De Morgan = A.(B.C + (B.C)’ ) comutativa = A.(1) identidade da adição (D+ð=1) = A identidade da multiplicação
  • 16.
    16 Fatoração Portanto, A.B.C + A.C’+ A.B’ = A Essa expressão mostra a importância da simplificação de expressões e a consequente minimização do circuito, sendo o resultado final igual ao da variável A Circuito antes da simplificação Circuito após simplificação A B C A C A B S A S
  • 17.
    17 Exercício Simplifique as expressões S= A’.B’.C’ + A’.B.C’ + A.B’.C S = Ā. + Ā.B
  • 18.
    18 Solução Simplifique as expressões S= A’.B’.C’ + A’.B.C’ + A.B’.C = A’.C’.B’ + A’.C’.B + A.B’.C = A’.C’.(B’ + B) + A.B’.C = A’.C’.(1) + A.B’.C = A’.C’ + A.B’.C S = Ā. + Ā.B = Ā.( +B) = Ā.(1) = Ā
  • 19.
    19 Exercício Simplifique as expressões S= A’.B’.C’ + A’.B.C + A’.B.C’ + A.B’.C’ + A.B.C’ S = (A+B+C).(Ā+ +C)
  • 20.
    20 Solução S = A’.B’.C’+ A’.B.C + A’.B.C’ + A.B’.C’ + A.B.C’ = A’.B’.C’ + A’.B.C + A’.B.C’ + A.B’.C’ + A.B.C’ = A’.B.C + (A’.B’ + A’.B + A.B’ + A.B).C’ = A’.B.C + (A’.B’ + A’.B + A.B’ + A.B).C’ = A’.B.C + (A’.(B’ + B) + A.(B’ + B)).C’ = A’.B.C + (A’.(1) + A.(1)).C’ = A’.B.C + (A’ + A).C’ = A’.B.C + (1).C’ = A’.B.C + C’ identidade X+(X’.Y) = X+Y = A’.B + C’ S = (A+B+C).(Ā+ +C) = A.Ā + A. + A.C + B.Ā + B. + B.C + C.Ā + C. + C.C = 0 + A. + A.C + B.Ā + 0 + B.C + C.Ā + C. + C = A. + B.Ā + A.C + B.C + C.Ā + C. + C = A. + B.Ā + C.(A + B + Ā + + 1) = A. + B.Ā + C.(1) = A. + B.Ā + C
  • 21.
    21 Formas Normais (Canônicas) Todaexpressão booleana pode ser escrita em uma forma padronizada, denominada forma normal ou forma canônica Duas formas normais são Forma Normal Conjuntiva (FNC), Produto de Somas ou Produto de Maxtermos Forma Normal Disjuntiva (FND), Soma de Produtos ou Soma de Mintermos
  • 22.
    22 Maxtermos e Mintermos Maxtermos(ou maxitermos) Variável com valor 0 é deixada intacta Variável com valor 1 é alterada pela sua negação Variáveis de uma mesma linha são conectadas por + (adição) Mintermos (ou minitermos) Variável com valor 1 é deixada intacta Variável com valor 0 é alterada pela sua negação Variáveis de uma mesma linha são conectadas por . (multiplicação) A B C Maxtermo Mintermo 0 0 0 A+B+C Ā. . 0 0 1 A+B+ Ā. .C 0 1 0 A+ +C Ā.B. 0 1 1 A+ + Ā.B.C 1 0 0 Ā+B+C A. . 1 0 1 Ā+B+ A. .C 1 1 0 Ā+ +C A.B. 1 1 1 Ā+ + A.B.C
  • 23.
    23 Forma Normal Disjuntiva Mintermo(ou minitermo) é o termo produto associado à cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis de entrada estão presentes Dado um dado mintermo, se substituirmos os valores das variáveis associadas, obteremos 1 Porém, se substituirmos nesse mesmo mintermo quaisquer outras combinações de valores, obteremos 0 Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para uma função a partir de sua tabela verdade, basta montarmos um OU entre os mintermos associados aos 1s da função
  • 24.
    24 FND: Exemplo S éuma função das variáveis de entrada A, B e C Os valores de (A,B,C) para os quais S=1 encontram-se nas situações 2, 3, 5 e 6 Os mintermos associados a essas condições (ou seja, os mintermos 1) são mostrados na tabela ao lado Logo, a expressão em soma de produtos (FND) para S será o OU entre estes produtos S = Ā.B. + Ā.B.C + A. .C + A.B. Situação A B C S Mintermo 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 Ā.B. 3 0 1 1 1 Ā.B.C 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 A. .C 6 1 1 0 1 A.B. 7 1 1 1 0
  • 25.
    25 Forma Normal Conjuntiva Maxtermo(ou maxitermo) é o termo soma associado à cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis de entrada estão presentes Dado um dado maxtermo, se substituirmos os valores das variáveis associadas, obteremos 0 Porém, se substituirmos nesse mesmo maxtermo quaisquer outras combinações de valores, obteremos 1 Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para uma função a partir de sua tabela verdade, basta montarmos um E entre os maxtermos associados aos 0s da função
  • 26.
    26 FNC: Exemplo S éuma função das variáveis de entrada A, B e C Os valores de (A,B,C) para os quais S=0 encontram-se nas situações 0, 1, 4 e 7 Os maxtermos associados a essas condições (ou seja, os maxtermos 0) são mostrados na tabela ao lado Logo, a expressão em produto de somas (FNC) para S será o E entre estas somas S = (A+B+C) . (A+B+ ). (Ā+B+C) . (Ā+ + ) Situação A B C S Maxtermo 0 0 0 0 0 A+B+C 1 0 0 1 0 A+B+ 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 Ā+B+C 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 Ā+ +
  • 27.
    27 Simplificação a partirda Forma Normal Uma vez obtida a forma normal de uma função booleana, é possível simplificá-la por meio de manipulação algébrica, respeitando os postulados e propriedades da álgebra booleana, com visto anteriormente
  • 28.
    28 Mapas de Veitch-Karnaugh Alternativamenteao método de simplificação algébrico por fatoração, há outro método de simplificação baseado na identificação visual de grupos de mintermos que podem ser simplificados Para tanto, é necessário que os mintermos sejam dispostos de maneira conveniente, em tabelas conhecidas como diagramas ou mapas de Veitch-Karnaugh
  • 29.
    29 Diagrama de Veitch-Karnaugh para2 Variáveis Em um mapa de Veitch-Karnaugh, há uma região própria para cada linha da tabela verdade Essas regiões são os locais ondem devem ser colocados os valores que a expressão S assume nas diferentes possibilidades Para obter a expressão simplificada por meio do diagrama Agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares (diagonais não são permitidas no agrupamento de pares) As regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em pares são consideradas isoladamente B Ā Ā 0 0 Situação 0 Ā B 0 1 Situação 1 A A 1 0 Situação 2 A B 1 1 Situação 3 Situação A B S 0 0 0 1 0 1 2 1 0 3 1 1
  • 30.
    30 Diagrama de Veitch-Karnaugh para2 Variáveis B Ā A Região A (A=1) B Ā A Região B (B=1) B Ā A Região Ā. (A=0 e B=0) B Ā A Região Ā.B (A=0 e B=1) B Ā A Região Ā (A=0) B Ā A Região (B=0) B Ā A Região A. (A=1 e B=0) B Ā A Região A.B (A=1 e B=1)
  • 31.
    31 Exemplo A tabela verdademostra o estudo de uma função A expressão booleana da função S obtida da tabela verdade usando mintermos é S = Ā.B + A. + A.B Obtenha uma expressão equivalente, simplificada usando mapa de Veitch- Karnaugh Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā A
  • 32.
    32 Exemplo Inicialmente, o diagramaé preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā A
  • 33.
    33 Exemplo Inicialmente, o diagramaé preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 A
  • 34.
    34 Exemplo Inicialmente, o diagramaé preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A
  • 35.
    35 Exemplo Inicialmente, o diagramaé preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1
  • 36.
    36 Exemplo Inicialmente, o diagramaé preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1 1
  • 37.
    37 Exemplo Agora tentamos agrupar asregiões onde S=1 no menor número possível de pares Um par é o conjunto de duas regiões onde S=1 que tem um lado em comum, ou seja, são vizinhos Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1 1 Par 1
  • 38.
    38 Exemplo Agora tentamos agrupar asregiões onde S=1 no menor número possível de pares Um par é o conjunto de duas regiões onde S=1 que tem um lado em comum, ou seja, são vizinhos Um mesmo valor 1 pode pertencer a mais de um par Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1 1 Par 2 Par 1
  • 39.
    39 Exemplo Então, escrevemos a expressãode cada par, ou seja, a região que o par ocupa no diagrama O par 1 ocupa a região A=1, então sua expressão é A O par 2 ocupa a região onde B=1, sendo sua expressão B Neste caso, nenhum 1 ficou isolado, ou seja, fora dos pares Basta então somar os resultados de cada par S = Par 1 + Par 2 S = A + B Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1 1 Par 2 Par 1
  • 40.
    40 Exemplo A expressão deS obtida por mapa de Veitch-Karnaugh é S = A + B Como é possível notar, essa é a expressão de uma porta OU, pois a tabela verdade também é da porta OU Outro ponto importante é que a expressão obtida diretamente da tabela verdade S = Ā.B + A. + A.B é visivelmente maior que a expressão minimizada Situação A B S 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 B Ā 0 1 A 1 1 Par 2 Par 1
  • 41.
    41 Exercício Dada a tabelaao lado, obtenha a expressão de S diretamente da tabela, usando mintermos A seguir, transporte a tabela para o diagrama de Veitch- Karnaugh e obtenha a expressão simplificada Situação A B S 0 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0 B Ā A
  • 42.
    42 Solução Dada a tabelaao lado, obtenha a expressão de S diretamente da tabela, usando mintermos S = Ā. + Ā.B + A. A seguir, transporte a tabela para o diagrama de Veitch-Karnaugh e obtenha a expressão simplificada S = Par 1 + Par 2 S = Ā + Nota-se que a tabela verdade é a de uma porta NAND, cuja expressão é S=(A.B)’ Aplicando De Morgan na expressão encontrada, tem-se S = Ā + = (A.B)’ Situação A B S 0 0 0 1 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 0 B Ā 1 1 A 1 0 Par 2 Par 1
  • 43.
    43 Diagrama de Veitch-Karnaugh para3 Variáveis De forma análoga para 2 variáveis, com 3 variáveis também há uma região própria para cada linha da tabela verdade em um mapa de Veitch-Karnaugh Para obter a expressão simplificada por meio do diagrama Agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares As regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em quadras ou pares são consideradas isoladamente Situação A B C S 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1 B Ā Ā 0 0 0 Situação 0 Ā C 0 0 1 Situação 1 Ā B C 0 1 1 Situação 3 Ā B 0 1 0 Situação 2 A A 1 0 0 Situação 4 A C 1 0 1 Situação 5 A B C 1 1 1 Situação 7 A B 1 1 0 Situação 6 C
  • 44.
    44 B Ā A C Região A=1 (RegiãoA) B Ā A C Região B=1 (Região B) B Ā A C Região C=1 (Região C) B Ā A C Região A=0 (Região Ā) B Ā A C Região B=0 (Região ) B Ā A C Região C=0 (Região C) Quadras
  • 45.
    45 B Ā A C Região Ā. B Ā A C Região Ā.C B Ā A C RegiãoĀ.B B Ā A C Região A. B Ā A C Região A.C B Ā A C Região A.B Pares (1/2)
  • 46.
    46 B Ā A C C C RegiãoĀ.C B Ā A C C C Região .C B Ā A C C C Região .C B Ā A C C C Região A.C B Ā A C C C Região B.C B Ā A C C C Região B.C Pares (2/2)
  • 47.
    47 Quadra e Paresnas Extremidades B Ā A C Região C=0 (Região C) B Ā A C Região Ā.C B Ā A C Região A.C Note que a região marcada corresponde a uma quadra, mesmo não estando contígua no diagrama De forma análoga, estas regiões marcadas correspondem a pares
  • 48.
    48 Exemplo A expressão extraída diretamenteda tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā A C
  • 49.
    49 Exemplo A expressão extraída diretamenteda tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 A C
  • 50.
    50 Exemplo A expressão extraída diretamenteda tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 A C
  • 51.
    51 Exemplo A expressão extraída diretamenteda tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 A C
  • 52.
    52 Exemplo A expressão extraída diretamenteda tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A C
  • 53.
    53 Exemplo A expressão extraída diretamenteda tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 C
  • 54.
    54 Exemplo A expressão extraída diretamenteda tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 C
  • 55.
    55 Exemplo A expressão extraída diretamenteda tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 1 C
  • 56.
    56 Exemplo A expressão extraída diretamenteda tabela verdade para S é S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Como antes, o diagrama é preenchido com cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
  • 57.
    57 Exemplo Agora tentamos agruparas regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
  • 58.
    58 Exemplo Agora tentamos agruparas regiões onde S=1 no menor número possível de quadras No exemplo, tem-se a quadra Como nenhuma quadra adicional pode ser encontrada, tentamos localizar agora o menor número de pares Não devem ser considerados os pares já incluídos em quadras Contudo, pode acontecer de um par ser composto por um 1 externo e outro interno a uma quadra Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
  • 59.
    59 Exemplo Agora tentamos agruparas regiões onde S=1 no menor número possível de quadras No exemplo, tem-se a quadra Como nenhuma quadra adicional pode ser encontrada, tentamos localizar agora o menor número de pares Não devem ser considerados os pares já incluídos em quadras Contudo, pode acontecer de um par ser composto por um 1 externo e outro interno a uma quadra No exemplo, tem-se o par Ā.B Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
  • 60.
    60 Exemplo Agora tentamos agruparas regiões onde S=1 no menor número possível de quadras No exemplo, tem-se a quadra Como nenhuma quadra adicional pode ser encontrada, tentamos localizar agora o menor número de pares Não devem ser considerados os pares já incluídos em quadras Contudo, pode acontecer de um par ser composto por um 1 externo e outro interno a uma quadra No exemplo, tem-se o par Ā.B Por último, resta considerar termos isolados, que não foram agrupados nem em quadras, nem em pares No exemplo, não temos nenhum termo isolado Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
  • 61.
    61 Exemplo Agora, basta somaras expressões referentes às quadras, pares e termos isolados No exemplo, temos Quadra Par Ā.B A expressão final minimizada é S = + Ā.B Comparando com a expressão antes da minimização, é possível notar a redução do número de portas e operações necessárias para obter-se o mesmo resultado S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A. . + A.B. Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 1 0 1 1 A 1 0 0 1 C
  • 62.
    62 Exercício Minimizar o circuitoque executa a tabela verdade ao lado Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā A C
  • 63.
    63 Exercício Minimizar o circuitoque executa a tabela verdade ao lado Lembrar de agrupar as quadras, depois os pares e por últimos os termos isolados Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 0 1 1 0 A 1 1 0 1 C
  • 64.
    64 Solução Minimizar o circuitoque executa a tabela verdade ao lado Lembrar de agrupar as quadras, depois os pares e por últimos os termos isolados Nesse caso, há apenas 3 pares Ā.C A. A. Portanto, a expressão minimizada é S = Ā.C + A. + A. Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 0 1 1 0 A 1 1 0 1 C
  • 65.
    65 Solução Minimizar o circuitoque executa a tabela verdade ao lado Lembrar de agrupar as quadras, depois os pares e por últimos os termos isolados Nesse caso, há apenas 3 pares Ā.C A. A. Portanto, a expressão minimizada é S = Ā.C + A. + A. Poderíamos também ter agrupado da seguinte maneira, gerando a expressão S = Ā.C + .C + A. Essas duas expressões, sintaticamente diferentes, são semanticamente equivalentes, pois possuem o mesmo comportamento em cada situação da tabela verdade Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0 B Ā 0 1 1 0 A 1 1 0 1 C
  • 66.
    66 Exercício Simplifique a expressão, utilizando diagramade Veitch- Karnaugh S = Ā. . + Ā. .C+ Ā.B.C + A. .C + A.B.C B Ā A C
  • 67.
    67 Solução Simplifique a expressão, utilizandodiagrama de Veitch- Karnaugh S = Ā. . + Ā. .C+ Ā.B.C + A. .C + A.B.C Após a minimização, obtém-se S = C + Ā. Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1 B Ā 1 1 1 0 A 0 1 1 0 C
  • 68.
    68 Exercício Simplifique a expressão, utilizandodiagrama de Veitch- Karnaugh Tente montar o diagrama sem escrever a tabela verdade S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A.B.C B Ā A C
  • 69.
    69 Exercício Simplifique a expressão, utilizandodiagrama de Veitch- Karnaugh Tente montar o diagrama sem escrever a tabela verdade S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A.B.C B Ā Ā. . Ā.B.C Ā.B. A A.B.C C
  • 70.
    70 Solução Simplifique a expressão, utilizandodiagrama de Veitch- Karnaugh S = Ā. . + Ā.B. + Ā.B.C + A.B.C Após a minimização, obtém-se S = Ā. + B.C Situação A B C S 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 0 5 1 0 1 0 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1 B Ā 1 0 1 1 A 0 0 1 0 C
  • 71.
    71 Diagrama de Veitch-Karnaugh para4 Variáveis Nesse caso, para obter a expressão simplificada por meio do diagrama Agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de oitavas Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares As regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em oitavas, quadras ou pares são consideradas isoladamente No diagrama, os lados extremos opostos se comunicam, podendo formar oitavas, quadras ou pares C Ā B A ð D ð
  • 72.
    72 Diagrama de Veitch-Karnaugh para4 Variáveis Como antes, há uma região para cada linha na tabela verdade Situação A B C D S 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1 C Ā Ā ð 0 0 0 0 Situação 0 Ā D 0 0 0 1 Situação 1 Ā C D 0 0 1 1 Situação 3 Ā C ð 0 0 1 0 Situação 2 Ā B ð 0 1 0 0 Situação 4 Ā B D 0 1 0 1 Situação 5 Ā B C D 0 1 1 1 Situação 7 Ā B C ð 0 1 1 0 Situação 6 B A A B ð 1 1 0 0 Situação 12 AB D 1 1 0 1 Situação 13 A B C D 1 1 1 1 Situação 15 A B C ð 1 1 1 0 Situação 14 A ð 1 0 0 0 Situação 8 A D 1 0 0 1 Situação 9 A C D 1 0 1 1 Situação 11 A C ð 1 0 1 0 Situação 10 ð D ð
  • 73.
    73 C Ā B A ð D ð RegiãoA=1 (Região A) C Ā B A ð D ð Região B=1 (Região B) C Ā B A ð D ð Região C=1 (Região C) C Ā B A ð D ð Região D=1 (Região D) C Ā B A ð D ð Região A=0 (Região Ā) C Ā B A ð D ð Região B=0 (Região ) C Ā B A ð D ð Região C=0 (Região ) C Ā B A ð D ð Região D=0 (Região ð) Oitavas
  • 74.
    74 C Ā B A ð D ð RegiãoA.B C Ā B A ð D ð Região A. C Ā B A ð D ð Região A.C C Ā B A ð D ð Região A. C Ā B A ð D ð Região Ā.B C Ā B A ð D ð Região Ā. C Ā B A ð D ð Região Ā.C C Ā B A ð D ð Região Ā. Quadras (1/3)
  • 75.
    75 C Ā B A ð D ð RegiãoA.D C Ā B A ð D ð Região A.ð C Ā B A ð D ð Região B.C C Ā B A ð D ð Região B. C Ā B A ð D ð Região Ā.D C Ā B A ð D ð Região Ā.ð C Ā B A ð D ð Região .C C Ā B A ð D ð Região . Quadras (2/3)
  • 76.
    76 C Ā B A ð D ð RegiãoB.D C Ā B A ð D ð Região B.ð C Ā B A ð D ð Região C.D C Ā B A ð D ð Região C.ð C Ā B A ð D ð Região .D C Ā B A ð D ð Região .ð C Ā B A ð D ð Região .D C Ā B A ð D ð Região .D Quadras (3/3)
  • 77.
    77 C Ā B A ð D ð RegiãoA.B.C C Ā B A ð D ð Região A. .C C Ā B A ð D ð Região A.B. C Ā B A ð D ð Região A. . C Ā B A ð D ð Região Ā.B.C C Ā B A ð D ð Região Ā. .C C Ā B A ð D ð Região Ā.B. C Ā B A ð D ð Região Ā. . Pares (1/4)
  • 78.
    78 C Ā B A ð D ð RegiãoA.B.D C Ā B A ð D ð Região A. .D C Ā B A ð D ð Região A.B.ð C Ā B A ð D ð Região A. .ð C Ā B A ð D ð Região Ā.B.D C Ā B A ð D ð Região Ā. .D C Ā B A ð D ð Região Ā.B.ð C Ā B A ð D ð Região Ā. .ð Pares (2/4)
  • 79.
    79 C Ā B A ð D ð RegiãoA.C.D C Ā B A ð D ð Região A. .D C Ā B A ð D ð Região A.C.ð C Ā B A ð D ð Região A. .ð C Ā B A ð D ð Região Ā.C.D C Ā B A ð D ð Região Ā. .D C Ā B A ð D ð Região Ā.C.ð C Ā B A ð D ð Região Ā. .ð Pares (3/4)
  • 80.
    80 C Ā B A ð D ð RegiãoB.C.D C Ā B A ð D ð Região B. .D C Ā B A ð D ð Região B.C.ð C Ā B A ð D ð Região B. .ð C Ā B A ð D ð Região .C.D C Ā B A ð D ð Região . .D C Ā B A ð D ð Região .C.ð C Ā B A ð D ð Região . .ð Pares (4/4)
  • 81.
    81 Exemplo Simplifique a expressão usando mapade Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.ð Ā. .C.D + Ā.B. .D + Ā.B.C.D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.D + A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D C Ā B A ð D ð
  • 82.
    82 Exemplo Simplifique a expressão usandomapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.ð Ā. .C.D + Ā.B. .D + Ā.B.C.D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.D + A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado C Ā 0 1 1 1 0 1 1 0 B A 1 1 1 0 1 1 1 0 ð D ð
  • 83.
    83 Exemplo Simplifique a expressãousando mapa de Veitch-Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.ð Ā. .C.D + Ā.B. .D + Ā.B.C.D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.D + A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado Localizando oitavas C Ā 0 1 1 1 0 1 1 0 B A 1 1 1 0 1 1 1 0 ð D ð
  • 84.
    84 Exemplo Simplifique a expressãousando mapa de Veitch-Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.ð Ā. .C.D + Ā.B. .D + Ā.B.C.D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.D + A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado Localizando oitavas, quadras C Ā 0 1 1 1 0 1 1 0 B A 1 1 1 0 1 1 1 0 ð D ð
  • 85.
    85 Exemplo Simplifique a expressãousando mapa de Veitch-Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.ð Ā. .C.D + Ā.B. .D + Ā.B.C.D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.D + A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D Transpondo para o diagrama, temos o diagrama ao lado Localizando oitavas, quadras e pares Observe que não existem elementos isolados neste exemplo A expressão simplificada é S = D + A. + Ā. .C C Ā 0 1 1 1 0 1 1 0 B A 1 1 1 0 1 1 1 0 ð D ð
  • 86.
    86 Exercício Simplifique a expressão usando mapade Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.D + Ā.B. .ð + Ā.B. .D + + Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð + + A.B.C.D + A. .C.ð C Ā B A ð D ð
  • 87.
    87 Exercício Simplifique a expressão usando mapade Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.D + Ā.B. .ð + Ā.B. .D + + Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð + + A.B.C.D + A. .C.ð C Ā Ā. . .D Ā. .C.D Ā.B. .ð Ā.B. .D Ā.B.C.D Ā.B.C.ð B A A.B.C.D A. .C.ð ð D ð
  • 88.
    88 Solução Simplifique a expressão usandomapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.D + Ā.B. .ð + Ā.B. .D + + Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð + + A.B.C.D + A. .C.ð Não há oitavas possíveis Há duas quadras C Ā 0 1 1 0 1 1 1 1 B A 0 0 1 0 0 0 0 1 ð D ð
  • 89.
    89 Solução Simplifique a expressão usandomapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.D + Ā.B. .ð + Ā.B. .D + + Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð + + A.B.C.D + A. .C.ð Não há oitavas possíveis Há duas quadras, um par C Ā 0 1 1 0 1 1 1 1 B A 0 0 1 0 0 0 0 1 ð D ð
  • 90.
    90 Solução Simplifique a expressão usandomapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .D + Ā. .C.D + Ā.B. .ð + Ā.B. .D + + Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð + + A.B.C.D + A. .C.ð Não há oitavas possíveis Há duas quadras, um par e um elemento isolado Portanto, a expressão minimizada é S = Ā.D + Ā.B + B.C.D + A. .C.ð C Ā 0 1 1 0 1 1 1 1 B A 0 0 1 0 0 0 0 1 ð D ð
  • 91.
    91 Exercício Simplifique a expressão usandomapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .ð + Ā. . .D + Ā. .C.ð + Ā.B. .D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.ð + A.B. .D + A.B.C.D C Ā B A ð D ð
  • 92.
    92 Exercício Simplifique a expressão usandomapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .ð + Ā. . .D + Ā. .C.ð + Ā.B. .D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.ð + A.B. .D + A.B.C.D C Ā Ā. . .ð Ā. . .D Ā. .C.ð Ā.B. .D B A A.B. .D A.B.C.D A. . .ð A. . .D A. .C.ð ð D ð
  • 93.
    93 Exercício Simplifique a expressão usandomapa de Veitch- Karnaugh S = Ā. . .ð + Ā. . .D + Ā. .C.ð + Ā.B. .D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.ð + A.B. .D + A.B.C.D C Ā 1 1 1 1 B A 1 1 1 1 1 ð D ð
  • 94.
    94 Solução Simplifique a expressãousando mapa de Veitch-Karnaugh S = Ā. . .ð + Ā. . .D + Ā. .C.ð + Ā.B. .D + A. . .ð + A. . .D + A. .C.ð + A.B. .D + A.B.C.D Não há oitavas possíveis Há duas quadras e um par Portanto, a expressão minimizada é S = .D + .ð + A.B.D C Ā 1 1 1 1 B A 1 1 1 1 1 ð D ð
  • 95.
    95 Diagrama de Veitch-Karnaugh para5 Variáveis Nesse caso, para obter a expressão simplificada por meio do diagrama Agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de hexas Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de oitavas Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares As regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em oitavas, quadras ou pares são consideradas isoladamente No diagrama, os lados extremos opostos se comunicam, assim como um diagrama se sobrepõe ao outro
  • 96.
    96 Diagrama de Veitch-Karnaugh para5 Variáveis Situação A B C D E S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 3 0 0 0 1 1 4 0 0 1 0 0 5 0 0 1 0 1 6 0 0 1 1 0 7 0 0 1 1 1 8 0 1 0 0 0 9 0 1 0 0 1 10 0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 1 12 0 1 1 0 0 13 0 1 1 0 1 14 0 1 1 1 0 15 0 1 1 1 1 Situação A B C D E S 16 1 0 0 0 0 17 1 0 0 0 1 18 1 0 0 1 0 19 1 0 0 1 1 20 1 0 1 0 0 21 1 0 1 0 1 22 1 0 1 1 0 23 1 0 1 1 1 24 1 1 0 0 0 25 1 1 0 0 1 26 1 1 0 1 0 27 1 1 0 1 1 28 1 1 1 0 0 29 1 1 1 0 1 30 1 1 1 1 0 31 1 1 1 1 1
  • 97.
    97 Diagrama de Veitch-Karnaugh para5 Variáveis ð D A ð Ē 1 0 0 0 0 Situação 16 A ð E 1 0 0 0 1 Situação 17 A D E 1 0 0 1 1 Situação 19 A D Ē 1 0 0 1 0 Situação 18 A C ð Ē 1 0 1 0 0 Situação 20 A C ð E 1 0 1 0 1 Situação 21 A C D E 1 0 1 1 1 Situação 23 A C D Ē 1 0 1 1 0 Situação 22 C B A B C ð Ē 1 1 1 0 0 Situação 28 A B C ð E 1 1 1 0 1 Situação 29 A B C D E 1 1 1 1 1 Situação 31 A B C D Ē 1 1 1 1 0 Situação 30 A B ð Ē 1 1 0 0 0 Situação 24 A B ð E 1 1 0 0 1 Situação 25 A B D E 1 1 0 1 1 Situação 27 A B D Ē 1 1 0 1 0 Situação 26 Ē E Ē AĀ ð D Ā ð Ē 0 0 0 0 0 Situação 0 Ā ð E 0 0 0 0 1 Situação 1 Ā D E 0 0 0 1 1 Situação 3 Ā D Ē 0 0 0 1 0 Situação 2 Ā C ð Ē 0 0 1 0 0 Situação 4 Ā C ð E 0 0 1 0 1 Situação 5 Ā C D E 0 0 1 1 1 Situação 7 Ā C D Ē 0 0 1 1 0 Situação 6 C B Ā B C ð Ē 0 1 1 0 0 Situação 12 Ā B C ð E 0 1 1 0 1 Situação 13 Ā B C D E 0 1 1 1 1 Situação 15 Ā B C D Ē 0 1 1 1 0 Situação 14 Ā B ð Ē 0 1 0 0 0 Situação 8 Ā B ð E 0 1 0 0 1 Situação 9 Ā B D E 0 1 0 1 1 Situação 11 Ā B D Ē 0 1 0 1 0 Situação 10 Ē E Ē
  • 98.
  • 99.
    99 Hexas (1) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região A AĀ Região B ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ā AĀ Região
  • 100.
    100 Hexas (2) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região C AĀ Região D ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região AĀ Região ð
  • 101.
    101 Hexas (3) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região E ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ē
  • 102.
    102 Oitavas (1/10) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região A.B AĀ Região A. ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ā.B AĀ Região Ā.
  • 103.
    103 Oitavas (2/10) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região A.C AĀ Região A. ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ā.C AĀ Região Ā.
  • 104.
    104 Oitavas (3/10) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região A.D AĀ Região A.ð ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ā.D AĀ Região Ā.ð
  • 105.
    105 Oitavas (4/10) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região A.E AĀ Região A.Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região Ā.E AĀ Região Ā.Ē
  • 106.
    106 Oitavas (5/10) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região B.C AĀ Região B. ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região .C AĀ Região .
  • 107.
    107 Oitavas (6/10) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região B.D AĀ Região B.ð ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região .D AĀ Região .ð
  • 108.
    108 Oitavas (7/10) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região B.E AĀ Região B.Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região .E AĀ Região .Ē
  • 109.
    109 Oitavas (8/10) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região C.D AĀ Região C.ð ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região .D AĀ Região .ð
  • 110.
    110 Oitavas (9/10) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região C.E AĀ Região C.Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região .E AĀ Região .Ē
  • 111.
    111 Oitavas (10/10) ð D C B ĒE Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região D.E AĀ Região D.Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē ð D C B Ē E Ē AĀ Região ð.E AĀ Região ð.Ē
  • 112.
    112 Exemplo: Simplifique oCircuito representado pelo diagrama ð D 0 0 0 0 0 1 0 1 C B 1 1 1 1 0 0 0 0 Ē E Ē AĀ ð D 1 0 1 0 1 1 1 0 C B 0 1 0 1 1 1 0 1 Ē E Ē
  • 113.
    113 Exemplo: 2 Quadras ðD 1 1 C B 1 1 1 1 Ē E Ē AĀ ð D 1 1 1 1 1 C B 1 1 1 1 1 Ē E Ē
  • 114.
    114 Exemplo: 2 Quadras,5 Pares ð D 1 1 C B 1 1 1 1 Ē E Ē AĀ ð D 1 1 1 1 1 C B 1 1 1 1 1 Ē E Ē S= A.B.C + C.ð.E + Ā. .ð.Ē + Ā. .D.E + Ā.B. .ð + Ā.B.D.Ē + A.C.D.Ē
  • 115.
    115 Exercício ð D 0 00 1 0 1 1 1 C B 0 1 1 0 1 0 0 0 Ē E Ē AĀ ð D 0 0 0 1 0 1 1 1 C B 0 1 1 0 1 0 0 0 Ē E Ē
  • 116.
    116 Solução ð D 0 00 1 0 1 1 1 C B 0 1 1 0 1 0 0 0 Ē E Ē AĀ ð D 0 0 0 1 0 1 1 1 C B 0 1 1 0 1 0 0 0 Ē E Ē S= C.E + .D.Ē + B. .ð.Ē
  • 117.
    117 Casos Sem Simplificação Sejaa expressão S = Ā.B + A.B Ao tentar simplificar a expressão pelo diagrama de Veitch-Karnaugh, nota-se que não é possível agrupar termos Nesse caso, a expressão dada já se encontra minimizada O mesmo ocorre com a expressão S = A.B + Ā. Que também se encontra minimizada B Ā 0 1 A 1 0 B Ā 1 0 A 0 1
  • 118.
    118 Casos Sem Simplificação Omesmo ocorre nas duas situações seguintes, que também não admitem simplificação Estes casos também ocorrem para 4 ou mais variáveis de entrada B Ā 1 0 1 0 A 0 1 0 1 C B Ā 0 1 0 1 A 1 0 1 0 C
  • 119.
    119 Outra Maneira deUtilização Outra maneira de utilizar um diagrama Veitch-Karnaugh consiste em utilizar o complemento da expressão Assim, somente são considerados os casos onde a expressão S=0 Com isso, têm-se o complemento da função, que precisa, portanto, ser invertida Isso corresponde a utilizar De Morgan
  • 120.
    120 Diagrama de Veitch-Karnaughpelo Complemento Usando o diagrama pelo método convencional, obtém-se S = A + C Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 B Ā 0 1 1 0 A 1 1 1 1 C
  • 121.
    121 Diagrama de Veitch-Karnaughpelo Complemento Usando o diagrama pelo método convencional, obtém-se S = A + C Usando o complemento, tem-se S = Ā. Portanto, S = (Ā. )’ Aplicando-se De Morgan na expressão acima, tem-se S = (Ā. )’ = A + C Situação A B C S 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 B Ā 0 1 1 0 A 1 1 1 1 C
  • 122.
    122 Resumo Neste apresentação foramvistos os postulados e propriedades da álgebra de Boole É importante lembrar que qualquer expressão booleana pode ser escrita de forma padronizada, obtida a partir da tabela verdade Produto de Maxtermos Soma de Mintermos Uma vez obtida a expressão booleana de um circuito, é possível realizar simplificações que visam reduzir redução de custo de fabricação dos circuitos Fatoração (simplificação algébrica) Diagrama de Veitch-Karnaugh (simplificação visual)
  • 123.
    123 Copyright© Apresentação 2012por José Augusto Baranauskas Universidade de São Paulo Professores são convidados a utilizarem esta apresentação da maneira que lhes for conveniente, desde que esta nota de copyright permaneça intacta. Slides baseados em: Idoeta, I.V. & Capuano, F.G.; Elementos de Eletrônica Digital, 12ª. edição, Érica, 1987. E. Mendelson; Álgebra booleana e circuitos de chaveamento, McGraw-Hill, 1977.